初中数学 平方差公式-第二课时
《平方差公式》第二课时参考教案
《平方差公式》第二课时参考教案第一篇：《平方差公式》第二课时参考教案1.7平方差公式(二)●教学目标(一)教学知识点1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.(二)能力训练要求1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.●教学重点平方差公式的几何解释和广泛的应用.●教学难点准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.●教学方法启发——探究相结合●教具准备一块大正方形纸板，剪刀.投影片四张第一张：想一想，记作(§1.7.2 A)第二张：例3，记作(§1.7.2 B)第三张：例4，记作(§1.7.2 C)第四张：补充练习，记作(§1.7.2 D)●教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.1 / 8这个正方形的面积是多少？［生］a2.［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？图1－23 ［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2).［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)［生］老师，我们拼出来啦.［师］讲给大伙听一听.［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).图1－24 / 8［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习习近平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.Ⅱ.讲授新课［师］出示投影片(§1.7.2 A)想一想：(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点⎧7⨯9=⎨⎩8⨯8=⎨⎧11⨯13=⎩12⨯12=⎨⎧79⨯81=⎩80⨯80=(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？［生］(1)中算式算出来的结果如下⎧7⨯9=63⎨⎩8⨯8=64 ⎨⎧11⨯13=143⎩12⨯12=144 ⎨⎧79⨯81=6399⎩80⨯80=6400［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？［生］我猜想是.我又找了几个例子如：⎧1⨯3=3⎨⎩2⨯2=4 ⎨⎧99⨯101=9999⎩100⨯100=10000 ⎨⎧24⨯26=624⎩25⨯25=625［师］你能用字母表示这一规律吗？［生］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a－1,a+1,则有(a+1)(a－1)=a2－1.［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.［生］可是，我有一个疑问，a必须是一个自然数，还必须大于2吗？(同学们惊讶，然后讨论)［生］a可以代表任意一个数.3 / 8 ［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？(陷入沉思)［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899.［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.我们不妨再做几个类似的练习.出示投影片(§1.7.2 B)［例3］用平方差公式计算：(1)103×97(2)118×122 ［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙.［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太简便了！［生］我观察也发现了第(2)题的“奥妙”.118=120－2,122=120+2 118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396.［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.7.2 C).［例4］计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3).分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2 =a(a－b)+ab =a－ab+ab/ 84222222222=a4(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)=(2x)2－52－(4x2－6x)=4x－25－4x+6x =6x－25 注意：在(2)小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.［例5］公式的逆用(1)(x+y)2－(x－y)2(2)252－242 分析：逆用平方差公式可以使运算简便.解：(1)(x+y)2－(x－y)2=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=2x·2y =4xy(2)252－242 =(25+24)(25－24)=49 Ⅲ.随堂练习 1.(课本P32)计算(1)704×696(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)(3)x(x－1)－(x－1)(x+1)3322(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠)解：(1)704×696=(700+4)(700－4)=490000－16=489984(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)=(x2－4y2)+(x2－1)=x2－4y2+x2－1 =2x2－4y2－1/ 8(3)x(x－1)－(x－1)(x+1)33=(x2－x)－［x2－(1)2］3=x2－x－x2+1=1－x 992.(补充练习)出示投影片(§1.7.2 D)解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)(先由学生试着完成)解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)(2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－1 4x2－1+3x2－12=7x2－6x－1 6x=12 x=2 Ⅳ.课时小结［师］同学们这节课一定有不少体会和收获.［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.［生］我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b),算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.…… Ⅴ.课后作业课本习题1.12.Ⅵ.活动与探究计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1.［过程］先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.6 / 8［结果］原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1=1990⨯(1990+1)2=1981045 ●板书设计§1.7.2平方差公式(二)一、平方差公式的几何解释：二、想一想特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明即(a+1)(a－1)=a2－1三、例题讲解：例3 例4四、练习●备课资料参考练习1.选择题(1)在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是()A.(－a－b)(a－b)B.(c2－d2)(d2+c2)C.(x3－y3)(x3+y3)D.(m－n)(－m+n)(2)用平方差公式计算(x－1)(x+1)(x2+1)结果正确的是()A.x4－1B.x4+1C.(x－1)4D.(x+1)4(3)下列各式中，结果是a2－36b2的是()A.(－6b+a)(－6b－a)B.(－6b+a)(6b－a)C.(a+4b)(a－4b)D.(－6b－a)(6b－a)2.填空题(4)(5x+3y)·()=25x2－9y2(5)(－0.2x－0.4y)()=0.16y2－0.04x2(6)(－3x－11y)()=－94x2+121y22/ 8(7)若(－7m+A)(4n+B)=16n2－49m2,则A=，B=.3.计算(8)(2x2+3y)(3y－2x2).(9)(p－5)(p－2)(p+2)(p+5).(10)(x2y+4)(x2y－4)－(x2y+2)·(x2y－3).4.求值(11)(上海市中考题)已知x2－2x=2,将下式先化简，再求值(x－1)2+(x+3)(x－3)+(x－3)(x－1)5.探索规律(12)(北京市中考)观察下列顺序排列的等式：9×0+1=1 9×1+2=11 9×2+3=21 9×3+4=31 9×4+5=41 ……猜想：第n个等式(n为正整数)应为.答案：1.(1)D(2)A(3)D2.(4)(5x－3y)(5)(0.2x－0.4y)(6)(3x－11y)(7)A=4n,B=7m 23.(8)9y2－4x4(9)p4－29p2+100(10)x2y－104.(11)原式=3(x2－2x)－5=3×2－5=15.(12)9×(n－1)+n=(n－1)×10+1(n为正整数).8 / 8第二篇：平方差公式教案《平方差公式》教学设计牟平实验中学隋玲一、教材分析《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个乘法公式.本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算.二、教学目标知识与技能目标：掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算；过程与方法目标：经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；情感态度与价值观：会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.三、教学重点、难点：本节课的重点：平方差公式的特点以及会运用公式进行简单计算。
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= 49－4m4
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找一找、填一填
(7ab3b)(7ab3b)
(a-b)(a+b) a b a2-b2
(1+x)(1-x) 1 x 12-x2 (-3+a)(-3-a) -3 a (-3)2-a2 (1+a)(-1+a) a 1 a2-12 (0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1 ( 0.3x)2-12
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⑴ 102×98= (100＋2)(100－2)=9996
⑵
50
2 3
×49
1 3
=
(50＋
23)(50－
23)=2499
5 9
⑶ 59.8×60.2=(60－0.2)(60+0.2)=3599.96
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合理加括号 相反为b
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
讨论
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你能根据图15.2-1中的面积说 明平方差公式吗?
a b
S1 S2
a 图15.2-1
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b b
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(a + b ) ( a – b ) = a2 - b2
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(1) 803×797;(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) . 解: (1) 803×797
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8．这个镜头写出了人间父爱最动人的 地方， 为了孩 子，做 父亲的 愿意牺 牲自己 的一切 ，愿意 承担一 切的辛 酸痛苦 ，表现 出父爱 的无私 、隐忍 、深厚 ，令人 感动。
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4.概括文章的主要内容。通篇阅读， 分出层 次，梳 理情节 ，全盘 把握， 根据题 干要求 找出事 件的中 心内容 ，用自 己的语 言简洁 概括。 如可概 括为“我”见到菜 农后发 生的几 件事及 对他态 度的变 化，由 此表达 了对菜 农的敬 佩之情 。
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5.“不怕别人嘲笑奚落的人”理解错误。 菜农具 有憨厚 朴实， 做事专 注认真 ，热爱 生活， 追求内 心的宁 静，不 为名利 所累的 性格特 点。
在本例教学时不能仅仅着眼于应用公式的化简与计算，要让学生感 受构造数学“模型”的乐趣。
应用新知
例3 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要 加长2米，而东西向要缩短2米。问改造后的长方形草坪的面积是多少？
解： a2a2a24
答：改造后的长方形草坪的面积是
( a 2 4 )平方米。
同学们再见
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1．本该过节的母亲却留在家里，要给 母亲过 节的家 人却外 出游玩 。这一 情节引 人入胜 ；令人 哑然失 笑；突 出了母 亲形象
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2．通读全文，我们能感受到：菜农是 一位憨 厚朴实 、热爱 生活、 追求内 心的宁 静、做 事专注 认真、 不怕别 人嘲笑 奚落的 人。
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3.读了本文，我明白了在当今世俗的 喧嚣中 应保持 自己内 心的宁 静，不 为世俗 所扰。 文中的 菜农能 够在喧 闹的菜 市场沉 浸于书 本的美 好中， 沉浸于 内心的 宁静中 。在生 活中， 我不会 因某次 月考的 成功而 骄傲。 而要保 持内心 的宁静 ，继续 努力前 行。
平方差公式(第二课时)教案
平方差公式 （第二课时）一、学习目标：1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3. 了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法.二、重点：会推导平方差公式，并掌握公式的结构特征，并能运用公式进行简单的计算和推理.三、难点：会推导平方差公式，并掌握公式的结构特征，并能运用公式进行简单的计算和推理.四、讲授新课：前面利用了两课时的时间，学习了平方差公式。
课后我抽查了学生的学习情况，大部分学生反映，对三项及更多项能够运用平方差公式解决的问题，还存在一定的困惑，不容易找到整体项。
于是，我搜集和整理了一些类似的题型，如)32)(32(),)(+--++--+y x y x c b a c b a （，然后给学生讲解。
下面是一些实际例子：()()()[]()[]()2222)222(2221c bc b a c bc b a c b a c b a c b a c b a c b a -+-=+--=--=---+=+--+、你会发现：在解题过程中，通过变形，把()c b -看作一个整体。
()()()[]()[]()()9124912432323232322222222-+-=+--=--=---+=+--+y y x y y x y x y x y x y x y x 、通过变形，把()32-y 看作一个整体。
当我讲完第二个题后，突然，有一个学生就提问了：“老师，怎么才能一下就看出整体项，有没有简单的方法，对于类似的题，我还不易掌握？”。
我一下愣住了，怎么能一下就看出整体项，简单的方法？我想了想：既然平方差公式是两项和与两项差的积，那么这两项就是符号上的差别。
对于三项，我们也可以找出它们之间的符号差别，例如在()()c b a c b a +--+中，对比观察两组括号里的各项，相同的项a ，相反的项b +与b -,c -与c +。
然后把相同的项a 看成一个整体，相反的项c b -看作另一个整体。
8.3完全平方公式与平方差公式(第2课时-平方差公式)教案
教学设计8。
3 完全平方公式与平方差公式(第２课时) 平方差公式一、教学背景（一）教材分析平方差公式是在学习了完全平方公式之后又一种特殊形式多项式乘法结果的归纳和总结,将这种结果应用于形式相同的多项式乘法，达到简化计算的目的。
也是学习因式分解、函数等知识的重要基础；也是考试中考查的重点内容之一.（二)学情分析学生在第8.2节学习了多项式乘以多项式的法则，为推导和掌握平方差公式奠定了基础。
学生在经历完全平方公式推导基础上，初步为学习平方差公式提供了思维方式。
七年级下学生的认知发展已具备了转化、数形结合的能力，富有积极思考、主动探索、合作交流情感基础,为推导平方差公式提供了保证。
二、教学目标:1 经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、归纳、猜测、验证等能力.2 会推导平方差公式:3 了解平方差公式的几何背景，会应用公式计算。
4 进一步体会转化、数形结合等思想方法.三、重点、难点:重点：体会平方差公式的发现和推导，会用平方差公式进行熟练地计算。
难点:探索平方差公式,并会用几何图形解释公式.四、教学方法分析及学习方法指导教法分析：在教学中要引导学生发现公式，并探究公式的推导过程，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，引导学生借助面积图形对平方差公式做直观说明，加深学生对公式理解。
学法指导：学习中，让学生主动发现公式,并探究公式的推导过程，应着重让学生认识、掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，在公式的运用上,把公式中的字母同具体题目中的数或式子，逐项比较、对照，步骤写得完整，便于学生理解如何正确地使用平方差公式进行计算．正确地使用公式的关键是确定是否符合使用公式的条件．()()２２ｂ—＝ａｂ—ａａ＋ｂ五、教学过程：(一）情景导入：以前，狡猾的灰太狼，把一块长为a 米的正方形土地租给懒羊羊种植。
今年,他对懒羊羊说：“我把你这块地一边减少4米，另一边增加4米,继续租给你，你也没有吃亏,你看如何？"懒羊羊听了，觉得好像没有吃亏,就答应了.懒羊羊回到羊村,把这件事跟大伙一说，喜羊羊马上就说懒羊羊吃亏了.过了一会儿沸羊羊也说懒羊羊确实吃亏了。
湘教版七年级数学下册第二章《平方差公式》公开课课件 (2)
复习题
B组
7.下列式中能用平方差公式计算的有( )
①(x-
1 2
y)(x+
1 2
y),
②(3a-bc)(-bc-3a),
③(3-x+y)(3+x+y),
④(100+1)(100-1)
A. 1 个 B. 2 个
C. 3 个 D. 4 个
答案：D
8.下列式中,运算正确的是( )
①(22 a)2 = 4a2 ,
本课节内容 2.2
乘法公式
子目内容 2.2.1
平方差公式
动脑筋
计算下列各式，你能发现怎样的规律？
(a+1)(a-1)=a2-a+a-12 = a2 -1 (a+2)(a-2)=a2-2a+2a-22= a2 - 4
(a+3)(a-3)=a2-3a+3a-32 = a2 - 9 (a+4)(a-4)=a2-4a+4a-42 = a2 -16
（1）(2x+1)(2x-1) 解 (2x+1)(2x-1)
= (2x)2-12 = 4x2-1.
（2）(x+2y)(x-2y)
解 (x+2y)(x-2y) = x2 -(2y)2 = x2 -4y2
例2 运用平方差公式计算：
（1）-2x-1y-2x+1y；
2
2
（2）(4a+b)(-b+4a).
解析 A 中同类项为x5，合并后应为2x5，A错.
B 中是同底数幂的乘法，应为
-(-x)3+5=-(-x)8=-x8，B正确
C 中应为(-2)3·(x2)3 ·y3 ·4x-3=-32x3y3，C错
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( b＋2a)( 2a－b )
将式子变为(b－2a)(2a－b)，还可以用这个公
式吗？
(b＋2a)(2a－b) =(2a ) 2 －b2
(b－2a)(－2a－b) =(－2a ) 2 －b2
(－b－2a)(2a－b) =(－b ) 2 －(2a)2
(b－2a)(2a＋b) =(b ) 2 －(2a)2
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巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
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巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
(3)(2x y)(2x y) (2x)2 ( y)2
4x2 y2
(a b)(a b)a2b2
注意：当“项”是数与字母的乘积
时,要用括号把这个数整个括起来，再平 方,最后的结果又要去掉括号。
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运用平方差公式计算： (4a1)(4a1)．
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剖析公式，提示本质
左边
右边
(a+b)(a−b)=a2−b2
相同项 相反项 相同项2 − 相反项2
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模拟演练，初试锋芒
填一填
(a+b)(a-b) a
14.2.1平方差公式
平方差公式 (课件)
2
y)(2x
y)
2
4x2
y2
（4）不能忘记写公式中 的“平方”．
【课堂总结】
这节课你有哪些收获？
平方差公式：（a+b）（a-b）=a 2 -b2
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差．
注意：（1）看是否具备公式的结构特征；
（2）要找准哪个数或式相当于公式中的a，b。 且a的符号相同 ，b 的符号相反。 （3）a ,b 可以是具体的数、单项式、多项式等； （4）不能忘记写公式中 的“平方”．
（2）102×98．；
(3)( x 1)( x 1)( x2 1)
【自检诊学】 【独立完成，举手板演】 练习3 运用平方差公式计算： （1） 51×49； （2）（3x+4）（3x-4）-（2x+3）（2x-3）
第2题做完上台板演，格式规范准确无误可得一个音符
【达标检测】 【独立思考，举手回答】
(5)(2a b)(2b a) 4a2 b2 当于公式中的a，b。且a的
(6)(3x y)(3x y) 9x2 y2
(7)(1 x 1)(1 x 1) 1 x2 1
符号相同 ，b 的符号相反。
（3）a ,b 可以是具体的数、 单项式、多项式等
2
(8)(2x
【一、激趣导入 】
【独立作业，举手回答】
1、复习
(a b)(m n)
2、计算：
（1）（x+1）（x-1） = x2 -1 ；
（2）（m+2）（m-2） = m2-4 ；
（3）（2x+1）（2x-1） = 4x2 -1 ．
二、合作互助
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14.2.1 平方差公式
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规律探索：
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计算： (1) (x+1)(x-1) = x2 - 1 (2) (m+2)(m-2) = m2 - 4 (3) (2x+1)(2x-1) = 4x2 - 1
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人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
运用平方差公式计算：
1、(m+n)(-n+m) = 2、(-x-y) (x-y) = 3、(2a+b)(2a-b) = 4、(x2+y2)(x2-y2)=
注意：a、b可以是数，也可以是整式
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
知识延伸
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
灵活运用平方差公式计算：
（1）(3x+4)(3x-4) – (2x+3)(3x-2);
（2）(x+y)(x-y)(x2+y2); (3) x(x-1)-(x-1)(x1) 33
人教版数学八年级上册..平方差公式 课件PPT优秀课件
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
小结
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
平方差公式
字母：(a+b)(a-b)=a2-b2
特征： 有两个完全相同的项 和两个符号相反的项
八年级数学上册平方差公式课件
练习 改正错误 (1)(x+3)(x-3)=x2-3 错，x2-9 (2)(-3a-1)(3a-1)=9a2-1 错，1-9a2 (3)(4x+3y)(4x-3y)=4x2-3y2 错，16x2-9y2 (4)(2xy-3)(2xy+3)=4xy2-9 错，4x2y2-9
看谁能用两判断下列式子能否用平方差公式计算：
(1) (a+2b)(a−2b) ； (不能) (没有相同的项) (2) (a+2b)(−a+2b) ； (能) = (2b)2 −a2 = 4b2 −a2 (3) (2a+b)(b+2a)； (不能)（没有互为相反数的项） (4) (a−3b)(a+3b) ； (能) = −(a2 −9b2) = −a2 + 9b2 ； (5) (2x+3y)(3y−2x)． (不能)
（5）(−3x+y)(3x+y) =y2－9x2
（6）(y−x)(−x−y) =x2－y2
例2 利用平方差公式计算：
（1）102×98 解：（1）102×98
=(100 +2) ×(100 −2)
（2）1992-1982 （2）1992-1982
=(199+198) ×(199-198)
=1002 − 22 =10 000 − 4 =9 996
Bye bye
已知：x-y=2，y-z=2，x+z=14，求x2-z2．
解：x2-z2=(x+z)(x-z) =(x+z)(x-y+y-z) =14×(2+2) =14×4 =56．
课堂小结
平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2．
平方差公式 优质课获奖课件
14．3.2
因式分解
公式法(2课时)
第1课时 平方差公式
1．能说出平方差公式的特点． 2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
重点 应用平方差公式分解因式． 难点
灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式 ，并
理解因式分解的要求．
一、问题导入，探究新知
问题1：什么叫因式分解？ 问题2：你能将多项式 x2－4与多项式y2－25分解因式吗？ 这两个多项式有什么共同的特点？ 对于问题 1 要强调因式分解是对多项式进行的一种变形 ， 可引导比较它与整式乘法的关系． 对于问题 2 要求学生先进行思考 ，教师可视情况作适当的 提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．
特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式 ， 对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式． 即(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来就是： a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进 行表述． 例1 分解因式： (1)4x2－9； (2)(x＋p)2－(x＋q)2.
七、课堂小结 谈一谈：你对完全平方公式有了哪些认识？它与平方差
公式有什么区别和联系？
作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)， 第4题．
在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差
异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子，而不知道将 几个式子联系起来看；有些学生则观察入微，表现出了较 强的观察力．教师要抓住这个契机，适当对学生进行学法 指导．对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的 左边，它是正确应用公式的前提．
2．你能根据下图说明(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
第1小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组 快？第2小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮 助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－ 2ab＋b2.
[37208233]1.5平方差公式(第二课时)课件 2022-2023学年北师大版数学七年级
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巩固练习
计算: (1) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6) （2）原式= y2-22-(y2+4y-5)
= 9x2-16-6x2-5x+6
= y2-4-y2-4y+5
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第一章 整式的乘除
1.5 整式的乘法
第2课时 平方差公式的运用
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1.问：平方差公式是怎样的？ (a+b)(a−b)=a2−b2
2.利用平方差公式计算： （1）(2x+7b)(2x–7b)；4x2－49b2 （2）(－m+3n)(m+3n). 9n2－m2 3.你能快速的计算201×199吗？
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11×13=143 79×81=6399 12×12=144 80×80=6400
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？ (a-1) (a+1) = a2 – 1 (3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗?
(a+b)(a−b)=a2−b2 平方差公式
ZYT
典例精析
例1 用平方差公式进行计算：
解： (1)a2 (a+b)(a-b)+a2 b2 =a2(a2-b2)+a2b2 =a4-a2b2+a2b2 =a4
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
=4x2-52-(4x2-6x)
=4x2-25-4x2+6x
=6x-25
不符合平方差公式运 算条件的乘法，按乘 法法则进行运算.
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分析:
（2）(3x2)(3x2)
（3
2
x）
2
2
(3)(x12y)(x12y)
（ x）2
（1
2
y ）2
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
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四、公式运用
练习：第108页的练习第1题.
1、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(x2)(x2)x22 ( 3 a 2 ) ( 3 a 2 ) ( 3 a ) 2 2 2 9 a 2 4
设计意图：考查学生对平方差公式的结构的掌握情况
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五、“最强大脑”秘密
设计意图：进一步化解“结构的稳定性，字母的可变性”这一难点，
并为下一节内容的学习埋下伏笔。
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九、牛刀小试
1、作业P112 第1题 2、 数学探究 天龙住宅小区的花园，起初被设计为边长为 a 米的正方形， 后因道路的原因，设计修改为：北边往南平移 x(x a)米， 而西边往西平移 x 米. 试问： （1）修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？ （2）上述两种设计的面积之差与的大小有什么关系？ （3）在周长为定值4a 的矩形中，什么时候其面积最大？ （4）计算周长均为4a 的圆的面积，正六边形的面积。由此 你有什么新的发现？
•
5、人们都期望自我的生活中能够多 一些快 乐和顺 利，少 一些痛 苦和挫 折。可 是命运 却似乎 总给人 以更多 的失落 、痛苦 和挫折 。我就 经历过 许多大 大小小 的挫折 。
北师大版七年级数学下1.5平方差公式第二课时
安边中学七年级下学期数学学科导学稿执笔人：郭文元总第课时备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间：集体备课个人空间一、课题：平方差公式（第二课时）二、学习目标1、能够运用平方差公式进行整式乘法的运算。
2、能够利用平方差公式简化运算。
三、教学过程【温故知新】1、计算：(1)、()()11-+xx(2)、()()22-+mm(3)、()()1212-+xx(4)、()()yxyx55-+(5)、 (3m+2n)(3m-2n) (6)、(1+n)(1-n)【导学释疑】1、如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。
（1）、请表示图中阴影部分的面积。
（2）、你会将阴影部分变成一个长方形吗？那么这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？（3）、比较（1）（2）的结果，你能验证平方差公式吗？你能根据下图中的面积说明平方差公式吗?解：（1）阴影部分的面积为_______________.(2)长方形的面积为__________________.（3）所以平方差公式为_______________________.2、想一想:⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（1）计算下列算式，并观察它们的共同特点：79= 1113= 7981= 399401=88= 1212= 8080= 400400=(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？（3）请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗?3、讲解例题：例1：用平方差公式进行计算：(2)⨯⨯（1）10397 118122解：例2：计算：222(1)()()a a b a b a b +-+ (2)(25)(25)2(23)x x x x -+-- 解：【巩固提升】4、计算： （1）a(a －5)－(a+6)(a －6) （2） ( x+y)( x －y)( x 2+y 2)（3） 2003×2001－20022【检测反馈】5.计算:22222110099989721-+-++-反思栏。
平方差公式课件
平方差公式课件平方差公式课件在数学学科中，平方差公式是一个非常重要的公式，它在代数运算中经常被使用。
平方差公式的推导和应用是数学教学中的一大难点，因此，为了帮助学生更好地理解和掌握这个公式，教师们常常会使用课件来进行讲解和演示。
一、平方差公式的定义和推导平方差公式是指两个数的平方差可以表示为两个数的和与差的乘积。
具体地说，对于任意两个数a和b，平方差公式可以表示为：(a + b)(a - b) = a^2 - b^2这个公式的推导可以通过展开式来完成。
首先，我们将(a + b)(a - b)展开：(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)接着，我们可以使用分配律进行进一步的展开：= a^2 - ab + ab - b^2由于中间的两项-ab和ab相互抵消，所以最终的结果为：= a^2 - b^2这就得到了平方差公式的推导过程。
二、平方差公式的应用平方差公式在代数运算中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用情况。
1. 因式分解平方差公式可以用于因式分解，特别是在分解差的平方时非常有用。
例如，对于一个二次多项式a^2 - b^2，我们可以利用平方差公式将其分解为两个一次多项式的乘积：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)这样，我们就可以简化计算，得到更简洁的表达式。
2. 解方程平方差公式在解方程中也有着重要的应用。
特别是在二次方程的求解过程中，平方差公式可以帮助我们将方程转化为两个一次方程。
例如，对于一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果我们能够将其转化为(x + p)(x + q) = 0的形式，那么我们就可以通过平方差公式得到方程的解。
3. 计算平方根平方差公式还可以用于计算平方根。
特别是在计算非完全平方数的平方根时，平方差公式可以帮助我们简化计算。
例如，对于一个非完全平方数n，我们可以通过平方差公式将其表示为一个完全平方数的差：n = a^2 - b^2然后，我们可以利用平方差公式求解出n的平方根。