数形结合法在解题中的应用

目录

0 引言 (1)

1 以“数”化“形” (1)

1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (2)

1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集 (3)

1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题 (3)

2 以“形”变“数” (4)

2.1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题 (4)

3 “形”“数”互变 (6)

3.1 数轴在有理数化简中的应用 (6)

3.2 利用三角函数图象求角度 (7)

3.3 利用数形结合解决平面几何问题 (7)

结论 (9)

致谢 (9)

参考文献

提纲

1 以“数”化“形”

1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题

1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集

1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题

2 以“形”变“数”

2.1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题

3 “形”“数”互变

3.1 数轴在有理数化简中的应用

3.2 利用三角函数图象求角度

3.3 利用数形结合解决平面几何问题。

摘要：数形结合法是解决数学问题中最基本、也最常用的思想方法。本文就中学数学中的不等式、集合、函数、解析几何等内容，举例阐述数形结合法在解题中的三点应用。

关键词：数形结合；中学数学；应用；解决问题

引言

做事情，如果想要事半功倍，就必须讲究方法，其实，何止事半功倍，有时方法甚至起到了决定性的作用，缺乏有效的方法，不仅谈不上效率，而且问题不能解决，事情也就根本不能成功，数形结合法对解决某些数学问题就起到了决定性的作用，如果能将数与形巧妙地结合起来，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。我国著名的数学家华罗庚曾精辟地概括了数形结合法的内涵：数与形，本是相倚依，焉能分作两边分，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合万般好，割离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！可见，数与形存在着十分密切的联系。其实，在中学数学中，有很多内容就是集“数”“形”于一身的良好载体，例如：函数、解析几何等等，本文试从中学数学中的有理数、不等式、集合、三角函数、函数及其图象、平面几何、解析几何内容方面，举例说明数形结合法在中学数学解题中的三点应用：（1）以“数”化“形”；（2）以“形”变“数”；（3）“形”“数”互变。

1 以“数”化“形”

在中学数学中的代数内容主要是数字和文字的运算，如：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方，这些概念、法则、算律都比较抽象，运算有时很繁琐，让人难以把握。而“形”具有形象、直观的优点，因此，在思考和解决问题时，对于某些从表面上看来与图形不相关的概念和问题，有时可以从某种特定的角度，画一个草图、图像或者示意图把这种数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题。

1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题

一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。

例1某班举行数理化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数?

思路分析：由于参加数、理、化三科竞赛人数相互交叉，不易理清参加三科竞赛的各科人数，利用韦恩图可以比较容易地分清它们的关系。

解：设参加数学、物理、化学竞赛的人构成的集合分别为A、B、C，由图知全班人数为：10+12+13+7+3+6+4=55（人）.

由于叙述太长，单纯从文字语言不好理清思路，画出韦恩图，可以利用图形直观性进行计算。

1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集

求一元二次不等式的解集时，只要联想到对应的二次函数的图象确定抛物线的开口方向和与x 轴的交点情况，便可直接看出解集。

例2 解不等式x 2-x-6﹥0.

思路分析：我们可先联想到 对应

的二次函数y= x 2-x-6的图象，从

x 2-x-6=0解得x 1 =-2,x 2=3,由解知该抛

物线与x 轴交点的横坐标为-2,3.当取

交点两侧时，即x ﹤-2或x ﹥3时，y

﹥0，即x 2-x-6﹥0，故可得不等式的解集为{ x ∣x ﹤-2 或x ﹥3}.

1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题

例3 求函数y=1x 2++84x -x 2+的最小值.

思路分析：观察式子，可发现从代数的角度求解，难度较大，这时利用数形结合法，巧用两点间距离公式可化为：

1x 2+ + 84x -x 2+=22)10()0(-+-x +22)20()2(-+-x ，令A （0,1）

，B （2,2），P （x ，0），则问题转化为在x 轴上求

一点P ，使∣PA ∣+∣PB ∣有最小值.如图由于

AB 在x 轴同侧，故取A 关于x 轴的对称点C

（0，-1）,所以：（∣PA ∣+∣PB ∣）

min=∣CB ∣=22)12()02(++-=13,即函数y=1x 2+ +84x -x 2+的最小值是13.

通过以上三个例题可以看出利用图形来辅助数的计算使问题变得简单

明了，而且能开阔思路。

对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路是：

①明确题中所含的条件和所求目标；

②从已知条件或结论出发，分析是否相似（相同）于已学过的图形表达式；

③作出与之相适合的图形;

④利用已作出的图形的性质，几何意义等，去解决问题。

2 以“形”变“数”

中学数学中的几何是图文并茂的内容，但是，正如华罗庚所说：“形少数时难入微”，虽然，图形有形象、直观的特点，但在定量方面还必须借助代数的计算，不但要正确把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，把“形”正确表示成“数”的形式，再进行计算。如平面解析几何中有关圆锥曲线问题的解决，下面举例说明。

2.1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题

例4 已知点A （1,2），F 为椭圆252x +16

2y ＝1的右焦点，P 为椭圆上的动点，当∣PA ∣+35∣PF ∣取最小值时，求P 点的坐标.

思路分析：已知e=53，而5

3∣PF ∣恰好是椭圆上的点到椭圆相应准线的距离。

解：∵椭圆方程为252x +162y =1，∴a=5，椭b=4,c=3. ∴ e=53.又∵A （1,2）是椭圆内部的点，

圆的右准线方程为L:x=3

25,过点P 作PQ ⊥L 于点Q ，由椭圆的第二定义知：