数形结合法在解题中的应用
数形结合思想方法在数学解题教学中应用
数形结合的思想方法在数学解题教学中的应用摘要：数形结合作为重要的数学思想方法，在数学解题中起着举足轻重的作用。
本文介绍了数形结合的思想方法在函数、几何、方程与不等式、数列、集合等方面的应用，为进一步提高学生的解题能力抛砖引玉。
关键词：数形结合思想方法解题1、问题的提出数学问题的解决是数学教学中的一个重要部分，尤其是解题能力的培养，成为数学教学中不可缺少的一部分。
解决数学问题的方法有很多，其中数形结合的思想方法是中学数学教学中常用的一种解题方法，教师更应该很好的掌握和研究这一思想方法，为培养学生的解题能力打下坚实的基础。
中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形。
如何将数与形有机的结合起来，是学好数学的关键。
数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质等；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等。
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到完美的解答。
2、数形结合解题教学中应注意的几个方面在运用数形结合的思想方法分析和解决问题时，藏汉双语数学教师要注意以下五点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数联想其形，以形建立数之间的关系式，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围，切忌忽视隐含条件；第四要挖掘数学概念的内涵和外延，防止发生扩大内涵、缩小外延或缩小内涵、扩大外延的错误；第五要注意代数性质与几何性质的转换应该是等价的，否则会出现漏洞。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过将数学概念与几何图形相互结合，相互转化和应用的思考方法。
在初中数学的教学中，数形结合思想被广泛地应用。
本文将从初中数学的各个章节对其应用进行探讨。
1. 直线与圆在初中数学的直线与圆章节中，学生需要掌握直线与圆之间的基本关系，如切线、割线等，并学习如何运用这些关系解决问题。
数形结合思想在这一章节的应用体现在，通过将直线与圆相互结合，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而帮助学生更好地理解题意和解决问题。
例如，解决“过圆O外一点P作切线，过点P作另一条直线割圆于A、B两点，连接OP 并延长交圆于C点，求证：∠OAC=∠OBC”的问题时，我们可以通过画图，在圆上标出切线和割线，将几何图形与数学概念相互联系来解决问题。
2. 三角函数在初中数学的三角函数章节中，学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和运用。
例如，在解决“证明：sin2A+cos2A=1”的问题时，我们可以画出一个以A为顶点的直角三角形，将正弦、余弦与三角形的边相互对应，从而帮助学生理解三角函数的定义和性质。
3. 平面向量例如，在解决“ABCD为平行四边形，设向量AB=a，向量AD=b，求向量AC的坐标表示”的问题时，我们可以画出平行四边形ABCD的几何图形，并通过图形将向量的定义和运算法则转化为数学表示式。
4. 二次函数例如，在解决“已知二次函数y=x²+px+q的图像过点(1，3)，且在x轴上的零点为-2和3，求p、q”的问题时，我们可以通过画出二次函数的图像，并通过图像求出零点和顶点，进而求出p、q的值。
结语数形结合思想在初中数学的教学中具有重要的应用价值，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力和思维能力。
教师在教学中应该注重将数学概念与几何图形相互联系，设计具体、形象的教学案例，引导学生积极思考、用图解题，从而达到提高教学质量和学生学习水平的目的。
数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用
数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用1. 引言1.1 概述数形结合思想方法是一种通过将数学与几何图形相结合的方式来解决数学问题的方法。
在高中数学教学与解题中，数形结合思想方法被广泛运用，对学生的数学思维能力和解题能力有着显著的提升作用。
本文将从理论基础、教学应用、解题实际操作、优势局限性和案例分析等方面对数形结合思想方法进行详细介绍和分析，旨在探讨这种方法在高中数学教学和解题中的实际应用效果及其潜在局限性。
通过对数形结合思想方法的深入研究，可以为未来数学教学和研究提供新的思路和方法，促进学生对数学的深入理解和应用能力的提高。
【概述】1.2 研究背景随着科技的不断发展和社会的快速进步，教育也在不断改革和创新。
高中数学作为学生必修科目之一，承担着培养学生逻辑思维能力和数学素养的重要使命。
在传统的数学教学中，很多学生常常感到枯燥和无趣，难以理解和掌握抽象的概念和定理。
有必要寻找一种更加生动、直观且实用的教学方法来激发学生学习数学的兴趣和动力。
1.3 研究意义数范围等。
【研究意义】内容如下：研究数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用具有重要的实际意义。
数学教学是培养学生逻辑思维能力和问题解决能力的重要途径，而数形结合思想方法能够帮助学生更好地理解数学知识，提高他们的数学学习兴趣和学习效果。
数形结合思想方法在解题中的应用能够帮助学生更加深入地理解问题的本质，提高他们的问题解决能力和创新思维水平。
研究数形结合思想方法的优势和局限性，有助于教师更好地指导学生应用该方法解决问题，并且能够帮助教育部门和相关机构调整和改进数学教学计划，推动数学教育的发展和进步。
深入研究数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用，对于提高我国数学教育质量，培养优秀数学人才，具有重要的现实意义和战略意义。
2. 正文2.1 数形结合思想方法的理论基础数,具体格式等。
数形结合思想方法的理论基础主要包括几何与代数的融合和数学建模的理论支持。
数形结合在解题中的应用(毕业论文)
数形结合在解题中的应用摘要：数形结合思想是一种非常重要的数学解题方法，是数学学习普遍适用的方法，把知识的学习、能力的提升和智力的发展有效结合.形与数常常结合在一起，在内容上相互联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化.本文在概述数形结合思想的基础上，分析了数形结合在中学数学解题中的应用，主要体现在处理集合问题、方程根的存在性问题、不等式问题、三角函数问题、求极值问题、线性规划问题和复数问题等，并针对解决不同类型的数学题目给出了详细的例题分析，最终给出了在培养学生利用数形结合思想时需注意的问题，以激发学生的学习兴趣，提高学生的解题能力和思维能力.关键词：数形结合；集合；方程；极值The combination of number and shape in the problem solving application（Mathematics and statistics of Jishou University College，Jishou Hunan 416000）Abstract: The number shape union thinking is a very important mathematical method of solving problems, is a generally applicable method of mathematics learning, to enhance the development of effective combination of intelligence and knowledge learning, ability. Form and number often together, communicate with each other in the content, permeate each other in method, transform each other under certain conditions. In this paper, based on the number and shape of thought, analysis the number shape union application in middle school mathematics, mainly set problem, in dealing with the existence of root of an equation,inequality, triangle function extremum problems, problems, linear programming problems and complex problems, and to solve different types of mathematics the title gives a detailed analysis of the example, the need to pay attention to combine ideas in training students to use number shape when the problem is given, to stimulate students' interest in learning, improve student's problem solving ability and thinking ability.Key words: The combination of number and shape,set, equation, extreme1引言我们学习数学，不仅仅是数的计算和形的研究，还有着数学思想和数学方法.好的数学思想能够引导学生使用正确的数学方法，从而准确、快速地解决数学问题，增强学生学习数学的兴趣.数形结合既是一种思想，也是一种方法.它的本质就是抽象思维与形象思维的结合，以“形”助“数”，或以“数”助“形”，使复杂问题简单化，使抽象问题直观化.所以，本文在概况数形结合思想方法的基础上，详细分析了数形结合在中学数学解题中的应用，并主要从下面几个方面进行了讨论：集合问题、方程根的存在性问题、不等式问题、三角函数问题、求极值问题、线性规划问题和复数问题等，而且还给出了各种类型对应的实际例题及其详细的求解过程.2数形结合思想方法概述主要概述数形结合的思想方法，并在此的基础上介绍数形结合思想的价值，为后面的内容“数形结合在中学数学解题中的应用”做铺垫.2.1 数形结合的思想方法中学数学研究的对象是现实世界的数量关系（数）和空间形式（形），数是数量关系的体现，而形则是空间形式的体现.数形结合思想就是通过“数”与”形”相结合来解决题目，在中学解题中有着广泛的应用，通过这个方法，我们常常能很容易的解决问题.2.2 数形结合思想的价值数形结合这种思维方法的运用，有助于我们解决中学许多数学问题，同时加深我们对数学问题本质的认识，使数学更具有创造性.数形结合在中学数学解题的整个过程中发挥着重要的作用.它有下面这些优点：第一，在解决相关的题目时，数形结合方法在思路上比较灵活，过程上很简便，方法上多样化；第二，数形结合思想方法为我们提供了很多种解决问题的道路，使我们解决问题更加灵活，也具有创造性；第三，数形结合丰富的思想内涵，能是引起大家的联想，启迪同学们的思维，拓宽解题的思路；第四，数形结合思想能提高学生数形转化能力，提高学生迁移思维的能力.3数形结合在中学数学解题中的应用接来下我主要讲述数形结合在解决集合、不等式、方程、三角函数、极值、线性规划和复数问题中的应用，并且给出了例题及详细解答过程，说明了数形结合在中学数学解题中应用非常广泛，是一种重要的解题方法.3.1 利用数形结合解决集合问题在中学数学中，集合问题是一类比较简单的题目，我们常常可以借助韦恩图或者数轴来解决这些问题，它的关键是怎么样准确将集合问题转化为图形.3.1．1利用韦恩图解决集合题目例1 有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？分析我们可用圆、、分别表示参加数理化小组的人数（如图1），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数.解用表示集合的元素，则有：即:所以：答：即同时参加数理化小组的有1人.图1例2 例若集合且,,试求与.分析利用韦恩图把元素放入相应位置，从而写出所求集合.解如图2，我们可得：.图23.1.2 利用数轴来解决集合问题例3 已知，.（1）若,求的取值范围；（2）若,求的取值范围.分析在数轴上标出集合、所含的元素的范围，利用、的位置关系确定参数的取值范围.解（1），利用数轴得到满足的不等式组，如图三，所以实数的取值范围是.图3（2）由知，利用数轴得到满足的不等式，，或，所以实数的取值范围是.图4从上面三个实际的例题可以看出，合理、灵活、巧妙地运用数形结合来解题，可以将复杂问题简单化，化难为易，有事半功倍之效.所以，平时应该注意培养数形结合思想.3.2利用数形结合解决方程问题数形集合思想在方程的题目中经常用到，尤其是含有一次式、二次式、对数式和指数式方程，下面就是几种常见的题型中用到了数形结合.3.2.1 数形结合在含有一次、二次式的方程中的应用下面两个例题将把方程进行变换再求解，再根据相对应图形的性质来解答，这样可以加深我们对基本概念的理解，加强对基本知识与基本技能的灵活运用.例4[5] 当时，关于的方程的解的个数是多少？图5函数图像分析这道题原方程中包含有绝对值运算符号，我们直接求解比较困难，所以，我们能想到求方程解的个数等价于就其相对应函数图形的交点.解由于则令和如图5示我们把函数和的图像画出来其交点个数就是我们方程所以求得的解的个数即原方程解的个数是三个例5 当取何值时，方程有唯一解？有两解？无解？分析用换元法，令，再转化为求解二次函数与一次函数的交点的个数问题.O图6解原方程即令.则有,再令及.则方程解的个数等于直线与抛物线的交点的个数由图6可知当或时，原方程有唯一解；当时，原方程有两个不同的实数解；当或时，原方程无解.3.2.2数形结合在含对数、指数的方程的应用由于对数式、指数式形式比较特殊，所以在解决一些含对数、指数方程时，我们时常可以根据它们性质画图来解.例6.. 1个. 2个. 3个. 1个或2个或3个解出两个函数图象，由图7易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根,选（）.图7例7 方程lgx+x=3的解所在区间为（）．(0，1)．(1，2)．(2，3)．(3，+∞)分析我们可以把原方程拆分成函数与，求原方程解所在的区间也就是求这2个函数的交点所在区间.y=-x+3y=lgx图8解如图8所示，函数y=lgx与y=-x+3它们图像交点的横坐标显然在区间(1，3)内，由此可排除，至于选还是选，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较与2的大小．当x=2时 lgx=lg2 3-x=1．由于lg2＜1因此＞2 从而判定∈(2，3)，故本题应选在上面四个例题中，我们可以知道利用数和形的各自优势，往往能使我们尽快地找到解题途径或简化解题过程，给解题带来极大的方便.3.3 数形结合在求不等式问题中的应用不等式在中学数学有着重要地位，而不等式的证明又是个难题，它的题型广泛、灵活.下面我将从运用代数式的几何意义或借助函数的图象构造几何图形入手，利用数形结合的思想来巧妙地求解不等式问题.3.3．1 构造适当的平面图形，利用三角形三边的关系来证明不等式我将举常见的两个证明题，并且给出详细解答步骤，来说明不等式和数形结合思想的巧妙结合.例8 已知实数，请证明如下不等式成立.分析：我们可以构造一个四边形，在利用勾股定理来解.证明：如图9所示，作以,为上、下底，为高的直角梯形，在图中有.图9 直角梯形BCDE则根据勾股定理有又因为，则有如下不等式的成立对上述不等式的两边平方可得到即原不等式成立得到证明.例9 已知都是正数，且，求证：.分析要从不等式的结构上观察，可以联想到三角形相似比的问题，因此我们可以构造图形来进行证明.证明如右图10所示，构造一个直角三角形，在边上取一点，并且使得，过点作，垂足为令.由于即图103.3.2 构造适当的函数，利用函数图象性质证明不等式。
高中数学中数形结合思想在函数解题中的运用
高中数学中数形结合思想在函数解题中的运用（一）数形结合在求函数定义域方面的应用例1：求函数y =的定义域. 解析：若要解决该函数的定义域，则有23200x x x ⎧-+≥⎨≠⎩，要解决此类不等式的解集， 需要借助图像，如右图：由图像可以看出，若要2320x x -+≥，只需1,x ≤或2x ≥，再由0x ≠，得出该函数的定义域即为：()(][),00,12,-∞+∞. 小结：随着学生做题熟练程度的增强，二次不等式的求解已不用再画图。
因此在求函数定义域方面，多见于画数轴选择出取值范围。
（二）数形结合在求函数值域方面的应用例2：求函数(]223,1,2y x x x =--∈-的值域. 解析：看到所求函数为二次函数，由于函数是非单调的，所以并不能代端点值去求出值域，因此需要借助图像来观察，如右图：借助图像的直观表达可知道，具有区间范围的该二次函数的图像应为黄色区域部分，此函数的最小值是在对称轴处取得，即当1x =时，4y =-。
从而该函数的值域为：(]0,4-。
小结：对于此类问题是学生的常见出错点，学生们习惯于直接带入端点值得出其值域，因此对于给定区间上的二次函数值域问题，培养学生数形结合的思想是非常重要的。
（三）数形结合在函数单调性方面的应用例3：已知2()2(1)2f x x a x =+-+在(],4-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。
解析：函数解析式中含有字母，因此函数在坐标系内的具体位置不能固定，需要画图分析，看何种情况才能满足题干要求：通过图像分析可知：若要满足函数在给定区间上为单调函数，只能是后两种情况，也就是函数图像的对称轴不能出现在所给区间内，从而解题找到突破口。
所给函数对称轴方程：1x a =- ,由图像分析可知，需有a 14-≥，从而a 5≥。
小结：该类问题常见于二次函数中，因其单调性与对称轴的位置有关，故通常画图分析更能直观得出题目所需情况，从而快速得出结论。
（四）数形结合在函数奇偶性方面的应用例4：已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.试求当0x <时，函数()f x 的解析式。
数形结合思想在解题中的应用
数形结合思想在解题中的应用2012年秋季学期，广西将进入高中新课程改革，新课程理念逐渐深入人心；学习新理念，转变旧观念正成为高中教师重要的课题.数学课程改革的重心是发展学生的广泛的数学能力，注重数学思想、方法的教学渗透,培养学生形成良好的数学素质.数形结合是高中数学中重要的思想方法，通过数形结合可沟通数与形的内在联系，把代数语言的精确刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能使高中数学中许多复杂问题迎刃而解，收到事半功倍的效果.【例1】解不等式x+2＞x.解法一：原不等式可化为x≥0x+2≥0x+2≥x2或x＜0x+2≥0，解得0≤x＜2或-2≤x＜0，∴原不等式的解集为{x|-2≤x＜2}.解法二：设y1=x+2,y2=x,在同一坐标系中作出这两个函数的图象（如图1），则不等式x+2＞x的解就是y1=x+2的图象在y2=x的上方的那一段对应的横坐标，即不等式的解集为{x|xa≤x＜xb}，其中xa=-2，解方程x+2=x得xb=2.∴原不等式的解集为{x|-2≤x＜2}.评析：比较上述两种解法，可以看到用图形直观地反映数量关系，解决问题简洁明了.【例2】设f(x)=x2-2ax+2-a，当x∈［-1,+∞］时，f(x)＞a恒成立，求实数a的取值范围.解法一：f(x)＞a在x∈［-1,+∞)上恒成立等价于x2-2ax+2-a ＞0在x∈［-1,+∞)上恒成立.设函数g(x)=x2-2ax+2-a，其图象在x∈［-1,+∞)时位于x轴上方有两种情况（如图2、图3所示）.(1)δ=4a2-4(2-a)＜0,解得-2＜a＜1；(2)δ=4a2-(2-a）≥0a＜-1g(-1)=a+3＞0，解得-3＜a≤-2.故实数a的取值范围是(-3,1).解法二：由f(x)＞a得x2+2＞a(2x+1)，设h(x)=x2+2，t(x)=a(2x+1),在同一坐标系中这两个函数的图象如图4所示，直线l1与抛物线相切，的对应值为1，直线l2经过点(- 12,0) 和点（-1，3），a的对应值为-3，符合题意的直线t(x)=a(2x+1)恒过点(-12,0)且位于l1与l2之间，故实数a的取值范围是(-3,1).图5【例3】已知：椭圆x29+y24=1 与抛物线y=x2+m有四个不同的交点，求实数m的取值范围.错解：在同一坐标系中作出椭圆和抛物线的图象（如图5），根据图象可得：m＜-2-m＜3，解得-9＜m＜-2.评析：图形的直观性给解决问题提供了很大的帮助，但离开了严格的数学推理，往往受图形直观错觉的影响得出错误的结论.图6正解：联立椭圆和抛物线的方程，得x29+y24 =1y=x2+m ，消去y,整理得9x4+(18m+4)x2+9m2-36=0，令t=x2,得9t2+(18m+4)t+9m2-36=0.设f(t)=9t2+(18m+4)t+9m2-36，根据题意知方程f(t)=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根（如图6），即得δ=(18m+4)2-36(9m2-36)＞0，-18m+418 ＞0，f(0)=9m2-36＞0解得-829＜m＜-2 .评析：这是一个关于图形交点的问题，求解过程却是从分析方程的根的情况入手，而在讨论方程f(t)=0在(0,+∞)上有两个不相等的实数根时，又需要利用二次函数的图象特征，这样数和形的密切结合、相互补充，使问题得到了圆满的解决.(责任编辑黄春香）。
数形结合思想在解题中的应用
数形结合思想在解题中的应用摘要：数形结合的解题思路在高中数学教学过程中占据着非常重要的地位，即使在高考时，数形结合思想的运用也是非常普遍的。
在利用数形结合思想来解决数学问题的过程中，必须认识到这一解题思想的灵魂，就是对数学知识有最基本的认知和掌握，只有熟练地运用各种数学知识、概念、公式，才有可能更好地应用数形结合的思想解决数学问题。
关键词：数形结合；高考解题；抽象概念；数学公式一、绪言新课标的背景之下，数形结合的解题思路运用非常广泛，这主要是由于这种解题方法可以将一些非常抽象的数学问题用一种生动直观的方式呈现，变抽象为形象，辅助高中生非常直观地把握数学问题的本质。
这种解题方法不仅可以调动学生学习数学的积极性，提高他们的思维能力，而且还可以使复杂的解题过程变得更为简单，减少解题过程中不必要的运算量，避免不必要的运算失误。
二、数形结合的概念以及解决问题的对象数形结合，简单地说，就是通过对数学问题的内在层次与结构进行分析，理清各个条件与结论之间的内在联系，不仅分析它的代数含义，还能指出它的几何意义，将数学问题的各种关系以及空间形式有效地结合起来，并充分地利用这种结合，找出解决问题的思路和方向，从而使问题得到顺利解决。
它的本质在于将抽象的数学语言和直观形象的图形有效地结合起来，特别是一些代数问题和形象的图表结合起来，将代数问题几何化，将抽象问题形象化。
数形结合思想在高中数学解题中的应用非常广泛，譬如说在处理函数问题的过程当中，建立有效的函数模型，结合函数的图像，求出参数的取值范围，当然也可以在这个过程之中分析方程根的有效范围，以及各量与量之间的有效关系。
除了函数问题之外，数形结合思想还可以将代数问题有效的几何化，建立几何模型，分析问题的本质，从而解决问题。
当然，也可以分析出几何问题中的斜率、截距，研究出最大最小值；最后，数形结合的思维方式还可以有效地研究图形的形状以及位置关系等，分析出图形之间的内在联系，并求出答案。
49.数形结合思想在解题中的应用(王景超)
解析： 已 知 可 联 想 到 长 方 体 的 对 角 线 与 过 同 一 由
点的三条棱所成的角 的关 系． ， ， ａ （ ７可 以看做是长方 ３
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成功是寻海人经过长途跋 涉后 看到 大海时的那份欣喜 。 — 贵州盘县第二 中学高三（ｏ 班 ｌ） 陈 刚
中 举 生 数 理 化
解 析 ： Ｆ（ ） （ ）． （ ） 由 已知 得 Ｆ（ ） 征 ： 设 二 －ｆ 二 ｇ 二 ， 二特 ０ 二 是 奇 函 数 ； １Ｆ（ ） ② 当 二 时 ， ｘ ＞０所 以 二 时 ， （ ） ＜０ 尸＜ ） ， ＜。 Ｆ 二 为增 函数 ； ③ （ ） ｆ 一３ ｇ 一３ 二０ Ｆ 一３ ＝ （ ）・ （ ） 二Ｆ（ ） ３． 根 据 ＦＣ ） ｘ 的性 质 大 致 画 出 Ｆ（ ） 图 象 ， 图 ４ 观 察 二 的 如 ． 一３Ｕ ３ 故选 Ｄ （ ） ０ ・ 知 不 等 式 Ｆ（ ） Ｏ的 解 集 是 （ ｘＧ 一二 ， ） ， ，
数形结合思想在解题中的应用
数形结合思想在解题中的应用（一）教学目标：1．利用图形来处理方程及函数问题和不等式问题，求函数的值域，最值等问题时能运用数形结合思想，避免复杂的计算与推理，在解题时能提高效率。
2．增养学生问题转化的意识。
重点：“以形助数”，培养学生在解题过程中运用数形结合的意识。
难点：问题的转化。
利用多媒体形象地展示图形在解题中的应用，克服解题中的困难.数形结合作为一种重要的数学思想，历年来一直是高考考查的重点之一.这种思想体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决.本节课着重研究在函数与不等式问题中，在求函数的值域、最值问题时，运用数形结合的思想，使某些问题直观化、生动化、能够变抽象思维为形象思维，达到发现解题途径，避免复杂的计算和推理，简化解题过程的目的。
一、基础训练：1．方程lgx = sinx 的实根的个数为 [ ] A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个解：画出y = lgx 和y = sinx 在同一坐标系中的图象，两图象有3个交点，选C.2．函数y = a |x|与y = x + a 的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是[ ] A ．(1，+∞)B ．(- 1，1)C ．(- ∞，- 1]∪[1，+∞)D ．(- ∞，- 1)∪(1，+∞)解：画出y = a |x|与y = x + a 的图象，两图象有两个交点的情形如下：情形1：⎩⎨⎧a > 0a > 1 => a > 1 情形2：⎩⎨⎧a < 0a < - 1 => a < - 1 选D3．不等式x + 2 > x 的解集是______________. 解法一：（常规解法）教师：杨如钢2007-4-23原不等式等价于（Ⅰ）⎩⎪⎨⎪⎧x ≥ 0x + 2≥0x + 2 > x2，或（Ⅱ）⎩⎨⎧x < 0x + 2≥0，解（Ⅰ）得0≤x < 2；解（Ⅱ）得- 2≤x < 0.综上可知，原不等式的解集为{x|- 2≤x < 0}∪{x|0≤x < 2}= {x|- 2≤x < 2} 解法二：（数形结合解法） 令y 1 = x + 2，y 2 = x ，则不等式x + 2 > x 的解就对应于：函数y 1 = x + 2的图象在y 2 = x 上方的图象的部分在x 轴上的射影.如图，不等式的解集为{x|x A < x < x B }，由x + 2 = x 得x B = 2，而x A = - 2，∴不等式的解集是{x| - 2≤x < 2}.变题：不等式x + 2 > kx 的解集为M ，且M ⊆{x| - 2≤x < 2}，则k ∈____________. 答案：[1，+∞）4．函数y = sinx + 2cosx - 2的值域为_______________.解法一：（代数法）由y =sinx + 2cosx - 2得ycosx – 2y = sinx + 2，∴sinx – ycosx = - 2y – 2，∴y 2 + 1sin(x + φ) = - 2y – 2， ∴sin(x + φ) = - 2y – 2y 2 + 1，而|sin(x + φ)|≤1， ∴|- 2y – 2y 2 + 1|≤1，解不等式得- 4 - 73≤y ≤- 4 + 73，∴函数的值域为[- 4 - 73，- 4 + 73].解法二（几何法）：y = sinx + 2cosx - 2的形式类似于斜率公式k = y 2 - y 1x 2 - x 1，∴y =sinx + 2cosx - 2表示过两点P 0(2，- 2)及P(cosx ，sinx)的直线的斜率，由于点P 在单位圆x 2 + y 2 = 1上（如图），显然A P k 0≤y ≤B p k 0，设过P 0的圆的切线方程为y + 2 = k(x – 2)， 则有|2k + 2|k 2 + 1= 1，解得k = - 4±73，即A P k 0=- 4 - 73，B p k 0= - 4 + 73∴- 4 - 73≤y ≤- 4 + 73，∴函数的值域为[- 4 - 73，- 4 + 73]5．过圆M ：(x -1)2＋(y -1)2=1外一点P 向此圆作两条切线，当这两切线互相垂直时，动点P 的轨迹方程是_____________．解：如图，设切点为A 、B ，连结MA 、MB 、PM ，则MA ⊥AP ，MB ⊥PB ，又AP ⊥PB ，且|PA|=|PB|，那么MBPA 是正方形，从而|PM| = 2|MA| = 2.设动点P(x ，y)，则(x －1)2+(y-1)2=2，这就是所求的轨迹方程． 二、例题：例1．若关于x 的方程x 2 + 2kx + 3k = 0的两根都在-1和3之间，求k 的取值范围. 解：解法一：令f (x) = x 2 + 2kx + 3k ，其图象与x 轴交点的横坐标就是方程f (x) = 0的解，由y = f(x)的图象可知，要使两根都在-1和3之间，只需⎩⎨⎧f (-1) > 0f (3) > 0- 1 < - k < 34k 2- 12k ≥0，∴k ∈(- 1，0].解法二：设函数f (x) = x 2，g(x) = -2k(x +32)，问题转化为两函数图象的两个交点的横坐标必须在- 1和3之间.画出两函数图象（如图），而PA 、PB 的斜率相等，都是2，∴0≤- 2k < 2，即k ∈(- 1，0] 例2．定圆C ：(x – 3) 2 + (y – 3) 2 = (52) 2上有动点P ，它关于定点A(7，0)的对称点为Q ，点P 绕圆心C 依逆时针方向旋转120°后到达点R ，求线段RQ 长度的最大值和最小值．[分析]本题一般解法是，设点P(3 + 52cosα，2 + 52sinα)，然后求出点Q 、R 的坐标，最后用两点间距离公式，求出|RQ|的最值．但这种解法运算量较大，还易出错．观察图，在△PRQ 中，欲求|RQ|，因A 是PQ 的中点，易想起三角形的中位线. 解： 取PR 的中点B ，连结BA ，则|RQ|=2|AB|．又B 是弦RP 的中点，连CB ，则CB ⊥RP ，∠BCP = 12∠PCR = 60°，∴|BC| = 12|CP| = 54.∴点B 的轨迹是以C 为圆心，54为半径的圆.这时求|QR|的最值，转化为求点A 与所作圆上点的距离的最值．过C 、A 作直线，交所作圆于B 1、B 2两点，则由平面几何知，|AB|的最大值为|AB 2| = |AC| + |CB 2| = (7 - 3) 2 + (0 - 3) 2 + 54 = 254，|AB|的最小值为|AB 1| =|AC| - |CB 1| = 5 - 54 = 154.故|QR|的最大值、最小值分别是252和152.例3. 求函数u = 2t + 4 + 6 - t 的最值.[分析]由于等式右端根号内同为t 的一次式，故作简单换元，设2t + 4 = m ，无法转化为一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。
浅谈数形结合在解题中的应用
浅谈数形结合在解题中的应用数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，通过在一定条件下的相互转化，使数量关系与空间形式和谐地结合起来，并在解题实践中降低难度，起到解题利器的作用。
数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”、“以数解形”、“数形转换”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致可分为三种情形：一是借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；二是借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即“以形助数”；三是充分的分析问题图形与数量关系，使它们互为补充，化抽象为直观，化难为易，即“数形转换”。
下面，就这三个问题来谈谈数形结合在解题中的应用：一、借助于数的精确性来阐明形的某些属性一些几何问题，如果运用数与形结合的观点去考虑形向数转化，即用代数、三角、解析几何的方法去解决，解题方法变得容易寻找。
这是因为某些几何问题，虽然图形较直观，但其已知条件和结论之间相距甚远，解题途径不易找到。
特别是需要添加辅助线才能解决的那些问题。
例1、已知：平行四边形ABCD求证：证明：如图，，,即，点评：用向量的代数方法解决平面几何问题，使问题迎刃而解，避开了繁难的几何思维问题。
二、借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系根据题意正确绘制相应图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，通过图形中某些元素的具体意义来求得数量关系。
例2、求不等式（1）x2-x-2＞0（2）x2-x-2＜0的解集。
分析：对于（1），用代数解法是按以下程序由x2-x-2＞0得(x+1)(x-2)＞0或或x＞0。
的解集为：x|x＜-1或x＞2 ，虽然解集被求出，但解题结论规律性并不强，不能方便学生快捷的得出解集。
数形结合思想在解题中的运用
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解析： （ １ ， ＋ ｏ 。 ） 。 瓜ｇ （ ） ： ， （ Ｄ０ 且ｎ ≠ ０ ） ， （ ） ＝ 则 圆 心 Ｄ到 直 线 Ｙ：
＋ 口 ， 分Ｏ ＜ 口 ＜ １ ， １ 两种情况 ， 在 同一坐标系 中画 出两
个函数的图像， 如图， 若函数 ） ＝ 一 。 有两个不同
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＝——１ Ｔ０
２ ３
像， 且 图像 的最高点 为Ｓ （ ３ ， ２ 、 ／ 了） ； 赛 道 的后 一部 分 为折线段ＭＮ Ｐ ，为保证参赛运动员 的安全 ，限定 ／ ＿ Ｍ Ｎ Ｐ ＝ １ ２ ０ 。 。求Ａ， 的值和Ｍ， Ｐ 两点间的距离 。
点评 ： 本题主要 考查 圆的参数方程 ， 点 到直线 的 距离 ， 倾斜角及数形结合思想 。
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技 法 点 拨
数形结合思想在解题中白 Ｉ ） 运用
一 ～ Ｑ 一 ■ 曾雪萍
解析： Ａ： ２ Ｖ＇ － ３ － ， ｃ Ｅ Ｊ ： ， ＭＰ ＝ ５ 。依题 意 ， 有Ａ：
数形结合思想在 解题 过程 中应 用十分广 泛 ， 如 在解方程 ， 求三 角函数 、 几何 的斜率 、 距离 等 问题 中 都有充分体现。运用数形结合思想解题 ， 不仅直观 ， 易于寻找解题 途径 ， 而且能避 免复杂 的计算和推理 。 在近年来的高考题 中 ， 数形结合思想在选择题 、 填空 题、 大题 中均有 出现。复习时要 以熟练技能 、 方法 为 目标。 现通过高考真题 ， 强化数形结合这一重要 思想
Байду номын сангаас
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３ Ｌ Ａ Ｄ ＝ Ｂ Ｄ， 因此有 删
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点评 ： 本题 考查函数零点 的概 念 ， 指数 函数 、 一 次函数的基础知识 ， 考查 等价转化 、 数形结合 的思想 方法等。
例谈数形结合在初中数学解题中的应用
例谈数形结合在初中数学解题中的应用数形结合是数学中一种重要的解题方法，尤其在初中数学中的应用更为广泛。
数形结合通过将数学问题与几何图形相结合，可以帮助学生更好地理解和解决问题。
下面就以几个具体的例题来说明数形结合在初中数学解题中的应用。
例题一：设正方形ABCD的面积为16平方厘米，点E是边AB的中点，连接DE交BC于点F。
如果BE的长度为2厘米，求△DEF的面积。
解析：首先根据题目中给出的信息，我们可以画出如下的图形：```A------F-------------B| || || |D------E-------------```根据平行四边形面积公式，△DEB的面积可以通过三角形的底边DE和高EB来计算，即：△DEB = 1/2 × DE × EB = 1/2 × 4 × 2 = 4平方厘米。
所以，△DEF的面积等于△DEB的面积的一半，即：△DEF = 1/2 × 4 = 2平方厘米。
△DEF的面积为2平方厘米。
通过这个例题，我们可以看到，数形结合的方法可以帮助我们更好地理解问题，并且能够直观地画出图形，从而更好地解决问题。
例题二：已知折线ABCDE是一个凸五边形，AB=BC=CD，∠BCD=108°，连接AC，求∠ABC 的度数。
解析：我们可以通过解题思路问自己：如果折线ABCDE是一个凸五边形，那么角ABC、角BCD、角CDE、角EDA的度数分别是多少？由于AB=BC=CD，所以∠ABC=∠CD E。
又因为折线ABCDE是一个凸五边形，所以∠BCD < 180°。
已知∠BCD=108°，所以∠BCD< 180°。
根据凸五边形内角和公式，我们可以得到：∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠EDA+∠DAB=360°。
将已知条件代入，即可得到：2∠ABC+2×108°=360°。
数形结合方法在解题中的应用
数形结合方法在解题中的应用作者：刘淑娟来源：《数理化学习·初中版》2013年第08期数形结合思想是指把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法.主要包含“以形助数”和“以数助形”两个方面.其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明“数”之间的联系，即以形作为手段，数作为目的；二是借助于“数”的精确性和规范严密性来阐明“形”的某些属性，即以“数”作为手段，“形”作为目的.纵观多年来的中考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，下面结合几个例题作一阐述.例1如图1，抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0）两点，则一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根是.分析：解答这个问题可以有两种方法.方法1：把A（-1，0），B（3，0）两点代入y=x2+bx+c中，得到关于b，c的方程组，求出b，c的值，再解一元二次方程x2+bx+c=0.从而解答问题.方法2：借助二次函数y=x2+bx+c的图象，利用一元二次方程x2+bx+c=0与二次函数y=x2+bx+c的关系来解答问题.一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根就是抛物线y=x2+bx+c 与x轴的两个交点A（-1，0），B（3，0）的横坐标，所以方程的两个实数根分别是-1，3.点评：做这个题时若用方法1，必须有较强的计算能力（如必须能准确求出关于b，c的方程组的解），否则不能正确解答问题.若想到用方法2解答会既简单又准确.图2图3例2用铝合金型材做一个形状如图2所示的矩形窗框，设窗框的一边为x m，窗户的透光面积为y m2，y与x的函数图象如图3所示.（1）观察图象，当x为何值时，窗户透光面积最大？（2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？分析：对于第（2）问的解答，也有两种不同的解答方法.方法1：观察图象可以得出图象经过三个点：（0，0），（2，0），顶点（1，1.5），先求出抛物线的解析式，再求出函数的最大值.方法2：由图象知当x=1时，y最大，即透光面积最大；最大面积为1.5，根据图形是矩形，由面积公式求出另一边为1.5米.图4例3二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图4所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）（A） k-3（C） k3图5分析：这道题中方程|ax2+bx+c|=k含有绝对值，去绝对值后再根据根的判别式去求k 的取值范围，显然比较复杂，并且学生也不会分情况去绝对值.而先根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，根据图象求出|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围，会比较清晰简单.解：根据题意得：因为当ax2+bx+c≥0，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，所以此时y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c，所以此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方部分的图象，因为当ax2+bx+c3，故选（D）.点评：本题解题的关键是根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，根据图象得出k的取值范围.引导学生学会解答问题的同时领悟隐含于问题中的数学思想方法，这样在遇到同类问题时才能轻松解决.而数形结合思想方法就是一种重要的数学思想和一把解题利剑，所以，我们要引导学生学会并运用这种思想方法解决问题.。
数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用
数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用作者：许童来源：《中学课程辅导·教学研究》2020年第17期摘要：数形结合是高中数学的重要思想之一，在教学与解题方面发挥着巨大的作用。
数形结合能够辅助教师讲解概念，化抽象为具体，还能帮助学生解题，提高他们的思维能力。
其中主要运用在函数、空间立体几何、方程等方面。
在解答这类问题时结合图形，能达到事半功倍的效果。
但是，在利用此方法的时候，还要注意规范作图，保证图形简洁明了，在恰当的时候作图等，否则可能出现不必要的错误。
关键词：数形结合；高中数学教学；解题中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）09-0173随着高考竞争越来越激烈，高中数学的课程难度也比较大，内容越学越难，题目越做越难，这使学生无法深入地理解和运用许多比较抽象的知识点。
而数形结合思想方法是解决上述问题的有效办法，教师在教学过程中使用可以帮助他们更加直观、清晰地为学生讲解相关的概念，而学生在解题的过程中使用能够省去不必要的文字说明并且提高正确率。
一、数形结合的重要性1.辅助教师讲解概念高中数学的许多概念比较晦涩难懂或者容易混淆。
通过数形结合能够帮助学生对不同的概念加以区分，而且教师的课堂效率也能得到提升。
例如，教师在讲授基本初等函数章节的时候，会分别对指数函数、对数函数、幂函数进行讲解，但是到最后学完的时候，学生容易混淆，概念掌握程度直线下降，而利用图形将三种函数集中在一个图形上，便于教师讲解三种函数的区别，也更加方便学生记忆[1]。
2.帮助学生解题面对一个问题的时候，往往有多种解题方式，其中通过图形就不失为一种好方法。
甚至有些题目用语言无法进行描述解答，反而需要画出一个相关的图形才能将其中内涵表达出来。
此外，随着题目难度的加大，数形结合的重要性也越来越体现出来，因为它具有将抽象问题化为具体问题的作用。
3.提高学生的思维能力数形结合思想作为重要的数学思想之一，对于提高学生的思维能力也有重要作用。
“数形结合”思想在解题过程中的妙用
计算 ＋Ⅲ（ １， ＿ 图 ）学生是非常容易算的 ， １ 可以直接 通分 ， 然后求出结果 。计算 １ （ ２， 图 ）难度 也不
大 ， 分 照样 能 够 解 决 问题 。但 是 如 果 运 用 数 形 结 合思 通 想 ， 生就 会发现 ， 来可 以算得更 简单 ， １ （ 学 原 即 一 空
拿 走 剩 下 的 ＿ 最 后篮 子 里 还 有 ４个 鸡 蛋 。 你 知 道原 来 １， 这 个 篮 子里 有几 个 鸡 蛋 吗 ？三 年 级 习题 ） （ 这道题 单位“ ” 量发 生变化 ， 一 次是把 ‘ 篮 ｌ的 第 整
（
用 数 形 结 合 思 想 和 有 序 思 维 的 策 略 ，能 够 使 学 生 的 思 维 “ 形 可 依 ”解 决 此 类 问题 就 显 得 轻 松 多 了 。如 教 学 有 ， 组 合 问题 时 ，有 这 样 一道 题 ：一 个 箱 子 里 放 入 ４种 不 “ 同 颜 色 的 正 方 体 ｆ 、 、 、 ） ４种 不 同 颜 色 的 球 红 白 黄 绿 和 （ 、 、 、 ）随 意 从 盒 子 里 各 拿 出 １ 球 和 １个 正 黑 橙 紫 蓝 ， 个 方 体 ， 可 能 有 多 少 种 不 同 的 拿 法 ？ ” 生 通 常 只 能 找 其 学
教 师 应 重 视 培 养 学 生 解 决 分 数 应 用 题 的 能 力 。并 以此 为 载 体 ， 力 发 展 学 生 的 数 学 思考 能 力 。但 让 学 生 凭借 着 教 师 总 结 的解 题 技 巧 去 按 图 索 骥 ，是 难 以 达 到 预 期 效 果 的 ， 应 用 数 形 结 合 思想 ， 较 好 地解 决 这 个 问题 。 而 能 如： 一篮 鸡 蛋 ， 一 次 拿 走 整 篮 鸡 蛋 的 第 二 次 叉 第 １，
高中数学数形结合思想在解题中的应用
中学数学数形结合思想在解题中的应用一、学问整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合的方法，许多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使困难问题简洁化，抽象问题详细化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与敏捷性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，奇妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是探讨“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发觉解题途径，而且能避开困难的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要留意培育这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
数形结合思想在解题中的应用--以最值问题为例
数形结合思想在解题中的应用--以最值问题为例
发布时间：2023-06-06T08:10:56.427Z 来源：《基础教育参考》2023年6月作者：邓力铖
[导读] 数形结合是高中数学解题中重要的思想之一，特别是在解决圆的综合问题时，经常将题设中所给的数量关系和图形结合起来，避免大量的代数运算.对于圆中所涉及到动点中求最值问题，大部分学生更是一筹莫展.本文从“图形”出发，结合代数关系，呈现出动点运动状态，求出最值，简化运算，让学生体会数形结合的优势.
（四川省达州市第一中学校）
中图分类号：G626.5 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128（2023）6-261-01。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
22教育版内容摘要：本文介绍了初中数学解题中的一种重要的思想方法——数形结合. 数形结合思想主要是利用了数的结构特征，绘制出同其相对应的数学图形，同时通过对图形特点及规律的运用，使数学问题得到解决，或是将图形转化为代数，无需进行推理，便将要解答的问题转变为数量关系.在数学教学中合理结合数形结合思想能够有效调动学生的积极性，让学生通过直观的视觉观察来理解数学的概念和知识，为学生解题提供一定的帮助.关键词：数形结合 初中数学 应用一、数形结合的本质和内涵：数形结合思想就是通过对数与形间关系的运用，对数学习题中的知识点及问题进行研究，从而使问题得到解决的一种方法.分析及研究数与形间的关系，学生会清晰地看到数与形之间在一定的状况之下是能实现转换的.它们之间具有一定的等量关联，能让学生更加深入地对知识进行理解，并解决相关问题.在初中数学中，数指的是方程、函数、指数等，形指的是函数图形与几何图形.学生若能把它们结合起来运用，就能使问题的解答更加容易，从而提升学生解题的能力。
二、数与形之间的转化：中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合.作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
三、数形结合思想在初中数学解题中的应用：（一）数形结合思想在数与式问题中的应用。
数形结合的教学思想可以把有理数和数轴紧密联系起来.所有的有理数都可以在数轴.上找到相对应的唯一的点，如果想要对比两个有理数的大小，就可以通过比较分析在数轴上两个有理数的位置关系来得出结果.同时，依据数轴上原点与点的位a 、b ．（图略）【分析】 由上a ，b 的位置可以得到a <b．∴a =−，ab b a −=−【解】 ()a b a +−除此以外，数形结合思想还运用于一些图形类的规律题中，比如下面这个题目.【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴______根。
浅谈数形结合在解题中的应用
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易、 化繁为简， 从而得到解决． 数学中的知识， 有的本身就可以
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点评 ： 以形 助 数 可 以 起 到 事 半
功 倍 之 效 ， 图形 一定 要 作 准 确 ． 但
・ ｍ一 １ － ３ 或 ＜ｍ￣ ０ ． 注 也 可 设 曲线 一 一 （ － ２ １ ｚ∈ （ ， ） 直 线 — ｘ ）＋ ， Ｏ ３和 ：
例谈数形结合在初中数学解题中的应用
例谈数形结合在初中数学解题中的应用数形结合是指在解决数学问题时，通过图形化表达问题，利用几何图形的性质进行问题分析和解决的方法。
数形结合在初中数学解题中的应用十分广泛，下面我们就分几个方面进行讲解。
一、初中数学中的平面几何平面几何是初中数学中的重要内容之一，其中很多知识点和概念都可以通过数形结合的方法进行更直观的理解和记忆。
比如：1.相似三角形的判定对于两个三角形，判断它们是否相似，可以通过计算它们的角度和边长比值，但也可以通过绘制它们的图形，通过观察其中的角度和边长比值是否相等来得出答案。
2.勾股定理的应用通过勾股定理，我们可以求解直角三角形的边长，而数形结合可以让我们更直观的理解勾股定理的几何意义。
图形中，斜边的平方等于两直角边平方和，也很容易理解。
3.中点定理的证明中点定理是一个非常简单而重要的定理，它的证明可以通过数形结合，绘制出一个平行四边形来完成。
在平行四边形中，对角线交点的连线恰好平分对角线，从而证明中点定理。
函数在初中数学中也是一个非常重要的概念，数形结合也可以为我们更好地理解函数的概念和性质提供帮助。
1.函数的定义函数可以看做是一种映射关系，图形中的坐标系就是一种很好的示例。
我们可以通过绘制坐标系、在坐标系中标出点、绘制函数图像等方式，帮助初学者更好地理解函数的定义。
2.函数图像的性质函数图像的性质也可以通过数形结合的方式来理解。
比如，对于一个一次函数，它的图像就是一条直线，通过观察这条直线的斜率和截距，我们就可以简单地推导出这条直线所对应的函数。
三、初中数学中的统计与概率统计与概率在初中数学中也是一项重要的内容。
这方面的问题可以用数形结合的方式解决。
1.频率分布直方图频率分布直方图是一个常用的图表来表示数据分布的情况。
通过绘制直方图，我们可以简单地看出数据的分布情况，例如是否呈现正态分布，均值与中位数是否接近等等。
2.概率树概率树可以帮助我们更直观地理解概率的计算过程。
通过绘制概率树，我们可以清楚地看出每个事件的发生概率，从而更好地计算该事件的概率。
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目录0 引言 (1)1 以“数”化“形” (1)1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (2)1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集 (3)1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题 (3)2 以“形”变“数” (4)2.1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题 (4)3 “形”“数”互变 (6)3.1 数轴在有理数化简中的应用 (6)3.2 利用三角函数图象求角度 (7)3.3 利用数形结合解决平面几何问题 (7)结论 (9)致谢 (9)参考文献提纲1 以“数”化“形”1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题2 以“形”变“数”2.1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题3 “形”“数”互变3.1 数轴在有理数化简中的应用3.2 利用三角函数图象求角度3.3 利用数形结合解决平面几何问题。
摘要：数形结合法是解决数学问题中最基本、也最常用的思想方法。
本文就中学数学中的不等式、集合、函数、解析几何等内容，举例阐述数形结合法在解题中的三点应用。
关键词：数形结合；中学数学；应用；解决问题引言做事情，如果想要事半功倍，就必须讲究方法，其实，何止事半功倍，有时方法甚至起到了决定性的作用，缺乏有效的方法，不仅谈不上效率，而且问题不能解决，事情也就根本不能成功，数形结合法对解决某些数学问题就起到了决定性的作用，如果能将数与形巧妙地结合起来，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。
我国著名的数学家华罗庚曾精辟地概括了数形结合法的内涵：数与形，本是相倚依，焉能分作两边分，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合万般好，割离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！可见，数与形存在着十分密切的联系。
其实，在中学数学中，有很多内容就是集“数”“形”于一身的良好载体，例如：函数、解析几何等等，本文试从中学数学中的有理数、不等式、集合、三角函数、函数及其图象、平面几何、解析几何内容方面，举例说明数形结合法在中学数学解题中的三点应用：（1）以“数”化“形”；（2）以“形”变“数”；（3）“形”“数”互变。
1 以“数”化“形”在中学数学中的代数内容主要是数字和文字的运算，如：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方，这些概念、法则、算律都比较抽象，运算有时很繁琐，让人难以把握。
而“形”具有形象、直观的优点，因此，在思考和解决问题时，对于某些从表面上看来与图形不相关的概念和问题，有时可以从某种特定的角度，画一个草图、图像或者示意图把这种数量问题转化为图形问题，并通过对图形的分析、推理最终解决数量问题。
1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。
例1某班举行数理化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数?思路分析：由于参加数、理、化三科竞赛人数相互交叉，不易理清参加三科竞赛的各科人数，利用韦恩图可以比较容易地分清它们的关系。
解：设参加数学、物理、化学竞赛的人构成的集合分别为A、B、C，由图知全班人数为：10+12+13+7+3+6+4=55（人）.由于叙述太长，单纯从文字语言不好理清思路，画出韦恩图，可以利用图形直观性进行计算。
1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集求一元二次不等式的解集时，只要联想到对应的二次函数的图象确定抛物线的开口方向和与x 轴的交点情况，便可直接看出解集。
例2 解不等式x 2-x-6﹥0.思路分析：我们可先联想到 对应的二次函数y= x 2-x-6的图象，从x 2-x-6=0解得x 1 =-2,x 2=3,由解知该抛物线与x 轴交点的横坐标为-2,3.当取交点两侧时，即x ﹤-2或x ﹥3时，y﹥0，即x 2-x-6﹥0，故可得不等式的解集为{ x ∣x ﹤-2 或x ﹥3}.1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题例3 求函数y=1x 2++84x -x 2+的最小值.思路分析：观察式子，可发现从代数的角度求解，难度较大，这时利用数形结合法，巧用两点间距离公式可化为：1x 2+ + 84x -x 2+=22)10()0(-+-x +22)20()2(-+-x ，令A （0,1），B （2,2），P （x ，0），则问题转化为在x 轴上求一点P ，使∣PA ∣+∣PB ∣有最小值.如图由于AB 在x 轴同侧，故取A 关于x 轴的对称点C（0，-1）,所以：（∣PA ∣+∣PB ∣）min=∣CB ∣=22)12()02(++-=13,即函数y=1x 2+ +84x -x 2+的最小值是13.通过以上三个例题可以看出利用图形来辅助数的计算使问题变得简单明了，而且能开阔思路。
对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路是：①明确题中所含的条件和所求目标；②从已知条件或结论出发，分析是否相似（相同）于已学过的图形表达式；③作出与之相适合的图形;④利用已作出的图形的性质，几何意义等，去解决问题。
2 以“形”变“数”中学数学中的几何是图文并茂的内容，但是，正如华罗庚所说：“形少数时难入微”，虽然，图形有形象、直观的特点，但在定量方面还必须借助代数的计算，不但要正确把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，把“形”正确表示成“数”的形式，再进行计算。
如平面解析几何中有关圆锥曲线问题的解决，下面举例说明。
2.1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题例4 已知点A （1,2），F 为椭圆252x +162y ＝1的右焦点，P 为椭圆上的动点，当∣PA ∣+35∣PF ∣取最小值时，求P 点的坐标.思路分析：已知e=53，而53∣PF ∣恰好是椭圆上的点到椭圆相应准线的距离。
解：∵椭圆方程为252x +162y =1，∴a=5，椭b=4,c=3. ∴ e=53.又∵A （1,2）是椭圆内部的点，圆的右准线方程为L:x=325,过点P 作PQ ⊥L 于点Q ，由椭圆的第二定义知：PQ PF=e=53，即：PQ=35∣PF ∣，∴ ∣PA ∣+35∣PF ∣=∣PA ∣+∣PQ ∣，当且仅当P 、A 、Q 三点共线时，∣PA ∣+∣PQ ∣有最小值，过A 作AA′⊥L ，AA′与椭圆的交点即为所求，显然y p =2,代入椭圆方程可求x p =233，∴当∣PA ∣+35∣PF ∣取最小值时，点P 的坐标为（235,2）. 在涉及椭圆上的点与焦点有关的距离时，一定明确椭圆的第二定义及其相应的变形式子。
例5 已知F 1、F 2为双曲线52x -42y =1的左、右焦点，P （3,1）为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则∣AP ∣+∣AF 2∣的最小值为（C ）.A 、37+4B 、37-4C 、37-25D 、37+25解析：如图，连接F 1P 交双曲线右支交于点A 0.∵∣AP ∣+∣AF 2∣=∣AP ∣+∣AF 1∣-25，∴要求∣AP ∣+∣AF 2∣的最小值，只需求∣AP ∣+∣AF 1∣的最小值.当A 落在A 0时，∣AP ∣+∣AF 1∣=∣PF 1∣最小，最小值为37.∴∣AP ∣+∣AF 2∣的最小值为37-25，即C 答案正确.本题结合定义将问题转化为求∣AP ∣+∣AF 1∣-25的最小值，问题就迎刃而解。
有关解析几何的问题，大部分都会用到解析法，解决几何问题，由于几何研究的是图形，图形的直观会帮助我们打开思路，充分利用图形的性质和几何意义，把“形”正确表示成“数”，有效地解决问题。
对于“形”变“数”这类问题，解题的基本思路是：①明确题中所给的条件和所求的目标；②分析条件和目标在图形中的意义；③将题中用到的图形用已学过的代数式表达出来；④利用相应的公式或定理计算。
3 “形”“数”互变以“数”化“形”和以“形”变“数”是数形结合的两个重要方面，而在有些问题中不仅仅是简单的以“数”变“形”或以“形”变“数”，而是需要“形”“数”互相变换，解决问题时，问题的某些数量特征往往能给人们图形方面的提示，反过来，利用图形的结构特征又给人们打开解决问题的思路。
3.1 数轴在有理数化简中的应用例 6 实数a、b、c在数轴上的点如图所示，化简：a+∣a+b∣-2c-∣b-c∣.思路分析：本题运用了数与形的结合，由实数在数轴上的对应位置，既能比较它们的大小，又能确定a+b、b-c的符号，从而去掉绝对值的符号，完成化简。
解：由数轴知b ﹤0,c ﹤0,a ﹥0,a+b ﹤0,b-c ﹤0,则a+∣a+b ∣-2c -∣b-c ∣=a-a-b-(-c)+b=0.3.2 利用三角函数图象求角度例7 已知函数y=sin(ωx+ϕ) (ω﹥0,-π≤ϕ＜π)的图象所示，则ϕ= .思路分析：结合图象求出ω，再利用f （43π）=-1，求出ϕ的表达式，通过ϕ满足的条件求出ϕ的值。
解：由函数图象知y=sin(ωx+ϕ)的周期为2（2π-43π）=25π，y 有∴ωπ2 =25π∴ω=54，当ϕ=43π时，最小值-1. ∴54×43π+ϕ=2kπ- 2π(k ∈z). ∵-π≤ϕ＜π，∴ϕ=109π. 已知三角函数值求三角函数解析式的方法：应先由三角函数的最值点，确定周期求出ω，然后根据图像上的特殊点求ϕ.3.3 利用数形结合解决平面几何问题例8 在△ABC 中，已知AB=364， cos ∠ABC=66，AC 边上的中线BD=5，求sinA 的值.解：如图所示，过A 做AH ⊥BC 交BC 于点A ，延长BD 到P 使BD=DP ，连接AP 、PC 过P 作PN ⊥BC 交BC 的延长线于N ，则HB=ABcos ∠ABC=34.AH=22HB -AB =354. BN=22PN -B P =22AH -BP =()2235452⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- =310. 而CN=HB=34，∴BC=BN-CN=2，HC=32.AC=22HC AH +=3212. 又由题意知sin ∠ABC=ABC ∠-2cos 1 =630. 由正弦定理得A sin 2=6303212=1470. ∴sinA=1470. 例9 如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ,∠EOD=40°，则∠DCF 等于（D ）.A 、80°B 、50°C 、40°D 、20°解析：G 是EF 的中点，且CD 为直径，则D 为EF 的中点，所以，则∠EOD=2∠DCF，即∠DCF=21∠EOD=21×40°=20°，∴D 答案正确.此题综合应用了垂径定理及圆心角与圆周角的关系，在解决有关圆的问题时，每一个题的分析与思考必须联系图形建立直观可见的形象，这样才能快速准确地解决问题。