《概率论与数理统计》习题三答案

《概率论与数理统计》习题及答案

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示

三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和

Y 的联合分布律.

【解】X 和Y 的联合分布律如表：

222⨯⨯222

⨯⨯

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律.

【解】X 和Y 的联合分布律如表：

324

C 35= 32

4

C 35

= 322

4

C 35= 322

4

C 35=32

4

C 35

= 322

4

C

35

=

324

C 35

=

3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为

F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤

≤≤≤.,

020,20,sin sin 其他ππy x y x

求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧≤<≤<36

,40πππy x 内的概

率.

【解】如图πππ{0,}(3.2)463

P X Y <≤<≤公式

ππππππ

(,)(,)(0,)(0,)434636

F F F F --+

ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 434636

1).=--+=

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度

f （x ，y ）=⎩

⎨⎧>>+-.,0,

0,0,)43(其他y x A y x e

求：（1） 常数A ；

（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}.

【解】（1） 由-(34)0

(,)d d e d d 112

x y A

f x y x y A x y +∞

+∞

+∞

+∞

+-∞-∞==

=⎰⎰⎰⎰

得 A =12

（2） 由定义，有

(,)(,)d d y x

F x y f u v u v -∞-∞

=

⎰⎰

(34)340012e

d d (1

e )(1e )0,0,

0,0,

y y

u v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨

⎩⎪⎩⎰⎰其他

(3) {01,02}P X Y ≤<≤<

1

2

(34)

38

00

{01,02}

12e

d d (1

e )(1e )0.9499.

x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰

⎰

5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为

f （x ，y ）=⎩⎨

⎧<<<<--.,

0,

42,20),6(其他y x y x k

（1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有

2

4

2

(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞

-∞

-∞

=--==⎰⎰

⎰

⎰

故 1

8

R =

（2） 13

{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰

1

3

0213

(6)d d 88

k x y y x =

--=⎰⎰ (3) 1

1.5

{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=

⎰⎰⎰⎰如图

1.5

4

2

127

d (6)d .832

x x y y =

--=⎰

⎰

(4) 2

4

{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=

⎰⎰⎰⎰如图b

2

40

2

12d (6)d .83

x

x x y y -=

--=⎰

⎰

题5图

6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，）上服从均匀分布，

Y 的密度函数为

f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,

0,

0,55其他y y e

求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.

题6图

【解】（1） 因X 在（0，）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为

1

,00.2,

()0.2

0,

.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 而