直角三角形总结

学大教育学科导学案课题直角三角形

学习目标与考点分析直角三角形的定义性质

判定

勾股定理

全等判定

学习重点直角三角形的性质和判定勾股定理的应用

直角三角形的全等判定

学习方法

分单元学习，对应练习巩固，综合练习运用所学

学习内容与过程

一、复习引入

1.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题。

互逆定理：如果一个命题的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原命题的逆定理。者两个定理叫做互逆定理。

线段垂直平分性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

2、直角三角形

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。

性质：直角三角形的两个锐角互余。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

在直角三角形中，30度所对的直角边是斜边的一半。

判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。

有两个角互余的三角形是直角三角形。

如果三角形中一边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、等腰直角三角形

两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形，等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45度。

4、勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。222c b a =+。

常见勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、24、25。

勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 5、直角三角形的判定

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL ） 6、角平分线的性质定理的逆定理

角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 二、例题讲解

题型一：直接考查勾股定理

例题1例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑵ 知6AC =，8BC =．求AB 的长

⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=

题型二：利用勾股定理测量长度

例题2 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型

后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理

例题3 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.

解析： x 2

+1.52

=（ x +0.5）2

解之得x =2.

题型三：勾股定理和逆定理并用——

例题4 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4

1

=那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？

C

B

D

A

设：B 长度为4a ，那么FB=a 。

注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。

题型四：利用勾股定理求线段长度——

例题5 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ， 将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。 ∴x =3(cm),即CE=3 cm

注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。 题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——

例题6如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100cm ，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？

例题7有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？

题型六：旋转问题：

变式1：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长. 分

变式2、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°， 试探究2

2

2

BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.

题型七：关于翻折问题

例1、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在

CD 边上的点G 处，求BE 的长.

变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.

三、练习巩固

勾股定理测试题

一、选择题

1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是 ( ) A. 9,12,15 B.5,12,13 C. 6,8,10 D. 3,5,7

2.分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；⑤321

，421，521

.其中能构成直角三角形的有（ ）组

A.2

B.3

C.4

D.5

3.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 ( ) A.可能是锐角三角形 B.不可能是直角三角形 C.仍然是直角三角形 D.可能是钝角三角形

4.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m ，目测点到杆的距离为15m ，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m ） ( )

A.20m

B.25m

C.30m

D.35m

5.一等腰三角形底边长为10cm ，腰长为13cm ，则腰上的高为 ( )

A. 12cm

B.

C.

D.

6．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ） A.

5

2

B.3

C.3+2

D.332

二、填空题

7.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形面积是 _______ .

(第5题) （第6题)_

8. 如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有______米. 9.已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，这时甲、乙两人相距 .