直角三角形总结
(完整版)解直角三角形总结
解直角三角形总结解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系,是在深入研究几何图形性质的基础上,根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。
1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的.因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。
如图1,在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是（1）边角之间的关系:sinA＝cosB＝ac， cosA＝sinB＝bc,tanA＝cotB＝ab，cotA＝tanB＝ba。
（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°。
(3）三条边之间的关系：。
以上每个边角关系式都可看作方程,解直角三角形的思路，就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。
2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形,而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上,解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形,即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。
由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。
所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。
这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。
四种基本类型和解法列表如下：已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角A B＝90°-A，b＝a·tanA，c=sinaA斜边c及锐角A B＝90°—A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b ，B＝90°—A,直角边a和斜边c sinA=ac，B＝90°-A，例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1,求AB的长。
判断直角三角形的方法总结
判断直角三角形的方法总结直角三角形是三角形中具有特殊性质的一种，判断一个三角形是否为直角三角形有以下几种方法。
一、勾股定理勾股定理是判断直角三角形最常用的方法，它的表达式为：c² = a²+ b²，其中c为斜边的长度，a和b分别为直角边的长度。
只要根据三角形的边长关系，计算出三边的平方和，如果符合勾股定理的等式关系，则可以确定该三角形为直角三角形。
二、角度判断除了勾股定理，我们还可以通过判断三角形的角度是否为90°来确定它是否为直角三角形。
常见的判断方法有以下几种：1. 角度和定理：直角三角形的两个锐角相加等于90°。
通过测量三角形的内角，如果两个锐角的和等于90°，则可以确认该三角形为直角三角形。
2. 角度判断法：直角三角形的直角边上的角一定为90°。
通过测量三角形的角度，如果存在一个角为90°，则可以确定该三角形为直角三角形。
3. 正弦函数判断法：对于直角三角形，正弦函数中的一个参数为90°。
当三角形的一个角度为90°时，可以根据正弦函数的性质判断出直角三角形。
三、边长关系除了利用勾股定理和角度判断法，我们还可以通过三角形的边长关系来判断是否为直角三角形。
常用的边长关系有以下几种：1. 边长关系定理：在直角三角形中，斜边的长度是两条直角边长度的平方和的平方根。
如果三角形的三条边满足这个边长关系，则可以确定该三角形为直角三角形。
2. 等腰直角三角形：等腰直角三角形是指直角三角形的两条直角边长度相等。
如果能够测量出三角形的两条直角边，且它们长度相等，则可以确认该三角形为等腰直角三角形。
综上所述，判断直角三角形的方法包括勾股定理、角度判断法和边长关系等多种方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行判断。
使用这些方法，我们可以准确地判断出一个三角形是否为直角三角形。
直角三角形的方程思想总结
直角三角形的方程思想总结直角三角形是几何学中的一种特殊形状，具有一个90度的角。
这种类型的三角形有许多独特的性质和方程，通过研究它们的方程，我们可以更好地理解和解决与直角三角形相关的几何问题。
下面是对直角三角形方程思想的一个详细总结，包括定义、性质、求解方法等等。
1.定义和性质：直角三角形是指一个角为90度的三角形。
在一个直角三角形中，有三条边：斜边（对边直角的边），以及两条直角边（与直角相连的两条边）。
2.勾股定理：直角三角形的最著名的性质之一是勾股定理。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两个直角边平方和。
这可以表示为方程：c² = a² + b²，其中c是斜边的长度，a和b分别是两个直角边的长度。
3.特殊直角三角形：直角三角形中有两种特殊的情况，我们可以利用它们的特殊性质来解决问题：a)45-45-90三角形：一个45-45-90三角形是指两条直角边长度相等的三角形。
在这种情况下，斜边的长度是直角边的平方根的两倍，即c = a√2。
这个关系可以用来解决一些与等腰直角三角形相关的计算问题。
b)30-60-90三角形：一个30-60-90三角形是指两条直角边比为1：√3：2的三角形。
在这种情况下，斜边的长度是较长直角边的两倍，即c = 2a。
这个关系可以用来解决一些涉及到等边直角三角形的计算问题。
4.余弦定理和正弦定理：除了勾股定理之外，我们还可以利用余弦定理和正弦定理来求解直角三角形的方程。
余弦定理表达了一个三角形的两边和夹角之间的关系，它可以表示为方程：c² = a² + b² - 2abcosC，其中C是夹在a和b之间的角度。
正弦定理表达了一个三角形的两边和一个角度的正弦值之间的关系，它可以表示为方程：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
5.特殊直角三角形的特殊方程：针对特殊直角三角形，我们还可以利用特殊的方程来解决一些求解问题：a)45-45-90三角形的特殊方程：对于一个45-45-90三角形，我们可以利用直角三角形中直角边的长度为斜边的平方根的性质来求解方程。
初中数学直角三角形模型总结——完整全面版2018.5.28
初中数学直角三角形模型总结——完整全面版（概念研究+模型总结+精选例题+优化练习）第一部分 直角三角形研究一、直角三角形的判定条件[角] 有一个角为90度的三角形叫做直角三角形两个锐角互余的三角形[边] 如果三角形的三条边存在两边的平方和等于另外一边的平方和那么这个三角形叫做直角三角形如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形叫做直角三角形二、直角三角形的性质[角] 两个锐角互余[边] 三角形的三条边存在两边的平方和等于另外一边的平方和 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半[高线] 三直角模型 高线与高线分得斜边的两部分的关系一直角边与斜边上的高线分得的线段之间的关系[中位线] 连接两直角边上的中点得到的中位线与斜边上的中线相等两直角边上中点与斜边中点的连线可以构成一个矩形三、特殊的直角三角形[特殊角] [30度的角 ] 30度的角所对的直角边等于斜边的一半在直角三角形中，如果有一直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度[45度的角] 两条直角边相等，斜边等于一直角边的倍 [边] → 三边关系 ： 在直角三角形中，两直角边的平方等于斜边的平方，四、直角三角形分类锐角中没有30度和45度角的直角三角形等腰直角三角形有一个角等于300的直角三角形第二部分 模型总结1）斜边中线模型直角三角形ABC 中，∠ACB=90，D 点平分AB ，则CD=AD=BD ∠B= ∠BCD ，∠A= ∠ACD2）共斜边模型直角三角形BAC和直角三角形BEC ，∠BAC 和∠BEC 都为90度， D 点为BC的中点，则AD=DE3）勾股定理已知Rt 三角形ABC,如图，有a2+b2=c2即，在直角三角形中已知两边长利用勾股定理求第三边。
4）特殊角转化模型105度=45度+60度 75度=45度+30度 75度=45度+30度 120度=90度+30度150度=90度+60度5若∠C =90度，∠A=30度 则有 a :b :c=1: 3:2若三角形ABC 为等腰直角三角形，则有 a :b :c=1:1: 26）直角边共线模型（1）DC=AB/tan a α-AB/tan β（2）AD 2-BD 2=AC 2-BC 2CD E第三部分 精选例题例1：如图三角形ABC ，CD 垂直AB 于D 点，BE 垂直AC 于E 点，连接DE ，分别取DE ，BC 的中点G 、F 两点，连接GF ，求证：GF 垂直于BC例2、已知：△ABC 中，∠A=060，CE ⊥AB,BD ⊥AC 求证：DE=12BC证明：取BC 中点M ，连结EM,DM 先证EM=DM ⇐EM=12BC=DM再证：∠2=π-∠1-∠3=π-（π-2∠ABC ）-（π-2∠ACB ）=060则△EDM 为等边三角形，所以有DE=DM=12BC例3、直角三角形三边的长分别为5、4、m,则此三角形斜边上的高为（）A ．12/5 B.2040/41 C.5/2 D. 12/5 或2041/41 分析与解题：若5为斜边，则m=3 高为12/5若m 为斜边，则m=41高为2041/41例4、某三角形的两角分别为105度，45度，且45度角所对的边长为2厘米，则该三角形的周长为多少？分析与解题：做AD 垂直DCAB=2,AD=1,DC=1,BD= 3,AC=2所以三角形ABC 周长为2+ 3+ 2+1=3+3+ 2例5、已知，如图三角形ABC 中，∠ABC=90度，D 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，DE 与CF 平行且相等。
直角三角形的边长与角度关系知识点总结
直角三角形的边长与角度关系知识点总结直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个直角（90度）角。
在直角三角形中，边长与角度之间存在一些重要的关系，这些关系包括勾股定理、正弦定理和余弦定理。
下面将对这些知识点进行总结。
1. 勾股定理：勾股定理是直角三角形中最基本的关系之一，它描述了直角三角形两条边的关系。
勾股定理的表达式为：a² + b² = c²，其中a和b分别为直角三角形两条较短的边长，c为直角三角形的斜边长。
2. 正弦定理：正弦定理是描述任意三角形中边长与角度关系的一种定理。
对于直角三角形来说，正弦定理的应用相对简单。
正弦定理的表达式为：sin(θ) = a / c，其中sin(θ)表示角度θ的正弦值，a表示直角三角形的对边长，c表示直角三角形的斜边长。
3. 余弦定理：余弦定理也是描述任意三角形中边长与角度关系的一种定理。
对于直角三角形来说，余弦定理的应用也相对简单。
余弦定理的表达式为：cos(θ) = b / c，其中cos(θ)表示角度θ的余弦值，b表示直角三角形的邻边长，c表示直角三角形的斜边长。
4. 特殊角度的边长关系：对于特定的角度，直角三角形的边长关系可以通过特殊三角函数值来表示。
例如，在45度角的直角三角形中，两条直角边的边长相等，且斜边长等于直角边长乘以√2。
5. 边长与角度之间的计算关系：根据以上的知识点，我们可以利用已知的边长来计算直角三角形中的角度，或者利用已知的角度来计算直角三角形中的边长。
通过正弦定理、余弦定理以及特殊角度的边长关系，我们可以得出精确的计算结果。
总结：直角三角形的边长与角度之间存在着勾股定理、正弦定理、余弦定理等重要的关系。
这些关系不仅可以帮助我们解决直角三角形相关的计算问题，还可以应用于实际生活中的测量和建模等领域。
准确理解和掌握直角三角形的边长与角度关系对于数学和物理等学科的学习都具有重要的意义。
直角三角形知识点归纳总结
直角三角形知识点归纳总结
嘿，朋友们！今天咱要来好好聊聊直角三角形那些事儿。
直角三角形，这东西可太有意思了！你看啊，它就像是一个坚固的小城堡。
直角就是那个最关键的顶角，稳固得很呢！比如说盖房子的大梁，很多就是直角三角形的形状，那可真是撑起了一片天呀！
先来说说直角三角形的三边关系。
三边之间有着一个神奇的勾股定理，这可是直角三角形的宝贝呀！就像a²+b²=c²，可别小看这个式子，用处大着呢！想象一下，你要测量一个很高的旗杆，是不是就可以利用勾股定理来计算呀！
还有它的角呢！直角不用说啦，那可是独特的标志。
另外两个锐角加起来就是 90 度。
这就好像你和朋友一起分一块蛋糕，你们俩的那部分加起来就是整个蛋糕呀！直角三角形里的角就是这么有规律。
再讲讲特殊的直角三角形吧。
等腰直角三角形，它可对称了，就像是一对双胞胎一样。
边长相等，角度也都有特点哦！这在设计一些对称的图案时可常用啦！
直角三角形在我们生活中无处不在呀！建桥的时候要考虑，做家具的时候可能也要用到。
难道你不好奇它是怎么默默发挥作用的吗？
总之，直角三角形真的太重要啦！我们可不能小瞧了它，要好好去研究它，利用它呀！让我们一起在直角三角形的世界里探索更多的奇妙吧！。
三角形知识点归纳总结
三角形知识点归纳总结
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。
在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
三角形分类判定法一
1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。
2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。
3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。
三角形分类判定法二
1、锐角三角形：三角形的三个内角中最大角小于90度。
2、直角三角形：三角形的三个内角中最大角等于90度。
3、钝角三角形：三角形的三个内角中最大角大于90度，小于180度。
其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。
初一数学三角形公式总结归纳
初一数学三角形公式总结归纳
在初一数学中，三角形公式是首先要学习和掌握的内容之一。
下面是一些常见的初一数学三角形公式的总结归纳：
1. 勾股定理：直角三角形中，直角边的平方等于斜边两边的平方和。
a² + b² = c²
2. 正弦定理：三角形中，任意角的正弦值与相对边的长度的比例相等。
a/sinA = b/sinB = c/sinC
3. 余弦定理：三角形中，任意角的余弦值与两边的长度的平方和与两边长度的乘积的比例相等。
a² = b² + c² - 2bc*cosA
b² = a² + c² - 2ac*cosB
c² = a² + b² - 2ab*cosC
4. 正弦定理的推论：在直角三角形中，正弦值与斜边的长度的比例相等。
sinA = a/c
sinB = b/c
sinC = c/c
5. 三角形的面积公式：
S = 1/2 * 底边长度 * 对应高的长度
S = 1/2 * a * b * sinC （已知两边和夹角）
S = 1/2 * a² * sinB * sinC / sinA （已知一个边和两个夹角）
S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] （已知三边长度，其中s为半周长）
以上是一些常见的初一数学三角形公式的总结归纳，希望对你有帮助！。
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a A
∠的对边
(1)角A的正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，
即sinA＝
(2)角A的余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
即cosA＝
(3)角A的正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作t an A，
即t an A＝
(4)角A的余切：锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作c ot A，
即c ot A＝
2.直角三角形中的边角关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2
(2)锐角之间的关系：A＋B＝90°
(3)边角之间的关系：
sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝
t an A＝c ot B＝， cot A＝t an B＝
3.三角函数的关系
(1)同角的三角函数的关系
1)平方关系：sinA2＋cosA2＝1
2)倒数关系：t an A·c ot A＝1
3)商的关系：t an A＝，c ot A＝
(2)互为余角的函数之间的关系
sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA
t an(90°－A)＝c ot A， cot(90°－A)＝t an A
4．一些特殊角的三角函数值
角函数值都是正值
即
(3)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝
(4)方位角:从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角.。
直角三角形知识点总结
直角三角形知识点总结
目录
1. 直角三角形的定义
1.1 什么是直角三角形
1.2 直角三角形的性质
2. 直角三角形的判定定理
2.1 直角三角形的判定
2.2 两直角三角形的判定方法
3. 直角三角形中的重要定理
3.1 勾股定理
3.2 正弦定理
3.3 余弦定理
4. 直角三角形的相关角度
4.1 直角三角形中角度的关系
4.2 直角三角形中的角度计算方法
5. 直角三角形的应用
5.1 在实际生活中的应用
5.2 在几何学中的应用
6. 直角三角形的计算方法
6.1 计算直角三角形的边长
6.2 计算直角三角形的面积
7. 直角三角形的举例
7.1 举例说明直角三角形的性质
7.2 解决实际问题中的直角三角形问题。
直角三角形的特性总结
直角三角形的特性总结在我们学习几何知识的过程中，直角三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，在实际生活中也随处可见其身影。
接下来，让我们一起深入了解直角三角形的众多特性。
直角三角形最显著的特性，无疑是其存在一个直角。
这个直角的角度为 90 度，而另外两个角的角度之和必然也是 90 度。
这一特性是直角三角形的根本定义，也是我们判断一个三角形是否为直角三角形的重要依据。
从边的关系来看，直角三角形满足勾股定理。
也就是两条直角边的平方和等于斜边的平方。
假设直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c，那么就有 a²＋ b²＝ c²。
这个定理非常重要，它为我们解决直角三角形中的边长问题提供了有力的工具。
比如，已知两条直角边的长度，我们可以通过勾股定理迅速求出斜边的长度；反过来，如果知道斜边和一条直角边的长度，也能算出另一条直角边的长度。
直角三角形的面积计算也有其独特之处。
它的面积等于两条直角边长度乘积的一半。
用公式表示就是 S ＝ 1/2 × a × b 。
这个面积公式的推导其实很容易理解，我们可以把直角三角形看作是一个矩形的一半，矩形的面积是长乘宽，那么直角三角形的面积就是矩形面积的一半。
在直角三角形中，斜边是最长的边。
这一点很好理解，因为直角所对的边就是斜边，而根据三角形的大角对大边的原理，直角是三角形中最大的角，所以其所对的斜边就是最长的边。
从三角函数的角度来看，直角三角形有着特殊的三角函数值。
比如正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。
以一个锐角为 A 为例，sinA ＝对边/斜边，cos A ＝邻边/斜边，tan A ＝对边/邻边。
这些三角函数值在解决与直角三角形相关的角度和边长问题时非常有用。
直角三角形的中线也有特别的性质。
斜边上的中线等于斜边的一半。
这是一个很有用的性质，在很多几何证明和计算中都能发挥重要作用。
直角三角形(课堂总结)
直角三角形 的题型和方法（1）运用或构造直角三角形● 直角三角形的判定：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧等腰三角形三线合一利用角的关系斜边中线为斜边一半时勾股定理逆定理利用边的关系● 添加辅助线构造直角三角形。
（2）求解方法：● 运用勾股定理，有时结合列方程方式求解；● 利用“面积”方法求解，有时会很方便（在四边形中）； ● 利用直角三角形、等腰三角形三线合一等性质；⎪⎩⎪⎨⎧︒斜边中线等于斜边一半一半角所对直角边等于斜边两个锐角互余直角三角形性质30● 利用特殊角的三角函数、余弦定理求解。
三角函数关系可以借助平面直角坐标系（分四个象限）来分析：注意：α角是与x 轴正方向之间的夹角。
IIIIIIIV2160cos 30sin =︒=︒ 2245cos 45sin =︒=︒ 2330cos 60sin =︒=︒42615sin -=︒ 42615cos +=︒ )90cos(sin αα-︒= ααsin )180sin(=-︒ )cos()180cos(αα-=-︒ ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=- αααcos sin 2)2sin(=1cos sin 22=+αα αααcos sin tan =余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === 其中R (为外接圆半径） 正弦面积公式：A bc B acC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（3）记住一些常用结论及公式。
● 正（等边）三角形面积公式：243aS ABC =∆正 ● 海伦公式：))()((c p b p a p p S ABC ---=∆ 其中)2(cb a p ++=● 在矩形ABCD 内任意一点P ，都有2222PD PB PC PA +=+。
● 三角形中线长公式：222222222222122212221c b a m b c a m a c b m c b a -+=-+=-+=一、直角三角形三边1、若一直角三角形三边长为三个连续的整数，那么这个三角形的三边长分别为_________。
直角三角形的周长与面积计算知识点总结
直角三角形的周长与面积计算知识点总结直角三角形是几何学中的一个重要概念，具有许多特殊的性质和计算方法。
本文将对直角三角形的周长和面积计算进行总结，帮助读者掌握相关知识点。
一、直角三角形的定义和性质直角三角形是指其中一个角为直角（即90°）的三角形。
根据勾股定理，直角三角形中的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这一性质被广泛应用在几何学中的计算中。
二、直角三角形的周长计算方法直角三角形的周长是指三条边的长度之和。
根据勾股定理，我们可以利用直角三角形的两条直角边的长度来计算第三条边的长度，从而得到周长。
以直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c。
根据勾股定理可以得到公式：c = √(a² + b²)。
这个公式也被称为毕达哥拉斯定理，可以用来计算直角三角形的斜边长度。
因此，如果我们已知一个直角三角形的两个直角边的长度，就可以通过这个公式计算出斜边的长度，并进而得到周长。
三、直角三角形的面积计算方法直角三角形的面积是指其内部所围成的空间大小。
直角三角形的面积计算可以通过两个边长来进行。
以直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c，面积为S。
根据几何学的面积计算公式 S = (1/2) * a * b，我们可以得到直角三角形面积的计算公式。
即，直角三角形的面积等于其两个直角边的乘积再除以2。
这个公式可以简单地帮助我们计算出直角三角形的面积。
四、直角三角形的周长和面积计算示例为了更好地理解和应用直角三角形的周长和面积计算公式，我们来看一个具体的示例。
假设一个直角三角形的直角边长度分别为3 cm和4 cm，我们可以先计算斜边的长度：c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm然后可以计算周长：周长 = 3 cm + 4 cm + 5 cm = 12 cm接下来计算面积：面积 = (1/2) * 3 cm * 4 cm = 6 cm²通过这个示例，我们可以清楚地看到如何应用周长和面积的计算公式来求解直角三角形的相关数值。
直角与直角三角形的性质总结
直角与直角三角形的性质总结直角是几何学中的基本概念之一，而直角三角形是以直角为其中一个内角的三角形。
在几何学中，直角和直角三角形具有一系列的性质和特点，下面将对其进行总结。
一、直角的定义和性质直角是指两条线段在交叉处形成的内角为90度的角。
直角的性质如下：1. 直角为一条线段的两边所形成的两个互余角之一。
2. 直角的两边相互垂直，即与直角相邻的两个内角互为补角。
3. 两条垂直线段的乘积等于直角边的平方，即勾股定理。
二、直角三角形的定义和性质直角三角形是指一个三角形中包含一个直角的三角形。
直角三角形的性质如下：1. 直角三角形的斜边是直角的斜边，即直角三角形的最长边。
2. 直角三角形的两条边，即直角的两条边，相互垂直。
3. 直角三角形的两条直角边之间的关系满足勾股定理，即两条直角边的平方和等于斜边的平方。
4. 直角三角形的两个锐角之和等于90度。
5. 直角三角形的两个锐角相等。
三、直角与直角三角形的应用直角和直角三角形的性质在几何学和实际应用中具有重要的意义。
下面列举一些常见的应用：1. 测量和勾股定理：直角三角形的勾股定理被广泛应用于测量和计算中。
根据勾股定理可以求解直角三角形的未知边长、求解两点之间的距离等。
2. 垂直关系：直角的性质使得直角三角形可以用于判断两条直线的相互垂直关系。
通过测量直角三角形的两条边，可以确定两条直线是否垂直。
3. 三角函数：三角函数是与直角三角形密切相关的数学工具。
正弦、余弦和正切等三角函数的定义和性质可以通过直角三角形来解释和理解，从而应用于角度和边长的计算。
4. 建筑和设计：直角和直角三角形的性质在建筑和设计中得到广泛应用。
在设计平面图、规划道路和修建建筑物等过程中，需要运用直角和直角三角形的性质。
总结：直角是几何学中的基本概念，具有垂直性和勾股定理等重要性质。
直角三角形是以直角为内角的三角形，具有斜边是最长边、两边相互垂直、满足勾股定理等特点。
直角和直角三角形的性质在几何学和实际应用中具有广泛的运用，涉及到测量、计算、垂直关系和三角函数等方面。
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学大教育学科导学案课题直角三角形
学习目标与考点分析直角三角形的定义性质
判定
勾股定理
全等判定
学习重点直角三角形的性质和判定勾股定理的应用
直角三角形的全等判定
学习方法
分单元学习，对应练习巩固，综合练习运用所学
学习内容与过程
一、复习引入
1.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题。
互逆定理：如果一个命题的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原命题的逆定理。
者两个定理叫做互逆定理。
线段垂直平分性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
2、直角三角形
定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
性质：直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
在直角三角形中，30度所对的直角边是斜边的一半。
判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
如果三角形中一边上的中线等于斜边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、等腰直角三角形
两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形，等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45度。
4、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
222c b a =+。
常见勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、24、25。
勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
5、直角三角形的判定
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（HL ） 6、角平分线的性质定理的逆定理
角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
二、例题讲解
题型一：直接考查勾股定理
例题1例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒． ⑵ 知6AC =，8BC =．求AB 的长
⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c +=
题型二：利用勾股定理测量长度
例题2 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。
把实物模型转化为数学模型
后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理
例题3 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.
解析： x 2
+1.52
=（ x +0.5）2
解之得x =2.
题型三：勾股定理和逆定理并用——
例题4 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4
1
=那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？
C
B
D
A
设：B 长度为4a ，那么FB=a 。
注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
题型四：利用勾股定理求线段长度——
例题5 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ， 将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
合理设元是关键。
∴x =3(cm),即CE=3 cm
注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。
题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直——
例题6如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100cm ，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？
例题7有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
题型六：旋转问题：
变式1：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长. 分
变式2、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°， 试探究2
2
2
BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.
题型七：关于翻折问题
例1、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在
CD 边上的点G 处，求BE 的长.
变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.
三、练习巩固
勾股定理测试题
一、选择题
1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是 ( ) A. 9,12,15 B.5,12,13 C. 6,8,10 D. 3,5,7
2.分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；⑤321
，421，521
.其中能构成直角三角形的有（ ）组
A.2
B.3
C.4
D.5
3.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 ( ) A.可能是锐角三角形 B.不可能是直角三角形 C.仍然是直角三角形 D.可能是钝角三角形
4.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m ，目测点到杆的距离为15m ，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m ） ( )
A.20m
B.25m
C.30m
D.35m
5.一等腰三角形底边长为10cm ，腰长为13cm ，则腰上的高为 ( )
A. 12cm
B.
C.
D.
6．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ） A.
5
2
B.3
C.3+2
D.332
二、填空题
7.如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形面积是 _______ .
(第5题) （第6题)_
8. 如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有______米. 9.已知甲往东走了4km ，乙往南走了3km ，这时甲、乙两人相距 .
10.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为 .
11.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若S P＝4，S Q＝9，则S k＝ .
12.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为 .
13．在△ABC中，AB＝8cm，BC＝15cm，要使∠B＝90°，则AC的长必为______cm.
三、解答题
10.假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
11.P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE为边长的正方形的面积.
12.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17.求BC边上的高.
13.从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面，发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？
13.如下图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他的小屋位于他的南7km东8km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
教学反思、反馈
学生教学反馈
学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字：
教师评定：
1、 学生上次作业评价： ○ 非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化
2、 学生本次上课情况评价：○非常 好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化 教师签字：
主任签字： 时间 ： 年 月 日
A B 小河
东
北
牧童
小屋。