1自动控制原理(黄家英)--9-2

解：对差分方程两端进 Z变换有 （利用延迟定理） 行 Y ( z ) 2 z 1Y ( z ) 3 z 2Y ( z ) 5 z 2U ( z )
Y( z ) 5 z 2 5 G( z ) 2 U ( z ) 1 2 z 1 3z 2 z 2z 3
或：将输入输出 差分方程改写为 y( k 2 ) 2 y( k 1 ) 3 y( k ) 5 u( k ) （利用超前定理）
进行Z变换有 z 2Y ( z ) 2 zY ( z ) 3Y ( z ) 5U ( z ) G( z ) 同上
13
（2）已知传递函数G(s)求脉冲传递函数G(Z)
U(z )
G( z )
G (z)
Y(z)
u(t) T
u*(t) G (s)
y(t)
T
y*(t )
说明：在离散系统中，其输出量往往是时间的连续函数，而按 初始值为零指输入起作 用前，系统处于静止状 态，不仅 脉冲传递函数是以输出的采样作为输出的，出于方便求取脉冲 y( 0 ) 0，而且输入和输出的各 阶差分均为零。 8 传递函数的考虑，往往假想在输出端存在采样开关。
离散系统也可按此定义，输入信号为采样后的脉冲序列
u* ( t ) u(0) ( t ) u(T ) ( t T ) u( 2T ) ( t 2T ) ... u( nT ) 施加在受控对象G(s)的 输入端，则输出也延迟一段时间T
k 0
g( kT )z n

脉冲传递函数是单位脉冲响应g(t)经采样后的离散 信号g*(t)的Z变换。
g*(t g3 ) g2 gk g1 … g0 …
0 12 3
t/T 系统的单位脉冲响应序列
k
图中 gk g( kT )
11
（3）脉冲传递函数求法
(1). 已知差分方程求脉冲传递函数
G2(s)
(b)无等效脉冲传递函数
（a）若输入端有采样开关，则并联时的等效脉冲传递函 数等于各环节脉冲传递函数的代数和；
(b)若输入端没有采样开关，则不存在等效脉冲传递函数。
21
3、闭环脉冲传递函数
（1）在参考输入信号单独作用下的闭环脉冲传递函数
（a）有一个采样开关
R( s )
－
E( s )
T
E ( s )
G(s)
Y( s )
Y( z ) G( z ) R( z ) 1 GH ( z )
H(s)
GH ( z )为开环传递函数；
特征式为 1 GH ( z ) 特征方程为 1 GH ( z ) 0
E( z ) ?
22
R( s )
－
E( s )
T
E ( s )
G(s)
Y( s )
在零初始条件下，对上式进行Z变换，并应用Z变换的延迟 定理，可得：
12
u(k )
系统
y(k)
U(z )
G (z)
Y(z)
例：已知 系统 的输入 输 差分 方程 为 出 y( k ) 2 y( k 1 ) 3 y( k 2 ) 5 u( k 2 ) 求系 统的 脉冲传 递函数 。
自动控制原理
第九章
线性离散控制系统 （二）
1
9.4 线性离散系统的数学描述
• 9.4.1 输入输出描述与状态空间描述 • 9.4.2 脉冲传递函数
9.4.1 输入输出描述与状态空间描述
1. 离散系统的输入输出方程(差分方程)
c(k ) a1c(k 1) a2 c(k 2) an c(k n) b0 r (k ) b1r (k 1) bm r (k m)
6
9.4.2脉冲传递函数
1.脉冲传递函数定义 2.脉冲传递函数求法 3.开环脉冲传递函数 4.闭环脉冲传递函数
7
1.脉冲传递函数定义
（1） 基本概念 定义：线性离散系统中，在零初始条件下，系统离 散输出量的Z变换Y(z)与离散输入量的Z变换U(z)之 比，称为系统的脉冲传递函数。
G( z ) Y( z ) U( z )
G ( s )一般由零阶保持器 h ( s ) 和受控对象 0 ( s ) 构成，即 G G G ( s ) Gh ( s )G0 ( s )
（2）脉冲传递函数的物理意义 从单位脉冲响应出发，来掌握脉冲传递函数的意义.
连续系统中，系统的传递函数可以定义为单位脉冲响应 的拉氏变换式。如将(t)施加在受控对象G(s)的输入端， 则输出
y(t ) L1{G( s ) R( s )} L1{G( s )} g( t ) ( R( s) L{ ( t )} 1)
或 y( k ) 0.8187 y( k 1 ) 0.1813 u( k. 1 影响开环脉冲传递函数的零点。P351例917 )
20
（4）环节并联时的等效脉冲传递函数
u(t)
T
u*(t)
y*(t ) G1(s) y (t)
y*(t ) u (t) G1(s) y (t)
G2(s)
(a) G(Z)=G1(Z)+G2(Z)
3
n阶线性离散系统的差分方程的一般形式为： xn ( k ) xn ( k 1) x2 ( k ) x1 ( k )
xn ( k 1) a0 x1 (k ) a1 x2 (k ) - an1 xn ( k ) u( k )
4
有高阶差分项，如何求？
5
线性离散系统状态空间表达式的一般形式
H(s)
1 1 例：已知 G( s ) , H ( s ) s s1 z z( 1 e T ) 则有 G( z ) ， GH ( z ) z1 ( z 1 )( z e T )
Y( z ) G( z ) z R( z ) 1 GH ( z ) ( z 1 )( z e T ) z ( 1 e T ) z z 2 2e T z e T
y(t ) g(t T )
9
（2）脉冲传递函数的物理意义 系统的输出为一系列脉冲响应之和
y( t ) u(0) g( t ) u(T ) g( t T ) u( 2T ) g( t 2T ) ... u( nT ) g( t nT )
当t=kT时 y( kT ) u(nT ) g((k n)T ) g(kT ) u(kT )
设系统有 个输入， 个输出， 个状态变量，则有 p q n x ( k 1 ) Ax( k ) Bu( k ) y( k ) Cx( k ) Du( k )
u(k )
系统
y(k)
A: 系 统 （ 状 态 ） 矩 阵（n n） B: 控 制 矩 阵 （n p） C: 输 出 矩 阵 （q n） D: 前 馈 矩 阵 （q p）
z2 显然 G1G2 ( z ) G1 ( z )G2 ( z ) ( z 1 )( z e T )
18
（3）有零阶保持器的开环脉冲传递函数
G( z )
u(t)
T
u*(t)
Gh(s)
零阶保持器
G0(s)
T
y*(t )
1 e Ts G ( z ) GhG0 ( z ) Z G0 ( s ) s 1 1 (1 z ) Z G0 ( s ) 很有用！ s
1 1 e T G ( z ) (1 z 1 ) Z G0 ( s ) s z e T
( 1 0.8187 z 1 )Y ( z ) 0.1813z 1U ( z )
保持器不影响开环脉冲传递函数的极点，仅 差分方程为 y( k ) 0.8187 y( k 1 ) 0.1813 u( k 1 )
方法一：
连续系统的传递函数G(s) 脉冲响应函数g(t) 按采样周期离散化g*(t) Z变换 G(z) 方法二： 查表
14
2. 开环系统的脉冲传递函数
（1）两个串联环节之间有采样开关隔开
G1 ( z )
u(t) T u*(t) v*(t)
G2 ( z )
y*(t)
G1(s)
T
G2(s)
T
Y( z ) V( z ) Y( z ) G1 ( z )G2 ( z ) U( z ) U( z ) V ( z )
该结论可推广到n个环节串联，各相邻环节 之间都有采样开关隔开的情况。
15
G1 ( z )
u(t) T u*(t) v*(t)
G2 ( z )
y*(t)
G1(s)
T
G2(s)
T
1 1 例：已知 G1 ( s ) , G2 ( s ) ， s s1 V( z ) z Y( z ) z 则有 G1 ( z ) , G2 ( z ) U( z ) z 1 V ( z ) z e T
19
1 e Ts Gh ( s ) s
G( z )
u(t)
T
u*(t)
Gh(s)
零阶保持器
G0(s)
T
y*(t )
例：已知 G0 ( s )
1 , 取 T 0.2 s s1 1 z ( 1 e T ) 1 则 Z G0 ( s ) Z ( z 1 )( z e T ) s s( s 1 )
n 0

求Z变换
Y ( z ) U ( z ) Z[ g(kT )]
该结论实际上就 是“卷积定理”
Y (z) G( z ) Z [ g( kT )] g( kT ) z k U (z) k 0
10
（3）脉冲传递函数的物理意义