数学建模与计算
数学建模计算方法
数学建模计算方法蒙特卡罗算法(该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法)数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法(比赛中通常会碰到大量的数据必须要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab 作为工具)线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题(建模比赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件实现) 图论算法(这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，必须要认真准备)动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法(这些算法是算法〔制定〕中比较常用的方法，很多场合可以用到比赛中)4建模计算法三层次结构：最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
中间层：这一层次中包涵了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由假设干个层次组成，包括所必须合计的准则、子准则，因此也称为准则层。
最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及必须要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。
每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过 9 个。
这是因为支配的元素过多会给两两比较推断带来困难。
层次分析法的应用：在应用层次分析法研究问题时，碰到的主要困难有两个：(i)如何依据实际状况抽象出较为贴切的层次结构;(ii)如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。
层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。
但层次分析法也有其局限性，主要表现在：(i)它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。
Mathematica高级数学建模与计算教程
Mathematica高级数学建模与计算教程第一章：Mathematica概述Mathematica是一种强大的数学建模和计算工具，它能够帮助用户解决各种复杂的数学问题。
本章将介绍Mathematica的基本概念、界面和功能，以及如何开始使用Mathematica。
1.1 Mathematica的基本概念Mathematica是由Wolfram Research公司开发的一款数学软件，它集成了数学计算、数据分析、可视化等多种功能，广泛应用于科学研究、工程和金融等领域。
Mathematica的核心是一种高级程序语言，用户可以用它进行数学建模和计算，并通过交互式界面进行操作。
1.2 Mathematica的界面和功能Mathematica的主界面分为菜单栏、工具栏和工作区等部分。
菜单栏提供了各种功能的快捷操作，工具栏则包含了常用的工具和命令按钮。
在工作区中，用户可以编写和执行Mathematica代码，并查看结果。
1.3 快速开始在Mathematica中，用户可以使用各种内置的函数和命令来进行数学建模和计算。
例如，可以使用内置函数Plot来绘制函数图像，使用函数Solve来求解方程，使用函数Integrate来进行积分等等。
用户可以通过简单的代码来描述数学问题，并得到计算结果。
第二章：数学建模基础数学建模是将实际问题转化为数学问题，并使用数学方法进行求解的过程。
本章将介绍数学建模的基本原理和方法，并结合具体例子演示如何使用Mathematica进行数学建模。
2.1 数学建模的基本原理数学建模的过程可以分为问题定义、数学模型的建立、模型求解和结果分析等几个步骤。
问题定义阶段需要明确问题的背景、目标和约束条件；数学模型的建立阶段需要选择合适的数学模型来描述问题；模型求解阶段需要使用合适的方法和工具进行求解；结果分析阶段需要对求解结果进行验证和解释。
2.2 使用Mathematica进行数学建模Mathematica提供了丰富的函数和命令来支持数学建模的各个步骤。
数学建模计算代码
数学建模计算代码数学建模是通过运用数学知识和方法来解决实际问题的过程。
计算代码则是指利用计算机编程语言来编写程序，实现数学建模的计算过程。
本文将结合数学建模和计算代码的概念，讨论如何使用计算代码进行数学建模，并提供一些常用的数学建模计算代码示例。
一、数学建模与计算代码的关系数学建模通常分为数学模型的建立、数学模型的求解和模型结果的验证三个步骤。
其中，数学模型的求解是数学建模中的核心环节，而计算代码则是实现模型求解的工具。
计算代码通常通过编写和执行算法来实现模型的计算过程。
通过将数学模型用计算代码编写成计算机程序，可以更加方便地进行模型计算和求解。
计算代码可以通过数值计算、符号计算、优化算法等方法来实现数学模型的求解。
在计算代码编写的过程中，需要根据具体的数学模型和求解方法选择合适的编程语言和算法，以便实现高效、准确的数学模型求解。
二、数学建模计算代码示例1.数值积分数值积分是数学建模中常用的求解方法之一，它通过将积分转化为求和或近似替代问题来进行求解。
以下是使用Python编写的数值积分计算代码示例：```pythonimport numpy as npdef numerical_integration(f, a, b, n):数值积分函数，利用梯形法则进行数值积分计算:param f: 被积函数:param a: 积分下限:param b: 积分上限:param n: 划分区间数:return: 数值积分结果"""h=(b-a)/n#计算区间宽度x = np.linspace(a, b, n + 1) # 生成等距节点y=f(x)#计算节点函数值integration_result = (h / 2) * (np.sum(y) - y[0] - y[-1]) # 梯形法则计算积分return integration_resultdef f(x):"""被积函数:param x: 自变量:return: 函数值return x ** 2a=0b=1n=1000result = numerical_integration(f, a, b, n)print("数值积分结果为:", result)```2.线性回归线性回归是拟合一个线性函数来描述变量之间关系的统计方法。
《数学建模与数值计算方法》讲义(C.ppt)
数值计算与符号计算
计算机的诞生源于数值计算，“计算”一词在过 去仅是数值计算的意思。数值计算的结果是一个 数值。像Fortran、C等高级语言，主要用于数 值计算。 现在计算机除了传统的数值计算外，还可以进行 数学符号的演算，也称计算机代数 计算机代数。所谓符号， 计算机代数 可以是字母、公式，也可以是数值，数值是表达 式的一种最简单的形式。符号计算 符号计算是相对实质计 符号计算 算而言的，对于符号计算，计算机处理的数据和 处理后的结果是符号（表达式）。
SAS简介 SAS简介
SAS(Statistical Analysis System)软件系统由美国 SAS公司编制。该软件系统于1966年研制成为商业软 件，开始仅用于数据的统计分析，后经不断更新和补充， 现在的SAS已发展成为一个功能强、效率高、使用方便 且适用于多种操作系统的信息处理和科学计算组合软件 系统，具有完备的数据存取、管理、分析和显示功能， 在数据处理和统计分析领域，SAS被誉为国际上的标准 软件系统，1996年和1997年被《Datamation》杂志 评为建立数据仓库的首选产品，已被120多个国家和地 区29000多个机构所采用，直接用户超过300万人，广 泛应用于金融、保险、经济、医疗、卫生、生产、运输、 通讯、政府部门、科研和教育等领域。
数学软件
仝辉 北京邮电大学理学院 Email： Email：yjssxjm@ 课件下载： 课件下载：/tonghui/yjssxjm
数学家可以把符号计算软件看作是最 基本的语言，如同计算机学家的C语言。 ——陈木法 让一些杰出的人才奴隶般地把时间浪 费在计算上是不值得的。 ——莱布尼兹
SAS→ SAS→科学方法、业务范围
统计分析 时间序列分析 运筹决策 …… 质量管理 财务管理 生产优化 风险管理 市场调查和预测 …… SAS可将各种数据以灵活多样的各种报表、 图形和三维透视的形式直观地表现出来。
数学建模计算方法
数学建模计算方法数学建模是指运用数学的方法和技巧解决实际问题的过程。
它是数学与其他学科的交叉融合，旨在通过建立数学模型，从而给出该问题的数学描述以及计算方法。
数学建模的计算方法是解决数学模型的关键步骤，下面将详细介绍数学建模的三种常用的计算方法：数值方法、优化方法和模拟方法。
首先，数值方法是通过数值计算来求解数学模型的一种方法。
它的基本思想是将问题转化为数值计算问题，利用离散的数值计算方法得到问题的近似解。
数值方法常用于求解无法用解析方法获得精确解的复杂数学模型。
其中的核心方法包括数值微积分、数值代数、数值逼近等。
数值方法的优点是能够较快地得到近似解，但是由于是近似解，所以其误差会存在一定的范围。
其次，优化方法是一种通过寻找最优解来求解数学模型的方法。
优化方法的目标是在模型的约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的决策变量。
它的基本思想是将问题转化为一个最优化问题，利用优化理论和算法来求解。
优化方法常用于求解资源配置、作业调度、生产运营等实际问题。
常见的优化方法有线性规划、整数规划、动态规划等。
优化方法的优点是能够找到最优解，但是对于复杂的问题，求解过程可能较为耗时。
最后，模拟方法是一种通过模拟现实系统的行为来求解数学模型的方法。
模拟方法的基本思想是将问题看作一个系统，通过建立与之对应的数学模型，模拟和观察该系统在不同条件下的行为，从而获得问题的解。
模拟方法常用于求解自然科学、社会科学等领域的问题，如气象预测、交通流模拟等。
常见的模拟方法有蒙特卡洛方法、离散事件仿真等。
模拟方法的优点是能够模拟现实系统的行为，但是对于复杂系统的模拟，需要考虑到各种因素的相互影响，因此模拟精度可能受到一定的限制。
总之，数学建模的计算方法包括数值方法、优化方法和模拟方法。
不同的计算方法适用于不同类型的问题，选择合适的计算方法可以有效地求解数学模型，并得到实际问题的解答。
在实际应用中，常常会结合不同的计算方法，综合运用，以获得更准确、更全面的结果。
数学建模与科学计算
数学建模与科学计算数学建模与科学计算是一门应用数学学科，旨在通过建立数学模型，运用数值计算方法来解决现实世界中的问题。
它在物理学、生物学、工程学、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍数学建模与科学计算的基本概念、方法以及在实际问题中的应用。
一、数学建模的基本概念数学建模是将实际问题抽象成数学模型的过程。
它通常包括以下几个步骤：1. 问题描述：明确问题的背景、目标和限制条件。
2. 建立模型：选择合适的数学工具和方法建立模型，例如方程、矩阵、图论等。
3. 求解模型：通过数学计算方法求解模型，并得到结果。
4. 模型验证：将模型的结果与实际情况进行比较，验证模型的准确性和可靠性。
二、科学计算的基本方法科学计算是指通过计算机进行数值计算、数据分析和模拟实验等方法来解决科学问题。
它通常包括以下几个步骤：1. 数据收集：从实际问题中收集和整理相关的数据，包括实验数据、观测数据等。
2. 数据分析：对收集到的数据进行统计分析、数据挖掘等方法，提取有用的信息。
3. 建立模型：根据问题的特点，选择合适的数学模型，将问题转化为数学形式。
4. 数值计算：通过计算机对模型进行求解，使用数值计算方法求得近似解。
5. 结果分析：对计算结果进行分析和解释，得出科学结论。
三、数学建模与科学计算的应用数学建模与科学计算在各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些典型的应用例子：1. 物理学：数学建模与科学计算可以用来研究天体运动、流体力学、材料科学等问题。
2. 生物学：可以利用数学建模与科学计算来研究生物进化、生物流体力学、神经网络等问题。
3. 工程学：可以用来优化工程设计、模拟工程系统的运行、预测自然灾害等。
4. 经济学：可以用来研究市场行为、预测经济趋势、优化投资组合等问题。
5. 计算机科学：可以利用数学建模与科学计算来研究算法复杂性、人工智能等问题。
四、总结数学建模与科学计算在解决实际问题中发挥着重要的作用。
它不仅能够帮助我们深入理解问题的本质，还能够指导实际决策和优化设计。
民航飞行中的数学模型与计算
民航飞行中的数学模型与计算一、数学模型概述1.数学模型的定义与分类2.数学模型在民航飞行中的应用价值3.建立数学模型的基本步骤二、民航飞行基本概念1.飞行速度与飞行时间2.飞行高度与飞行距离3.飞机性能指标（如推力、阻力、燃油消耗等）三、民航飞行中的数学模型1.飞行轨迹模型–直线飞行模型–曲线飞行模型（如圆周飞行、螺旋飞行等）2.飞行性能模型–动力学模型（牛顿运动定律、空气动力学方程等）–燃油消耗模型（如Wright公式、燃油流量公式等）3.飞行环境模型–大气模型（如国际标准大气模型、局部大气模型等）–气象模型（如风速、风向、降水等）4.飞行安全模型–避障模型（如圆柱避障、多边形避障等）–飞行间隔模型（垂直间隔、水平间隔等）四、计算方法与技巧1.数学建模方法–假设与简化–参数估计与优化–模型验证与修正2.数值计算方法–欧拉法、龙格-库塔法等数值积分方法–蒙特卡洛模拟、有限元分析等数值模拟方法3.计算机编程与软件应用–编程语言（如MATLAB、Python、C++等）–专业软件（如Mathematica、ANSYS、FLUENT等）五、民航飞行中的实际应用1.航线规划与航班调度–最佳航线规划算法（如遗传算法、蚁群算法等）–航班调度优化模型（如时间窗口、飞机利用率等）2.飞行管理与导航–飞行管理计算机（FMC）及其算法–卫星导航系统（如GPS、GLONASS等）3.飞行仿真与训练–飞行仿真器（如Flight Simulator、X-Plane等）–飞行训练大纲与教学方法六、发展趋势与展望1.人工智能与机器学习在民航飞行中的应用2.大数据与云计算在民航飞行领域的应用3.绿色航空与可持续发展知识点：__________习题及方法：一、数学模型概述习题习题1：定义一个数学模型，并说明其应用于民航飞行中的价值。
答案：定义：数学模型是用来描述现实世界中的某个特定系统的数学关系和规律的抽象表示。
在民航飞行中，数学模型可以用来预测飞机的飞行性能、优化航线规划、提高飞行安全性等。
数学专业的数学建模与计算机应用
数学专业的数学建模与计算机应用数学建模和计算机应用是当今数学专业的重要组成部分。
它们不仅是数学知识的应用和发展，而且也是解决实际问题的有力工具。
本文将介绍数学建模和计算机应用在数学专业中的重要性，以及它们对于现代社会的影响。
一、数学建模数学建模是通过技术手段将现实问题转化为数学问题，并利用数学方法来解决这些问题的过程。
它要求数学专业的学生具备扎实的数学基础知识，并具备将数学知识应用于实际问题的能力。
数学建模的过程包括对问题的分析、建立模型、求解模型和对结果的解释。
数学建模在数学专业中的重要性不言而喻。
通过数学建模，学生不仅可以将抽象的数学概念应用于实际问题，而且可以培养学生的创新意识和动手能力。
同时，数学建模也为数学专业的学生提供了一个实践和锻炼的平台，使他们能够更好地理解和掌握数学知识。
二、计算机应用计算机应用是指利用计算机技术和软件工具来解决实际问题的过程。
在数学专业中，计算机应用主要包括数值计算、数据处理和图像处理等方面。
通过计算机的强大计算和处理能力，数学专业的学生可以更加高效地求解数学问题，并且能够处理大量的数据和图像信息。
计算机应用在数学专业中的重要性不可忽视。
它不仅提高了学生的工作效率，而且也拓展了数学的研究领域。
借助计算机工具，数学专业的学生可以更加深入地研究和探索数学的各个领域，并且可以对数学模型进行仿真和实验。
三、数学建模与计算机应用的结合数学建模和计算机应用是相互关联和相互促进的。
数学建模需要计算机应用来进行数学模型的求解和仿真，而计算机应用也需要数学建模来提供数学基础和方法支持。
二者的结合使学生能够更加全面地理解和应用数学知识，同时也提高了问题的解决效率和准确性。
借助数学建模和计算机应用的结合，数学专业的学生可以解决更加复杂和实际的问题，并且可以开展更加深入和广泛的研究。
他们可以利用数学建模和计算机应用来研究和分析各种现象，探索数学的新理论和应用，为现代社会的发展做出更大的贡献。
数学建模与计算方法
数学建模与计算方法在实践中的重要性
实际应用中数学建模与计算方法的挑战与解决方案
实践经验对数学建模与计算方法的与实践方向
数据预处理：缺失值、异常值和离群点的处理方法
结果验证与评估：如何对模型结果进行验证和评估，以及如何处理过拟合和欠拟合问题
实际应用中的注意事项：如何在实际应用中考虑各种因素，以及如何解决实际应用中的问题
数学建模与计算方法的未来发展
人工智能在数学建模中的应用，提高模型精度和预测能力
机器学习算法在数学建模中的应用，实现自动化建模和优化
云计算技术，提供弹性可扩展的计算资源，降低计算成本
大数据处理技术，处理大规模数据集，加速计算速度
数据驱动的数学建模与计算方法
跨学科应用的拓展
计算方法的优化与创新
人工智能与数学建模的结合
汇报人：XX
数学建模与计算方法
目录
数学建模基础
计算方法概述
数学建模与计算方法的结合
常用数学建模与计算方法
数学建模与计算方法的实践
数学建模与计算方法的未来发展
数学建模基础
建模概念：数学建模是将现实问题转化为数学模型的过程，通过数学模型来描述和解决实际问题。
建模重要性：数学建模是科学研究、工程技术和实际应用中不可或缺的重要工具，能够提高问题解决的效率和质量，促进科技创新和社会发展。
不断尝试和优化计算方法
线性回归模型中最小二乘法的应用
微分方程求解中的有限差分法
概率论中的蒙特卡洛模拟方法
优化问题中的梯度下降法
数学建模为计算方法提供理论框架和应用场景
计算方法为数学建模提供高效求解手段和验证工具
数学建模与计算方法的结合有助于解决复杂问题
数学建模与计算方法的相互促进推动科学和技术的发展
2K-H行星齿轮传动优化设计数学 建模与解算
2K-H行星齿轮传动优化设计数学建模与解算引言行星齿轮传动是一种常见的机械传动方式，广泛应用于各种设备和机械系统中。
优化设计行星齿轮传动，可以提高传动效率、减小体积和重量，从而实现更高的性能和更低的成本。
数学建模与解算是优化设计的重要步骤，通过数学模型，可以准确地描述齿轮传动系统的工作原理和性能参数，通过数值计算和优化算法，可以找到最优的设计参数和工作状态。
本文针对2K-H行星齿轮传动进行优化设计数学建模与解算的研究，通过数学分析和计算，找到最佳的参数组合和工作状态，为行星齿轮传动的优化设计提供理论和技术支持。
1. 2K-H行星齿轮传动的结构和工作原理2K-H行星齿轮传动是一种常见的行星齿轮传动结构，由太阳轮、行星轮、行星架、内齿轮和外齿轮等部件组成。
太阳轮和内齿轮由电机或其他动力装置驱动，行星轮由行星架支撑，并围绕太阳轮和内齿轮旋转，外齿轮则与行星轮啮合并输出动力。
通过这种结构，2K-H行星齿轮传动可以实现多种不同的传动比和输出方向，是一种灵活、高效的传动方式。
优化设计齿轮传动需要准确地描述和计算传动系统的性能参数，其中包括传动比、效率、载荷能力、寿命和噪音等。
对于2K-H行星齿轮传动而言，传动比是一个重要的参数，通过调整太阳轮、行星轮和内齿轮的尺寸和数量，可以实现不同的传动比。
效率是另一个关键参数，它直接影响传动系统的能量损失和发热，通过优化齿轮几何形状和啮合参数，可以提高传动效率。
载荷能力、寿命和噪音也是需要考虑的性能参数，它们与齿轮材料、加工工艺和润滑方式等因素有关。
基于建立的数学模型，可以进行2K-H行星齿轮传动的优化设计。
需要确定优化的目标和约束条件，例如最大化传动比、最大化效率或最小化体积和重量。
然后，可以采用数学优化算法，如遗传算法、粒子群算法和模拟退火算法，搜索最优的设计参数组合和工作状态。
数学优化算法包括了全局搜索和局部搜索两个方面，能够得到全局最优解或局部最优解，根据实际情况选择合适的算法和计算策略。
数学建模与计算
数学建模与计算 3
例1 （MCM1997B） Mix Well For Fruitful Discussions
A meeting of an Tostal Corporation will be attended by 29 Board Members of which nine are in-horse members. The meeting is to be an all-day affair with three sessions scheduled for the morning and four for the afternoon. Each session will take 45 minutes, beginning on the hour from 9:00 A.M. to 4:00 P.M., with lunch scheduled at noon. Each morning session will consist of six discussion group with each discussion group led by one of the corporation's six senior officers. None of these of officers are board members. Thus each senior officer will lead three different discussion groups. The sessions will consist of only four discussion groups.
数学建模与计算
2007－12－22
数学建模的几个过程
数学建模的几个过程数学建模是一种将实际问题转化为数学问题并求解的方法，通常包括四个基本过程：问题建模、模型建立、模型求解和模型验证。
下面将详细介绍这四个过程。
一、问题建模：问题建模是数学建模的第一步，其目的是明确问题的具体解决要求和限制条件。
具体步骤如下：1.问题描述：对问题进行全面准确的描述，了解问题的背景、目标和约束条件。
2.数据收集与处理：收集和整理与问题相关的数据，并进行必要的处理和分析，以便后续建模和求解。
3.确定目标函数与约束条件：明确问题的目标和约束条件，将其转化为数学表达式。
二、模型建立：模型建立是数学建模的核心过程，其目的是将问题转化为数学形式。
具体步骤如下：1.建立模型的数学描述：根据问题的特点和要求，选取适当的数学方法，将问题进行数学化描述。
2.假设与简化：对问题进行适度的简化和假设，以降低问题的复杂性和求解难度。
3.变量定义和量纲分析：明确定义模型中的各个变量和参数，并进行量纲分析和归一化处理，以确保模型的合理性和可靠性。
三、模型求解：模型求解是对建立的数学模型进行求解，以得到问题的解答。
具体步骤如下：1.求解方法选择：根据模型的特点和求解要求，选择适当的数学方法进行求解，如解析解法、数值解法、近似解法等。
2.模型编程与计算：对所选的求解方法进行程序设计和算法实现，利用计算机进行模型求解，得到问题的数值解。
3.求解结果分析与解释：对求解结果进行分析和解释，解释结果的含义和对问题的解答进行验证。
四、模型验证：模型验证是对建立的数学模型进行验证和评估，以确定模型的合理性和可靠性。
1.合理性检验：对模型的假设和简化进行合理性的检验，检查是否存在明显的偏差和不合理的结果。
2.稳定性与敏感性分析：对模型的稳定性和敏感性进行分析，研究模型对参数变化和扰动的响应情况。
3.模型与数据的拟合度：比较模型的预测结果与实际观测数据之间的拟合度，评估模型对实际问题的适用性。
综上所述，数学建模的主要过程包括问题建模、模型建立、模型求解和模型验证。
数学专业的数学建模与科学计算
数学专业的数学建模与科学计算数学是一门充满魅力的学科，它在解决实际问题中起着重要的作用。
而数学建模与科学计算是数学专业中的两个重要分支，它们的发展在现代科学和工程领域具有广泛的应用和重要意义。
本文将从数学建模和科学计算两个方面介绍数学专业在这个领域中的应用。
一、数学建模数学建模是通过建立数学模型来描述和解决实际问题的过程。
它将实际问题转化为数学问题，并通过建立适当的数学模型来分析和求解。
数学建模可以应用于各个领域，如物理学、生物学、环境科学等，以及工程和经济管理等应用领域。
在数学建模中，数学专业的学生需要具备扎实的数学基础，如微积分、线性代数和概率论等。
通过对实际问题的深入了解和数学方法的灵活运用，他们可以建立合适的数学模型，并通过数值计算和分析方法来解决问题。
例如，当我们需要研究一个物理系统的运动规律时，可以通过建立微分方程模型，利用数值方法求解出系统的位置、速度和加速度等参数。
这样的数学建模和计算过程可以帮助我们更好地理解物理过程，并为实际应用提供合理的依据。
二、科学计算科学计算是利用计算机和数值方法来模拟和求解科学问题的过程。
它将数学建模和计算机科学相结合，通过数值方法和算法来解决实际问题。
科学计算可以应用于各个学科，如物理学、化学、生物学等，以及经济学和金融学等领域。
在科学计算中，数学专业的学生需要具备计算机编程和数值计算的基础知识。
他们可以利用计算机编程语言和数值方法来实现数学模型的求解，并通过可视化和数据分析等手段来理解和解释计算结果。
例如，当我们需要模拟一个物理系统的行为时，可以通过编写计算机程序，利用数值方法对模型进行求解。
通过不断调整参数和观察模拟结果，我们可以深入理解物理过程并预测系统的行为。
三、数学建模与科学计算的应用数学建模和科学计算在现代科学和工程领域具有广泛的应用。
它们能够帮助人们更好地理解和解决实际问题，推动科学和技术的发展。
在物理学和工程学中，数学建模和科学计算可以帮助我们研究和设计复杂的物理系统，如天体运动、电磁场分布等。
数学建模的常用模型与求解方法知识点总结
数学建模的常用模型与求解方法知识点总结数学建模是运用数学方法和技巧来研究和解决现实问题的一门学科。
它将实际问题抽象化，建立数学模型，并通过数学推理和计算求解模型，从而得出对实际问题的理解和解决方案。
本文将总结数学建模中常用的模型类型和求解方法，并介绍每种方法的应用场景。
一、线性规划模型与求解方法线性规划是数学建模中最常用的模型之一，其基本形式为：$$\begin{align*}\max \quad & c^Tx \\s.t. \quad & Ax \leq b \\& x \geq 0\end{align*}$$其中，$x$为决策变量向量，$c$为目标函数系数向量，$A$为约束系数矩阵，$b$为约束条件向量。
常用的求解方法有单纯形法、对偶单纯形法和内点法等。
二、非线性规划模型与求解方法非线性规划是一类约束条件下的非线性优化问题，其目标函数或约束条件存在非线性函数。
常见的非线性规划模型包括凸规划、二次规划和整数规划等。
求解方法有梯度法、拟牛顿法和遗传算法等。
三、动态规划模型与求解方法动态规划是一种用于解决多阶段决策问题的数学方法。
它通过将问题分解为一系列子问题，并利用子问题的最优解构造原问题的最优解。
常见的动态规划模型包括最短路径问题、背包问题和任务分配等。
求解方法有递推法、记忆化搜索和剪枝算法等。
四、图论模型与求解方法图论是研究图及其应用的一门学科，广泛应用于网络优化、城市规划和交通调度等领域。
常见的图论模型包括最小生成树、最短路径和最大流等。
求解方法有贪心算法、深度优先搜索和广度优先搜索等。
五、随机模型与概率统计方法随机模型是描述不确定性问题的数学模型，常用于风险评估和决策分析。
概率统计方法用于根据样本数据对随机模型进行参数估计和假设检验。
常见的随机模型包括马尔可夫链、蒙特卡洛模拟和马尔科夫决策过程等。
求解方法有蒙特卡洛法、马尔科夫链蒙特卡洛法和最大似然估计等。
六、模拟模型与求解方法模拟模型是通过生成一系列随机抽样数据来模拟实际问题，常用于风险评估和系统优化。
数学建模在计算科学中的应用
数学建模在计算科学中的应用计算科学是一门基础科学，它以计算机技术与数学理论为基础，研究计算机算法、结构和性能，并探索计算机与现实世界之间的关系。
数学建模则是计算科学的一个分支，它通过运用数学理论和方法，模拟和描述现实世界中的问题，并为解决这些问题提供可靠的数学模型和解法。
在计算科学的发展中，数学建模已经得到了广泛的应用，它在各个领域都起着非常重要的作用，尤其是在计算机网络、人工智能、图像处理、金融、医学、地质勘探等领域中。
在计算科学中，数学建模起着至关重要的作用。
数学建模的过程通常包括了模型的建立、意义的分析、数值的计算和结果的解释等步骤。
数学建模的过程就是简单化一个复杂的现实问题，将其与数学联系起来，然后建立一个包含有问题所在数学模型，最后用计算机求解，然后得出相应的结果。
其中，最关键的步骤就是模型的建立和求解，因为只有建立出一个与实际情况尽可能地接近的数学模型，才能得出一个符合实际的结果，进而解决实际问题。
数学建模在计算科学中的应用非常广泛。
例如，在计算机网络中，数学建模可以用来分析网络的拓扑结构、研究数据传输等方面；在人工智能中，数学建模可以用来构建智能机器人、智能系统等；在图像处理中，数学建模可以用来实现图像的压缩、分割、识别等功能；在金融领域中，数学建模可以用来预测股票价格、研究概率统计等；在医学领域中，数学建模可以用来模拟人体系统、研究疾病传播和患者管理等方面。
下面结合几个具体的应用，来进一步说明数学建模在计算科学中的重要性和应用价值。
一、计算机网络计算机网络是计算机技术应用范围广泛的一个领域，它不仅可以提供人们通信，而且可以将不同地区的代理商连接起来，加强经济交流。
为了让计算机网络正常运行，需要进行网络规划，而这个过程中数学建模起到了重要的作用。
首先，我们需要建立网络的拓扑模型，用图论的方法来描述网络节点的关系；然后需要分析参数，如网络带宽、传输速度等，将其转换成数学公式；最后，利用数学计算方法，来检验网络各个环节的可靠性。
数学建模与计算方法在航空航天中的应用
数学建模与计算方法在航空航天中的应用随着航空航天技术的不断发展，数学建模与计算方法在其中的应用越来越广泛。
数学建模是指将实际问题用数学语言和符号表达出来，通过数学方法求解问题的过程。
而计算方法则是指利用计算机等工具进行求解的方法。
在航空航天领域，数学建模与计算方法的应用涉及到多个方面，下面我们就来具体了解一下。
首先，在航空航天设计中，数学建模与计算方法是必不可少的。
例如，在飞机设计中，需要进行气动力学计算，通过数学建模得到飞机在不同飞行状态下的气动力学特性，进而进行优化设计。
在火箭发动机设计中，需要进行燃烧室内流场分析，通过数学建模得到燃烧室内的流场分布和温度分布，进而确定燃烧室的结构和材料。
这些都需要数学建模和计算方法的支持。
其次，在航空航天控制领域，数学建模与计算方法也扮演着重要角色。
例如，在导弹控制中，需要进行导弹的动力学建模和控制器设计，通过数学建模和计算方法得到导弹的运动状态和控制器参数，进而实现导弹的精确控制。
在卫星控制中，需要进行卫星的姿态控制和轨道控制，通过数学建模和计算方法得到卫星的运动状态和控制器参数，进而实现卫星的精确控制。
此外，在航空航天安全领域，数学建模与计算方法也具有重要作用。
例如，在飞机事故分析中，需要进行事故原因的分析和模拟重现，通过数学建模和计算方法得到事故发生时的各种参数和状态，进而确定事故原因和改进措施。
在航天器轨道安全分析中，需要进行轨道碰撞分析和避让决策，通过数学建模和计算方法得到轨道碰撞时的各种参数和状态，进而确定避让措施和轨道修正方案。
总之，数学建模与计算方法在航空航天领域中具有广泛应用，涉及到多个方面。
航空航天技术的不断发展离不开数学建模和计算方法的支持，只有不断完善和提高这些方法的应用效果和精度，才能更好地推动航空航天技术的发展。
数学建模和算法设计的关系
数学建模和算法设计的关系
数学建模和算法设计是两个相互关联的概念，它们在很多方面都有密切的关系。
数学建模是一种将现实世界的问题转化为数学问题的过程，通过建立数学模型来描述和解决实际问题。
它涉及到对问题的深入理解、选择合适的数学工具和技巧、建立数学方程和不等式等，以描述和预测事物的行为。
数学建模是使用数学语言描述实际问题的过程，通常需要简化问题、提取关键因素和假设等。
算法设计则是为了解决实际问题而设计的一系列计算步骤。
它涉及到对计算过程的理解、选择合适的算法和数据结构、优化算法的效率等。
算法设计通常需要考虑时间复杂度、空间复杂度、可扩展性和健壮性等因素，以确保算法能够有效地解决问题。
数学建模和算法设计之间的关系在于，数学建模是将实际问题转化为数学问题的过程，而算法设计则是解决这些数学问题的方法和步骤。
在很多情况下，数学建模和算法设计是相互依赖的，它们都需要对问题进行深入理解和分析，选择合适的数学工具和算法，并优化解决方案。
在研究和应用中，数学建模和算法设计经常一起使用，以解决复杂的问题。
例如，在机器学习和数据分析中，数学建模用于描述和预测数据的行为，而算法设计则用于设计和优化模型，以实现更好的性能和准确性。
在计算机图形学中，数学建模用于描述三维物体的形状和运动，而算法设计则用于实现高效的渲染和动画效果。
总之，数学建模和算法设计都是解决问题的重要工具，它们之间的关系非常密切。
通过结合数学建模和算法设计，可以更好地解决复杂的问题，实现更好的性能和准确性。
数学建模与计算
数学建模与计算1 多元线性回归1.1 回归系数的计算假设变量y 与p 个变量x 1, x 2, … , x p 之间存在以下线性关系：y = b 0 + b 1x 1 + b 2x 2 + … + b p x p (+ ε) (1.1)这些变量的n 组观测值如表1.1所示。
将这些数值代入(1.1)得y 1 = b 0 + b 1x 11 + b 2x 12 + … + b p x 1p y 2 = b 0 + b 1x 21 + b 2x 22 + … + b p x 2p ……y n = b 0 + b 1x n 1 + b 2x n 2 + … + b p x np (1.2)这是一个关于b 0, b 1, …,b p （待估参数）的线性方程组。
一般来说方程个数n 远大于变量个数p , 是一个不相容的线性方程组。
但是可以求出b 0, b 1, …,b p 的一组数值代入(1.2)式右边，使得等号两边的数值尽可能接近。
最常用的便是最小二乘法，即Min Q (b 0, b 1, …,b p ) =∑=----ni ip p i i x b x b b y 12110)...(令Y = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y 21, X =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛np n n p p x x x x x x x x x 212222*********, β =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛p b b b 10, 得Min Q (β) = (Y - X β)T (Y - X β) = Y T Y - 2Y T X β + βT X T X β这是一个关于β的凸二次函数。
令ββ∂∂)(Q = -2 X T Y + 2 X T X β = 0， 得到X T X β = X T Y .此式称为正规方程组或法方程组。
如果X T X 可逆，则βˆ= (X T X )-1X T Y . (1.3) 其中βˆ= (0ˆb ,1ˆb ,…, pb ˆ)T 。
数学建模与科学计算
数学建模与科学计算数学建模与科学计算是现代科学领域中的两个重要组成部分。
它们在各个学科领域中发挥着巨大的作用，为科学研究和工程应用提供有力的支持。
本文将从数学建模和科学计算的概念、应用和发展趋势等方面进行论述。
一、数学建模的概念及应用数学建模是将实际问题抽象为数学模型，通过建立数学模型来描述问题的数学特征和关系，进而进行问题求解和预测的一种方法。
数学建模广泛应用于自然科学、工程技术、经济管理等领域。
例如，在生态学中，可以利用数学建模的方法研究生态系统中的物种相互作用、能流传递等问题；在交通流动控制中，可以通过模拟交通流动的数学模型，提出优化交通流量的方案；在金融领域，可以利用数学建模的方法预测股票市场的走势等。
数学建模不仅能够提供问题的解决方案，还可以揭示问题背后的科学规律和内在机制。
通过数学建模，可以深入了解和研究问题，为科学发展和实践应用提供理论支撑和决策依据。
二、科学计算的概念及应用科学计算是利用计算机和数学方法来研究和解决科学问题的一种手段。
它借助于数值计算、仿真模拟等技术，对复杂的实际问题进行数值求解和计算分析。
科学计算广泛应用于物理学、化学、生物学、地球科学等领域。
科学计算在科学研究中的作用不可忽视。
通过数值模拟和计算实验，可以模拟和研究大规模、高复杂度的问题，探索事先未知的现象和规律。
例如，天体物理学家可以通过数值模拟重现宇宙大爆炸的过程，从而研究宇宙的起源和演化；生物学家可以通过分子动力学模拟，研究蛋白质的结构和功能。
科学计算的方法和结果为科学家们提供了更多的研究手段和途径，推动了科学的进步和发展。
三、数学建模与科学计算的交叉应用数学建模和科学计算是相辅相成、相互依赖的。
在数学建模过程中，科学计算为建模提供了重要的工具和方法。
数学模型往往是复杂的，难以用解析方法求解，而科学计算则可以通过数值计算求解模型，提供定量和准确的结果。
例如，物理学家可以通过数值求解微分方程模拟天体运动，预测行星轨道的变化；工程师可以通过有限元法数值模拟材料的受力和变形情况，优化设计方案。
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数学建模与计算1 多元线性回归1.1 回归系数的计算假设变量y 与p 个变量x 1, x 2, … , x p 之间存在以下线性关系：y = b 0 + b 1x 1 + b 2x 2 + … + b p x p (+ ε) (1.1)这些变量的n 组观测值如表1.1所示。
将这些数值代入(1.1)得y 1 = b 0 + b 1x 11 + b 2x 12 + … + b p x 1p y 2 = b 0 + b 1x 21 + b 2x 22 + … + b p x 2p ……y n = b 0 + b 1x n 1 + b 2x n 2 + … + b p x np (1.2)这是一个关于b 0, b 1, …,b p （待估参数）的线性方程组。
一般来说方程个数n 远大于变量个数p , 是一个不相容的线性方程组。
但是可以求出b 0, b 1, …,b p 的一组数值代入(1.2)式右边，使得等号两边的数值尽可能接近。
最常用的便是最小二乘法，即Min Q (b 0, b 1, …,b p ) =∑=----ni ip p i i x b x b b y 12110)...(令Y = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n y y y 21, X =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛np n n p p x x x x x x x x x 212222*********, β =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛p b b b 10, 得Min Q (β) = (Y - X β)T (Y - X β) = Y T Y - 2Y T X β + βT X T X β这是一个关于β的凸二次函数。
令ββ∂∂)(Q = -2 X T Y + 2 X T X β = 0， 得到X T X β = X T Y .此式称为正规方程组或法方程组。
如果X T X 可逆，则βˆ= (X T X )-1X T Y . (1.3) 其中βˆ= (0ˆb ,1ˆb ,…, pb ˆ)T 。
定义1. n 元实值函数f (x ) = f (x 1, x 2, … , x n )的n 个偏导数构成的向量称为梯度函数，记为∇f (x )或xx f ∂∂)(, 即 x x f ∂∂)( = Tnx x f x x f x x f ))(,,)(,)((21∂∂∂∂∂∂ . 结论1.1. 设c 和x 是n 维数向量，那么xx c T ∂∂)(= c .结论1.2. 设A 是n ⨯ n 对称矩阵，x 是n 维向量，那么xAx x T ∂∂)(= 2Ax 。
结论1.3. X T X 可逆的必要充分条件是X 的列线性无关。
1.2 回归方程的检验定义总平方和SS tot = ∑-=ni i y y 12)(,回归平方和SS reg = ∑-=n i i y y12)ˆ(, 残差平方和SS err = ∑-=ni i i yy 12)ˆ(, 其中y =∑=n i i y 1/ n , i yˆ = 0ˆb +1ˆb x i 1 + … +p b ˆx ip 。
另外 R 2=totreg SS SS ,调节的R 2 = 1 - (1 - R 2)11---p n n .通常，R 2或调节的R 2大于0.95时可认为回归方程成立。
1.3 可以用线性回归方法求解的非线性模型(1) 二次函数y = c 0 + c 1x + c 2x 2.将x 2看作一个新的变量，这是一个具有2个自变量的线性模型。
设x 的观测值为x 1, x 2, … , x n , y 的观测值为y 1, y 2, … , y n , 则公式(1.3)中的X = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222211111n n x xx x x x , Y = ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n y y y 21, β = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210c c c(2) C-D 函数Y = AL αK β其中L 是劳动力的投入，K 是资金投入，Y 是产出，A 称为技术系数。
A , α, β是待估参数。
两边取对数得ln Y = ln A + αln L + βln K(3) 施工区交通事故模型[2]ln f = α0 + α1ln L + α2D1 + α3Q 1+ α4U 其中f 是施工区交通事故频率，L 是施工区长度，D 是施工期，Q 是交通流量, U 是道路类型。
(4) 单隧道地表沉降槽的高斯曲线模型S = S max 2ax e其中S 是x 处的沉降深度，S max 和a 是待估参数。
两边取对数得ln S = ln S max + ax 2.1.4 不可以用线性回归方法求解的非线性模型(1) 逻辑增长曲线预测模型btt ae ky -+=1其中y t 是第t 期某经济指标的数值，k , a , b 是待估参数。
(2) 双隧道地表沉降槽的高斯曲线模型[3]S = s 121x a e+ s 222)(u x a e-其中S 是x 处的沉降深度，u 是两隧道中心的距离，s 1, a 1, s 2, a 2是待估参数。
以上两个模型的参数可用非线性最小二乘法求取。
假设变量y 自变量x (∈R p )之间存在以下关系:y = f (x ; β)(+ ε)其中β ∈ R m 是待估参数。
给定因变量与自变量的若干组观测值(y i , x i )，非线性最小二乘的数学模型如下：∑-=ii i x f y Q 2)),((min ββ这是一个无约束极值问题，由于形式特殊，可用Levenberg-Marquardt(LM)方法求解，见[4]p262-266.习题(1) 证明结论1.1, 1.2和1.3。
(2) 编一个计算程序计算(X T X)-1。
参考文献[1] 盛骤，谢式千，潘承毅. 概率论与数理统计，高等教育出版社，1997.[2] Qiang Meng, Jinxian Weng, Xiaobo Qu. A probabilistic quantitative risk assessment model for the long-term work zone crashes, Accident Analysis and Prevention, 2010, (42) 1866-1877.[3] 马灵. 基于数据挖掘的隧道施工地表沉降规律研究，华中科技大学博士学位论文，2013.[4] Jorge Nocedal, Stephen J Wright. Numerical Optimization数值最优化，科学出版社，2006.2 神经网络2.1 BP神经网络回归分析是寻求因变量y与自变量x (∈R p)之间函数关系的一种统计分析方法。
这种方法需要给定两者之间函数关系的形式y = f(x; β), 利用因变量与自变量的若干组观测值(y i, x i)确定参数β(∈R m)，一般用最小二乘法。
y = f(x; β)是x的线性函数时称为线性最小二乘问题，是x的非线性函数时称为非线性最小二乘问题。
对于许多实际问题，因变量与自变量之间的关系很复杂，难以确定它们之间函数关系的形式。
（人工）神经网络不要求明显地给出因变量与自变量之间函数关系的表达式。
神经网络是由一些单元（神经元）按一定方式连接而成的网络，其形式多种多样，最常用的是分层前向神经网络，其第一层是输入层，最后一层是输出层，中间一般有1或2层，称为隐层。
输入层和输出层单元的个数由需要解决的问题本身决定，隐层单元的个数由实验确定，使得网络的输出尽可能与目标值接近。
图2.1是一个具有三个输入两个输出一个隐层的神经网络，其中的圆圈表示单元，与圆圈相连的箭线表示其输入或输出。
图2.1 神经网络的例子神经网络的每个单元对应一个数字，称为输出。
输入层单元的输入相当于自变量的观测值。
隐层和输出层每个单元的输入是前一层各单元输出的加权和，称为净输入。
将净输入代入一个称为激励函数或传递函数的一元函数，得到的数值便是该单元的输出。
为了防止各单元的净输入不至于过大或过小，有时需加上一个数值，称为调整量。
神经网络的主要工作是不断调整权值，称为训练，使得其输出尽可能接近理想输出（相当于回归分析中因变量的观测值）。
调整权值的方法很多，最有名的是分层神经网络中使用的误差反向传播（Back Propagation, BP ）算法。
在分层神经网络中，隐层和输出层每个单元的输出递归地确定。
设神经网络有p 个输入，q 个输出，分L 层。
激励函数为g (∙)。
用w ij l 表示第l - 1层单元i 指向第l 层单元j 的连接权。
在给定p 个输入y 11, y 21, … , y p 1和所有连接权的前提下，其他单元的输出由左到右由上到下依次计算。
第l 层单元j 的净输入h j l =∑-il ij l i w y 1 第l 层单元j 的输出y j l = g (h j l ), l = 2, … , L .对隐层和输出层每个单元由左到右进行的以上运算称为前向传播。
以图2.1网络部分单元为例说明前向传播计算方法。
隐层第1个单元的净输入h 12 = y 11w 112 + y 21w 212 + y 31w 312.该单元的输出y 12 = g(h 12).输出层第1个单元的净输入h 13 = y 12 w 113+ y 22w 213 + y 32w 313 + y 42w 413.该单元的输出y 13 = g(h 13).计算涉及的数据见图2.2。
2图2.2 前向传播（部分）示意图一般来说，图2.1隐层各单元的净输入和输出为∑==31212i ij i jw y h , )(22j j h g y =, j = 1, 2, 3, 4. (2.1)图2.1输出层各单元的净输入和输出为∑==41323i ij i jw y h ，)(33j j h g y =，j = 1, 2. (2.2) 激励函数有许多，例如（[1]p124）(1) 线性函数g (x ) = cx .(2) 符号函数g (x ) = sgn(x ) = ⎩⎨⎧<-≥.0,1,0,1x x(3) Sigmoid 函数g (x ) =xe -+11.(4) 双曲函数g (x ) = xxe e --+-11.神经网络每层用到的激励函数可能不一样（[2]p132），根据实验效果确定。
设神经网络最后一层单元j 的目标值为d j L ，为了使得各单元的输出y j L 尽可能接近d j L ，极小化误差平方和：∑==-=q j L j L j wy d E 12)(21min ∑=-qj L j L j h g d 12))((21 (2.3)以获取连接权w ij l 的数值。
E 的表达式称为成本函数或业绩函数，w 是所有连接权构成的向量。
由于h j L =∑-kLkj L k w y 1,按照复合函数求导法，E 对第L - 1层单元i 与第L 层单元j 的连接权w ij L 的偏导数Lijw E∂∂= j h E ∂∂L ij L j w h ∂∂= -(d j L - y j L ) g ’(h j L ) y iL -1. (2.4) 其中L jh E ∂∂=-(d j L - y j L ) g ’(h j L )。