第一节 线段、角、相交线与平行线
2023年中考数学一轮复习课件：线段、角、相交线与平行线(含命题)
个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题
随堂练习
1. 如图，A，B两点之间的距离为8，①，②，③，④分别代表从点A到
点B的不同路线，点C是线段AB的中点，点D在AB上，且AD＝3.(1)从点
A到点B的4条不同路线中，最短的是________；②(2)BD＝______，CD＝
______． 5
1
第1题图
2.点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12 cm，
则线段BD的长为( C )A. 10 cm
B. 8 cmC. 10 cm或8 cm
D. 2 cm或4 cm
3. 如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC，点E是OD上一点，过点
E作EF⊥AB于点F.(1)若∠AOD＝28°30′，则∠AOD的余角为________，
平行
【知识拓展】平行线求角度的辅助线作法：情形一： ∠ABE＋∠DCE＝∠BEC
情形二： ∠ABE＋∠DCE＋∠BEC＝360°
情形三： ∠ABE－∠DCE＝∠BEC
考点5 命题
命题 判断一件事情的语句，叫做命题，命题有题设和结论两部分 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题 假命题 如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题
同位角 ∠1与___∠__5___，∠2与∠6，∠4与_∠__8___，∠3与___∠__7___ 内错角 ∠2与__∠__8____，∠3与∠5 同旁内角 ∠2与∠5，∠3与__∠__8____
2. 垂线及性质 垂线段
过直线外一点，作已知直线的垂线， 该点与垂足之间的线段
21第21讲 线段、角、相交线与平行线
第二部分空间与图形第五章简单平面图形的认识与三角形第21讲线段、角、相交线与平行线本讲重点：直线、线段、射线，角的概念、度量和分类，相交线，平行线性质及判定.【考点链接】1．直线和线段的性质（2）直线和线段的性质：直线的性质：（1）经过两点有且只有一条直线，即两点一条直线；（2）两条直线相交，有且只有个交点．一线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短，即两点之间，最短．2．角与角的平分线的性质（1）角的定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角；角也可以看成是由一条射线绕着它的端点而成的图形．（2）角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角， 1°=6 0′，1′= 6 0″.（3）角的分类：（4）相关角及其性质：余角：如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角；同角或等角的余角 . 补角：如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；同角或等角的补角．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．对顶角．（5）角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个的角，这条射线叫做这个角的平分线．角平分线上的点到角两边的距离 .3．同位角、内错角、同旁内角的认识（1）同一平面内两条直线的位置关系是：相交或．（2）“三线八角”的识别：三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角．正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同，即“同旁”和“同规”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”．4．平行线的性质和判定（1）平行线的定义：在同一平面内．的两条直线是平行线．（2）平行线的性质：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，相等，同旁内角互补．②过直线外一点有且只有条直线和已知直线平行．（3）平行线的判定：①两条直线被第三条直线所截，如果同位角，那么这两条直线平行；如果内错角．那么这两条直线平行；如果同旁内角，那么这两条直线平行．②如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相．（4）平行线之间的距离：两条平行线之间的距离是指在一条直线上任意找一点向另一条直线作垂线，垂线段的就是两条平行线之间的距离.【典例探究】考点1 直线公理的应用及线段长的计算『例1』（1）（2012长沙模拟）经过任意三点中的两点共可以画出的直线的条数是（）A.一条或三条B.三条C.两条D.一条（2）（教材练习题改编）已知n（n≥2）个点P1，P2，P3，……，P n在同一个平面内，且其中没有任何三点在同一条直线上，设S n表示过这n个点中的任意两个点所作的直线条数，显然S2=1，S3=3，S4=6，S5=10，…，由此可推断S n=___ ___．（3）（2012三门模拟）如图，C、D是线段AB上的两点，若CB=4厘米，DB= 7厘米，且D 是AC的中点，则AC的长等于（）A．3厘米 B．6厘米 C．11厘米 D．14厘米『解析』（1）当三点都在同一条直线上时，可以画出一条直线，当三点不在同一条直线上时，根据“两点确定一条直线”，可以画出三条直线.故选A.（2）∵n个点中任意三点不在同一直线上．∴其中这一点分别与其他（n-1）个点可作（n-1）条直线．这样共可作n（n-1）条直线，此时两点间的直线重复作了一次，故S n=12n（n-1）．（3）求AC的长关键是求DC，而DC=BD-BC，因为CB=4厘米，DB= 7厘米，所以DC=BD-BC=3厘米，又因为D是线段AC的中点，所以AC=2DC=6厘米.选B.『备考兵法』求有关线段的长度时，要注意把已知量和未知量与图形对照起来，认真审题，仔细推敲条件，相信你记住这点，能很快找到解决问题的办法.考点2 补角与余角的概念及角的有关计算『例2』（1）（2012江苏南通）已知∠α＝32º，则∠α的补角为( ) A．58º B．68º C．148º D．168º（2）（课本习题改编题）一个角的补角比这个角的余角的4倍还多15°15′，求这个角的度数.（3）（2012北京市）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOD，若∠BOD=760，则∠BOM 等于( )A．38︒B．104︒C．142︒D．144︒(4) （2012山东滨州）借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（）A ．65°B ．75°C ．85°D ．95° 『解析』（1）根据互为补角的和等于180°列式计算即可得解：∵∠α=32°，∴∠α的补角为180°－32°=148°.故选C.（2）设这个角是x °，那么它的补角是180°－x °，它的余角是90°－x °． 根据题意，得180°－x °＝4(90°－x °)＋15°15′，180°－x °＝360°－4x °＋15°15′，3x °＝195°15′，x °＝65°5′. 答：这个角是65°5′.（3）由∠BOD=760，根据对顶角相等的性质，得∠AOC=760，根据补角的定义，得∠BOC=1040.由射线OM 平分∠AOD，根据角平分线定义，∠COM=380.∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=1420.故选C. (4) 利用一副三角板可以画出75°角，用45°和30°的组合即可.故选B.『备考兵法』在几何的求解问题中，经常用列方程的方法来求解，代数中等式的性质同样适用于几何中的量，如长度、角度等等.就是说，在等式的两边都加上或减去相等的量，仍是等式；等式两边都乘以或除以同一个数(除数不能是零)，仍是等式.这样给几何中的求解问题提供了一种好的解法.考点3 相交线、平行线的性质与判定『例3』(1) （2012四川内江）如图=∠=∠=∠3,1402,651,//00则b a ( )A.0100B.0105 C.0110 D.0115(2) （2012宁夏区）如图，C 岛在A 岛的北偏东45°方向，在B 岛的北偏西25°方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB＝ 度．(3) （2012四川广元）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度可能为( )A. 先向左转130°，再向左转50°B. 先向左转50°，再向右转50°C. 先向左转50°，再向右转40°D. 先向左转50°，再向左转40°『解析』(1) 如图，反向延长b ，形成∠4.∵//a b ，∴∠3=1800－∠4.又∵∠2=∠1＋∠4，即∠4=∠2—∠1.∴()()031802118014065105∠=-∠-∠=--=.故选B.(2) 如图，作北向线的平行线CD ，则由已知，根据两直线平行，内错角相等的性质，得∠ACD=450，∠BCD=250，∴∠ACB＝450＋250=700.(3) 根据题意画出图形，然后利用同位角相等，两直线平行与内错角相等，两直线平行，即可判定：如图：A 、∵∠1=130°，∴∠3=50°=∠2.∴a∥b，且方向相反；B 、∵∠1=∠2=50°，∴a∥b；C 、∵∠1=50°，∠2=40°，∴∠1≠∠2，∴a 不平行于b ；D 、∵∠2=40°，∴∠3=140°≠∠1，∴a 不平行于b.故选B.『备考兵法』反复运用平行线的性质和对顶角相等是解这类问题的关键.【当堂过关】1. （2011绍兴）如图，已知//,,34AB CD BC ABE C BED ∠∠=︒∠平分，则 的度数是( )A.17︒B. 34︒C. 56︒D. 68︒『解析』∠BED=2∠C. 『答案』D2. （2011杭州市）如图，三条直线相交于一点O ，其中，AB ⊥CO ，则∠1与∠2（ ）A ．互为补角B ．互为余角C ．相等D ．对顶角『解析』因为AB ⊥CO ，所以∠1+∠3=90°，而∠2=∠3，所以∠1+∠2=90°，所以∠1与∠2互为余角. 『答案』B3. （2012山西省）如图，直线AB∥CD，AF 交CD 于点E ，∠CEF=140°，则∠A 等于( ) A ． 35° B ． 40° C ． 45° D ． 50°『解析』∵∠CEF=140°，∴∠FED=180°﹣∠CEF=180°﹣140°=40°.∵直线AB∥CD，∴∠A=∠FED=40°.故选B.『答案』B4. （2011金华）如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1＝20°，那么∠2的度数是（）A．30° B.25° C.20° D.15°『解析』∠2=45°－∠1＝25°.『答案』B5. （2011浙江省）已知∠A=40°,则∠A的补角等于．『解析』∠A的补角等于180°－∠A=140º.『答案』140º6. （2011温州）如图，a∥b，∠1＝40°，∠2=80°，则∠3=度．『解析』∠3=∠1+∠2=120°.『答案』1207. （2012福建厦门）已知∠A＝40°，则∠A的余角的度数是．『解析』设∠A的余角是∠B，则∠A+∠B=90°，∵∠A=40°，∴∠B=90°－40°=50°. 『答案』50°8. （2012山东菏泽）已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC= cm．『解析』分类讨论.『答案』5或119. （2012山东德州）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）解：作图如下：C1，C2就是所求的位置.（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；（2）作线段AB的垂直平分线FG.则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置.10. （2012甘肃白银）为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．解：已知：A村、B村、C村，求作：一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等.作图如下：【浙江两年中考】1. （2012丽水）如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是（）A．120° B．135° C．150° D．160°『解析』由题意得：∠1＝30°，∠2＝60°，∵AE∥BF，∴∠1＝∠4＝30°.∵∠2＝60°，∴∠3＝90°－60°＝30°.∴∠ABC＝∠4＋∠FBD＋∠3＝30°＋90°＋30°＝150°.故选C.『答案』C2. （2012嘉兴）已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于（）A．40° B．60° C．80° D．90°『解析』设∠A=x，则∠B=2x，∠C=x+20°，则x+2x+x+20°=180°，解得x=40°，即∠A=40°. 『答案』A3. （2012义乌）如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．『解析』如图，∵∠1=40°，∴∠3=180°﹣∠1﹣45°=180°﹣40°﹣90°=50°.∵a∥b，∴∠2=∠3=50°.『答案』50°4. （2012宁波）如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB=度．『解析』∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC.∵∠ACD=110°，∴∠ACB=∠BAC=70°.∴∠B=∠40°，∵AE∥BD，∴∠EAB=40°.『答案』405. （2011衢州）如图，直尺一边AB与量角器的零刻度线CD平行，若量角器的一条刻度线OF的读书为70°，OF与AB交于点E,那么AEF∠=度.『解析』AEF∠=∠COF=70°.『答案』70【命题趋势提醒】角的有关概念，角的计算，线段的中点及各种角之间的关系、平行线的性质与判定、余角补角性质，在近几年各地区中考试卷中，常以填空、选择的形式为主进行考查，考查的题目较少，一般有一个或二个题．本章主要以考查基础知识为主，题目较简单，容易得分.【迎考精炼】一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选均不给分）1. (2012福州)如图，直线a∥b，∠1=70º,那么∠2的度数是( )A.50ºB.60ºC.70ºD.80º『解析』由题意直线a∥b，∠1与∠2的关系属于同位角，则∠1=∠2=70°.『答案』C2. （2011湖北黄石）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定21条直线，则n的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8『解析』先考查简单情形.『答案』B3. （2012福州模拟）下列四个角中,最有可能与70o角互补的角是（）BA C D『解析』70o角的补角是130°.『答案』D4. （2012贵州毕节）如图，△ABC的三个顶点分别在直线a、b上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( )A.40°B.60°C.80°D.120°『解析』∵a∥b，∴∠ABC=∠2=80°.∵∠1=120°，∠3=∠1－∠ABC.∴∠3=120°－80°=40°.『答案』A5. （2012四川凉山）如图，已知AB∥CD，∠DFE=135°，则∠ABE的度数为( )A．30 B．45C．60 D．90『解析』∵∠DFE=135°，∴∠CFE=180°－135°=45°.∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CFE=45°. 『答案』B6. （2012山东临沂）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是( )A．40°B．50°C．60°D．140°『解析』根据对顶角，平行线性质计算.『答案』B7. （2012北京四中模拟26）如图，AB∥CD，AC⊥BC，图中与∠CAB互余的角有（） A．1个 B.2个 C.3个 D.4个『解析』与∠CAB互余的角有∠CBA和∠BCD.『答案』B8. （2012山东聊城）将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( )A．75° B．90° C．105° D．120°『解析』如图，先根据直角三角形的性质得出∠BAE及∠E的度数，再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论：∵图中是一副直角三角板，∴∠BAE=45°，∠E=30°.∴∠AFE=180°﹣∠BAE﹣∠E=105°.∴∠α=105°.『答案』C9. （2012山东济宁）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于( )A．40° B．75° C．85° D．140°『解析』如图，∵AE，DB是正南正北方向，∴BD∥AE.∵∠DBA=45°，∴∠BAE=∠DBA=45°. ∵∠EAC=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°.又∵∠DBC=80°，∴∠ABC=80°﹣45°=35°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣60°﹣35°=85°.『答案』C10. （2012江苏连云港）如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( )A．50° B．60° C．70° D．80°『解析』如图，∵△BCD中，∠1＝50°，∠2＝60°，∴∠4＝180°－∠1－∠2＝180°－50°－60°＝70°.∴∠5＝∠4＝70°.∵a∥b，∴∠3＝∠5＝70°.故选C.『答案』C二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填在横线上）11. （2012广西南宁）如图所示，用直尺和三角尺作直线AB ，CD ，从图中可知，直线AB 与直线CD 的位置关系为 ．『解析』同位角相等，两直线平行.『答案』AB∥CD12. （2012四川绵阳）如图，AB∥CD，AD 与BC 交于点E ，EF 是∠BED 的平分线，若∠1=30°，∠2=40°，则∠BEF= 度.『解析』∵AB ∥CD ， ∴∠D=∠1=30°.∴∠BED =∠D+∠2=30°+40°=70°.∵EF 是∠BED 的平分线，∴∠BEF=35°.『答案』3513. （2012衢山初中一模）如图，在△ABC 中，∠C ＝90º，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ．若BD ＝10cm ，BC ＝8cm ，则点D 到直线AB 的距离是 cm ．『解析』角平分线上的点到角两边的距离相等.『答案』614. （2012河北）如图，AB CD ，相交于点O ，AC CD 于点C ，若BOD ∠=38，则A ∠等于 ．B『解析』观察图形得知BOD ∠与AOC ∠是对顶角，AOC BOD ∴∠︒=∠=38，又在Rt ACO ∆中，两锐角互余，52A ∴∠︒︒=︒=90-38.『答案』52︒15. （2011安徽芜湖）一个角的补角是3635'，这个角是 ．『解析』180°－3635'=14325'.『答案』14325'16. （2012四川乐山）如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点An ．设∠A=θ．则（1）∠A 1= ；（2）∠A n = ．『解析』考查简单情形找规律. 『答案』2θ；n 2θ 三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17.（6分）（2012甘肃白银）如图，直线l 1∥l 2，根据图中数据求∠α的度数.:Z§xx§]解：∵l 1∥l 2，∴130°所对应的同旁内角为180°－130°=50°.又∵α与（70°+50°）的角是对顶角，∴∠α=70°+50°=120°.18.（8分）（2012淄博市模拟）如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A =37º，求∠D 的度数．解: ∵AB ∥CD , ∠A =37º,∴∠ECD =∠A =37º. ∵DE ⊥AE ,∴∠D =90º–∠ECD =90º–37º=53º.19.（8分）（ 2012江津模拟）A 、B 两所学校在一条东西走向公路的同旁,以公路所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系,且点A 的坐标是(2,2),点B 的坐标是(7,3).(1)一辆汽车由西向行驶,在行驶过程中是否存在一点C,使C 点到A 、B 两校的距离相等,如果有?请用尺规作图找出该点,保留作图痕迹,不求该点坐标.(2)若在公路边建一游乐场P,使游乐场到两校距离之各最小,通过作图在图中找出建游乐场的位置,并求出它的坐标.解： (1)存在满足条件的点C ，作图略；（2）作出点A 关于x 轴的对称点A /(2,-2), 连接A /B ，与x 轴的交点即为所求的点P.设A /B 所在的直线的解析式为： y=kx+b, 把A /(2,-2), B(7,3)分别代入得：⎩⎨⎧-=+=+2237b k b k 解得：⎩⎨⎧-==41b k .所以： y=x －4. 当y=0时，x=4,所以交点P 为（4，0）.20.（8分）（2012重庆模拟）为进一步打造“宜居重庆”，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M 到广场的两个入口A 、B 的距离相等，且到广场管理处C 的距离等于A 和B 之间距离的一半，A 、B 、C 的位置如图所示．请在原图上利用尺规作出音乐喷泉M 、位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)解：如图：AB C DE.A(2, 2) .B(7, 3) y O x21.（8分）（2012广东佛山）比较两个角的大小，有以下两种方法(规则)①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；②构造图形，如果一个角包含(或覆盖)另一个角，则这个角大．对于如图给定的∠ABC 与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小．注：构造图形时，作示意图（草图）即可．解：①用量角器度量∠AOB的度数时，把量角器的圆心和角的顶点重合，零刻度线和角的一条边OA重合，角的另一条边OB落在读数为130°的刻度线上，连接AB，则∠ABO=180°－130°=50°；同法量出∠DEF=70°.∴∠DEF＞∠ABC.②如图：把∠ABC放在∠DEF上，使B和E重合，边EF和BC重合，DE和BA在EF的同侧，从图形可以看出∠DEF包含∠ABC，即∠DEF＞∠ABC.22.（8分）（2012杭州市模拟）如图, 在平面直角坐标系xOy中, 点A(0,8), 点B(6 , 8 ).(1) 只用直尺(没有刻度)和圆规, 求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件(要求保留作图痕迹, 不必写出作法)：1）点P到A，B两点的距离相等；的两边的距离相等.2）点P到xOy(2) 在(1)作出点P后, 写出点P的坐标.解：(1) 如图, 点P 即为所求作的点;(2) 设AB 的中垂线交AB 于E ，交x 轴于F ，由作图可得, EF AB ⊥, EF x ⊥轴, 且OF =3, ∵OP 是坐标轴的角平分线，∴P (3，3).。
几何图形初步线、角、平行线
几何图形：点、线、面、体称为几何图形。
圆柱体、圆锥体、球体等各个部分不在同一个平面内的几何图形称为_________.而直线、射线、角、三角形、平行四边形、梯形和圆也都是几何图形，这些图形所表示的各个部分都在同一平面内，称为___________。
线段、射线和直线：线段可以用表示它的两个端点的大写字母表示，也可以用一个小写字母表示，如图的线段可以记作“线段AB”或“线段BA”，也可以记作“线段a”。
A Ba直线可以用它上面任意两个点的大写字母表示，也可以用一个小写字母表示。
如图的直线可以记作“直线AB”或“直线BA”，也可以记做“直线l”。
射线用表示它的端点和射线上另外任意一点的两个字母表示，表示端点的字母要写在前面。
如图的射线记做“射线_______”，而不能记做“射线_______”。
为什么？经过两点_________________直线，即两点确定一条直线。
将线段向一个方向无限延长就形成了________；将线段向两个方向无限延长就形成了______；直线上两点间的部分就是______；直线上一点的一旁部分就是________。
如何用直尺和圆规作出一条线段，使它们等于已知线段a?两点之间______最短。
角角可以看成由两条________的射线所组成的图形，这个公共端点叫这个角的_______，或由一条______绕着它的__________旋转而成的图形，起始位置的射线叫做__________，终止位置的射线叫做________角的三种表示方法：______________________________________________-____________________________________________________________________________________________等于90度的角叫______，小于90度的角就是_____，大于直角而小于平角的角是_______如果两个锐角的和为_______,我们就说这两个角互为_______,简称_______;如果两个角的和为平角,我们就说这两个角互为_______,简称_______;从一个角的顶点引出的一条射线。
线段、角、相交线和平行线
类型二
相交线
例2 (2013·金华、丽水)如 图， 在Rt△ABC中，∠A＝Rt∠， ∠ABC的平分线BD交AC于点D， AD＝3，BC＝10，则△BDC的面 积是________． 【思路分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求 出DE＝3，根据三角形的面积求出即可． 【答案】过D作DE⊥BC于E， ∵∠A＝90°，∴DA⊥AB， ∵BD平分∠ABC，∴AD＝DE＝3，
【思路分析】先设AE＝2x则FB＝4x，AB＝9x， ∴AD＝BD＝4.5x，∴4x＝12，即可解． 【答案】设AE＝2x，EF＝3x，FB＝4x，则AB＝9x. ∵D是AB的中点，∴AD＝BD＝4.5x. ∵FB＝12，∴4x＝12，x＝3. 又∵AF＝2x＋3x＝5x， ∴DF＝5x－4.5x＝0.5x＝0.5×3＝1.5. ∴AE∶AD＝2x∶4.5x＝2∶4.5＝4∶9.
A．45° B．54° C．40° D．50° 【思路分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC， 再根据角平分线的定义求出∠BAD，然后根据两直线 平行，内错角相等可得∠ADE＝∠BAD.
【答案】∵∠B＝46°，∠C＝54°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－46°－54° ＝80°， ∵AD平分∠BAC，
【解后感悟】在解答有关线段的计算问题时，一 般要注意以下几个方面： ①按照题中已知条件画出符合题意的图形是正确 解题的前提条件； ②学会观察图形，找出线段之间的关系，列算式 或方程来解答．
(学P58)
1．在直线l上，线段AB＝7cm，BC＝3cm，D是AC的 中点，求DB的长度．
线段 角 相交线 平行线知识点总结
线段角相交线平行线知识点总结知识点一线段射线和直线1．线段的性质(1)所有连接两点的线中，最短(2)线段的中垂线定理2．射线、线段又可看作是直线的一部分，即整体与部分的关系；将线段无限延长一方得到射线，两方无限延长可得到直线．3．直线、射线、线段的区别与联系知识点二角1．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；如果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做；平角的一半叫；大于直角小于平角的角叫做，大于0°小于直角的角叫做．2．1周角＝度，1平角＝度，1直角＝度，1°＝分，1分＝秒．3．余角、补角及其性质互为补角：如果两个角，那么这两个角叫做互为补角．互为余角：如果两个角，那么这两个角叫做互为余角．余角性质：．补角性质：．知识点三相交线1．对顶角及其性质对顶角：两条直线相交所得到的四个角中，没有公共边的两个角叫做．性质：．2．垂线及其性质垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线．性质：①经过一点有 条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连结的所有线段中， 最短(简说成： )． 知识点四 平行线1．平行线的定义在同一平面内， 的两条直线，叫平行线．2．平行公理经过已知直线外一点，有且只有 条直线与已知直线平行．3．平行线的性质(1)如果两条直线平行，那么 相等；(2)如果两条直线平行，那么 相等；(3)如果两条直线平行，那么 互补．4．平行线的判定(1)定义：在同一平面内不相交的两条直线，叫平行线；(2) ，两直线平行；(3) ，两直线平行；(4) ，两直线平行．考点练习1、如图，C 、D 是线段AB 上两点，若CB ＝4cm ，DB =7cm ，且D 是AC 的中点，则AC 的长等于（ ）A ．3cmB ．6cmC ．11cmD ．14cm 2、（2007重庆）已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）（A ）200 （B ）1200 （C ）200或1200 （D ）3603、已知∠α与∠β互余，且∠α=40°，且∠β的补角为______度．4、如图，已知a ∥b ，∠1=50°，则∠2=______度．5、如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ．求证：BF=2CF ．第3题图D C B A。
线段、角、相交线与平行线 PPT
点拨
解答
解 ∵AM∶MB＝5∶11， ∴可设AM＝5x，∴MB＝11x，AB＝16x， ∵AN∶NB＝5∶7，∴AN＝152AB＝230x， ∵MN＝AN－AM，
∴1.5＝230x－5x，解得：x＝0.9， ∴AB＝16x＝16×0.9＝14.4. 答：AB长度为14.4.
【变式1】 (1)如图，C、D是线段AB上的两点，且D是线段AC的中点， 若AB＝10cm，BC＝4cm，则AD的长为( B )
类型五 平行线的判定与性质的应用
【例5】 (2017·潍坊)如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足( B )
A.∠α＋∠β＝180° C.∠β＝3∠α
B.∠β－∠α＝90° D.∠α＋∠β＝90°
点拨
解
答案
【变式5】 (1)(2017·德州)如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P 作直线l的平行线的方法，其理由是__同__位__角__相__等__，__两__直__线__平__行___．
解
答案
解题要领 角平分线、直角、平角等是进行有关角的证明、计算与大小 比较的常用工具，因此熟悉角平分线的性质和角的概念是解决此类问题 的关键.
类型三 相交线
【例3】 如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD＝50°，则∠BOC＝ ___5_0____°.
点拨 根据对顶角的性质可得答案． 解 ∵∠BOC与∠AOD是对顶角， ∴∠BOC＝∠AOD＝50°.
A.60°
B.70°
解 ∵直线a∥b， ∴∠3＝∠1＝110°， ∴∠2＝180°－110°＝70°.
C.80°
D.110°
解
答案
(2)(2017·贵 港 ) 如 图 ， AB∥CD ， 点 E 在 AB 上 ， 点 F 在 CD 上 ， 如 果 ∠CFE∶∠EFB＝3∶4，∠ABF＝40°，那么∠BEF的度数为__6_0_°____．
第1讲 线段、角、相交线和平行线
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线段、角、相交线与平行线
平行线的作图
利用三角板和直尺
通过利用三角板的直角和直尺， 可以画出平行线。
利用平行线的性质
根据平行线的性质，可以通过已 知的一条直线和一点，画出与已
知直线平行的直线。
利用辅助线
在几何问题中，常常通过添加辅 助线来解决问题，其中包括作平 行线的问题。通过添加适当的辅 助线，可以构造出平行线，并解
决相关问题。
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02 角
角的定义与性质
定义
角是由两条射线共同端点形成的 平面图形。
性质
角的大小与射线的长度无关，只 与射线的夹角有关；角可以平分 ，角的内部和外部可以区分。
角的度量
度量单位
角度的度量单位是度（°），1度 等于360分之一圆周。度量工具来自可以使用量角器来测量角度的大小。
特殊角度
常见的特殊角度有0°、30°、45°、 60°和90°。
线段、角、相交线与平行线
目 录
• 线段 •角 • 相交线 • 平行线
01 线段
线段的定义与性质
线段是两点之间所有 点的集合，具有确定 的长度，并且只存在 于平面内。
线段是直线的一部分， 具有直线的所有性质， 如两点之间线段最短 等。
线段具有方向性，其 起点和终点是固定的， 但整个线段本身没有 方向。
性质
相交线具有角的补角性质、对顶角相 等性质、同位角相等性质等。
相交线的交角
交角的概念
两条相交线形成的角度称为交角，包括锐角、直角和钝角。
交角的性质
相交线的交角满足角度和为180度，即互补性质。此外，同 位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质也适用于相交 线的交角。
相交线的作图
第19课 线段、角、相交线和平行线
【类题演练 3-1】 如图 19-10，已知∠ AGF＝∠ABC，∠1＋∠2＝180°. (1)试判断 BF 与 DE 的位置关系，并 说明理由． (2)若 BF⊥AC，∠2＝135°，求∠AFG 的度数．
【解析】 (1)BF∥DE.理由如下： ∵∠AGF＝∠ABC，∴GF∥BC，∴∠1＝∠3. ∵∠1＋∠2＝180°，∴∠3＋∠2＝180°，∴BF∥DE. (2)∵∠2＝135°，BF∥DE，∴∠3＝45°. ∵∠1＝∠3，∴∠1＝45°. 又∵BF⊥AC，∴∠AFG＝90°－45°＝45°.
1．线段向一方无限延伸就成为射线．线段向两方无限延伸就成为 直线．线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁 的部分．
2．直线有以下的基本事实：经过两点有一条而且只有一条直线． 线段有以下的基本事实：两点之间线段最短． 连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离．
3．由两条有公共端点的射线所组成的图形叫做角，这个公共端点 叫做这个角的顶点．角也可以看成是由一条射线绕着它的端点 旋转而成的图形． 1 周角＝ 2 平角＝ 4 直角＝360°；1°＝ 60′ ，1′＝ 60″ ．
【答案】 B
图 19-3
4．(2018·北京)如图 19-4 所示的网格是正方形网格，∠BAC ∠DAE(填“＞”“＜”或“＝”)．
【答案】 ＞
图 19-4
5．(2019·娄底)如图 19-5，AB∥CD，AC∥BD，∠1＝28°，则∠2
的度数为
．
【答案】 28°
图 19-5
题型一 线段、角、相交线和平行线
【变式 2】 已知∠AOB＝150°，OC 是∠AOB 内一条射线，射线 OD 平分∠AOC，射线 OE 平分∠BOD．设∠AOD＝α(α≠50°)， 求|∠AO∠DC－O∠EBOE|的值．
2020年中考数学一轮复习第4章几何初步与三角形(付)
第四章几何初步与三角形第一节线段、角、相交线与平行线姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·浙江金华中考)如图，∠B的同位角可以是( )A．∠1 B．∠2C．∠3 D．∠42．(2018·江苏宿迁中考)如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC.若∠A＝35°，∠C ＝24°，则∠D的度数是( )A．24° B．59°C．60° D．69°3．(2018·山东枣庄中考)已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC＝30°)，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为( )A．20° B．30°C．45° D．50°4．(2018·湖南益阳中考)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD.下列说法错误的是( )A．∠AOD＝∠BOCB．∠AOE＋∠BOD＝90°C．∠AOC＝∠AOED．∠AOD＋∠BOD＝180°5．(2018·山东聊城中考)如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是( )A．110° B．115°C．120° D．125°6．(2018·浙江金华模拟)若∠α＝35°，则∠α的补角为__________度．7．(2018·湖南衡阳中考)将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC∥DE，则∠AFC 的度数为__________．8．(2018·湖南永州中考)一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB，CE相交于点D，则∠BDC＝__________.9. (2018·重庆中考B卷)如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE 交AB于点H，GE平分∠FGD.若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数．10．(2017·湖北十堰中考)如图，AB∥DE，FG⊥BC于点F，∠CDE＝40°，则∠FGB＝( )A．40° B．50°C．60° D．70°11．如图，已知点P是∠AOB的平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4 cm.如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为( )A．2 cm B．2 3 cm C．4 cm D．4 3 cm12．如图中有四条互相不平行的直线l1，l2，l3，l4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列正确的是( )A．∠2＝∠4＋∠7B．∠3＝∠1＋∠6C．∠1＋∠4＋∠6＝180°D．∠2＋∠3＋∠5＝360°13．如图，AB∥CD，∠CDE＝119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝130°，则∠F ＝____________.14．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC 的长是______.15．如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝__________.16．(2018·湖北鄂州中考)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，点E，F分别为DB，BC的中点，连结AE，EF，AF.(1)求证：AE＝EF；(2)当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系．17．已知O为直线AB上的一点，OC⊥OE于点O，射线OF平分∠AOE.(1)如图1，∠COF和∠BOE之间有何数量关系？并说明理由；(2)若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试问(1)中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明；若发生变化，请你说明理由；(3)若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并加以证明．18．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处(∠OMN＝30°)，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC.求∠BON的度数；(2)将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为________(直接写出结果)；(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC 的数量关系，并说明理由．参考答案【基础训练】1．D 2.B 3.D 4.C 5.C 6．145 7.75° 8.75°9．解：∵∠EFG＝90°，∠E＝35°， ∴∠FGH＝55°.∵GE 平分∠FGD，AB∥CD， ∴∠FHG＝∠HGD＝∠FGH＝55°. ∵∠FHG 是△EFH 的外角， ∴∠EFB＝55°－35°＝20°. 【拔高训练】 10．B 11.C 12.C 13．9.5° 14.3 15.95°16．(1)证明：∵点E ，F 分别为DB ，BC 的中点， ∴EF 是△BCD 的中位线，∴EF＝12CD.又∵DB＝DC ，∴EF＝12DB.在Rt△ABD 中，∵点E 为DB 的中点， ∴AE 是斜边BD 上的中线， ∴AE＝12DB ，∴AE＝EF.(2)解：如图，∵AE＝EF ，AF ＝AE ，∴AE＝EF ＝AF ， ∴△AEF 是等边三角形，∴∠AEF＝60°. ∵EF 是△BCD 的中位线， ∴EF∥CD，∴∠BEF＝∠CDB＝β，∴β＋∠2＝60°.又∵∠2＝∠1＋∠ADB＝∠1＋α，∴∠1＋α＋β＝60°，∴∠1＝60°－α－β. ∵AE 是斜边BD 上的中线， ∴AE＝DE ，∴∠1＝∠ADB＝α， ∴α＝60°－α－β，∴2α＋β＝60°. 17．解：(1)∠BOE＝2∠COF.理由如下： ∵∠COE＝90°， ∴∠BOE＝90°－∠AOC，∠COF＝∠AOF－∠AOC＝12(90°＋∠AOC)－∠AOC＝12(90°－∠AOC)，∴∠BOE ＝2∠COF.(2)不发生变化．证明如下：∵∠COE＝90°，∴∠COF＝90°－∠EOF，∠BOE＝180°－2∠EOF. ∴∠BOE＝2∠COF. (3)∠BOE＋2∠COF＝360°.证明如下：∵∠COE＝90°，∴∠COF＝90°＋∠EOF，∠BOE＝90°＋∠BOC＝90°＋90°－2∠EOF＝180°－2∠EOF. ∴∠BOE＋2∠COF＝360°. 【培优训练】18．解：(1)∵OM 平分∠BOC， ∴∠MOC＝∠MOB.又∵∠BOC＝110°，∴∠MOB＝55°. ∵∠MON＝90°，∴∠BON＝∠MON－∠MOB＝35°. (2)11或47(3)∠AOM－∠NOC＝20°.理由如下：∵∠MON＝90°，∠AOC＝70°， ∴∠A OM ＝90°－∠AON，∠NOC＝70°－∠AON，∴∠AOM－∠NOC＝(90°－∠AON)－(70°－∠AON)＝20°，∴∠AOM与∠NOC的数量关系为∠AOM－∠NOC＝20°.第二节三角形的基础姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·广西柳州中考)如图，图中直角三角形共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知，如图，在△ABC中，BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若DE＝8，则线段BD＋CE的长为( )A．5 B．6 C．7 D．83．(2018·湖北黄石中考)如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC 的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝( )A．75° B．80° C．85° D．90°4．(2017·四川巴中中考)若a，b，c为三角形的三边，且a，b满足a－9＋(b－2)2＝0，第三边c为奇数，则c＝______.5．(2017·四川乐山中考)点A，B，C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是_________.6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD⊥BC，垂足为点D ，AD ＝18，点E 在AC 上，且CE ＝12AC ，连结BE ，与AD 相交于点F.若BE ＝15，则△DBF 的周长是________.7．(2018·湖北宜昌中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E. (1)求∠CBE 的度数；(2)过点D 作DF∥BE，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数．8. (2019·易错题)如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A，B两点在网格格点上．若点C也在网格格点上，以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是( )A．2 B．3 C．4 D．59．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD＋PE的长是( )A．4.8 B．4.8或3.8C．3.8 D．510．(2017·辽宁大连中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，点E 是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( )A．2a B．22aC．3a D.43 3a11．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝22，E，F分别是AD，CD的中点，连结BE，BF，EF.若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为( )A．2 B.94C.52D．312．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连结EF交AP于点G.给出以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AE＝CF；③AP＝EF；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．其中正确的结论是( )A．只有① B．①②④C．①②③④ D．①②④⑤13．(2017·四川达州中考)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是______________.14．(2019·改编题)已知点G是面积为27 cm2的△ABC的重心，那么△AGC的面积等于______cm2.15．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点．若S△BFC＝1，则S△ABC＝______.16．有一组互不全等的三角形，它们的边长均为整数，每个三角形有两条边的长分别为5和7.(1)请写出其中一个三角形的第三边的长；(2)设该组中最多有n个三角形，求n的值；(3)当这组三角形个数最多时，从中任取一个，求该三角形周长为偶数的概率．17．(2017·山东德州中考)如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9 s．已知∠B＝30°，∠C＝45°.(1)求B，C之间的距离；(保留根号)(2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)18．如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A＝82°，则∠BEC＝________；若∠A＝a°，则∠BEC＝________．【探究】(1)如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝a°，则∠BEC ＝________；(2)如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？请说明理由；(3)如图4，O是外角∠DBC与外角∠BCE的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.A 4.9 5.3556.247．解：(1)∵在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠ABC＝90°－∠A＝50°， ∴∠CBD＝130°. ∵BE 是∠CBD 的平分线， ∴∠CBE ＝12∠CBD＝65°.(2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°， ∴∠CEB＝90°－65°＝25°. ∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°. 【拔高训练】8．C 9.A 10.B 11.C 12.D 13．1<m<4 14.9 15.416．解：(1)设三角形的第三边长为x. ∵每个三角形有两条边的长分别为5和7， ∴7－5<x<5＋7，即2<x<12，∴其中一个三角形的第三边的长可以为10(不唯一)． (2)∵2<x<12，它们的边长均为整数， ∴x＝3，4，5，6，7，8，9，10，11， ∴该组中最多有9个三角形，∴n＝9.(3)∵当x ＝4，6，8，10时，该三角形周长为偶数， ∴该三角形周长为偶数的概率是49.17．解：(1)如图，过点A 作AD⊥BC 于点D ，则AD ＝10 m.∵在Rt△ACD 中，∠C ＝45°， ∴Rt△ACD 是等腰直角三角形． ∴CD＝AD ＝10 m.在Rt△A BD 中，tan B ＝ADBD，∵∠B＝30°，∴BD＝3AD ， ∴BD＝10 3 m.∴BC＝BD ＋DC ＝(10＋103)m. 答：B ，C 之间的距离是(10＋103)m. (2)这辆汽车超速．理由如下： 由(1)知BC ＝(10＋103)m. 又3≈1.7，∴BC≈27 m， ∴汽车速度v ＝270.9＝30(m/s)．又∵30 m/s＝108 km/h ， 此地限速为80 km/h ，且108>80， ∴这辆汽车超速． 【培优训练】18．解：131° 90°＋12a°【探究】 (1)60°＋23a°(2)∠BOC＝12∠A.理由如下：由三角形的外角性质得，∠ACD ＝∠A＋∠ABC， ∠OCD＝∠BOC＋∠OBC，∵O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点， ∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACD＝2∠OCD， ∴∠A＋∠ABC＝2(∠BOC＋∠OBC)， ∴∠A＝2∠BOC，∴∠BOC＝12∠A.(3)∠BOC＝90°－12∠A.理由如下：∵O 是外角∠DBC 与外角∠BCE 的平分线BO 和CO 的交点，∴∠OBC＝12(180°－∠ABC)＝90°－12∠ABC，∠OCB＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB，在△OBC 中，∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－(90°－12∠ABC)－(90°－12∠ACB)＝12(∠ABC＋∠ACB)，由三角形的内角和定理得，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∴∠BOC＝12(180°－∠A)＝90°－12∠A.第三节 全等三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列说法正确的是( ) A ．两个等边三角形一定全等 B ．腰对应相等的两个等腰三角形全等 C ．形状相同的两个三角形全等 D ．全等三角形的面积一定相等2．如图，在▱ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，那么添加的条件不能为( )A ．BE ＝DFB ．BF ＝DEC ．AE ＝CFD ．∠1＝∠23．如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．(2017·四川眉山中考)如图，EF 过▱ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F.若▱ABCD 的周长为18，OE ＝1.5，则四边形EFCD 的周长为( )A．14 B．13 C．12 D．105．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB＝7，AC＝3，则BE的值为______．6．如图，在△ABC和△EDB中，∠C＝∠EBD＝90°，点E在AB上．若△ABC≌△EDB，AC＝4，BC＝3，则AE＝______.7．(2019·易错题)如图，在平面直角坐标系中，A，B两点分别在x轴、y轴上，OA＝3，OB ＝4，连结AB.点P在平面内，若以点P，A，B为顶点的三角形与△AOB全等(点P与点O不重合)，则点P的坐标为_______________________.8．(2018·广西桂林中考)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．9．(2018·陕西中考)如图，AB∥CD，E，F分别为AB，CD上的点，且EC∥BF，连结AD，分别与EC，BF相交于点G，H，若AB＝CD，求证：AG＝DH.10．如图，△ABC≌△ADE且BC，DE交于点O，连结BD，CE，则下列四个结论：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE.其中一定成立的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个11．在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，A(－4，0)，B(0，3)．若在该坐标平面内有以点P(不与点A，B，O重合)为一个顶点的直角三角形与Rt△ABO全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与Rt△ABO有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为( )A．9 B．7C．5 D．312．如图，△ABC为等边三角形，D，E分别是AC，BC上的点，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F.若BP＝4，则PF的长为( )A．2 B．3C．1 D．813．在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E 重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC(或它们的延长线)于点M，N，设∠AEM＝α(0°<α<90°)，给出下列结论：①AM＝CN；②∠AME＝∠BNE；③BN－AM＝2；④S△EMN＝2cos2α.上述结论中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．414．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC，∠BAC＝120°时，四边形AEFD 是正方形．其中正确的结论是________(请写出正确结论的序号).15．(2017·陕西中考)四边形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠BCD＝90°，连结AC.若AC＝6，则四边形ABCD的面积为________.16．(2017·四川广安中考)如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为点G.求证：AF＝BE.17．(2017·江苏常州中考)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE.(1)求证：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠DEC的度数．18．(2017·湖北恩施州中考)如图，△ABC，△CDE均为等边三角形，连结BD，AE交于点O，BC与AE交于点P.求证：∠AOB＝60°.19．(2017·重庆中考)在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M.点C是BM延长线上一点，连结AC.(1)如图1，若AB＝32，BC＝5，求AC的长．(2)如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连结ED并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.参考答案【基础训练】 1．D 2.C 3.C 4.C5．4 6.1 7.(3，4)或(－2125，2825)或(9625，7225)8．(1)证明：∵AC＝AD ＋DC ，DF ＝DC ＋CF ，且AD ＝CF ， ∴AC＝DF.在△ABC 和△DEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)解：由(1)可知，∠F＝∠ACB， ∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(55°＋88°)＝37°， ∴∠F＝∠ACB＝37°. 9．证明：∵AB∥CD，EC∥BF，∴四边形BFCE 是平行四边形，∠A＝∠D， ∴∠BEC＝∠BFC，BE ＝CF ， ∴∠AEG＝∠DFH. ∵AB＝CD ，∴AE＝DF.在△AEG 和△DFH 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，AE ＝DF ，∠AEG＝∠DFH， ∴△AEG≌△DFH(ASA)， ∴AG＝DH. 【拔高训练】10．C 11.A 12.A 13.C 14．①② 15.1816．证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝BC ，∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠AFB＋∠ABF＝90°.∵BF⊥CE，∴∠BEC＋∠ABF＝90°， ∴∠AFB＝∠BEC(等角的余角相等)． 在△AFB 和△BEC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠EBC，∠AFB＝∠BEC，AB ＝BC ，∴△AFB≌△BEC(AAS)， ∴AF＝BE.17．(1)证明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°， ∴∠BCA＝∠ECD. 在△BCA 和△ECD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BCA＝∠ECD，∠BAC＝∠D，BC ＝EC ，∴△BCA≌△ECD，∴AC＝CD. (2)解：∵AC＝AE ，∴∠AEC＝∠ACE. 又∵∠ACD＝90°，AC ＝CD ， ∴△ACD 是等腰直角三角形， ∴∠DAC＝45°，∴∠AEC＝12(180°－∠DAC)＝12(180°－45°)＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠AEC＝180°－67.5°＝112.5°. 18．证明：在△ACE 和△BCD 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE＝∠BCD，CE ＝CD ， ∴△ACE≌△BCD， ∴∠CAE＝∠CBD，∴∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABO ＝180°－∠BAO－∠ABC－∠CBD ＝180°－∠ABC－∠BAO－∠CAE ＝180°－60°－60°＝60°. 【培优训练】19．解：(1)∵AM⊥BM， ∴∠AMB＝∠AMC＝90°. ∵∠ABM＝45°，∴∠ABM＝∠BAM＝45°，∴AM＝BM. ∵AB＝32，∴AM＝BM ＝3. ∵BC＝5，∴MC＝2，∴AC＝AM 2＋CM 2＝13.(2)证明：如图，延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连结BG.∵DM＝MC ，∠BMD＝∠AMC＝90°，BM ＝AM ， ∴△BMD≌△AMC，故AC ＝BD. 又CE ＝AC ，因此BD ＝CE.∵点F 是线段BC 的中点， ∴BF＝FC ，由BF ＝FC ，∠BFG＝∠EFC，FG ＝FE ， ∴△BFG≌△CFE，故BG ＝CE ，∠G＝∠CEF， ∴BD＝CE ＝BG ，∴∠BDG＝∠G，∴∠BDF＝∠CEF.第四节 等腰三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交BC 于D ，连结AD.若AD ＝AC ，∠B＝25°，则∠C＝( )A ．70° B．60° C．50° D．40°2．(2017·四川南充中考)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( )A ．(1，1)B ．(3，1)C ．(3，3)D ．(1，3)3．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个4. (2018·四川绵阳中考)如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA ＝CB ，CE ＝CD ，△ACB的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE ＝2，AD ＝6，则两个三角形重叠部分的面积为( )A. 2B ．3－ 2 C.3－1D ．3－ 35．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点F ，过点O 作OD⊥AC 于点D ，下列四个结论：①EF＝BE ＋CF ； ②∠BOC＝90°＋12∠A；③点O 到△ABC 各边的距离相等； ④设OD ＝m ，AE ＋AF ＝n ，则S △AEF ＝mn. 其中正确的结论是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①③④6．(2018·黑龙江绥化中考)已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为__________________．7．(2018·湖南娄底中考)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD⊥BC 于点D ，DE⊥AB 于点E ，BF⊥AC 于点F ，DE ＝3 cm ，则BF ＝______cm .8．(2018·浙江嘉兴中考)已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E ，F ，且DE ＝DF.求证：△ABC 是等边三角形．9. (2018·江苏镇江中考)如图，△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC.(1)求证：△ABE≌△ACF；(2)若∠BAE＝30°，则∠ADC＝________°.10．如图，△ABC是等边三角形，点P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为Q.若BF＝2，则PE的长为( )A．2 B．2 3C. 3 D．311．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( )A．44° B．66° C．88° D．92°12．(2019·易错题)在一张长为8 cm，宽为6 cm的矩形纸片上，要剪下一个腰长为5 cm 的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的顶点A重合，其余的两个顶点都在矩形的边上)，这个等腰三角形的剪法有( )A．1种B．2种C．3种D．4种13．如图，等腰△ABC纸片(AB＝AC)可按图中所示方法折成一个四边形，点A与点B重合，点C与点D重合，则在原等腰△ABC中，∠B＝__________.14．(2018·辽宁葫芦岛中考)如图，∠MON＝30°，点B1在边OM上，且OB1＝2，过点B1作B1A1⊥OM交ON于点A1，以A1B1为边在A1B1的右侧作等边三角形A1B1C1；过点C1作OM的垂线分别交OM，ON于点B2，A2，以A2B2为边在A2B2的右侧作等边三角形A2B2C2；过点C2作OM的垂线分别交OM，ON于点B3，A3，以A3B3为边在A3B3的右侧作等边三角形A3B3C3，…；按此规律进行下去，则△A n A n＋1C n的面积为__________________．(用含正整数n的代数式表示)15．(2018·浙江绍兴中考)数学课上，张老师举了下面的例题：例1. 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)例2. 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．(1)请你解答以上的变式题；(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．16. (2018·青海中考)请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝a ，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连结CD.求证：△BCD 的面积为12a 2；(提示：过点D 作BC 边上的高DE ，可证△ABC≌△BDE)(2)探究2：如图2，在一般的Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，BC ＝a ，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连结CD.请用含a 的式子表示△BCD 的面积，并说明理由；(3)探究3：如图3，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝a ，将边AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，连结CD.试探究用含a 的式子表示△BCD 的面积，要有探究过程．17．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD ，CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，若BF ＝2，ED ＝3，GC ＝4，则△ABC 的周长为________．参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.B 4.D 5.A 6．50°或80° 7.68．证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E ，F ， ∴∠AED＝∠CFD＝90°. ∵D 为AC 的中点，∴AD＝DC. 在Rt△ADE 和Rt△CDF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝DC ，DE ＝DF ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A＝∠C， ∴BA＝BC ，∵AB＝AC ，∴AB＝BC ＝AC ， ∴△ABC 是等边三角形．9．(1)证明：∵AB＝AC ，∴∠B＝∠ACF. 在△ABE 和△ACF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠B＝∠ACF，BE ＝CF ，∴△ABE≌△ACF(SAS)． (2)75 【拔高训练】 10．C 11.D 12.C13．72° 14.(32)2n －2×3315．解：(1)若∠A 为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝50°； 若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝80°. 故∠B＝50°或20°或80°. (2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A 只能为顶角， ∴∠B 的度数只有一个； ②当0＜x ＜90时，若∠A 为顶角，则∠B＝(180－x2)°；若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B＝(180－2x)°； 若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B＝x°. 当180－x 2≠180－2x 且180－2x≠x 且180－x 2≠x，即x≠60时，∠B 有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x ＜90且x≠60时，∠B 有三个不同的度数． 16．(1)证明：过点D 作DE⊥CB 交CB 的延长线于点E ， ∴∠BED＝∠ACB＝90°.由旋转知AB ＝BD ，∠ABD＝90°， ∴∠ABC＋∠DBE＝90°. 又∵∠A＋∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠DBE. 在△ABC 和△BDE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ACB＝∠BED，∠A＝∠DBE，AB ＝BD ，∴△ABC≌△BDE(AAS)， ∴DE＝a ＝BC ， ∴S △BCD ＝12BC·DE＝12a 2.(2)解：过点D 作DE⊥CB，交CB 的延长线于点E ，由(1)得∠BED＝∠ACB＝90°.∵线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ， ∴AB＝BD ，∠ABD＝90°. ∴∠ABC＋∠DBE＝90°.∵∠A＋∠ABC＝90°.∴∠A＝∠DBE. 在△ABC 和△BDE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ACB＝∠BED，∠A＝∠DBE，AB ＝BD ，∴△ABC≌△BDE(AAS)， ∴BC＝DE ＝a.∵S △BCD ＝12BC·DE，∴S △BCD ＝12a 2.(3)解：如图，过点A 作AF⊥BC 于点F ，过点D 作DE⊥CB，交CB 的延长线于点E ，∴∠AFB＝∠E＝90°，BF ＝12BC ＝12a.∴∠FAB＋∠ABF＝90°.∵∠ABD＝90°，∴∠ABF＋∠DBE＝90°，∴∠FAB＝∠EBD. ∵线段BD 是由线段AB 旋转得到的， ∴AB＝BD.在△AFB 和△BED 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AFB＝∠E，∠FAB＝∠EBD，AB ＝BD ，∴△AFB≌△BED，∴BF＝DE ＝12a.∵S △BCD ＝12BC·DE，∴S △BCD ＝12a·12a ＝14a 2.∴△BCD 的面积为14a 2.【培优训练】 17．30第五节 直角三角形与勾股定理姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·海南中考)如图，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，∠BAC＝30°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△AB 1C 1，连结BC 1，则BC 1的长为( )A ．6B ．8C ．10D ．122．(2019·改编题)下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是( ) A ．一锐角对应相等 B ．两锐角对应相等 C ．一条边对应相等D ．两条直角边对应相等3．(2017·贵州毕节中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，斜边AB ＝9，D 为AB 的中点，F 为CD 上一点，且CF ＝13CD ，过点B 作BE∥DC 交AF 的延长线于点E ，则BE 的长为( )A ．6B ．4C ．7D ．124．(2018·山东德州中考)如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB，OC ＝5，OM ＝4，则点C 到射线OA 的距离为______．5．(2018·浙江宁波中考)如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1 200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_____________________米(结果保留根号)．6．(2017·湖南常德中考)如图，已知在Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D 是线段AE上的一动点，过点D作CD交BE于点C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________________.7．(2018·湖北襄阳中考)已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝3，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为__________．8．(2018·四川广安中考)下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：(1)画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形；(2)画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；(3)画一个面积为5的等腰直角三角形；(4)画一个一边长为22，面积为6的等腰三角形．9．已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3，则该直角三角形的面积为( ) A．5 B．6 C．7 D．810．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )A．90 B．100C．110 D．12111．(2018·江苏无锡中考)已知△ABC中，AB＝10，AC＝27，∠B＝30°，则△ABC的面积等于______________．12．(2017·湖北襄阳中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，若AC＝8，AB＝10，则CD的长为_______.13.如图，在平面直角坐标系中，将含30°角的三角尺的直角顶点C落在第二象限，其斜边两端点A ，B 分别落在x 轴、y 轴上，且AB ＝12 cm .(1)若OB ＝6 cm ， ①求点C 的坐标；②若点A 向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离； (2)点C 与点O 的距离的最大值＝________cm .14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝3，BC ＝4，分别以AB ，AC ，BC 为边在AB 同侧作正方形ABEF ，ACPQ ，BDMC ，记四块阴影部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝________．15．某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐(钝)角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图1△ABC 中，M 是BC 的中点，P 是射线MA 上的点，设APPM＝k ，若∠BPC＝90°，则称k 为勾股比．(1)如图1，过B，C分别作中线AM的垂线，垂足为E，D.求证：CD＝BE.(2)①如图2，当k＝1，且AB＝AC时，AB2＋AC2＝________BC2(填一个恰当的数)．②如图1，当k＝1，△ABC为锐角三角形，且AB≠AC时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由；③对任意锐角或钝角三角形，如图1，3，请用含勾股比k的表达式直接表示AB2＋AC2与BC2的关系(写出锐角或钝角三角形中的一个即可)．参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.A 4.3 5.1 200(3－1) 6．0<CD≤5 7.23或27 8．解：(1)如图(1)所示． (2)如图(2)所示． (3)如图(3)所示． (4)如图(4)所示．【拔高训练】 9．C 10.C11．153或10 3 12.25813．解：(1)①如图，过点C 作y 轴的垂线，垂足为点D ，在Rt△AOB 中，AB ＝12，则BC ＝6.∵OB＝6＝BC ，AB ＝AB ， ∴Rt△ABC≌Rt△ABO， ∴∠BAO＝30°，∠AB O ＝60°. 又∵∠CBA＝60°，∴∠CBD＝60°，∠BCD＝30°， ∴BD＝3，CD ＝33， ∴OD＝BD ＋OB ＝3＋6＝9，∴点C 的坐标为(－33，9)．②如图，设点A 向右滑动的距离为x ，根据题意得点B 向上滑动的距离也为x.∴AO＝AB·cos∠BAO＝12×cos 30°＝6 3. ∴A′O＝63－x ，B′O＝6＋x ，A′B′＝AB ＝12. 在△A′OB′中，由勾股定理，得 (63－x)2＋(6＋x)2＝122， 解得x 1＝0(舍去)，x 2＝6(3－1)． ∴滑动的距离为6(3－1)cm. (2)12 【培优训练】 14．1815．(1)证明：∵M 是BC 的中点，∴BM＝CM. ∵BE⊥AM 于E ，CD⊥AM 于D ， ∴∠E＝∠CDM＝90°. 在△BME 和△CMD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠E＝∠CDM＝90°，∠BME＝∠CMD，BM ＝CM ，∴△BME≌△CMD(AAS)，∴CD＝BE. (2)①AB 2＋AC 2＝2.5BC 2②结论仍然成立．设EM ＝DM ＝a ，则AE ＝AM ＋a ，AD ＝AM －a.在Rt△ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2＝(AM ＋a)2＋BE 2＝AM 2＋2AM·a＋a 2＋BE 2， 在Rt△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝(AM －a)2＋CD 2＝AM 2－2AM·a＋a 2＋CD 2， ∴AB 2＋AC 2＝2AM 2＋(a 2＋BE 2)＋(a 2＋CD 2)． ∵BE⊥AM 于E ，CD⊥AM 于D ， ∴∠E＝∠CDM＝90°，∴a 2＋BE 2＝BM 2＝14BC 2，a 2＋CD 2＝CM 2＝14BC 2，∴AB 2＋AC 2＝2AM 2＋12BC 2.∵APPM＝1，∴AP＝PM. ∵∠BPC＝90°，AM 是△ABC 的中线， ∴PM＝12BC.若△ABC 是锐角三角形，则AM ＝AP ＋PM ＝PM ＋PM ＝2PM ＝BC ， ∴AB 2＋AC 2＝2BC 2＋12BC 2＝52BC 2，即AB 2＋AC 2＝2.5BC 2.③结论：锐角三角形：AB 2＋AC 2＝k 2＋2k ＋22BC 2，钝角三角形：AB 2＋AC 2＝k 2－2k ＋22BC 2.第六节 尺规作图姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·湖北宜昌中考)尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．下列作图中正确的是( )2．(2018·河北中考)尺规作图要求：Ⅰ.过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ.作线段的垂直平分线；Ⅲ.过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ.作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是( )A．①－Ⅳ，②－Ⅱ，③－Ⅰ，④－ⅢB．①－Ⅳ，②－Ⅲ，③－Ⅱ，④－ⅠC．①－Ⅱ，②－Ⅳ，③－Ⅲ，④－ⅠD．①－Ⅳ，②－Ⅰ，③－Ⅱ，④－Ⅲ3．(2018·山东潍坊中考)如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：(1)作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；(2)以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；(3)连结BD，BC.下列说法不正确的是( )A ．∠CBD＝30°B ．S △BDC ＝34AB 2 C ．点C 是△ABD 的外心 D ．sin 2A ＋cos 2D ＝14. (2018·吉林中考)如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点C ，则点C 坐标为________________．5．(2018·内蒙古通辽中考)如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和点C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交BC 于点D ，连结AD.若AB ＝BD ，AB ＝6，∠C＝30°，则△ACD 的面积为______．6．(2018·辽宁抚顺中考)如图，▱ABCD 中，AB ＝7，BC ＝3，连结AC ，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交CD 于点E ，连结AE ，则△AED 的周长是________．7．(2018·北京中考)下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P.求作：直线PQ，使得PQ∥l.作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C(不与点A重合)，作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ.所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明．证明：∵AB＝________，CB＝________，∴PQ∥l(________)(填推理的依据)．8．如图，∠BAC内有一点P，过点P作直线L∥AB，交AC于E点．今欲在∠BAC的两边上各找一点Q，R，使得P为QR的中点，以下是甲、乙两人的作法：甲：①过P作直线l1∥AC，交直线AB于F点，并连结EF；②过P作直线l2∥EF，分别交两直线AB，AC于Q，R两点，则Q，R即为所求．乙：①在直线AC上另取一点R，使得AE＝ER；②作直线PR，交直线AB于Q点，则Q，R即为所求．下列判断正确的是( )A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确9．如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A，D为圆心，A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心，O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F，则△ACF面积是__________．10．(2018·四川自贡中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°.(1)作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)设(1)中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC＝4；求DE的长．(如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成(2)问)11．(2018·山东济宁中考)在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛(如图所示)面积的方法，现有以下工具：①卷尺；②直棒EF；③T型尺(CD所在的直线垂直平分线段AB)．(1)在图1中，请你画出用T型尺找大圆圆心的示意图；(保留画图痕迹，不写画法)(2)如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积．”如果测得MN＝10 m，请你求出这个环形花坛的面积．参考答案【基础训练】 1．B 2.D 3.D4．(－1，0) 5.9 3 6.10 7．(1)解：直线PQ 如图所示．(2)AP CQ 三角形中位线定理 【拔高训练】 8．A 9.3＋3410．解：(1)⊙O 如图所示．(2)如图，作OH⊥BC 于H. ∵AC 是⊙O 的切线， ∴OE⊥AC，∴∠C＝∠CEO＝∠OHC＝90°， ∴四边形ECHO 是矩形， ∴OE＝CH ＝52，BH ＝BC －CH ＝32.在Rt△OBH 中，OH ＝（52）2－（32）2＝2， ∴EC＝OH ＝2，BE ＝EC 2＋BC 2＝2 5. ∵∠EBC＝∠EBD，∠BED＝∠C＝90°， ∴△BCE∽△BED， ∴DE EC ＝BD BE ，∴DE 2＝525， ∴DE＝ 5.【培优训练】11．解：(1)如图，点O即为所求．(2)如图，设EF与小圆切点为C，连结OM，OC.∵MN是切线，∴OC⊥MN，∴CM＝CN＝5 m，∴OM2－OC2＝CM2＝25，∴S圆环＝π·OM2－π·OC2＝25π(m2)．。
西师大版四年级数学上册《总复习 角、相交与平行》教学课件PPT小学公开课
和射线对齐。 点对点 线对线
连刻度
3.找到相应的刻度线 (以75°为例) ，与中心点相连。
● 要点回顾
两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，
其中一条直线是另一条直线的垂线。
b
1.直线a和直线b互相垂直。
a
垂足
2.直线a是直线b的垂线，或
者说直线b是直线a的垂线
● 要点回顾
1 靠线定板 2 滑板到点 3 过点画线
谢谢观看
Thank You!
九 总复习
●角 、 相交与平行
西师版数学四年级 (上)
【重点】
1.线段、直线、射线、角 (包括锐角、直角、 钝角、平角和周角) 意义的理解，量角和画角
方法的掌握。 2.正确理解垂线和平行线的意义。
【难点】
1.直线、射线、周角等概念表象的建立，以及 用量角器量角方法的正确掌握。
2.画垂线和理解平行线的意义。
● 要点回顾
按角的大小可以分为锐角、直角、钝角、平角、 周角。
直角
锐角
角的度数为90°
角的度数大于0°小于90°
● 要点回顾
钝角 角的度数大于90。小于180。
平角 角的度数为180。
周角
角的度数为360。
● 要点回顾
75°
1.先画出一条射线。 画射线
2.把量角器的中心点和射线的端点对齐，0刻度线
(无限延长)
(无限延长)
● 要点回顾
1.一条线段向一端无限延长后就是一条射线。 2.射线只有一个端点，不能测量长度。
(无限延长)
(无限延长)
● 要点回顾
边 顶点
边
从一点引出两条射线所组成的图形是角， 这个点是角的顶点，两条射线是角的边。
第21讲 线段、角、相交线与平行线
(3)平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③两直线平行，同旁内角互补.
2
诊断自测
1.(2016· 福州)如图，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2的位置关系是
( B )
A.同位角
C.同旁内角
B.内错角
D.对顶角
1 2 3 4 5
2.(2016· 百色)下列关系式正确的是( D ) A.35.5°＝35°5′ C.35.5°＜35°5′ B.35.5°＝35°50′ D.35.5°＞35°5′
分析 答案
考点二
角的大小比较及计算
(2016· 金华) 足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门 AB的 )C
例2
张角大小时，张角越大，射门越好.如图的正方形网格中，点A，B，C，
D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在( A.点C
B.点D或点E
C.线段DE(异于端点)上一点
D.线段CD(异于端点)上一点
因概念理解不清，造成角的计算错误
试题
如图， 已知： ∠AOB 与∠BOC 互为邻补角， OD 是∠AOB 的平分线，
1 OE 在∠BOC 内，∠BOE＝2∠EOC，∠DOE＝72° ，求∠EOC 的度数.
错误答案展示
解：∵OD 是∠AOB 的平分线，
1 ∴∠BOD＝2∠AOB. 1 ∵∠BOE＝2∠EOC， 1 2 ∴∠BOE＝3∠BOC，∠EOC＝3∠BOC， ∵∠AOB＋∠BOC＝180° ， 1 ∴∠EOC＝3×180° ＝60° .
1
2
3
45ຫໍສະໝຸດ 4.(2016· 淄博)如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能
表示点到直线距离的线段共有( D )
数学人教版七年级下册2.1 角、相交线与平行线
2.1 角、相交线与平行线
安徽五年探究
考纲解读 命题解读
了解直线、射线、线段的概念,理解两点之间的距离.理解角的概念及表示,能正确地进行 角的度量与换算;能估计、比较角的大小,能正确地计算角度的和与差.理解角的平分线及 其性质以及补角、余角、对顶角的概念,理解掌握并能熟练运用补角、余角、对顶角的 性质.理解垂线、垂线段、点到直线的距离,理解垂线的性质和垂线段的性质,理解线段的 垂直平分线及其性质.能用三角尺或量角器画出直线的垂线、线段的垂直平分线、角的 平分线.理解掌握平行线的概念,两直线平行的性质和判定,并能用平行线的性质和判定证 明或解决有关问题.能用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线.了解两条平行 线之间的距离的概念,能正确地度量两条平行线间的距离.
判定两条直线平行时,同位角、内错角是相等关系,而同旁内角是互补关系,不能混淆. 4.平行线间的距离. (1)定义:过一条平行线上的一点,向它的另一条平行线作垂线,垂线段的 两条平行线间的距离. (2)性质:平行线间的距离 处处相等 .
长度
,就是这
名师考点精讲
考点扫描 综合探究 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
【答案】 C
名师考点精讲
考点扫描 综合探究 考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
【变式训练】(2016· 辽宁大连)如图,直线AB∥CD,AE平分∠CAB,AE与CD相交于点 E,∠ACD=40°,则∠BAE的度数是 ( B )
A.40° C.80°
B.70° D.140°
【解析】∵AB∥CD,∴∠ACD+∠BAC=180°,∵∠ACD=40°,∴∠BAC=180°-40°=140°,∵AE平分 ∠CAB,
性质 条件 两直 线平 行
第一节 线段、角、相交线和平行线
第四章图形的初步认识与三角形、四边形第一节线段、角、相交线和平行线年份题型题号考查点考查内容分值总分2016选择 3 平行线的性质根据平行线的性质求角的度数3 32015选择 2 相交线两直线相交确定内错角3 32014选择 2 相交线对顶角的性质3 32013选择 3 平行线的性质根据平行线的性质求角的度数3 32012填空12 平行线的判断由角相等判断两直线平行4 4命题规律纵观贵阳市5年中考，本节内容为必考内容，设置一道题，分值3－4分，均在选择和填空题中考查，题目较简单，主要考查平行线的性质与判断．命题预测预计2017年贵阳市中考，本节内容仍然会考查，且以利用平行线的性质进行计算角度为主，题型仍会是选择、填空.贵阳五年中考真题及模拟)相交线(2次)1．(2015贵阳2题3分)如图，∠1的内错角是(D) A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5(第1题图)(第2题图)2．(2014贵阳2题3分)如图，直线a，b相交于点O，若∠1等于50°，则∠2等于(A)A．50°B．40°C．140°D．130°平行线的性质及判断(3次)3．(2016贵阳3题3分)如图，直线a∥b，点B在直线a上，AB⊥BC.若∠1＝38°，则∠2的度数为(B) A．38°B．52°C．76°D．142°(第3题图)(第4题图)4．(2013贵阳3题3分)如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1＝50°，则∠2的度数是(B) A．40°B．50°C．90°D．130°(第5题图)(第6题图)5．(2015贵阳适应性考试)如图，直线c与直线a，b交于点A，B，且a∥b，线段AC垂直于直线b，垂足为点C，若∠1＝55°，则∠2的度数是(B)A．25°B．35°C．45°D．55°6．(2016贵阳模拟)如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，∠A＝100°，则∠ECD等于(B)A．50°B．40°C．30°D．20°7．(2012贵阳12题4分)如图，已知∠1＝∠2，则图中互相平行的线段是__AB∥CD__．,(第7题图)),(第8题图))8．(2016贵阳适应性考试)如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝40°，则∠ECD的度数__50°__．中考考点清单)线段与直线1．线段(1)定义：线段的直观形象是拉直的一段线．(2)基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短．(3)线段的和与差：如图(1)，已知两条线段a 和b ，且a>b ，在直线l 上画线段AB ＝a ，BC ＝b ，则线段AC 就是线段a 与b 的和，即AC ＝__a ＋b __．如图(2)，在直线l 上画线段AB ＝a ，在AB 上画线段AD ＝b ，则线段DB 就是线段a 与b 的差，即DB ＝a －b.(4)线段的中点：如图(3)，线段AB 上的一点M ，把线段AB 分成两条线段AM 与MB.如果AM ＝MB ，那么点M 就叫做线段AB 的中点，此时有__AM __＝MB ＝21AB ，AB ＝2AM ＝2MB.2．直线(1)定义：沿线段向两方无限延伸所形成的图形．(2)基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线． 角及角平分线3．角的分类 (1)分类分类 锐角 直角 钝角 平角 周角 度数 0°<α<90° α＝90° 90°<α＜180° α＝180° α＝360°(2)周角、平角、直角之间的关系和度数 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°，1°＝60′，1′＝60″，1′＝(601)°，1″＝(601)′. 4．角平分线的概念及性质(1)定义：如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线． (2)性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 警示：到角两边距离相等的点在角平分线上． 5．余角、补角、邻补角(1)余角：如果两个角的和为__90°__，那么这两个角互为余角；同角(等角)的余角相等． (2)补角：如果两个角的和为__180°__，那么这两个角互为补角；同角(等角)的补角相等．(3)邻补角：两个角有一个公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角；互为邻补角的两个角的和为180°.相交线三线八角(如图)6．同位角有：∠1与__∠5__，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7. 7．内错角有：∠2与__∠8__，∠3与∠5. 8．同旁内角有：∠3与∠8，∠2与__∠5__．9．对顶角：∠1与∠3为对顶角，∠2与__∠4__为对顶角，∠5与∠7为对顶角，∠6与__∠8__为对顶角． 垂线及其性质10．定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．11．基本事实：经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直． 12．性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． 13．点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段长度．14．线段的垂直平分线：(1)定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离__相等__． (2)逆定理：到一条线段的两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．平行线的判定及性质(高频考点)15．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 16．两条平行线之间的距离处处相等．17．性质：(1)两直线平行，同位角相等，即∠1＝__∠2__. (2)两直线平行，内错角相等，即∠2＝__∠3__．(3)两直线平行，同旁内角互补，即∠3＋__∠4__＝180°.18．判定：(1)基本事实：经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行． (2)同位角相等，两直线平行． (3)内错角相等，两直线平行． (4)同旁内角互补，两直线平行．(5)平行于同一条直线的两条直线平行．中考重难点突破)补角、余角的计算【例1】(2016原创)一个角的度数是40°，那么它的余角的补角度数是( ) A ．130° B ．140° C ．50° D ．90°【解析】若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．依此求出度数．【学生解答】A1．(2016长沙中考)下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( B ),A ) ,B ) ,C ) ,D )2．(2016贵阳模拟)将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这把直尺平行，那么，在形成的这个图中与∠α互余的角共有( C )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个(第2题图)(第3题图)平行线的性质【例2】(2016陕西中考)如图，AB ∥CD ，AE 平分∠CAB 交CD 于点E.若∠C ＝50°，则∠AED ＝( ) A ．65° B ．115° C ．125° D ．130°【解析】∵AB ∥CD ，∠C ＝50°，∴∠BAC ＋∠C ＝180°，∴∠BAC ＝130°.∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝21∠BAC ＝65°，∵AB ∥CD ，∴∠B AE ＋∠AED ＝180°，∴∠AED ＝115°.【学生解答】B3．如图，直线a ∥b ，射线DC 与直线a 相交于点C ，过点D 作DE ⊥b 于点E ，已知∠1＝25°，则∠2的度数为( A )A ．115°B ．125°C ．155°D ．165°4．(2016贺州中考)如图，已知∠1＝60°，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为( D ) A ．70° B ．100°C．110°D．120°,(第4题图)),(第5题图)) 5．(2016苏州中考)如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b 于点C.若∠1＝58°，则∠2的度数为(C)A．58°B．42°C．32°D．28°6．(2016连云港中考)如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1＝54°，则∠2＝__72°__．,(第6题图)),(第7题图))7．(2016扬州中考)如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝2∠2，则∠1＝__80°__．8．(2016西宁中考)如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝__2__．9．(2016原创)如图，AB∥CD，∠1＝62°，FG平分∠EFD，则∠2＝__31°__．,(第9题图)),(第10题图))10．(2016菏泽中考)如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图所示的方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是__15°__．。
中考数学 精讲篇 考点系统复习 第四章 三角形 第一节 几何初步及相交线与平行线
C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2
6．(2020·常德第 3 题 3 分)如图，已知 AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，
则∠BCE 的度数为
( B)
A．70° B．65° C．35° D．5°
7．(2021· 张家界第 11 题 3 分)如图，已知 AB∥CD，BC 是∠ABD 的平分 线，若∠2＝64°，则∠3＝5858°°.
命题点 1：直线、线段、角的有关概念及性质(2021 年考查 2 次，2020 年考查 1 次，2019 年考 2 次) 1. (2019·怀化第 5 题 4 分)与 30°的角互为余角的角的度数是( B ) A. 30° B. 60° C. 70° D. 90°
2．(2021·益阳第 16 题 4 分)如图，AB 与 CD 相交于点 O，OE 是∠AOC 的 平分线，且 OC 恰好平分∠EOB，则∠AOD＝ 6 60 度．
4．(2021·岳阳第 5 题 3 分)将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线
a∥b, 则∠1 的大小为
( C)
A．45° B．60° C．75° D．105°
5．(2020·郴州第 5 题 3 分)如图，直线 a，b 被直线 c，d 所截，下列条
件能中判定 a∥b 的是
( D)
A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠4＝180°
3．(RJ 七上 P139 练习 T3 改编)已知一个角的余角是这个角的补角的13，
则这个角的度数为 4545 °. °
4．(RJ 七上 P128 练习 T3 改编)如图，C 为线段，E 是线段 CB 的中点．若 AC＝5 cm, BC＝4 cm，则 AD＝2.2.55 cm，
第四章 三角形 第一节 几何初步及相交
线与平行线
中考数学复习 第四单元 三角形 第16课时 线段 角 相交线与平行线课件
D.两点确定一条直线
图16-7
2.如图16-8,AM为∠BAC的平分线,下列等式错误的是
A.∠BAC=∠BAM
B.∠BAM=∠CAM
C.∠BAM=2∠CAM
D.2∠CAM=∠BAC
(C )
图16-8
3. [2018·德州]如图16-9,将一副三角尺按不同的位置摆放,下列摆放方式中∠α
与∠β互余的是 ( A )
[答案](1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)× (7)× [解析](1)射线AB与射线BA不是同一条射线,故(1)错误; (2)两点确定一条直线,故(2)正确; (3)两条端点重合的射线组成的图形叫做角,故(3)错误; (4)两点之间线段最短,故(4)错误; (5)若AB=BC,则点B不一定是AC的中点,故(5)错误; (6)道理为两点之间线段最短,故(6)错误; (7)如果三点共线,过其中两点画直线,共可以画1条,如果三点不共线,过其中两 点画直线,共可以画3条,故(7)错误.
| 考向精练 |
1. [2019·吉林]曲桥是我国古代经典建筑之一,它的修建增加了游人在桥上行走
的路程,有利于游人更好地观赏风光.如图16-7,A,B两地间修建曲桥与修建直的
桥相比,增加了桥的长度,其中蕴含的数学道理是 ( A )
A.两点之间,线段最短
B.平行于同一条直线的两条直线平行
C.垂线段最短
角的直角三角板ABC按如图16-12方式放置 [解析]∵直线m∥n,
(∠ABC=30°),其中A,B两点分别落在直线 ∴∠2+∠ABC+∠1+∠BAC=180°.
m,n上,若∠1=40°,则∠2的度数为( ) ∵∠ABC=30°,∠BAC=90°,
线段、角、相交线与平行线 PPT课件 人教版
射
线
1
1
两个大写 字母 两个大写 字母或一 个小写字 母
线
段
2
0
考点二
角、余角、补角
1．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角；如 果一个角的两边成一条直线，那么这个角叫做平角； 平角的一半叫做直角；大于直角小于平角的角叫做钝 角；大于 0° 小于直角的角叫做锐角． 2．1 周角＝360 度，1 平角＝180 度，1 直角＝ 90 度，1° ＝60 分，1 分＝60 秒．
考点三 平行线的性质与判定 例 3(2014· 荆门)如图，AB∥ED，AG 平分∠BAC， ∠ECF＝70° ，则∠FAG 的度数是( )
A．155° C．110°
B．145° D．35°
【点拨】∵AB∥ED，∠ECF＝70° ， ∴∠BAC＝70° .∵AG 平分∠BAC， 1 ∴∠CAG＝ ∠BAC＝35° . 2 ∴∠FAG＝180° －∠CAG＝180° －35° ＝145° . 故选 B. 【答案】 B
1．如图，AB∥CD，点E在CD上，EG与AB交于 点F，DF⊥EG于点F，若∠D＝25° ，则∠GFB的度数 是( )
A．25° C．65°
B．55° D．75°
解析：∵DF⊥EG，∴∠DFE＝90° .∵∠D＝25° ， ∴∠DEF＝90° －25° ＝65° .∵AB∥CD， ∴GFB＝∠DEF＝65° .故选 C. 答案： C
A．∠2
B．∠3
C．∠4
D．∠5
解析：∠1 和∠2 分别在直线 a，b 的上方，并且 都在直线 c 的左侧，所以是同位角．故选 A. 答案： A
5．(2014· 白银)将直角三角尺的直角顶点靠在直尺 上，且斜边与这根直尺平行，那么，在形成的这个图 中与∠α 互余的角共有( )
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图1
第一节 线段、角、相交线与平行线
3. 线段的和与差 如图2，点B是线段AC上的一点，则有： AB＝AC___－_____BC； BC＝AC___－_____AB； AC＝AB__＋______BC.
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图2
第一节 线段、角、相交线与平行线
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考点 2 角及角平分线
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余角 概念：如果两个角的和为__9_0_°____，那么这两个角互为余角
余角和
性质：同角(等角)的余角__相__等____
补角
概念：如果两个角的和为__1_8_0_°____，那么这两个角互为补角 补角
性质：同角(等角)的补角_相__等_____
性质 角平分线上的点到角两边的距离_相__等_____ 角平分
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提分必练
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1. 经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨 线．能解释这一实际应用的数学知识是_两__点__确__定__一__条__直__线___． 2. 如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD＝1，则AB＝ ____4____．
第2题图
第一节 线段、角、相交线与平行线
第一节 线段、角、相交线与平行线
面对面“过”考点
【对接教材】人教：七上P125～P141，七下P1～P27， 八上P48～P52、P60～P61；
北师：七上P105～P121，七下P38～P54， 八上P162～P177，八下P22～P32；
华师：七上P138～P184，八上P54～P55、P92～P99.
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思维导图
两点确定一条直线
两个基 本事实
两点之间线段最短
线段的和与差 直线与
线段的中点 线段
两点的距离
度分秒的换算
余角 余角、
补角 补角 角及角
性质
平分线
线段、角、相 交线与平行线
性质 逆定理
角平分线
相交线
平行线 的性质 及判定
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对顶角 对顶角 和邻补角 邻补角
三线 八角
同位角 内错角 同旁内角
第5题图
第6题图
6. 如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA
的距离为__、角、相交线与平行线
7. (人教七上P8习题第2题)如图，直线AB、CD、EF相交于点O.
(1)∠AOD的对顶角是__∠__C_O__B___；
∠EOC的对顶角是___∠___D_O_F_____；
线 逆定理 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
第一节 线段、角、相交线与平行线
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度、分、秒转换
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度、分、秒是常用的角的度量单位.1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′
＝60″.
第一节 线段、角、相交线与平行线
提分必练 3. 下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( B )
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考点 3 相交线
1. 三线八角 如图3，两条直线被第三条直线所截， 则(1)同位角有：∠1与__∠__5____，∠2与∠6， ∠4与_∠___8____，∠3与__∠__7____． (2)内错角有：∠2与__∠__8____，∠3与∠5. (3)同旁内角有：∠3与∠8，∠2与__∠__5____． (4)对顶角有：∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8. 对顶角的性质：对顶角_相__等_____．
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4. 已知∠α＝34°56′，则∠α的余角为_5_5_°__4_′__，补角为_1_4_5_°__4_′_．
第一节 线段、角、相交线与平行线
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5. (人教七上P136习题第3题改编)如图，点O是直线AB上一点，OD是∠AOC的平 分线，∠COD＝35°，则∠BOD的度数为___1_4_5_°__．
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第一节 线段、角、相交线与平行线
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(4)线段的垂直平分线定理及其逆定理
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定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离__相__等____．如图4，若l⊥AB， OA＝OB，则AP＝BP； 逆定理：到一条线段两端点距离__相__等____的点在这条线段的垂直平分线上．
图4
第一节 线段、角、相交线与平行线
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提分必练
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8. 已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝4，则PB＝___4_____．
第一节 线段、角、相交线与平行线
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考点 4 平行线的性质及判定
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平行公理 经过直线外一点有且只有__一____条直线与已知直线平行
平行公理的 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也__平__行____
垂线的性质 线段垂 性质 直平分线 逆定理
命题
命题 真命题 假命题 互逆命题
第一节 线段、角、相交线与平行线
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考点 1 直线与线段
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1. 两个基本事实
(1)经过两点，有且只有一条直线；
(2)两点之间线段最短．
2. 线段的中点及性质
如图1，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中
推论
性质 (1)两直线平行性质
判定 平行线的性
质和判定 (2)两直线平行性质 性质 判定
同位角相等； 内错角相等；
第一节 线段、角、相交线与平行线
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返回思维导图 图3
第一节 线段、角、相交线与平行线
(5)邻补角有：∠1与∠4，∠2与∠3，∠5与∠8，∠6与∠7等． 邻补角的性质：邻补角之和等于__1_8_0____．
°
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第一节 线段、角、相交线与平行线
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2. 垂线及性质 (1)垂线段：过直线外一点，作已知直线的垂线，该点与垂足之间的线段． (2)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度． (3)垂线的基本性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段__最__短____．
(2)∠AOC的邻补角是_∠__A_O__D_或__∠__C_O__B_；
∠EOB的邻补角是__∠__A_O__E_或__∠__B_O__F_____；
(3)若∠AOC＝50°，则∠BOD＝_5_0_°_， ∠COB＝_1_3_0_°_．
第7题图
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第一节 线段、角、相交线与平行线