上海教育版九上24.5《相似三角形的性质》word公开课教案
初中数学初三数学上册《相似三角形的性质》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解相似三角形的定义及性质，掌握相似三角形的判定方法。
2.能够运用相似三角形的性质解决实际问题，如求线段长度、角度大小等。
3.学会使用相似三角形的相关定理进行证明，提高逻辑推理能力。
4.掌握相似变换的概念，了解其在现实生活中的应用。
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、探索，引导学生发现相似三角形的性质，培养他们的观察能力和动手操作能力。
2.通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
3.运用类比、归纳等数学思想，帮助学生建立知识体系，提高他们的逻辑思维能力。
4.设计丰富的例题和练习，巩固所学知识，提高学生的解题技巧。
1.重点：相似三角形的定义、性质及判定方法，相似变换的应用。
2.难点：相似三角形性质的证明过程，以及将相似三角形性质应用于解决实际问题。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
-通过展示生活中常见的相似图形，如地图、照片等，引发学生对相似三角形的兴趣。
-提问方式引导学生回顾已学的全等三角形知识，为新课的学习做好铺垫。
作业要求：
1.学生应在规定时间内独立完成作业，注重作业质量，提高解题效率。
2.作业完成后，认真检查，确保答案正确、书写规范。
3.积极参与课堂讨论，与同学分享解题思路和心得。
4.遇到问题及时向老师请教，不断提高自己的数学素养。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，充分调动学生的积极性，引导他们主动参与课堂活动。同时，注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，为他们的终身学习奠定基础。
二、学情分析
本章节的学习对象为初三学生，经过前两年的数学学习，他们已经掌握了平面几何的基本知识和技能，具备了一定的逻辑推理和问题解决能力。在此基础上，学生对相似三角形的性质这一章节内容的学习将面临以下挑战：
上海教育版九上24.5《相似三角形的性质》word教案
24.5 相似三角形的性质【学习目标】1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.【主要概念】1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比。
3、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方。
【典型例题】【例1】 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．【例2】 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．【例3】如图，已知ABD∆∽ADE∆．∆，求证：ABC∆∽ACE【例4】下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．【例5】如图，D点是ABC∆的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E 在ABC∆相∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆的边上，并且点D、点E和ABC似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法．【例6】如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．【例7】如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为 1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．【例8】 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．【例9】 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC ABcm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ．（2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．【例10】 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．【例11】 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．【例12】 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．【例13】 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．【例14】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使BCEC⊥，确定AB⊥，然后再选点E，使BCBC与AE的交点为D，测得120=EC米，你能求出两DC米，50=BD米，60=岸之间AB的大致距离吗？【例15】如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC 和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF 在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题）2，AC＝2，BC边上的高AD＝3．【例16】如图，已知△ABC的边AB＝3（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积．【例17】已知：△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别为60cm 和72cm ，且AB=15cm,B ′C ′=24cm,求BC,AC, A ′B ′, A ′C ′ 解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′∴AB:A ′B ′=AC:A ′C ′=60:72(相似三角形周长的比等于相似比) 把AB=15cm, B ′C ′=24cm 代入上式，解得 A ′B ′=18cm ，BC=20cm ∴AC=60-15-20=25(cm) A ′C ′=72-18-24=30(cm)【例18】如图，CD 是Rt △ABC 的斜边上的高。
九年级数学上册24.5相似三角形的性质(2)教案沪教版五四制
课外
作业
练习册
预习
要求
24.5(3)相似三角形的性质
课堂
时间
安排
教师主导活动时间：
学生主体活动时间：
教学
后记
已知:如图,△ABC∽△A1B1C1,且相似比为k.
求证: .
新课探索一（3）
相似三角形性质定理2
相似三角形的周长的比等于相似比.
符号表达式:
∵ △ABC∽△A1B1C1,相似比为k, =k(C△ABC,C△A1B1C1分别表示△ABC,△A1B1C1的周长).
相似三角形性质定理1和2可以概括为:
相似三角形中对应线段(高、中线、角平分线)及周长的比都等于相似比.
课堂小结：
相似三角形的性质
相似三角形性质定理2
相似三角形的周长的比等于相似比.
符号表达式:
∵ △ABC∽△A1B1C1,相似比为k,
∴ =k(C△ABC,C△A1B1C1分别表示△ABC,△A1B1C1的周长).
相似三角形性质定理3
相似三角形的面积的比等于相似比
的平方.
符号表达式:
∵ △ABC∽△A1B1C1,相似比为k,
和60,且AB=12,B1C1=25,求BC、A1B1的长.
新课探索四
例题2 如图,已知点D、E分别在△ABC的边
AB、AC上,DE∥BC,DE=6,BC=9,S△ADE=16.
求S△ABC.
新课探索五
例题3 如图是某市部分街道图,比例尺为1:10000.请估计三条道路围成的三角形地块ABC的实际周长和面积.
cm,AC=___cm,A′B′=___cm,A′C′=___cm.
4. 如图,在等边三角形ABC中,点D、E分别在AB,AC边上,且DE∥BC,如果BC=8cm,AD:DB=1:3,那么△ADE的周长等于___cm,△ADE的面积等于____cm2.
沪教版(上海)九年级数学第一优秀教学案例：24.5相似三角形的性质
7.教学策略的灵活运用：教师根据学生的实际情况，合理运用情景创设、问题导向、小组合作等教学策略，使教学过程更加生动有趣，提高了教学效果。
8.关注学生的情感态度：教师以耐心、鼓励的语言激发学生的学习兴趣，关注学生的情感需求，使学生在轻松愉快的氛围中学习，培养了学生积极的学习态度。
3.教师引导：教师在学生探究过程中进行有效引导，启发学生思维，帮助学生突破难点，提高学生的数学素养。
（三）小组合作
1.分组学习：根据学生实际情况，合理分组，确保每个学生都能在小组合作中发挥自己的优势，提高学习效果。
2.小组讨论：组织生进行小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养学生的沟通表达能力和团队协作能力。
3.问题情境：设计具有启发性的问题，引导学生运用已学知识分析问题、解决问题，培养学生独立思考和解决问题的能力。
（二）问题导向
1.自主探究：引导学生自主学习，发现问题、解决问题，发展学生的自主学习能力和问题解决能力。
2.合作交流：组织学生进行小组讨论，分享学习心得和解决问题的方法，培养学生的团队合作精神。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解相似三角形的性质，包括对应角相等、对应边成比例等，并能运用这些性质解决实际问题。
2.掌握相似三角形的判定方法，并能够运用判定方法判定两个三角形是否相似。
3.了解相似三角形在现实生活中的应用，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
4.通过观察、操作、探究等活动中，培养学生的空间想象能力和几何思维能力。
（四）总结归纳
1.学生总结：引导学生对自己所学知识进行总结，加深对相似三角形性质的理解。
九年级数学上册《相似三角形的性质》教案、教学设计
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组4-6人。给出以下讨论题目：
1.请列举出相似三角形的性质，并尝试用简洁的语言解释每个性质。
2.请举例说明相似三角形在实际问题中的应用。
3.你认为相似三角形的性质与全等三角形的性质有哪些联系和区别？
要求学生在小组内进行充分讨论，分享各自的观点和想法。在此过程中，我会巡回指导，关注学生的讨论进度，适时给予提示和引导。
2.培养学生运用几何图形描述和分析问题的能力，提高他们的逻辑思维和推理能力。
3.引导学生将相似三角形的性质应用于实际生活，培养他们的应用意识和创新能力。
（二）教学难点
1.相似三角形性质的推导和证明，尤其是其中的比例关系和角度关系。
2.学生在解决实际问题时，如何将相似三角形的性质灵活运用。
3.培养学生合作交流能力，提高他们在团队中的参与度和贡献度。
2.相似三角形的性质：详细讲解相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等，并结合实际例子进行解释。
3.相似三角形的判定方法：介绍判定相似三角形的方法，如AA、SSS、SAS等，并通过典型例题进行讲解。
4.相似三角形的应用：展示相似三角形在实际问题中的应用，如测量、设计等，让学生体会几何知识在实际生活中的价值。
（五）总结归纳，500字
在总结归纳环节，我会从以下几个方面进行：
1.知识点回顾：引导学生回顾本节课所学的相似三角形的定义、性质、判定方法及应用。
2.学习方法总结：让学生总结自己在学习相似三角形过程中的心得体会，分享有效的学习方法。
3.情感态度与价值观：强调几何知识在实际生活中的重要性，激发学生学习几何的兴趣和热情。
1.学生对相似三角形定义的理解程度，以及对相似性质的认识和运用能力。
最新沪科版九年级数学上册《相似三角形的性质》教学设计(精品教案)
图形的相似7.相似三角形的性质（一）一、学生知识状况分析学生在之前七年级已经学习了全等图形判定和性质，对全等三角形的对应边的比已有所了解。
在本章又学习了相似图形的判定条件，对相似图形，特别是相似三角形已有一定的认识。
通过前面的学习学生已经经历了一些关于相似三角形性质的探究。
例如，利用相似三角形测量旗杆的高度等实际问题，感受到了数学的实际价值，利用相似三角形的性质的解决问题的活动经验。
本节主要研究相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比这一性质，九年级学生在以前的数学学习中已经经历了很多合作学习过程，具有了一定的学习经验，学生间相互评价、相互提问的积极性高，因此，参与有关性质的实践探究活动的热情应该是比较高的。
二、教学任务分析教材基于学生对相似三角形的性质的基础上，提出了本课的学习任务：理解相似三角形的性质，让学生经历探索相似三角形性质的过程，并在探索过程中，发展学生积极的情感、态度、价值观、体现解决问题策略的多样性，同时也力图在学习过程中，逐步达成学生的有关情感态度目标。
为此本节课的教学目标是：（一）知识目标：经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。
利用相似三角形的性质解决一些实际问题.（二）能力目标：培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识.在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质.（三）情感与价值观目标：在探索过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体现解决问题策略的多样性.三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：探究相似三角形对应高的比.；第二环节：类比探究相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比；第三环节：学以致用（相似三角形性质的应用）；第四环节：课堂小结（初步升华所学内容）；第五环节：布置作业。
第一环节：探究相似三角形对应高的比.引入语：在前面我们学习了相似三角形的定义和判定条件，知道相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
《相似三角形的性质》word教案 (公开课获奖)2022沪科版 (1)
相似三角形的性质教学目标（知识与能力；过程与方法；情感态度与价值观）(一)知识与技能1、理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题。
2、探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想。
(二)过程与方法经历探索相似三角形性质“相似三角形周长的比等于相似比”、“面积比等于相似比的平方”的过程。
(三)情感态度与价值观在探究过程中发展学生积极的情感、态度、价值观，体验解决实际问题策略的多样性。
教材分析重点理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
难点探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方。
教学方法教具准备学法指导教学过程导入1．回顾相似三角形的概念及判定方法。
2．复习相似多边形的定义及相似多边形对应边、对应角的性质。
提出问题：如果两个三角形相似，它们的周长之间什么关系？两个相似多边形呢？（学生小组讨论）新授∆ABC∽∆A1B1C1，相似比为k⇒111111AB BC CAkA B B C C A===⇒AB=kA1B1,BC=kB1C1,CA=kC1A1⇒111111111111111111AB BC CA kA B kB C kC AkA B B C C A A B B C C A++++==++++进而得到结论：相似三角形周长的比等于相似比延伸问题：探究：如图27．2-11（1），∆ABC∽∆A1B1C1，相似比为k1，它们的面积比是多少？AB CDABCDA1B1C1D1（1）（2）图27．2-11分析：如图27．2-11（1），分别作出∆ABC和∆A1B1C1的高AD和A1D1。
∠ADB=∠A1D1B1=900又∠B=∠B1⇒∆ABD∽∆A1B1D1⇒11111AD ABkA D A B==⇒111ABCA B CSS=1111111111111111221122BC AD K B C K A DB C A D B C A D==k12进而得到结论：相似三角形面积比等于相似比的平方（2）如图27．2-11（2），四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1，相似比为k2，它们的面积比是多少？分析：111ABCA B CSS=111ACDA C DSS= k22⇒1111ABCDA B C DSS=四边形四边形111111ABC ACDA B C A C D++S SS S= k22⇒相似多边形面积比等于相似比的平方应用新知：例6：如图27．2-12，在∆ABC和∆DEF中，A B=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，∆ABC的周长是24，面积是48，求∆DEF的周长和面积。
沪教版数学九年级上册24.5《相似形的性质》(第1课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.5《相似形的性质》（第1课时）教学设计一. 教材分析教材是沪教版数学九年级上册第24.5节《相似形的性质》。
本节课主要学习相似形的定义、性质及其应用。
通过本节课的学习，学生能够理解相似形的概念，掌握相似形的性质，并能够运用相似形解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于相似形的定义和性质，学生可能初次接触，需要通过实例和操作来理解和掌握。
此外，学生可能对于一些抽象的概念和证明过程感到困难，需要教师通过具体例子和引导来进行教学。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解相似形的定义，掌握相似形的性质，并能够运用相似形解决一些实际问题。
2.过程与方法：学生能够通过观察、操作、推理等方法，探索相似形的性质，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂活动，克服困难，自主学习，增强对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：相似形的定义和性质。
2.难点：相似形的性质的证明和运用。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提出问题，引导学生思考和探索相似形的性质。
2.实例教学法：教师通过展示实例，让学生观察和操作，加深对相似形性质的理解。
3.合作学习法：学生分组合作，共同探讨相似形的性质，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。
2.学具：几何画板、剪刀、胶水、卡片。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实例，如相似的图形、物体的大小变化等，引导学生思考：什么是相似形？相似形有哪些性质？2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示，给出相似形的定义和性质，并用几何画板进行演示，让学生直观地理解相似形的概念和性质。
3.操练（10分钟）学生分组合作，利用剪刀、胶水、卡片等工具，制作一些相似形的图形，并观察和讨论相似形的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师提出一些练习题，让学生独立完成，巩固对相似形性质的理解。
沪教版(上海)九年级第一学期数学24.5相似三角形性质课件
A′
D′
B′
AD
B
C
C′
类似三角形的性质
定理1：类似三角形对应高的 比，对应中线的比，对应角平 分线的比都等于类似比。
• 1．如果两个类似三角形的对应高的 比为2:3，那么对应角平分线的比是 __2_:_3_，对应边上的中线的比是______ 。
2:3
• 2．△ABC与△A'B'C'的类似比为3:4， 若BC边上的高AD＝12cm，则B'C' 边上的高A'D'＝_____ 。
24.5 类似三角形性质
复习回顾
• 1、类似三角形的判断有哪些？ • 2、类似三角形已学过哪些性质？ • 3、三角形中的主要线段有哪些？全等三角
形中这些线段有何关系？
做一张
钳工小王准备按照比例尺3:4的图纸制作
三角形零件,如图,图纸上的△ABC表示该零
件的横断面△A′B′C′,CD和C′D′分别是它们
四边形PQRS是长方形
x)cm,SR=PQ=2x
RC△AS∥SRB∽△ABC∠∠AA. SRRS==
∠B ∠C
60 x 2x . 60 80
(2)由(1)可知, △ASR∽△ABC.
解得,X=24.2X=48
AE SR . (类似三角形对应高
所以长方形PQRS的 边长分别为
AD BC
的比等于类似比) 24cm,48cm.
多少?
CD C'D'
结论 类似三角形对应高的比等于类似比.
A′
D′ B′
AD
B
EC
E’ C′
议一议
已知△ABC∽△A′B′C′,△ABC与△A′B′C′类似 比为k. 如果CD和C′D′分别是它们的对应角平分线, 那么 等CC于' DD' 多少?
沪科版数学九上24.3《相似三角形的性质》word教案
24.3相似三角形的性质1.学习了相似三角形的性质后，对于涉及到相似三角形对应角平分线、对应中线、对应高、周长的问题，应立即联想到相似三角形对应线段的比等于相似比，等于周长的比的性质.举例如下.［例1］如图1，已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，点D 、D ′分别是BC 、B ′C ′的中点，AE⊥BC 于E ，A ′E ′⊥B ′C ′于E ′.求证：∠DAE ＝∠D ′A ′E ′.分析：欲证∠DAE ＝∠D ′A ′E ′，只需证Rt △ADE ∽Rt △A ′D ′E.证明：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，BD ＝CD ，B ′D ′＝C ′D ′， AE ⊥BC ，A ′E ′⊥B ′C ′.图1∴B A ABE A AE D A AD ''=''='' (相似三角形对应高的比、对应中线的比等于相似比). ∴Rt △ADE ∽Rt △A ′D ′E ′ ∴∠DAE ＝∠D ′A ′E ′.［例2］已知如图2，△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝∠A ′，BC ＝6，AC ＝8，△A ′B ′C ′的周长为72.求△A ′B ′C ′各边的长.图2解：在Rt △ABC 中，AB ＝22268+=+2BC AC ＝10.∴△ABC 的周长＝6＋8＋10＝24.∵∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝∠A ′，∴△ABC ∽△A ′B ′C∴7224=''=''=''A C CA C B BC B A AB即.318610=''=''=''A C C B B A ∴A ′B ′＝30， B ′C ′＝18，C ′A ′＝24. 说明：由已知条件知△ABC ∽△A ′B ′C ′，已知△ABC 各边的长，要求△A ′B ′C ′各边的长，只要求出相似比即可.［例3］如图3，四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，且AB ＝18，AC ＝12，AD ＝8，CE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E 、F .(1)求DFCE(2)求证：CE ＝C D.分析：由题设可知，DF 、CE 分别为△ACD 和△ABC 的高，因此只要证得△A CD ∽△ABC ，根据相似三角形的性质即可求得DFCE.(1) 解：∵AB ＝18，AC ＝12，AD ＝8， ∴.23812,231218====AD AC AC AB∴ADACAC AB =.∵∠AEC ＝∠AFD ＝90°，∴Rt △ABC ∽Rt △ACD∵CE ⊥AB ，DF ⊥A C.∴23==AC AB DF CE . (2)证明：∵Rt △ABC ∽Rt △ACD ，∴∠BAC ＝∠CA D. 图3∵CE ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴CE ＝C D.［例4］已知，如图4，△ABC 中，OB 、OC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OD ∥AB 交BC 于D ，OE∥AC 交BC 于E .求证：BC 2=DE (AB +BC +AC )分析：由OD ∥AB ，OE ∥AC 知△ODE ∽△ABC ，要证结论中有△ABC 的周长，从而想到了利用相似三角形的周长比等于相似比证题.证明：∵OD ∥AB∴∠4=∠ABC ，∠1=∠3又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴BD =OD同理可证：OE =CE∵OE ∥AC ，∴∠5=∠ACB ，∴△ODE ∽△ABC 图4∴,,BCDEAC BC AB CE DE BD BC DE AC BC AB OE DE OD =++++∴=++++即BCDEAC BC AB BC =++∴BC 2=DE (AB +BC +AC )说明：相似三角形的性质较多，究竟选择哪个性质，需要根据结论的特征灵活选择. ［例5］求证：相似三角形的面积比等于相似比的平方.已知：如图5，△ABC ∽△A ′B ′C ，′△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k . 求证：C B A ABC S S '''∆∆=k2图5分析：根据三角形的面积公式“三角形面积等于三角形的一边乘以这边上的高的一半”可先作出BC 和B ′C ′边上的高，再根据相似三角形对应高的比，对应边的比都等于相似比即可证出.证明：分别过A 、A ′作BC 、B ′C ′的垂线，垂足分别为D 、D ′. ∵△ABC ∽△A ′B ′C∴D A ADC B BC ''=''=k (相似三角形对应边的比、对应高的比等于相似比) ∴22121k D A C B ADBC S S C B A ABC =''⋅''⋅='''∆∆ 说明：此结论在原教材中是定理，现已删去，对此结论在解决填空题和选择题中可直接应用.但在求解题中要写出推导过程.［例6］如图6，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CD 延长线上一点，且∠F EC =∠FCE ，EF 交AD 于F .求证：S △AEP =4S △PDF .分析：△AEP ∽△PDF 易证，要证出S △AEP =4S △PDF ，关键证其相似比为2∶ 1. 图6证明：过F 作FG ⊥CE 与G ，则CG =21CE∵四边形ABCD∴AB ∥CD ，AB =BC =CD ，∠B =90°∴∠BEC =∠FCE ，∠B =∠FGC=90∴△BCE ∽△GFC ∴FCECCG BE = 设AE =BE =x ，则BC =CD =AB =2xCE =x x x BE BC 5)2(2222=+=+∴2,2525xDF DF x x x x =+=∴DF =,21AE ∵AB ∥CD ，∴△AEP ∽△DFP ，∴2==PDAP DF AE ∴DP DF APAE S S DFP AEP ⋅⋅=∆∆2121=4，∴S △AEP =4S △DFP 说明：有等腰三角形时，常作底边上的高构造三线合一的基本图形，另外该题还可延长AB 至N ，使BN =BE ，边结CN ，再证△CEN ∽△FEC ，请读者自己完成.2.利用相似三角形的性质还可解决许多实际问题，举例如下.［例7］如图7，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C ＝90°，AC ＝12 cm ，BC ＝5 cm ，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，并求出这种不锈钢片的边长.分析：要求面积最大的正方形，则正方形的顶点应落在△ABC 的边上，那么顶点落在边上时有如图8、9两种情况.图7 图 8 图9解：如图8，设正方形EFGH 的边长为x cm ，过C 作CD ⊥AB 于D ，交EH 于点M . ∵∠ACB ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，∴AB ＝135122222=+=+BC AC∵AB ·CD ＝AC ·BC ，∴CD ＝136013512=⨯=⋅AB BC AC .∵EH ∥AB ，∴△CEH ∽△CA B.∴CDCMAB EH =. 即229780.1313601360=∴=-x x x(cm). 如图9，设正方形CFGH 的边长为y cm. ∵GH ∥AC ，∴1760.5512,=∴-=∴=y y y BC BH AC GH (cm) ∵x ＜y ，∴应按图9裁剪，这时正方形面积最大，它的边长为1760cm.。
《相似三角形的性质 word版 公开课一等奖教案
当我们在日常办公时,经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料.这些资料因为用的比拟少,所以在全网范围内,都不易被找到.您看到的资料,制作于2021年,是根据最|新版课本编辑而成.我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师,进行集体创作,将日常教学中的一些珍贵资料,融合以后进行再制作,形成了本套作品.本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验,经过创作、审核、优化、发布等环节,最|终形成了本作品.本作品为珍贵资源,如果您现在不用,请您收藏一下吧.因为下次再搜索到我的时机不多哦!相似三角形的性质教学目标【知识与技能】理解掌握相似三角形对应线段 (高、中线、角平分线 )及相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系.【过程与方法】对性质定理的探究 ,学生经历观察 - -猜测 - -论证 - -归纳的过程 ,培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度.【情感态度】在学习和探讨的过程中 ,体验从特殊到一般的认知规律.【教学重点】相似三角形性质的应用.【教学难点】相似三角形性质的应用.教学过程一、情景导入 ,初步认知1.什么叫相似三角形 ?相似比指的是什么 ?2.全等三角形是相似三角形吗 ?全等三角形的相似比是多少 ?3.相似三角形的判定方法有哪些 ?【教学说明】复习相关知识 ,为本节课的学习做准备.二、思考探究 ,获取新知1.根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质 ?【归纳结论】相似三角形的根本性质：相似三角形的对应角相等 ,对应边成比例.2.如图 ,△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形 ,相似比为k ,其中 ,AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高 ,那么 ,AD和A′D′之间有什么关系 ?证明：∵△ABC∽△A′B′C′ ,∴∠B =∠B′ ,又∵AD⊥BC ,A′D′⊥B′C′ ,∴∠ADB =∠A′D′B′ =90°,∴△ABD∽△A′B′D′ ,∴AB︰A′B′ =AD︰A′D′ =k.你能得到什么结论 ?【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比.3.如图 ,△A′B′C′和△ABC是两个相似三角形 ,相似比为k ,求这两个三角形的角平分线A′D′与AD的比.解：∵△A′B′C′∽△ABC,∴∠B′ =∠B,∠A′B′C′ =∠ABC,∵A′D′,AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线 ,∴∠B′A′D′ =∠BAD,∴△A′B′D′∽△ABD. (有两个角对应相等的两个三角形相似)∴A D A BAD AB''''= =k根据上面的探究 ,你能得到什么结论 ?【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比.4.在上图中 ,如果AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的中线 ,那么 ,AD和A′D′之间有什么关系 ?你能证明你的结论吗 ?【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.△ABC∽△A′B′C′ ,ABA′B′ =k ,AD、A′D′为高线.(1)这两个相似三角形周长比为多少 ?(2)这两个相似三角形面积比为多少 ?分析： (1 )由于△ABC ∽△A′B′C′,所以AB︰A′B′ =BC︰B′C′ =AC︰A′C′ =k.由并比的性质可知 ,(AB +BC +AC) ︰(A′B′ +B′C′ +A′C′) =k.(2 )由题意可知,因为△ABD∽△A′B′D′,所以AB︰A′B′ =AD︰A′D′ =k.因此可得,△ABC的面积︰△A′B′C′的面积= (AD·BC )︰ (A′D′·B′C′ )=k2.【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比 ,面积比等于相似比的平方.【教学说明】通过这两个问题 ,引导学生通过合情推理 ,得出结论.学生可以通过合作交流 ,找出解决问题的方法.三、运用新知 ,深化理解1.见教材P86例9、P88例11、例12.2.△ABC∽△A′B′C′ ,BD和B′D′是它们的对应中线 ,且ACA C''=32,B′D′ =4 ,那么BD的长为____.分析：因为△ABC∽△A′B′C′ ,BD和B′D′是它们的对应中线 ,根据对应中线的比等于相似比 ,【答案】 6△ABC和△DEF中 ,AB =2DE,AC =2DF,∠A =∠D ,如果△ABC的周长是16 ,面积是12 ,那么△DEF的周长、面积依次为 ( )A．8 ,3 B．8 ,6 C．4 ,3 D．4 ,6分析：根据相似三角形周长比等于相似比 ,面积比等于相似比的平方可得周长为8 ,面积为3 ,所以选A.【答案】 A4.△ABC∽△A′B′C′且S△ABC∶S△A′B′C′ =1∶2 ,那么AB∶A′B′ =_____．分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求AB∶A′B′ =1∶2.【答案】 1∶25.把一个三角形改做成和它相似的三角形 ,如果面积缩小到原来的12,那么边长应缩小到原来的_____.分析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为22,所以边长应缩小到原来的22.【答案】2 26.如图 ,CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.(1 )那么图中有几对相似三角形;(2 )假设AD =9 cm,CD =6 cm,求BD;(3 )假设AB =25 cm,BC =15 cm,求BD.解： (1 )∵CD⊥AB ,∴∠ADC =∠BDC =∠ACB =90°.在△ADC和△ACB中 ,∠ADC =∠ACB =90° ,∠A =∠A ,∴△ADC∽△ACB ,同理可知 ,△CDB∽△ACB.∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形.7.如图 ,梯形ABCD中 ,AB∥CD ,点F在BC上 ,连DF与AB的延长线交于点G．(1 )求证：△CDF∽△BGF；(2 )当点F是BC的中点时 ,过F作EF∥CD交AD于点E ,假设AB =6cm ,EF =4cm ,求CD的长.(1 )证明：∵在梯形ABCD中 ,AB∥CD ,∴∠CDF =∠FGB ,∠DCF =∠GBF ,∴△CDF∽△BGF．(2 ) 由 (1 )知△CDF∽△BGF ,又F是BC的中点 ,∴BF =FC ,∴△CDF≌△BGF ,∴DF =FG,CD =BG.又∵EF∥CD ,AB∥CD ,∴EF∥AG ,得2EF =AB +BG．∴BG =2EF -AB =2×4 -6 =2 ,∴CD =BG =2cm．8.△ABC的三边长分别为5、12、13 ,与其相似的△A′B′C′的最|大边长为26 ,求△A′B′C′的面积S.分析：由△ABC的三边长可以判断出△ABC为直角三角形 ,又因为△ABC∽△A′B′C′ ,所以△A′B′C′也是直角三角形 ,那么由△A′B′C′的最|大边长为26 ,可以求出相似比 ,从而求出△A′B′C′的两条直角边长 ,再求得△A′B′C′的面积．解：设△ABC的三边依次为：BC =5,AC =12,AB =13 ,∵AB2 =BC2 +AC2 ,∴∠C =90°．又∵△ABC∽△A′B′C′ , ∴∠C′ =∠C =90°．又BC =5,AC =12 ,∴B′C′ =10,A′C′ =24．∴S =12A′C′×B′C′ =12×24×10 =120．(2 )：两相似三角形对应高的比为3∶10 ,且这两个三角形的周长差为560cm ,求它们的周长．分析： (1 )用同一个字母k表示出x ,y ,z．再根据条件列方程求得k的值 ,从而进行求解；(2 )根据相似三角形周长的比等于对应高的比 ,求得周长比 ,再根据周长差进行求解.【教学说明】通过例题的拓展延伸 ,体会类比的数学思想 ,培养学生大胆猜测、勇于探索、勤于思考的习惯 ,提高分析问题和解决问题的能力.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想 ,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材 "习题”中第6、7、9题.教学反思本节的主要内容是导出相似三角形的性质定理 ,并进行初步运用 ,让学生经历相似三角形性质探索的过程 ,提高数学思考、分析和探究活动的能力 ,体会相似三角形中的变量与不变量 ,体会其中蕴涵的数学思想.本课教学反思本节课主要采用过程教案法训练学生的听说读写.过程教案法的理论根底是交际理论,认为写作的过程实质上是一种群体间的交际活动,而不是写作者的个人行为.它包括写前阶段,写作阶段和写后修改编辑阶段.在此过程中,教师是教练,及时给予学生指导,更正其错误,帮助学生完成写作各阶段任务.课堂是写作车间, 学生与教师, 学生与学生彼此交流, 提出反应或修改意见, 学生不断进行写作, 修改和再写作.在应用过程教案法对学生进行写作训练时, 学生从没有想法到有想法, 从不会构思到会构思, 从不会修改到会修改, 这一过程有利于培养学生的写作能力和自主学习能力.学生由于能得到教师的及时帮助和指导,所以,即使是英语根底薄弱的同学,也能在这样的环境下,写出较好的作文来,从而提高了学生写作兴趣,增强了写作的自信心.这个话题很容易引起学生的共鸣,比拟贴近生活,能激发学生的兴趣, 在教授知识的同时,应注意将本单元情感目标融入其中,即保持乐观积极的生活态度,同时要珍惜生活的点点滴滴.在教授语法时,应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心,因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句,一个清晰的脉络能为后续学习打下根底.此教案设计为一个课时,主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括,下一个课时那么对语法知识进行讲解.在此教案过程中,应注重培养学生的自学能力,通过辅导学生掌握一套科学的学习方法,才能使学生的学习积极性进一步提高.再者,培养学生的学习兴趣,增强教案效果,才能防止在以后的学习中产生两极分化.在教案中任然存在的问题是,学生在"说〞英语这个环节还有待提高,大局部学生都不愿意开口朗读课文,所以复述课文便尚有难度,对于这一局部学生的学习成绩的提高还有待研究.。
上海教育版数学九上《相似形的性质》(第2课时)word教案
∽ ∽ 且 ， ．
．
评注：学生在运用掌握了计算时，容易出现 的错误，为了纠正或防止这类错误，教师在课堂上可举例说明，如： ，而
（四）学生操作：P70，N1，N2
*
作业
布置
必做题
（课内外）
练习册24.5(1)
选做题
（课内外）
课课练24.5（1）第3、4题
（二）讲解新课：让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2．
▲性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比．
∽ ，
同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题．
“相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象．
▲性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方．
推进二期课改实施素质教育
教师教案
九年级姓名学科数学
*教材题目
24.5（1）相似三角形的性质2、3——相似△的周长比与面积比
*课时40分钟*来自次教材分析教学
目标
1、掌握相似三角形的性质定理2、3．
2、培养学生类比的教学思想
重点
性质定理的应用
难点
面积比等于相似比的平方在使用中易忘
*教学过程：（一）复习提问：叙述相似三角形的性质定理1．
课后
反思
1、面积比等于相似比的平方在使用中易错，需要多指点
2、面积比分为相似的△与不相似的△，需要另外加以指导。
卢教院附校年日月
注：教具安排主要指电子课件、实验器具，演示器具等。
∽ ，
（三）应用举例：例1如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，底边上的高AD=10cm，腰AC上的高BE=12cm．
《相似三角形的性质》 教学设计
《相似三角形的性质》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
（2）掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
（3）能运用相似三角形的性质解决简单的实际问题。
2、过程与方法目标（1）通过观察、测量、推理等活动，经历相似三角形性质的探究过程，培养学生的动手操作能力和逻辑推理能力。
（2）在探究相似三角形性质的过程中，体会从特殊到一般、转化、类比等数学思想方法。
3、情感态度与价值观目标（1）通过小组合作探究，培养学生的合作意识和团队精神。
（2）让学生在探索相似三角形性质的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
二、教学重难点1、教学重点（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比与相似比的关系。
（2）相似三角形面积的比与相似比的关系。
2、教学难点相似三角形性质的证明及应用。
三、教学方法讲授法、探究法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课（1）回顾相似三角形的定义及相似比的概念。
（2）展示两个相似三角形的图片，提问：相似三角形除了对应角相等、对应边成比例外，还有哪些性质呢？2、探究相似三角形对应高的比与相似比的关系（1）画出两个相似三角形 ABC 和 A'B'C'，对应边的比为 k，AD和 A'D'分别是 BC 和 B'C'边上的高。
（2）让学生通过测量、计算，得出 AD 和 A'D'的长度，进而发现AD ： A'D' ＝ k。
（3）引导学生进行推理证明：因为三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，所以角 B ＝角 B'。
又因为角 ADB ＝角 A'D'B' ＝ 90°，所以三角形 ABD 相似于三角形A'B'D'。
相似三角形的性质公开课教案
利用相似三角形解决面积和体积问题
计算不规则图形的面积
将不规则图形划分为若干个相似三角形，通过测量相似三角形的对应边长，利 用相似比计算每个三角形的面积，进而求出不规则图形的总面积。
05
学生自主探究活动设计与 实践
探究活动一：寻找生活中的相似三角形实例
任务描述
学生分组在生活中寻找相似三角 形的实例，如建筑物、日常用品
等，并拍照记录。
活动目的
通过寻找实际生活中的相似三角形 ，增强学生对相似三角形概念的理 解，培养学生的观察能力和小组合 作能力。
预期成果
各组收集到的相似三角形实例照片 及简要说明。
02
构造相似三角形
同样根据已知条件和相似三角 形的判定定理，构造出相似三
角形。
03
应用相似性质
利用相似三角形的性质，即相 似三角形的对应角相等，来证
明所需的角相等关系。
04
给出结论
根据证明过程得出结论，并强 调相似三角形在证明角相等关
系中的重要作用。
综合运用相似三角形性质进行几何证明
复杂几何问题的分析
可以通过相似三角形的定义和判定方法来 证明该定理。
ห้องสมุดไป่ตู้
在解决一些几何问题时，可以通过寻找相 似三角形并利用该定理来求解未知角度。
相似三角形对应边成比例定理
01
定理内容：如果两个三角形相似，那么它们的对应边成比 例。
02
比例性质
03
对应边之间的比例是常数，称为相似比。
04
相似比具有传递性，即如果△ABC∽△DEF且△DEF∽△GHI ，那么△ABC∽△GHI，且它们的相似比相等。
九年级数学上册24.5相似三角形的性质(第1课时)教案
例题1：已知 中，
， .
求证： .
三、反馈练习
Ⅰ．判断下列结论是否正确：
⑴相似三角形的中线比等于相似比；
⑵两个相似三角形的高的比等于它们边长的 Nhomakorabea．Ⅱ．填空题：
⑴已知 ∽ 的相似比为 ，则它们对应中线的比为 ；
⑵已知两个相似三角形对应高的比是 ，则它们的对应角平分线的比是 ；
⑶已知 ∽ ， 、 分别是 和 的角平分线，且 ， ，则
2思考 ：相似三角形可看作是一个三 角形放大（或缩小）所 得到的，那么三角形中重要的三线＂高、中线、角平分线＂是否会随三角形的放 大（或缩小）而一起放大（或缩小）．即如果相似三角形的相似比为 ，那么相似三角形的对应高的比、 对应中线的比 、对应角平分线的比和 之间有何关系呢？
3．探索：学生动手操作，得出测量结果．
4．猜想：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
5．证 明猜想：如何利用已学的知识来证明猜想的结论？
6．证明：
师生共同完成“相似三角形的对应角平分线的比等于相似比”，其 他的由学生独立完成．
相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线 的比都等于相似比.
教学过程设计
一、温故知新
1、回顾：
（1）相似三角形的定义．
如果两个三角形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形；
（2）已学过的相似三角形的判定 定理有几条？它们的具体内容又是怎样？
已学过的判定定理有4条，它们是预备定理和判定定理1、2、3以及一条直角三角形相似的判定定理．具体内容略
⑷ ∽ 且 ， ， 边上的中线为 ，求 边上的中线．
四、归纳小结
《相似三角形的性质》word教案 (公开课获奖)2022沪科版 (3)
第2课时 相似三角形的应用教学目标1．进一步巩固相似三角形的知识． 2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等一些实际问题．3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．教学重难点运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．教学过程导入新课【导语一】 1.判定两三角形相似有哪些方法？ 2．相似三角形有什么性质？【导语二】 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．金字塔原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化腐蚀，所以高度有所降低．埃及著名的考古专家穆罕穆德决定重新测量胡夫金字塔的高度．在一个烈日高照的上午，他和儿子小穆罕穆德来到了金字塔脚下，他想考一考年仅14岁的小穆罕穆德．给你一条2米高的木杆，一把皮尺，你能利用所学知识来测出塔高吗？推进新课一、合作探究【问题1】 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图所示，为了测量金字塔的高度OB ，先竖一根已知长度的木棒O ′B ′，比较棒子的影长A ′B ′与金字塔的影长AB ，即可近似算出金字塔的高度OB .【问题2】 如果O ′B ′＝1，A ′B ′＝2，AB ＝274，求金字塔的高度OB . 分析：由于太阳光是平行光线， 因此∠OAB ＝∠O ′A ′B ′.又因为∠ABO ＝∠A ′B ′O ′＝90°，所以△OAB ∽△O ′A ′B ′，OB ∶O ′B ′＝AB ∶A ′B ′，OB ＝AB ·O ′B ′A ′B ′＝274×12＝137(米)，即该金字塔高为137米．点拨：在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解．【问题3】 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使AB ⊥BC ，然后再选点E ，使EC ⊥BC ，用视线确定BC 和AE 的交点D .解法一：此时如果测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，求两岸间的大致距离AB . 因为∠ADB ＝∠EDC ，∠B ＝∠C ＝90°， 所以△ABD ∽△ECD .那么AB EC ＝BD DC ，解得AB ＝BD ·EC DC ＝120×5060＝100(米)．答：两岸间的大致距离为100米．解法二：我们在河对岸选定一目标点A ，在河的一边选点D 和E ，使DE ⊥AD ，然后选点B ，作BC ∥DE ，与视线EA 相交于点C.此时，测得DE ，BC ，BD ，就可以求两岸间的大致距离AB 了．此时如果测得DE=120米，BC=60米，BD=50米，求两岸间的大致距离AB.点拨：通过解决测量问题，培养学生学习数学的兴趣，让学生探究解决问题的方法． 【问题4】已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB ＝8 m 和CD ＝12 m ，两树的根部的距离BD ＝5 m ，一个身高1.6 m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C?分析：AB ⊥l ，CD ⊥l ⇒AB ∥CD ，△AFH ∽△CFKFH FK ＝AH CK ，即FH FH ＋5＝8－1.612－1.6＝6.410.4，解得FH ＝8.点拨：关键是把生活中的实际问题转化为数学问题，转化的方法之一是画数学示意图，在画图的过程中可以逐渐明确问题中的数量关系与位置关系，进而形成解题思路．二、巩固提高1．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？2．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h .(设网球是直线运动)3．如图，小明想测量一颗大树AB 的高度，发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面CB 上，测得CD ＝4 m ，BC ＝10 m ，CD 与地面成30度角，且测得1米竹杆的影子长为2米，那么树的高度是多少？三、拓展延伸1．数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法： 方法一：如图，把镜子放在离树(AB )8 m 点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE ＝2.8 m ，观察者目高CD ＝1.6 m ；方法二：如图，把长为2.40 m 的标杆CD 直立在地面上，量出树的影长为2.80 m ，标杆影长为1.47 m.分别根据上述两种不同方法求出树高(精确到0.1 m)． 2．怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度？本课小结1．在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的．2．利用太阳光测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决：物高1∶物高2＝影长1∶影长2.相似三角形在物理学上的应用相似三角形在实际中的应用非常广泛，尤其与物理学的联系非常紧密．下面举例说明相似三角形在物理学上的实际应用．【例1】 如图所示，慢慢将电线杆竖起，如果所用力F 的方向始终竖直向上，则电线杆竖起过程中所用力的大小将( )．A ．变大B ．变小C ．不变D ．无法判断解析：由物理知识可知，电线杆竖起的过程，实质上相当于以O 为支点，以F 为动力，以电线杆重力G 为阻力的杠杆运动．在电线杆竖起的过程中，动力臂OA ，阻力臂OB 是逐渐变化的．∵AA ′∥BB ′，∴△OBB ′∽△OAA ′.∴OB OA ＝OB ′OA ′.而OB ′OA ′是定值，即OB OA 也是定值．由杠杆平衡条件F ·OA ＝G ·OB ，得F ＝G ·OB OA .因此，动力F 大小不变．故选C.答案：C【例2】 小华做小孔成像实验．如图，问蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时，蜡烛焰AB 是像A ′B ′的一半长，已知蜡烛与成像板间的距离为l .解：由相似三角形可知△ABO ∽△A ′B ′O ，△AEO ∽△A ′FO .∴AB A ′B ′＝OA OA ′，OAOA ′＝OE OF .∴OE OF ＝AB A ′B ′＝12. ∴OE OF ＝12，OE EF ＝13.∴OE ＝13EF ＝13l . 故小孔纸板应放在距蜡烛13l 处．奥赛链接1．如图，△ABC 被DE 、FG 分成面积相等的三部分(即S 1＝S 2＝S 3)，且DE ∥FG ∥BC ，BC ＝6，FG －DE 等于( )．A ．3－1B ．6－ 3C ．6－ 2D ．2－ 2 解析：由相似三角形的性质，得DE ∶FG ∶BC ＝1∶2∶ 3.设DE ＝x ，FG ＝2x ，BC ＝3x ，则3x ＝ 6.∴x ＝2.∴DE ＝2，FG ＝2.∴FG －DE ＝2－ 2. 答案：D2．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，且AC ＝CD ＝1，又E ，D 为CB 的三等分点．(1)问图中是否存在相似三角形，若存在，找出并证明相似的三角形；若不存在，试说明理由；(2)比较∠ADC 与∠AEC ＋∠B 的大小，试说明理由． 解：(1)存在△ADE ∽△BDA .证明：∵AC ＝CD ＝DE ＝EB ＝1，又∠C ＝90°，∴AD ＝ 2.则DE AD ＝12＝22，DA BD ＝22.∴DE AD ＝DABD.而∠ADE ＝∠BDA ，∴△ADE ∽△BDA .(2)由(1)知△ADE ∽△BDA ，∴∠DAE ＝∠B . 又∵∠ADC ＝∠AEC ＋∠DAE ，∴∠ADC ＝∠AEC ＋∠B .有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
《相似三角形的性质》word教案 (公开课获奖)2022沪科版 (2)
相似三角形的性质第1课时相似三角形的性质教学目标1．理解并掌握相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比．2．理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题．教学重难点相似三角形周长的比、面积比与相似比的关系．教学过程导入新课已知△ABC∽△A′B′C′，根据相似的定义，我们有哪些结论？(从对应边上看；从对应角上看)问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？推进新课一、合作探究【问题1】在△ABC与△A′B′C′中，AB＝10 cm，AC＝6 cm，BC＝8 cm，A′B′＝5 cm，A′C′＝3 cm，B′C′＝4 cm，这两个三角形相似吗？请说明理由．如果相似，它们的相似比是多少？上述两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′，相似比为2.【问题2】在上述的两个三角形中，分别作对应边AB和A′B′边上的高，用刻度尺量一量CD与C′D′的长，CDC′D′等于多少呢？与它们的相似比相等吗？学生通过度量，得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比．我们能否用说理的方法来说明这个结论呢？让学生试着给出几何证明．【问题3】同学们用与上面类似的方法，能推出相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比吗？得出：相似三角形对应中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比．【问题4】两个相似三角形的周长比会等于相似比吗？两个相似三角形的面积之间有什么关系呢？看如图所示的三个三角形，三角形(2)的各边长分别是(1)的2倍，(3)的各边长分别是(1)的3倍，所以它们都是相似的，填空：(2)与(1)的相似比为______，(2)与(1)的面积比为______，(3)与(1)的相似比为______，(3)与(1)的面积比为______．以上可以看出当相似比为k时，面积比为k2.对于一般相似的三角形都具有这种关系，可以得出结论：相似三角形的面积比等于相似比的平方．二、巩固提高1．如图，已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别是60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求B C、AB、A′B′、A′C′的长．分析：根据相似三角形周长的比等于相似比可以求出BC 等边的长． 解：略(此题可以让学生自己完成)．2．如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，△ABE ∽△DEF ，AB ＝6，AE ＝9，DE ＝2，求EF 的长．解：∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝6， ∴∠A ＝∠D ＝90°.又∵AE ＝9，∴在Rt△ABE 中，由勾股定理，得BE ＝AE 2＋AB 2＝92＋62＝117. ∵△ABE ∽△DEF ， ∴AB DE ＝BE EF ，即62＝117EF .∴EF ＝1173. 三、达标训练1．如果两个相似三角形对应边的比为3∶5，那么它们的相似比为__________，周长的比为__________，面积的比为__________．2．如果两个相似三角形面积的比为3∶5，那么它们的相似比为__________，周长的比为__________．3．连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于__________，面积比等于__________．4．两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm ，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是120 cm 2，则较小三角形的周长为__________ cm ，面积为__________ cm 2.5．如图，在正方形网格上有△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的面积比．本课小结1．本节课主要学习相似三角形对应高、对应中线、对应角的平分线、周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．2．对网格图上的两个格点三角形相似的认识及有关计算．有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法则，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
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(1)若相似比为 ，且AB=3，则A´B´=______,面积比为________;
(2)若周长的比为 ，且 =9，则 =________，相似比为_____;
(3)若面积比为 ，且AB=3，则A´B´=______,周长比为________;
二、新课讲解
例题4已知：如图，在△ABC中,∠ACB=90°，CD是边AB上的高.
分析：由题目中的DE//BC，能得到△ADE∽△ABC；再由边长比 ，可以得到面积比是 ，但是△ADE的面积不知道，知道的是四边形DBCE的面积等于16，所以可以设△ADE的面积为 ，那么△ABC为 ，建立方程，从而求出△ABC的面积.
解：∵DE//BC,
∴△ADE∽△ABC,
（相似三角形的预备定理）
例题的直接应用，帮助学生进一步巩固刚才的结论.
体现了数形结合的数学思想.
通过分析，建立方程，采用方程的思想来解决这个问题.
在实际问题中，体会相似比的应用.
教师注意补充数学思想方法.
（具有此特征的三角形我们称为母子三角形）
（2）
复习相似三角形的性质，为这堂课继续学习相似三角形的性质作好铺垫.
通过一组简单的练习巩固相似三角形的性质.
分析思路，帮助学生理清思路，证明等积式的一般思路就是将等积式转化成比例式.
教师板书，规范格式.
巩固直角三角形中相关线段的数量关系.
这道例题是以前课本中的射影定理.这个名称不用在课堂中出现，但是结论要学生掌握，并且在填空题和选择题是直接使用，在证明题中不能直接使用.
答5： .
答6：证明△ADC∽△CDB.
证明：（2）∵CD是△ABC的边AB上的高，
∴∠1 =∠3=90°.
∴∠A+∠2=90°.
同理∠A+∠B=90°.
∴∠B=∠2.
在△ADC∽△CDB中,
∴△ADC∽△CDB（两角对应相等，两个三角性相似）.
∴ （相似三角形的对应边成比例）.
∴ .
.
解：（1）2 AD=9cm.
(2)AB=25cm.
答：∵AB//A´B´,
∴△ABO∽△A´B´O（相似三角形的预备定理）
所以边长比就等于对应边上的高之比，等于 .
1、相似三角形的性质定理和判定定理的综合运用；
2、在特ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的三角形中，若在△ABC中，
∠ACB=90°,CD是AB边上的高，
那么，我们有这样的结论：
（1）△ACD∽△CBD∽ABC
（1）△ACD∽△CBD∽△ABC;
（具有此特征的三角形我们称为母子三角形）
（2） ;
;
.
练习1：
1、如图，△ABC中，∠C=90°,CD是AB边上的高.
（1）已知BD=4cm，CD=6cm，那么AD=__________;
（2）已知BD=9cm，BC=15cm，求AB=____________;
例5如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE//BC， ，四边形DBCE的面积等于16，求△ABC的面积.
答：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
相似三角形的周长的比等于相似比.
相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
（1）6， .
（2） ， .
（3）2， .
答1：AC是AD和AB的比例中项.
答2：转化成比例式.
答3： .
答4：只要证明△ACD∽△ABC.
公开课：§24.5相似三角形的性质（3）
教学目标
1．运用相似三角形的有关定理解决简单的几何证明和计算问题，感受数形结合和方程的数学思想.
2．通过对特殊问题的研究，感受特殊的等量关系.
教学重点
相似三角形的有关运用.
教学难点
特殊图形中等量关系的理解.
教学过程设计
教师活动
学生活动
教学设计意图
一、复习引入
上一节课，我们学习了相似三角形的有关性质，先请同学来回忆一下，我们已经学了哪些有关相似三角形的性质？
∴ ,
（相似三角形的面积比等于相似比的平方）
∵ = ,
∴ ,
设 ，则 ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
练习2：
（洞孔成像）如图，AB//A´B´，根据图中尺寸，可知物象A´B´的长是物AB的长的 ，你能说出其中的道理吗？
三、课堂小结：
通过这堂课你学到了什么？
预设：
教师补充：数形结合和方程的思想.
四、回家作业：
《练习册》24.5（3）
∴ （相似三角形的对应边成比例）.
∴ .
问5： 如何转化？
问6：怎么证明？
请学生来证明
小结：几何中证明有关线段的等积式一般都是化成比例式后证明三角形相似得到.
思考：BC与BD、AB之间有什么数量关系?
小结：
在特殊的三角形中，若在△ABC中，
∠ACB=90°,CD是AB边上的高，
那么，我们有这样的结论：
求证：（1） ;
（2） .
分析：
问1：AC和AD、AB的关系是什么？
问2：遇到等积式应该怎么处理？
问3：如何转化？
问4：这个式子怎么证明呢？
证明：（1）∵∠ACB=90°，CD是△ABC的边AB上的高，
∴∠1=∠ACB=90°.
在△ACD和△ABC中，
∴△ACD∽△ABC（两角对应相等，两个三角性相似）.