2019秋五年级精英班讲义 第4讲 平面图形(一)解答
第四讲 图形与面积 精英班 教师版
红 绿
红
绿
面积是 7.2 +12 +12 + 20 = 51.2 。
补充知识点：①过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行，见右图。所分得的四个小
矩形，其面积满足这样的规律： S1 × S4 = S2 × S3 。 ②梯形的对角线讲梯形分成的四个三角形有：ab＝cd,且 c＝d
变换位置
解题思路：分析几何有点像看图说话，会观察的人一眼就能看出图中的玄妙，而没有掌握正确方法的人 面对图形熟视无睹，所以我们除了要掌握一些正确的观察方法外还需要学会通过对图形的适当变换：对 称、旋转、平移、割补等技巧将其转换成我们显然能解决的问题。
【例1】 在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形（如右图），如果两个正
方形的周长相差 16 厘米，面积相差 96 平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？
分析：方法一：本题就此图来看计算起来比较麻烦，但是我们 可以把图（1）经过旋转后变成图（2）这样我们就可以根据我 们学过的知识来解决这到题了。八条虚线是的长度正好是大小 两个正方行的周长差，空白处即为两个正方形的面积差，所以 虚线长为：16÷8＝2（厘米）从图中可以看出上、下、左、右 四个长方形的面积相等为：（96－2×2×4）÷4＝20（平方厘米）， 所以小正方的边长为：20÷2＝10（厘米），即小正方形的面积 为：10×10＝100（平方厘米） 方法二：本题还可以讲里面的正方形移到一角上来计算，由右图可知 虚线长度为：16÷4＝4（厘米）所以小正方形的面积为：4×4＝16（平 方厘米）白色长方形的面积为：（96－16）÷2＝40（平方厘米），所 以小正方形的边长为：40÷4＝10（厘米），正方形的面积为：10×10 ＝100（平方厘米）。 方法三：本题可以例题二的知识点来做，由此可以引出例题三的方法：a＝c×c÷b ＝40×40÷16＝100（平方厘米）。
希望杯小学五年级数学竞赛《平面图形的计算》专题辅导培训资料导学讲义
平面图形的计算（一）在这两讲，我们主要讨论这样的问题：根据已知平面图形的特点以及图中各部分之间的关系，应用公式或其他数量关系，计算出该图形（或其中某个部分）的面积或图形中有关线段的长度。
到目前为止，我们已经学过了长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形这五咱简单图形，它们的概念、性质（特征）与它们的周长、面积的意义的计算公式，课本上都作了介绍。
这些都是我们解答“图形计算”问题所必需的基础知识。
例题与方法例1．图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。
（单位：厘米）例2．计算右图的面积。
（单位：厘米）例3．如图，已知四条线段的长分别是：AB=2厘米，CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。
求四边形ABCD的面积。
例4．右图是两面三刀个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积。
（单位：分米）例5．下页左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10，中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么，有草部分（阴影部分）的面积有多大？（单位：米）练习与思考1．求图中阴影部分的面积。
2．求图中阴影部分的面积。
3．下左图的长方形中，三角形ADE与四边形DEBF和三角形CDF的面积分别相等，求三角形DEF的面积。
4．四中平等四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形BCE的直角边EC长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求CF的长。
5．图中三角形的高为4，面积为16；长方形的宽为6，长方形的面积是三角形面积的多少倍？6．如图，长方形的长是8，宽是6，A和B是宽的中点，求长方形内阴影部分的面积。
7．如图，BC长为5，求画斜线的两个三角形的面积之和。
8．上右图是两个一样的直角三角形重叠在一起，按照图上标出的数，计算阴影部分的面积。
9．右图是一块长方形草地，长方形长为16，宽为12，中间有一条宽为2的道路，求草地（阴影部分）的面积。
平面图形的计算（二）例1．一个正方形，如果它的边长增加5厘米，那么，所成的正方形比原来正方形的面积多95平方厘米。
专题 基本平面图形章末重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.7 基本平面图形章末重难点题型汇编【举一反三】【北师大版】【考点1 几何图形】【方法点拨】掌握几何图形相关概念是解决此类问题的关键.【例1】（2019秋•峄城区期末）下面的几何体中，属于棱柱的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，可得答案．【答案】解：从左到右依次是长方体，圆柱，棱柱，棱锥，圆锥，棱柱．故选：C．【点睛】本题考查了认识立体图形，有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．【变式1-1】（2018秋•涞水县期末）如图，左面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到的立体图形是（）A．B．C．D．【分析】根据面动成体，梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，可得答案．【答案】解：梯形绕下底边旋转是圆锥加圆柱，故C正确；故选：C．【点睛】本题考查了点、线、面、体，利用面动成体，直角三角形绕直角边旋转是圆锥，矩形绕边旋转是圆柱．【变式1-2】（2019•章贡区期末）图①是由白色纸板拼成的立体图形，将它的两个面的外表面涂上颜色，如图②．则下列图形中，是图②的表面展开图的是（）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【答案】解：由图中阴影部分的位置，首先可以排除C、D，又阴影部分正方形在左，三角形在右，而且相邻，故只有选项B符合题意．故选：B．【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念．【变式1-3】（2019秋•广丰区期末）下图右边四个图形中，哪个是左边立体图形的展开图？（）A．B．C．D．【分析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．在验证立方体的展开图时，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．【答案】解：A、折叠后不能满足黑三角和黑正方形相邻，故本选项错误；B、折叠后符合题意，故本选项正确；C、折叠后不能满足黑三角的黑色的边与圆形相邻，故本选项错误；D、折叠后不能满足黑三角和黑正方形相邻，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了几何体的展开图，这类题学生容易对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．【考点2 基本概念】【方法点拨】知识点1：线段像长方体的棱、长方形的边，这些图形都是线段．线段有两个端点，两个方向均不延伸，线段的长度是可以测量的．线段有两种表示方法：(1)一条线段可以用它的两个端点的大写字母来表示，如图，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”；(2)一条线段可以用一个小写字母来表示，如图，线段AB也可记作“线段a”．知识点2：射线将线段向一个方向无限延长就得到了射线．射线有一个端点，射线向一个方向无限延伸，射线是无法测量的．射线的表示法：两个大写字母：一条射线可以用表示它的端点和射线上的另一点的两个大写字母来表示，如图中的射线，点O是端点，点A是射线上异于端点的另一点，那么这条射线可以记作射线OA.注意：①表示射线的两个大写字母，其中一个一定是端点，并且要把它写在前面．②端点相同的射线不一定是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线③两条射线为同一射线必须具备的两个条件：①端点相同；②延伸的方向相同．知识点3：直线将线段向两个方向无限延长就形成了直线．直线没有端点，直线向两个方向无限延伸，直线是无法测量的．直线的两种表示方法：(1)一条直线可以用一个小写字母表示，如图中的直线可记作：直线a.(2)一条直线也可以用在这条直线上的表示两个点的大写字母来表示，如图中的直线可记作：直线AB或直线BA.【例2】（2019秋•宜城市期末）下列说法中正确的个数是（）①线段AB和射线AB都是直线的一部分；②直线AB和直线BA是同一条直线；③射线AB和射线BA是同一条射线；④把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线．A．1B．2C．3D．4【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解．【答案】解：①线段AB和射线AB都是直线的一部分，正确；②直线AB和直线BA是同一条直线，正确；③射线AB的端点是点A，射线BA的端点是点B，不是同一条射线，故本小题错误；④把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线，正确．综上所述，说法正确的是①②④共3个．故选：C．【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，是基础题，熟记概念与它们的区别与联系是解题的关键．【变式2-1】（2019秋•岑溪市期末）下列说法正确的个数有（）①射线AB与射线BA表示同一条射线．②若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，则∠2＝∠3．③一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫这个角的平分线．④连结两点的线段叫做两点之间的距离．⑤40°50ˊ＝40.5°．⑥互余且相等的两个角都是45°．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据射线的定义，同角的补角相等，角平分线的定义，两点之间的距离的定义，度分秒的换算以及余角的定义对各小题分析判断即可得解．【答案】解：①射线AB与射线BA不表示同一条射线，因为它们的端点不同，故本小题错误；②若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，则∠2＝∠3，正确；③应为一条射线把一个角分成两个角相等的角，这条射线叫这个角的平分线，故本小题错误；④应为连结两点的线段的长度叫做两点之间的距离，故本小题错误；⑤40°50′≈40.83°，故本小题错误；⑥互余且相等的两个角都是45°，正确．综上所述，说法正确的有②⑥共2个．故选：B．【点睛】本题考查了余角与补角的定义，射线的定义，角平分线的定义以及度分秒的换算，是基础题，熟记相关概念与性质是解题的关键．【变式2-2】（2019秋•李沧区期末）下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短；②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是2；③连接两点的线段叫做两点间的距离；④射线AB和射线BA是同一条射线；⑤若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；⑥一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线是这个角的平分线，其中错误的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据两点之间线段最短，数轴上两点间的距离的求解，近似数，射线、线段的中点的定义，角平分线的定义对各小题分析判断即可得解．【答案】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，正确；②在数轴上与表示﹣1的点距离是3的点表示的数是﹣4和2，故本小题错误；③应为连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，故本小题错误；④射线AB和射线BA不是同一条射线，故本小题错误；⑤若AC＝BC，则点C是线段AB的中点，错误，因为点A、B、C不一定共线；⑥应为从一个角的顶点引出一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线是这个角的平分线，故本小题错误．综上所述，错误的有②③④⑤⑥共5个．故选：D．【点睛】本题考查了射线、线段的性质，数轴，近似数，两点间的距离的定义，角平分线的定义，是基础题，熟记各性质与概念是解题的关键．【变式2-3】（2019春•广饶县期末）如图的四个图形和每一个图形相应的一句描述，其中所有图形都是画在同一个平面上．①线段AB与射线MN不相交；②点C在线段AB上；③直线a和直线b不相交；④延长射线AB，则会通过点C．其中正确的语句的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据直线、线段、射线的定义以及其性质分别判断得出即可．【答案】解：①线段AB与射线MN不相交，根据图象可得出此选项正确；②根据图象点C不在线段AB上，故此选项错误；③根据图象可得出直线a和直线b会相交，故此选项错误；④根据图象可得出应为延长线段AB，到点C，故此选项错误，故正确的语句的个数是1个．故选：B．【点睛】此题主要考查了直线、线段、射线的定义的应用，正确根据题意画出图形是解题关键．【考点3 余角与补角定义】【方法点拨】余角和补角：（1）若α＋β＝90°，则α与β互余．（2）若α＋β＝180°，则α与β互补．（3）同角（或等角）的余角（或补角）相等．【例3】（2019春•东阿县期末）一个角的余角是它的，则这个角的补角等于°．【分析】互补的两角和为180°，互为余角的和90°，从而计算得．【答案】解：设这个角为α，由题意该角为：90°﹣α＝α，解得：α＝54°，则该角的补角为180°﹣54°＝126°，故答案为：126．【点睛】本题考查了角的补角和余角，从平角180°为互补角的和，从而解得．【变式3-1】（2018秋•宜宾期末）如果一个角的余角与它的补角度数之比为2：5，则这个角等于度．【分析】根据和为180度的两个角互为补角；和为90度的两个角互为余角解答即可．【答案】解：设该角为x°，则5（90°﹣x°）＝2（180﹣x°），得x＝30°．故答案为：30．【点睛】本题考查了余角与补角的定义，表示出这个角的余角和补角并列出方程是解题的关键．【变式3-2】（2019秋•化德县校级期末）若一个角的3倍比这个角补角的2倍还少5°，则这个角等于．【分析】设这个角为x，根据互为补角的两个角的和等于180°列方程求解即可．【答案】解：设这个角为x，由题意得，3x＝2（180°﹣x）﹣5°，解得x＝71°．答：这个角等于71°．故答案为：71°．【点睛】本题考查了余角和补角，互为补角的两个角的和等于180°．【变式3-3】（2018秋•凉山州期末）一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是．【分析】先设出这个角，可表示出其补角和余角，根据题意我们可列出等式，解这个等式即可得出这个角的度数，然后求得即可．【答案】解：设这个角为x°，则它的余角为90°﹣x°，补角为180°﹣x°，根据题意，得180°﹣x°+10°＝3×（90°﹣x°），解得x＝4040°﹣15°32'＝24°28'，故答案为：24°28'【点睛】本题考查的是角的余角和补角的关系，以及对题意的准确把握．【考点4 钟面上的角度问题】【例4】（2019秋•宛城区期末）上午9点30分时，时钟的时针和分针所夹的较小的角是度．【分析】在9点30分时，时针从数字9开始转了30×0.5°＝15°，分针从数字12开始转了30×6°＝180°，所以此时时针与分针所夹的角＝9×30°+15°﹣180°，然后进行角度计算．【答案】解：上午9点30分时，时针转了30×0.5°＝15°，分针转了30×6°＝180°，所以此时时针与分针所夹的角＝9×30°+15°﹣180°＝105°．故答案为105．【点睛】本题考查了钟面角：钟面被分成12大格，每大格为30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．【变式4-1】（2019秋•莲湖区校级月考）时钟表面11点15分时，时针与分针所夹角的度数是度．【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【答案】解：11点15分时，时针与分针相距份，11点15分时，时针与分针所夹角的度数是30×＝＝112.5°，故答案为：112.5．【点睛】本题考查了钟面角，利用了时针与分针相距的份数乘以每份的度数，确定时针与分针相距的份数是解题关键．【变式4-2】（2019秋•大冶市期末）中午12点30分时，钟面上时针和分针的夹角是度．【分析】画出图形，利用钟表表盘的特征解答．【答案】解：12点半时，时针指向1和12中间，分针指向6，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，半个格是15°，因此12点半时，分针与时针的夹角正好是30°×5+15°＝165°．故答案为：165．【点睛】此题主要考查了钟面角，本题是一个钟表问题，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．借助图形，更容易解决．【变式4-3】（2018春•单县期末）上午八点二十五分，钟表上时针和分针的夹角的度数为．【分析】根据时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度计算即可．【答案】解：上午八点二十五分，钟表上时针和分针的夹角的度数：3×30°+0.5°×25＝102.5°，故答案为：102.5°．【点睛】本题考查了钟面角的问题，掌握时针每分钟转0.5度，分针每分钟转6度是解题的关键．【考点5 尺规作图】【例5】（2018春•沙坪坝区校级期末）已知：∠α，∠β，线段c．求作：△ABC，使∠A＝α，∠B＝∠β，AB＝c（不写作法，保留作图痕迹）【分析】①先作∠MAN＝∠α，②在AM上截取AB＝a，③在AB的同侧作∠ABD＝∠β，AN与BD交于点C，即可得出△ABC．【答案】解：如图所示：△ABC即为所求．【点睛】本题主要考查了作图﹣复杂作图、角的作法；熟练掌握三角形的基本作图是解决问题的关键．【变式5-1】（2019秋•翁牛特旗期末）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a，b，求作：线段AB，使AB＝2b﹣a．【分析】以A为端点画射线，在射线上截AC＝b、CD＝b、BD＝a，如图AB即为所求作的线段．【答案】解：AB＝2b﹣a．【点睛】本题考查了作图中的复杂作图，熟练掌握尺规作图的方法是解题的关键．【变式5-2】（2019秋•涡阳县期末）作图题：学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．比如给定一个△ABC，可以这样来画：先作一条与AB相等的线段A′B′，然后作∠B′A′C′＝∠BAC，再作线段A′C′＝AC，最后连结B′C′，这样△A′B′C′就和已知的△ABC一模一样了．请你根据上面的作法画一个与给定的三角形一模一样的三角形来．（请保留作图痕迹）【分析】首先作一条射线，进而截取AB＝A′B′，∠CAB＝∠C′A′B′，进而截取AC＝A′C′，进而得出答案．【答案】解：如图所示：△A′B′C′即为所求．【点睛】此题主要考查了作一三角形全等于已知三角形，正确作出∠CAB＝∠C′A′B′是解题关键．【变式5-3】（2018秋•安庆期末）如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D．（1）请按要求作出图形（注：此题作图不需写出画法和结论）：①作射线AC②作直线BD，交射线AC于点O③分别连接AB，AD．（2）观察所作图形，我们能得到：AO+OC＝；DB﹣OB＝（空格处填写图中线段）【分析】（1）根据直线、射线和线段的定义作图可得；（2）根据线段的和差可得．【答案】解：（1）如图所示：（2）由图形知AO+OC＝AC，DB﹣OB＝DO，故答案为：AC，DO．【点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握线段、直线、射线的定义及线段和差的计算．【考点6 与中点有关的长度计算】【方法点拨】线段的中点如图，点C在线段AB上且使线段AC，CB相等，这样的点C叫做线段AB的中点．中点定义的推理步骤：(1)∵AC＝CB(已知)，∴点C是线段AB的中点(中点的定义)．(2)∵点C是线段AB的中点(已知)，∴AC ＝BC 或AC ＝12AB 或BC ＝12AB 或AB ＝2AC 或AB ＝2BC (中点的定义)．【例6】（2019秋•洛宁县期末）已知：点C 在直线AB 上，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，求线段MN 的长．【分析】分类讨论：点C 在线段AB 上，点C 在线段AB 的延长线上，根据线段中点的性质，可得MC 、NC 的长，根据线段的和差，可得答案．【答案】解：当点C 在线段AB 上时，由点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，得MC ＝AC ＝×8cm ＝4cm ，CN ＝BC ＝×6cm ＝3cm ， 由线段的和差，得MN ＝MC +CN ＝4cm +3cm ＝7cm ；当点C 在线段AB 的延长线上时，由点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，得MC ＝AC ＝×8cm ＝4cm ，CN ＝BC ＝×6cm ＝3cm ． 由线段的和差，得MN ＝MC ﹣CN ＝4cm ﹣3cm ＝1cm ； 即线段MN 的长是7cm 或1cm ．【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，分类讨论是解题关键，以防遗漏．【变式6-1】（2019秋•郯城县期末）如图，线段AB ，C 是线段AB 上一点，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点．（1）若AB ＝8cm ，AC ＝3.2cm ，求线段MN 的长； （2）若BC ＝a ，试用含a 的式子表示线段MN 的长．【分析】（1）根据中点定义求出AM 和AN ，则MN ＝AM ﹣AN ； （2）由MN ＝AM ﹣AN 得：MN ＝＝．【答案】解：（1）因为AB ＝8cm ，M 是AB 的中点， 所以AM ＝＝4cm ，又因为AC＝3.2cm，N是AC的中点，所以AN＝＝1.6cm，所以MN＝AM﹣AN＝4﹣1.6＝2.4cm；（2）因为M是AB的中点，所以AM＝，因为N是AC的中点，所以AN＝，∴MN＝AM﹣AN＝＝＝＝．【点睛】本题考查了线段中点的定义及线段的和、差、倍、分，若点C是线段的中点，则有①AC＝BC ＝AB，②AB＝2AC＝2BC；注意（1）的条件和结论（2）不能运用．【变式6-2】（2019秋•永新县期末）如图，点C是线段AB上，AC＝10cm，CB＝8cm，M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长．（2）若C为线段AB上任一点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，不用计算你猜出MN的长度吗？（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝acm，M，N仍分别为AC，BC的中点，你还能猜出线段MN的长度吗？（4）由此题你发现了怎样的规律？【分析】（1）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可求出结果；（2）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可得出结论；（3）根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系，即可得出结论；（4）分析上面结论，即可得出“MN的长度与C点的位置无关，只与AB的长度有关”这一结论．【答案】解：（1）MN＝MC+CN＝AC+CB＝×10+×8＝5+4＝9cm．答：线段MN的长为9cm．（2）MN＝MC+CN＝AC+CB＝（AC+CB）＝cm．（3）如图，MN＝AC﹣AM﹣NC＝AC﹣AC﹣BC＝（AC﹣BC）＝cm．（4）当C点在AB线段上时，AC+BC＝AB，当C点在AB延长线上时，AC﹣BC＝AB，故找到规律，MN的长度与C点的位置无关，只与AB的长度有关．【点睛】本题考查了两点间的距离，解题的关键是根据M，N分别是AC，BC的中点，找到线段之间的关系．【变式6-3】（2019秋•榆社县期末）已知：点M，N分别是线段AC，BC的中点．（1）如图，点C在线段AB上，且AC＝9cm，CB＝6cm，求线段MN的长；（2）若点C为线段AB上任一点，且AC＝acm，CB＝bcm，用含有a，b的代数式表示线段MN的长度．（3）若点C在线段AB的延长线上，且AC＝acm，CB＝bcm，请你画出图形，并且用含有a，b的代数式表示线段MN的长度．【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN 即可求出MN的长度即可，（2）当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，可表示线段MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN，则存在MN＝（a+b）；（3）点C在AB的延长线上时，根据M、N分别为AC、BC的中点，即可求出MN的长度．【答案】解：（1）∵AC＝9cm，点M是AC的中点，∴CM＝0.5AC＝4.5cm，∵BC＝6cm，点N是BC的中点，∴CN＝0.5BC＝3cm，∴MN＝CM+CN＝7.5cm，∴线段MN的长度为7.5cm，（2）MN＝cm，∵点M，N分别是线段AC，BC的中点．∴MC＝AC＝a，CN＝CB＝b，∴MN＝＝；（3）当点C 在线段AB 的延长线时，如图：则AC ＞BC ， ∵M 是AC 的中点， ∴CM ＝AC ＝a ， ∵点N 是BC 的中点， ∴CN ＝＝b ，∴MN ＝CM ﹣CN ＝a ﹣b ＝．【点睛】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．【考点7 与角平分线有关的角度计算】 【方法点拨】角平分线：（1）把一个角平分成二等分的射线，称为角平分线． （2）若OC 平分∠AOB ，则有①∠AOC ＝∠BOC ．②∠AOC ＝21∠AOB ．③∠AOB ＝2∠AOC ＝2∠BOC ． 【例7】（2019秋•化德县校级期末）如图，已知OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ，∠AOB ＝90°，∠BOC ＝30°．求：（1）∠AOC 的度数； （2）∠MON 的度数．【分析】（1）根据角的和差关系，即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠MOC ＝∠AOC ，∠NOC ＝∠BOC ，于是得到结论． 【答案】解：（1）∵∠AOC ＝∠AOB +∠BOC ， 又∵∠AOB ＝90°，∠BOC ＝30°，∴∠AOC＝120°；（2）∵OM平分∠AOC，∴∠MOC＝∠AOC，∵∠AOC＝120°，∴∠MOC＝60°，∵ON平分∠BOC，∴∠NOC＝∠BOC，∵∠BOC＝30°，∴∠NOC＝15°，∵∠MON＝∠MOC﹣∠NOC，∴∠MON＝45°．【点睛】此题考查了角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线，弄清题意是解本题的关键．【变式7-1】（2019秋•浏阳市校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝72°，OF⊥CD，垂足为O，求：（1）求∠BOE的度数．（2）求∠EOF的度数．【分析】（1）由∠BOD＝∠AOC＝72°，OF⊥CD，求出∠BOF＝90°﹣72°＝18°，再由OE平分∠BOD，得出∠BOE＝∠BOD＝36°，（2）由∠EOF＝∠BOF+∠BOE，得出∠EOF的度数．【答案】解：（1）∵直线AB和CD相交于点O，∴∠BOD＝∠AOC＝72°，∵OF⊥CD，∴∠BOF＝90°﹣72°＝18°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠BOD＝36°；（2）∵∠EOF＝∠BOF+∠BOE，∴∠EOF＝36°+18°＝54°．【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、垂线以及角平分线的定义；弄清各个角之间的关系是解题的关键．【变式7-2】（2019秋•襄阳期末）如图所示．（1）已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；（2）∠AOB＝α，∠BOC＝β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的大小．【分析】（1）根据题意可知，∠AOC＝120°，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOC；推出∠MOC＝∠AOC＝60°，∠CON＝∠BOC＝15°，由图形可知，∠MON＝∠MOC﹣∠CON，即∠MON＝45°；（2）同理可得，∠MOC＝（α+β），∠CON＝β，根据图形便可推出∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（α+β）﹣β＝α．【答案】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC＝60°，∠CON＝∠BOC＝15°，∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝60°﹣15°＝45°；故答案为：45°；（2）同理可得，∠MOC＝（α+β），∠CON＝β，则∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（α+β）﹣β＝α．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，角的度数的计算，关键在于运用数形结合的思想推出∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠MON＝∠MOC﹣∠CON．【变式7-3】（2019秋•沙河口区期末）已知∠AOB＝α，过O作射线OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如图，若α＝120°，当OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数；（2）当OC在∠AOB外部时，画出相应图形，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．【分析】（1）根据角平分线的性质，可得∠NOC与∠BOC的关系，∠COM与∠COA的关系，根据角的和差，可得答案；（2）根据角的和差，可得∠AOC的度数，根据角平分线的性质，可得∠COM的度数，∠CON的度数，根据角的和差，可得答案．【答案】解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝∠AOC+∠BOC＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝α＝60°；（2）如图：，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC＝（∠AOB+∠BOC），∠CON＝∠BOC．∴∠MON＝∠MOC﹣∠CON＝（AOB+∠BOC）﹣∠BOC＝∠AOB＝α．【点睛】本题考查了角的计算，利用了角平分线的性质，角的和差．【考点8 与旋转有关的角度计算】【例8】（2019秋•启东市校级月考）O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．（1）如图①，∠AOC与∠DOE的数量关系为，∠COF和∠DOE的数量关系为_；（2）若将∠COE绕点O旋转至图②的位置，OF依然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由；（3）若将∠COE绕点O旋转至图③的位置，射线OF依然平分∠AOE，请直接写出∠COF和∠DOE之间的数量关系．【分析】（1）根据已知条件和图形可知：∠COE＝90°，∠COE+∠AOC+∠DOE＝180°，从而可以得到∠AOC与∠DOE的数量关系；由射线OF平分∠AOE，∠AOC与∠DOE的数量关系，从而可以得到∠COF和∠DOE的数量关系；（2）由图②，可以得到各个角之间的关系，从而可以得到∠COF和∠DOE之间的数量关系；（3）由图③和已知条件可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠COF和∠DOE之间的数量关系．【答案】解：（1）∵∠COE＝90°，∠COE+∠AOC+∠DOE＝180°，∴∠AOC+∠DOE＝90°，∵射线OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝∠AOE，∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝∠AOE﹣（90°﹣∠DOE）＝（180°﹣∠DOE）﹣90°+∠DOE＝∠DOE，故答案为：互余，∠COF＝∠DOE；（2）∠COF＝∠DOE；理由如下：∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠AOE，∵∠COE＝90°，∴∠AOC＝90°﹣∠AOE，∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝90°﹣∠AOE+∠AOE＝90°﹣∠AOE，∵∠AOE＝180°﹣∠DOE，∴∠COF＝90°﹣（180°﹣∠DOE）＝∠DOE，即∠COF＝∠DOE；（3）∠COF＝180°﹣∠DOE；理由如下：∵OF平分∠AOE，∴∠EOF＝∠AOE，∴∠COF＝∠COE+∠EOF＝90°+∠AOE＝90°+（180°﹣∠DOE）＝180°﹣∠DOE，即∠COF＝180°﹣∠DOE．【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．【变式8-1】（2019秋•武昌区期末）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．（本题中的角均为大于0°且小于等于180°的角）．（1）如图1，当OB、OC重合时，求∠EOF的度数；（2）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜90）时，∠AOE﹣∠BOF的值是否为定值？若是定值，求出∠AOE﹣∠BOF的值；若不是，请说明理由．（3）当∠COD从图1所示位置绕点O顺时针旋转n°（0＜n＜180）时，满足∠AOD+∠EOF＝6∠COD，则n＝．【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠EOB和∠COF的度数，然后根据∠EOF＝∠EOB+∠COF 求解；（2）解法与（1）相同，只是∠AOC＝∠AOB+n°，∠BOD＝∠COD+n°；（3）利用n表示出∠AOD，求得∠EOF的度数，根据∠AOD+∠EOF＝6∠COD列方程求解．【答案】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠EOB＝∠AOB＝×100°＝50°，∠COF＝∠COD＝×40°＝20°，∴∠EOF＝∠EOB+∠COF＝50°+20°＝70°；（2）∠AOE﹣∠BOF的值是定值，理由是：当0＜n＜80时，如图2．∠AOE﹣∠BOF的值是定值，理由是：∠AOC＝∠AOB+n°，∠BOD＝∠COD+n°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE＝∠AOC＝（100°+n°），∠BOF＝∠BOD＝（40°+n°），∴∠AOE﹣∠BOF＝（100°+n°）﹣（40°+n°）＝30°；当80＜n＜90时，如图3．∠AOE＝（360°﹣100°﹣α）＝130°﹣α，∠BOF＝（40°+α），则∠AOE﹣∠BOF＝110°﹣α，不是定值；（3）当0＜＜α＜40时，C和D在OA的右侧，∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＝100°+40°+n°＝140°+n°，∠EOF＝∠EOC+∠COF＝∠EOC+∠COD﹣∠DOF＝（100°+n°）+40°﹣（40°+n°）＝70°，∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，∴（140+n）+70°＝6×40，∴n＝30．当40≤α＜80时，如图2所示，D在OA的左侧，C在OA的右侧．当∠AOD＝∠AOB+∠COD+n°＞180°时，∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD＝220°﹣n°，∠EOF＝70°，∵∠AOD+∠EOF＝6∠COD，∴220°﹣n°+70°＝6×40°，解得n＝50．当80＜α＜140时，如图3所示，∠AOD＝360°﹣100°﹣40°﹣α＝220°﹣n°，∠EOF＝360°﹣（130°﹣n）﹣（40°+n）﹣100°＝110°，则（220﹣n）+110°＝240°，解得n＝90°；当140≤n＜180时，∠AOD＝220°﹣n°，∠EOF＝70°，则220﹣n+70＝240，解得n＝50（舍去）．故答案是：30或50°或90°．【点睛】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．【变式8-2】（2019秋•南江县期末）如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝110°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处（∠OMN＝30°），一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB 的下方．（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．求∠BON的度数．（2）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为（直接写出结果）．（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义以及直角的定义，即可求得∠BON的度数；（2）分两种情况：ON的反向延长线平分∠AOC或射线ON平分∠AOC，分别根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可；（3）根据∠MON＝90°，∠AOC＝70°，分别求得∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，再根据∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）进行计算，即可得出∠AOM与∠NOC 的数量关系．【答案】解：（1）如图2，∵OM平分∠BOC，∴∠MOC＝∠MOB，又∵∠BOC＝110°，∴∠MOB＝55°，∵∠MON＝90°，∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝35°；（2）分两种情况：①如图2，∵∠BOC＝110°∴∠AOC＝70°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝35°，∴∠BON＝35°，∠BOM＝55°，即逆时针旋转的角度为55°，由题意得，5t＝55°解得t＝11；②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA＝35°，∴∠AOM＝55°，即逆时针旋转的角度为：180°+55°＝235°，由题意得，5t＝235°，解得t＝47，综上所述，t＝11s或47s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；故答案为：11或47；（3）∠AOM﹣∠NOC＝20°．理由：∵∠MON＝90°，∠AOC＝70°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝70°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（70°﹣∠AON）＝20°，∴∠AOM与∠NOC的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC＝20°．【点睛】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义的运用，用含∠AON的式子表示出∠AOM和∠NOC 的长是解题的关键．解题时注意分类思想和方程思想的运用．【变式8-3】（2019秋•安庆期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．。
北师大版五年级下册数学教学讲义-第四讲 长方体的表面积(二)(含答案)
北师大版五年级下册数学教学讲义-第四讲长方体的表面积（二）（含答案）一、知识点1、表面积与侧面积①长方体侧面积＝底面周长×高②长方体表面积＝侧面积＋上下两个底面积2、墙角正方体①分别从正面、上面，侧面3个不同的角度观察，并数出从每个角度能看到的面的个数。
②把从三个角度看到的面数相加求和，得到露在外面的面的总个数。
③把露在外面的面的总个数，乘以一个面的面积得到总面积。
3、切割问题将一个正方体或长方体切割成若个小长方体时，每切1刀，就增加2个完全相同的切面。
4、拼接问题将若干个小长方体或小正方体拼接成一个大的立体图形时，每拼接1次，就减少2个完全相同的面。
二、学习目标1、我能够理解棱长变化与棱长和、表面积变化之间的关系。
2、我能够利用三视图来灵活计算立体图形的表面积。
3、我能够熟练利用“一刀两面八棱”来灵活解决切拼类问题。
三、课前练习（1）先填写下面的表格，然后仔细观察，总结规律。
规律：一个正方体的棱长扩大到原来的倍，它的棱长总和就扩大到原来的倍，它的表面积扩大到原来的倍。
（2）先填写下面的表格，然后仔细观察，总结规律。
规律：一个长方体的长、宽、高的都扩大到原来的倍，它的棱长总和就扩大到原来的倍，它的表面积扩大到原来的倍。
四、典型例题例题1（1）一个正方体的棱长扩大到原来的6倍，它的棱长之和就扩大到原来的倍，表面积扩大到原来的倍。
（2）一个长方体的两个底面积和是180平方厘米，宽是9厘米，长和高相等，它的表面积是平方厘米。
练习1（1）一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的5倍，它的棱长之和就扩大到原来的倍，表面积扩大到原来的倍。
（2）一个底面是正方形的长方体盒子的侧面展开图是一个面积为64平方厘米的正方形，则这个长方体盒子的表面积是平方厘米。
例题2如下图所示，12个棱长为5分米的正方体纸箱放在墙角。
问：（1）有几个面露在外面？（2）露在外面的面的面积总和是多少平方分米？练习2如下图所示，8个棱长为4分米的正方体纸箱放在墙角。
五年级上册数学 北师大版 新精英课堂 考点精讲 (22)
第4课时欣赏与设计教学目标1.结合欣赏与绘制图案的过程，体会轴对称、平移在图案设计中的应用。
2.能从复杂的图案中抽出简单的图形。
3.感受图案的美，培养健康的审美情趣。
重点难点重点：体会轴对称和平移在图案设计中的应用。
难点：应用轴对称、平移等知识设计、绘制图案。
教学内容对应教材第27页内容和第28页“练一练”的第1~4题。
教学准备教具准备：PPT课件教学过程教学环节教案设计幻灯片示例回顾旧知引入新课（6分钟）1.引导学生回顾轴对称和平移的相关知识，回答下列问题。
举例说说生活中有哪些轴对称和平移的现象，这两种现象有什么特点？怎样画一个图形的轴对称图形呢？怎样画出经过平移后的图形呢？2.引出课题，明确本节课的学习内容。
同学们想成为一名小小设计师吗？本节课一起来学习欣赏与设计。
创设情境自主探究（20分钟）1.课件出示教材第27页情境图及“上面各幅……你的想法”的内容，引导学生欣赏图案。
（1）提问：上面各幅图案是怎样得到的？与同伴交流你的想法。
学生讨论后汇报：图①是一只蝴蝶的图案，左右两边完全一样，是一个轴对称图形。
图①是由左边一个简单图形经过轴对称得到的。
图②可以看作是一个基本图形经过平移得到的。
左上角的一个基本图形向右平移3次，成为第一行，然后把第一行向下平移3次，就成为这个图案。
图③这个图案中既有平移又有轴对称。
把左上角的一个基本图形向右平移1次，成为两个基本图形，把这两个基本图形向下平移1次，成为4个基本图形，向右作这四个基本图形的轴对称图形，成为上面的两行，然后把上面的两行向下作轴对称图形，就成为这个图案。
（2）提问：你们会画这些图案吗？想一想该如创设情境自主探究（20分钟）何设计图案。
学生思考后回答：先画一个简单的图案，然后通过轴对称或平移就能得到复杂、美丽的图案。
教师小结：在设计图案的过程中，一个图形可以通过两种或多种变换方式得到。
复杂、美丽的图案可以用一个简单的图形经过轴对称或平移得到。
由此可见，轴对称和平移在图案设计中应用广泛。
2019秋二年级上册精英班讲义 第4讲-有序思考(教师版)
知识要点JY(2)第四讲 有序思考解答 姓名有序思考是培养学生学会按照一定顺序，有规律地进行枚举，做到“不重不 漏”，运用字典排列法解决整数分拆问题。
一、基础例题1、（1）有 15 个一样的玻璃球，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？ （2）丽丽买回了一袋奶糖，她数了一下，一共有 10 个，现在她要把这些奶糖 分成 3 堆，一共有多少种不同的分法？答案：（1）7 种；（2）8 种。
解析：（1）根据题意可得，此题是不计次序的：15=1＋14=2＋13=3＋12=4＋ 11=5＋10=6＋9=7＋8；共有 7 种分法。
（2）根据题意可得，此题同样不计次序：10=1＋1＋8=1＋2＋7=1＋3＋6=1 ＋4＋5=2＋2＋6=2＋3＋5=2＋4＋4=3＋3＋4；一共有 8 种不同的分法。
2、小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这四个地方中选择两个去旅游，请 问：小王共有多少种不同的选择方式？答案：6 种。
解析：法 1：由枚举法可得：（青岛、三亚），（青岛、桂林），（青岛、杭州），（三亚、桂林），（三亚、杭州），（桂林、杭州），选择方式总数为 6 种。
（与顺序 无关）法 2：连线法：共 6 种。
： 3、在一次知识抢答比赛中，小月和冬冬两个人一共答对了 10 道题，并且每 人都有答对的题目，如果每道题 1 分，那么小月和冬冬两人有多少种不同的得 分？答案：9 种。
解析：两人得分的可能：10=1＋9=2＋8=3＋7=4＋6=5＋5=6＋4=7＋3=8＋2=9 ＋1。
（有顺序）二、举一反三4、妈妈买了 10 盒酸奶，需要放在两个相同的塑料袋里，并且她在每个袋子 里至少放了两盒，那么妈妈一共有多少种不同的放法？答案：4 种。
解析：每袋至少放两盒，所以为：10=2+8=3+7=4+6=5+5 共 4 种放法。
5、有 4 个小朋友一起玩握手游戏，每 2 人握手 1 次，一共要握几次手？答案：6 次。
解析：法 1：设这 4 个小朋友分别为 1 号，2 号，3 号，4 号。
2019暑假五年级精英班讲义 第4讲-+平面图形综合(教师版)
A DOJY(5)第四讲 平面图形综合解答姓名一、例题选讲1、一个直角三角形的两条直角边的长度分别为 6 和 8，则它的斜边长度为多少？答案：10。
解析：直角三角形的两条直角边长度分别为 6 和 8，则斜边的平方为 62 + 82 = 102 ，斜边长为 10。
2、如图，两个等腰直角三角形 ABD 和 BCD 拼成一个直角梯形 ABCD ，已 知 D C = 4 ，那么梯形 ABCD 的面积是多少？ADBC答案：12。
解析：△BDC 的面积为 4×4÷2=8，△ABD 的面积为 4×2÷2=4，梯形 ABCD 的面积为 8＋4=12。
3、如下图， BE = 2EC ， CD = 3DA ，△ ABC 的面积为 72，则△ AED 的面 积是多少？答案：6。
解析：因为 BE=2EC ，△ACE 的面积是△ACB 面积的 1，所以△ACE 的面3 积为 24，CD=3DA ，所以△AED 的面积是△ACE 的面积的 1，为 6。
44、下图中 ∆AOB 的面积为15cm 2 ，线段 OB 的长度为 OD 的 3 倍，求梯形 ABCD 的面积。
BCMD NMD N答案：80。
解析：在 ∆ABD 中，因为 S∆AOB= 15cm 2，且 O B = 3OD ，所以有 S ∆AOD = S ∆AOB ÷ 3 = 5cm 2 。
因为 ∆ABD 和 ∆ACD 等底等高，所以有 S ∆ABD= S ∆ACD 。
从 而，在 ∆BCD 中， S ∆BOC = 3S ∆OCD = 45cm 2 ，所以梯形面积： 15 + 5 +15 + 45 = 8（0 cm 2）。
5、如下图，在三角形 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且∠ ABC ＝∠ ACB ，∠ ADC = ∠ DAC ， ∠DAB = 20︒ ，则∠ ABC 的度数是多少？答案： 46 2。
3解析：设∠ABC ＝x°，则∠ADC ＝x°＋20°，所以 2（x°＋20°）＋x°＝180°，解得 x ＝ 140 =46 2。
2019秋三年级上册精英班讲义 第4讲+课堂练习解(教师版)
JY(3)第四讲课堂练习解答姓名1、2+10+18+26+34+42+50+58+66= 。
答案：306。
解析：等差数列求和。
和为（2+66）×9÷2=306。
2、小刚从一本书的第10 页阅读到第30 页，苏明从第28 页阅读到第60 页，他们总共阅读了页。
答案：54。
解析：一共读了（30-10+1）+（60-28+1）=54（页）。
3、假如100 澳元可兑换74 美元。
一位澳洲游客在美国一家店铺买了一个价值100 美元的物品，但是他付了200 澳元，那么店铺的营业员应该找给他美元。
答案：48。
解析：200 澳元=（200÷100）×74=148（美元），故店铺的营业员应该找给他148-100=48（美元）。
4、A 、B 、C 、D 四个人在一场考试中分别获得了前四名，D 的名次不是最高，但他比B 、C 都高，C 的名次不比B 高。
C 是第名。
答案：4。
解析：“D 的名次不是最高，但他比B 、C 都高”，所以D 是第2 名，A 是第1 名。
“C 的名次不比B 高”，所以B 是第3 名，C 是第4 名。
5、小明看一本科技书，第一天看了3 页，以后每天都比前一天多读3 页，最后一天他看了63 页，刚好把书看完。
小明一共看了天。
答案：21。
解析：等差数列求项数。
小明一共看了（63-3）÷3+1=21（天）。
6、李师傅到家具厂买桌椅共10 件，每张桌子35 元，每把椅子25 元，共付款270 元，那么买了把椅子。
答案：8。
解析：假设10 件都是桌子，则椅子有（35×10-270）÷（35-25）=8（把）。
7、甲桶中有油65 千克，乙桶中有油35 千克，将乙桶中的千克油注入甲桶，能使甲桶中的油是乙桶中的油的4 倍。
答案：15。
解析：乙现在有油（65+35）÷(4+1)=20（千克），乙桶倒出的油为 35-20=15（千克）。
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F
E
O △AOC
JY(5)第四讲 平面图形（一）解答 姓名
知识要点：
燕尾定理：
如图，在△ ABC 中， AD ， BE ， CF 相交于同一点 O 。
因为 S ∆ABD = BD ； S ∆BOD = BD
，则 S ∆ABO = BD 。
S ∆ACD DC S ∆COD DC S ∆ACO DC
一、基础例题
1、在△ABC 中，D 是 BC 中点，EC =2AE ，S △OBC 与 S △AOC 有什么关系呢？
A
B
D
C
答案: S △OBC =2S △AOC 。
解析： 因为 EC =2AE ，所以 S △OBC =2S △OAB ， 因为 S △AOB =S △AOC ，所以 S △OBC =2S △AOC 。
2、如图，在 ∆ABC 中，CD =2BD 。
∆ABO 的面积是 36 平方厘米，那么 ∆AOC 的面积是多少平方厘米？
答案:72。
解析：根据燕尾定理， S △ AOB
= BD = 1 ， S = 36⨯ 2 ÷1 = 72 平方厘米。
S △ AOC
DC 2
E
F O △BFC
D O
△AOB
3、已知△ABC 中，△ABF 的面积是 60，△AFC 的面积是 20，△BFC 的面积 是 56，求△BDF 面积。
答案：42
解析：由燕尾定理，有 S △ABF = BD = S △BDF
= 60 = 3 ，又因为 S = 56 ，所 以 S = 3
⨯ 56 = 42 。
S △AFC CD S △CDF 20 1
△BDF
3 +1
二、举一反三
4、在△ABC 中，BC =4BD ，F 是 AB 的五等分点。
S △AOB 与 S △AOC 有什么关
系？S △AOC 是 S △BOC 的几倍？
A
B
D
C
答案: S △AOC =3S △AOB ；4。
解析：因为 B C =4BD ，所以 S △AOC =3S △AOB 。
因为 F 是 A B 的五等分点，所以 S △AOC =4S △BOC 。
5、如图，在 ∆ABC 中， AD = 7。
∆BOC 的面积是 12 平方厘米，那么 ∆AOB
CD 3
的面积是多少平方厘米？
A
B
C
答案:28。
解析：根据燕尾定理， S △ A OB = AD = 7
，所以 S = 12⨯ 7 ÷ 3 = 28平方厘
S △BOC 米。
CD 3
D 6 8 M N
6、如图，已知△ABC 的面积是 49，△BDE 的面积是 6，△CDE 的面积是 8， 求△ACD 的面积。
答案：20
B
C
解析：由燕尾定理，有 S △ACD S △ABD = S △CDE S △BDE = 8 = 4
，又因为
6 3
4
S △ABC = 49 ，所以 S △ACD +S △ABD =49 - 8 - 6=35 ，
S △ACD =35⨯ 7
=20 。
三、拓展提高
7、∆ABC 中，∠C 是直角，已知 AC = 2 ，CD = 2，DB = 1， A M = BM ，那 么 ∆ACN 的面积为多少？
A
答案:1.2。
C
D
B
解析：△ABC 的面积为 3×2÷2=3。
根据燕尾定理， S
∆ACN =
CD = 2 ；同理 S ∆ABN BD 1
S ∆CBN S ∆CAN
= BM AM = 1 ，设 △ABN 面积为 1 份，则△ACN 的面积是 2 份，所以 △BCN
1
的面积 2 份，这样△ABC 的面积为 1+2+2=5 份，所以△ACN 的面积为 2÷5× 3=1.2。
8、如图， ∆ABC 中， BD = 3 ， AE = 5 ，求 AF。
DC
4
CE
6 FB
A
答案:10:9。
B
D
C
F O
E
△D F B
AE : CE =5:6=15:18（都有 △AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数）。
所以
S △ A O C : S △ B O C
=20:18=10:9= A F : FB 。
9、如图，已知△ABC 的面积是 28 平方厘米，其中 AE=EC ，BD 是 DC 的 3
倍，求阴影部分三角形的面积。
答案：12 平方厘米
解析：连接 CF ，由燕尾定理，有 S △ABF
=
BD = 3 ， S △ABF
= AE = 1 ，设三角 S △AFC CD 1 S △CBF CE 1
形 AFC 面积为 1 份，三角形 ABF 面积为 3 份，三角形 CBF 面积为 3 份，所以 三角形 ABC 面积为 1+3+3=7 份，为 28 平方厘米，所以 1 份相当于 28 ÷ 7 = 4（平 方厘米），阴影部分即为三角形 ABF 占 3 份，也就是 4⨯3 = 12 （平方厘米）。
四、融会贯通
10、如图，在长方形 ABCD 中， CE = 2DE ， G 是 BC 的中点， DG =12 厘 米，那么求 DF 的长。
E
答案: 6 厘米。
B
G
C
解析： S △DFC = CG = 1 ， S △DFB = DE = 1
，若 S 是“1”份，那么 S △CFB 是
S △DFB BG 1 S △CFB EC 2 “2”份，S △DFC 是“1”份，G 是 B C 的中点，所以 S △FCG = S △FBC ÷ 2 =“1”份， 也就是说 S △GCF = S △DCF ， D F = FG =6 厘米。
11、如图， ∆ABC 中， BD = 4 ， CE = 4 ，求 AF。
DC
9
EA 3
FB
A
四季教育-2019年秋季-精英班-五年级-第 4 讲
B
D
C
F O
E
解析： 根据燕尾定理得 S △ AOB : S △ AOC = BD : CD = 3 : 4 = 15 : 20 。
S △ AOB : S △BOC =。