巧数图形

巧数图形．
巧数图形
数图形包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形等，这看似简
单，其实其中学问可大了．为了能准确地数出结果，我们必须有次序、有条理地数，既不能遗漏，也不能重复．只要我们掌握了数的方法，就能数得
又对又快．下图中有多少条线段？ 1
例．
（1）每条线段均有两个端点，可以根据左端点进行思路分析：分类．以A为左端点的线段为AB、AC，共有2条；以B点为左端点的线段为BC，只有1条；以C点为左端点的线段不存在．因此共有2＋1＝3(条)．
答：图中共有3条线段．
(2)这题中左端点是A的线段有：AB、AC、AD、AE，共有4条；左端点是B的线段有BC、BD、BE，共有3条；左端点是C的线段有CD、CE，共有2条；左端点是D的线段有DE；左端点是E的线段不存在．所以共有4＋3＋2＋1＝10(条)．
答：图中共有10条线段．
数出下面图中共有多少条线段？ 2．例
线段有一个重要特征：线段都是笔直的．所以我们在数思路分析：
的时候，必须将这幅图分成四个部分，每一部分分别采用以线段左端点分类数的方法，然后把四部分算得结果加起来．
例题解答：条线段．＝102＋共有4＋3＋1A第一部分从到E
条线段．10＋1＝共有4＋3＋2第二部分从G到J
一条线段．FG第三部分是
一条线段．JK第四部分是
)条＝22(＋＋10＋11 10
条线段．22答：这幅图共有
数线段可以根据左端点将线段分类，数出每一类有多少条线段，方法指导：然后再相加得出线段的总的条数．
一条线段上共有10个点，以这10个点为端点的不同线段共．例3有多少条？
、将这条线段上的10个点从左到右依次标为思路分析：
、、…、、以为左端点的线段为、条；9、、、共有、、、
，、、、…、为左端点的线段为
以条；，只有1 共有8条；…；以为左端点的线段为为左端点的线段不存在．因此，共有线段：
12＋＋ 9＋8＋…＋3
2÷×＝(9＋1)9
)条＝45(
条线段．答：一共有45
的自2其中n是大于或等于(一般地，如果线段上有几个点方法指导：
然数)，那么以这n个点为端点的线段共有：(n－1)＋(n－2)＋…＋3＋2＋1＝n×(n－1)÷2
下面图形中有几个角？．例4
也需要按一定的顺序不重复，数角的个数为了不遗漏、思路分析：去数，可以采用与数线段相同的方法．
3个；、∠AOD，共以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC
以OB为一边的角有：∠BOC、∠BOD，共2个．
以OC为一边的角有：∠COD，只有1个．
3＋2＋1＝6(个)
答：图中共有6个角．
数出下面图中共有多少个三角形？．例5
数三角形个数的方法与数线段的方法差不多．思路分析：
以AB为边的三角形有：△ABD、△ABE、△ABC，共有3个．
以AD为边的三角形有：△ADE、△ADC，共有2个．
以AE为边的三角形有：△AEC，只有1个．
．)6(个2＋所以，图中一共有三角形：13＝＋
中所包含的每一底边BC我们还可以发现，可以抓住底边BC来考虑，条线段都恰好对应一个三角形．
三个．、△BCA的三角形共有△BDA、△BEA底边左端点是B
两个．、△DCAD的三角形共有△DEA底边左端点是
一个．的三角形只有△ECA底边左端点是E
所以一共有三角形：3＋2＋1＝6(个)．
方法指导：数角的个数和三角形个数这些基本图形时，所采用的方法与数(射线数－1)÷2．即三角形个数线段的方法相同．即角的个数＝射线数×就是底边上的线段数．
数一数图中共有多少个三角形？．例6
我们可以将这幅图分成三个部分来数，即下面三幅图．思路分析：
在△ABC中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形，
在△ABD中，一共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个)三角形；
在△BDC中，一共有5个三角形．
15＋15＋5＝35(个)
个三角形．35答：图中共有
图中共有多少个不同的三角形？ 7．例
将本题分成(1)、(2)两部分来数：第(1)部分中共有三角思路分析：形：3＋2＋1＝6(个)；第(2)部分中共有3＋2＋1＝6(个)三角形．所以，共有三角形6＋6＝
12(个)．
数出下图中共有多少个三角形？ 8例．
这题我们可以采用按基本图形组合的方法来数．把图中思路分析：最小的一个三角形看作基本图形．
个；由一个基本三角形构成的三角形共有8
个；由两个基本三角形构成的三角形共有4
个．由四个基本三角形构成的三角形共有4
个三角形．，所以，图中共有1616(个)因此：8＝＋4＋4
数出下面图形中共有多少个三角形？．例9
这题采用把其中最小的三角形作为一个基本图形，然后思路分析：分类相加的方法．
由一个基本三角形构成的三角形共有9个；
由四个基本三角形构成的三角形共有3个；
由九个基本三角形构成的三角形只有1个．
因此9＋3＋1＝13(个)，所以，图形中共有13个三角形．
下面两幅图中各有多少个长方形？．例10
(1)中长方形都是竖向的，可以利用对应的方法来数．因思路分析：为每个长方形都和底边上的一条线段对应，因此用数长边上的线段条数来数长方形的个数．所以，图中长方形共有4＋3＋2＋1＝10(个)． (2)我们可用按基本图形组合的方法来数．
由一个基本长方形构成的长方形共有6个；
由两个基本长方形构成的长方形共有7个；
由三个基本长方形构成的长方形共有2个；
由四个基本长方形构成的长方形共有2个；
由六个基本长方形构成的长方形有1个；
所以，图中共有长方形6＋7＋2＋2＋1＝18(个)．
本题还可以结合数线段的方法，这题中长方形的长被分成了3段，线段总数为3＋2＋1＝6条，宽被分成了2段，线段总数为2＋1＝
3(条)．由此可见，长方形的个数＝6×3＝18(个)．于是，可以整理出数长方形个数的方法：长方形的个数等于原长方形长上的线段数乘以宽上的线段数．
数出各图中正方形的个数．．11例
9个，即边长为1的正方形有(1)中最基本的正方形有9思路分析：的正方4个基本正方形组成的正方形，即边长为2(9＝3×3)；由个3个基本正方形组成的正方形，即边长为；由9(4＝2×2)形有4个＝14(个)＋4＋1．的正方形有1个(1＝1×1)所以共有正方形9
(2)中边长为1的正方形有16个，即16＝4×4；边长为2的正
方形有9个，即9＝3×3；边长为3的正方形有4个，即4＝2×2；边长为4的正方形有1个，即1＝1×1．所以共有正方形有16＋9＋4＋1＝30(个)．因此，如果一个正方形的各边被分成几个等份，那么正方形的个数便是1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n．
方法指导：
正确数出图形的个数，首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个．然后再从各图形中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和是多少．有些图形被分成了几个部分，可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图形的个数，再求各部分的总和．
图中共有多少个正方形？ 12．例
将正方形分类，将每一类的总数相加，就可得到所有正思路分析：方形的个数．由两块小三角形构成的正方形有4个；由四块小三角形构成的正方形有4个；由八块小三角形构成的正方形有1个；由十六块小三角形构成的正方形有1个．由一、三、五、七、六、九、十、十一、十二、十三、十四、十五块小三角形不能构成正方形．所以，图中共有4＋4＋1＋1＝10(个)正方形．
数出图中共有多少个正方形？ 13例．
根据正方形边长的大小，我们将它们分成四类：思路分析：
第1类：边长为1的正方形有24个；第2类：边长为2的正方形有13个；第3类：边长为3的正方形有4个；第4类：边长为4的正方形有1个．
所以图中共有24＋13＋4＋1＝42(个)正方形．
这题如果把四条边长多出的8个小正方形去掉，很容易得出共有1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝30(个)正方形，添上了去掉的小正方形后，这8个小正方形还能再和其他图形组成4个新的正方形．
所以，图中共有30＋8＋4＝42(个)正方形．
下图中共有多少个长方形？．例14
我们可以先将大长方形中的5小块编上号：思路分析：
这5块都是符合要求的长方形．
个，即①＋②，②＋③，③＋4然后数由两小块拼成的长方形，共有即①＋③＋④，个，再数由三小块拼成的长方形，共有2④＋⑤；④，小块拼成的长5③＋④＋⑤；没有由四小块拼成的长方形；最后数由方形只有最大的一个．
长方形．)12(个＋2＋1＝4所以，图中共有5＋
数出下图中共有多少个三角形？ 15．例
首先将大三角形中六小块分别编上号．通过观察，我们思路分析：可以发现这6小块中，④和⑤不是三角形，因此，由一块形成的三角形有4个；由两块拼成的三角形有5个，即分别是①＋②，①＋③，③＋④，②＋④，⑤＋⑥；由三块拼成的三角形有两个，分别为①＋
③＋⑤，②＋④＋⑥；由四块拼成的三角形有1个，即是①＋②＋③＋④；没有由五块拼成的三角形；由六块拼成的三角形有1个，即最大的三角形．所以，图中三角形一共有4＋5＋2＋1＋1＝13(个)．方法指导：
数长方形、正方形、三角形以及一些不规则的图形都可以采用编号数图形的方法，就是将原来图中的每一小块都编上号，先看每一小块是否符合要求的图形，接着数由两个小块相拼成的图形中有几个是符合要求的图形，再依次数由三小块、四小块……拼成的图形中各有几个是符合要求的图形，最后将每一步数得的结果加起来．。