全国大学生数学竞赛(非数学专业)复习讲义

全国大学生数学竞赛（非数学专业）复习讲义微 分 学一、基本概念与内容提要1. 由参数方程确定的函数的导数设⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ， 则'')(')('/t t x y t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ===⋅=ϕψ )('1)]('[)('')(')(')(''])(')('[)(222t t t t t t dx dt t t dt d dx dy dx d dx y d ϕϕϕψϕψϕψ⋅-=⋅==或 dt dx y dt dy ]'[''= 2.多元函数微分学z z u u u dz dx dy du dx dy x y x y z∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂全微分： dz 具有形式不变性。

()()()()00y000000,,,xz f x y f x y f x y x y z y y =⎧⎪⎨=⎪⎩、、偏导数的几何意义：和分别表示曲线在点，，x y 处的切线对轴和轴的斜率。

函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。

连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。

二元函数的偏导数存在是连续的既不充分又不必要条件。

二元函数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。

偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。

函数连续是可微的必要不充分条件。

(,)(,)[(),()]x y z dz f x y x f x y ydz z u z v z f u t v t dt u t v t∆≈=∆+∆∂∂∂∂==⋅+⋅∂∂∂∂全微分的近似计算：多元复合函数的求导法： [(,),(,)](,)(,)z z u z vz f u x y v x y x u x v xu u v vu u x y v v x y du dx dy dv dx dy x y x y∂∂∂∂∂==⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂===+=+∂∂∂∂ 当，时， 22(,)0()()x x x y y y F F F dy d y dy F x y dx F dx x F y F dx∂∂==-=--⋅∂∂隐函数的求导公式：隐函数， ， ＋ (,,)0y x z zF F z zF x y z x F y F ∂∂==-=-∂∂隐函数，　， (,,,)0(,)(,,,)0(,)1(,)1(,)1(,)1(,),(,)(,)(,)(,)u v u v F FF F F x y u v FG u vJ G G G x y u v G G u v u vu F G v F G u F G v F G x J x v x J u x y J y v y J u y ∂∂=⎧∂∂∂===⎨=∂∂∂⎩∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-⋅=-⋅=-⋅=-⋅∂∂∂∂∂∂∂∂隐函数方程组： ,　,二、常考例题讲解用基本方法求导数1. 设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________. 2. 已知函数,),(byax ey x u z +=且02=∂∂∂y x z ，确定b a ,，使得函数),(y x z z =满足02=+∂∂-∂∂-∂∂∂z yzx z y x z . 3. 设函数)(t f有二阶连续的导数，()1,r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求2222g g x y ∂∂+∂∂. 4. 已知()2ln 1arctan t t x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d y dx . 5.设函数),(y x u 的所有二阶偏导数都连续，2222yux u ∂∂=∂∂且x x x u =)2,(，21)2,(x x x u ='，求)2,(11x x u ''. 解：x x x u =)2,(两边对x 求导，得到：1)2,(2)2,(21='+'x x u x x u ，代入 21)2,(x x x u ='求得：21)2,(22x x x u -='； 21)2,(x x x u ='两边对x 求导，得到：x x x u x x u 2)2,(2)2,(1211=''+''； 21)2,(22x x x u -='两边对x 求导，得到 x x x u x x u -=''+'')2,(2)2,(2221. 以上两式与2222yux u ∂∂=∂∂联立，又二阶导数连续，所以2112u u ''=''，故 x x x u 34)2,(11-=''用全微分求解隐函数5. 设),(y x z z =是方程0)1,1(=-+yz x z F 确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，以及0),(),(≠'='v u F v u F v u ，求证：022=∂∂+∂∂yz y x z x 和.0)(2232223=∂∂+∂∂∂++∂∂y z y y x z y x xy x z x导数与极限、积分、微分方程等结合求函数表达式6. 设函数)(x f 在),0[+∞上连续，在),0(+∞上可导，已知0)(lim 0='+→x f x 且函数)(22y x f u +=满足⎰⎰+≤+++=∂∂+∂∂2222.11222222y x t s dsdt t s y u x u （1）.求函数)0)((>'x x f 的表达式； （2）.若,0)0(=f 求.)1ln()(lim 20x x f x ++→7. 设函数y=f(x)由参数方程()()221x t t t y t ϕ⎧=+⎪>-⎨=⎪⎩确定，且()22341d y t dx =+，其中()t ϕ具有二阶导数，曲线()y t ϕ=与22132t u y edu e-=+⎰在t=1处相切，求函数()t ϕ.8．设一元函数()u f r =当0r <<+∞时有连续的二阶导数，且(1)0,(1)1f f '==，又u f =满足方程2222220u u u x y z ∂∂∂++=∂∂∂，试求()f r 的表达式。

解：((,,))u f r x y z =,(:())x xu f f f r r'''=⋅ 22223()xx f f f x f x f x f u x r r r r r r r''''''''=+-⋅=+-22222323,yy zz f y f y f f z f z f u u r r r r r r''''''''=+-=+-对称地，20xx yy zz f u u u f r'''∴++=+=22P 1P==,ln ln ln ln P 2C f P C r r r''-=+=令， 221()((1)1)C P f r f r r ''====11()((1)0)f r C f r r∴=-+=-=注 2222220u u u x y z∂∂∂++=∂∂∂，称为（三维）拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程.因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名.在一般条件下解拉普拉斯方程超出考试范围.本题讨论特殊条件下的拉普拉斯方程求解问题.9.设u f u =且满足（二维）拉普拉斯方程,(,)u f x y =求的表达式.分析：函数(,)u f x y =是22x y +的函数，可以考虑用极坐标进行转化，利用求微分方程的方法得到表达式。

解：令r =，则()(,)u f x y f r ==，()u u r x f r x r x r∂∂∂==∂∂∂、()()222"223u x y f r f r x r r∂=+∂、同理可得()()222"223u y x f r f r y r r ∂=+∂、 ()()()()"22"22110,f r u u f r f r x y r f r r∂∂∴+=+==-∂∂、、积分得 ()()()()()000122220121ln ln ln ,,ln 1ln ln 2c f r r c f r f r c r c ru c x y c c x y c =-+==+=++=++、、.10.已知函数z=z(x,y)满足222z z x y z x y ∂∂+=∂∂，设1111u x v y x z x φ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，对函数(),u v φφ=，求证：0uφ∂=∂. 证明：由题意得,1u x u y uv ==+，则11z xφ=-是u,v 的复合函数，则()22222111111z x z y z z u z x u y u u u z x y uv φ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂+⎝⎭⎝⎭22222222222111111110y z y z x uv u u z x x y z z x y u x z x y u xφ⎛⎫∂∂∂=∴=-+ ⎪+∂∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂=-+=-= ⎪∂∂⎝⎭. 积 分 学一、基本概念与内容提要1. 定积分性质①若()x f 是奇函数（即()()x f x f --=），那么对于任意 的常数a ，在闭区间][a a ,-上，()0=⎰-aa dx x f .②若()x f 是偶函数（即()()x f x f -=），那么对于任意的常数a ，在闭区间][a a ,-上()()⎰⎰-=aaadx x f dx x f 02.③若()x f 为奇函数时，()x f 在][a a ,-的全体原函数均为偶函数；当()x f 为偶函数时，()x f 只有唯一原函数为奇函数即()⎰x dt t f 0.④若()x f 是以T 为周期的函数（即()()x f x T f =+），且在闭区间][T ,0上连续可积，那么()()()⎰⎰⎰+-==Ta aT TT dx x f dx x f dx x f 0222.二重积分的六大对称性如果积分区域D 具有轴或点对称（令12D 表示D 的一半区域，即D 中对应0y ≥部分，余类推），被积函数(), f x y 同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学中每年都必出题，务必理解记住下列6类对称性定理。