估计量的三大评选标准
估计量的评选标准与区间估计
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置信区间 设总体X的分布函数F(x;)含有一个未知 参数. 对于给定值a(0<a<1), 若由样本X1 ,X2 ,…,Xn确定 的两个统计量 ( X1, X 2 ,..., X n )和 ( X1, X 2 ,..., X n ) 满足
P{ ( X1, X 2 ,..., X n ) ( X1, X 2 ,..., X n )} 1 a, 则称随机区间 ( , )是的置信度为1 a的置信区间,和 分
n 1
S 2
1 n 1
n
(Xi
i 1
X 2 ).
这就是说S2是2的无偏估计,因此,一般都是取S2作为 方差2的估计量。
例3 设总体X服从参数为的指数分布,概率密度为
f
( x,
பைடு நூலகம்
ex /
,
x 0,
0,
其它。
其中>0为未知,又设X1 ,X2 ,…,Xn是来自X的样本,试证
都是统计量 , 那么( , )就是的一个置信度为1 a的置信区间。
函数Z(X1 ,X2,…,Xn ; )的构造, 可以从 的点估计着 手考虑。
(三)单个总体N(,2)的情况
设已给定置信度为1-a, 并设X1 ,X2,…,Xn为总体N(,2)
的样本. X, S2分别是样本均值和样本 方差。
2的无偏估计为S2 由第六章2定理一知
(n 1)S 2 ~ 2 (n 1), 2
故
P{
2 1-a/2
(n
1)
(n 1)S 2
2
2 a/2
(n
估计量的评选标准
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存在,
k
为正整数,则
1 n
n i 1
X
k i
为
E(X
k
)
的相合估计量.
证明
对指定的
k
,令 Y
X k ,Yi
X
k i
,则 Y1,Y2 ,
,Yn 相互
独立并与 Y 同分布,且 E(Yi ) E(Y) E(X k ) ,由大数定理知, 对任意 0,有
lim P n
1 n
n
Yi
i 1
E(Y )
样本 k 阶矩 Ak
1 n
n i 1
X
k i
是总体 k 阶矩 k 的
无偏估计量.
证明
X1, X2 , , Xn 与 X 同分布,故有
E
X
k i
E
Xk
k , i 1, 2,
, n.
即有
E Ak
1 n
n i 1
E
Xik
k . 因此,不论总体 X 服从什
么分布,样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的无偏估计量.
n
2
D(Xi )
i 1
n
,
故 X 较 Xi (i 1, 2, , n) 更有效.
3.一致性
定义 6.7 设 X1, X2 , , Xn 为未知参数 的估计
量,若 依概率收敛于 ,即对任意 0, 有
lim
P
1
或
lim
P
0
,
n
n
则称 为 的相合估计量或一致估计量.
例 6.15 设 X1,X2 , ,Xn 是取自总体 X 的样本,且 E( X k )
lim P n
1 n
第十八讲 估计量的评选标准及区间估计
![第十八讲 估计量的评选标准及区间估计](https://img.taocdn.com/s3/m/235fb330c1c708a1294a4424.png)
第十八讲 估计量的评选标准及区间估计1. 估计量的评价标准判断估计量好坏的标准是:有无系统偏差;波动性的大小;伴随样本容量的增大是否是越来越精确,这就是估计的无偏性,有效性和相合性。
(1)无偏性设∧θ是未知参数θ的估计量,则∧θ是一个随机变量,对于不同的样本值就会得到不同的估计值,我们总希望估计值在θ的真实值左右徘徊,即其数学期望恰等于θ的真实值。
定义: 设∧∧=θθ(n X X X ,,,21 )是未知参数θ的估计量,若)(∧θE 存在,且对Θ∈∀θ有)(∧θE =θ,则称∧θ是θ的无偏估计量,称∧θ具有无偏性。
在科学技术中,)(∧θE -θ称为以∧θ作为θ的估计的系统误差,无偏估计的实际意义就是无系统误差。
例1:设总体X 的k 阶中心矩)(kk X E =μ)1(≥k 存在,),,,(21n X X X 是X 的一个样本,证明:不论X 服从什么分布,∑==n i ki k X n A 11是k μ的无偏估计量。
证明:n X X X ,,21与X 同分布,n i X E X E k k ki ,,2,1)()( ===∴μ第七章 参数估计第3节 估计量的评选标准从上一节得到:对于同一参数,用不同的估计方法求出的估计量可能不相同,用相同的方法也可能得到不同的估计量,也就是说,同一参数可能具有多种估计量,而且,原则上讲,其中任何统计量都可以作为未知参数的估计量,那么采用哪一个估计量为好呢?这就涉及到估计量的评价问题。
对定义的理解:设Θ∈θ是总体X 的分布参数,Θ∈∀θ,即服从某一分布形式的任意总体分布,参数θ的估计量∧∧=θθ(,,21X X n X , )(是简单随机样本的函数)的数学期望都等于θ。
k n i ki k X E n A E μ==∴∑=1)(1)(特别,不论X 服从什么分布,只要)(X E 存在,X 总是)(X E 的无偏估计。
例2:设总体X 的2)(,)(σμ==X D X E 都存在,且02>σ,若2,σμ均为未知,则2σ的估计量∑=-=ni i X X n 122)(1ˆσ是有偏的。
估计量的评选标准
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p(x,θ ),g(θ )为待估参数,设 gˆ(X1)为 g(θ) 的
任意无偏估计,考虑
Var(gˆ(X1)) 的下界?
注:积分形式的 Cauchy 不等式:
uvdx 2 u2dx v2dx
1、 Fisher信息量的定义.
设总体 X 的概率函数为 p (x; ), ,且满足一定条件:
ln p(x;) x ln ln x! x!
I ()
E[ d ln
p( X ; )]2 d
E[ X
1]2
E(X )2 2
1
故 1 , nI () n
显然,Var(x) 1 ,
nI ()
所以, x是的有效估计.
例1 设 X1, X2,… Xn 是取自总体 X ~ N( 0,σ2) 的一个 样本,试证:
两者不同!
对于同一个未知参数,用不同的方法得到 的估计量可能不同,于是提出问题:
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
ˆ( X1,..., Xn ) 越接近 越好!
如何刻画?
例:估计农大12级本科生高数的平均成绩:
方案一:设计一个抽样方案,取200个同学 的高数成绩,计算出他们的平均成绩,作为 真实成绩的估计; 方案二:随便取一个同学的成绩作为真实成 绩的估计。
1 n
Var (ˆ )
1
n
2
Var(ˆ1)
例如 X ~ N( , 2 ) , ( x 1, x 2 ) 是一个样本.
ˆ1
2 3
x1
1 3
x2
估计量的评选标准
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均为未知, 则 2 的估计量ˆ 2
1n n i1 ( X i
X )2 是有偏
的(即 不 是 无 偏 估 计) .
证明
ˆ 2
1n n i1
X
2 i
X2
A2 X 2 ,
因为 E( A2 ) 2 2 2 , 又因为 E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2 ,
1
e
x 2
x
n11
2 dx
n1
22
1 n
1
2
0
x n1
e 2 x 2 dx
2
n
n 2
2
1
,
E(S)
n
2
1
n
n 2
1
2
,
故 S 不是 的无偏估计量,
n
2
1
n
2
1
n 2
S
是
的无偏估计量.
例4 设总体 X 在 [0, ]上服从均匀分布,参数 0,
0,
0 x ,
其他
所以
E(Xh)
0
x
nx
n1
n dx
n ,
n1
故有
E
n
n
1
X
h
,
故
n
n
1
max(
X1
,
X
2
,,
X
n
)
也是
的
无
偏估
计量.
例5 设总体 X 服从参数为 的指数分布, 概率密度
f
(
x;
)
1
x
e
,
0,
x 0, 其他.
7.3估计量的优良准则
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好的估计量要求估计值在未知参 数真值的附近.
ˆ( X ,, X ) 是未知参数 的估计量, 若 定义 设 1 n
ˆ ) , 则称 ˆ 为 的无偏估计量. E ( ˆ ) 为用 ˆ 估计 而 产生的系统偏差. 注:称 E (
无偏性指估计量没有系统的偏差, 只存在随机偏差.
定理1 设 X 1 ,, X n 为取自总体 X 的样本, 总体 X
的均值为 , 方差为 . 则
2
(1) 样本均值 X 是 的无偏估计量; 证 (1) 因为
E( X i ) E( X ) ,
n
i 1,2,, n,
n
1 1 E( X ) E X i E( X i ) n i 1 n i 1 E( X ) ,
2 1 n 1 n D( X ) D X i D( X i ) , n n i 1 n2 i 1
D( X i ) 2 ( i 1,2,, n)
故 X 较 X i ( i 1,2,, n) 更有效.
有效性
注:在数理统计中常用到最小方关差无偏估计, 其 定义如下: 设 X 1 ,, X n 是取自总体 X 的一个样本,
2
n
(2) 因
X
i 1
n
2 i
2
Xi 而 , i 1
n
例1 设总体 X ~ N (0, ), X 1 , X 2 , X n 是来自这一 总体的样本. 2 ˆ ). (2) 求 D(
2
解 (2) 因
X
i 1
n
2 i
2 Xi ~ N (0,1) ( i 1,2,, n), 2 且它们相互独立, 故依 分布定义
7.2估计量的评选标准
![7.2估计量的评选标准](https://img.taocdn.com/s3/m/613ba200de80d4d8d15a4f68.png)
1 n 2 2 {∑[ D( Xi ) + E ( Xi )]− n[ D( X ) + E ( X )]} = n − 1 i =1 2 1 σ 2 2 2 [( nσ + nµ ) − n( = + µ )] n−1 n =σ 2 ⇒S2为σ2的无偏估计量 n n−1 2 1 2 E ( B2 ) = E[ ∑ ( X i − X ) ] = E ( S ) n i =1 n n−1 2 2 σ ≠σ = n ⇒B2不是σ2的无偏估计量
7.2 估计量的评选标准
一、一致性 二、无偏性 三、有效性
有时候同一个参数可以有几种不同的 估计方法,这时就存在采用哪一个估计的问 估计方法 这时就存在采用哪一个估计的问 题. 希望未知参数与它的估计量在某种意 义下最为接近. 义下最为接近.
相合性) 一、一致性(相合性 一致性 相合性
ˆ 当样本容量无 对于一个好的估计量θ ,当样本容量无 限增大时,它的值应趋于稳定在参数 限增大时 它的值应趋于稳定在参数θ的真 值附近,即与 保持一致或相合. 值附近 即与θ保持一致或相合
令E(X)=µ, D(X)=σ2 n n 1 1 E ( X ) = E ( ∑ X i ) = ∑ E ( X i ) =µ n i =1 n i =1 ⇒ X为µ的无偏估计量 n 1 2 2 E ( S ) = E[ ∑(Xi − X ) ] n − 1 i =1 n 1 2 2 E ( ∑ X i − nX ) = n − 1 i =1 n 1 2 2 [∑ E ( X i ) − nE ( X )] = n − 1 i =1
, −∞ −∞<x <+∞, x1,x2,⋅⋅⋅ n是X的n次观察值 试求σ的 ⋅⋅⋅,x 次观察值,试求 ∞ ⋅⋅⋅ 的 次观察值 极大似然估计量.并判断它是否为σ的一 极大似然估计量 并判断它是否为 致估计量. 致估计量 1 n ˆ 解: σ = ∑ | X i | n i =1 1 n 1 n P 由大数定律,有 由大数定律 有 ∑ | X i | → ∑ E | X i | n i =1 n i =1 | x| +∞ 1 −σ e dx E|Xi|=E|X|= ∫− ∞ | x | ⋅ 2σ
6.2 估计量的评选标准
![6.2 估计量的评选标准](https://img.taocdn.com/s3/m/221668c98bd63186bcebbcda.png)
所以, X 是 的无偏估计量:
ˆ X.
n n 1 2 1 2 2 2 ( X i n X ) . (Xi X ) (2) S n 1 i 1 n 1 i 1
而 E ( X i2 ) D( X i ) [ E ( X i )]2 2 2 , i 1 ,2 , , n . 2 1 n 2 E ( X ) D( X ) [ E ( X )] D( X i ) 2 n i 1 2 1 n 2 1 2 2 2 . 2 D( X i ) 2 n n n i 1 n n 1 2 由此得 2 2 E ( S ) E[ ( X i n X )] n 1 i 1 2 2 1 2 2 2 . [n( ) n( )] n 1 n 所以,S 2 是 2的无偏估计量:
[例1] 设总体 X 的均值 E ( X ) , 方差 D( X ) 2 ,证明:
1 n (1)样本均值 X X i 是总体均值 的无偏估计量; n i 1 n 1 2 2 (2)样本方差 S 2 ( X X ) 是总体方差 的 i n 1 i 1 无偏估计量.
由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏 离程度的度量, 所以无偏估计以方差小者为好.
ˆ1 ( X 1 , X 2 ,, X n )与 ˆ1 ˆ2 ˆ2 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 设
都是 的无偏估计量 ,
ˆ1 ) D( ˆ2 ) , 则称 ˆ1 较 ˆ2 有效. 若有 D(
体 X 的 k 阶矩 k E ( X k )的一致估计量, 进而若待
估参数 g ( 1 , 2 ,, n ), 其中g 为连续函数 ,
估计量的评选标准
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整理ppt
3
一.无偏性
渐近无偏估计
设 ( X1, X2, …, Xn )是抽自总体X ~F ( x ; ), 的样本, T = T ( X1, X2, …, Xn ) 是 的一
个估计量, 如果
limE(T)
n
则称 T 是 的渐近无偏估计。
整理ppt
整理ppt
33
五.完备性
求最小方差无偏估计的 Lemann-Scheffe方法 (1)
设 ( X1, X2, …, Xn )是抽自总体 X ~ F ( x ; ), 的样本, 如果 ´ 是 的无偏估计且 D ( ´ ) < ∞,T 是 的充分完备统计量, 则
* = E ( ´ | T ) 是 唯一的最小方差无偏估计量。
则称 F ( x ; ) 是完备分布函数。
完备统计量
设 ( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体 X ~ F ( x ; )
的样本,如果统计量T= T ( X1, X2, …, Xn ) 的分
布函数是完备的,则称整T理p是pt 完备统计量。
32
五.完备性
注记
有关概念、定理可推广到多维情形。
4
一.无偏性
例题 1
样本原 Al 点 n 1 i n 矩 1Xil
总体原点矩 µl = E ( X l )
(1)样本均值 X 是总体均值 = E(X) 的无偏估计。
(2)样本原点矩 A l 是相应的总体原点矩μl 的无偏估计 。
整理ppt
5
一.无偏性
例题 2
(1)样本方差
S2
1 n
n i1
(Xi
+ T 知道后,样本 ( X1, X2, …, Xn ) 中所含 的剩余信息
7.2估计量的评选标准
![7.2估计量的评选标准](https://img.taocdn.com/s3/m/6a96046df56527d3240c844769eae009581ba2c3.png)
7.2估计量的评选标准第二节估计量的评选标准对于同一个参数,哪一个估计量较好呢?下面介绍评价估计量优劣的三个标准。
用不同的估计方法得到的估计,有时相同,有时不同.在不同时,一、无偏性由于估计量是样本的函数,因此是一个随机希望估计量的期望等于未知参数的真值!这就是所谓的估计量的无偏性概念。
尽管样本值不同,估计量的取值(估计值)变量。
也不同,估计值与参数的真值可能不同,但是我们定义1是参数q则称为q的无偏设若的估计量,估计量。
例1证明;样本均值是总体均值E(X)=m的无偏估计量.证独立,又∴是总体均值E(X)=m的无偏估计量。
定义1是参数q则称为q的无偏设若的估计量,估计量。
且与总体X同分布,定义1设是参数q的则称为的无偏估计。
可证:是总体方差的无偏估计量。
注意:总体X的方差D(X)的矩估计量不是D(X)的无偏估计。
见书P117。
估计量,若思考题是总体X的样本,判断估计量设是否为总体均值m的无偏估计。
定义1是参数q的估若,则称为q的无偏估计量。
设计量,若为总体X简单随机样本,则(1)相互独立(2)中每一个与X有相同的分布。
2.有效性都是总体均值m的两个无偏估计量.哪个估计量更好一些?我们希望参数q的无偏估计量对q的平均偏差越小越好,注意到即一个好的估计量,设未知参数q有两个无偏估计量即那么如何去判定这两个估计量的好坏呢?应当有尽可能小的方差。
定义2分别是参数q两个则称较有效.设如果及无偏估计量,定义1设是参数q的估若,则称为q的无偏估计量。
计量,例2设是总体X的样本,分别是m的两个估计量,证明比有效。
证是m的两个无偏估计量(由例1得)定义2设是参数q如果两个无偏估计量,则称较有效.及定义1设是参数q的估若,则称为q的无偏估计量。
计量,又∵∴比有效。
3.相合性估计量一个好的估计量应当随着n的增大而愈加精确,因此有定义3设为q的估计量,若对任给的e>0,则称为的相合估计.则称序列{Xn}依概率收敛于a,记作Pa即Pq 定义3设为的估计量,若对任给的则称为的相合估计量.定理1设是q的一个若估计量,则是q的相合估计。
概率论与数理统计 7.2 估计量的评选标准
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1 的观察值比 2 的更密集在真值 的附近,
也就是 1 比 2 更理想 .
兰州交通大学博文学院 10
例2:设总体 X 的方差存在且大于零, E(X)=μ , 设 (X1 , X2) 是X的一个样本, 则
1 = X 和 2 = X1 均为 的无偏估计量,
总体 X 的均值为 μ , 方差为 σ 2 , 证明:
(1) 样本平均数 X 是 的无偏估计量 ;
(2) 样本方差 S 2是 2的无偏估计量 ,
2 样本方差 Sn 不是 2 的无偏估计量.
解 (1) 由于 E ( X i ) = E ( X ) = , ( i = 1, 2,
, n)
nபைடு நூலகம்
4 2
D(
i 1
n
( X i 0 )2
2
2 4 ) 2 2n n n
兰州交通大学博文学院 17
4
三、相合性: 1、定义7.5:
设 n = n ( X1 , X 2 ,
, X n ) 是 的一个估计量,
若对任何一个 ε > 0 , 有
lim P { n > } = 0 ,
所以 S 2 是 2 的无偏估计量.
n 1 2 由于 E( Sn ) = E ( ( X i X )2 ) n i =1
n1 2 = E S n
n1 = E( S 2 ) n n1 2 = n
2 所以 Sn 不是 2 的无偏估计量. 可是
兰州交通大学博文学院 8
2 n 1 2 2 2 = + ( + ) n n 1 i =1 n
6.2 估计量的评选标准
![6.2 估计量的评选标准](https://img.taocdn.com/s3/m/a6d40dd8da38376baf1faecc.png)
有效性
• 一个参数的无偏估计量不是唯一的,假若参数θ
有两个无偏估计量 θ1和θ2 ,我们认为其观测值更
密集在参数θ真值附近的一个较为理想.由于方差
是随机变量取值与其数学期望的偏离程度的度量,
所以无偏估计以方差小者为好.这就引出了估计量 的有效性这一概念.
ˆ ˆ ( X , X ,..., X )与 ˆ ( X , X ,..., X ) 定义 : 设 1 1 1 2 n 2 2 1 2 n ˆ ) D( ˆ ),且至少 都是的无偏估计量 , 若对 有D(
所以,证明样本的k阶矩是E(Xk)的无偏估计.
• 例:设总体的方差D(X)存在,试证样本二阶中心
矩B2是总体方差D(X)的有偏估计. 证明
1 n 1 n 2 2 E ( B2 ) E[ ( X i X ) ] E[ X i ( X ) 2 ] n i 1 n i 1 1 n 2 E ( X i ) E[( X ) 2 ] E ( X 2 ) E[( X ) 2 ] n i 1
2
求θ的无偏估计. 解 总体X的均值 E ( X ) 0
1 x x dx 2
1
2
0
用矩法估计得
2 ˆ 由于 E () 2 E ( X ) 2 E ( X ) 2 2 ˆ 2 X是的无偏估计量 所以求得 .
ˆ 2X X , 即
ˆ1 ) D( ˆ 2 ) D( ˆ 3 ),所以 ˆ1较 ˆ2 , ˆ 3有效. 故有D(
例12 X 及 ai X i (其中 ai 1 )都是EX的无偏
估计,但 X 比
n
n
a X 有效。 因为 E X EX E X EX
估计量的评价标准
![估计量的评价标准](https://img.taocdn.com/s3/m/72d3367aa22d7375a417866fb84ae45c3a35c26e.png)
估计量的评价标准估计量是统计学中一个非常重要的概念,它在研究中起着至关重要的作用。
在统计学中,我们经常需要对总体参数进行估计,而估计量就是用来估计总体参数的。
在实际应用中,我们需要对估计量进行评价,以确定其准确性和可靠性。
本文将从准确性、一致性、有效性和偏倚性四个方面对估计量的评价标准进行详细介绍。
首先,准确性是评价估计量的重要标准之一。
一个好的估计量应当具有较高的准确性,即与总体参数的真值相近。
通常情况下,我们会使用均方误差(MSE)来评价估计量的准确性,MSE越小,表示估计量的准确性越高。
其次,一致性也是评价估计量的重要标准之一。
一个一致的估计量是指当样本容量增大时,估计量趋向于总体参数的性质。
在实际应用中,我们通常会使用一致性的渐近分布来评价估计量的一致性。
有效性是评价估计量的又一重要标准。
一个有效的估计量应当具有较小的方差,即在估计总体参数时具有较高的精确度。
通常情况下,我们会使用标准误差(SE)来评价估计量的有效性,SE越小,表示估计量的有效性越高。
最后,偏倚性也是评价估计量的重要标准之一。
一个好的估计量应当是无偏的,即在重复抽样的情况下,估计量的期望值等于总体参数的真值。
在实际应用中,我们通常会使用置信区间来评价估计量的偏倚性,置信区间越窄,表示估计量的偏倚性越小。
综上所述,对于估计量的评价标准,我们需要从准确性、一致性、有效性和偏倚性四个方面进行综合考量。
在实际应用中,我们可以根据具体问题的特点,选择合适的评价标准来评估估计量的质量。
希望本文对大家对估计量的评价标准有所帮助。
6.2估计量的评选标准
![6.2估计量的评选标准](https://img.taocdn.com/s3/m/a263086e366baf1ffc4ffe4733687e21ae45ff57.png)
Xi
是总体均值
的无偏估计量;
(2)样本方差 S
无偏估计量.
2
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
是总体方差
2
的
证: 因为样本 X1 , X 2 , , X n 相互独立,且与总体 X 服从相同分布,所以有
E( Xi ) , D( Xi ) 2 , i 1,2 ,,n.
由数学期望与方差的性质可知
例如 由第六章第一节知, 样本 k(k 1)阶矩是总
体 X 的k阶矩 k E( X k )的一致估计量, 进而若待 估参数 g(1 , 2 ,, n ), 其中g为连续函数, 则 的矩估计量
ˆ g(ˆ1 , ˆ 2 ,, ˆ n ) g( A1 , A2 ,, An ) 是 的一致估计量.
(1)样本均值 X
1 n
n i1
Xi
是总体均值
的无偏估计量;
(2)样本方差S 2
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2
是总体方差
2
的
无偏估计量.
说明:
Hale Waihona Puke 同一个参数的无偏估计不止一个。
样本的二阶中心矩1 n
n i 1
(Xi
X )2是
2的有偏估计。
三、有效性
比较参数 的两个无偏估计量ˆ1 和ˆ2 , 如果 在样本容量n 相同的情况下,ˆ1 的观测值较ˆ2 更 密集,则认为ˆ1 较 ˆ2 为理想 .
一、问题的提出
对于同一个参数, 用不同的估计方法求出的 估计量可能不相同.
问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么? 本节介绍几个常用标准.
估计量的评选标准
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数理统计
三、相合性
( X ,, X ) 是参数 θ 的估计量,若对于 设 θ 1 n ( X ,, X )依概率收敛 任意 θ ,当 n 时 θ 1 n 为 θ 的相合估计量. 于 θ , 则称 θ
为 θ 的相合估计量 θ
对于任意 ε 0 , 有
θ | ε} 1 , θ lim P{| θ n
证 故有 而
D X θ2 ,
1 1 θ D X D( X i ) 2 D( X i ) n i 1 n i 1 n
n
n
2
θ D Z 2 , 故有 D nZ θ 2 . n
2
当n>1时,
D nZ D( X ), 故X 较 nZ有效 .
由于
ˆ ) E ( ˆ )2 D( 1 1 2 ˆ ˆ D( ) E ( )
2 2
所以无偏估计以方差小者为好, 这就引进了有效性 这一概念 .
数理统计
二、有效性
ˆ ˆ ( X ,, X ) ˆ ( X ,, X ) 和 ˆ 设 2 2 1 n 1 1 n 1
都是参数 的无偏估计量,若对任意 θ ,
ˆ) D(ˆ1 ) ≤D( 2
且至少对于某个 θ 上式中的不等号成立,
ˆ 有效 . 则称 ˆ1 较 2
数理统计
例2 (续例1) 试证 当 n > 1 时 θ 的无偏估计量
X 较 Z min( 总体均值的估计时, 虽无法说明一次估计所产生的偏差,但这种偏差随 机地在 0 的周围波动,对同一统计问题大量重复使 用不会产生系统偏差 . 有偏,如:黑心秤
数理统计
例1