估计量的评选标准

样本 k 阶矩 Ak
1 n
n i 1
X
k i
是总体 k 阶矩 k 的
无偏估计量.
证明
X1, X2 , , Xn 与 X 同分布,故有
E
X
k i
E
Xk
k , i 1, 2,
, n.
即有
E Ak
1 n
n i 1
E
Xik
k . 因此,不论总体 X 服从什
么分布,样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的无偏估计量.
E(X ) 的无偏估计量,问哪一个估计量更有效？ 解 由于 X , Xi (i 1, 2, , n) 为 的无偏估计量,所以
E(Xi ) (i 1, 2, , n), E(X ) ,
但
D(Xi ) 2 (i 1, 2, , n) ,
D(
X
)
D
1 n
n i 1
X
i
1 n2
2.有效性
定义
6.6
设
1
1
X1, X2,
,
Xn
和
2
2
X1,
X2,
, Xn
都是未知参数 的无偏估计量,若
D(1) D( 2 ) ,
则称无偏估计 1 较 2 有效.
例 6.12
设
X1,
X
，
2
,
Xn
是来自均值为
、方差为
2
的 总 体 X 的 样 本 . X , Xi (i 1, 2, , n) 均 为 总 体 均 值
存在,
k
为正整数,则
1 n
n i 1
X
k i
为
E(X
k
)
的相合估计量.
证明
对指定的
k
,令 Y
X k ,Yi
X
k i
,则 Y1,Y2 ,
,Yn 相互
独立并与 Y 同分布,且 E(Yi ) E(Y) E(X k ) ,由大数定理知, 对任意 0,有
lim P n
1 n
n
Yi
i 1
E(Y )
n
2
D(Xi )
i 1
n
,
故 X 较 Xi (i 1, 2, , n) 更有效.
3.一致性
定义 6.7 设 X1, X2 , , Xn 为未知参数 的估计
量,若 依概率收敛于 ,即对任意 0, 有
lim
P
1
或
lim
P
0
,
n
n
则称 为 的相合估计量或一致估计Biblioteka Baidu.
例 6.15 设 X1,X2 , ,Xn 是取自总体 X 的样本,且 E( X k )
lim P n
1 n
n i 1
X
k i
E(X k )
1
,
从而,
1 n
n i 1
X
k i
是
E(X
k)
的相合估计量.
谢谢聆听
估计量的评选标准
1.无偏性
定义 6.5 设 X1, X2 , , Xn 是未知参数 的估
计量,若
E( )= ,
则称 为 的无偏估计量.
例 6.9 设总体 X 的 k 阶矩 k E(X k )(k 1) 存在,又
设 X1, X2, , Xn 是 X 的一个样本.试证明不论总体服从
什么分布,