概率与数理统计 第七章-2-估计量的评选标准

定义 设 qˆ qˆ(X1, X2,L , Xn ) 是未知参
数q的估计量, 若 E(qˆ) q , 则称 qˆ 为q的无偏估计量，否则,称 qˆ 为q的
有偏估计量 .
定义 设 qˆ qˆ(X1, X2,L , Xn ) 是未知参
数q的估计量, 若 E(qˆ) q , 则称 qˆ 为q的无偏估计量，否则,称 qˆ 为q的
E
in1
X
2 i
2X
n
i 1
Xi
nX
2
1 n 1
E
in1
X
2 i
n X
2
1n
n 1 i1
E(
X
2 i
)
n n 1
E(
X
2
)
n
1 1
n
i 1
E
(
X
2 i
)
n
n 1
E(
X2Biblioteka )n1 1
n
{D(
i 1
Xi
)
[E(
X
i
)]2}
n {D( n 1
X
)
[E(X
)]2}
n ( 2
n 1
2
)
n
n
1
1 n
(1)样本均值是 的无偏估计,即
E(
X
)
E
1 n
n i 1
X
i
(2)样本方差是2的无偏估计, 即
E(S
2
)
E
1 n 1
n i 1
(
X
i
X
)2
2
证明: (1) 显然
(2) Q E( X ) , D( X ) 2
E(S 2 )
E
n
1
1
n
(
i 1
X
i
n
X )2
1 n 1
例2 设总体X～U[0,q](q>0,未知 ),
X1,X2,…,Xn是来自总体X的样本，证明： T=max{X1,X2,…,Xn}不是q的无偏估计量.
证明:
Q FT (x) [FX?(x)]n
0
xn
q n
x0
0 xq
1 x q
nxn1
fT
(x)
qn
0 xq
0
其他
E(T )
q
0
xgnqx nn1 dx
在无偏估计中，方差最小的估计称为最 小方差无偏估计。
例3 设 X1, X2, …, Xn 为来自均值为的总 体的样本,考虑 的如下两个估计的优劣：
ˆ1 X ,
ˆ2
1 n1 n 1 j1
X
j.
解：显然，两个估计都是 的无偏估计。
计算方差：
D(ˆ1)
D( X
)
2
n
,
D(ˆ2 )
1 2 n 1
2
2
2
※E(（Xi21)）设D(XX1i,)X2[,E…( X,Xi )]n2为来 自2 总体2, X的
样本，E(EX(2X)ˆ)2=D已(1nX知i)n1,([DXE(i(XX))=])222未n知2 ,则 2估, 计量
ˆ
2
1 n
n i1
(Xi
)2
为2的无偏估计。
事实上，E(ˆ
2)
E
1
n1 j 1
D( X
j
)
2 .
n 1
于是，ˆ1 比 ˆ2 有效。
这表明：当用样本均值去估计总体均值时， 使用全样本总比不使用全样本要好。
n
※ 若估计量 qˆ ai Xi为总体均值E(X)=
i1
的无偏估计，则最有效的充分必要条件是：
a1 a2 L
an
1. n
自己按条件级值证明。
三、相合性 （略） 作业：P150 9---10
X n1 4
Xn
(n 4)
Q
E
(ˆ3
)
E(
X1
X
2
X 4
n1
X
n
)
所以，ˆ3 是的无偏估计。
显然，估计量：ˆ4
都是的有偏估计。
2X1
, ˆ5
X1
3
X2
E(ˆ4 ) E(2X1) 2,
E(ˆ5 )
E(
X1
3
X2
)
2 3
定理 设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本， E(X)= ,D(X)=2,则
有偏估计量 .
显然，无偏估计量优于有偏估计量。
例1 设X1,X2,…,Xn为抽自均值为的总 体X的样本,考虑的估计量:
(1) ˆ1 X1
Q E(ˆ1) E(X1)
所以，ˆ1 是的无偏估计。
(2)
ˆ2
X1
X2 2
Q
E(ˆ2
)
E(
X1
2
X
2
)
.
所以，ˆ2 是的无偏估计。
(3)
ˆ3
X1
X2
概率论与数理统计
张保田 第七章 参数估计
第二节 估计量的评选标准
前面讨论了总体未知参数的矩估计与极 大似然估计。
有时候对同一个参数，可用不同的方法 来估计, 因而得到不同的估计量。
这时就存在采用哪一个估计好的问题， 故有必要建立评价估计量好坏的标准.
我们知道：估计量是随机变量，其取值 有其概率分布，评价一个估计量的好坏, 不 能仅仅依据一次试验的结果（估计量的一个 值）, 而必须由其所有取值来衡量.因此一 个好的估计, 应在多次重复试验中体现出其 优良性.
n q q.
n 1
所以，T不是q的无偏估计.
二、有效性
对于q的两个无偏估计 qˆ1和qˆ2，如果在样本 容量相同的条件下，qˆ1 的所有观测值比 qˆ2
的更密集在真值q的附近，则我们认为：
qˆ1较qˆ2 更有效。
定义 设 qˆ1和qˆ2 都是参数q的无偏估计 量，若 D(qˆ1) D(qˆ2 )，则称 qˆ1比qˆ2 较有效.
估计量的评价一般有三条标准:
1. 无偏性; 2. 有效性; 3. 相合性（一致性）[本节介绍] 。
一、 无偏性
估计量是随机变量, 对于不同的样本值 会得到不同的估计值. 一个自然的要求是希 望所有估计值集中在未知参数q的真值左右 附近, 所有估计值的平均值为q ，不要偏高 也不要偏低. 由此引入无偏性标准.
n
n i1
(Xi
)2
1 n 1 n
n in1 i1
E(Xi D(Xi )
)2
2
(2) 设X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本，
则估计量a1X1+a2X2+…+annXn为E(X)= 的
无偏估计的充要条件是 ai 1.
i1
(3) 如果 qˆ 是q的无偏估计量 , g(qˆ)
不一定是 g(q) 的无偏估计量。