贝努力概型

(2) 一次抛 n 枚硬币；
(3) 从10件产品中任取一件,取后放回,然后再取,共进行n次。
下页
二、二项概率公式
设在一次试验中，事件A发生的概率为p，即P(A)=p，那么，
在n次重复试验中事件A出现k(0≤ k≤n)次的概率Pn(k)是多少？
设Ai={A在第i次试验中发生} (1≤ i≤n)，由于n次试验是相 互独立的，所以A1,A2,…,An是相互独立的，且 P(Ai)=p， (1≤ i≤n) 显然，P
k k n
n k
P(在第n次成功前已有k 1次成功） C
k 1 n 1
p (1 p)
k 1
nk
p
例:假设每个飞机引擎在飞行中出故障的概率为1-p,而且各 引擎是否出故障是相互独立的,如果有至少50%的引擎能正 常运行,飞机能成功地飞行,问对于多大的p而言4引擎飞机 比2引擎飞机更为可取的. 解:设A 表示4引擎飞机能正常运行;B表示2引擎飞机能正常 运行;则由贝努利概型知:
A A A A
1 2 k
k n k A p ( 1 p ) k 1 n

即事件A在指定的k次试验中出现，且在其余的(n-k)次试验 中不出现的概率为 pk (1-p) n-k。而这种指定方式共有Cnk 种，且
它们中的任意两种互不相容，因此，
Pn(k)= Cnk pk (1-p) n-k，k=0,1,2,…, n .
§1、6 贝努利概型
一、试验的相互独立性
二、贝努利概型
一、试验的相互独立性
定义 若在同样条件下，将试验E重复进行n次，若各次试 验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖 于其它各次试验的结果，则称这n次试验是相互独立的。 例1 在同样条件下，抛掷一均匀硬币n次，易见每次投 掷的结果，即不管出现“正面”或“反面”，均不会影 响其它各次投掷结果，即此为n次重复且相互独立试验。
P( A ） C p (1 p)
i 2 i 4 i
4
4 i
P( B） C p (1 p)
i 1 i 2保险, 只要 :
C
i 2
i 4
p (1 p)
i
4 i
C p (1 p)
i 1 i 2 i
2 i
等价于 : 3 p 8 p 7 p 2 0
一、贝努里概型的定义
若试验E具备以下特征：
1) 在相同的条件下可以进行n次重复试验；
2) 每次试验只有两种可能的结果，A发生或A不发生； 3) 在每次试验中，A发生的概率均一样，即P(A)=p； 4) 各次试验的结果是相互独立的。 则称这种试验为n重贝努里试验，或n重贝努里概型。 例如： (1) 一枚硬币抛 n 次；
下页
一、贝努里概型:
重复地进行n次独立试验,各次试验条件相同.每次 试验成功的概率都是 p,失败的概率都是 q=1-p. 这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验， 简称贝努里试验或贝努里概型.
3 2
等价于 : ( p 1) (3 p 2) 0
2
所以 : p 2
3
例巴拿赫火柴盒问题）某数学家有两盒火柴， 每盒有ｎ根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取 一盒并从中任取一根。试求他首次摸到空盒时另 一个盒中还有ｒ根火柴的概率。 (1 r n)
解：假设两盒火柴分别为甲盒，乙盒。将拿火柴盒作为 一次试验，每次试验只有两个结果，或者拿到甲盒，或 者拿到乙盒，而且每次试验是相互独立的。所以本题是 贝努利概型。 假设他首次摸到的空盒为甲盒时。这时共用2n-r根火柴， 共拿火柴盒2n-r+1次。也就是做2n-r+1次试验，第2nr+1次拿的是甲盒，前2n-r次试验拿甲盒ｎ次，每次都从 甲盒中拿了一根火柴。
例2 从一批灯泡中，任取n只作寿命试验，而每 只灯泡的寿命结果不会影响其它灯泡的寿命结果， 故此亦为n次重复且相互独立试验。
注意到例1 与例2的试验，前者每次试验只有两个结果{H， T}，而后者有无穷多结果{t | t0},本节重在讨论前一种 试验类型，即贝努利概型。
P(n次试验中恰好成功k次） C p (1 p) ,(k 0,1,2 n)
随机事件Ａ＝｛首次摸到空盒为甲盒时乙盒中还有ｒ根火柴｝， 随机事件Ｂ＝｛首次摸到空盒时另一盒中还有ｒ根火柴｝，则
P( A) C
n 2nr
1 n 1 nr 1 ( ) ( ) 2 2 2
同理，可得他首次摸到的空盒为乙盒时甲盒还有ｒ根火 柴的概率，所以：
P( B) 2C
n 2nr
1 n 1 nr 1 1 2 n r n ( ) ( ) C2 n r ( ) 2 2 2 2