图论与代数结构

推论 2.3.1
若无向图 G 中只有 2 个度为奇的结点， 则 G 存在欧拉道路。 证明：设 vi 和 vj 是两个度为奇数的结点。 作 G’=G+(vi, vj) ，则 G’ 中各点的度都是偶数 。由定理 2.3.1 ， G’ 有欧拉回路，它包含边 (vi, vj) ，删去该边，得到一条从 vi 到 vj 的简 单道路，它恰好经过了 G 的所有边，亦即是 一条欧拉道路。
举例 2.1.4
例 2.1.4 设 G ＝ (V,E) 是无向图，如果 V(G) 可以划分为子集 X 和 Y ，使得对所有的 e=(u,v)∈ E(G), u 和 v 都分属于 X 或 Y ， 则称 G 是二分图。证明：如果二分图 G 中存在 回路，则它们都是由偶数条边组成。 证明：设 C 是二分图 G 的任一回路，不妨设 v0 ∈X 是 C 的始点，由于 G 是二分图，所以沿回 路 C 必须经过偶数条边才能到达某结点 vi ∈ X, 因而只有经过偶数边才能回到 v0
图 2.14
于是，设 d(vi1) = k, 则 d(vil) ≤ l-k-1. 因此 d(vi1)+d(vil) ≤ k+ l-k-1 <n-1, 与已知矛盾。所以，存在经过 vi1, vi2, … , vil 的初级回 路。 由于 G 连通，所以存在 C 之外的结点 vt 与 C 中的某 点 （ viq ） 相邻。删去 (viq-1 ， viq) ，则 P’=(vt, viq, … , vip-1, vil , … , viq-1) 是 G 中一条比 P 更 长的初级道路。以 P’ 的两个端点 vt 和 viq-1 继续 扩 充，可得到一条 新 的极长的初级道路。重复 上 述 过 程 ，因为 G 是有穷图，所以最终得到的初级道路 一定包含了 G 的 全部 结点，即是 H 道路。
P 中的边没有重复出现：简单道路，简单回路。 P 中结点也不重复出现：初级道路，初级回路。
举例
v1 v1 e1 e4 v2 e6 e2 v3 e7 v4 v2 e6 e2 v3 e7 e5 e1 e4 e5 v4
图 2.1
图 2.2
举例 2.1.3
例 2.1.3 设 C 是简单图 G 中含结点数大于 3 的一个初级回路，如果结点 vi ,vj 在 C 中不相 邻，而边 (vi ,vj)∈E(G), 则称 (vi ,vj) 是 C 的 一条弦。若对每一个 vk∈V(G), 都有 d(vk)≥3 ，则 G 中必含带弦的回路。 证明：在 G 中构造一条极长初级道路 P ＝ (ei1, ei2, …, eij), 不妨设 ei1 ＝ (v0 ,v1 ), eij=(vj-1 ,vj ) 。 由于 P 是极长的初级道路，所以 v0 和 vj 的邻接点都 在该道路 P 上。有已知条件 d(v0 )≥3, 不妨设 Г(v0 )={v1 , vis , vit ,…}. 其中 1<j<k ，这时 (v0 , v1 , …vit , v0) 是一条初级回路， (v0 , vis) 是该回路 中的一条弦。
推论 2.4.2 如果简单图 G 的每个结点的度都大于 等于 n/2 ，则 G 中有 H 回路。 证明 : 由推论 2.4.1 即得。
引 理 2.4.1 设 G 是简单图 , vi 和 vj 是不相邻结点 , 且满足 d(vi)+d(vj)≥n, 则 G 存在 H 回路的充要条件是 G+(vi, vj) 有 H 回路。 证明： 必要性显然。 下 证充分性。假定 G 不存在 H 回路，则 G+(vi, vj) 是 H 回路一定经过边 (vi, vj) ，删去 (vi, vj) ，即 G 中存在一条以 vi, vj 为端 点的 H 道路，这时 又 有 d(vi)+d(vj)<n, 与已知矛 盾。
定义 2.1.3
设 G 是无向图，若 G 的任意两结点之间都 存在道路，就称 G 是连通图，否则称为非连通图 。 若 G 是有向图，不考虑边的方向，即视 之为无向图，若它是连通的，则称 G 是连通图。 若连通子图 H 不是 G 的任何连通子图的 真子图，则称 H 是 G 的极大连通子图，或称连 通支。 显然， G 的每个连通支都是它的导出子图。
举例 2.1.5
v1 v5 v1 v6 v5
v2
v3 图 2.3(a)
v4
v2
v3 图 2.3(b)
v4
例 2.1.5 图 2.1 和 2.2 都是连通图，图 2.3 是非 连通图。其中那个 (a) 有两个连通支，它们结点集分 别是 {v1 ,v2,v3} 和 {v4 ,v5},(b) 有三个连通支。
定义 2.4.2
设 vi 和 vj 是简单图 G 的不相邻结点，且满 足 d(vi)+d(vj) ≥n, 则 令 G’ ＝ G+(vi, vj), 对 G’ 重复上 述 过 程 ， 直 至不再有这样的结点 对为 止 。最终得到的图称为 G 的 闭合 图， 记做 C(G). 例 2.4.3 图 2.16(a) 的 闭合 图是 (b). （a） （b）
H 道路：如 （ v4, v5, v3, v2, v1 ） 或 （ v1, v2, v3, v5, v4 ）
定理 如果简单图 2.4.1 G 的任意两个结点 v , v
i
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之间 恒
有 d(vi)+d(vj) ≥n-1 ，则 G 中存在哈密 顿 道路。 —————————————————— 证明： 先 证 G 是连通图。若 G 非连通，则至 少分为两个连通支 H1, H2, 其结点数分别为 n1, n2. 从中各任 取 一个结点 vi, vj, 则 d(vi)≤ n1-1, d(vj)≤ n2-1, 故 d(vi)+d(vj) ≤ n1+n2-2<n-1, 与假设矛盾。 以 下 证 G 存在 H 道路。设 P=(vi1, vi2, … , vil) 是 G 中一条极长的初级道路，即 vi1 和 vil 的邻点 都在 P 上。此时，若 l = n, 则 P 即为一条 H 道路。
第二章 道路和回路
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2.1 道路和回路
定义 2.1.1 有向图 G ＝ (V, E) 中，若边序列 P ＝ (ei1, ei2, …, eiq), 其中 eik=(vl, vj) 满足 vl 是 eik-1 的终点， vj 是 eik+1 的始点，则称 P 是 G 的 一条有向道路。如果 eiq 的终点也是 ei1 的始 点，则称 P 是 G 的一条有向回路。 P 中的边没有重复出现：简单有向道路，简 单有向回路。 P 中结点也不重复出现：初级有向道路，初 级有向回路。分别简称路，回路。
证明：有性质 1.1.2 知， k 是偶数。 在这 k 个结点间增加 k/2 条边，使每个结点都 与其中一条边关联，得到 G’ ， G’ 中各结点 的度都为偶数。 由定理 2.3.1 知， G’ 中有欧拉回路 C ，添加 的 k/2 条边都在 C 上，且不相邻接。 删去这些边，得到 k/2 条简单道路，它们包含 了 G 的所有边。也即 E(G) 划分成了 k/2 条简 单道路。
推论 2.4.1
如果简单图 G 的任意两个结点 vi 和 vj 之间 恒 有 d(vi)+d(vj) ≥n ，则 G 中存在哈密 顿 回路。 证明： 由定理 2.4.1 可知， G 有 H 道路。设其 两端点 是 v1 和 vn, 若 G 不存在 H 回路，则由定理 2.4.1 证明 过 程 可知，一定有 d(v1)+d(vn) ≤ n-1<n ， 矛盾。
2.4
哈密 顿 道路与回路
19 世纪英国 数学家哈密 顿 (Willian Hamilton), 概念 的 来源看 18 页 。
定义 2.4.1 无向图 G 的一条过 全部 结点的初级回路 ( 道路 ) 称为 G 的哈密 顿 回路 ( 道路 ), 简 记 为 H 回路 ( 道路 ).
例 2.4.1 完全 图 Kn 中 (n≥3) 中存在 H 回 路。 例 2.4.2 下 图中不存在 H 回路，但存在 H 道 路。
例 2.3.1 试找出图 G 的一条欧拉回路。
从任一点，比如 v1 开始，可构造简单回路 C=(e1, e6, e8, e7, e2), G1=G-C 中的 v2, v4, v5 的度非零，且 v2, v5 是 C 中的点，从 v2 开始， G1 中有简单回路 C1=(e3, e5, e4), 因 此， C∪C1 包含了 G 的所有边，即是 G 的一条欧拉回路。
图 2.16
引 理 2.4.2. 简单图 G 的 闭合 图 C(G) 是 证明：设 C1(G) 和 C2(G) 是 G 的两个 闭合 图。 唯一的。 L1={e1, e2, …, er}, L2={a1, a2, …, as}, 分别是 C1(G) 和 C2(G) 中 新 加入边的集 合 ，可以证 明 L1=L2 ，即 C1(G)=C2(G) 。如若不然，不 失 一 般 性，设 ei+1=(u,v)∈ L1 是构造 C1(G) 时第一条不 属于 L2 的边，也即 ei+1∉ C2(G). 令 H=GU{e1, e2, …, ei}, 这时 H 是 C1(G) 也是 C2(G) 的子图。 由于构造 C1(G) 时要加入 ei+1 ，显然 H 中满足 d(u)+d(v) ≥n, 但 (u,v)∉ C2(G) ，与 C2(G) 是 G 的 闭合 图矛盾。
定义 2.1.2
无向图 G ＝ (V, E) 中，若点边交替序 列 P ＝ (vi1, ei1, vi2, ei2, …, eiq-1, viq), 满足 vik, vik+1 是 eik 的两个端点，则称 P 是 G 中 的一条链，或道路。如果 viq ＝ vi1 。则称 P 是 G 中的一个圈，或回路。
推论 2.3.2
若有向连通图 G 中各结点的正、负度相 等，则 G 中存在有向欧拉回路。 例 2.3.2 七桥问题既不存在欧拉回路，也不 存在欧拉道路。 例 2.3.3 设连通图 G=(V,E) 有 k 个度为奇 数的结点，证明 E(G) 可以划分成 k/2 条简 单道路。
例 2.3.3 的证明：
若 l < n, 则可以证明 G 中一定存在经过结点 vi1, vi2, … , vil 的初级回路。否则，若边 (vi1, vip)∈ E(G) ，就不能有 (vil ， vip-1)∈ E(G) ，不然删 掉 (vip ， vip-1) ，就 形 成了一条过这 l 个结点的初级回 路。 见 图 2.14 。
2.3 欧拉道路与回路
1736 年瑞士著名数学家欧拉发表图论 的第一篇论文“哥尼斯堡七桥问题”。
定义 2.3.1
无向连通图 G=(V, E) 中的一条经过所有 边的简单回路 ( 道路 ) 称为 G 的欧拉回路 ( 道 路 ).
定理 2.3.1
无向连通图 G 存在欧拉回路的充要条件 是 G 中各结点的度都是偶数。 证明：必要性：若 G 中有欧拉回路 C, 则 C 过每一条边有且仅有一次。对任一结点 v, 如果 C 经由 ei 进入 v, 则一定通过另一条 边 ej 从 v 离开。因此 v 的度是偶数。
充分性：假定 G 中各结点的度都是偶数。
由于 G 是有穷图，因此可断定从 G 的任一结点 v0 出发一定存在 G 的一条简单回路 C 。这是因为各结点 的度都是偶数，所以这条简单道路不可能停留在 v0 以外 的某个结点，而不能再向前伸延以致构成回路 C 。 如果 E(G)=C, 则 C 就是欧拉回路，充分性得证 。否则在 G 中删去 C 的各边，得到 G1 ＝ G-C 。 G1 可能 是非连通图，但每个结点的度保持为偶数。这时， G1 中 一定存在某个度非零的结点 vi, 同时 vi 也是 C 中结点。否 则 C 的结点与 G1 的结点之间无边相连，与 G 是连通图矛 盾。同样理由，从 vi 出发， G1 中 vi 所在的连通支内存在 一条简单回路 C1 。显然 C∪ C1 仍然是 G 的一条简单回路
举例 2.1.6
例 2.1.6 图 2.4 是连通图，不含回路，而且 任意两结点之间都只有唯一的一条初级道路。这 种图称为树，它是含边数最少的连通图。
举例 2.1.7 例 2.1.7 设 G 是简单图，证明： 当 m>(n-1)(n-2)/2 时， G 是连通图。
证明：假定 G 是非连通图，则至少含有两个连通 支。设分别为 G1 = (V1, E1), G2 = (V2, E2). 其 中 |V(G1)|=n1, |V(G2)| =n2, n1+n2=n. 由 G 是简单图， 因此 |E1(G1)|≤n1(n1-1)/2, |E2(G2)|≤n2(n2-1)/2, m ≤ n1(n1-1)/2 + n2(n2-1)/2 ，由于 n1 ≤n-1, n2 ≤n-1 所以 m ≤ (n-1)(n1-1+ n2-1)/2 = (n-1)(n-2)/2 ，与已知