以数解形,以形助数
以形助数-以数解形——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用
以形助数，以数解形—-浅谈数形结合思想在初中数学中的应用摘要:在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度。
笔者结合教学实际,对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用.关键词：数形结合初中数学数学应用数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。
因此,笔者结合数学教学实际，探讨数形结合思想在初中数学中的应用.在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等。
”［1]所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。
数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时,我们要把它们有机的结合起来,并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论，或者把数量关系问题转化为图形问题，借助几何知识加以解决，使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”,最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体，永远联系莫分离" [2].初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系。
正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的。
数形结合思想在高中数学解题中的应用
数形结合思想在高中数学解题中的应用数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。
华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休。
”数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果。
数形结合的重点是研究“以形助数”。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓思维视野。
数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。
另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：一、“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
例如：已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图，在下列代数式中（1）a+b+c＞0，（2）-4a＜b＜-2a，（3）abc＞0，（4）5a-b+2c＜0，其中正确的个数为（A）。
A．1个B．2个C．3个D．4个由图形可知：抛物线开口向上，与y轴交点在正半轴，∴a＞0，b＜0，c＞0，即abc＜0，故（3）错误。
又x=1时，对应的函数值小于0，故将x=1代入得：a+b+c＜0，故（1）错误。
∵对称轴在1和2之间，∴1＜-＜2，又a＞0，∴在不等式左右两边都乘以-2a得：-2a＞b＞-4a，故（2）正确。
又x=-1时，对应的函数值大于0，故将x=1代入得：a-b+c＞0，又a＞0，即4a＞0，c＞0，∴5a-b+2c=（a-b+c）+4a+c＞0，故（4）错误。
以形助数 以数解形
以形助数以数解形作者：董苗红来源：《科学导报·学术》2020年第46期《数学课程标准》中明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。
”数学思想有许多，数形结合思想就是其中一种重要的思想。
数形结合就是通过数与形的相互转化、相辅相成来解决数学问题的一种思想方法。
它既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。
在教学中渗透数形结合的思想，可把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念;可使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上掌握算法;可将复杂问题简单化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。
数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
本人谈谈在教学中的点滴体会：一、概念教学中的数形结合建构主义认为学生学习活动的本质是：学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构过程。
数学意义所指的“意义”是人们一致公认的事物的性质、规律以及事物之间的内在联系，是比较抽象的概念。
而“数形结合”能使比较抽象的概念转化为清晰、具体的事物，学生容易掌握和理解。
例如：二年级上册《乘法的初步认识》中通过游乐场主题图来引入乘法，为了让学生理解乘法的意义，教材提供了大量同数连加的现实情境，如坐小飞机、小火车和过山车的同学，每束个数相同的气球，每串数量相同的钥匙以及每份数量相同的胡萝卜、香蕉等等，为学生提供丰富而生动的直观图像，然后让学生对照图形写同数连加算式，再引导学生用“几个几”的方式来表达同数连加的具体情境，最后将同数连加的算式改写成乘法算式。
以形助数,数形结合
以形助数、数形结合湖南省南县第一中学 陈敬波一．引入数与形是两个古老的概念，是数学研究的对象，数与形在一定的条件下可以互相转化，二者是有联系的，这个联系称之为数形结合，作为一种数学思想，通过两种形式的应用：以数解形，以形助数，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题实质。
纵观历年高考试题，巧妙地运用数形结合思想方法解决一些抽象的数学问题，数形结合的重点是研究“以形助数”。
要注重培养这种数学思想意识，争取“胸中有数”,“见数思图”，开拓自己的思维视野。
二．热身1、已知向量a ＝(cos750,sin750)，b =(cos150,sin150),则|a -b |=________.分析：向量坐标形式，联想平面直角坐标系中带箭头的图形，向量差的模对应两终点连线的长，绘图解决。
2、如果实数x,y 满足(x-2)2+y 2=3，则x y 的最大值为( )A. 21B. 33C. 23D. 3 由方程，联想到坐标直角坐标系中的圆，分式联想到平面直角坐标系中直线斜率公式。
赋予代数问题的几何意义，利用图形解决。
三．举例1. 若关于x 的方程x 2+2kx+3k=0的两根都在 -1与3之间，求实数k 的取值范围．解析：(代数方法)3212k -4k 2-1-2<±<k ，计算量。
（数形结合法1）()()0,322=++=x f k kx x x f 的两根都在 -1与3之间。
().011330099013,12200)3(0)1(≤<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥≤>+>+⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∈-≥∆>>-k k k k k k k f f 或 （数形结合法2）()2-32x k x =+，()3,1-∈x t=2x+3,()9,1t ∈,k=()t 43-t -2 ()()().43349,43222'1221tt t t t y k y t t y --+=--==--= 1y 在()3,1上是增函数，在)9,3(上是减函数2y 是动直线，利用图象，得01≤<-k 。
浅析高中数学教学中“数形结合”的解题妙用
浅析高中数学教学中“数形结合”的解题妙用发布时间：2022-09-06T05:20:49.956Z 来源：《教育学》2022年3月总第280期作者：张小文[导读] 不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。
陕西省汉中市南郑中学723100摘要：数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题形象化，有助于把握数学问题的本质。
近年来数学高考试卷的许多试题，都富有鲜明的几何意义，应用数形结合思想能够迅速作出正确的判断。
关键词：数形结合以形助数以数解形一、数形结合遵循的原则1.等价性原则。
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞。
有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。
2.双向性原则。
在数形结合时，既要进行几何直观分析，又要进行代数抽象探索，二者相辅相成。
3.简单性原则。
找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法，或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求一种流行的模式。
二、用数形结合思想解决实际问题思路分析1.构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围。
已知f(x)＝则任意x∈[－1，1]，|f(x)|≥ax成立的充要条件是( ) A．a∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)B．a∈[－1，0]C．a∈[0，1]D．a∈[－1，0)解析：当x∈[－1，0]时，原不等式可变为|x2－2|≥ax，即2－x2≥ax，f(x)＝图象如图所示；当x∈(0，1]时，原不等式可变为|3x－2|≥ax，g(x)＝|3x－2|的图象如图所示，当|f(x)|≥ax恒成立时，由图可知a的取值范围是[－1，0]。
2.构建函数模型并结合其图象研究方程根的个数。
已知函数f(x)满足下面关系。
①f(x＋1)＝f(x－1)；②当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2.则方程f(x)＝lg x解的个数是( ) A．5 B.7 C．9 D．10解析：由题意可知，f(x)是以2为周期，值域为[0，1]的函数。
以形助数 以数解形
以形助数以数解形数形结合的思维方法，是理论与实际的有机联系，是思维的起点，是儿童建构数学模型的基本方法。
纵观整个小学数学教材，无不充分体现数与形的有机结合，帮助学生从直观到抽象，逐步建立起整个数学知识体系，培养学生的思维能力。
抽象思维与形象思维的结合，即数形结合，可以使学习的内容变得比较易于理解，如何更好的以形象“解”抽象，是我们一线数学教师一直思考的问题。
下面是我在教学中的一点做法：一、利用直观图有助于孩子清晰的认识数的组成低年级学生在学习数学时，学生的的逻辑思维是比较初步的，而且在很大程度上仍是具有具体形象性。
我在教学《1000以内数的认识》用摆小正方体贯穿于整个教学过程。
一开始借助小正方体数数，经历数数，感受到不同的情况下可以采取不同的数数方法。
利用课件让孩子们直观感受一十，一百，一千的表象，知道一十是1列，一百拼成1片，一千成了1个大正方体，为进一步理解1000以内数的组成打下基础。
同时认识计数单位百、千，并感悟到10个一是一十，10个十是一百，10个百是一千的十进制关系。
图示如下：借助小正方体理解1000以内的数的组成。
通过小正方体组成不同的“形”表示1个一、1个十、1个百，使学生对1000以内数的组成形成表象，通过小正方体的“形”让学生自己感悟到，数和形相结合，使学生自己真正理解1000以内数的组成的。
二、利用直观图有助于孩子分析题意，避免机械应用在教学解决“小雪比小磊多几朵花“这个问题时我让孩子们拿出学具，动手摆一摆，并说说摆的过程。
师：小组讨论思考三个问题（1）谁和谁比？（2）谁的多？谁的少？（3）多的分成几部分，是哪几部分？这样，根据直观的数与物（形）的对应关系，帮助学习建立起同样多、多的部分、少的部分、大的数、小的数等较抽象的数学概念，从而理解掌握比多比少用大的数减去小的数，求大的数用小的数加上多的部分（或少的部分），求小的数用大的数减去少的部分（或多的部分）。
这样学生在学习“比多比少”应用题时，就能能很好的建立起数与形的有机结合，充分理解掌握比多比少的基本数量关系。
以“形”变“数”，以“数”解“形”
以“形”变“数”，以“数”解“形”作者：刘护灵来源：《广东教育（高中）》2021年第10期著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.一般而言，“形”有形象、直观的优点，但在定量方面还必须借助代数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确的把图形数字化，而且还要留心观察图形的特点，发掘题目中的隐含条件，充分利用图形的性质或几何意义，把“形”正确表示成“数”的形式，进行分析计算.2021年全国新高考Ⅰ卷第16题以民间剪纸艺术为背景，考查了考生的归纳与推理能力，及复杂数列求和运算能力，是难度较高的综合题目.原题如下：16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1=240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S2=180dm2，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______;如果对折n次，那么Sk=______dm2.【审题和分析】：首先要理解题目，在考场中一般会发1-2张草稿纸，可以用草稿纸按照题意对折1-3次，或者绘制草图，得到如下图形：（当然考场中只需画前3次即可发现规律）还可以在每次标上数值，以探索对折后面积（边长）变化的规律，如下：【解法1】：（1）对折4次可得到如下规格：dm×12dm，dm×6dm，5dm×3dm，10dm×dm，20dm×dm，共5种;（2）由题意可得S1=2×120，S2=3×60，S3=4×30，S4=5×15，…，Sn=，设S=+++L+，观察这个式子的特征，属于{anbn}结构，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列，所以下面用错位相减法求和，即：S=++…++，两式作差得：S=240+120（++…+）-=240+-=360--=360-，因此，S=720-=720-.故答案为：5;720-.【点评1】此题表面上以“形”的方式呈现，即民间剪纸艺术——考生常见、可考场上进行操作的“对折纸张”活动，实质上在解决这个问题的时候，要求学生以“数”——即转化为数列求和的方法進行计算，所以，看懂题意和理解数列求和的方法，是解决这个问题的关键.【点评2】对于数列求和常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解;（2）对于{anbn}结构，其中{an}是等差数列，是{bn}等比数列，用错位相减法求和;（3）对于{an+bn}结构，利用分组求和法;（4）对于{}结构，其中{an}是等差数列，公差为d（d≠0），则=（-），利用裂项相消法求和.【解法2】（由新疆昌吉州一中张润平老师提供）：如果把“形”坐标化，能得到更加“精细”的代数表示，即解法2如下，记此规格的长方形长为xndm×yndm，它对应于坐标平面内的点P（xn，yn），其中xn=20，yn=12，（n∈N），则对折过程如下图：P（x0，y0）;P1（x0，y0），P1（x0，y0）; (1)P2（x0，（）2y0），P2（x0，y0），P2（（）2x0，y0）; (2)P3（x0，（）3y0），P3（x0，（）2y0），P3（（）2x0，y0），P3（（）3x0，y0）; (3)仔细审读，发现规律很有意思！【排列规则规律解读：（1）对于每一“点”，首先按“y”轴对折，其次按“x”轴对折（下同）;（2）从第二行开始，将上行的第2个以后的点“对折”时，按“y”轴对折所得的点与前面得到的点重合，按“x”对折得到的点是“新”点】综上，对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5.如果对折n次，得到下列n+1个点：Pn，k（（）2x0，（）n-ky0），其中，k=0，1，2，…，（n+1），所以Sk=[（）ix0·（）k-iy0]=[（）kx0y0]=x0y0（k+1）（）kSk=[x0y0（k+1）（）k]=x0y0[（k+1）（）k]，其中Tn=[（k+1）（）k]，这是一个等差数列与等比数列的乘积形式，属于错位相减法的典型结构，下面利用错位相减法进行求和，和解法1类似，此处从略.【点评3】本题是一道数列题，其背景是民间折纸艺术，即数学上的对称关系. 解法2通过以“数”解“形”，即把“形”利用坐标表示，正是笛卡尔坐标的思想！十分巧妙！【点评4】一般而言，以“数”解“形”解题的基本思路：明确题中所给条件和所求的目标，分析已给出的条件和所求目标的特点和性质，理解条件或目标在图形中的重要几何意义，用已学过的知识正确的将题中用到的图形的用代数式表达出来（如果能建立坐标表示出来更好），再根据条件和结论的联系，利用相应的公式或定理等.【本文系广州市海珠区“十三·五”教育规划课题“GeoGebra和初中数学教学深度融合的研究”（立项号：2020C028）研究成果】责任编辑徐国坚。
用数形结合思想方法解题时的常见错误分析
像的延伸趋势不 同， 例 如 当 ａ＝ ２时 ，
原方程 无实 数解 ：
／
ｇ ｏ
而 当 ａ＝、 ／ ２时 ，
＝
２便是 原方程的
／ ｆ ｘ 、
图１
ｏ 。 时， ｇ （ ） 一一 ， 即直 线ｘ ＝ Ｏ 和ｙ ＝ ｌ 是 函数 ｇ （ ｘ ） 的两条 渐近
察却 看不 出什么规 律来 ，这 时就需要 给 图形赋值 ，如 边长 、 角度等等 ，特别是在做选择题 时，只有一个答案是 正确答案 ，
用此种方法就 可能起到意想不到 的效果 ．“ 以形 助数 ”是指把
０ ，ｏ ≠１ ）的图像 ，当 ａ 非常小时它们有 三个交点 ，此 时 ，方
程ａ ￣ ＝ ｌ ｏ ｇ 解 的有 ３ 个．
ｅ
错解 ：在 同一坐标系中 ，分 别画出函数 ’ ， ＝ （ ａ ＞ １ ）及 ｙ ＝ ｌ ｏ ｇ （ ａ ＞ １ ）的图像 ，如图 １ 所示 ，可见它们没有公共点 ，所
以方程确无实数解 ．
ｚ ：ｙ ＝ ｋ ｘ － １ 与曲线 ｙ ） 没有公共点 ，求 ｋ的最大值．
故命题正确．
解是因为没有充分注意到两 图像 的递增 “ 速度 ” ！要 比较两个 图像的递增 速度 ，确实很难 由图像直观而得 ． 本题 可以先猜想 ，
后用数学归纳法证 明． 本题的正确答案是 当 ｎ ＝ ２ ．４时 ２ ｎ ＝ ｎ ： ，
例１ ． 判断命题 “ 当ａ ＞ ｌ 时 ，关 于 的方程 ａ ￣ ＝ ｌ ｏ ｇ 。 无实
误差 ，或者 “ 无 中生有” 的不 准确 ．有 时可能会 出现一些错 误． 本文就运用数形结合 时容易出现 的失误做个 简单的归类分 析 ，希望 引起你的重视．
高中数学数形结合思想在解题中的应用
中学数学数形结合思想在解题中的应用一、学问整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合的方法，许多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使困难问题简洁化，抽象问题详细化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与敏捷性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，奇妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是探讨“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发觉解题途径，而且能避开困难的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要留意培育这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
以形助数,以数解形——谈数形结合思想在小学数学中的应用
以形助数,以数解形——谈数形结合思想
在小学数学中的应用
数形结合思想在小学数学中的应用数形结合思想是数学教学的重要组成部分，在小学数学教学中，数形结合思想起着至关重要的作用。
一般来说，数形结合思想是指以形助数，以数解形，即把数学具体化，结合实际情况，把抽象的数学知识转化为具体的形象，从而更好地理解和运用数学知识。
在小学数学教学中，数形结合思想具有特别重要的作用。
例如，教学加法时，可以通过图形的方式来让学生们更好地理解加法的概念，理解加法的运算过程。
比如，当教学加法时，可以画出三个圆圈，我们可以让学生在每个圆圈里画几个小圆点，代表每个圆圈里有几个东西，然后让学生将三个圆圈里的小圆点加起来，就可以得到最后的结果。
这样，学生们就可以更好地理解加法的概念，知道加法的运算过程，从而更好地应用加法。
此外，数形结合思想还可以帮助学生们更好地理解减法的概念，更好地运用减法。
教学减法时，可以画出两个圆圈，在每个圆圈里画几个小圆点，代表每个圆圈里有几个东西，然后让学生从第一个圆圈里减去第二个圆圈里的小圆点，就可以得到最后的结果。
这样，学生们就可以更好地理解减法的概念，知道减法的运算过程，从而更好地应用减法。
用数形结合思想教学数学时，还可以画出图形，让学生们更好地理解乘法、除法等数学知识的概念，更好地运用这些知识。
比如，教学乘法时，可以画出一个矩形，把这个矩形分成几个小矩形，代表乘法的因数，然后让学生们计算出最后的结果，就可以更好地理解乘法的概念，知道乘法的运算过程，从而更好地应用乘法。
总之，以形助数，以数解形，是小学数学教学中重要的一种数学思想，它可以帮助学生们更好地理解和运用数学知识，起到重要的作用。
解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略份
解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略(一)份解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略 1解析几何解题技巧之“数”“形”结合策略一、“数”“形”结合解题法的理论概述（一）方法释义首先，关于解析几何的释义，其泛指几何学上一个小分支，主要用代数方法研究集合对象之间的关系和性质，因此也称作“坐标几何”。
其包括平面解析几何和立体解析几何两部分，其中，平面解析几何是二维空间上的解析几何；立体解析几何是三维空间上的解析几何，而立体解析几何则比平面解析几何更加复杂、抽象。
其次，关于数形结合的.释义，即是把题目所给条件中的“数”与“形”一一对应，用简单的、直观的几何图形以及条件之间的位置关系把复杂的、抽象的数学语言以及条件之间的数量关系结合起来，通过形象思维与抽象思维之间的结合，以形助数，或以数解形，从而使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，以起到优化解题途径的目的。
（二）解题思路在遇到解析几何时，能清楚条件与问题之间的数量关系与位置关系，将“数”与“形”一一对应，便能够快速找到解题突破点。
事实上，当熟练掌握到数形结合方法，能够举一反三时，遇到的所有题目都将是同一题目了。
因此，掌握数形结合思，就必须厘清下列关系：第一点，复数、三角函数等以几何条件和几何元素为背景建立的概念；第二点，题目所给的等式或代数方程式的结构中所含明显的几何意义；第三点，函数与图象的对应关系；第四点曲线与方程的对应关系；第五点，实数与数轴上的点的对应关系。
二、“数”“形”结合法在几何解题中的实例解析（一）解析几何中圆类问题实践证明，数形结合对速解圆类问题的帮助很大，因为在一般解题过程中，解析几何圆类问题主要围绕求圆与圆之间的位置关系、圆与直线的位置关系、圆的标准方程等几方面展开。
比如在判断圆与直线的位置关系时，通过建立直角坐标系，便可以直观地观察到直线在圆外，但是答题需要写出确切的答题步骤才能得分。
这时就需要有“数”“形”结合解题思想的辅导——以数解形：通过计算圆心到直线的距离，距离比圆的半径大即表明直线在圆外。
小学数学教学中“数形结合”方法探析
小学数学教学中“数形结合”方法探析摘要：把“数形结合”的教学思想应用在小学数学教学中，有助于把抽象化的数学概念形象化，使计算直观化，有利于把复杂问题变得简单。
通过“以数解形”与“以形助数”两个角度对“数形结合”加以分析，旨在提高数学课堂教学效率，化抽象为具体，化复杂为简单。
关键词：小学数学；数形结合；方法借助图形来思考问题是数学思维的特征。
很多时候，一个简单的图形就可以蕴含多重思想，图像语言为数学思维的表达提供了方便。
因此，在小学数学教学中，数形结合的方法会大大提高学生的学习效果，提高学习效率。
一、“数形结合”思想的概念“数”与“形”是数学领域的重要元素，“数形结合”的教学思想有效把“数”与“形”联系起来。
利用“形”的直观性特征可以加强对抽象“数”的理解。
同样利用“数”的细致化特征可以更好地刻画“形”的特征。
抽象性与直观性相互协调，发挥优势，克服弊端，会有效推进问题的顺利解决。
具体来说，“数形结合”就是在数学问题的思考中，把数量关系、运算等与几何图形、图像有效联系起来，最终把“数”与“形”的特征相互配合，形成优势互补，相契相合，把形象思维与逻辑思维圆满结合。
二、如何在小学数学中应用“数形结合”思想1.以形助数“以形助数”是指在具体的数学学习过程中，有效发挥图形的直观化、形象化优势特点，把抽象的数学概念与复杂的数量关系简单化，使抽象的数学语言便于理解，从而有效推进复杂问题的解决。
（1）应用图形的直观化特征，解构概念，比较差异“数”与“形”紧密联系，在具体的教学中，要充分把握图形的直观性特点，将两者统一起来，把抽象的数学概念直观化，加深学生的理解。
以学习“千以内数的认识”一课为例，教师对“十进制关系”以及计数单位的阐述可以充分借助于几何模型，达到学生对概念直观化理解的目的。
用一个正方体表示1，10个1就是十（即十个正方体），以这种模式依次类推，会有效激发学生对数字学习的积极性。
依据立方体的变化，学生对计数单位有了形象化的认识，对计数单位“个—十—百—千”之间的关系也有了直观化的认识，更易于学生从本质上真正理解这些概念。
以“数”解“形”,以“形”助“数”
以“数”解“形”，以“形”助“数”作者：姚慧来源：《广东教学报·教育综合》2021年第15期教学内容：人教版《义务教育教科书·数学》六年级上册第107页例1。
教学目标：1.通过从不同的角度观察图形，发现图形中隐藏着的数和式的规律，能用数和式来表达图形的规律，感悟形的问题中包含着数的规律;2.根据数或式，联想与之对应的图形，能借助图形来解释数和式的规律，感悟数的问题也借助形来解决;3.借助数形结合，探索发现从1开始的连续奇数之和与“正方形数”的关系，感受数形结合解决问题的优越性。
教学重点：充分感受数与形之间的紧密联系，体会数形结合思想。
教学难点：借助数形结合，探索发现从1开始的连续奇数之和与“正方形数”的关系，感受数形结合解决问题的优越性。
教学准备：课件、圆片图、探究学习卡。
一、谈话引入（一）引出华罗庚名言师：同学们，认识他吗？对，他就是我国伟大的数学家华罗庚先生。
师：华罗庚先生曾说过这样一段话，一起来读一读吧。
（课件出示：数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
——华罗庚）师：谁能说说你对这段话的理解？（生答略）师：正如你们所说，这段话的意思就是说：只有数，没有形，不够形象直观，只有形，没有数又难以分析得细致入微。
数和形相辅相成，密不可分。
师：既然数与形的关系如此密切，今天，我们就一起来探究数与形的奥秘。
（师板书：数与形）（二）解读“数”与“形”师：在小学六年的数学学习里，其实我们每天都与“数”和“形”朝夕相处。
那你们觉得“数”包含什么？生：自然数、整数、分数、小数……师：你们说得不错。
不过，这里的“数”不仅包括整数、分数、小数这样的数，它包含的内容更广。
想想看数与数还可以组成什么呢？生：算式、等式、不等式……师：对了。
像数列、算式、等式、不等式等等同样属于“数”的范畴。
师：“形”又包含什么呢？生：平面图形、立体图形……师：除了平面图形、立体图形、想想看，我们还接触过哪些图形？……生：线段图、统计图……師：是的，这里的“形”包含的内容也很很广泛，还包括我们接触过的点子图、线段图、统计图等等。
以数助形，以形解数——论初中数学解题教学中数形结合思想的应用
以数助形，以形解数——论初中数学解题教学中数形结合思想的应用摘要：在初中阶段的数学教学当中，借助数形结合这种思想有利于提高学生的学习能力以及学习效果，特别是在数学解题当中对数形结合这种思想加以运用，可以实现以数助形以及以形解数，做到数形结合，进而在代数与几何之间建立其一座桥梁，有效提升初中生的解题效率。
基于此，本文旨在对初中阶段数学学科解题教学当中数形结合这种思想的具体应用展开探究，希望能为实际教学提供些许参考。
关键词：初中数学；解题教学；数形结合思想前言：在初中阶段的数学教学当中对数形结合这种思想方法进行渗透，可以把几何知识与代数知识进行有效连接起来，引导初中生通过代数方法对几何问题进行解决，借助几何图形来对代数问题进行表示，这样一来，可以对复杂问题进行简单化，进而对问题加以有效解决。
为此，对初中阶段数学学科解题教学当中数形结合这种思想的具体应用展开探究意义重大。
一、以数助形例如，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于（1，0），（3，0）两点，点是抛物线上在第一象限内的一点，直线与轴相交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点是线段的中点时，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，求的值．分析：（1）将点、代入抛物线，解得，可得解析式；（2）由点横坐标为0可得点横坐标，将点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得点坐标；（3）由点的坐标可得点坐标，由、的坐标，利用勾股定理可得长，利用可得结果．解：（1）将点、代入抛物线可得，解得，， .∴抛物线的解析式为： .（2）∵点在轴上，所以点横坐标，∵点是线段的中点，∴点横坐标 .∵点在抛物线上，∴，∴点的坐标为（）.（3）∵点的坐标为（），点是线段的中点，∴点的纵坐标为，∴点的坐标为（0，），∴，∴ .二、以形解数例如，都介于（0,1）之间，证明： .分析，因为题设当中全都介于（0,1）之间，同时出现了、以及的代数式，因此可以构造面积分别是、以及的长方形和面积是1的小正方形，具体的构造图形如图所示，进而能够看出成立。
以形助数 以数解形——数形结合思想在小学数学复习课上的有效运用
2021年第28期教育教学5SCIENCE FANS 以形助数 以数解形——数形结合思想在小学数学复习课上的有效运用周 岁（江苏省东海县牛山街道中心小学，江苏 连云港 222000）【摘 要】数形结合思想能在有效帮助学生掌握数学知识，如抽象理论、数学概念与数学关系的同时，提升学生的数学思维与学习能力。
本文主要探讨如何在小学数学复习课上应用数形结合思想引导学生进行复习。
【关键词】小学数学；复习课；数形结合思想【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）28-0125-02复习是一个重新整理知识的过程，在小学数学教学中，科学的复习方式能够帮助学生掌握数学难点，解决学习过程中存在的疑难问题，在提高教学的有效性的同时，能够加快学生吸收数学知识的速度。
但就目前的小学数学复习课来看，以运算、解题为核心的数学教学很难发挥其应有的价值。
教师应调整教学方法，尝试应用数形结合思想开展复习指导活动，实现抽象到具象的有机转化，这样能让复习更有效率，也能提高教学质量。
1 运用数形结合思想引出复习问题在以往的小学数学复习课中，复习活动大多围绕解题、计算开展。
从学生的成绩表现上来看，学生确实能准确解答数学问题，但学生的数学学习能力却没有提升：没有掌握数学方法，不会举一反三，对数学知识点的理解也不够透彻。
而借助数形结合思想，教师能够帮助学生解决在数学复习中所遇到的问题，进而培养学生的数学思维，帮助其掌握多元化的数学学习方法[1]。
以苏教版小学数学三年级上册“千克与克”的复习课为例，笔者通过数形结合思想开展教学活动，帮助学生完成数学学习任务。
笔者给出图形与数学符号，将生活中的素材与引入数学课堂。
笔者给出秤钩与“g”的符号，如图1所示：图1结合有关图片材料，学生很快给出结论：这个“秤钩”和5很像。
教师可针对学生的结论提出问题：秤钩除了像5之外，还有什么用？学生凭借生活经验，能够得出“秤钩能够勾起重物”的结论。
浅谈如何培养学生的数形结合思想
浅谈如何培养学生的数形结合思想所谓的“数形结合”就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”的方法，把抽象思维与形象思维有机的结合起来。
这样可以使很多复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
因此“数形结合”的思想在我们的学习和生活中有着不可忽视的地位和作用，然而不少初学者遇到这类问题时就有点显得有些不知所措、束手无策、无从下手了。
鉴于此种情况，本人结合多年的教学经验谈谈自己几点不成熟的看法，仅供大家作为参考，若有不当处望各位批评指正。
一、通过观察、实践活动培养学生数形结合思想“数形结合”是在学生具备一定的数感和空间想象力的基础上发展起来的，一般要通过对实物的观察、分析、猜测或实地测量获取必要的资料信息，然后运用几何的初步知识，逐步在脑海中形成几何形体的表象，为我们的探究问题、解决问题指明思路和方向。
在实际的教学活动中我们可利用剪、拼、折、叠、拆等方法让学生亲自动手、主动参与从而感受知识形成过程。
（一）通过观察培养学生的数感——以数解形数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法表示数；能在具体的情境中把数的相对大小关系；能用数表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的方法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。
我们在实际教育教学过程中要引导学生联系自己身边具体的有趣的事物，通过观察、操作、解决问题等丰富的活动，感受数的意义，体会数用来表示和交流的作用初步建立数感。
下面举例说明：例如，某教师上课不是开始进行新知识的学习，而是在黑板上画青蛙，同时讲解。
师：同学们，看黑板上老师画出来的青蛙，一只青蛙有一张嘴，2只眼睛4条腿。
2只青蛙有2张嘴，4只眼睛8条腿。
3只青蛙有3张嘴，6只眼睛12条腿。
老师编到这里，请同学们接着往下编。
生：4只青蛙有4张嘴，8只眼睛16条腿。
5只青蛙有5张嘴，10只眼睛20条腿。
6只青蛙有6张嘴，12只眼睛24条腿。
数形结合在高中数学解题中主要应用[论文]
![数形结合在高中数学解题中主要应用[论文]](https://img.taocdn.com/s3/m/0c4f18dd195f312b3169a55a.png)
数形结合在高中数学解题中的主要应用数学的两大主干是几何与代数，提供了两种不同的思维特点。
代数：数量关系的科学，有序思维占主导，培养符号运算能力：几何：空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力，培养逻辑能力，培养洞察力。
从十八世纪开始，笛卡儿就把“数”和“形”通过直角坐标系建立了密切的关系，开始在直角坐标平面上研究代数与几何问题。
把数和形的研究统一了起来，数形结合形成了一种非常重要的数学手段和思想方法，中学数学从始至终都贯穿着数形结合的思想，数形结合使抽象的代数问题直观化，各种图形数字化。
二者有机结合，使数学研究的深度大大加深，应用更为广泛。
关于数和形的关系，华罗庚先生写过一首词：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少知觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，集合代数统一体；永远联系，切莫分离。
数形结合思想在解题中的应用主要分为：（1）以形助数；（2）以数解形；（3）数形互换。
一、以形助数根据题设条件及结论正确绘制出相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，数形结合在一起思考，化难为易解决问题。
1. 利用数学表达式或数学概念的几何意义：表达式形如：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）可通过构造距离函数，斜率函数；截距函数；单位圆上的点及余弦定理进行转化。
例1：设x r，求函数的值域。
解法一：与余弦定理联系.可在三角形中解决.由于为奇函数，且 .只需研究时即可获得的值域. 如图1-3：在四边形中. . 是边长为1的等边三角形.由余弦定理有：2.借助函数与图象的对应关系实现数形结合.在解方程或解不等式的问题中，若方程或不等式中的代数式能拆分成一次函数，二次函数，对数函数，指数函数和三角函数等形式.则可利用函数的图象直观地使问题获得解决.例3：方程的实根个数是（c ）a：1 b：2 c：3 d：无数个解：方程的解是函数与图象的交点的横坐标。
因此这两个函数的交点的个数即为方程解的个数。
以数解形,以形助数
变式一：当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
解：过点A作AD⊥BC于D，如图2.
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴ BD=DC= 1 BC=3
2
∵∠B≠90°,
∴△PBQ是直角三角形的情况有两种：
①∠PQB=90°,即PQ∥AD。
∴△PBQ∽△ABD，
∴ BP＝ BQ ,即 6－t＝ t
BA BD
63
解得：t=2（秒）
2
∵ △＝（－3 3）2－4· 3·12＜0
2
∴方程没有实数根，
即不存在t值，使△PBQ的面积等于6 cm2
本变式通过添加辅助线构造直角三角 形，从而根据三角形的面积列出方程，再 以一元二次方程根的判别式解题。解本题 时要紧扣“以数解形，以形助数”的数形 结合思想，使复杂问题简单化，抽象问题 具体化，综合运用所学知识进行解题。
小结
这是一道动态三角形问题. 主要通过动中窥定、
变中求静，从中探求本质，根据图形建立等式模型
(如：原题：6－t＝ t ，变式二：1·t(3 3－ 3 t)＝过“以数解形，以形助数”数形结合思
想，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽
了解题思路，是数学的规律性和灵活性的有机结合。
解：如图3
∵△PBQ与△ABC都是正三角形，
∴△PBQ∽△ABC
∴
，即
解得: t=3(秒）
本题小结：
本题变“动态问题”为“静态问 题”，根据相似三角形的对应边成比例 线段，把问题有关的边长都用时间t的式 子表示出来，建立等式模型，从而求出t 的值，把解三角形问题转化为数学问题 来解，以达到以数解形。
谢谢!
以数解形，以形助数
——初中数学三角形问题
海口市东山中学
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解：如图3
∵△PBQ与△ABC都是正三角形，
∴△PBQ∽△ABC
∴
，即
解得: t=3(秒）
本题小结：
本题变“动态问题”为“静态问 题”，根据相似三角形的对应边成比例 线段，把问题有关的边长都用时间t的式 子表示出来，建立等式模型，从而求出t 的值，把解三角形问题转化为数学问题 来解，以达到以数解形。
2
∵ △＝（－3 3）2－4· 3·12＜0
2
∴方程没有实数根，
即不存在t值，使△PBQ的面积等于6 cm2
本变式通过添加辅助线构造直角三角 形，从而根据三角形的面积列出方程，再 以一元二次方程根的判别式解题。解本题 时要紧扣“以数解形，以形助数”的数形 结合思想，使复杂问题简单化，抽象问题 具体化，综合运用所学知识进行解题。
谢谢!
以数解形，以形助数
——初中数学三角形问题
海口市东山中学
林花
学习目标
了解正三角形、相似三角形的性质； 确定定点、动点、运动方向； 添加辅助线，构造直角三角形； 在 “数形结合”思想上，利用相似关系建立等式模型。
题目：
如图1，已知P、Q在边长是6cm的正△ABC的边 上运动，P从A到B,Q从B到C，两点同时按1cm/s作 匀速运动。设P运动的时间是t (s)。当t为何值时， △PBQ是正三角形？
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴ BD=DC= BC=3.
在Rt△ABD中，
AD=
∵PE∥AD，
∴△PBE∽△ABD，
∴
，即
∴PE= 3 3－ 3 t
2
假设存在t值，使△PBQ的面积等于6 cm2 ，
∴S△PBQ=
1 ·B Q·P E 2
=6 ,
即 1·t·(3
2
3－ 3 t) =6
2
整理，得： 3 t2－3 3t＋12＝0
小结
这是一道动态三角形问题. 主要通过动中窥定、
变中求静，从中探求本质，根据图形建立等式模型
(如：原题：6－t＝ t ，变式二：1·t(3 3－ 3 t)＝6 )。
66
2
2
本题通过“以数解形，以形助数”数形结合思
想，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽
了解题思路，是数学的规律性和灵活性的有机结合。
②∠QPB=90°。
∵∠ADB=90°，∠B=∠B ，
∴△BPQ∽△BDA，
∴
，即
解得：t=4（秒）
∴由①、②可知，当t为 2 秒和 4 秒时，△PBQ是直角三角形。
变式二： 在P、Q两点在运动过程中，是否存在t值，使△PBQ的面积等于6平
方厘米？若存在，求出这个t值；若不存在，请说明理由.
解：过点A作AD⊥BC于D，过点P作PE⊥B直角三角形？
解：过点A作AD⊥BC于D，如图2.
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴ BD=DC= 1 BC=3
2
∵∠B≠90°,
∴△PBQ是直角三角形的情况有两种：
①∠PQB=90°,即PQ∥AD。
∴△PBQ∽△ABD，
∴ BP＝ BQ ,即 6－t＝ t
BA BD
63
解得：t=2（秒）