以形助数,数形结合

以形助数、数形结合
湖南省南县第一中学 陈敬波
一．引入
数与形是两个古老的概念，是数学研究的对象，数与形在一定的条件下可以互相转化，二者是有联系的，这个联系称之为数形结合，作为一种数学思想，通过两种形式的应用：以数解形，以形助数，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题实质。

纵观历年高考试题，巧妙地运用数形结合思想方法解决一些抽象的数学问题，数形结合的重点是研究“以形助数”。

要注重培养这种数学思想意识，争取“胸中有数”,“见数思图”，开拓自己的思维视野。

二．热身
1、已知向量a ＝(cos750,sin750)，b =(cos150,sin150),则|a -b |=________.
分析：向量坐标形式，联想平面直角坐标系中带
箭头的图形，向量差的模对应两终点连线的长，
绘图解决。

2、如果实数x,y 满足(x-2)2+y 2=3，则x y 的最大值为( )
A. 21
B. 33
C. 23
D. 3 由方程，联想到坐标直角坐标系中的圆，分式联
想到平面直角坐标系中直线斜率公式。

赋予代数问题的几何意义，利用图形解决。

三．举例
1. 若关于x 的方程x 2+2kx+3k=0的两根都在 -1与3之间，求实数k 的取值范围．
解析：(代数方法)3212k -4k 2-1-2<±<k ，计算量。

（数形结合法1）()()0,322=++=x f k kx x x f 的两根
都在 -1与3之间。

().011330099013,12
200)3(0)1(≤<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥≤>+>+⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-∈-≥∆>>-k k k k k k k f f 或 （数形结合法2）()2-32x k x =+，()
3,1-∈x t=2x+3,()9,1t ∈,k=()t 43-t -
2 ()()().43349,43222'1221t
t t t t y k y t t y --+=--==--= 1y 在()3,1上是增函数，在)9,3(上是减函数
2y 是动直线，利用图象，得01≤<-k 。

2. 不等式()1≥-22+x k x x (其中k 为常数)的解集不为空集，则k 的取值范围是( )
A. (-∞]33,
B.[0,33]
C.[0,21]]
D.(-∞,2
1] 方法1。

2-2y x x =,()()01-x 22≥=+⇒y y
y=k(x+1)表示过定点（－1，0）的动直线。

()1≥-22+x k x x 表示曲线与直线有共公点或曲线有在动直线上方的点的存在。

相切时，;21=k
相交时，;210<≤k
位于下方时，0<k
结合图形，得k ≤21.
方法2。

[]
()()11411123,111212.
200222max 22
2-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=∈+=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-≤⇒+-≤≤≤⇒≥-t t t t t y x t x x x k ，x x x k x x x 有解 ３. 设函数f(x)=e x (2x-1)－ax+a ，其中a<1，若存在唯一的整数x o ，使f(x o )<0,则a 的取值范围.
A. [-1,23e )
B. [)43,23e
C. [)43,23e
D. [)1,23e 解析：
f(x)=e x (2x-1)
－
ax+a<0⇒e x (2x-1)<a(x-1).
g(x)=e x (2x-1),h(x)=a(x-1)（a>1）
在同一坐标系中作出二者图象,其中动
直线过定点(1,0)
当动直线经过点（－1，g(-1)），即过点⎪⎭⎫ ⎝⎛--e 3,1时，a=e
23. 结合图象得∈a [
e
23,1) 四．练习 1. 已知复数31=z -i,()[]πθθθ,0,sin 2,cos 22∈=z ,则|21z z +|的最大值为
_________
2. 若()2,1∈x 时，不等式(x -x a log 12<）恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(1,2]
D.[1,2]
3. 若集合()}{()()(){
,31|,,0,2|,22222a y x y x B a x a y y x A =-+-=>-== ,
且∅≠B A ,则实数a 的取值范围是（ ） [][][][]
222,222.22,12.122,2.2,2.+--+-D C B A
答案：1.C ，2.C ，3.D.
五．小结
1. 数形结合思想是解决数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力与速度。

2. 恰当等价转换与可行的作图本领。

作业：完成专题训练P188.T1-12.
}0,>a
以形助数、数形结合（学生用）
一．热身练习
1、已知向量＝(cos750,sin750)，=(cos150,sin150),则|-|=________.
2、如果实数x,y 满足(x-2)2+y 2=3，则x
y 的最大值为( )
3.23
.33
.21
.D C B A 二．应用举例
1.若关于x 的方程x 2+2kx+3k=0的两根都在-1与3之间，求实数k 的取值范围．
2.不等式()1≥-22+x k x x (其中为常数)的解集不为空集，则k 的取值范围是( )
]2
1,(.21,0.33,0.]33,.(-∞⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∞D C B A
３.设函数f(x)=e x (2x-1)－ax+a ，其中a<1，若存在唯一的整数x o ，使f(x o )<0,则a 的取值范围.
)1,23[.)43,23[.)43,23[.)1,23[.e
D e C e B e A -
三．课余练习
1.已知复数31=z -i,()[]πθθθ,0,sin 2,cos 22∈=z ,则|21z z +|的最大值为
_________
2.若()2,1∈x 时,不等式()x x a log 12<-恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (1,2]
D. [1,2]
3.若集合()}{()()(){
,31|,,0,2|,22222a y x y x B a x a y y x A =-+-=>-==a>0},且∅≠B A ,则实数a 的取值范围是（ ）
[][][][]
222,222.22,12.122,2.2,2.+--+-D C B A 四．感悟小结。