初中数学总复习专题27 以形助数_答案

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中考数学复习考点题型专题练习27---《图形对称之最短路线问题》(解析版)

中考数学复习考点题型专题练习《图形对称之最短路线问题》1．问题提出：（1）如图①，在△ABC中，AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，若AD＝3，则AE 的最小值为；（2）如图②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分线，分别交BC、AC于点D、E，DE＝1cm，求△ABD的周长；问题解决：（3）如图③，某公园管理员拟在园内规划一个△ABC区城种植花卉，且为方便游客游览，欲在各顶点之间规划道路AB、BC和AC，满足∠BAC＝90°，点A到BC的距离为2km．为了节约成本，要使得AB、BC、AC之和最短，试求AB+BC+AC的最小值（路宽忽略不计）．2．阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是M（x1，y1），N（x2，y2）），M，N两点之间的距离可以用公式MN＝计算．解答下列问题：（1）若点P（2，4），Q（﹣3，﹣8），求P，Q两点间的距离；（2）若点A（1，2），B（4，﹣2），点O是坐标原点，判断△AOB是什么三角形，并说明理由．（3）已知点A（5，5），B（﹣4，7），点P在x轴上，且要使PA+PB的和最小，求PA+PB 的最小值．3．阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的位置关系有以下三种情形：①如果AB∥x轴，则y1＝y2，AB＝|x1﹣x2|；②如果AB∥y轴，则x1＝x2，AB＝|y1﹣y2|；③如果AB与x轴、y轴均不平行，如图，过点A作与x轴的平行线与过点B作与y轴的平行线相交于点C，则点C坐标为（x2，y1），由①得AC＝|x1﹣x2|，由②得BC＝|y1﹣y2|；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式AB＝．（1）若点A坐标为（4，6），点B坐标为（1，2），则AB＝；（2）若点A坐标为（3，3），点B坐标为（6，6），点P是x轴上的动点，直接写出AP+PB 最小值＝；（3）已知M＝+，N＝﹣，根据数形结合，求出M的最小值？N的最大值？4．如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水，有两种方案备选择．方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）（如图2）；方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM（即AM+BM）（如图3）．从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，若快艇Q在CD之间（即点Q在线段CD上），当DQ 为多少时？△ABQ为等腰三角形，请直接写出结果．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是直线BC上一点．（1）如图1，若AC＝BC＝2，点D是BC边的中点，点M是线段AB上一动点，求△CMD 周长的最小值；（2）如图2，若AC＝4，BC＝8，是否存在点D，使以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直按写出线段CD的长度：若不存在，请说明理由．6．如图1和图2，P是直线m上一动点，A、B两点在直线m的同侧，且点A、B所在直线与m不平行．（1）当P点运动到P1位置时，距离A点最近，在图1中的直线m上画出点P1的位置；（2）当P点运动到P2位置时，与A点的距离和与B点距两相等，请在图2中作出P2位置；（3）在直线m上是否存在这样一点P3，使得到A点的距离与到B点的距离之和最小？若存在请在图3中作出这点，若不存在清说明理由．（要求：不写作法，请保留作图痕迹）7．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BC＝AD，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC ⊥CD，连接BE、CE、CF．（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；（2）如果AB＝4，∠D＝30°，点P为BE上的动点，求△PAF的周长的最小值．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，且AC是DE的中垂线．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）连接CE，写出BD和CE的数量关系．并说明理由；（3）当∠BAC＝90°，BC＝8时，在AD上找一点P，使得点P到点C与到点E的距离之和最小，求△BCP的面积9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点E是斜边AB上的一个动点，连接CE，过点B，C分别作BD∥CE，CD∥BE，BD与CD相交于点D．（1）当CE⊥AB时，求证：四边形BECD是矩形；（2）填空：①当BE的长为时，四边形BECD是菱形；②在①的结论下，若点P是BC上一动点，连接AP，EP，则AP+EP的最小值为．10．如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，M点在边AC上，且CM＝2，过M点作AC 的垂线交AB边于E点，动点P从点A出发沿AC边向M点运动，速度为1个单位/秒，当动点P到达M点时，运动停止．连接EP、EC，设运动时间为t．在此过程中．（1）当t＝1时，求EP的长度；（2）当t为何值时，△EPC是等腰三角形？（3）如图2，若点N是线段ME上一点，且MN＝3，点Q是线段AE上一动点，连接PQ、PN、NQ得到△PQN，请直接写出△PQN周长的最小值．11．数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．（1）【思想应用】已知m，n均为正实数，且m+n＝2，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，AB＝2，AC＝1，BD＝2，AC⊥AB，BD⊥AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设AE＝m，BE＝n，①用含m的代数式表示CE＝，用含n的代数式表示DE＝；②据此求的最小值；（2）【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是．12．如图，矩形ABCD中，OB＝5，OD＝3，以O为原点建立平面直角坐标系，点B，点D分别在x轴，y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P，且满足S△POB＝S矩形OBCD，问：（1）当点P在矩形的对角线OC上，求点P的坐标；（2）当点P到O，B两点的距离之和PO+PB取最小值时，求点P的坐标．13．如图所示，点D是等腰Rt△ABC的斜边BC上一动点，连接AD，作等腰Rt△ADE，使AD ＝AE，且∠DAE＝90°连接BE、CE．（1）判断BD与CE的数量关系与位置关系，并进行证明；（2）当四边形ADCE的周长最小值是6时，求BC的值．14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC 的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE．（1）说明：AE＝CE＝BE；（2）若DA⊥AB，BC＝6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是；（2）探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；（3）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP 的最小值；若不存在，说明理由．16．如图，AD⊥AB，BC⊥AB，且AD＝2，BC＝3，AB＝12，P是线段AB上的一个动点，连接PD，PC（1）设AP＝x，用二次根式表示线段PD，PC的长；（2）设y＝PD+PC，求当点P在线段AB上运动时，y的最小值；（3）利用（2）的结论，试求代数式的最小值．17．牧童在点A处放牛，其家在点B处，A，B到河岸l的距离分别为AC，BD，且AC＝BD＝300cm，测得CD＝800cm．（1）牧童从A处牵牛到河边饮水后再回家，是否有最近的路线可走？若有，请通过作图说明在何处饮水，所走的路线最短，并标出路线；（2）若有最短路线，请求出牧童走的最短路程．18．如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC．（1）如图1，已知AB＝3，DE＝2，BD＝12，设CD＝x．用含x的代数式表示AC+CE的长．（直接列式，不需化简）（2））如图1，请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？（直接写出结论，不需证明）（3）根据以上的结论和规律，请在虚线框中构造图形，利用图形求出代数式+的最小值．19．如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．（1）实验与探究由图观察易知点A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（﹣2，5），E（﹣1，﹣4）关于直线l的对称点B′、C′，E′的位置，并写出它们的坐标：B′、C′，E′；（2）归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（不必证明）；（3）运用与拓广：已知两点D（1，﹣3）、B（5，3），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、B两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．20．如图1，∠DOE＝50°，OD平分∠AOC＝60°，OE平分∠BOC．（1）用直尺、量角器画出射线OA，OB，OC的准确位置；（2）求∠BOC的度数，要求写出计算过程；（3）当∠DOE＝α，∠AOC＝β时（其中0°＜β＜α，0°＜α+β＜90°），用α，β的代数式表示∠BOC的度数．（直接写出结果即可）（4）如图2，M，N两点分别在射线OD，OE上，OM＝7，ON＝6，若在O、N两点之间拴一根橡皮筋，“奋力牛”Q拉动橡皮筋在平面内爬行，爬行过程中始终保持QN＝2QO，直接写出在“奋力牛”爬行过程中，2QM+QN的最小值为．参考答案1．解：（1）∵AD是ABC边BC的高，点E是BC上任意点，AD＝3，则AE的最小值为3，故答案为：3；（2）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣120°）＝30°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝120°﹣30°＝90°，在Rt△CDE中，DE＝1cm，∴AD＝CD＝2DE＝2cm，在RtABD中，BD＝2AD＝2CD＝4（cm），AB＝AD tan60°＝2（cm），∴△ABD的周长为：AD+BD+AB＝2+4+2＝6+2（cm）．（3）延长CB到点D，使得AB＝DB，延长BC到点E，使得CE＝AC，连接AD、AE，∴∠ADB＝∠DAB＝ABC，∠AEC＝∠CAE＝ACB，AB+BC+AC＝DB+BC+CE＝DE， ∴DE的最小值即为AB+BC+AC的最小值．∵∠DAB+∠CAE＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠BAC）＝45°，∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝135°，以DE为斜边向下作等腰直角三角形ODE，以点O为圆心，OD为半径作圆O，180°﹣DOE ＝135°，∴点A在弦DE所对的劣弧，过点A作AP⊥DE于P，过点O作OH⊥DE于H，连接OA，则AP＝2，设DH＝x，则DE＝2x，OH＝x，OA＝OD＝x，则AP+OH≤AO，可得2+x≤x，∴x≥．∴DE的最小值为2x＝＝4+4．∴AB+BC+AC的最小值为（4+4）km．2．解：（1）P，Q两点间的距离PQ＝＝13；（2）△AOB是直角三角形，理由如下：AO2＝（1﹣0）2+（2﹣0）2＝5，BO2＝（4﹣0）2+（﹣2﹣0）2＝20，AB2＝（4﹣1）2+（﹣2﹣2）2＝25，则AO2+BO2＝AB2，∴△AOB是直角三角形；（3）如图，∵点A（5，5），B（﹣4，7），∴作点A关于x轴的对称点A′，则A′坐标为（5，﹣5），连接A′B交x轴于一点，此点就是点P，此时PA+PB最小，∴PA+PB最小值＝A′B＝＝＝15．3．解：（1）AB＝＝＝5；故答案是：5；（2）如图，∵点A坐标为（3，3），∴点A关于x轴对称的点A′的坐标是（3，﹣3），此时AP+PB＝A′B＝＝3，故答案是：3；（3）M＝+，当M取最小值时，M表示点（x，0）与点（6，4）的距离与点（x，0）与点（3，2）的距离之和（或M表示点（x，0）与点（6，﹣4）的距离与点（x，0）与点（3，﹣2）的距离之和），此时M最小值＝＝3，N＝﹣，当N取最大值时，N表示点（x，0）与点（6，﹣4）的距离与点（x，0）与点（3，2）的距离之差（或M表示点（x，0）与点（6，﹣4）的距离与点（x，0）与点（3，2）的距离之差），此时N最大值＝＝．4．解：（1）方案1：AC+AB＝1+5＝6，方案2：， ∵，∴方案1更合适；（2）（方法不唯一）如图，①若AQ1＝AB＝5或AQ4＝AB＝5时，（或）＞4∴（不合题意，舍去）②若AB＝BQ2＝5或AB＝BQ5＝5时，，③当AQ3＝BQ3时，设DQ3＝x，则有x2+42＝（4﹣x）2+128x＝1∴，即：；故当DQ＝3或时，△ABQ为等腰三角形．5．解：（1）作C关于AB的对称点E，连接DE交AB于M，此时，△CMD周长的值最小，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BCE＝45°，连接BE，∴BC＝BE＝2，∴△CBE是等腰直角三角形，∴DE＝＝＝，∴△CMD周长的最小值＝1+；（2）存在，∵AC＝4，BC＝8，∴AB＝＝4，当AD1＝AB时，△AD1B的等腰三角形，∵AC⊥BC，∴CD1＝BC＝8；当BD2＝AB＝4时，△AD2B的等腰三角形，∴CD2＝4﹣8；当AD3＝D3B时，△AD3B的等腰三角形，∴BD3＝8﹣CD3，∴AC2+CD＝BD，∴42+CD＝（8﹣CD3）2，解得：CD2＝3，当BD4＝AB＝4时，△AD4B的等腰三角形，∴CD4＝8+4，综上所述，以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，线段CD的长度为8或4﹣8或3或8+4．6．解：（1）过点A作直线m的垂线，垂足为P1，则P1即为所求；（2）作线段AB的垂直平分线交直线m于P2，则P2即为所求；（3）作点A关于直线m对称点A′，连接BA′交直线m于P3，则P3即为所求．7．解：（1）四边形ADCE是菱形，理由如下：∵点E是AD的中点，∴AE＝AD．∵BC＝AD，∴AE＝BC．∵BC∥AD，即BDC∥AE．∴四边形ABCE是平行四边形∵AC⊥CD，点E是AD的中点，∴CE＝AE＝DE，∴四边形ABCE是菱形（2）由（I）得，四边形ABCE是菱形．∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称∵点F是AE的中点，AF＝AE＝2∴当PA+PF最小时，△PAF的周长最小即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小，此时△PAF的周长＝PA+PF+AF＝CF+AF，在Rt△ACD中，点E是AD的中点，则CE＝DE，． ∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°． ∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4．∵AF＝EF，CF⊥AE∴CF＝＝2△PAF的周长最小＝CF+AF＝2．8．解：（1）∵AB＝AC，AD是中线，∴∠BAD＝∠CAD；（2）连接EC．结论：BD＝CE．理由：∵AD是中线，∴BD＝CD，∵AD，AE关于AC对称，∴CD＝CE，∴BD＝CE；（3）连接BE交AD于点P，此时PE+PC的值最小．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC＝4，∴AD＝AE＝4，由题意AE∥BD，AE＝AD＝BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴PA＝PD＝2，∵PD⊥BC，∴S△BCP＝×8×2＝8．9．解：如图所示：（1）∵BD∥CE，CD∥BE，∴四边形BDCE是平行四边形，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴四边形BECD是矩形；（2）①当BE的长为时，四边形BECD是菱形．理由如下：连接ED，与BC交于点O，∵四边形BDCE是平行四边形，当BC和DE互相垂直平分时，四边形BDCE是菱形， BO＝BC＝3，OE＝AC＝2，∴根据勾股定理，得BE＝＝＝．故答案为．②连接AD，与BC交于点P，连接PE，此时PD＝PE，AP+EP最小，∴AP+PE＝AP+PD＝AD，过点D作DF垂直于AC的延长线于点F，得矩形ODFC，∴CF＝OD＝2，DF＝OC＝3，∴AF＝AC+CF＝6，∴在Rt△ADF中，根据勾股定理，得AD＝＝＝3．∴AP+EP的最小值为3．故答案为3．10．解：（1）∵∠ACB＝90°，EM⊥AC，∴EM∥BC，∴＝＝，∴ME＝4，当t＝1秒时，AP＝1，则PM＝3，∴EP＝＝5；（2）当EP＝EC时，PM＝MC，∴4﹣t＝2，解得，t＝2，当PC＝PE时，（4﹣t）2+42＝（6﹣t）2，解得，t＝1，当CP＝CE时，22+42＝（6﹣t）2，解得，t1＝6+（舍去），t2＝6﹣，当t＝1或2或（6﹣2）时，△PEC是等腰三角形；（3）作点N关于AC的对称点N′，关于AB的对称点N′′，连接N′N′′交AC于P，交AB于Q，连接N′′E，则△PQN即为周长最小的三角形，由题意得，N′E＝7，N′′E＝NE＝1，∵ME∥BC，∴∠AEN＝∠B＝45°，∴∠N′′EN＝90°，∴N′N′′＝＝5，则△PQN周长的最小值是5．11．解：（1）①在Rt△ACE中，CE＝，在Rt△BDE中，DE＝＝；②＝CE+DE，而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图，易得四边形ABDH为矩形，∴AH＝BD＝2，DH＝AB＝2，在Rt△CHD中，CD＝＝，∴CE+DE的最小值为，即的最小值为；（2）如图，设AB＝16，CA＝5，BD＝7，AE＝x，则BE＝16﹣x，在Rt△ACE中，CE＝＝，在Rt△BDE中，DE＝＝；＝CE+DE，而CE+DE≥CD（当且仅当C、E、D共线时取等号），作DH⊥CA交CA的延长线于H，如图，易得四边形ABDH为矩形， ∴AH＝BD＝7，DH＝AB＝16，在Rt△CHD中，CD＝＝20，∴CE+DE的最小值为20，即的最小值为20．故答案为，+；20．12．解：（1）∵矩形ABCD中，OB＝5，OD＝3，∴C（5，3），设直线OC的解析式为y＝kx，∴3＝5k，∴k＝，∴直线OC的解析式为y＝x，∵点P在矩形的对角线OC上，∴设P（m，m），∵S△POB＝S矩形OBCD，∴5×m＝3×5，∴m＝，∴P（，2）；（2）∵S△POB＝S矩形OBCD，∴设点P的纵坐标为h，∴|h|×5＝5，∴h＝±2，∴点P在直线y＝2或y＝﹣2的直线上，作B关于直线y＝2的对称点E，则点E的坐标为（5，4），连接OE交直线y＝2于P，则此时PO+PB的值最小，设直线OE的解析式为y＝nx，∴4＝5n，∴n＝，∴直线OE的解析式为y＝x，当y＝2时，x＝，∴P（，2），同理，点P在直线y＝﹣2的直线上，P（，﹣2），∴点P的坐标为（，﹣2）或（﹣，2）．13．解：（1）BD＝CE，BD⊥CE；理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝90°，∴BD⊥CE；（2）当AD⊥BC时，AD最小，则四边形ADCE的周长最小，即当四边形ADCE为正方形时，四边形ADCE的周长最小是6， ∴AD＝，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝2AD＝3．14．解：（1）∵△ADC是等边三角形，DF⊥AC，∴DF垂直平分线段AC，∴AE＝EC，∴∠ACE＝∠CAE，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCE＝90°＝∠CAE+∠B＝90°，∴∠BCE＝∠B，∴CE＝EB，∴AE＝CE＝BE．∵（2）连接PA，PB，PC．∵DA⊥AB，∴∠DAB＝90°，∵∠DAC＝60°，∴∠CAB＝30°，∴∠B＝60°，∴BC＝AE＝EB＝CE＝6．∴AB＝12，∵DE垂直平分AC，∴PC＝AP，∴PC＝PB+PA，∴当PB+PC最小时，也就是PB+PA最小，即P，B，A共线时最小， ∴当点P与点E共点时，PB+PC的值最小，最小值为12．15．解：（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 50°，故答案为：50°；（2）猜想的结论为：∠NMA＝2∠B﹣90°．理由：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠A＝180°﹣2∠B，又∵MN垂直平分AB，∴∠NMA＝90°﹣∠A＝90°﹣（180°﹣2∠B）＝2∠B﹣90°．（3）如图：①∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是14cm，∴AC+BC＝14cm，∴BC＝6cm．②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．16．解：（1）在直角△ADP中，∵∠A＝90°，AD＝2，AP＝x，∴PD＝＝；在直角△BCP中，∵∠B＝90°，AD＝3，PB＝AB﹣AP＝12﹣x，∴PC＝＝；（2）如右图．作D点关于AB的对称点D′，连接CD′，交AB于P，则PD′＝PD，CD′＝PD′+PC＝PD+PC，即为y的最小值．过D′作AB的平行线，交CB的延长线于E．在△CED′中，∠E＝90°，D′E＝AB＝12，CE＝CB+BE＝CB+AD＝3+2＝5，由勾股定理，得CD′＝＝13，故y的最小值为13；（3）如右图．构造图形，AB＝24，AD⊥AB，AD＝3，BC＝4，PA＝x，PB＝24﹣x，PD＝，PC＝，由对称性可知，PC+PD的最小值为PC+PD′＝CD′＝＝＝25．故代数式的最小值为25．17．解：（1）作点A关于l的对称点A′，连接A′B与l相交于点M，点M就是饮水处如图．（2）AA′＝600m，CD＝800m，则A′B为＝1000m．18．解：（1）∵CD＝x，BD＝12，∴BC＝12﹣x，由勾股定理得：AC+CE＝；（2）当点C在直线AE上时，如图2，AC+CE的值最小，理由是：C1是线段BD上任意一点（C1不与C重合），在△AC1E中，∵AC1+EC1＞AE，∴AC1+EC1＞AC+CE，即AC+CE的值最小，（3）如图3，线段BD，分别过点B、D在BD两侧作AB⊥BD，ED⊥BD，已知AB＝7，BD＝DE＝5，连结AE交BD于C，由（2）得：此时AC+CE的值最小，设BC＝x，则CD＝5﹣x，∴AC+CE＝+，即代数式+的最小值就是线段AE的长，过E作EF⊥AB，交AB的延长线于F，∴∠F＝90°，∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠FBD＝∠BDE＝90°，∴四边形EFBD是矩形，∴EF＝BD＝5，BF＝DE＝5，∴AF＝5+7＝12，在Rt△AEF中，则勾股定理得：AE＝＝13，∴代数式+的最小值是13．19．解：（1）点B（5，3）、C（﹣2，5），E（﹣1，﹣4）关于直线l的对称点B′、C′，E′的位置，如图所示，由图象可知B′（3，5），C′（5，﹣2），E′（﹣4，﹣1）．（2）由（1）可知坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（b，a）．（3）连接DB′交直线l于Q，此时DQ+BQ最小．设直线DB′的解析式为y＝kx+b，则解得，∴直线DB′的解析式为y＝4x﹣7，由解得，∴点Q坐标（，）．20．解：（1）当射线OC在∠DOE内部时，射线OA，OB，OC的位置如图1所示，当射线OC 在∠DOE外部时，射线OA，OB，OC的位置如图2所示．（2）①如图1中，∵OD平分∠AOC，∠AOC＝60°， ∴∠AOD＝∠DOC＝30°，∵∠DOE＝50°，∴∠EOC＝∠DOE﹣∠DOC＝20°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠EOC＝20°，∴∠BOC＝∠EOC+∠BOE＝40°．②如图2中，∵OD平分∠AOC，∠AOC＝60°，∴∠AOD＝∠DOC＝30°，∵∠DOE＝50°，∴∠EOC＝∠DOE+∠DOC＝80°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠EOC＝80°，∴∠BOC＝∠EOC+∠BOE＝160°．（3）由（2）可知：∠BOC＝2α﹣β或2α+β．（4）如图3中，连接MQ．∵QN＝2OQ，∴2QM+QN＝2QM+2OQ，∵OQ+QM≥OM，∴OQ+QM的最小值为7， ∴2QM+QN的最小值为14．故答案为14．。

人教版九年级下册 27.3_位似学案(PDF版含答案与解析)

初中九年级数学下册第二十七章：相似——27.3：位似解析一：知识点讲解知识点一：位似图形的定义定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似也称为位似比。

位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。

两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部、边上或顶点上。

两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧。

图例：例1：如右图中的3组图形中，位似图形有(C)第1和3组是位似图形A.0组B.1组C.2组D.3组知识点二：位似图形的性质性质：✧位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；✧位似图形的对应点连线交于一点；✧位似图形的对应线段平行（或在同一条直线上）且比相等；✧位似图形是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质。

位似图形中任意两对对应点的连线的交点就是位似中心。

一对对应边与位似中心（不在同一直线上）形成的两个三角形相似。

五边形ABCDE ∽五边形E D C B A '''''，相似比＝A O OA '例2：如图，D 、E 、F 分别是OA 、OB 、OC 的中点，下面的说法中，正确的是(B )1△ABC 与△DEF 是位似图形2△ABC 与△DEF 的相似比为1∶23△ABC 与△DEF 的周长之比为2∶14△ABC 与△DEF 的面积之比为4∶1A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④知识点三：位似图形的画法步骤：✧确定位似中心✧分别过位似中心和原图的各关键点作直线✧根据相似比，找出所作位似图形的对应点✧按原图连接各点，得到放大或缩小的图形符合条件的位似图形往往不唯一作出的位似图形一般有两种情况：✧各对应点在位似中心的同侧✧各对应点在位似中心的两侧作位似图形时，要注意位似比的顺序性例3：如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B 点的左边为(﹣1，﹣1)。

2017-2018人教版数学九年级下册第二十七章相似 27.3 位似同步训练含答案

2017-2018人教版数学九年级下册第二十七章相似 27．3 位似同步训练1．下列说法中正确的是( ) A ．全等图形一定是位似图形 B ．相似图形一定是位似图形 C ．位似图形一定是全等图形D ．位似图形是具有某种特殊位置的相似图形2．如图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，O 为位似中心，OD ＝12OD ′，则A ′B ′∶AB ＝( )A ．2∶3B ．3∶2C ．1∶2D ．2∶13．如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C′，已知OB ＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶94. △ABC 与△A′B′C′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC 的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )A．3 B．6 C．9 D．125．如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1∶2的位似图形，点O为位似中心，若△OAB内一点P(x，y)与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标为( )A．(－x，－y) B．(－2x，－2y)C．(－2x，2y) D．(2x，－2y)6. 如图，在直角坐标系中有两点A(6，3)，B(6，0)．以原点O为位似中心，把线段AB按相似比1∶3缩小后得到线段CD，点C在第一象限，则点C的坐标为_________．7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(2，0)，B(2，1)，C(0，1)，以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA1B1C1，B的对应点为B1，且B1在OB的延长线上，则B1的坐标为____________．8. △OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(4，6)，B(3，0)，以O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，得到△OA′B′，则点A的对应点A′的坐标为_____________________．9. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，D(3，0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB＝1.5，则DE＝_______．10. 如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度．11. 如图，在平面直角坐标系中，以点A为位似中心，把正方形ABCD缩小为原来的一半，得正方形A′B′C′D′，画出图形并写出B′，C′，D′的坐标．12. 已知△ABC的三个顶点坐标如下表：(1)将下表补充完整，并在平面直角坐标系中画出△A′B′C′；(2)观察△ABC与△A′B′C′，写出有关这两个三角形关系的一个正确结论．答案: 1---5 DDDDB 6. (2，1) 7. (4，2)8. (－2，－3)或(2，3) 9. 4.510. 解：(1)AC ∥A ′C ′.理由如下：∵△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴∠A ＝∠C ′A ′B ′，∴AC ∥A ′C ′(2)∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴AB A ′B ′＝ACA ′C ′.∵AB ＝2A ′B ′，∴AC A ′C ′＝21.又∵△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，∴OC O ′C ′＝AC A ′C ′＝21. ∵OC ′＝5，∴OC ＝10，∴CC ′＝OC －OC ′＝10－5＝5 11. 解：图略，有两种情况：①B′(2，0)， C′(2，1)，D′(1，1)； ②B′(0，0)，C′(0，－1)，D′(1，－1) 12. (1) (8，6)(10，2)图略(2) (2)答案不唯一，如△ABC ∽△A′B′C，周长比为1∶2等。

人教版八年级数学上册第27章相似章末复习(含答案)

章末复习(二)　相似01 基础题知识点1　图形的相似1．(邯郸育华中学月考)如图，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是(B )2．如图，四边形ABCD ∽四边形GFEH ，且∠A ＝∠G ＝70°，∠B ＝60°，∠E ＝120°，DC ＝24，HE ＝18，HG ＝21，则∠F ＝60°，∠D ＝110°，AD ＝28．知识点2　平行线分线段成比例3．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是(A )A .＝B .＝CE CB DF DA AD DF CE BC C .＝D .＝CD EF AD AF CE BE AF AD4．(南皮模拟)如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，若AD ＝2BD ，则的值为(A )CF BF A . B . C . D .12131423 知识点3　相似三角形的性质与判定5．(自贡中考)如图，在△ABC 中，MN ∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N .若AM ＝1，MB ＝2，BC ＝3，则MN 的长为1．6．(邯郸育华中学月考)如图，已知△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F .(1)求证：△AFE ∽△ABC ；(2)若∠A ＝60°时，求△AFE 与△ABC 面积之比．解：(1)证明：∵∠AFB ＝∠AEC ＝90°，∠A ＝∠A ，∴△AFB ∽△AEC .∴＝.∴＝.AF AE AB AC AF AB AE AC 又∵∠A ＝∠A ，∴△AFE ∽△ABC .(2)∵∠A ＝60°，∠AEC ＝90°，∴∠ACE ＝30°.∴AE ＝AC .∵△AFE ∽△ABC .12∴＝()2＝()2＝.S △AFE S △ABC AE AC 1214知识点4　相似三角形的应用7．九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度CD ＝3 m ，标杆与旗杆的水平距离BD ＝15 m ，人的眼睛与地面的高度EF ＝1.6 m ，人与标杆CD 的水平距离DF ＝2 m ，则旗杆AB 的高度为13.5m .知识点5　位似8．(滨州中考)在平面直角坐标系中，点C ，D 的坐标分别为C (2，3)，D (1，0)．现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB ＝2，则点C 的对应点A 的坐标为(4，6)或(－4，－6)．02 中档题9．(长沙中考)如图，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的一点M 重合(M 不与端点C ，D 重合)，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，边AB 折叠后与边BC 交于点G ，设正方形ABCD 的周长为m ，△CMG 的周长为n ，则的值为(B )n mA .B .C .D ．随H 点位置的变22125－12化而变化10．(枣庄中考)如图，在矩形ABCD 中，∠B 的平分线BE 与AD 交于点E ，∠BED 的平分线EF 与DC 交于点F ，若AB ＝9，DF ＝2FC ，则BC ＝6＋3．(结果保留根号)211．(河北中考)如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA ′，求四边形AA ′C ′C 的周长．(结果保留根号)解：(1)如图所示．(2)AA ′＝CC ′＝2.在Rt △OA ′C ′中，OA ′＝OC ′＝2，得A ′C ′＝2.2同理可得AC ＝4，2∴四边形AA ′C ′C 的周长为4＋6.212．如图，矩形ABCD 为台球桌面，AD ＝260 cm ，AB ＝130 cm .球目前在E 点位置，AE ＝60 cm .如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点的位置．(1)求证：△BEF ∽△CDF ；(2)求CF 的长．解：(1)证明：由题意，得∠EFG ＝∠DFG .∵∠EFG ＋∠BFE ＝90°，∠DFG ＋∠CFD ＝90°，∴∠BFE ＝∠CFD .又∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDF .(2)∵△BEF ∽△CDF ，∴＝，BE CD BF CF 即＝.∴CF ＝169 cm .70130260－CF CF 13．(杭州中考)如图，在锐角△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF ＝∠GAC .(1)求证：△ADE ∽△ABC ；(2)若AD ＝3，AB ＝5，求的值．AF AG解：(1)证明：∵AF ⊥DE ，AG ⊥BC ，∴∠AFE ＝90°，∠AGC ＝90°.∴∠AEF ＝90°－∠EAF ，∠C ＝90°－∠GAC ，又∵∠EAF ＝∠GAC ，∴∠AEF ＝∠C .又∵∠DAE ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC .(2)∵△ADE ∽△ABC ，∴∠ADE ＝∠B .又∵∠AFD ＝∠AGB ＝90°，∴△AFD ∽△AGB .∴＝.AF AG AD AB ∵AD ＝3，AB ＝5，∴＝.AF AG 3503 综合题14．(眉山中考)如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接DE ，过顶点B 作BF ⊥DE ，垂足为F ，BF 分别交AC 于H ，交CD 于G .(1)求证：BG ＝DE ；(2)若点G 为CD 的中点，求的值．HG GF解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE ＝90°.∵BF ⊥DE ，∴∠BFD ＝90°.∵∠BGC ＝∠DGF ，∴∠CBF ＝∠GDF .∴△BCG ≌△DCE .∴BG ＝DE .(2)设正方形ABCD 的边长为a ，∵点G 是CD 的中点，∴CB ＝a ，CG ＝GD ＝a .∴BG ＝a .1252∵∠CBG ＝∠GDF ，∠BGC ＝∠DGF ，∴△BCG ∽△DFG .∴＝，即＝.∴GF ＝a .GF GC DG BG GF12a 12a 52a 510又∵AB ∥CD ，∴＝＝.∴＝.CG BA HG HB 12HGGB 13∴GH ＝GB ＝a .∴＝＝.1356HG GF 56a 510a53。

九年级数学下册第二十七章相似易错知识点总结(带答案)

九年级数学下册第二十七章相似易错知识点总结单选题1、如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法正确的有（）个①S△ABC:S△A′B′C′=1:2②AB:A′B′=1:2③点A，O，A′三点在同一条直线上④BC∥B′C′A．1B．2C．3D．4答案：C分析：根据位似图形的概念和相似三角形的性质判断即可．解：以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，则△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1：2，∴S△ABC：S△A′B′C′=1：4，故①选项说法错误；∴AB：A′B′=1：2，点A，O，A′三点在同一条直线上，BC∥B′C′，②③④说法正确；故选C．小提示：本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．2、如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（）A．∠AED=∠B B．ADAC =AEABC．AD·BC= DE·AC D．DE//BC答案：C分析：根据相似三角形的判定定理去判断分析即可．∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故A不符合题意；∵ADAC =AEAB，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故B不符合题意；∵AD·BC= DE·AC，无夹角相等，∴不能判定△ADE∽△ACB，故C符合题意；∵DE//BC，∴△ADE∽△ACB，故D不符合题意；故选C．小提示：本题考查了三角形相似的判定条件，熟练掌握判定三角形相似的基本方法是解题的关键．3、如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③答案：B分析：分别根据网格的特点求得各三角形三边的长，根据三边对应成比例判断两三角形相似即可．解：根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：√2，2，√10，②号三角形的三边长分别为：√2，√5，3，③号三角形的三边长分别为：2，2√2，2√5，④号三角形的三边长分别为：√2，3，√17，∵√22=2√2=√102√5√22，∴①与③相似，故B选项正确，符合题意；其他选项不正确故选：B．小提示：本题考查了网格中判断相似三角形，分别求得各三角形的边长是解题的关键．4、如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB=1.2m，BC=12.8m，则建筑物CD的高是( )A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m答案：A分析：先求得AC，再说明△ABE∽△ACD，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可．解：∵AB=1.2m，BC=12.8m∴AC=1.2m+12.8m=14m∵标杆BE 和建筑物CD 均垂直于地面∴BE//CD∴△ABE ∽△ACD∴AB BE =AC CD ,即1.21.5=14CD ,解得CD=17.5m ．故答案为A ．小提示：本题考查了相似三角形的应用，正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键．5、线段AB 的长为2，点C 是线段AB 的黄金分割点，则线段AC 的长可能是（）A ．√5+1B ．2﹣√5C ．3﹣√5D ．√5﹣2答案：C分析：根据黄金分割点的定义，知AC 可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可．解：分两种情况讨论（1）如图，∵点C 是线段AB 的黄金分割点，AB ＝2，∴AC ＝√5−12AB ＝√5−12×2＝√5﹣1，或如图，AC ＝2﹣（√5﹣1）＝3﹣√5，故选：C ．小提示：本题主要考查了黄金分割的定义，熟记黄金分割的比值是解题的关键．6、如图，将ΔABC 沿BC 边上的中线AD 平移到ΔA ′B ′C ′的位置．已知ΔABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA ′=1，则A ′D 等于（）A．2B．3C．4D．32答案：B分析：由S△ABC＝16、S△A′EF＝9且AD为BC边的中线知SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，根据△DA′E∽△DAB知(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，据此求解可得．∵SΔABC=16、SΔA′EF=9，且AD为BC边的中线，∴SΔA′DE=12SΔA′EF=92，SΔABD=12SΔABC=8，∵将ΔABC沿BC边上的中线AD平移得到ΔA′B′C′，∴A′E//AB，∴ΔDA′E∼ΔDAB，则(A′DAD )2=SΔA′DESΔABD，即(A′DA′D+1)2=298=916，解得A′D=3或A′D=−37（舍），故选B．小提示：本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．7、如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝α，BC＝12，点D是边AB上一点，且BD＝4，点P是边BC上一动点，作∠DPE＝α，射线PE交边AC于点E，当CE＝9时，则满足条件的P点的个数是（）A．1B．2C．3D．以上都有可能答案：A分析：由已知得∠ABC＝∠ACB＝α，再证明∠EPC＝∠PDB，则可判断△PDB∽△EPC，利用相似比得到BD：PC ＝PB：CE，设PB＝x，则PC＝10﹣x，CE＝9时，所以x2﹣12x+36＝0，根据判别式的意义得到Δ＝0，即原方程只有一个实数根即可选出答案．解：∵△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝α，∵∠DPC＝∠B+∠PDB，即∠DPE+∠EPC＝∠B+∠PDB，而∠DPE＝α，∴∠EPC＝∠PDB，而∠ABC＝∠ACB，∴△PDB∽△EPC，∴BDPC =PBCE，设PB＝x，则PC＝12﹣x，当CE＝9时，∴412−x =x9，∴x2﹣12x+36＝0，∵Δ＝（﹣12）2﹣4×36＝0，原方程只有一个实数根，∴点P有且只有一个，故选A．小提示：本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8、如图，直线AB ∥CD ∥EF ，若AC =3，CE =4，则BD BF 的值是（）A ．34B ．43C ．37D ．47 答案：C分析：由平行线分线段成比例直接得到答案．解：∵AB ∥CD ∥EF∴BD BF =AC AE ∵AC =3，CE =4∴BD BF =37，故选C ．小提示：本题考查的是平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例．9、神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（）A ．平移B ．旋转C ．轴对称D ．黄金分割答案：D分析：根据黄金分割的定义即可求解．解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．故选：D小提示：本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称部分与较大部分的比值，其比值为√5−12为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．10、生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0．618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（）A．1．24米B．1．38米C．1．42米D．1．62米答案：A分析：根据a:b≈0.618，且b=2即可求解．解：由题意可知，a:b≈0.618，代入b=2，∴a≈2×0.618=1.236≈1.24．所以答案是：A小提示：本题考查了黄金分割比的定义，根据题中所给信息即可求解，本题属于基础题．填空题11、如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：OD＝_____．答案：4:3##43分析：根据位似图形具有相似三角形的性质即可得出结果．解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，∴AO：OD=4：3，所以答案是：4：3．小提示：本题考查了位似变换，正确掌握位似变换的性质是解题的关键．12、如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件_________，使△ADE∽△ABC．答案：∠ADE=∠B（答案不唯一）．分析：已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定．解∶∵∠A=∠A，∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证△ADE∽△ABC相似；根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件ADAB =AEAC证△ADE∽△ABC相似．故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）．小提示：此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．13、△AOB三个顶点的坐标分别为A(5,0)，O(0,0)，B(3,6)，以原点O为位似中心，相似比为23，将△AOB缩小，则点B的对应点B′的坐标是________．答案：（2，4）或（-2，-4）##（-2，-4）或（2，4）．分析：根据位似变换的性质解答即可．解：∵△AOB 顶点B 的坐标为（3，6），以原点O 为位似中心，相似比为23，将△AOB 缩小， ∴点B 的对应点B ′的坐标为（3×23，6×23）或（3×（-23），6×（-23）），即（2，4）或（-2，-4），所以答案是：（2，4）或（-2，-4）．小提示：本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．14、如图，已知AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB ＝1，CD ＝3，则EF 的长为_______．答案：34 分析：易证△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，根据相似三角形的性质可得EF AB =DF DB ，EF CD =BF BD ，从而可得EF AB +EF CD =BF BD+DF BD =1，然后把AB =1，CD =3代入即可求出EF 的值．解：∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ，∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF AB =DF DB ，EF CD =BF BD ， ∴EF AB +EF CD =BF BD +DF BD =1，∵AB =1，CD =3，∴EF 1+EF 3=1， ∴EF =34，所以答案是：34．小提示：本题考查相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．15、如图，D是ΔABC边AB延长线上一点，请添加一个条件_______，使ΔACD∽ΔABC．答案：AC＝AB•AD（答案不唯一）分析：根据相似三角形的判定添加适当的条件即可．解：添加：AC＝AB•AD∵AC＝AB•AD∴ACAB =ADAC∵∠A＝∠A∴ΔACD∽ΔABC．所以答案是：AC＝AB•AD（答案不唯一）．小提示：本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．解答题16、如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC 和格点0.(1)以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到ΔA1B1C1，在网格中画出ΔA1B1C1；(2)将△ABC绕点0逆时针旋转90°得ΔA2B2C2，画出ΔA2B2C2；答案：(1)作图见解析(2)作图见解析分析：（1）利用相似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；（2）解：如图，△A2B2C2即为所求．小提示：本题考查作图﹣旋转变换，相似变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，相似变换的性质，属于中考常考题型．17、已知：a:b:c=2:3:5.（1）求代数式3a−b+c2a+3b−c的值；（2）如果3a−b+c=24，求a,b,c的值.答案：（1）1；（2）a=6,b=9,c=15分析：（1）设a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)，代入代数式3a−b+c2a+3b−c，即可求出答案；（2）把a、b、c的值代入，求出即可．∵a:b:c=2:3:5∴设a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)，（1）3a−b+c2a+3b−c =6k−3k+5k4k+9k−5k=8k8k=1；（2）∵3a−b+c=24∴6k-3k+5k=24，∴k=3，∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.小提示：本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．18、若xa−b =yb−c=zc−a，求x+y+z的值．答案：0分析：设xa−b =yb−c=zc−a=k，则x=k(a−b)，y=k(b−c)，z=k(c−a)，然后计算即可得到答案．解：∵xa−b =yb−c=zc−a，设xa−b =yb−c=zc−a=k，∴x=k(a−b)，y=k(b−c)，z=k(c−a)，∴x+y+z=k(a−b)+k(b−c)+k(c−a)=ka−kb+kb−kc+kc−ka=0；小提示：本题考查了比例的性质，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握比例的性质进行解题．。

九年级数学下册第二十七章相似27.3位似练习新人教版(2021年整理)

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《27。

3。

1位似（1）》◆ 基础题1。

下列说法不正确的是（） A ．位似图形一定是相似图形 B. 相似图形不一定是位似图形C 。

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D 。

位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行2．如图,已知BC ∥DE ，则下列说法中不正确的是（） A ．两个三角形是位似图形 B ．点A 是两个三角形的位似中心 C ．AE ︰AD 是位似比D ．点B 与点E 、点C 与点D 是对应位似点3．把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为________.◆ 能力题4．将一个菱形放在2倍的放大镜下,则下列说法中不正确的是（）A ．菱形的边长扩大到原来的2倍B ．菱形的角的度数不变C ．菱形的面积扩大到原来的2倍D ．菱形的面积扩大到原来的4倍 5．如图，DC ∥AB ，OA =2OC ，,则OCD △与OAB △的位似比是________. 6．如图,以A 为位似中心，将△ADE 放大2倍后，得位似图形△AB C ，若 1S 表示△ADE 的面积,2S 表示四边形DBCE 的面积,则21:S S =( )A ． 1︰2B ．1︰3C ．1︰4D ．2︰3提升题7．雨后操场,小明从他前面2米远的一小块积水中看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水的距离为20米，小明眼睛离地面1。

九年级数学下册第二十七章相似知识集锦(带答案)

九年级数学下册第二十七章相似知识集锦单选题1、如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA:OA1=1:2，则△ABC与△A1B1C1的周长比是（）A．1:2B．1:3C．1:4D．1:√2答案：A分析：根据位似图形的概念得到ΔABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，进而得出ΔAOC∽△A1OC1，根据相似三角形的性质解答即可．解：∵ΔABC与△A1B1C1位似，∴ΔABC∽△A1B1C1，AC//A1C1，∴ΔAOC∽△A1OC1，∴ACA′C′=OAOA′=12，∴ΔABC与△A1B1C1的周长比为1:2，故选：A．小提示：本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位似图形的对应边平行是解题的关键．2、一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为5cm，则它的最大边长为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm答案：C分析：设它的最大边长为x cm，根据相似图形的性质求解即可得到答案解：设它的最大边长为x cm，∵两个四边形相似，∴15=4x，解得x=20，即该四边形的最大边长为20cm．故选C．小提示：本题考查了相似多边形的性质，牢记“相似多边形对应边的比相等”是解题的关键．3、如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为（）A．1米B．2米C．3米D．4米答案：B分析：利用相似三角形的性质即可求得DE的长．如图，∵FB∥PA，GD∥PA，∴△CFB∽△CPA，△EGD∽△EPA．∴FBPA =BCAC,GDPA=DEAE．∵FB=GD=1.6米，AB=BD=4米，BC=1米，∴AC=AB+BC=4+1=5（米），AE=AB+BD+DE=4+4+DE=(8+DE)米，∴BCAC =DEAE=15．∴AE=5DE，即8+DE=5DE，解得：DE =2．即此时影长为2米．故选：B ．小提示：本题考查了相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．4、如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 上一点，AE =2ED ，连接BE 交AC 于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点F ，则BG GF 的值为（）A ．23B ．12C ．13D ．34 答案：A分析：先根据平行四边形的性质得到AB ∥CD ，则可判断△ABG ∽△CFG ，△ABE ∽△DFE ，于是根据相似三角形的性质和AE ＝2ED 即可得结果．解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，∴△ABG ∽△CFG ，∴BG GF ＝AB CF ∵△ABE ∽△DFE ，∴AE DE ＝AB DF ，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴ABCF ＝23，∴BGGF ＝23．故选：A．小提示：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．5、如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到的两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（）A．2：1B．1：2C．3：2D．√2：1答案：D分析：表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解即可．解：设原来矩形的长为x，宽为y，如图，则对折后的矩形的长为y，宽为x2，∵得到的两个矩形都和原矩形相似，∴x：y=y：x2，解得x：y=√2:1．故选：D．小提示：本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握．6、如图，△ABC中，DE//FG//BC，且AD:DF:FB=1:1:1，则△ABC被分成的三部分面积之比S1:S2:S3=（）A．1∶1∶1B．1∶2∶3C．1∶3∶5D．1:√2:√3答案：C分析：由已知证得△ADE∽△AFG∽△ABC，其相似比分别是1：2：3，则面积的比是1：4：9，可求S1：S2：S3＝1：3：5．解：根据DE//FG//BC，得到△ADE∽△AFG∽△ABC，∵AD:DF:FB=1:1:1，∴AD:AF:AB=1:2:3，即△ADE、△AFG、△ABC的相似比是1∶2∶3，∴△ADE、△AFG、△ABC的面积比是1∶4∶9，设△ADE的面积是a，则△AFG的面积是4a，△ABC的面积是9a，则S1=a,S2=4a−a=3a,S3=9a−4a=5a，∴S1:S2:S3=1:3:5．故选：C小提示：本题考查了相似三角形面积比与相似比的关系，熟知相似三角形面积比等于相似比的平方，还要熟练掌握比例的性质．7、如图，在△APM的边AP上任取两点B，C，过B作AM的平行线交PM于N，过N作MC的平行线交AP于D．若PAPB =43，则PCPD的值为（）．A ．32B ．43C ．2D ．3答案：B分析：根据AM ∥BN ，可以得到PM PN =PA PB =43，再根据MC ∥ND ，即可得到PC PD =PM PN =43. 解：∵AM ∥BN ，∴PM PN =PA PB =43，又∵MC ∥ND ，∴PC PD =PM PN =43，故选B.小提示：本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理.8、在比例尺为1∶100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm ，它的实际长度约为（）A ．100kmB ．2000mC ．10kmD ．20km答案：B分析：根据实际距离=图上距离÷比例尺列出算式，再进行计算即可．解：2÷1100000=200000（cm ）=2（km ），答：甲、乙两地的实际距离是2000m ．故选：B ．小提示：此题考查了比例线段，掌握图上距离、实际距离和比例尺的关系是解题的关键，注意单位的换算．9、如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2:3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（）A．4B．6C．9D．16答案：B分析：根据周长之比等于位似比计算即可．设△DEF的周长是x，∵△ABC与△DEF位似，相似比为2:3，△ABC的周长为4，∴4：x=2：3，解得：x=6，故选：B．小提示：本题考查了位似的性质，熟练掌握位似图形的周长之比等于位似比是解题的关键．10、在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．答案：C分析：要使△ACD∽△CBD，则∠ADC=∠CDB，即可推出∠ADC=∠CDB=90°，则CD是AB边的垂线即可，由此求解即可．解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD．根据作图痕迹可知，A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；故选C．小提示：本题主要考查了相似三角形的判定，作垂线，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件．填空题11、如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形A′B′C′，使它与△ABC位似，且相似比为3：1．若四边形OA′C′B′是边长为6的菱形，则点A的坐标为______．答案：(√3,1)分析：根据菱形的性质、等边三角形的性质求出A′(3√3，3)，通过相似比即可得A的坐标.解：若四边形OA′C′B′是边长为6的菱形，.∵ΔA′B′C′是等边三角形∴∠A′OC′=30°则A′(3√3，3)∵ΔA′B′C′∼ΔABC，且相似比为3：1∴A(√3，1)所以答案是：(√3，1)小提示：本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质、位似图形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．12、如图，△ABC沿AC平到△A'B'C'，A'B'交BC于点D，若AC＝6，D是BC的中点，则C'C＝_____．答案：3分析：证明AA′=CA′=3，即可得出结论；由平移的性质可知：AD′//AB，∵ D的为BC的中点，∴ BD=CD，∵AC=6，∴AA′=CA′=3，∴CC′=AA′=3，所以答案是：3．小提示：本题考查了平移的性质，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用知识点解决问题．13、在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8，过点B作射线BM∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动，同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒2个单位的速度运动．过点E 作EF ⊥AC 交射线BM 于F ，G 是EF 中点，连接DG ．设点D 运动的时间为t ，当△DEG 与△ACB 相似且点D 位于点E 左侧时，t 的值为_____________．答案：3或23##23或3分析：若ΔDEG 与ΔACB 相似，分情况讨论，则DE EG =AC BC 或DE EG =BC AC ，由相似三角形的性质可求解．解：如下图：∵EF =BC =8，G 是EF 的中点，∴GE =4．点D 位于点E 左侧时，即AD <AE ，∴3t <6+2t ，解得：t <6，∴DE =AE −AD =6+2t −3t =6−t ，若ΔDEG 与ΔACB 相似，则DE EG =AC BC 或DE EG =BC AC ，∴ 6−t 4=68或6−t 4=86， ∴t =3或t =23所以答案是：3或23．小提示：本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是利用分类讨论思想解决问题．14、如图，在△ABC 中，AB =8cm ,AC =16cm ，点P 从A 出发，以2cm/s 的速度向B 运动，同时点Q 从C 出发，以3cm/s 的速度向A 运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t ．（1）用含t的代数式表示：AQ=_______；（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间t=________答案：16−3t##−3t+16167秒或4秒分析：（1）根据路程=速度×时间，即可表示出AQ的长度.（2）此题应分两种情况讨论．①当△APQ∽△ABC时；②当△APQ∽△ACB时．利用相似三角形的性质求解即可．解：（1）由题意可知：AQ=16−3t，（2）连接PQ，∵∠PAQ=∠BAC，∴当APAB =AQAC时，△APQ∽△ABC，即2t8=16−3t16，解得t=167；当APAC =AQAB时，△APQ∽△ACB，即2t16=16−3t8，解得t=4．∴运动时间为167秒或4秒．所以答案是：16−3t；167秒或4秒小提示：考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键，注意不要漏解．15、如图，AD⊥BC，垂足为C，BF⊥BC，点P为线段BC上一动点，连接AP，过D作DE⊥AP交BF于E，连接PE，若AC=BC=4，CD=1，则PE长的最小值为______．答案：√5分析：设DE 交AP 于点Q ，DE 交BC 于点H ，根据DE ⊥AP ，确定点Q 在以AD 为直径的圆周上运动，得到当点Q 与点P 重合时，PE 最小，此时，点Q 、点P 与点H 重合，取AD 的中点O ，连接OP ，利用勾股定理求出CP ，再证明△CDP ≌△BPE ，利用勾股定理求出答案．解：设DE 交AP 于点Q ，DE 交BC 于点H ，∵DE ⊥AP ，∴∠AQD =∠EQP =90°，∴点Q 在以AD 为直径的圆周上运动，当点Q 与点P 重合时，PE 最小，此时，点Q 、点P 与点H 重合，取AD 的中点O ，连接OP ，∴OA =OD =OP =52，OC =32,∴CP =√OP 2−OC 2=√(52)2−(32)2=2， ∵AD ∥BF ，∴△CPD ∽△BPE ，∵BP =CP =2，∴△CDP ≌△BPE ，∴PE =PD =√CD 2+CP 2=√5，所以答案是：√5．小提示：此题考查图形中的动点问题，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定，正确理解点Q的位置与点P的位置确定PE的最小值位置是解题的关键．解答题16、已知：a：b：c＝3：4：5（1）求代数式3a−b+c2a+3b−c的值；（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．答案：（1）1013；（2）a=3，b=4，c=5分析：（1）根据比例设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解；（2）先设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后将其代入3a-b+c=10，即可求得a、b、c的值．（1）∵a：b：c=3：4：5，∴设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），则3a−b+c2a+3b−c =9k−4k+5k6k+12k−5k=10k13k=1013；（2）设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），代入3a﹣b+c＝10得：9k-4k+5k=10，解得k=1．则a=3k=3，b=4k=4，c=5k=5．小提示：本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．17、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，DE BC =14．(1)若AB=8，求线段AD的长．(2)若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．答案：(1)2(2)6分析：（1）利用平行四边形对边平行证明△ADE∽△ABC，得到DEBC =ADAB即可求出；（2）利用平行条件证明△ADE∽△EFC，分别求出△ADE与△EFC、△ADE与△ABC的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出S△EFC、S△ABC，最后通过S▱BFED=S△ABC−S△EFC−S△ADE求出．（1）∵四边形BFED是平行四边形，∴DE∽BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =ADAB，∵DEBC =14，∴ADAB =14，∴AD=14AB=14×8=2；（2）∵四边形BFED是平行四边形，∴DE∽BC，EF∽AB，DE=BF，∴∠AED=∠ECF,∠EAD=∠CEF，∴△ADE∽△EFC∴S△ADES△EFC =(DEFC)2，∵DEBC =14，DE=BF，∴FC =BC −DE =4DE −DE =3DE ，∴DE FC =DE 3DE =13， ∴S △ADE S △EFC =(DE FC )2=(13)2=19，∵△ADE ∽△ABC ，DE BC =14，∴S △ADES △ABC =(DE BC )2=(14)2=116， ∵S △ADE =1，∴S △EFC =9,S △ABC =16，∴S ▱BFED =S △ABC −S △EFC −S △ADE =16−9−1=6．小提示：本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．18、如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝3，点E 为线段AB 的三等分点（靠近点A ），点F 为线段CD 的三等分点（靠近点C ），且CE ⊥AB ．将△BCE 沿CE 对折，BC 边与AD 边交于点G ，且DC ＝DG ．（1）证明：四边形AECF 为矩形；（2）求四边形AECG 的面积．答案：（1）见解析；（2）7√34分析：（1）由已知可得AE =13AB ，CF =13CD ，能得到AE =CF ，AE ∥CF ，再由CE ⊥AB ，即可证明四边形AECF 为矩形；（2）由折叠可知B 'E =BE =2，求得AB '=1，先证明∠B '=∠B 'GA ，能得到AB '=AG =1，再由AB '∥CD ，得到B ′G CG =AG DG 即B ′G 4−B ′G =13，得到B 'G =1，能得到△AGB '是等边三角形，所求四边形AECG 的面积等于直角三角形EB 'C 与等边三角形AGB '的差．（1）证明：∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵点E为线段AB的三等分点（靠近点A），∴AE=1AB，3∵点F为线段CD的三等分点（靠近点C），∴CF=1CD，3∴AE=CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE⊥AB，∴四边形AECF为矩形；（2）∵AB=3，∴AE=CF=1，BE=2，∵将△BCE沿CE对折得到△ECB'，∴B'E=BE=2，∴AB'=1，∵DC=DG=3，∴∠DGC=∠DCG，∵BB'∥CD，∴∠DCG=∠B'，∴∠B'=∠DGC，∵∠DGC=∠B'GA，∴∠B'=∠B'GA，∴AB'=AG=1，∴DA=BC=B'C=4，∵AB '∥CD ，∴B ′G CG =AG DG ， ∴B ′G4−B ′G =13， ∴B 'G =1，∴△AGB '是等边三角形，∴A B '=AG =B 'G =1，作GH ⊥A B '于H ，则AH =12A B '=12，∴GH =√AG 2−GH 2=√32，在Rt △BCE 中，BC =4，BE =2，∴EC =√BC 2−BE 2=2√3，∴S 四边形AECG=S △EB'C -S △AB 'G =12×2×2√3−12×1×√32=7√34．小提示：本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理；利用平行线分线段成比例定理，确定△AGB '是等边三角形是解本题的关键．。

七年级数学专题训练27 以形借数——借助图形思考(附答案)

七年级数学专题训练27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面：1．从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能．2．有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解．阅读与思考【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有____________种。

（“五羊杯”竞赛试题）x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,,≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。

++=。

不妨设x y z9x y z【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。

根据图像进行一下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为___________km。

（2）请解释图中点B的实际意义。

图像理解（3）求慢车和快车的速度。

（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。

在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。

人教版初三数学九年级下册第27章相似 27.3 位似同步训练题含答案

第27章相似 27.3 位似同步训练题1. 位似图形的位似中心可以在( )A ．原图形外B ．原图形内C ．原图形上D ．以上三种可能都有2. 如图所示3个图形中是位似图形的有( )A ．1个B ．2个 C.3个 D ．0个3. 已知：△ABC ∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC 与△A′B′C′不存在位似关系的是( )4. 已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，以点A 为位似中心把△ABC 的各边放大2倍后得到△AB′C′，则∠B 的对应角∠B′的度数为( )A ．36°B ．54° C.72° D ．144°5．如图是△ABC 的位似图形的几种画法，其中正确的有( )A ．1个B ．2个 C.3个 D ．4个6. 下列图形中不是位似图形的是( )7．如图，四边形ABCD 与四边形A′B′C′D 是以O 为位似中心的位似图形，若OA ∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D 的面积比是( )A ．4∶9B ．2∶5 C.2∶3 D ．2∶ 38. 按如下方法，将△ABC 的三边缩小到原来的12，如图，任取一点O ，连AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，得△DEF ，则下列说法正确的个数是( ) ①△ABC 与△DEF 是位似图形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2；④△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1A ．1B ．2 C.3 D ．49. 如图，A′B′∥AB ，B′C′∥BC ，且OA′∶A′A＝4∶3，则△ABC 与是位似图形，相似比为；△OAB 与是位似图形，相似比为 .10. 如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 位似，位似中心点是O ，OE OA ＝35，则FG BC＝ .11. 如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA ＝10cm ，OA ′＝20cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B ′C′D′E′的周长的比值是______．12. 如图，原点O 是△ABC 和△A ′B′C′的位似中心，点A(1，0)与A′(－2，0)是对应点，△ABC 的面积是32，则△A′B′C′的面积是________．13．如图，以O 为位似中心，将边长为256的正方形OABC 依次作位似变化，经第一次变化后得正方形OA 1B 1C 1，其边长OA 1缩小为OA 的12，经第二次变化后得正方形OA 2B 2C 2，其边长OA 2缩小为OA 1的12，经第三次变化后得正方形OA 3B 3C 3，其边长OA 3缩小为OA 2的12，…，依此规律，经第n 次变化后，所得正方形OA n B n C n 的边长为正方形OABC 边长的倒数，则n ＝________.14. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则大鱼上的一点(a ，b)对应小鱼上的点的坐标是_____________________．15. 如图，△DEO 与△ABO 是位似图形，△OEF 与△OBC 是位似图形，试说明：OD·OC＝OF·OA.16. 如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均在小正方形的顶点．(1)以O 为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC 位似，且相似比为1∶2；(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C 的周长．(结果保留根号)17. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥BC 于E 点，连接DE 交OC 于F 点，作FG ⊥BC 于G 点，则△ABC 与△FGC 是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出相似比；若不是，请说明理由．参考答案;1---8 DBDCD CAC9. △A′B′C′ 7∶4△OA′B′ 7∶410. 3511. 1212. 613. 814. (－0.5a ，－0.5b)15. 证明：∵△DEO 与△ABO 是位似图形，∴△DEO ∽△ABO ，∴OD OA ＝OE OB ＝DE AB，同理：OF OC ＝OE OB ，∴OD OA ＝OF OC，∴OD·OC＝OF·OA. 16. 解：(1)如图(2)四边形AA′C′C 的周长为4＋6 2.17. 解：△ABC 与△FGC 是位似图形，位似中心是点C.因为在矩形ABCD 中，AD∥BC ，所以∠FAD ＝∠FCE ，∠FDA ＝∠FEC ，所以△AFD ∽△CFE ，所以CF AF ＝CE AD.因为AD ＝BC ，所以CF AF ＝CE CB.因为∠ABC ＝90°，OE ⊥BC ，所以OE ∥AB.因为OA ＝OC ，所以CE ＝12BC ，所以CF AF ＝12，所以CF AC ＝13.即△ABC 与△FGC 的相似比为3∶1.。

初中数学培优专题学习专题27 以形借数——借助图形思考

专题27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面：1．从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能．2．有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解．阅读与思考【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有____________种。

++=。

根据图像进行一下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为___________km。

（2）请解释图中点B的实际意义。

图像理解（3）求慢车和快车的速度。

（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。

在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。

部编数学八年级上册专题27(x+a)(x+b)型乘法(解析版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题27 （x+a ）（x+b ）型乘法1．若2()(2)6x m x x nx -+=+-，则m n +的值是（）A ．2B ．-2C ．4D ．-4【答案】A【分析】利用多项式乘多项式的法则计算即可．【详解】解：∵()22()(2)=22=6-++--+-x m x x m x m x nx ，∴2=-m n ，即=2m n +，故选：A【点睛】本题考查多项式乘多项式的法则，解题的关键是掌握多项式乘多项式法则，找出2=-m n ．2．若2(3)(1)3x x x mx -+=+-，则常数m 的值是（）A ．2m =-B ．2m =C ．3m =-D ．3m =【答案】A【分析】根据多项式乘多项式法则即可求出答案．【详解】解：∵（x -3）（x +1）=x 2-2x -3，∴m =-2，故选A ．【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．3．若（x -a ）（x -5）=x 2-bx +10，则a +b 的值为（）A ．2B ．5C ．7D ．9【答案】D【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．【详解】解：∵（x -a ）（x -5）=x 2-bx +10，∴x 2-（5+a ）x +5a =x 2-bx +10，∴5+a =b ，5a =10，∴a =2，b =7，∴a +b =2+7=9，故选：D ．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．4．()()23515x x x px --=++，则p 的值是（）A ．－3B ．8C ．－8D ．－5【答案】C 【分析】利用多项式乘以多项式计算()()35x x --的值，然后利用一次项系数相等得到p 的值．【详解】解：()()235581x x x x ---=+Q ，2215158x x x px \+=++-，8p \=-．故选：C ．【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．5．若多项式()()213x x x ax b +-=++，则a ，b 的值分别是（）A ．2a =，3b =B ．2a =-，3b =-C ．2a =-，3b =D ．2a =，3b =-【答案】B 【分析】首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出a ，b 的值，即可得出答案．【详解】解：∵（x +1）（x -3）=x 2-2x -3=x 2+ax +b ，故a =-2，b =-3，故选：B ．【点睛】本题主要考查了多项式乘法，正确利用多项式乘多项式的法则用将原式展开是解题关键．6．若（x +2）（x ﹣5）＝x 2﹣mx ﹣10，则m 值为（）A ．3B ．﹣3C ．±3D ．10【答案】A【分析】根据整式的乘法法则计算等式的左边，由此即可得出答案．【详解】解：因为()()22255210310x x x x x x x +-=-+-=--，所以2231010x x x mx --=--，所以3m =，故选：A ．【点睛】本题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．7．计算：()()1 2x x ++=________．【答案】232x x ++【分析】直接根据多项式乘以多项式运算法则求解即可．【详解】解：()()22122232x x x x x x x ++=+++=++，故答案为：232x x ++．【点睛】题目主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．8．计算：（x +3）（x +5）＝_____．【答案】2815x x ++【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算．【详解】解：（x +3）（x +5）＝x 2+5x +3x +15＝x 2+8x +15故答案为：x 2+8x +15．【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于熟练掌握多项式乘多项式的运算法则．9．乘积(5)(2)x x +-的计算结果是_______．【答案】2310x x +-【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则即可得．【详解】解：22(5)(2)2510310x x x x x x x +-=-+-=+-，故答案为：2310x x +-．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．10．计算：（x 2﹣3）（x 2＋5）＝___．【答案】42215x x +-【分析】根据多项式乘以多项式进行计算即可．【详解】（x 2﹣3）（x 2＋5）4225315x x x =+--42215x x =+-故答案为：42215x x +-．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，正确的计算是解题的关键．11．若（x +2）（x ﹣3）＝x 2﹣x +m ，则m 的值为__________．【答案】-6【分析】首先利用多项式乘以多项式计算（x +2）（x -3），然后可得x 2-x -6=x 2-x +m ，再使常数项相等可得m 的值．【详解】解：（x +2）（x -3）=x 2-3x +2x -6=x 2-x -6，∵（x +2）（x -3）=x 2-x +m ，∴x 2-x -6=x 2-x +m ，∴m =-6．故答案为：-6．【点睛】此题主要考查了多项式乘以多项式，关键是掌握多项式乘法法则．12．若()()225x x x mx n =-+++（,m n 为常数），则m =______，n =______．【答案】 3 -10【分析】直接利用多项式乘多项式进而计算得出答案．【详解】解：∵（x -2）（x +5）=x 2+mx +n （m 、n 为常数），∴x 2+3x -10=x 2+mx +n （m 、n 为常数），∴m =3，n =-10，故答案为：3，-10．【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．13．如果2(1)(2)x x x px q --=++，则p q +=_________．【答案】-1【分析】将等式左边展开，再合并同类项，根据系数相等可得p 、q 的值，代入计算即可．【详解】解：∵(1)(2)x x --=222x x x --+=232x x -+=2x px q++∴p =-3，q =2，∴p +q =-3+2=-1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．14．()()56x x +-=__________．【答案】x 2-x -30【分析】依据多项式乘多项式法则进行计算即可．【详解】解：原式=x2-6x+5x-30=x2-x-30．故答案为：x2-x-30．【点睛】本题主要考查的是多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．15．（x-2）（x+1）=______．【答案】x2-x-2【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，然后合并同类项，即可得到结果．【详解】解：（x-2）（x+1）=x2+x-2x-2=x2-x-2．故答案为：x2-x-2．【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键，注意各项的符号．16．如果x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5），求3A﹣B的值．【答案】21.【分析】根据整式的乘法，可得相等的整式，根据相等整式中同类项的系数相等，即可求解．【详解】解：x2+Ax+B＝（x﹣3）（x+5）＝x2+2x﹣15，得A＝2，B＝﹣15．3A﹣B＝3×2+15＝21．故答案为21．【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是利用整式的乘法得出相等整式中同类项的系数相等．17．观察下列各式：(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6.(x＋5)(x－2)＝x2＋3x－10.(x＋3)(x＋6)＝x2＋9x＋18.(x＋9)(x－10)＝x2－x－90.可以看出：两个一次二项式相乘，结果是一个____次____项式，其中一次项系数和常数项分别和原来的两个二项式的常数项具有怎样的关系？请利用你的结论直接写出下面两个一次二项式相乘的结果．(x＋5)(x－1)＝____．(a＋11)(a－30)＝____．【答案】二次三项式；其中一次项系数和常数项分别和原来的两个二项式的常数项之和与积相等；x 2＋4x －5；a 2－19a －330.【分析】根据题意，可得规律：两个一次二项式相乘，结果是一个二次三项式，其中一次项的系数、常数项分别和原来的两个二项式的常数项之和、常数项之积相等．据此计算下列2个二项式相乘的结果．【详解】根据题意，可得规律：两个一次二项式相乘，结果是一个二次三项式，其中一次项系数和常数项分别和原来的两个二项式的常数项之和与积相等．∴(x ＋5)(x －1)＝x 2＋4x －5，(a ＋11)(a －30)＝a 2－19a －330.故答案为二次三项式；其中一次项系数和常数项分别和原来的两个二项式的常数项之和与积相等；x 2＋4x －5；a 2－19a －330.【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是根据题意得到规律.18．在分解因式时2x ax b ++时，甲看错了a 的值，分解的结果是(1)(9)x x ++；乙看错了b 的值，分解的结果是(2)(4)x x --．那么2x ax b ++分解因式正确的结果是多少？为什么？【答案】()23x -，理由见解析【分析】根据甲、乙看错的情况下得出a 、b 的值，进而再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：∵(1)(9)x x ++2109x x =++∴9b =∵(2)(4)x x --268x x =-+∴6a =-∴2x axb ++()22693x x x =-+=-【点睛】本题考查了多项式的乘法与因式分解，正确的计算是解题的关键．19．甲、乙同学在分解因式：mx 2+ax +b 时，甲仅看错了a ，分解结果为2（x ﹣1）（x ﹣9）；乙仅看错了b ，分解结果为2（x ﹣2）（x ﹣4），求m 、a 、b 的正确值，并将mx 2+ax +b 分解因式．【答案】m ＝2，a ＝﹣12，b ＝18；2（x ﹣3）2【分析】根据多项式乘多项式展开，合并同类项，即可得到m 、a 、b 的值，代入多项式，分解因式即可．【详解】解：∵2（x ﹣1）（x ﹣9）＝2（x 2﹣9x ﹣x +9）＝2（x 2﹣10x +9）＝2x 2﹣20x +18，∴m ＝2，b ＝18，∵2（x ﹣2）（x ﹣4）＝2（x 2﹣4x ﹣2x +8）＝2（x 2﹣6x +8）＝2x 2﹣12x +16，∴a ＝﹣12，∴mx 2+ax +b＝2x 2﹣12x +18＝2（x 2﹣6x +9）＝2（x ﹣3）2【点睛】本题考查了多项式的乘法与因式分解，正确的计算是解题的关键．20．观察下列各式的计算结果与相乘的两个多项式之间的关系：2(2)(3)56x x x x ++=++；2(4)(2)68x x x x ++=++；2(6)(5)1130x x x x ++=++．你发现有什么规律?按你发现的规律填空：2(3)(5)x x x ++=+（_____＋______）x +_____×______你能很快说出与()()x a x b ++相等的多项式吗?先猜一猜，再用多项式相乘的运算法则验证．【答案】3，5，3，5；详见解析【分析】由多项式乘以多项式法则发现规律，解答．【详解】解：（x ＋3）（x ＋5）＝x 2＋（3＋5）x ＋3×5＝x 2＋8x ＋15故答案为：3，5，3，5．（x ＋a ）（x ＋b ）＝x 2＋（a ＋b ）x ＋ab ．验证：（x ＋a ）（x ＋b ）＝x 2＋ax ＋bx ＋ab ＝x 2＋（a ＋b ）x ＋ab ．【点睛】本题考查多项式乘以多项式，是基础考点，掌握相关知识是基础考点．21．先化简，再求值：（x +2）（x ﹣2）+（x ﹣1）（x +5），其中x ＝1．【答案】2249x x +-，3-【分析】根据平方差公式，多项式的乘法化简，然后将字母的值代入计算即可求解．【详解】解：原式＝22445x x x -++-2249x x =+-；当1x =时，原式221419=´+´-249=+-69=-3=-．【点睛】本题考查了整式乘法的化简求值，正确的计算是解题的关键．22．在计算时我们如果能总结规律，并加以归纳，得出数学公式，一定会提高解题的速度，在解答下面问题中请留意其中的规律．(1)计算后填空：（x +1）（x +2）＝；（x +3）（x ﹣1）＝；(2)归纳、猜想后填空：（x +a ）（x +b ）＝x 2+ x + ；(3)运用（2）猜想的结论，直接写出计算结果：（x +2）（x +m ）＝．【答案】(1)x 2+3x +2，x 2+2x ﹣3(2)（a +b ），ab(3)x 2+（2+m ）x +2m【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则进行计算即可；（2）根据（1）的结果得出规律即可；（3）根据（x +a ）（x +b ）＝x 2+（a +b ）x +ab 得出即可．(1)解：()()22122232x x x x x x x +++++++＝＝；()()22313323x xx x x x x ++-+﹣＝-＝﹣ ，故答案为：x 2+3x +2，x 2+2x ﹣3；(2)解：()()()2x a x b x a b x ab +++++＝．故答案为：（a +b ），ab ；(3)解：()()2222x x m x m x m +++++＝．故答案为：()222x m x m +++．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的应用，主要考查学生的计算能力．23．填空：()()23a a ++= ；()()23a a +-= ；()()35a a ++= ；()()35a a --= ；（1）从上面的计算中总结规律，写出下式结果：()()x a x b ++= ；（2）运用上述结果，写出下列各题结果：①()()20121000x x +-= ；②()()20122000x x --= 【答案】填空：256a a ++，26a a --，2815a a ++，2815a a -+；（1）2()x a b x ab +++；（2）①210122012000x x +-；②240124024000x x -+．【分析】填空：根据多项式乘以多项式的法则即可得；（1）根据上面的结果，归纳类推出一般规律即可得；（2）①运用（1）的规律即可得；②运用（1）的规律即可得．【详解】解：()()222332656a a a a a a a ++=+++=++，()()22233266a a a a a a a +-=-+-=--，()()22355315815a a a a a a a ++=+++=++，()()22355315815a a a a a a a --=--+=-+，故答案为：256a a ++，26a a --，2815a a ++，2815a a -+；（1）由上面的计算可知，()()2()x a x b x a b x ab ++=+++，故答案为：2()x a b x ab +++；（2）①()()220121000(20121000)2012(1000)x x x x +-=+-+´-，210122012000x x =+-，故答案为：210122012000x x +-；②()()220122000(20122000)(2012)(2000)x x x x --=+--+-´-，240124024000x x =-+，故答案为：240124024000x x -+．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式的乘法法则是解题关键．。

初中奥数讲义_数形互助附答案

数形互助数和形是数学研究的基本对象，是数学产生和发展的两块基石，在数学发展的过程中，数和形常常结合在一起，在方法上互相渗透，在内容上互相联系．以数助形，即恰当地引参或设元，把一些几何量如角度的大小、线段的长度等用字母或代数式表示，利用图形的性质，寻找几何图形元素之间的关系，通过解方程、等式变形、等式运算等代数方法解证几何题．用形辅数，即把一个代数问题转化为一个图形，问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，借助图形的直观性辅助解题，在代数的学习中，我们广泛地使用了用形辅数的方法，如用数轴赋予抽象的代数概念以直观的形象、乘法公式的几何表示、解应用题时常借助直线图、图表帮助分析等．例题求解【例1】若a 、b 均为正数，且22b a +，242b a +，224b a +是一个三角形的三条边的长，那么这个三角形的面积等于． ( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨直接用三角形面积公式求面积较为复杂，利用22n m +的几何意义(表示直角边分别为m ，n 的直角三角形斜边长)，构造图形求面积．注古埃及，在长期土地测量、划分界限的过程中形成了最初的几何学．“Geometry(几何)”一词在希腊文中意为“测量”，我国宋元时期巳将某些几何问题代数化，把图形之间的几何关系，表示成代数式之间的代数关系．17世纪笛卡尔的解析几何引进坐标，用“数”研究“形”，为18、19世纪数学的空前发展作了准备．【例2】如图，在△ABD 中，C 为AD 上一点，AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，则AC=( )A ．1B ．32C ．2D ．3 (武汉市选拔赛试题)思路点拨过D 作DE ⊥AB 交AB 延长线于E ，设AC=x ，BE=y ，运用平行线分线段成比例、直角三角形边角关系、勾股定理等知识建立方程组，通过解方程组求AC 的值．【例3】如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE=1，CF=34，直线FC 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的动点H 作HM ⊥AG ，HN ⊥AD ，垂足分别为M ，N ，设HM=x ，矩形AMHN 的面积为y ．(1)用x 的代数式表示y ；(2)当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积是多少?(2001年南京市中考题)思路点拔对于(1)S 矩形AMHN =HM ×AM ，AM=AB+BM ，只需把BM 用x 的代数式表示即可，对于(2)，把关于x 的代数式通过配方变形可获解．注意相似三角形基本图形的运用．【例4】已知正数 a 、b 、c 和x 、y 、z 满足k z c y b x a =+=+=+，求证：2k cx bz ay <++．思路点拨相等的量赋予它的几何意义，易想到等边三角形、正方形，从构造边长为k 的正方形入手．注对于一个几何问题，能否通过代数运算解块，关键在于几何问题中数量关系能否方便地表示成适应代数适算的表达式：一个几何问题，能否通过列方程的手段解决，在于问题本身是否存在着构成方程的等量关系，在寻找等量关系的过程中，常用到勾股定理、全等三角形、相似三角形等知识与方法．美国数学家斯蒂思说：“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法．”图形能直观、形象地表示数量关系，能帮助分析、理顺复杂的数量关系．用形辅数目前常见的方式是：(1)利用等量构造等边三角形、正方形；(2)利用根式的几何意义构造直角三角形、矩形．【例5】如图，在矩形ABCD 中，AB=12厘米，BC=6厘米．点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米／秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1厘米／秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t ≤6)，那么：(1)当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形?(2)求四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论；(3)当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似? (2002年山西省中考题)思路点拨 (1)把相关线段用t 的代数式表示，利用勾股定理建立t 的方程，(2)注意动态变化过程中某些量的不变性，从而提出相关问题，(3)借助三角形相似的判定方法，探求质点运动的时间，其中蕴含着分类讨论的思想方法．学力训练1．如图是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个矩形色块图的面积为． 2．用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每个长方形地砖的面积是．(黑龙江省中考题)3．如图，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC ，②△BCD ，③△BDE ，④△BFG ，⑤△FGH ，⑥△EFK ，其中②~⑥中，与三角形①相似的是( )A ．②③④B ．③④⑤C ．④⑤⑥D ．②③⑥4．已知一个直角三角形的两直角边上的中线长分别为5和210，那么这个三角形的斜边长为( )A ．10B ．410C ．13D ．1325．如图，以长为2的定线段为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．(1)求AM ，DM 的长；(2)求证：AM 2=AD ×DM ．6．如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD ＝80mm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，设该矩形的长QM=ymm ，宽MN=xmm ．(1)求证：y=x 23120 ； (2)当x 与y 分别取什么值时，矩形P QMN 的面积最大?最大面积是多少?7．已知：如图，正方形ABCD 的周长为4 a ，四边形EFGH 的四个顶点F 、F ，G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、DA 上滑动，在滑动过程中，始终有EH ∥BD ∥FG ，且EH=FG ，那么四边形EFGH 的周长是否可求?若能求出，它的周长是多少?若不能求出，请说明理由．(2003年新疆建设兵团中考题)8．如图，在△ABC 中，AC=2，BC=4，∠ACB=60°，将△ABC 折叠，使点B 和点C 重合，折痕为DE ，则△AZC 的面积是．9．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，C 为CD 的中点，BE=13，梯形ABCD 的面积为120，那么AB+BC+DA= ．10．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，M 、N 是BC 边上的点，BM=MN=NC ，如果AM=4，AN=3，则MN= ． (上海市高中理科实验班招生试题)11．代数式15324422+-++x x x 的最小值是．12．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点．以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在右图所示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明．要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母． (山西省中考题)13．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=4，BC=10，AB=DC=5，P 是BC 边上的一个动点，直线l 过点P 且平行于DC ，交梯形另外一边于E 点，设BP=x ，梯形位于直线l 左侧的图形的面积为S ，分别求出当点E 位于BA 、AD 上时，S 与x 之间的关系式，并分别指出x 的取值范围． (威海市中考题)14．如图，已知正方形ABCD ，直线AG 分别交BD 、CD 于点E 、F ，交BC 的延长线于点G ，点H 是线段FG 上的点，且HC ⊥C E ．(1)求证：点H 是GF 的中点；(2)设x BE DE =(0<x<1)，y S S GCFECH =∆∆，请用含x 的代数式表示y ．(2001年浙江省嘉兴市中考题)15．已知a 、b 、c 均为非负实数，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．16．如图，在△ABC 中，∠C=90°，D ，E 是BC 边上的两点，且∠ABC=21∠ADC=31∠AEC ，已知BD=11，DE ＝5，求AC 长． (北京市竞赛题)17．如图，在△ABC 中，BE 、CF 是中线，且BE ⊥CF ，AC=b ，AB= c (c> b )(1)求BC 的长；(2)若△ABC 存在，讨论c b 的取值范围．。

2020年浙教版七年级下册数学课后练习(27)(有答案解析)

2020年浙教版七年级下册数学课后练习（27）一、计算题（本大题共1小题，共6.0分）1.用简便方法计算：．二、解答题（本大题共9小题，共72.0分）2.如图为一隧道横截面的示意图，用关于h，r的多项式表示隧道横截面的面积．这个多项式能分解因式吗？若米，米，计算这个隧道的橫截面积．3.分解因式：．．．4.下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？说说你的理由．．．．．．．5.分解因式：．．6.分解因式：．．．．7.分解因式：．8.分解因式：．．9.运用本节所学知识，把9991分解成两个自然数的积．10.已知，，求的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：解：；．解析：根据平方差公式进行计算即可；根据平方差公式进行计算即可．本题考查了平方差公式，解决本题的关键是掌握平方差公式．2.答案：解：隧道的橫截面积矩形的面积半圆的面积，即隧道的橫截面积是：．这个多项式能分解因式：．当，时，隧道的橫截面积答：隧道的橫截面积为．解析：隧道的橫截面积矩形的面积半圆的面积．根据矩形的面积公式和圆的面积公式进行解答即可．本题考查了列代数式和代数式求值．熟悉矩形面积公式和圆面积公式是解题的关键．3.答案：解：原式；原式；原式；原式．解析：直接利用平方差进行分解即可．此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：．4.答案：解：不可以用平方差公式分解因式，因为两项符号相同，应该符号相反；，可以用平方差公式分解因式；不可以用平方差公式分解因式，因为两项符号相同，应该符号相反；不可以用平方差公式分解因式，因为4x不是平方项；可以用平方差公式分解因式；不可以用平方差公式分解因式，因为两项符号相同，应该符号相反．解析：根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行分析即可．此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握能用平方差公式分解的多项式特点．5.答案：解：原式；原式．解析：原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；原式利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．6.答案：解：；；；．解析：利用平方差公式分解即可．此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．7.答案：解：原式；原式．解析：原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；原式利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8.答案：解：原式；原式；原式．解析：原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；原式利用平方差公式分解即可；原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9.答案：解：．解析：将9991写成，然后逆用平方差公式计算．本题考查了平方差公式，熟练逆用平方差公式是解题的关键．10.答案：解：，，．解析：直接提取公因式xy，进而分解因式，把已知数据代入得出答案．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键．。

人教版数学九年级下册第27章相似相似多边形及位似拓展提升与复习过关

人教版数学九年级下册第27章相似相似多边形及位似拓展提升与复习过关知识全面设计合理含答案教师必备相似多边形及位似--知识讲解【学习目标】1、掌握相似多边形的性质及应用；2、了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；3、了解黄金分割值及相关运算.【要点梳理】要点一、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.要点二、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点. 要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点三、黄金分割定义：如图，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即ABAPAP PB =（此时线段AP 叫作线段PB 、AB 的比例中项），则P 点就是线段AB 的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．要点诠释：1.黄金分割值：设AB=1，AP=x ，则BP=x -1 ∵AB APAP PB = ∴11xx x =- ∴x x -=12∴618.0215≈-=x (舍负) 2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．【典型例题】类型一、相似多边形1.如图，矩形草坪长20m，宽16m,沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？【答案与解析】因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD 与矩形EFGH的对应边的比是否相等.542016221616EFAB==++=，652420222020EHAD==++=而6554≠，∴EHADEFAB≠∴矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比不相等，因而它们不相似.【总结升华】两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.举一反三【变式】（2015•梧州一模）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB=a，宽BC=b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b=（）A. 2：1B. ：1C. 3：D. 3：2【答案】B.提示: ∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF=AB=a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴=，即=，∴（）2=2，∴=．故选B．AB CDEF GH2.（2014•甘肃模拟）如图，在长8cm，宽4cm 的矩形中截去一个矩形，使留下的矩形（阴影部分）与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为（）．A. 2cm2B. 4cm2C. 8cm2D. 16cm2【答案】C.【解析】设留下的矩形的宽为x，∵留下的矩形与原矩形相似，∴，∴x=2，∴留下的矩形的面积为：2×4=8（cm2）故答案为：8．故选C．【总结升华】本题主要考查了相似多边形的性质，在解题时要能根据相似多边形的性质列出方程是本题的关键．类型二、位似3. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.3．在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:OA＝ OB′:OB ＝OC′:OC＝OD′:OD＝OE′:OE＝1.5.4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.这样：A′B′AB＝B′C′BC＝C′D′CD＝D′E′DE＝A′E′AE＝1.5.则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.ABC DEA1B1C1D1E1ABC DE【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.4. 如图，矩形OABC 的顶点坐标分别为O （0，0），A （6，0），B （6，4），C （0，4）.画出以点O 为位似中心，矩形OABC 的位似图形OA ′ B ′ C ′ ，使它的面积等于矩形OABC 面积的41，并分别写出A ′、B ′、C ′三点的坐标.【答案与解析】因为矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 是位似图形，面积比为1：4，所以它们的位似比为1：2. 连接OB ，（1）分别取线段OA 、OB 、OC 的中点A ′、B ′、C ′，连接O A ′、A ′B ′、B ′C ′、 C ′O ，矩形OA ′B ′C ′就是所求的图形.A ′，B ′，C ′三点的坐标分别为A ′（3，0），B ′（3，2），C ′（0，2）. （2）分别在线段OA ，OB ，OC 的反向延长线上截取O A ″、O B ″、O C ″，使OA ″=21OA ，OB ″=21OB ，O C ″=21OC ，连接 A ″B ″、B ″C ″，则矩形O A ″B ″C ″为所求. A ″、B ″、C ″三点的坐标分别为A ″（-3，0），B ″（-3，-2），C ″（0，-2）.【总结升华】平面直角坐标系内画位似图形，若没有明确指出只画一个，一定要把两种情况都画在坐标系内，并写出两种坐标.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案】作法：（1）在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC；（2）以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′；（3）连接BF′，延长交AC于F；（4）作FG∥CB，交AB于G，从F、G分别作BC的垂线FE， GD；∴四边形DEFG即为所求．类型三、黄金分割5.求做黄金矩形（写出具体做题步骤）并证明.【答案与解析】宽与长的比是512的矩形叫黄金矩形．（心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．）黄金矩形的作法如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．即矩形DCEF为黄金矩形．证明：在正方形ABCD中，取2AB a=，∵ N为BC的中点，G FF'B CG'∴ 12NC BC a ==．在Rt DNC △中，2222(2)5ND NC CD a a a =+=+=．又∵ NE ND =，∴ (51)CE NE NC a =-=-．∴5151CE a CD --==（）．故矩形DCEF 为黄金矩形．【总结升华】要求熟练掌握多边形相似的比例关系．会利用相似比，求未知线段的长度或比值．举一反三【变式】美是一种感觉，当人的肚脐是人的身高的黄金分割点时，人的下半身长与身高之比约为0.618，人的身段成为黄金比例，给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（） A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm 【答案】D.∵该女士身高165cm ，下半身长与身高的比值是0.60， ∴此女士下半身长是165×0.60=99cm ，设需要穿的高跟鞋是xcm ，根据黄金分割的定义得：99+=165+xx0.618，解得：x ≈8．故选D ．相似多边形及位似--巩固练习【巩固练习】一. 选择题1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个2.下列说法错误的是（）. A.位似图形一定是相似图形. B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行. 3.下列说法正确的是（）A.分别在ABC 的边AB 、AC 的反向延长线上取点D 、E ，使DE ∥BC ，则ADE是ABC 放大后的图形.AC D EFM NB.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4.平面直角坐标系中，有一条“鱼，它有六个顶点”，则（）A.将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.B.将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似.C.将各点横、纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似.D.将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以，得到的鱼与原来的鱼位似.5.（2015•杭州模拟）如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（）A. 10B. 12C.D.6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（）A. AB：AC=AC：BCB. AC=512AB-C.AB=512AC+D.BC≈0.618AB7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD 上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A. 512-B.512+C.3D.2二.填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为___ ___.9.已知ABC，以点A为位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的图形，则这样的图形可以作出______个，它们之间的关系是__________.10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E'''''，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E'''''的周长的比值是__________．11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12.（2015春•庆阳校级月考）图中的两个四边形相似，则x+y= ，α= ．13.如图（1），将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图（2）中阴影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图（3）中阴影部分，如此下去…，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为__________________.14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.三．综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形A EFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=43．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；（4）对应边的比不一定相等．故错误．故正确的是：（2）（3）（5）．故选B．2．【答案】D.3．【答案】C.4．【答案】C.5．【答案】C．【解析】∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∴=，∵AB=12，CD=15，A1B1=9，∴C1D1==．6．【答案】D.【解析】∵AC＞BC，∴AC是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB：AC=AC：BC，AC=512AB-, AB=512AC+AC≈0.618AB．故选D．7.【答案】B.【解析】∵AB=1，设AD=x，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴EF AD FD AB=，111xx=-，解得11+5 =2x,21-5 =2x,（负值舍去），经检验11+5 =2x是原方程的解．故选B．二、填空题8.【答案】50cm.9.【答案】2个；全等.10.【答案】1：2．【解析】∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，∴五边形ABCDE∽五边形A′B′C′D′E′，且相似比为：OA：OA′=10：20=1：2，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比为：OA：OA′=1：2．故答案为：1：2．11.【答案】；【解析】由BC ∥DE 可得△ADE ∽△ABC ，所以，故.12.【答案】63，85°.【解析】由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，∴ 18：4=x ：8=y ：6，解得x=36，y=27，则x+y=36+27=63．∴a=360°﹣（77°+83°+115°）=85°．故答案为63，85°．13. 【答案】1256. 【解析】∵A 1、F 1、B 1、D 1、C 1、E 1分别是△ABC 和△DEF 各边中点，∴正六角星形AFBDCE ∽正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，且相似比为2：1，∵正六角星形AFBDCE 的面积为1，∴正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1的面积为14，同理可得，第三个六角形的面积为：314=164，第四个六角形的面积为：1111=1644256⨯⨯，故答案为：1256. 14. 【答案】25-2；【解析】∵AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BDC=72°，∴BC=BD=AD ，∵D 点是AC 的黄金分割点，∴BC=AD=4×5-12=25-2.三．解答题15.【答案与解析】(1)△ADE 和 △ABC 是位似图形.理由是：DE ∥BC ，所以∠ADE=∠B ， ∠AED=∠C.所以△ADE ∽△ABC ，所以. 又因为点A 是△ADE 和 △ABC 的公共点，点D 和点B 是对应点，点E 和点C是对应点，直线BD 与CE 交于点A ，所以△ADE 和 △ABC 是位似图形.(2)DE ∥BC.理由是：因为△ADE 和△ABC 是位似图形，所以△ADE ∽△ABC所以∠ADE=∠B所以DE ∥BC.16.【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD ，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD ，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；（2）解：连接BD 交AC 于点P ，则BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2， ∴EB===， ∴GD=．17.【答案与解析】（1）∵矩形ODEF ∽矩形ABCO ，其相似比为1：4，∴S 矩形ODEF =116S 矩形ABCO =116×4×43=3；（2）存在．∵OE=所以点E 的轨迹为以点O 为圆心，以2为半径的圆，设点O 到AC 的距离为h ，AC=()22224438AB BC +=+=∴8h=4×43，。

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专题27 以形助数——借助图形思考例1 7 提示：设圆周长为9，套成的三角形三边所对的弧长分别为x ，y ，z ，则x+y+z=9，不妨设z y x ≤≤，则（x ，y ，z ）只有（1，1，7），（1，2，6），（1，3，5），（1，4，4），（2，2，5），（2，3，4）和（3，3，3）这7种情形.例2（1）900 （2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇.（3）由图像可知，慢车12h 行驶的路程为900km ，所以慢车的速度为12900=75km/h ；当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为4900=225km/h,所以快车的速度为150km/h.（4）根据题意快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶150900=6h 到达乙地，此时两车之间的距离为6×75=450km ，所以点C 的坐标为（6，450）.设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，把（4，0），（6，450）带入得⎩⎨⎧+=+=b k b k 645040，解得⎩⎨⎧-==900225b k所以，线段BC 所标示的y 与x 之间的函数关系式为y=225x-900.自变量x 的取值范围是64≤≤x .（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h ，把x=4.5代入y=225x-900，得y=112.5，此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5km ，所以两列快车出发间隔的时间是112.5÷150=0.75h ，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h.例3 设只收看A,B,C 三个栏目的观众人数分别为x ，y ，z ，没有收看栏目A 而收看栏目B 和栏目C 的人数为m.不只收看栏目A 的人数为n ，如图所示.()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=-=+=+,28,,1,2z m y n x z y x x n m z m y 得z=29-4y.由y-2z=m ≥0得9y-58≥0，∴958≥y 由29-4y=z ≥0得y ≤429，∵y 为整数，∴y=7 从而z=1，x=8，n=7，m=5. 故栏目A 的收视率为28n x +×100﹪=2825×100﹪≈53.6﹪ 例4 第一个是丙，第三个是甲，第五个是丁.例5如图，A,B,C 三个圆分别表示数学、外语、语文优秀学生的集合，而a ，b ，c ，…，f ，g 则分别表示各类优秀学生的人数，如g 表示数、外、语三科均优秀的学生人数f 表示语、外两科优秀而数学不优秀的学生人数.则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=+=+++=+++=+++10,1817,16,29,31,32g g f g d g e g f e c g f d b g e d a 解得：a=9，b=6，c=5，d=7，e=6，f=8，g=10.故a+b+c+d+e+f+g=51.说明数、外、语三科中至少有一科优秀的学生共有51人，而全班仅有50人，故统计错误.【能力训练】1.2 提示：如图，用5个点表示甲、乙、丙、丁及小强这5个人，如果两个人已经赛过一盘，就在相应的两个点之间连一条线段.2.4.4小时3.244.32﹪ 提示：依照图中数据计算：000000001002.108.155.12442.10298.15265.12⨯++⨯+⨯+⨯=32﹪ 5.5：16.C 提示：由直方图可知，乘车人数为25人，由扇形图可知，乘车人数占全班总人数的50﹪.故全班总人数为25÷50﹪=50人.步行人数为50×30﹪=15（人）.骑车人数为50-25-15=10（人）.7.C8.D 提示：若A,C种同一种植物，则A,C有4×1种栽种法，B,D都有3种栽种法，共有4×3×3=36种栽种方案；若A,C种不同的植物，则有4×3种载法，B,D都有2种，共有4×3×2×2=48种栽种方案.故共有36+48=84种栽种方案.9.15人提示：如图，用A,B两个圆分别表示参加数学竞赛的男、女生人数，用C,D两个圆分别表示参加英语竞赛的男、女生人数，只参加数学竞赛的男生人数是120-75=45人，只参加英语竞赛的男生人数是80-75=5人，设两科都参加的女生人数为x人，则只参加数学竞赛的女生数为（80-x）人，只参加英语竞赛的女生人数为（120-x）人，由题意得120-x+80-x+x+45+75+5=260，解得x=65，故答案为80-x=15人.10.从A城出发到B城的路线分成如下两类：（1）从A城出发到达B城，经过O城。

专题27 以形助数_答案

专题27 以形助数——借助图形思考例1 7 提示：设圆周长为9，套成的三角形三边所对的弧长分别为x ，y ，z ，则x+y+z=9，不妨设z y x ≤≤，则（x ，y ，z ）只有（1，1，7），（1，2，6），（1，3，5），（1，4，4），（2，2，5），（2，3，4）和（3，3，3）这7种情形.例2（1）900 （2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇.（3）由图像可知，慢车12h 行驶的路程为900km ，所以慢车的速度为12900=75km/h ；当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为4900=225km/h,所以快车的速度为150km/h.（4）根据题意快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶150900=6h 到达乙地，此时两车之间的距离为6×75=450km ，所以点C 的坐标为（6，450）.设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，把（4，0），（6，450）带入得⎩⎨⎧+=+=b k b k 645040，解得⎩⎨⎧-==900225b k 所以，线段BC 所标示的y 与x 之间的函数关系式为y=225x-900.自变量x 的取值范围是64≤≤x .（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h ，把x=4.5代入y=225x-900，得y=112.5，此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5km ，所以两列快车出发间隔的时间是112.5÷150=0.75h ，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h.例3 设只收看A,B,C 三个栏目的观众人数分别为x ，y ，z ，没有收看栏目A 而收看栏目B 和栏目C 的人数为m.不只收看栏目A 的人数为n ，如图所示.()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=-=+=+,28,,1,2z m y n x z y x x n m z m y 得z=29-4y. 由y-2z=m ≥0得9y-58≥0，∴958≥y 由29-4y=z ≥0得y ≤429，∵y 为整数，∴y=7 从而z=1，x=8，n=7，m=5.故栏目A 的收视率为28n x +×100﹪=2825×100﹪≈53.6﹪例4 第一个是丙，第三个是甲，第五个是丁.例5如图，A,B,C 三个圆分别表示数学、外语、语文优秀学生的集合，而a ，b ，c ，…，f ，g 则分别表示各类优秀学生的人数，如g表示数、外、语三科均优秀的学生人数f 表示语、外两科优秀而数学不优秀的学生人数. 则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=+=+++=+++=+++10,1817,16,29,31,32g g f g d g e g f e c g f d b g e d a 解得：a=9，b=6，c=5，d=7，e=6，f=8，g=10.故a+b+c+d+e+f+g=51.说明数、外、语三科中至少有一科优秀的学生共有51人，而全班仅有50人，故统计错误.【能力训练】1.2 提示：如图，用5个点表示甲、乙、丙、丁及小强这5个人，如果两个人已经赛过一盘，就在相应的两个点之间连一条线段.2.4.4小时3.244.32﹪ 提示：依照图中数据计算：000000001002.108.155.12442.10298.15265.12⨯++⨯+⨯+⨯=32﹪ 5.5：16.C 提示：由直方图可知，乘车人数为25人，由扇形图可知，乘车人数占全班总人数的50﹪.故全班总人数为25÷50﹪=50人.步行人数为50×30﹪=15（人）.骑车人数为50-25-15=10（人）.7.C8.D 提示：若A,C 种同一种植物，则A,C 有4×1种栽种法，B,D 都有3种栽种法，共有4×3×3=36种栽种方案；若A,C 种不同的植物，则有4×3种载法，B,D 都有2种，共有4×3×2×2=48种栽种方案.故共有36+48=84种栽种方案.9.15人提示：如图，用A,B 两个圆分别表示参加数学竞赛的男、女生人数，用C,D 两个圆分别表示参加英语竞赛的男、女生人数，只参加数学竞赛的男生人数是120-75=45人，只参加英语竞赛的男生人数是80-75=5人，设两科都参加的女生人数为x 人，则只参加数学竞赛的女生数为（80-x）人，只参加英语竞赛的女生人数为（120-x）人，由题意得120-x+80-x+x+45+75+5=260，解得x=65，故答案为80-x=15人.10.从A城出发到B城的路线分成如下两类：（1）从A城出发到达B城，经过O城。

九年级数学下册《第二十七章位似图形》练习题附答案解析-人教版

九年级数学下册《第二十七章位似图形》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．下列运动形式中：（1）传动带上的电视机；（2）电梯上的人的升降；（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；（4）国旗上的红五角星．上述运动形式中不是位似变换的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如图，在平面直角坐标系中，ABC 与A B C '''是位似图形，则位似中心是（）．A ．(6,0)B ．(7,0)C ．(6,1)D ．(7,1)3．如图，ABC 与DEF 位似，点O 是它们的位似中心，其中:2:1OA OD =，若4AB =，则DE 的长为（）A ．1B ．2C ．4D ．164．如图，四边形1111D C B A 和四边形是以点O 为位似中心的位似图形，若1:OA OA ，则四边形ABCD 与四边形1111D C B A 的面积比为（）A 3B ．5:3C ．5:9D 95．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，位似比为2:3，点A ，B 的对应点分别为点A '和B '．若6AB =，则A B ''的长为（）A ．8B ．9C ．10D ．15 6．如图，在ABCD 中10AB =，AD=6，E 是AD 的中点，在CD 上取一点F ，使CBF ∽ABE △，则DF的长是（）A ．8.2B ．6.4C ．5D ．1.8二、解答题7．指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心. （1）（2）（3）（4）8．如图11×7的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A 、B 、C 都在格点上（两条网格线的交点叫格点）(1)在线段BC 下方用无刻度直尺作出一点O ，使得OA OC =(2)以O 为位似中心，将ABC 放大为原来的2倍，得对应A B C '''，请在网格中作出A B C '''．9．如图，是由5×6个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在格点上，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（1）在图1中，画出平行四边形ABCD ，并直接写出它的面积；（2）在图2中，画出△ABC 的中线AE ；（3）在图3中，在AC 上找点F ，连结BF ，使△ABF 的面积是△CBF 的面积12．10．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E 、A 、D 在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：（1）如图2，将正方形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转，则BE 与DG 的数量关系为___________，位置关系为___________．（直接写出答案）（2）如图3，把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG 和矩形ABCD ，且23AE AB AG AD ==，4AE =和8AB =将矩形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转，求BE 与DG 的数量关系和位置关系；（3）在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，22DE BG +的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案）11．如图，四边形ABCD 和四边形A B C D ''''位似，位似比1k =2，四边形A′B′C′D′和四边形A B C D """"位似，位似比2k =1．四边形A B C D """"和四边形ABCD 是位似图形吗？位似比是多少？三、填空题 12．如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，点B 在OD 上，AE 、CB 分别是△OAB 、△OCD 的中线，则AE ：CB 的值为______13．如图，四边形ABCD 与四边形A B C D ''''位似，点O 为位似中心．已知:1:2OA AA '=，则四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的面积比为________．参考答案与解析1．B【分析】位似变换必须满足对应点的连线相交于一点，由此分析即可．【详解】解：（1）传动带上的电视机，和（2）电梯上的人的升降；是平移变换；（4）国旗上的红五角星；它们都不满足对应点的连线相交于一点，则不是位似变换；（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人；满足对应点的连线相交于一点，则它属于位似变换；故选：B ．【点睛】本题考查位似变换的定义，掌握位似变换的要点是对应点的连线相交于一点是解题关键．2．B【分析】找位似图形的位似中心直接连接位似图形的对应点并延长，延长线的交点即所找位似中心，写出坐标即可．【详解】作图如下：延长线的交点为(7,0)，位似中心即为(7,0)．故选：B ．【点睛】本题考查了找位似图形的位似中心，理解位似中心的定义做出图像是做出本题的关键．3．B【分析】根据位似图形的性质得出位似比，进而得出DE 的长．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 位似，点O 是它们的位似中心，其中OA ：OD =2：1∴AB ：DE =2：1∵AB =4∴DE 的长为：2．故选：B ．【点睛】本题考查的是位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．4．C【分析】根据面积比是相似比的平方直接求解即可．【详解】解：四边形ABCD 和四边形1111D C B A 是以点O 为位似中心的位似图形， 1:OA OA则四边形ABCD 与四边形1111D C B A 3∴四边形ABCD 与四边形1111D C B A 的面积比为259=；故选：C ．【点睛】本题考查了相似图形面积比，解题关键是熟记相似图形面积比等于相似比的平方．5．B【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得出答案．【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，O 是位似中心，位似比为2:3 ∴23AB A B ='' ∵6AB = ∴623A B ='' ∴9A B ''=故答案为：B ．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．6．A【分析】E 是AD 的中点可求得AE ，根据三角形相似的性质可得CF BC AE BA=，可得CF 的长即可求解．【详解】解：∵E 是AD 的中点，6AD = ∴132AE AD == 又∵CBF ∽ABE △CF BC AE BA ∴=，即6310CF =解得 1.8CF =10 1.88.2DF DC CF ∴=-=-=故选：A ．【点睛】本题考查了三角形相似的性质，掌握三角形相似的性质对应边的比相等是解题的关键．7．见解析【分析】根据位似图形的定义解答即可.【详解】（1）、（2）和（4）中的两个图形都是位似图形，（1）中的位似中心是点A ，（2）中的位似中心是点P ，（4）中的位似中心是点O.【点睛】本题考查了位似图形的的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形.8．(1)作图见解析(2)作图见解析【解析】（1）解：如图所示，点O即为所求作；（2）'''解：分别连接OA、OB、OC，分别延长2倍，找到对应点将对应点连接起来，即可作出A B C 如图所示：【点睛】本题考查了网格中作图，熟练掌握网格特征以及位似变换的性质是解题的关键．9．（1）作图见解析，10；（2）见解析；（3）见解析=的线段即可；【分析】（1）作出//AD BC且AD BC（2）找出BC中点E，连接AE即可；（3）作相似三角形且相似比为1:3，找出AC边的三等分点F，连接BF，即可得△ABF的面积是△CBF的面积1．2【详解】（1）因为平行四边形对边平行且相等，故可如图1所示图像，即为平行四边形ABCDAB BC AC =2222101020AB BC AC +=+===ABC ∴是直角三角形122102ABCD ABC S S∴==⨯=；（2）由网格可作矩形BMCN ，根据矩形的对角线互相平分，如图2所示E 为BC 中点，连接AE ，则AE 为ABC 的中线；（3）如图3所示，作ACJ ，使3AJ =，取AJ 的3等分点H ，作//HK JC 交AC 于点F ，则AFHACJ ，且相似比1:33AC AF ∴= 12AF CF ∴= ABF 与CBF 同高∴△ABF 的面积是△CBF 的面积12．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例，解题关键是理解题意，运用所学知识解题． 10．（1）BE DG = BE DG ⊥ （2）23BE DG = BE DG ⊥ （3）260 【分析】（1）延长DG 交BE 于M ，交AB 于N ，证明△DAG ≌△BAE ，根据全等三角形的性质得到BE ＝DG ，∠ADG ＝∠ABE ，根据三角形内角和定理得到BE ⊥DG ；（2）设BE 与DG 交于Q ，BE 与AG 交于点P ，由比的性质求出AG 、AD 的值，由相似三角形的判定证得EAB GAD △△由相似三角形的性质得出23BE DG =，BEA AGD ∠=∠根据三角形和内角和定理得出90EAP GQP ∠=∠=︒即BE DG ⊥；（3）连接EG 、BD ，由（2）得出6AG =，12AD =且BE DG ⊥，由勾股定理求得2DB 、2GE 的值，由22222222=DE BG DQ EQ QG BQ DB GE ++++=+即可得出结论．【详解】（1）延长DG 交BE 于M ，交AB 于 N ，如图2∵四边形ABCD 、四边形EFGA 为正方形 ∴AB ＝AD ，AE ＝AG ，∠DAB ＝∠GAE ＝90° ∴∠DAB －∠BAG ＝∠GAE －∠BAG 即 ∠DAG ＝∠BAE在△DAG 和△BAE 中DA BA DAG BAE AG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAG ≌△BAE （SAS ） ∴BE ＝DG ，∠ADG ＝∠ABE ∵∠AND ＝∠BNM∴∠BMN ＝∠NAD ＝90°，即BE ⊥DG 故答案为BE DG = BE DG ⊥（2）23BE DG = BE DG ⊥ 理由如下：设BE 与DG 交于Q ，BE 与AG 交于点P ，如图3 ∵23AE AB AG AD ==，4AE =且8AB = ∴6AG = 12AD =∵四边形AEFG 和四边形ABCD 为矩形 ∴=90EAG BAD ∠=∠∴EAB GAD ∠=∠∵EA AB AG AD= ∴EAB GAD △△∴23BE DG = BEA AGD ∠=∠∵APE GPQ ∠=∠∴90EAP GQP ∠=∠=︒∴BE DG ⊥．（3）连接EG 、BD ，如图3∵23AE AB AG AD ==，4AE =且8AB = ∴6AG = 12AD =∵四边形AEFG 和四边形ABCD 为矩形∴=90EAG BAD ∠=∠∴222=4+6=52GE 222=8+12=208BD由（2）证得BE DG ⊥22222222=DE BG DQ EQ QG BQ DB GE ++++=+∴22=52+208=260DE BG +．【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．11．是位似图形，位似比为12．【分析】四边形A B C D """"和四边形ABCD 位似，所以四边形A B C D """"∽四边形ABCD ；相似具有传递性，可得四边形A B C D """"∽四边形ABCD ；因为位似比等于相似比，据此即可求得四边形A B C D """"和四边形ABCD 的位似比．【详解】∵四边形ABCD 和四边形A B C D ''''位似∴四边形ABCD ∽四边形A B C D ''''．∵四边形A B C D ''''和四边形A B C D """"位似∴四边形A B C D ''''∽四边形A B C D """"．∴四边形A B C D """"∽四边形ABCD ．∵对应顶点的连线过同一点∴四边形A B C D """"和四边形ABCD 是位似图形．∵四边形ABCD 和四边形A B C D ''''位似，位似比1k =2四边形A B C D ''''和四边形A B C D """"位似，位似比2k =1∴四边形A B C D """"和四边形ABCD 的位似比为12．【点睛】本题考查位似图形的判定方法与性质，解题的关键是要明确位似图形是特殊的相似图形，相似具有传递性．12．1：2【分析】由△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，得出相似比解答即可．【详解】∵△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形．又∵AE 、CB 分别是△OAB 、△OCD 的中线，∴相似比是12OB OD =，∴AE ：CB =1：2．故答案为1：2．【点睛】本题考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系进行解答．13．1:9【分析】利用位似图形及相似三角形的性质即可解题．【详解】:1:2OA AA '=:1:3OA OA '∴=． ∵四边形ABCD 与四边形A B C D ''''位似//AB A B ''∴OAB OA B ''∴△△13AB OA A B OA ∴=='''∴四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的面积比为211:93⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：1：9．【点睛】本题主要考查相似三角形及位似图形的性质，掌握相似三角形和位似图形的性质是关键．。

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专题27 以形助数
——借助图形思考
例1 7 提示：设圆周长为9，套成的三角形三边所对的弧长分别为x ，y ，z ，则x+y+z=9，不妨设z y x ≤≤，则（x ，y ，z ）只有（1，1，7），（1，2，6），（1，3，5），（1，4，4），（2，2，5），（2，3，4）和（3，3，3）这7种情形.
例2（1）900 （2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇.（3）由图像可知，慢车12h 行驶的路程为900km ，所以慢车的速度为12900=75km/h ；当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶的速度之和为
4
900=225km/h,所以快车的速度为150km/h.（4）根据题意快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶150900=6h 到达乙地，此时两车之间的距离为6×75=450km ，所以点C 的坐标为（6，450）.设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，把（4，0），（6，450）带入得⎩⎨⎧+=+=b k b k 645040，解得⎩⎨⎧-==900
225b k
所以，线段BC 所标示的y 与x 之间的函数关系式为y=225x-900.自变量x 的取值范围是64≤≤x .
（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h ，把x=4.5代入y=225x-900，得y=112.5，此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离112.5km ，所以两列快车出发间隔的时间是112.5÷150=0.75h ，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h.
例3 设只收看A,B,C 三个栏目的观众人数分别为x ，y ，z ，没有收看栏目A 而收看栏目B 和栏目C 的人数为m.不只收看栏目A 的人数为n ，如图所示.
()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++++=-=+=+,
28,
,1,2z m y n x z y x x n m z m y 得z=29-4y. 由y-2z=m ≥0得9y-58≥0，∴9
58≥y
由29-4y=z ≥0得y
≤429，∵y 为整数，∴y=7 从而z=1，x=8，n=7，m=5. 故栏目A 的收视率为
28n x +×100﹪=2825×100﹪≈53.6﹪ 例4 第一个是丙，第三个是甲，第五个是丁.
例5如图，A,B,C 三个圆分别表示数学、外语、语文优秀学生的
集合，而a ，b ，c ，…，f ，g 则分别表示各类优秀学生的人数，
如g 表示数、外、语三科均优秀的学生人数f 表示语、外两科
优秀而数学不优秀的学生人数.
则⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=+=+++=+++=+++10,1817,16,29,31,32g g f g d g e g f e c g f d b g e d a 解得：a=9，b=6，c=5，d=7，e=6，f=8，g=10.
故a+b+c+d+e+f+g=51.说明数、外、语三科中至少有一科优秀的学生共有51人，而全班仅有50人，故统计错误.
【能力训练】
1.2 提示：如图，用5个点表示甲、乙、丙、丁及小强这5个人，如果两个人已经赛过一
盘，就在相应的两个点之间连一条线段.
2.4.4小时
3.24
4.32﹪ 提示：依照图中数据计算：0000000
01002.108.155.12442.10298.1526
5.12⨯++⨯+⨯+⨯=32﹪ 5.5：1
6.C 提示：由直方图可知，乘车人数为25人，由扇形图可知，乘车人数占全班总人数的50﹪.故全班总人数为25÷50﹪=50人.步行人数为50×30﹪=15（人）.骑车人数为50-25-15=10（人）.
7.C
8.D 提示：若A,C种同一种植物，则A,C有4×1种栽种法，B,D都有3种栽种法，共有4×3×3=36种栽种方案；若A,C种不同的植物，则有4×3种载法，B,D都有2种，共有4×3×2×2=48种栽种方案.故共有36+48=84种栽种方案.
9.15人提示：如图，用A,B两个圆分别表示参加
数学竞赛的男、女生人数，用C,D两个圆分别表示参
加英语竞赛的男、女生人数，只参加数学竞赛的男生
人数是120-75=45人，只参加英语竞赛的男生人数是
80-75=5人，设两科都参加的女生人数为x人，则只
参加数学竞赛的女生数为（80-x）人，只参加英语竞
赛的女生人数为（120-x）人，由题意得
120-x+80-x+x+45+75+5=260，解得x=65，故答案为80-x=15人.
10.从A城出发到B城的路线分成如下两类：（1）从A城出发到达B城，经过O城。

因为从A城到O城所需最短时间为24h，从O城到B城所需最短时间为22h，所以，此类路线所需最短时间为24+22=46h.（2）从A城出发到达B城，不经过O城，这时从A城到达B城，必定经过C,D,E城或F,G,H城，所需时间至少为47h.。