以形助数,以数辅形
中学数学研究的对象可分为两大部分
中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称它为数形结合，或形数结合。
数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
巧妙地应用数形结合思想解题，往往会使抽象问题直观化，复杂问题简单化，从而达到优化解题途径的目的。
3.数形结合思想在中学数学中的地位3.1从教与学的现状来看数形结合思想数形结合思想方法的教学价值及其解题功能，己被广大数学教育工作者所认识，其理论研究与实践探索也渐趋深入。
在实际教学中，数形结合的教学方法还没有完全付诸实践目前尚且存在一些不足，其主要表现为数形结合教学目标不清晰，数形结合教学过程不深入，课堂教学中数形结合思想使用不太完善，有序性、层次性、过程性则显得不足。
有的教师甚至只是把它看成是解题的一种手段，只在使用时一带而过，有名无实。
主要表现在：①讲授概念、定理的几何意义，只是照本宣科，课本上有的讲课本上没有的不讲。
②在教法上，从数到形的翻译过程过于简单，起不到以形助数的作用，有不少学生认为讲几何意义增加了学习负担。
③教师的基本功不过关，绘图了草，图形不准确，靠图形说明不了应说明的问题。
④用几何语言表达图形，性质训练不充分，不少学生不会用几何语言表达几何意义。
⑤学生缺乏数形结合意识，学生空间思维构建能力相对较为薄弱，如有问题，不能主动的使用数形结合思想解决问题。
由此可见，在数学教学中数形结合方法的运用，是一个值得研究的课题。
3.2从思维能力方面来看数形结合的思想数形结合思想能够帮助学生树立现代思维意识：第一，通过数与形的结合，把形象思维与抽象思维有机结合起来，尽可能的做到先形象后抽象，这样不但能是学生们的这两种思维同时得到发展，而且为学生形成辩证思维能力创造了条件；第二，通过数形结合引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点来考虑问题；第三，通过数形结合，能够有的放矢的帮助学生，从多角度、多层次出发思考问题，养成多向思维的好习惯。
高考数学数形结合数形结合思想
当a≠0时,函数y=ex+m-1(x≥0)和函数y=ax+b(x<0)都是定高义考域导航内的单调函数, 且函数y=ex+m-1(x≥0)的值域为[m,+∞),
则由题意得函数y=ax+b(x<0)的值域为(m,+∞),
b m,
ex m-1,x 0,
所以a
0,
则函数
f(x)=
ax
m,x
0,
其值域为[m,+∞), |f(x)|的大致图象如图所示,
4
4
当直线l经过点B时,有1=- 1 ×1+a,a5= .
4
4
由图可知,a∈
5 4
,时94 ,
函数y=f(x)的图象与l恰有两个交点.
另外,当直线l与曲线y= 1 ,x>1相切时,
x
恰有两个公共点,
此时a>0.
应用一 栏目索引 高考导航
联立得
y y
1,
x得
-1 x 4
=-
a,
1x+a1,即
x4
栏目索引
以形助数(数题形解)
以数辅形(形题数解)
高考导航
借助形的生动性和直观性来阐述 借助于数的精确性和规范性及严
数之间的关系，把数转化为形，即 密性来阐明形的某些属性，即以数
以形作为手段，数作为目的解决数 作为手段，形作为目的解决问题的
学问题的数学思想.
数学思想.
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总纲目录
应用一 数形结合思想在解决方高程考导的航 根或函数 零点问题中的应用 应用二 数形结合思想在求解不等式或参数范 围中的应用 应用三 数形结合思想在向量中的应用 应用四 数形结合思想在解析几何中的应用
二轮专题复习(03)：数形结合思想
）中考第二轮专题复习三：数形结合思想数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：Ⅰ、借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；Ⅱ、借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质一、借助数轴解数与式的问题[例1](山西·2006中考)实数b a ,在数轴上的位置如图所示,化简:2)(a b b a -++=__________.二、借助平面直角坐标系解函数问题 [例2]如图（1），某抛物线y=ax2+bx+c 交x 轴交于A 、B 两点，A （1，0），B （5，0），当x____________时，y=0.当x_____________时y>0，当x____________时，y<0.（2）如图（2）直线y=kx+b 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，且A （-3，0）、B （0，2），则直线解析式为___________________，根据图象直接写出当x__________时；y>0，当x_____时，y<0；当x_____时，y=0.（3）如图（3）某抛物线y1=ax2+bx+c 与某直线y2=kx+b 交于A 、B 两点，且A （-4，3）、B （2，1）。
当___________时y1>y2；当______________时y1=y2；当_____________时y1<y2.（填x 的取值范围）三、利用图形理解代数恒等式【例3】[2007年辽宁十二市] 图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ） A 、22()()4m n m n mn +--= B 、222()()2m n m n mn +-+= C 、222()2m n mn m n -+=+ D 、22()()m n m n m n +-=-四、借助直角三角形解三角比问题[例4](南京·2007中考)如图,A 、B 两地之间有一座山,汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A —C —B 行驶,现开通隧道后,汽车直接沿直线AB 行驶.已知AC=10km,∠A=30°,∠B=45°,则隧道开通后,汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1km)(参考数据:41.12≈,73.13≈)五、借助勾股定理等几何图形的知识解实际问题[例5](上海·2006中考)本市新建的滴水湖是圆形人工湖.为测量该湖的半径,小杰和小丽沿湖边选取A 、B 、C 三根木柱,使得A 、B 之间的距离与A 、C 之间的距离相等,并测得BC 长为240米,A 到BC 的距离为5米,如图1所示.请你帮他们求出滴水湖的半径.· ··0 a b· · · AB C例4图2· OD ABC3045例3【巩固练习】1、一次函数32--=x y 的图象不经过第 象限2、如果正比例函数kx y -=的图象经过第一、三象限，那么直线3+=kx y 经过第_______象限。
数形结合的思想
变式训练 3 已知点 P 在抛物线 y2＝4x 上， 那么点 P 到点 Q(2， －1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时， 点 P 的坐标为 1 A．( ，－1) 4 C．(1,2)
解析
( A ) 1 B．( ，1) 4 D．(1，－2)
定点 Q(2，－1)在抛物线内部，由抛
物线的定义知，动点 P 到抛物线焦点的距 离等于它到准线的距离，问题转化为当点 P 到点 Q 和到抛物线的准线距离之和最小时， 求点 P 的坐标，显然点 P 是直线 y＝－1 和抛 1 2 物线 y ＝4x 的交点，解得这个点的坐标是(4，－1)．
又∵α、β∈(0,2π)，且 α≠β. ∴直线 l 不过点(1,0)，即 3＋a≠0. ∴a≠－ 3，即 a∈(－2，－ 3)∪(－ 3，2)．
(2)如图，不妨设∠xOA＝α，∠xOB＝－β， α－β 作 OH⊥AB，垂足为 H，则∠BOH＝ . 2 ∵OH⊥AB，∴kAB· kOH＝－1. α＋β 3 ∴tan 2 ＝ 3 . α＋β 又∵ ∈(0,2π)， 2 π 7π ∴α＋β＝3或 α＋β＝ 3 . π a 方法二(1)原方程可化为 sin (θ＋ )＝－ ，作出函数 3 2 π y＝sin (x＋3)(x∈(0,2π))的图象．
Hale Waihona Puke 3．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： (1)等价性原则， 要注意由于图象不能精确刻画数量关系所 带来的负面效应． (2)双方性原则， 既要进行几何直观分析， 又要进行相应的 代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错． (3)简单性原则， 不要为了“数形结合”而数形结合， 具体 运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二是选择好突破 口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三是要挖掘 隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数 图象时应设法选择动直线与定二次曲线．
“数形结合思想在数学教学中的应用”例谈
“数形结合思想在数学教学中的应用”例谈【摘要】数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
它不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法，在数学教学过程中，处处渗透着数形结合的思想。
本文试从“以形助数”、“以数辅形”两个方面，举例说明“数形结合”在数学教学中的应用，重点列举了在解集合、函数、方程与不等式、数列、线性规划、解析几何、立体几何等问题中的应用，藉此引起广大数学教师对“数形结合”的重视。
【关键词】数形结合数学教学以形助数以数辅形数形结合思想，通俗讲就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。
它不仅是解决数学问题的一种策略和思想，而且也是解决数学问题的一种重要的方法。
华罗庚先生曾指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
”在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化。
因此，数学教学中突出“数形结合”思想才是充分把握住了数学的精髓和灵魂。
数学教学中数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数辅形”把直观图形数量化，使形更加精确。
下面笔者尝试从集合、函数、方程与不等式、数列、线性规划、解析几何、立体几何等方面分别例举“数形结合”思想在数学教学中的应用。
1.以形助数1.1 数形结合思想在集合中的应用。
对于集合各种运算概念的理解，借助简单的韦恩图表示两集合间的交、并、补等运算，认清集合的特征，把其转化为图形关系，就可以借助图形使问题直观，具体、准确地得到解决。
例1：有48名大学生，每人至少参加一项公益活动，参加乡村支教、敬老院服务、清扫街道的人数分别为28，24，15，同时参加乡村支教、敬老院服务的有8人，同时参加乡村支教、清扫街道的有5人，同时参加敬老院服务、清扫街道的有7人，请问同时参加这三项活动的有多少人？分析：一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。
以形助数 以数辅形
第二种:（8+2) x 2 =20(厘米） x 第 三种=4 4= 1 6 厘米
在 这 样 的 探 究 过 程 中 ，不 仅 仅 是 解 决 问 题 ，更 是 让 学生在观察、分 析 、概 括 的过程中，感悟知识背后负载
师:通过线段图你发现了哪些数量关系？
X X 生 :原 价 现 价 ，原 价 (1 - 5 > 现价。
师:这两道题有什么联系和区别呢？
1 生:这两道题单位“”的量都是一样的。而且线段
图的画法也一样，都是把原价平均分成5 份 ，现价相当 于这 样 的 4 份 ，降价的部分相当于这样的1 份 。
出示第二组题：
在 整 理 与 复 习 中 ，投 影 出 示 第 一 组 题 ：
1.一件衣服原价200元 ，现价是原价的j 。现价多
少元？
2.—件 衣 服 原 价 200元 ，现 在 降 价 + 。现价多少
元？
1 要 求 学 生 先 判 断 单 位 “”的 量 ，再通过 画 线 段 图 来
分析数量关系。
现价=原 价 X ( 1 -
1.一条裤子售价200元 ，只相当于原价的j 。原价
多少元？
2 —条裤子售价200元 ，比原价降低了f 。原价多
少元？
“1 继续要求学生先判断单位ห้องสมุดไป่ตู้”的量，再通过画线段
图来分析数量关系。
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实践摞索--------------------------
1 师 :说一说这两题的单位“”的量以及数量关系。
1 1 应 量 、求单位“”的量三类，学生只要记住:单位“”的 X 量 对 应 分 率 = 对 应 量 、对 应 量 + 对 应 分 率 = 单位 1“ 的量等数量关系，再按一定步聚、固定模式解答即
例谈数形结合的方法
例谈数形结合的方法作者：朱月祥王海成来源：《江西教育C》2015年第12期数学上总是用数的抽象性和精确性来说明形象的事实，同时又用图形的直观性来说明抽象的事实。
或以数辅形，用严密的逻辑推理来精确刻画直观的形象；或以形助数，用形象的几何图形启迪抽象的代数思维。
这种数形结合就是把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机结合起来，实现形象思维与抽象思维的优势互补，体现了数与形之间的沟通与变换。
既利于探求解题途径，又可深刻认识问题的本质。
一、以数辅形例1：P为等边△ABC的外接圆BC弧内任意一点，连接PA、PB、PC，如图求证：（1）PB+PC=PA；（2）PB·PC=PA2-AB2；（3）PA≤■AB；（4）PA2+PB2+PC2为定值。
分析：由本题第（1）、（2）的结构，应该联想到韦达定理；由问题中出现的二次方，应该联想到余弦定理。
这两步实现了数与形的完美结合，用一个代数理论就可以统一解决这四个问题。
解：记正△ABC的边长为a，当PB=PC时，以上结论显然成立。
当PB≠PC时，分别在△PBC、△PAC中用余弦定理，有：AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB=PA2+PB2-PA·PB，即PB2-PA·PB+（PA2-a2）=0，同理得PC2-PA·PC+（PA2-a2）=0，这表明PB、PC是二次方程x2-PA·x+（PA2-a2）=0的两个实数根，由韦达定理有：PB+PC=PA；PB·PC=PA2-AB2。
又由方程有实数根知判别式非负，即：△=PA2-4（PA2-a2）≥0，即PA≤■AB。
PA2=PB2+PC2+2PB·PC=PB2+PC2+2（PA2-a2），即PA2+PB2+PC2=2AB2=2a2，为定值。
二、以形助数例2：已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f （x）分析：函数的值域及不等式的解与函数的图象存在密切的联系，本题是一个逆向问题，虽然参数多，但如果利用函数图象的“形”体现参数字母的“数”，以形助数，则可使问题得到解决。
数学总复习之数学思想《数形结合》
数学总复习之数学思想《数形结合思想》一、要点：数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
题型一数形结合思想在解决方程的根的个数、不等式解集的问题中的应用【例题1】已知函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时， f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是 ；A ．5B ．7C ．9D ．10题型二 数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用【例题2】若关于x 的方程x x m 245-+=||有四个不相等的实根，求m 的取值范围．题型三 数形结合思想在向量中的应用【例题3】设,a b 是非零向量，且2a =，22a b +=，则a b b ++的最大值是 ．题型三 数形结合思想在求最值中的应用【例题4】设{}2()min 24,1,53f x x x x =++-，则max ()f x = ．二、课后作业1. 方程lg sin x x =的实根的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 函数y a x y x a ==+||与的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()1，+∞B. ()-11，C. (][)-∞-+∞，，11D. ()()-∞-+∞，，11 3. 设命题甲：03<<x ，命题乙：||x -<14，则甲是乙成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 不充分也不必要条件4．设函数,021(),0x x f x x x -≤⎧-=⎨>⎩，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是 ( )A.(-1,1)B.(-1，+∞)C.(-∞，-2)∪(0，+∞)D.(-∞，-1)∪(1，+∞)5．已知集合A={}{}|23,|14x x B x x x -≤≤=<->或,则集合A B =_________.6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为___________.7．设全集U ＝{x |0＜x ≤10，x ∈N*}，若A ∩B ＝{3}，A ∩ðU B ＝{1，5，7}，ðU A ∩ðU B ＝{9}，求A ，B ．8．已知实系数一元二次方程x 2＋ax ＋2b ＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：(1)点(a ，b )对应的区域的面积；(2)b －2a －1的取值范围；(3)(a －1)2＋(b －2)2的值域．。
数形结合思想
数形结合思想数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学．”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决．“数”与“形”是一对矛盾，华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合．如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系和单位圆来定义的．数形结合在解决集合运算、函数方程、不等式、解析几何、三角、向量等问题中均有广泛运用．应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．数形结合的途径（1）通过坐标系形题数解借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化．这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大简化代数推理）实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义，如等式22(2)(1)4xy ．常见方法有：（1）解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系．（2）三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径． （3）向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．把抽象的几何推理化为代数运算．特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循．（2）通过转化构造数题形解许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将|a |与距离互化，将a 2与面积互化，将a ≥b ≥c ＞0且b +c ＞a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）．另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用．常见的转换途径为：1°方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题．2°利用平面向量的数量关系及模AB 的性质来寻求代数式性质．3°构造几何模型．通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将2a与正方形的面积互化，将abc 与勾股定理沟通等等．4°利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离002dA B，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质．2．数形结合的原则 （1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导．（2）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．（3）简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单．而不是去刻意追求一种固定的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法．一、引入1．函数()|log |(0a f x x a ，1)a 的单调递增区间是 A ．(0]a , B ．(0),C ．(01],D ．[1),2．方程2243xx x 的实数解的个数是A ．1B ．2C ．3D ．以上都不对3．已知不等式2log 0m xx在1(0)2x,时恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．01mB ．1116mC ．1mD ．1016m4．如果实数x y 、满足22(2)3x y ，则y x的最大值为A ．12B ．3C ．2D ．5．在平面直角坐标系中，点O (0，0)，P (6，8)，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得向量OQ ，则点Q 的坐标是 A ．(722), B ．(722), C ．(462), D ．(462),6．若2()f x x bx c 对任意实数t ，都有(2)(2)f t f t ，则(1)f 、(3)f 、f ()4由小到大依次为___________．7．对a b R ,，记max{}.a ab a b b ab ,,,, 函数()max{|1||2|}f x x x ,的最小值是_________．8．若方程22320xax a 的一个根小于1，而另一根大于1，则实数a 的取值范围是______．9．已知奇函数()f x 在(0),上是增函数，且(3)0f ，不等式()0xf x 的解集为_________．10．已知定义在[11],上的函数()f x 为增函数，则不等式11()()21f x f x 的解集为 ． 11．若关于x 的方程223320x xa 在[02],上只有一个根，则实数a 的取值范围是______． 12．讨论关于x 的方程|31|xk （k R ）根的个数．二、例题：1．方程2221xx x 的实数解的个数是A ．1B ．2C ．3D ．以上都不对2．已知不等式2log 0xm x在1(0)2x,时恒成立，则m 的取值范围是 ．3．点A (2，1)在圆225x y 上，将点A 绕原点O 顺时针旋转到点B ，求B 的坐标．4．当[1)x ,时，不等式222x ax a 恒成立，求a 的取值范围．5．设关于θsin 0θθa 在区间(02)π,内有相异的两个实根α，β，求实数a 的取值范围，并求α+β的值．三、练习：1．方程sin lg x x 的根的个数有 ．2．设方程 22xx的实根为a ，2log 2xx的实根为b ，则ab．3．方程2||10xx a 有四个根，则a 的取值范围是 ．4．设a b c ,,均为正数，且122log aa ，121()log 2b b ，21()log 2c c ，则A ．ab c B ．c b a C ．c a b D ．b a c5．设函数2log (1)2()1()1 2.2xx xf x x ,,,若0()1f x ，则0x 的取值范围是 A ．(0)(2),, B ．(02), C ．(1)(3),, D ．(13), 6．若log a 2<log b 2<0，则a ，b 的取值范围是A ． 0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．a >b >1D ．b >a >1 7．已知0x 是函数1()21xf x x的一个零点，若10(1)x x ,，20()x x ,，则A ．12()0()0f x f x ,B ．12()0()0f x f x ,C ．12()0()0f x f x , D ．12()0()0f x f x ,8．已知01a ，则方程|||log |x a a x 的根的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3个 9．方程1sin()44πxx 的实数解的个数是( ) A ． 2 B ．3 C ．4 D ．以上均不对 10．函数||y a x 与y x a 的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是A ．(1)，B ．(11)，C ．(1][1)，，D ．(1)(1)，，11．若(12)x ，时，不等式2(1)log a x x 恒成立，则a 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（1，2]D ． [1，2]12．定义在R 上的函数()y f x 在(2)，上为增函数，且(2)y f x 是偶函数，则（ ）A ．(1)(3)f fB ．(0)(3)f f C ．(1)(3)f f D ．(2)(3)f f13．已知51260xy 的最小值是A ． 6013B ．135C ．1312D ．1 14．已知()22ππx ,，则sin x ，tan x 与x 的关系是 A ．tan sin xx x B ．tan sin x x x C ．|tan ||||sin |x x x D ．不确定15．已知函数2()11([01])f x x x ,，对于满足121x x 的任意12x x ,，给出下列结论：①1212()[()()]0x x f x f x -；②2121()()()f x f x x x -；③2121()()()22f x f x x x f ．其中正确的结论的序号是A ．①B ．②C ．③D ．①③ 16．若关于x 的方程24||5x x m 有四个互不相等的实根，则实数m 的取值范围是 ． 17．函数2222613y x x x x 的最小值为___________．18．若直线yx m 与曲线21yx 有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ．19．若不等式|1||1|m x x 的解集是非空数集，那么实数m 的取值范围是_________． 20．对a bR ,，记min{}.b a b a b a ab ,,,, 函数1()min{|1|2}2f x x x ,的最大值是_________． 21．求函数sin 2cos 2x y x 的值域．22．关于x 的方程2230x kx k 的两根都在1和3之间，求k 的取值范围．23．已知向量(34)OA ,，(63)OB ,，(53)OC m m ,． （1）若点A B C ,,能够成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若△ABC 为直角三角形，且A 为直角，求实数m 的值．。
浅析数形结合思想在高中数学中的应用
浅析数形结合思想在高中数学中的应用数与形是数学中最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数形结合的结合思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。
以数思形，以形想数，做好数形转化。
运用数形结合思想应遵循的原则：（1）等价性原则；（2）双方性原则；（3）简单性原则。
数形结合思想常解决以下问题：（1）构建函数模型结合图像研究参数的取值范围，方程根的范围，量与量之间的大小关系，函数的最值问题和证明不等式等；（2）构建立体几何模型研究代数问题；（3）构建解析几何中的斜率，截距，距离等模型研究最值问题；（4）构建方程模型，求根的个数等。
例1：设函数f（x）=，若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是（）。
解析：如下图作出函数g（x）=x3-3x与直线y=-2x的图象，它们的交点是A（-1，2），O（0，0），B（1，-2），由g`（x）=3x2-3，知x=-1是函数g（x）的极大值点。
①当a=0时，f（x）=，因此f（x）的最大值是f（-1）=2。
②由图象知当a≥-1时，f（x）有最大值是f（-1）=2；只有当a<-1时，由a3-3a<-2a，因此f （x）无最大值，所以所求a的范围是（-∞，-1），故填：（-∞，-1）。
点评：分段函数含字母参数求最值问题，通过把“数”化为“形”来解决，直观形象。
例2：（2017浙江，21节选）如右上图，已知抛物线x2=y，点A（-，）B（，），抛物线上的点P（x，y）（-<x<）。
过点B作直线AP的垂线Q。
求|PA|·|PQ|的最大值。
解析：联立直线AP与BQ的方程，解得点Q的横坐标是xQ=，因为|PA|=1+k2(x+)=1+k2(k+1)，|PQ|=1+k2(xQ-x)=- ，所以|PA||PQ|=-（k-1）（k+1）3，令f（k）=-（k-1）(k+1)3，因为f`（k）=-（4k-2）（k+1）2，所以f(k)在区间（-1，）上单调递增，（，1）上单调递减，因此当k=时，|PA|·|PQ|取得最大值。
以形助数,以数解形——谈数形结合思想在小学数学中的应用
以形助数,以数解形——谈数形结合思想
在小学数学中的应用
数形结合思想在小学数学中的应用数形结合思想是数学教学的重要组成部分，在小学数学教学中，数形结合思想起着至关重要的作用。
一般来说，数形结合思想是指以形助数，以数解形，即把数学具体化，结合实际情况，把抽象的数学知识转化为具体的形象，从而更好地理解和运用数学知识。
在小学数学教学中，数形结合思想具有特别重要的作用。
例如，教学加法时，可以通过图形的方式来让学生们更好地理解加法的概念，理解加法的运算过程。
比如，当教学加法时，可以画出三个圆圈，我们可以让学生在每个圆圈里画几个小圆点，代表每个圆圈里有几个东西，然后让学生将三个圆圈里的小圆点加起来，就可以得到最后的结果。
这样，学生们就可以更好地理解加法的概念，知道加法的运算过程，从而更好地应用加法。
此外，数形结合思想还可以帮助学生们更好地理解减法的概念，更好地运用减法。
教学减法时，可以画出两个圆圈，在每个圆圈里画几个小圆点，代表每个圆圈里有几个东西，然后让学生从第一个圆圈里减去第二个圆圈里的小圆点，就可以得到最后的结果。
这样，学生们就可以更好地理解减法的概念，知道减法的运算过程，从而更好地应用减法。
用数形结合思想教学数学时，还可以画出图形，让学生们更好地理解乘法、除法等数学知识的概念，更好地运用这些知识。
比如，教学乘法时，可以画出一个矩形，把这个矩形分成几个小矩形，代表乘法的因数，然后让学生们计算出最后的结果，就可以更好地理解乘法的概念，知道乘法的运算过程，从而更好地应用乘法。
总之，以形助数，以数解形，是小学数学教学中重要的一种数学思想，它可以帮助学生们更好地理解和运用数学知识，起到重要的作用。
数形结合思想
——数形结合思想
1.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与 形的相互转化来解决数学问题的思想. 数形结合思想的应用包括以下两个方面： (1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化， 能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质； (2)“以数辅形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程 f(x)＝lg x 解的个数是 A.5 B.7 C.9 D.10
4 练习 3.1 设有函数 f(x)＝a＋ －x －4x和 g(x)＝ x＋1，已知 3
2
x∈[－4,0]时恒有 f(x)≤g(x)，求实数 a 的取值范围.
解 f(x)≤g(x)，
4 即 a＋ －x －4x≤ x＋1， 3 4 2 变形得 －x －4x≤3x＋1－a，
题型二
例2
数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题
已知点 P(x，y)的坐标 x，y
x－2y＋1≥0， 满足 |x|－y－1≤0，
则 x2＋y2－6x＋9 的取值范围是 A.[2,4] B.[2,16] C.[4,10] D.[4,16]
(
)
练习 2.1 已知函数 f(x)＝ax2＋bx－1(a，b∈R 且 a>0)有两个零 b 点，其中一个零点在区间 (1,2) 内，则 的取值范围为 a＋1 ( ) B.(－∞，1] D.(－2,1) A.(－∞，1) C.(－2,1]
练习 2.2 求函数 y
x 2 1 x 2 6x 18 的最小值
y x 2 1 x 2 6x 18
( x 0) (0 1) ( x 3) (0 3)
高中数学教学中数形结合方法的作用
高中数学教学中数形结合方法的作用“数形结合”就是以数学问题的条件和结论之间的内在联系为依据，在分析其代数意义的同时揭示其几何的直观意义的解决数学问题的方法。
数形结合包括“以数辅形”、“以形助数”两个方面。
同时有效的“数形结合”方法的运用，往往会使复杂问题简单化、抽象问题直观化，从而达到优化解题途径的目的。
1.数形结合的概念数学中的两个最基本也最古老的研究对象就是“数”与“形”，它们在一定条件下可以相互转化。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。
” 我国著名数学家华罗庚也曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”可见，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。
因此，我们可以这样理解，“数形结合”就是以数学问题的条件和结论之间的内在联系为依据，在分析其代数意义的同时揭示其几何的直观意义的解决数学问题的方法。
从而使数量间的空间形式的直观形象和代数数据的精确和谐并巧妙的相结合。
同时，充分利用这种结合寻找解题思路，化繁为简、化难为易，从而解决数学中所存在的需要解决的相关问题。
众所周知，“数形结合”主要指的是数与形之间的一一对应关系。
简而言之，数形结合就是指将直观的几何位置、图形关系抽象的数量关系、数学语言相结合，同时通过“以数解形”、“以形助数”的方式使抽象问题具体化，复杂问题简单化，从而油滑解题方法。
即通过形象思维和抽象思维的结合优化解题途径。
所以说，究其本质，数形结合是一个包含“以数辅形”、“以形助数”数学思想方法。
数形结合的思想，关键是图形与代数问题之间的相互转化，其实质是将直观的图像与抽象的数学语言相结合。
此种方法在很大程度上，可以使几何问题代数化或者代数问题几何化。
但是，当我们要采用数形结合思想分析问题、解决问题的时候必须注意以下几点：其一，设恰当参数，在合理用参的基础上建立关系，同时由“形”想“数”或者以“数”思“形”，做好数形转化；其二，确定参数的正确的取值范围；其三，要明确某些曲线的代数特征以及相关代数概念、运算的几何意义，并在此基础上对数学题目中的条件和结论进行代数意义和几何意义的分析证明。
运用数形结合的思想方法解题1
运用数形结合的思想方法解题1【方法技巧与总结】1、以形助数（数题形解）：借助形的生动性和直观性来阐述数与形之间的关系，把抽象问题具体化，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想．2、以数辅形（形题数解）：借助于数的精确性、规范性、严密性来阐明形的某些属性，把直观图形数量化，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想．【核心考点】核心考点一：研究函数的零点、方程的根、图象的交点【典型例题】例1．（2023·河北衡水·高三周测）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则在区间(]2,6-内关于x 的方程()()2log 20f x x -+=的根的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，所以(2)(2)(2)f x f x f x -=+=-，即()(4)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为4，当[0,2]x ∈时，则[2,0]x -∈-，此时()()112xf x f x -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，即()21,[0,2]xf x x =-∈，由()2log (2)0f x x -+=，(]2,6x ∈-，得()2log (2)f x x =+，分别作出函数()y f x =和2log (2)y x =+，(]2,6x ∈-的图象，如图所示，则由图象可知两个函数的图象的交点个数为4个，即方程()()2log 20f x x -+=的零点个数为4个．故选：D ．例2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩ 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-【答案】C【解析】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '，则00,12y y x x +==-，所以02y y =--，而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--，所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =，所以ln122AC k k =-=-=-；（2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得=1x -，所以2(1)31AB k k =-=-+=，故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点；在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-．故选：C ．例3．（2023·上海·高三专题练习）已知函数f （x ）＝x 2＋ex －12（x <0）与g （x ）＝x 2＋ln（x ＋a ）的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．(-∞B ．(-∞C ．)+∞D ．)+∞【答案】B【解析】()()2102xx e f x x =+-<关于y 轴对称得到的函数为()()2102x h x x e x -=+->，依题意可知()h x 与()g x 在()0,∞+上有公共点，由()()h x g x =得()221ln 2xx e x x a -+-=++，()11ln 2x x a e =++．对于函数1x y e=，在()0,∞+上单调递减，且()0,1y ∈．对于函数()1ln 2y x a =++，在()0,∞+上单调递增．当0a ≤时，1ln 2x +的图像向右平移a 个单位得到()1ln 2y x a =++，与1x y e=图像在()0,∞+上必有1个交点．当0a >时，1ln 2x +的图像向左平移a 个单位得到()1ln 2y x a =++，要使()1ln 2y x a =++与1x y e =图像在()0,∞+上有交点，则需当0x =时（也即y 轴上），()1ln 2y x a =++的函数值小于1x y e =的函数值，即0111ln ,ln 22a a e +<<，解得0a <<综上所述，a 的取值范围是(-∞．故选：B ．例4．（2023·全国·高三专题练习）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x R ∈，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A ．2142⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．20,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】 对于任意的x R ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，∴函数()f x 关于直线2x =对称，又 当[2x ∈-，0]时，1()2()2xf x =-，且函数()f x 是定义在R 上的偶函数，故函数()f x 在区间(2-，6]上的图象如下图所示：若在区间(2-，6]内关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有3个不同的实数解则log 42a >-，log 82a <-，解得：21(,)42a ∈故选：A核心考点二：解不等式、求参数范围、最值问题【典型例题】例5．（2023春·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）设函数()()()222ln 2f x x a x a =-+-，其中0x >，a R ∈，若存在0x R ∈，使得()045f x ≤成立，则实数a 的值是A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】A【解析】函数()f x 可以看作是动点2(,)M x lnx 与动点(,2)N a a 之间距离的平方，动点M 在函数2y lnx =的图象上，N 在直线2y x =的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由2y lnx =得，22y x'==，解得1x =，∴曲线上点(1,0)M 到直线2y x =的距离最小，最小距离d ==则4()5f x ，根据题意，要使04()5f x ，则04()5f x =，此时N 恰好为垂足，由2021112MN a a k a a -===---，解得15a =．故选A ．例6．（2023·全国·高三专题练习）m ≥对任意a ∈R ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦B ．2⎛-∞⎝⎦C ．(-∞D ．(],2-∞【答案】B【解析】设T =T 的几何意义是直线y x =上的点(,)P a a 与曲线()ln f x x =上的点(,ln )Q b b 的距离，将直线y x =平移到与面线()ln f x x =相切时，切点Q 到直线y x =的距离最小．而()1f x x'=，令()0011f x x ='=，则01x =，可得(1,0)Q ，此时，Q到直线y x ==min ||PQ =所以2m ≤．故选：B例7．（2023春·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考期中）设函数()2x f x xe a =+，()x g x e ax =+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得00()()f x g x <，则a 的取值范围是（）A ．3[2e-，1)B ．3[2e，1)C ．3[2e -，3)4D ．3[2e ，3)4【答案】B【解析】由题意可知，存在唯一的整数x ，使得(21)x x e ax a -<-，构造函数()(21)x h x x e =-，则()(21)x h x x e '=+．当12x <-时，()0h x '<；当12x >-时，()0h x '>．所以，函数()(21)x h x x e =-的单调递减区间为1(,)2-∞-，单调递增区间为1(,)2-+∞．函数()y h x =在12x =-处取得极小值1()2h -=如下图所示，由于(0)1h =-，3(1)h e-=-，所以，(1)(0)h h -<，结合图象可知，(0)0(1)(1)h a a h a a<⨯-⎧⎨-⨯--⎩ ，解得312a e <．故选：B核心考点三：解决以几何图形为背景的代数问题【典型例题】例8．（2023·全国·高三专题练习）已知3,||,||AB AC AB t AC t ⊥==，若点P 是ABC 所在平面内的一点，且3||||AB ACAP AB AC =-，则PB PC ⋅ 的最大值等于（）A ．8B ．10C ．12D ．13【答案】C【解析】∵AB AC ⊥，∴可以A 为原点，,AB AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；不妨设()30,,(,0)B t C t ，则(0,1)3(1,0)(3,1)AP =-=- ，故点P 坐标为(3,1)-则()33,1,(3,1)PB t PC t =--=-- ，∴()333(3)1310PB PC t t t t ⋅=---+-=-++ 令3()310,0f t t t t =-++>，则2()333(1)(1),0f t t t t t =-+=-+-≥'，则当(0,1)t ∈时，()0f t '>，当(1,)t ∈+∞时，()0f t '<，则函数()f t 在[0,1)递增，在(1,)+∞上递减，则max ()(1)12f t f ==，即PB PC ⋅的最大值为12．故选：C ．例9．（2023春·浙江杭州·高二学军中学阶段练习）222410282x x x x -+-+≤的解集为[],a b ，则ab 的值是（）A ．5B ．42C ．6D ．7【答案】D【解析】设23y =，则3y =()()2222152x y x y -+-+≤．()()2222152x y x y -+-+=．()()2222152x y x y -+-+=±()()2222152x y x y -+=-+，两边平方可得，()()()22222215454x y x y x y -+=-+±-+，整理可得，()22527x y x ±-+=-，两边平方整理可得()22313y x --=．()()2222152x y x y -+-+=表示的点(),x y 在双曲线()22313y x --=上．()()2222152x y x y -+-+≤表示的点(),x y 在双曲线()22313y x --=上及其内部．222410282x x x x -+-+≤与不等式组()2223133y x y ⎧--≤⎪⎨⎪=⎩同解，整理可得2670x x -+≤．由已知可得，不等式2670x x -+≤的解集是[],a b ，所以2670x x -+=的两个解为a 、b ，根据韦达定理有7ab =．故选：D ．例10．（2023春·安徽六安·(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=，则k =（）AB C D ．2【答案】C【解析】如图所示：因为y =4为半径位于x 轴上方（含和x 轴交点）的半圆，(0)y kx k =>表示过坐标原点及第一三象限内的直线，(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a -=，即半圆位于直线下方的区间长度为2，所以2,4a b ==，所以直线与半圆的交点(2,，所以k ==故选：C ．。
以形助数_以数辅形——数形结合在初中数学教学中的应用
难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”这OB = 22 + 32 = 13 ， 13是一个无理数（无限不循环小 正说明了数形结合的重要作用和地位。在初中数学 数），这是一个抽象的数学概念，学生很难想象
教学过程中，引导学生利用数形结合的数学思想方 无理数可以与数轴上的点一一对应。而借助数轴
法，以形助数，以数辅形，数形互变，可以将抽象 和圆，学生可以精确地找到无理数的位置，借助
初中代数教学中的部分公式学生理解起来较为 困难，教师可以借助几何直观简化代数教学。如在 教学整式乘法中的代数恒等式的时候，教师可以通 过面积的相关内容来搭建“数”与“形”的桥梁。 北京师范大学的曹才翰、章建跃教授在《数学教育 心理学》一书中指出：“代数所讨论的是数系的结 构和各种公式，它们在本质上是逐步归纳、复合， 通过构造而获得的，其直观性当然要比几何弱得 多，这样，数量关系获得几何解释，可以使问题变 得直观易懂，使人易于洞察问题的本质。”[2] 2.3 巧用数形结合优化几何教学
总之，教师在初中数学教学中巧用数形结合思 想，不仅可以化繁为简、化难为易，还有助于学生 直观想象能力、逻辑推理能力以及数学抽象能力的 培养。上文通过具体案例对数形结合思想在初中数 学教学中的应用进行了阐述，并对其进行了反思， 希望可以帮助学生真正地掌握数形结合思想，进而 促进学生全面发展。
【参考文献】 [1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022
【关键词】初中数学；数形结合；应用策略；启示 【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2023）12-0094-03
数形结合是重要的数学思想方法，我国著名
C.3和4之间 D.4和5之间
数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时
小学数学教学数形结合思想的应用
小学数学教学数形结合思想的应用【摘要】数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。
小学数学教学研究的对象概括而言就是数和形两个方面。
数与形的相互转化、结合既是数学的重要思想,更是解题的重要方法,把数学问题中的数量关系与空间形式结合,以形助数、以数辅形,可以达到逻辑思维与形象思维的完美统一，使问题化难为易、化繁为简。
在小学数学教学中,如何有意识地利用数与形结合的策略提高学生的思维素质,培养学生分析问题与解决问题的能力呢?【关键词】小学数学教学；数形结合思想；应用策略一:以形助数,理解概念数的产生源于计数,用来表示“数”的工具却是一系列的“形”。
数概念的建立、数的运算,处处蕴涵着数形结合的思想方法。
如我们在认识整数、分数、小数及其加法、减法、乘法、除法的运算时,教材都是借助直观的几何图形帮助学生理解抽象的数概念。
生动、形象的图形能将枯燥的数学知识趣味化、直观化,让学生从中获得“学习有趣”的情感体验,进而引导学生进行探索,将兴趣逐渐转化为动力,达到认识概念本质的目的。
案例及解析倒数的认识为了进一步理解倒数概念的内涵,新课之后的练习环节安排了快速求倒数的内容,利用线段图,突出一个数与它的倒数相互依存的关系及真分数、假分数的倒数和“1”的关系,体会“1”的重要地位。
策略二:以形助数,感悟算理数形结合不仅是一种数学思想,也是一种很好的教学方法。
对于学生难以理解和掌握或容易引起混淆和产生错误的教学内容,教师可以充分利用“形”,把抽象的概念、复杂的运算变得形象、直观,丰富学生的表象,引发联想,探索规律,得到结论,不仅知其然,而且知其所以然。
案例及解析小数的性质用米尺直观地把这几个数表示出来，联系分数认识到它们所表示的长度是相等的，所以这几个数也是相等的，体现了数形结合思想。
算理是数学学习的重要内容,利用“形”的生动性、直观性探索、感悟算理的形成过程,有助于对知识本质的把握。
学生在操作中从形的方面进行具体思考逐步过渡到数的方面进行思考,不仅可以较为深刻地理解算理,同时促进了形象思维和逻辑思维的协调发展。
北师大版小学数学六年级上册《数与形结合的规律》知识点讲解总结练习解析
数与形结合的规律知识精讲1.数与形结合的规律“数”：指数学中的数量和数量关系，如数字、等式等，表达的信息具有抽象性和精确性；“形”：指图形，表示量对应的图形意义等，表达的信息具有直观性和形象性。
数与形结合主要有两种方式：以数辅形、以形助数。
以数辅形：借助数的精确性说明形的特征，通过准确计算，把图形问题转化成数量问题，化难为易。
以形助数：利用图形更好地揭示实际问题中蕴含的数量关系，进而解决实际问题。
2.数与形结合的规律——以数辅形如可以借助数形结合的方法数线段、角、三角形等图形的数量。
数线段的方法：可以结合图形，按照基本线段的个数得出一共有几条线段。
注：基本线段是指一条线段被端点所分成的几条线段。
1条基本线段：线段数量＝1（条）。
2条基本线段：线段数量＝2+1=3（条）。
3条基本线段：线段数量＝3+2+1=6（条）。
4条基本线段：线段数量＝4+3+2+1=10（条）。
……n条基本线段：线段数量＝n+（n－1）＋…＋2＋1 （条）。
类似地，数角或三角形等图形的数量，也可以数形结合运用基本角和基本三角形的个数来求。
3.数与形结合的规律——以形助数如下图是公共汽车从解放路到游乐园之间行驶速度变化的情况。
从图中可以观察得出以下信息。
（1）公共汽车从解放路到游乐园共行驶了4分。
（2）在第1分内，汽车行驶速度从0提高到400米/分。
（3）从0分到1分，汽车行驶速度在增加；从3分到4分，汽车行驶速度在减少；从1分到3分，行驶速度保持不变，是400米/分。
除了可以之间观察得出的信息之外，还可以根据图像推断出一些实际情况。
如根据上图可知汽车在1分至3分之间匀速行驶，因此路程是在增加，共增加了800米。
易错易误点混淆基本图形的数量和所求图形的数量在数线段或其他图形的数量时，容易只数基本图形，即将所求图形的数量和基本图形的数量混淆，从而导致错误。
如下图中一共有多少个角？错解：4。
这里错在只数出了4个基本角，而要求的是一共有多少个角。
浅谈核心素养下的小学数学数形结合思想
2020年28期┆199 随笔 浅谈核心素养下的小学数学数形结合思想 叶 露摘 要：随着新课标的颁布,小学数学越来越重视数学思想方法的运用。
数学是一门研究数量关系和空间形式的学科,因此,数形结合思想在数学的学习应用中处于至关重要的地位。
关键词：小学数学；数形结合；核心素养一﹑概念定义 数形结合思想是指将数量关系和空间图形相结合并且互相转化以更好地解决数学问题的一种思想方法。
数形结合诚然是一种行之有效的思想方法，利用数形结合能够使得数与形有效统一，以形助数，以数辅形，从而化难为易﹑化繁为简。
二﹑重要意义 有人会有疑问，小学的孩子还小，数形结合对他们未免太过苛刻，因此觉得小学数学没有必要培养学生用数形结合思想解决问题的能力。
诚然，小学阶段的孩子还年幼，思维尚未成熟。
但是，作为数学学习的基础和启蒙阶段，数形结合的思想已经渐渐渗透其中，为更好地学习数与代数－﹑空间与图形两方面的知识服务，同时也在培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力。
因此，小学数学学习阶段的数形结合思想方法的渗透意义重大，不可或缺。
三﹑实践应用 笔者在教学人教版小学一年级数学下册“学校组织孩子们去郊外春游，小红排第二，小亮排第九，小红和小亮之间有几人？”这一知识时，采用的就是数形结合的方法，画一个圆圈代表一个人，从小红（第二）画到小亮（第九）一共画了八个圆圈，也就是八个人。
接着主要是让孩子结合经验理解“之间”的含义，结合常识学生不难发现“之间”则指小红和小亮的中间，并不包含他们两个，因此应该把一头一尾的两个圆圈即小红和小亮两个人去掉（叉掉），八个圆圈只剩中间的两个圆圈，也就是小红和小亮之间有8-2=6（人）。
通过让学生亲身经历画图感知的数形结合思想以形辅数，学生初步体验了数形结合方法的奥妙之处，而且对解决“之间”问题的算理有了更为深刻的理解。
再如，笔者在教学人教版小学一年级数学下册“移多补少”问题时也是借助数形结合的方法帮助学生理解。
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摘要：“数形结合”既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法。
教师在教学中经常引导学生创设“数形结合”的情境，不仅可以沟通数与形的内在联系，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来，从而在这种结合中寻找到解题的思想与方法，而且有利于开拓学生的解题思路，发展学生的形象思维能力。
关键词：“数形结合”函数图像抽象“以形助数”“以数辅形”
恩格斯指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。
”“数”与“形”是数学的基本研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系。
我们要认识两者的辩证关系，要认识到矛盾双方的相互转化。
在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，这就是“数形结合”。
在高中数学中，“数形结合”是一条重要的数学原则，主要体现在平面解析几何和立体几何中。
在解决集合问题、方程、不等式及函数问题时，如果能注意数形结合的应用，寻找解题思路，就能使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。
华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
”在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则，数形互补原则，求解简单原则。
在教学渗透“数形结合”时，教师应指导学生掌握以下几点：
1.善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。
2.正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。
3.切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。
下面从几个方面谈一谈“数形结合”在解题中的应用。
一、“数形结合”在解决集合问题中的应用
1.利用文氏图法解决抽象集合问题。
一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。
利用文氏图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。
如：例1：开校运动会时，高一（五）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
解：设a={参加游泳比赛的学生}，b={参加田径比赛的学生}，c={参加球类比赛的学生}，同时参加田径和球类比赛的学生有x人，作出符合题意的文氏图：由题意可知：card(a∩b)=3，card(a∩c)=3，card(b∩c)=x，则15+8+14-3-3-x=28，得x=3。
因此，同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9人。
2.利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题。
例2：若非空集合a={x|2a+1≤x≤3a-5}，b={x|3≤x≤22}，求使a?哿b成立的a的集合。
先在数轴上表示出集合b的范围，要使a?哿b，由包含于的关系可知集合b应该覆盖集合a，因为a为非空集合，所以2a+1≤3a-5，a≥6。
又∵a?哿b，如图所示：可知2a+1≥33a-5＜22，∴1≤a≤9。
综上所得：6≤a≤9。
因此，运用“数形结合”解题，往往会化抽象为具体，化复杂为简单，将集合的交、并、补的关系直观、形象地显示而有利于运算。
二、利用“数形结合”解决方程和不等式问题
1.利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集。
一元二次不等式与一元二次函数（方程）之间的紧密关系是众所周知的。
抛物线y=ax +bx+c（a＞0）与x轴的相关位置分为三种情况，这可以由一元二次方程ax +bx+c=0的判别式δ=b -4ac的三种取值情况来确定。
因此，在解不等式时一定要注意最高项系数是否为正，要分两种情况讨论。
例3：求不等式-x +2x-3＞0的解集。
分析：我们先联想对应的二次函数y=-x +2x-3的图像草图，很明显，无论x取任何值时都有y＜0，即-x +2x-3＜0，∴-x +2x-3＞0的解集为空集，因而-x +2x-3＜0的解集为全体实数。
因此，我们要求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式的解集。
2.利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题。
例4：已知关于x的方程2kx -2x-3k-2=0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k 的取值范围。
分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组。
如果从函数观点出发，令f(x)=2kx -2x-3k-2，则由根的分布，函数f(x)的图像只能如图所示。
对应的条件是k＞0f(1)＜0或k＜0f(1)＞0。
解：由以上分析可知，令f(x)=2kx -2x-3k-2。
为使方程f(x)=0的两个根一个小于1，另一个大于1，只需使k＞0f(1)＜0或k＜0f(1)＞0，解得k＞0或k＜-4。
一般的，关于根的分布问题均可引入函数，由函数图像的特征构造解法，使问题得以巧妙解决。
通过以上几道例题的分析求解，可知二次函数有丰富的内涵和外延。
作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
3.利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题，即数形对照，相互渗透。
例5：解方程3 =2-x。
分析:由方程表达式我们可以联想起函数y=3 与y=2-x，作出这两个函数的图像，这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为x≈0.4。
4.利用函数的图像解不等式，即由数想形，直观显现。
例6：解不等式＞x+1。
解：设y= ，即y =2(x+ )(x≥- ，y≥0)，对应的曲线是以a(- ，0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。
而函数y=x+1的图像是一直线。
解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是{x|- ≤x＜2}。
“数形结合”能将抽象的问题直观化、形象化，能使问题灵活直观地获解，在数学学习中我们要注意把握善于运用这种数学思想。
三、利用函数图像比较函数值的大小
一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比
较。
例7：试判断0.3 ，log 0.3，2 三个数的大小顺序。
分析：这三个数可以看成三个函数y =x ，y =log x，y =2 在x=0.3时所对应的函数值。
在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以直观地看出当x=0.3时，所对应的三个点p ，p ，p 的位置，从而可得出结论：2 ＞0.3 ＞log 0.3。
四、利用方程的几何意义转化“数形结合”
例8：如果实数x、y满足（x-2） +y =3，则的最大值为（）。
解：设点a（x，y）在圆(x-2) +y =3上，圆心为c(2，0)，半径等于。
如图，则是点a与原点连线的斜率。
当oa与⊙c相切，且切点a落在第一象限时，k 有最大值，即有最大值。
因为ca= ，oc=2，所以oa= =1，所以（） =tan∠aoc= 。
由此可知，“数”和“形”是数学学习的两个基本对象，对于一些问题，单纯地从“数”的角度去分析探求需要分类讨论，运算会较繁冗，因此应当设法从“形”的角度去构造直观图形来刻画问题的条件和结论，使错综复杂的关系变得清晰可辨，从而起到优化解题途径的目的。
“数形结合”是一个重要数学方法，是研究数学问题的一个基本方法，它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。
应用“数形结合”，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合。
深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。