概率统计(第5章)资料
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“大数定律”和“中心极限定理”。
5.1 大数定律
5.1.1 切比雪夫不等式
定理5.1.1 设随机变量X有期望μ和方差σ2，则对
任给的ε> 0, 有
P
X
1
2 2
,
或
P|
X
|
2 2
.
设X 的概率密度函数为 f(x)，则有
P| X | f (x) dx
|x|
|x|
(x )2 2
14.5
14
4 /100 4 /100
P
X
n 14 0.2
2.5
1
P
X
n 14 0.2
2.5
1 (2.5) 0.0062 .
(2).
P{X n
14}
P
X
n
14
14 14
4 /100 4 /100
1
P
Байду номын сангаас
X
n 14 0.2
0
1
(0)
0.5.
定理2 (棣莫佛——拉普拉斯定理):
n
X
i
P
i1
n
n
x
x
-
1 e -t2 2dt (x) ，
2
其中Φ(x)是标准正态分布N(0, 1)的分布函数。
例1 将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 500的概率是多少？
解:设Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则 X1,…,X100独立同分布.
E( X1)
7 2
5.1.2 大数定律
定义 设X1,X2,…是一随机变量序列。如果对任意的 n>1，X1,X2,…,Xn相互独立,则称X1,X2,…相互独立。
几个常见的大数定律
定理5.1.2（切比雪夫定理）设随机变量序列X1,X2,… 相互独立，且有相同的期望和方差:E(Xi)=μ,Var(Xi) =σ2，i=1, 2, … 。
解 设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n, p), 其 中n= 10000，p=0.6%，np=60, np(1-p)=59.64
设Y表示保险公司一年的利润， Y=1000012-1000X
(1.77) 0.96 .
例4 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险， 每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率 为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问 ：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变 ，为使保险公司一年的利润不少于60000元的概率不低 于0.9，赔偿金至多可设为多少？
f
(x)
dx
1
2
(x
)2
f
(x)
dx
1
2
(x )2
f (x)
2 dx 2
.
例：已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标 准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元 的概率小于10%。
解:由切比雪夫不等式
P{|
X
1|
a}
0.01 a2 ;
令
0.01 a2
0.1
a2 0.1 a 0.32
,
D(
X
1
)
1 6
6 i 1
k2
49 4
35 12
由中心极限定理
100
P{
i 1
Xi
500}
1
500 100 10 35
7 2
1 (8.78) 0
12
例2 设一批产品的强度服从期望为14, 方差为4的 分布。每箱中装有这种产品100件。求(1)每箱产品 的平均强度超过14.5的概率；(2)每箱产品的平均强 度超过期望14的概率。
Z n k 1
k 1 n
Var( X k )
k 1
概率论中，常把随机变量之和标准化后的分布 收敛于正态分布的定理称为中心极限定理。
定理5.2.1 (列维——林德伯格定理)：
设X1,X2,… 是独立同分布随机变量序列，且E(X1)=μ, Var(X1)=σ2，对任给x∈(-∞,∞),均有
lim
n
定偏差的概率很小。
5.2 中心极限定理
中心极限定理是棣莫弗 (De Moivre) 在18世纪首 先提出的，到现在内容已十分丰富。在这里，我们只 介绍其中两个最基本的结论。
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不
研究 n 个随机变量之和本身，而只考虑其标准化
的随机变量 的极限分布。
n
n
X k E( X k )
解：n=100,设 Xi 是第 i 件产品的强度，则 E(Xi)=14, Var(Xi)=4, i =1,2,…,100。
每箱产品的平均强度为
1
n
n i1
X i，记为X
n
.
lim
n
P
X
n
/
n
x
x
-
1 e-t2 2d t .
2
根据定理5.2.1，有
(1).
P{X n
14.5}
P
X n 14
设随机变量 Yn 服从参数为 (n, p) 的二项分布(0<p<1) ， 则对任意 x∈(-∞,∞)，均有
lim P n
Yn np np(1 p)
x
x
1 et2 / 2d t (x).
2
定理 2 表明: 当 n 很大时，二项分布 Yn 标准化后的 分布近似于标准正态分布 N(0, 1) 。
满足棣莫佛 — 拉普拉斯定理的条件，故依此定理， 近似地有
n
200
X i np X i 160
i 1
i1
~ N (0,1) .
np(1 p)
32
于是
P
200
i1
Xi
150
200
Xi
160
P i1
32
150
160
32
200
Xi
160
P i1
32
1.77
1 (1.77)
例3 某公司有200名员工参加一种资格证书考试。按往 年经验，考试通过率为0.8。试计算这200名员工至少有 150人考试通过的概率。
解: 令
1, 第 i 个人考试通过， Xi 0, 第 i 个人考试未通过.
i 1, 2,, 200 .
依题设，知 P{ Xi=1 }=0.8, np=200 ×0.8=160， np(1-p)=32，X1+X2+…+X200 是考试通过人数, 因Xi
则对任意的ε>0，有
lim P
n
Xn
1 ,
(1)
下面再给出定理2的一种特例——贝努里大数定律。
设nA 是n重贝努里试验中事件A发生的频数，p是每次 试验中A发生的概率。
对任给的ε> 0，有
lim P n
nA n
p
1，
贝努里大数定律表明：当重复试验次数n充分大时， 事件A发生的频率nA / n与事件A发生的概率 p 有一
第五章 极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性 的学科。 随机现象的统计规律性只有在相同条件 下进行大量的重复试验才能呈现出来。
所以，要从随机现象中去寻求统计规律,就应该 对随机现象进行大量的观测。
研究随机现象的大量观测， 常采用极限形式， 由此导致了极限定理的研究。 极限定理的内容很广 泛, 最重要的有两种:
5.1 大数定律
5.1.1 切比雪夫不等式
定理5.1.1 设随机变量X有期望μ和方差σ2，则对
任给的ε> 0, 有
P
X
1
2 2
,
或
P|
X
|
2 2
.
设X 的概率密度函数为 f(x)，则有
P| X | f (x) dx
|x|
|x|
(x )2 2
14.5
14
4 /100 4 /100
P
X
n 14 0.2
2.5
1
P
X
n 14 0.2
2.5
1 (2.5) 0.0062 .
(2).
P{X n
14}
P
X
n
14
14 14
4 /100 4 /100
1
P
Байду номын сангаас
X
n 14 0.2
0
1
(0)
0.5.
定理2 (棣莫佛——拉普拉斯定理):
n
X
i
P
i1
n
n
x
x
-
1 e -t2 2dt (x) ，
2
其中Φ(x)是标准正态分布N(0, 1)的分布函数。
例1 将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 500的概率是多少？
解:设Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则 X1,…,X100独立同分布.
E( X1)
7 2
5.1.2 大数定律
定义 设X1,X2,…是一随机变量序列。如果对任意的 n>1，X1,X2,…,Xn相互独立,则称X1,X2,…相互独立。
几个常见的大数定律
定理5.1.2（切比雪夫定理）设随机变量序列X1,X2,… 相互独立，且有相同的期望和方差:E(Xi)=μ,Var(Xi) =σ2，i=1, 2, … 。
解 设X表示一年内死亡的人数，则X~B(n, p), 其 中n= 10000，p=0.6%，np=60, np(1-p)=59.64
设Y表示保险公司一年的利润， Y=1000012-1000X
(1.77) 0.96 .
例4 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险， 每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率 为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问 ：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变 ，为使保险公司一年的利润不少于60000元的概率不低 于0.9，赔偿金至多可设为多少？
f
(x)
dx
1
2
(x
)2
f
(x)
dx
1
2
(x )2
f (x)
2 dx 2
.
例：已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标 准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元 的概率小于10%。
解:由切比雪夫不等式
P{|
X
1|
a}
0.01 a2 ;
令
0.01 a2
0.1
a2 0.1 a 0.32
,
D(
X
1
)
1 6
6 i 1
k2
49 4
35 12
由中心极限定理
100
P{
i 1
Xi
500}
1
500 100 10 35
7 2
1 (8.78) 0
12
例2 设一批产品的强度服从期望为14, 方差为4的 分布。每箱中装有这种产品100件。求(1)每箱产品 的平均强度超过14.5的概率；(2)每箱产品的平均强 度超过期望14的概率。
Z n k 1
k 1 n
Var( X k )
k 1
概率论中，常把随机变量之和标准化后的分布 收敛于正态分布的定理称为中心极限定理。
定理5.2.1 (列维——林德伯格定理)：
设X1,X2,… 是独立同分布随机变量序列，且E(X1)=μ, Var(X1)=σ2，对任给x∈(-∞,∞),均有
lim
n
定偏差的概率很小。
5.2 中心极限定理
中心极限定理是棣莫弗 (De Moivre) 在18世纪首 先提出的，到现在内容已十分丰富。在这里，我们只 介绍其中两个最基本的结论。
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不
研究 n 个随机变量之和本身，而只考虑其标准化
的随机变量 的极限分布。
n
n
X k E( X k )
解：n=100,设 Xi 是第 i 件产品的强度，则 E(Xi)=14, Var(Xi)=4, i =1,2,…,100。
每箱产品的平均强度为
1
n
n i1
X i，记为X
n
.
lim
n
P
X
n
/
n
x
x
-
1 e-t2 2d t .
2
根据定理5.2.1，有
(1).
P{X n
14.5}
P
X n 14
设随机变量 Yn 服从参数为 (n, p) 的二项分布(0<p<1) ， 则对任意 x∈(-∞,∞)，均有
lim P n
Yn np np(1 p)
x
x
1 et2 / 2d t (x).
2
定理 2 表明: 当 n 很大时，二项分布 Yn 标准化后的 分布近似于标准正态分布 N(0, 1) 。
满足棣莫佛 — 拉普拉斯定理的条件，故依此定理， 近似地有
n
200
X i np X i 160
i 1
i1
~ N (0,1) .
np(1 p)
32
于是
P
200
i1
Xi
150
200
Xi
160
P i1
32
150
160
32
200
Xi
160
P i1
32
1.77
1 (1.77)
例3 某公司有200名员工参加一种资格证书考试。按往 年经验，考试通过率为0.8。试计算这200名员工至少有 150人考试通过的概率。
解: 令
1, 第 i 个人考试通过， Xi 0, 第 i 个人考试未通过.
i 1, 2,, 200 .
依题设，知 P{ Xi=1 }=0.8, np=200 ×0.8=160， np(1-p)=32，X1+X2+…+X200 是考试通过人数, 因Xi
则对任意的ε>0，有
lim P
n
Xn
1 ,
(1)
下面再给出定理2的一种特例——贝努里大数定律。
设nA 是n重贝努里试验中事件A发生的频数，p是每次 试验中A发生的概率。
对任给的ε> 0，有
lim P n
nA n
p
1，
贝努里大数定律表明：当重复试验次数n充分大时， 事件A发生的频率nA / n与事件A发生的概率 p 有一
第五章 极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性 的学科。 随机现象的统计规律性只有在相同条件 下进行大量的重复试验才能呈现出来。
所以，要从随机现象中去寻求统计规律,就应该 对随机现象进行大量的观测。
研究随机现象的大量观测， 常采用极限形式， 由此导致了极限定理的研究。 极限定理的内容很广 泛, 最重要的有两种: