高中数学新加坡项目选拔考试真题
新加坡南洋理工大学TPT考试回顾
微分：求一个函数的3阶导数
偏微分：求函数偏微分，一道一阶一道二阶
2.数学名词：
如素数、倒数、梯形、圆柱体、概率、等腰等。（这里就不提供英文翻译了，大家最好背一下数学名词中英文对照表，帮助不小）
3.题目表述
有些题目的英文表述会让人难以理解，例如有些数论的题目，问小于20的数里2的倍数、7的奇数倍数以及2的倍数和9的倍数的和，共有多少个？这样的题，中文叙述都费劲，别说英文了。其他数论的题目也不少，需要特别注意细节描述，“谁是谁的几倍”和“谁比谁”，否则简单的题目也很容易做错。
收敛：converge
发散divergence
周长perimeter
1、
2、求
3、求三阶导数
4.已知一个二元隐函数
求其极值
5、这题的题目都忘了，什么dimension，什么solution的
6、
求
7、是一道有大段文字描述的题，给出式子如下，大概说r每小时增加5%，p每小时减少15%，l每小时增加25%，η每小时减少8%，问V每小时增加或减少多少
e) 10*pi/(d^2)
2.后面10题是高数，也全是选择题，每题5分极限、求导、积分、重积分、微分方程、空间中的点线面。这张卷子没有矩阵、概率。
1）lim（1+x/n）^n（这种类型的题）
n->oo
2）没有印象，反正简单
3) point A(坐标不记得)到平面3x+2y+6z=6的距离
4）向量a，b，c,求a+b跟c的夹角
9）积分号0积分号3 (e^x^2 dxdy)
1 3y
10）y''+y=0 y(0)=1 y'(0)=0求y
1994-2004新加坡奥数国家集训队试题及答案
F1 F2 Fn+1 2 +F F3 + · · · + Fn+2 , where F1 = F2 = 1 and Fn+2 = Fn+1 + Fn for n ≥ 1.
1.3.
2.1.
Let f (x) =
1 1+x
where x is a positive real number, and for any positive integer n, let gn (x) = x + f (x) + f (f (x)) + · · · + f (f (. . . f (x))),
Let ABC be an acute-angled triangle. Suppose that the altitude of ABC at B intersects the circle with diameter AC at P and Q, and the altitude at C intersects the circle with diameter AB at M and N . Prove that P, Q, M and N lie on a circle. Show that a path on a rectangular grid which starts at the northwest corner, goes through each point on the grid exactly once, and ends at the southeast corner divides the grid into two equal halves: (a) those regions opening north or east; and (b) those regions opening south or west.
新加坡O level 考试2004年高数真题
Additional math test 2004Paper 1 [80']1、The position vectors of points A, B and C ，relative to an origin O ，are j i j i35,9-+ and)3(j i k+ respectively ，where k is a constant ，given that C lies on the line AB ，find the value of k. [4]2、A youth club has facilities for members to play pool, darts and table-tennis. Every member plays at least one of the three games. P, D and T represent the sets of members who play pool, darts and table-tennis respectively. Express each of the following in set language and illustrate each by means of a venn diagram. (i) the set of members who only play pool. [2] (ii) the set of members who play exactly 2 games, neither of which is darts. [2]3、Without using a calculator, solve, for x and y, the simultaneous equations 6428=÷yx , 81)91(314=⨯-y x. [5]4、The diagram shows a sectors COD of a circle, centre O, in which angle 34=COD radians. The points A and B lie on OD and OC respectively, and AB is an arc of a circle, centre O, of radius 7 cm. Given that the area of the shaded region ABCD is 482cm , find the perimeter of this shaded region. [6]5、Given taht the expansion of nx x a )21)((-+ in asending powers of x is (432)++-bx xfind the values of the constants a, n and b. [6]6、The function f is defined,for π<<x 0, by x x f 4cos 35)(+=. Find(i) the amplitude and the period of f. [2](ii) the coordinates of the maximum and minimum points of the curve y = f (x). [4]OA DCBrad 347 cm7、(a) Find the number of different arrangements of the 9 letters of the word SINGAPORE in which S does not occure as the first letter. [2](b) 3 students are selected to form a chess team from a group of 5 girls and 3 boys. Find the number of possible teams that can be selected in which there are more girls than bos. [4]8、The function f is defined, for R x ∈, by 3,3113:≠-+x x x x f. (i) find 1-f in terms of x and explain what this implies about the symmetry of the graph of y = f (x) . [3] The function g is defined, for R x ∈, by 23:-x x f. (ii) find the values of x for which )()(1x g x f -=. [3] (iii) state the value of x for which gf(x) = 2-. [1]9、(a) solve,for ︒︒<<3600x , the equation x x x sin 4cos 3sin 22+=. [4](b) solve, for 40<<y , the equation 25.02cot =y ,giving your answers in radians correct to 2 decimal places. [4]10、A curve has the equation x x y ln 3=, where x > 0. (i) find an expression fordxdy. [2] (ii) calculate the value of in x at the stationary point of the curve, [2] (iii) find the approximate increase in y as x increases from e to e+p, where p is small, [2] (iv) find ⎰xdx xln 2. [3]11、The line 134+=x y intersects the curve y x xy 2728-= at the point )1,1(P and at the point Q. The perpendicular bisector of PQ intersects the line x y 4= at the point R. Calculate the area of triangle PQR. [9]12、Answer only one of the following two alternatives. EITHER(a) at the beginning of 1960, the number of animals of a certain species was estimated at 20000.This number decreased so that ,after a period of n years, the population was ne 05.020000-.Estimate (i) the population at the beginning of 1970, [1] (ii) the year in which the populationwould be expected to have first decreased to 2000. [3] (b) solve the equation 113823-+⨯=-x x . [6]ORA curve has the equation x x eey 21213-+=.(i) show that the exact value of the y-coordinate of the stationary point of the curve is 32. [4] (ii) determine whether the stationary point is a maximum or a minimum. [2](iii) calculate the area enclosed by the curve, the x-axis and the lines x = 0 and x = 1. [4]Additional math test 2004Paper 2[80']1、Given that ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4532A , find 1-A and hense solve the simultaneous equations 0432=++y x01345=++-y x . [4]2、Given that34133+=+b a , where a and b are integers, find, without using a calculator,the value of a and of b. [4]3、The diagram shows part of the curve x x y cos 42sin 3+=. Find the area of the shaded region, bounded by the curve and the coordinate axes. [5]Oxy2π4、Find the values of k for which the line y = x + 2 meets the curve 2)(22=++k x y . [5]5、Solve the equation )5.0(log )3(log )13(log 4416+=-x x . [6]6、Given that θθcos 2sin 3-=x and θθsin 2cos 3+=y , (i) find the value of the acute angle θ for which x = y. [3](ii) show that 22y x + is constant for all values of θ. [3]7、Given that a ax x 12563-+ leaves a remainder of 4- when divided by a x -, find the possible values of a. [7]8、A motor boat travels in a straight line across a river which flows at 31-m s between straight parallel banks 200 m apart. The motor boat, which has a top speed of 6 1-m s in still water, travels directly from a point A on one bank to a point B, 150 m downstream of A, on the opposite bank. Assuming that the motor boat is travelling at top speed, find, to the nearest second, the time is takes to travel from A to B. [7]9、In order that each of the equations (i) x ab y =, (ii) k Ax y =, (iii) xy qy px =+, where a, b, A, k, p and q are unknown constants, may be represented by a straight line, they each need to be expressed in the form c mX Y +=, where X and Y are each functions of x and /or y, and m and c are constants. Copy the following table and insert in it an expression for Y, X, m and c for each case.Y X m c x ab y = k Ax y =xy qy px =+[7]10、The function f is defined by 78:2+-x x x f for the domain 83≤≤x .(i) by first considering the stationary value of the function 782+-x x x , show that the graph y = f (x) has a stationary point at x = 4 and determine the nature of this stationary point. [4] (ii) sketch the graph of y = f(x). [2](iii) find the range of f. [2] The function g is defined by 78:2+-x x x g for the domain k x ≤≤3. (iv) determine the largest value of k for which 1-g exists.[1]11、The diagram shows a trapezium OABC, where O is the orign, the equation of OA is y = 3xand the equation of OC is y + 2x = 0. The line through A perpendicular to OA meets the y-axis atB and BC is parallel to AO. Given that the length of OA is 250units, calculate thecoordinates of A, of B and of C. [10]yy + 2x = 0 y = 3xBACO x12、Answer only one of the following two alternatives.EITHERA particle, travelling in a straight line , passes a fixed point O on the line with a speed of 0.5 1-m s . The acceleration, a 2-m s , of the particle, t s after passing O, is given by t a 6.04.1-=. (i) show that the particle comes instantaneously to rest when t = 5. [4](ii) find the toatal distance travelled by the particle between t = 0 and t = 10. [6]OR Each member of a set of curves has an equation of the form 2xb ax y += where a and b are integers.(i) for the curve where a = 3 and b = 2, find the area bounded by the curve, the x-axis and the line x = 2 and x = 4. [4]Another curve of this set has a stationary point at (2 , 3).(ii) find the value of a and of b in this case and deterimne the nature of the stationary point. [6]。
新加坡中学数学考试试卷
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4.
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〓〓
一一
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(i)
Plot A,B,and C on the diagra1n。
[3]
(ii) Given that ABCD is a fhombus,plot point D on the diagra1u and wnted。 wn
its coordinates in the ans`氵 er 1厂 space below.
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新加坡南洋理工大学TPT考试回顾
简单数学部分第一道是卖橘子问题问你扔了多少第三道是问你PE+PF=？后面还有什么跑步问题啊什么的惊奇是的没有排列组合高数上来时问你积分符号0 1 积分符号3y 3的e的x平方dxdy求极限是limx，y趋向于零（x平方+y平方）ln（x平方+y平方）1.一个长方形3X5，从两个顶点向对面的边各画一条线，图形对称（实在不好描述），总之是45°角直角三角形求面积2.(sinX+sin3X)/(cosX+cos3X)化简，不会做用特殊值法3.1-x/y 的倒数4.使[根号下（199-2x）]成为偶数的x的个数，应该是05.A、B两公司各有的人员比例，两公司合并后已知一种职位的比例，求A的人占合并的百分之几6.3个红球5个绿球一一拿出，总共几种拿法，就是高中的排列组合7.一个三角形，一个顶点连到对边的1/3点，与之相邻的顶点连到其对边的中点，形成的蝴蝶形的两个对顶的三角形面积比，应该是1:38.y=tan-1X的三阶导数，不会做，选项里都是带y 的式子，乱选的（-1是指数）9.y"-2y'=-4x，有初始条件解微分方程，求y(1)这个也不会做，乱选的10.最后一个是线性方程组求解空间的维数和基础解，貌似没有正确答案吧，求证。
11.(xy)的x次方，求对x的倒数，应该是(xy)^x（lnxy+1）前面的GRE数学整体还是比较简单的，但是由于太久没有做数学题目了，所以反应什么的相当慢，建议考前还是多做做GRE的数学题目，当练练手啦。
题目类型就跟之前的人说的差不多，看懂题目都不难。
工程问题，a几天完成一个工程，b几天完成，问ab一起要几天？概率问题，掷骰子，三次有一次是6就算赢，问赢的概率给个图形，数三角形个数但是我感觉高数部分还是挺难的，极限，矩阵，积分，级数，收敛，居然这次没有导数和微分方程，哎，我还好好复习了导数和微分方程，直接把级数和矩阵放弃了。
后悔啊，建议有时间还是都看看吧，不要像我，前车之鉴。
新加坡读中学高考数学试卷
一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列函数中，在其定义域内单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2x - 1C. y = -x^3D. y = 3x^2 + 2x - 12. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 6，S5 = 15，则S4的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 113. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线x+y=1的对称点B的坐标为（）A. （-1，-2）B. （-2，-1）C. （1，-2）D. （2，-1）4. 已知三角形ABC的边长分别为a，b，c，若a^2 + b^2 = 25，c^2 = 9，则三角形ABC的面积S为（）A. 6B. 8C. 10D. 125. 若等差数列{an}的公差为d，且a1 + a3 + a5 = 12，a2 + a4 = 8，则d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共25分）6. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(x+1) = 5，则x的值为______。
7. 在△ABC中，∠A = 60°，AB = 8，AC = 10，则BC的长度为______。
8. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则第10项an的值为______。
9. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，若f(x) = 0，则x的值为______。
10. 在直角坐标系中，点P（-3，4）关于直线y=x的对称点Q的坐标为______。
三、解答题（每题15分，共45分）11. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，若f(1) = 3，f(2) = 7，且f(x)的图象开口向上，求a、b、c的值。
12. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若S3 = 6，S5 = 15，求an的表达式。
13. 在△ABC中，∠A = 60°，AB = 8，AC = 10，求△ABC的面积S。
(完整版)新加坡SM2 2015年真题
Additional math test 2015Paper 1 [80']1、The position vectors of points A, B and C ，relative to an origin O ，are j i j i35,9 and)3(j i krespectively ，where k is a constant ，given that C lies on the line AB ，find the value ofk. [4]2、A youth club has facilities for members to play pool, darts and table-tennis. Every member plays at least one of the three games. P, D and T represent the sets of members who play pool, darts and table-tennis respectively. Express each of the following in set language and illustrate each by means of a venn diagram. (i) the set of members who only play pool. [2] (ii) the set of members who play exactly 2 games, neither of which is darts. [2]3、Without using a calculator, solve, for x and y, the simultaneous equations 6428 yx, 81)91(314 y x . [5]4、The diagram shows a sectors COD of a circle, centre O, in which angle 34COD radians. The points A and B lie on OD and OC respectively, and AB is an arc of a circle, centre O, of radius 7 cm. Given that the area of the shaded region ABCD is 482cm , find the perimeter of this shaded region. [6]5、Given taht the expansion of nx x a )21)(( in asending powers of x is (432)bx xfind the values of the constants a, n and b. [6]6、The function f is defined,for x 0, by x x f 4cos 35)( . Find(i) the amplitude and the period of f. [2](ii) the coordinates of the maximum and minimum points of the curve y = f (x). [4]OA DCBrad 347 cm7、(a) Find the number of different arrangements of the 9 letters of the word SINGAPORE in which S does not occure as the first letter. [2](b) 3 students are selected to form a chess team from a group of 5 girls and 3 boys. Find the number of possible teams that can be selected in which there are more girls than bos. [4]8、The function f is defined, for R x , by 3,3113: x x x x f. (i) find 1 f in terms of x and explain what this implies about the symmetry of the graph of y = f (x) . [3] The function g is defined, for R x , by 23: x x f. (ii) find the values of x for which )()(1x g x f . [3] (iii) state the value of x for which gf(x) = 2 . [1]。
新加坡高考数学试卷
一、选择题1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(2)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 72. 在直角坐标系中，点A(1, 2)，点B(-2, 3)的斜率为：A. -1B. 1C. 2D. -23. 下列哪个数是质数？A. 27B. 35C. 37D. 494. 已知等差数列的前三项分别为1, 3, 5，求该数列的公差。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 在一个等腰三角形中，底边长为8，腰长为6，求该三角形的面积。
A. 24B. 28C. 32D. 36二、填空题6. 若等比数列的首项为2，公比为3，求该数列的前5项和。
7. 已知正方形的对角线长为10，求该正方形的面积。
8. 在直角坐标系中，点P(2, 3)，点Q(5, 8)的中点坐标为多少？9. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1的零点。
10. 已知圆的方程为(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25，求圆心坐标和半径。
三、解答题11. （15分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且f(1) = 2，f(2) = 5，f(3) = 8，求a、b、c的值。
12. （15分）已知等差数列的前n项和为S_n，求S_n的表达式。
13. （15分）在直角坐标系中，已知点A(2, 3)，点B(-3, 5)，求直线AB的方程。
14. （15分）已知函数f(x) = 2x^2 - 5x + 3，求f(x)在区间[1, 3]上的最大值和最小值。
15. （15分）已知圆的方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4，求圆内接于直线x + y = 3的切线方程。
四、附加题（20分）16. （10分）已知函数f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)，求f(x)的导数f'(x)。
17. （10分）已知等差数列的前n项和为S_n，求S_n的平方根。
新加坡中学一二年级数学测试卷(难度)
新加坡中一中二数学测试姓名_____________得分__________请同学们注意：本试卷共14题，满分120分。
第一部份： 填空题（请将答案填写在空格内，不须列出演算过程．每题6分，共60分）1．下图是计算机的某个计算程序，当输入数据后，计算机会按照既定程序，从左到右进行运算。
如果输入数学8，那么输出的数字是多少？ 答案：1．20102． 对自然数n 规定一种“G ”运算： ① 当n 是奇数时，()31G n n =+；② 当n 是偶数时，()G n 等于n 持续被2整除，直到是奇数的商；将k 次“G ”运算记作k G ，请计算2008G （13）. 答案： 2. 2345(13)40,(13)5,(13)16,(13)1,(13)4,G G G G G =====67(13)1,(13)4,G G ==所以，2008G （13）＝1.评注 题2的背景是数论近年来研究活跃的一个猜想，这个猜想是：对任何非零自然数n ，均存在一个自然数k ，使k G （n ）＝1.3．用n A 表示1，2，…，101中，能被n 整除的所有数的算术平均数. 问：23456,,,,A A A A A 中最大的是那一个？ 答案：3．因为2nn n a A +=，这里n a 是不超过101且是n 的倍数的最大整数. 比较2,3456,,,A A A A A 知，5A 最大．4．在一个暴雨的黑夜，孤岛上的四个人必须走过一座窄桥到陆地上去避难.过窄桥必须用灯照明，但是他们只有一盏灯，且桥上每次最多只能通过两个人.若岛上还有人，则过桥之人中必须有人把灯送回去.如果四个人单独过桥，那么所需的时间分别为2分钟、4分钟、8分钟和16分钟；如果两人一起过桥，那么所需时间依照较慢的人过桥的时间计算. 问：这四个人过桥最少需要多少时间？ 答案：4．总共需过桥5次．过桥时间最长的需16分钟, 让需要8分钟的人与之为伴一起过桥． 过桥时间最短的两人先一起过桥，然后其中一人提灯回岛．接着最慢两人一起过桥,另一个较快的人提灯把岛上的人接回陆地．故共需要4＋2＋16＋4＋4＝30分钟．5．计算：共2008层⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩111111111131355-----．答案： 5．这是一个繁分数的计算问题，按常规一层一层计算，很复杂. 先进行试算，看一看，是否有一定的规律可循.①. 1132421 355355,-= ②.135511311, 1132422421355-=-=-- ③.124235511111311311131355,-=+=--④.11132421113553551111131355,-=-=---从这4步的计算，可以看出，每经过3层分数线的繁分式的运算，仍然得到3552423551131=-. 即这个繁分式的运算每隔3次，数字就会重复出现. 而2008=669×3+1，所以，原式＝242355． 6．设E ，F 分别是ABC ∆的边AC 、AB 上的点，线段BE 、CF 交于点D . 已知,,BDF BCD CDE ∆∆∆的面积分别为3，7，7. 问：四边形AEDF 的面积是多少？ 答案：6．因为BCD CDE S S ∆∆=,所以BD DE =.故3DEF BFD S S ∆∆==.设EFA S x ∆=,则37637x AF x BF ++==+, 解得15x =.故15318AEDF S =+=.7．已知连续2008个正整数的和是一个完全平方数，问：其中最大的数的最小值是多少？答案：7．设(1)(2007)(22007)1004(22007)251a a a a a +++++=+⨯+⨯2＝2，则可令 222007251a n +=⋅，当1,2n n ==时不成立；当3n =时，得126a =，20072133a +=．故所求的答案为2133．8．A 、B 是两个大小形状相同的三角形纸片，其三边的长之比为3：4：5，按图示方法将它对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重合部分面积分别为,A B S S ，已知 A B S S +=39，求三角形纸片A 的面积.答案：8．设纸片A 的面积为 x ，则11, 49A B S x S x ==，于是113949x x +=， 解得108x =．9．用长度分别为1，4，7，8的线段围成一个四边形，问：这个四边形的最大面积是多少？答案：9．应该围成一个凸四边形.不妨假设长为1和8的边相邻（否则把阴影部分的三角形翻转一下即可）.于是，我们得到两个三角形，其边长分别为1，8，x 和4，7，x ．两个三角形同时取到最大面积时对应四边形的最大面积．因为22221847+=+，所以两个三角形是直角三角形时，四边形面积最大，最大值为1810．把2，3，4，5，6，7，8和9不重复地填入题中方框内，使下式成立. 问：在相加的三个分数中，最大的一个是多少？答案： 10．若分母中出现5或者7，则等式一定不能成立.故不妨设第二个分数分子为5，第三个分数分子为7.因为其余几个数最小公倍数为72，我们以172为单位进行考虑.上面三个分数中最大一个分数必须很接近1,只能是523⨯或者724⨯. 若是5602372=⨯,则缺12个单位.故其中7个单位来自第三个分数，5个单位来自第一个分数.这是不可能的.因为第一个分数的分子为5，而5不是72的约数.若是7632472=⨯，则缺9个单位.故其中5个单位来自第二个分数，四个单位来自第一个分数.如下即可.所以最大的分数是78.第二部份：解答题（必须写下解答过程. 每题15分，共60分）11．求满足25{}[]125x x +=的所有实数x 的和（其中[]x 表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-表示x 的小数部分）．11．原方程可化为{}[]12525x x -=，所以 []1250125x -≤<，可得100[]125x <≤，于是[]101,102,,125x =，从而，满足条件的实数x 为125[]24[][]{}[]525252410124102241255,5,,5,252525x x x x x x -=+=+=+⋅⋅⋅=+++它们的和为24255(101102125)283725⨯++++=．12．在44⨯的表格中，可作十八条直线，即四横、四纵的八条直线，从左上到右下和从由右上到左下各五条对角线，这些对角线可能通过2，3或4个小方格．在表格中要放十个筹码，每个小方格最多放一个．若这十八条直线中某条直线上有偶数个筹码，则得一分．问最多可以得多少分？12．如图所示，最多可得17分. 下面证明18分不能得到．注意到表格上总有相对顶角的两格没被同方向的五条对角线覆盖到，这两格一定同是空的或者同是满的．同时也一定有一行和一列是满的．我们考虑三种情形．（1）四个角上的格子都空着．由对称性，不妨假设第二行和第二列是满的．此时，必须把第一行、第四行、第一列、第四列内的另一格填上．这总共至少需要11个筹码．（2）恰有两个对角的格子空着．由对称性，不妨设其中一个格子是第一行第一列的，另一个在第四行第四列．然后，我们必须在第一行、第一列、第四行、第四列内各放一个筹码．这表明表格内部的四格都必须放着筹码．由对称性，不妨假设满的行是第二行．此时，于第二行相交的长度为2的对角线不可能全都得分．（3）四个角上的格子都是满的．我们断言：满的行是第一行或第四行．若第二行是满的，则必须填满第一列第四列，此时已经用了十枚筹码，但是有多条对角线不能得分．这正是了我们的断言．由对称性，不妨设第一行、第一列是满的，此时剩余的筹码只能在内部四格．无论如何放，这又造成多条对角在线不能得分．13．已知五个城市两两相连所得的10条道路中，至少有一个交叉路口，如下左图。
2021年上海新加坡国际学校高一数学文测试题含解析
2021年上海新加坡国际学校高一数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 定义在R上的函数f(x)满足，且当时，.若对任意的，不等式恒，则实数m的最大值是（）A．-1 B． C. D．参考答案：C函数为偶函数,且当时,函数为减函数,时,函数为增函数.若对任意的，不等式恒成立，则,即,所以.当时,,所以,解得,所以.当,时,不等式成立,当时,,无解,故,的最大值为.2. 圆心为（2，﹣1）且与直线3x﹣4y+5=0相切的圆方程是（）A．x2+y2+4x﹣2y﹣4=0 B．x2+y2﹣4x+2y﹣4=0C．x2+y2﹣4x+2y+4=0 D．x2+y2+4x+2y﹣6=0参考答案：B【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】根据直线3x﹣4y+5=0为所求圆的切线，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，即为圆的半径r，根据圆心和半径写出圆的标准方程，整理后即可得到正确的选项．【解答】解：∵圆心（2，﹣1）到直线3x﹣4y+5=0的距离d==3，∴所求圆的半径r=3，则所求圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=9，即x2+y2﹣4x+2y﹣4=0．故选B3. 下列表示错误的是（）（A）（B）（C）（D）若则参考答案：C略4. 下列各组函数是同一函数的是（）①与，②与，③与，④与A.①②B.①③C.②④D.①④参考答案：C5. 正方体的棱长和外接球的半径之比为( )．A．∶1B．∶2C．2∶D．∶3参考答案：C略6. 若函数y=a x+b-1(a>0且a≠1 )的图象经过一、三、四象限，则正确的是（）A. a>1且b<1B. 0<a<1 且b<0C. 0<a<1 且b>0D. a>1 且b<0参考答案：D7. 若角满足，则在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：略8. 方程组的解集是（）A. {(1，﹣1),(﹣1，1)}B. {(1，1),(﹣1，﹣1)}C. {(2，﹣2),（﹣2，2)}D. {(2，2),(﹣2，﹣2)}参考答案：A【分析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．【详解】方程组的解为或，其解集为．故选：A．【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为，一个解可表示为．9. 已知函数f（x）=，若f（x）=3，则 x=（）A．0，6 B．﹣1，6 C．﹣1，0 D．﹣1，0，6参考答案：B【考点】函数的值．【分析】由已知得当x＞0时，f（x）=x2﹣6x+3=3；当x＜0时，f（x）=1﹣2x=3．由此能求出x．【解答】解：∵函数f（x）=，f（x）=3，∴当x＞0时，f（x）=x2﹣6x+3=3，解得x=6或x=0（舍）；当x＜0时，f（x）=1﹣2x=3，解得x=﹣1．∴x=﹣1或x=6．故选：B．10. 下列关于四个数：的大小的结论，正确的是（）。
aeis考试试题
aeis考试试题据360教育集团介绍：AEIS考试培训网介绍，对外国学生而言，AEIS是踏上新加坡正规教育的第一步。
万事虽说开头难，但只要做好了第一步，便已完成了一半的奋斗。
AEIS旨在考察学生的英文和数学能力。
数学对一半中国学生而言不是问题，因为大部分学生会因为英语的原因降级入学。
AEIS的英文考试却考察学生的综合英文能力。
若要与中国所用的尺度来衡量AEIS的难度，或许能够这么说：相等于雅思到6分；相等于国内的英文六级，才能有把握及格。
对中国学生而言，这是一个攀不过的高山；没有相当的努力、苦功和应考技巧是不能通过的。
如下：中学英文考试分数比例考试总分为100％，作文（一篇）占50％，选择题占50％。
选择题有50道，可以说一题就占1％的分数。
此二项目同时考；卷子2小时。
理想地说，选择题应该占半小时；作文占1个半小时。
如果达不到这个时间要求，说明对英文的掌握还远远不足。
按理说，优秀的考生应该对选择题一目了其所然。
如果不是优秀的考生，就没有办法被录取。
考中一的学生会面临2道作文题（2选1），考中二的学生会面对四道作文题（4选1）选择题的分配如下：语法题 10分单词题 10分阅读理解 15分（分两篇）文章填空 15分（分两篇）同时也需要说明：AEIS英文考试是一个设计得非常好的考试。
它的题型不是靠懵或是“技巧”就能通过的；相反的，它的范围是大得技巧无从着入；若要花那时间学“技巧”，还真不如花那时间去提高自己的水平。
AEIS录取分数教育部并不公布录取生的成绩。
但经本集团的长期关注（对被录取的学生的评估）英语总分在80以上，数学总分在90以上，就绝对有把握被录取。
同时也需要知道，选择题都是在答卷上把椭圆画黑，然后由扫描机器评判分数；考官只会亲自判考生的作文。
因此，作文是个非常重要的环节。
（能让考官在作文上写个推荐，等于一只脚已经踏入政府学校了。
作文纲要及考法AEIS的作文题主要能写成记叙文、抒情文、描写文（或称说明文）、议论文。
新加坡O水准试题
UNIVERSITY OF CAMBRIDGE INTERNA TIONAL EXAMINA TIONS General Certificate of Education Ordinary LevelREAD THESE INSTRUCTIONS FIRSTWrite your Centre number, candidate number and name on all the work you hand in.Write in dark blue or black pen.Y ou may use a pencil for any diagrams or graphs.Do not use staples, paper clips, highlighters, glue or correction fluid.DO NOT WRITE IN ANY BARCODES.Answer all questions.If working is needed for any question it must be shown in the space below that question.Omission of essential working will result in loss of marks.NEITHER ELECTRONIC CALCULATORS NOR MATHEMATICAL TABLES MAY BE USED IN THIS PAPER.The number of marks is given in brackets [ ] at the end of each question or part question.The total of the marks for this paper is 80.*0725052732*MATHEMATICS (SYLLABUS D) 4024/12Paper 1 May/June 20102 hoursCandidates answer on the Question Paper.Additional Materials:Geometrical instrumentsFor Examiner’s Use© UCLES 2010For Examiner’s Use4024/12/M/J/10NEITHER ELECTRONIC CALCULATORS NOR MATHEMATICAL TABLESMAY BE USED IN THIS PAPER.1Evaluate(a) 1.5 – 0.2 × 4,Answer (a ) (1)(b) 4.2 ÷ 0.07.Answer (b ) (1)2Express as a single fraction(a) 57 – 25,Answer (a ) (1)(b) 115 ÷ 213. Answer (b ) (1)© UCLES 2010[Turn overForExaminer’s Use4024/12/M/J/103 (a) In a town, 11 000 people out of the total population of 50 000 are aged under 18. What percentage of the population is aged under 18?Answer (a ) ................................. % [1](b) A company employing 1200 workers increased the number of workers by 15%. How many workers does it now employ?Answer (b ) (1)4Evaluate(a) 91 + 90,Answer (a ) (1)(b) 1912. Answer (b ) (1)© UCLES 2010For Examiner’s Use4024/12/M/J/105By writing each number correct to 1 significant figure, estimate the value of48.9 × 0.20723.94.Answer (2)6 (a) Solve 3x – 1= 2 .Answer (a ) x = (1)(b) Given that p = 2t – r , express t in terms of p and r .Answer (b ) t = (1)© UCLES 2010[Turn overFor Examiner’s Use4024/12/M/J/107 (a) On the regular hexagon below, draw all the lines of symmetry.[1](b) On the grid below, draw a quadrilateral with rotational symmetry of order 2.[1]8The table shows the record minimum monthly temperatures, in °C, in V ostok and London.Find(a) the difference between the temperatures in V ostok and London in July,Answer (a ) ................................ °C [1](b) the difference between the temperatures in V ostok in February and June.Answer (b ) ................................ °C [1]© UCLES 2010For Examiner’s Use4024/12/M/J/109Written as a product of prime factors, 168 = 23 × 3 × 7.(a) Express 140 as a product of its prime factors.Answer (a ) (1)(b) Find the highest common factor of 168 and 140.Answer (b ) (1)(c) Find the smallest positive integer, n , such that 168n is a square number.Answer (c ) (1)10 (a) Jane and Ken share some money in the ratio 5 : 3. Ken’s share is $16 less than Jane’s share.Find each person’s share.Answer (a ) Jane $ ..........................Ken $ (2)(b) The scale of a map is 1 : 25 000.The distance between two villages is 10 cm on the map. Find the actual distance, in kilometres, between the villages.Answer (b ) ............................... km [1]© UCLES 2010[Turn overForExaminer’s Use4024/12/M/J/1011 Given that f(x ) = 5 – 2x 3x , find(a) f(–2),Answer (a ) f(–2) = (1)(b) f –1(x ).Answer (b ) f –1(x ) = (2)12 It is given that y is inversely proportional to the square of x and that y = 48 when x = 12 .Find(a) the formula for y in terms of x ,Answer (a ) y = (2)(b) the values of x when y = 3.Answer (b ) x = .............. , .. (1)© UCLES 2010For Examiner’s Use4024/12/M/J/1013 Solve the simultaneous equations.3x + 2y = 7 x – 3y = 17Answer x = .....................................y = (3)© UCLES 2010[Turn overFor Examiner’s Use4024/12/M/J/1014 A straight line passes through the points P (–8, 10) and Q (4, 1).Find(a) the coordinates of the midpoint of PQ ,Answer (a ) (............... , ................) [1](b) the equation of PQ .Answer (b ) (2)© UCLES 2010For Examiner’s Use4024/12/M/J/1015The diagram shows a circle, centre O , passing through A , B , C and D . BOD is a straight line and BÂC = 38°. The line BQ is a tangent to the circle at B .Find(a) DÂC,Answer (a ) DÂC = (1)(b) DB̂C , Answer (b ) DB̂C = ........................ [1] (c) CB̂Q. Answer (c ) CB̂Q = (1)For Examiner’s Use16 A bag contains 6 red counters and 4 blue counters. Two counters are taken from the bag at random, without replacement. (a) Complete the tree diagram below that represents these events. Answer (a)First counterredblueredblue 610........................................Second counter59redblue[1](b) Expressing your answer as a fraction in its simplest form, calculate the probability that bothcounters are the same colour.Answer (b ) (2)For Examiner’s Use17AC2pABCD is a parallelogram.X is the point on BC such that BX : XC = 2 : 1. →AB = 2p and →AD = 3q .Find, in terms of p and q ,(a) →AC ,Answer (a ) →AC = (1)(b) →AX ,Answer (b ) →AX = (1)(c) →XD .Answer (c ) →XD = (1)ForExaminer’s Use18 OAB is the sector of a circle of radius r cm. AÔB = 60°. 60°OAB rFind, in its simplest form, an expression in terms of r and π for (a) the area of the sector,Answer (a ) .............................. cm 2 [1](b) the perimeter of the sector.Answer (b ) ............................... cm [2]19 A = 3 1–1 2 and B = 0 2–1 3.Find(a) A – B ,Answer (a ) [1](b) B –1.Answer (b )[2]For Examiner’s Use20 The graph shows the cumulative frequency curve for the ages of 60 employees.1002040506030152025303540Age (years)Cumulative frequency 4550556065Use the graph to estimate(a) the median,Answer (a ) (1)(b) the interquartile range,Answer (b ) (2)(c) the number of employees aged over 50.Answer (c ) (1)ForExaminer’s Use21 (a) Factorise completely (i) 3x 2 – 12x ,Answer (a )(i ) (1)(ii) x 2 – xy – 2y 2.Answer (a )(ii ) (1)(b) Simplify x 2+ 4x x 2 – 16.Answer (b ) (2)For Examiner’s Use22 (a) A box has volume 2.5 m 3. Express this volume in cm 3.Answer (a ) .............................. cm 3 [1](b) John has a length of string.The string is 4 m long, correct to the nearest 10 cm. (i) Write down the lower bound of the length of the string. Give your answer in centimetres.Answer (b )(i ) ........................... cm [1](ii) John cuts off ten pieces of string. Each piece is 5 cm long, correct to the nearest centimetre. Find the minimum possible length of string remaining. Give your answer in centimetres.Answer (b )(ii ) .......................... cm [2]For Examiner’s Use2332 cmACBθsin 1517cos 817tan 158ABC is an isosceles triangle with AB = BC and AC = 32 cm.Using as much information from the table as is necessary, calculate(a) AB ,Answer (a ) ............................... cm [2](b) the area of triangle ABC .Answer (b ) .............................. c m 2 [2]ForExaminer’s Use24 The diagram below shows three triangles, P , Q and R .(a) Triangle T is the image of triangle P under an enlargement with centre (5, 2) and scalefactor 2. Draw and label triangle T on the diagram. Answer (a)[2](b) Describe fully the single transformation that maps triangle P onto triangle Q .Answer (b) (2)(c) Find the matrix representing the transformation that maps triangle Q onto triangle R .Answer (c )[1]For Examiner’s Use25 The diagram is the speed-time graph for the first 20 seconds of a cyclist’s journey.Time (t seconds)Speed (metres per second)(a) Calculate the distance travelled in the first 16 seconds.Answer (a ) ................................. m [1](b) By drawing a tangent, find the acceleration of the cyclist when t = 18.Answer (b ) ............................. m/s 2 [2](c) On the grid in the answer space, sketch the distance-time graph for the first 16 seconds of the cyclist’s journey. Answer (c)Time (t seconds)Distance (metres)[2]ForExaminer’sUse Permission to reproduce items where third-party owned material protected by copyright is included has been sought and cleared where possible. Every reasonable effort has beenmade by the publisher (UCLES) to trace copyright holders, but if any items requiring clearance have unwittingly been included, the publisher will be pleased to make amends atthe earliest possible opportunity.University of Cambridge International Examinations is part of the Cambridge Assessment Group. Cambridge Assessment is the brand name of University of Cambridge Local Examinations Syndicate (UCLES), which is itself a department of the University of Cambridge.26 A map is drawn to a scale of 1 cm to 5 km.The diagram below shows the positions of two radio masts A and B on the map.Answer (a), (b)North(a)A third radio mast, C, is north of the line AB.It is 40 km from A and 50 km from B.Using ruler and compasses, construct triangle ABC. [2](b)A house D, inside the triangle, is more than 35 km fromB and closer to B than to A.Shade the region on your diagram that represents the possible positionsof the house D. [3]。
2022年新加坡数学奥林匹克竞赛试题(PDF版无答案)
2022新加坡数学奥林匹克
题1.设 ABC的外接圆为ω,过B,C分别作ω的切线,两者交于点D.以D为圆心,DB为半径作圆与直线AD再次交于点E,且E在 ABC内部.F为EB延长线上一点,G为线段EC上一点,使得∠AF B=∠AGE=∠A.过A作 (AF G)的切线l,证明l与BC平行.
题2.若一个矩形的长和宽均为整数,证明:矩形内部不存在一个点,使得这个点到四个顶点的距离均为整数.
题3.求所有函数f:Z+→Z+,使得对任意m,n∈Z+,均有
m!!+n!!|f(m)!!+f(n)!!
其中,n!!=(n!)!
久霖竞赛田新题速递
题 4.设n,k,1≤k≤n为给定的正整数.现有n张牌排成一行,其中第i张牌的编号为i+ k(若i+k>n,则为i+k−n).甲用红蓝两色对每张牌染色,任意一张牌均可以染成红色或蓝色.若两张牌颜色不同,则甲可以交换它们的位置.那么,甲至少需要交换多少次,才能使得所有卡牌均按顺序排列(即对任意i,均有第i张牌的编号为i)?
题5.设n≥2为正整数.对任意整数a,设P a(x)表示多项式x n+ax.对素数p,是集合S a表示P a(x)模p可取到的所有余数组成的集合,即,
S a={b|0≤b≤p−1,且存在c使得P a(c)≡b(mod p)}.
证明:
1
p−1
p−1
a=1
|S a|的值为整数.。
2024年新加坡高级学府数学竞赛(SASMO)三年级竞赛数学试卷
2024年新加坡高级学府数学竞赛（SASMO）三年级竞赛数学试卷1. What is the value of the followingsum? 求下列式子的和94+81 + 73+ 60+ 52 + 46+ 39 + 27+ 18A. 500B. 490C. 480D. 470E. None of the above 以上皆非2. How many bricks are needed to fix the wallbelow? 下面的墙需要多少块砖来修复？A. 34B. 35C. 36D. 37E. None of the above 以上皆非3. What is the next number in the sequencebelow? 找规律，下一个数是多少？,,,,,,A. 365B. 366C. 245D. 200E. None of the above 以上皆非4. 图示了一些同一大小的立方体堆叠在房间的一个角落．请问总共有多少个立方体？（注意：地板是水平的，两面墙是垂直的．可见的立方体后面没有缝隙或孔洞 . )A. 66B. 67C. 68D. 69E. None of the above 以上皆非5. Which of the given numbers of pencils can be evenly arranged into groups of 6 without any remaining? 给定以下的铅笔数量，哪些数量可以均匀地分成6 个铅笔一组，而不会有剩余？A. 94B. 166C. 712D. 1956E. None of the above 以上皆非6. The picture graph below shows the number of books that Amy, Tom, Desmond and Stacy have.Altogether, they have 153 books. If Tom wants to have as many books as Desmond, how many books does he need to buy?下面的图片图表显示了 Amy 、 Tom 、 Desmond 和 Stacy 拥有的书籍数量．他们共有 153 本书 ．如果 Tom 想要和Desmond 拥有一样数量的书，他需要买多少本书？AmyTomDesmondStacystands for th e same number of books. 每一个代表同等数量的书籍A. 4B. 9 C . 32D. 36E. None of the above 以上皆非7. 一个商店有一个特别优惠：顾客每拿回 8 个空的可乐罐，可以换一罐可乐． Alex 刚好有足够的钱买 92 罐可乐． Alex 最多可以得到多少罐可乐？ A. 101B. 102C. 103D. 104E. None of the above 以上皆非8. The figure below is formed by identical squares with a length of 4cm . What is the perimeter (in cm ) ofthe figure?下面的图形由边长为 4 厘米相同的正方形组成 ．该图形的周长是多少（单位：厘米） A. 112cmB. 108cmC. 84cmD. 28 cmE. None of the above 以上皆非9. A farmer has a total of 175 eggs in two nests. After moving 20 eggs from the first nest to the second one,the first nest has 15 more eggs than the second one. How many eggs were initially in the second nest?一个农夫的两个巢里总共有175 个鸡蛋．将第一个巢里的20 个鸡蛋移到第二个巢后，第一个巢比第二个巢多15 个鸡蛋．最初第二个巢里有多少个鸡蛋？A. 115B. 95C. 80D. 60E. None of the above 以上皆非10. In a chess tournament, there are 7 players. Each player competes once against every other player inthe tournament. What is the total number of games played in the tournament?在一个国际象棋锦标赛中，有7 名选手．每个选手在锦标赛中与其他选手比赛一次．锦标赛中总共进行了多少场比赛？A. 56B. 42C. 28D. 21E. None of the above 以上皆非11. The 6-digit number 75276A is a multiple of 11 . The 6-digit number A6712B is a multiple of 9 . Find thevalue of A +B.六位数75276A 是11 的倍数，六位数A6712B是9 的倍数．求A+B 的值A. 11B. 10C. 8D. 3E. None of the above 以上皆非12. In a treasure hunt, there are 9 hidden chests and 9 distinct maps. Each map guides to a specific chest,and no two maps lead to the same chest. What is the greatest number of attempts Sam needs to make to discover which map corresponds to each chest?在一次寻宝活动中，有9 个隐藏的宝箱和9 张不同的地图．每张地图指引到一个特定的宝箱，且没有两张地图指引到同一个宝箱．Sam 最多需要尝试多少次才能发现每个宝箱对应的地图？A. 28B. 45C. 72D. 90E. None of the above 以上皆非13. Study the pattern below. What is the value of the missing number?找规律，缺失的数是多少？662A. 125B. 512C.58 D. 95E. None of the above 以上皆非14. Fold a piece of paper three times and then cut along the dashed line. What image will be revealed when thepaper is unfolded?将一张纸折叠三次，然后沿着虚线剪开．展开纸时会呈现什么图像？15.Alex ，Mia ，Owen 和Lily 正在比较他们读书的数量 .Owen ：我读的书比Alex多，但有人比我读的更多 .Lily ：我读的书数量最多 .Mia ：我没有读最多数量的书 .Alex ：我读的书数量最少 .他们四个人读的书数量各不相同．如果其中有一人在撒谎，你能把四个人按读书的数量从少到多排序吗？A.Mia ，Owen ，Alex ，LilyB.Alex ，Owen ，Mia ，LilyC.Mia ，Alex ，Owen ，Lily3101549993 6 6 675 81D.Lily ，Owen ，Alex ，MiaE. None of the above 以上皆非16. The sum of the digits of an odd 3-digit number is 10 . What is the largest possible such 3-digit number?一个三位数的奇数各个位数上数字之和为10 ．像这样的三位数，最大可能是多少？17. It is given that假设Find the value of求的值18. Samantha and Sarah initially had an equal number of notebooks. Samantha gifted 11 notebooks toSarah. Afterwards, Sarah purchased 14 more notebooks. The final number of notebooks Sarah had was three times the number Samantha had originally. How many notebooks did each of them have at the beginning?Samantha 和Sarah 最初拥有相同数量的笔记本．Samantha 向Sarah 送了11 本笔记本．之后Sarah又购买了14 本笔记本．最终Sarah 拥有的笔记本数量是Samantha最初数量的三倍．他们俩最初各有多少本笔记本？19. How many triangles are there in the figure below?如图所示，下图有多少个三角形？20. The large rectangle below is made up of 4 identical rectangles. Given that the perimeter of the smallrectangle is 64cm, what is the area (in cm2 ) of the shaded region?如图所示，大矩形由4 个相同的矩形组成．已知小矩形的周长为64 厘米，请问阴影区域的面积是多少（以平方厘米为单位）？21. I am a 3-digit even number.All my digits are different.The digits in my number are arranged in increasing order from left to right.The digits in my hundreds and tens places add up to 13 .What number am I?我是一个三位数的偶数 . 我的所有数字都不同 .我的数字按从左到右递增的顺序排列 . 我的百位数和十位数的数字之和为13 . 我是什么数？22. Tom creates four-digit multiples of 4 using each of the digits , , 6 and 8 exactly once. How many such4-digit numbers can Tom create?Tom 使用数字 、 、和8 创建一个为 4 的倍数的四位数，且每个数字恰好只使用一次 ．请问 Tom 能创 建多少个这样的四位数？23. How many different 3-digit odd numbers can be formed using an odd number of matchsticks in total?总共使用奇数根火柴棍可以组成多少个不同的三位数奇数？24. In the following, all the different letters stand for different digits. If B is a multiple of 4 , what is the value ofthe 4-digit number DAFE ?如图所示，所有不同的字母代表不同的数字 ．如果 B 是 4 的倍数，那么 4 位数 DAFE 的值是多少？25. Study the pattern below. What is the value of the missing number? 找规律，缺失的数是多少？AAADEF+AB BD11 34 32 68 ？。
上海新加坡国际学校高二数学理月考试题含解析
上海新加坡国际学校高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：充要条件．专题：计算题．分析：由题意条件p：x≤1，写出其﹣p中x的范围，将条件q：，由分式不等式的解法解出x 的范围，然后判断﹣p是q之间能否互推，从而进行判断；解答：解：∵条件p：x≤1，∴￢p：x＞1；∵条件q：，∴＜0，解得x＞1或x＜0，∵x＞1?x＞1或x＜0，反之则不能；∴﹣p?q，q推不出﹣p，∴﹣p是q的充分而不必要条件，故选A．点评：此题主要考查逻辑关系的条件和分式方程的求解问题，解题时按部就班的求解，此题思路很明显就是求出﹣p和q，各自x的范围．2. 下列说法正确的是（）（A），（B）对则,（C），是的充分条件（D）的充要条件是参考答案：C3. “x≥3”是“(x－2)≥0”的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分与不必要条件参考答案：A4. 已知函数且,是f(x)的导函数，则= ( ) A. B.-C. D.-参考答案：C略5. 已知函数与的图像上存在关于y轴对称的对称点，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.参考答案：A【分析】将题中的问题转化为方程在上有解，即方程在有解的问题处理，然后再转化为两函数的图象有公共点求解，借助导数的几何意义和图象可得所求范围．【详解】函数与的图像上存在关于轴对称的对称点，∴方程在上有解，即方程在上有解，∴方程在有解．设，，则两函数的图象有公共点．由得．若为的切线，且切点为，则有，解得，结合函数图象可得若两函数的图象有公共点，则需满足．所以实数的取值范围是．故选A．【点睛】本题考查转化思想和数形结合思想的应用，解题的关键是把两图象上有对称点转化为方程有根的问题求解，然后再根据两函数的特征选择用导数的几何意义求解，具有综合性，难度较大．6. 已知定点P（x0，y0）不在直线l：f（x，y）=0上，则f（x，y）﹣f（x0，y0）=0表示一条（）A．过点P且垂直于l的直线 B．过点P且平行于l的直线C．不过点P但垂直于l的直线D．不过点P但平行于l的直线参考答案：B【考点】直线的一般式方程．【分析】由当x=x0，y=y0时，f（x，y）﹣f（x0，y0）=0，可得：f（x，y）﹣f（x0，y0）=0过P点，由定点P（x0，y0）不在直线l上，可得f（x0，y0）=b≠0，即f（x，y）﹣f（x0，y0）=0表示一条斜率与l：f（x，y）=0相等的直线，进而得到答案．【解答】解：∵定点P（x0，y0）不在直线l：f（x，y）=0上，∴f（x0，y0）=b≠0，∴f（x，y）﹣f（x0，y0）=0表示一条斜率与l：f（x，y）=0相等的直线，又由当x=x0，y=y0时，f（x，y）﹣f（x0，y0）=0，故f（x，y）﹣f（x0，y0）=0过P点，故f（x，y）﹣f（x0，y0）=0表示一条过点P且平行于l的直线，故选：B7. 双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的右焦点的坐标为( )A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，根据题意，进而求得的值，求得结果.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，因为，所以，所以，所以双曲线的右焦点的坐标为，故选B.【点睛】该题考查的是有关双曲线的焦点坐标的求解问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线方程，双曲线中的关系，属于简单题目.8. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( )Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.参考答案：B略9. 以下是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A．①—综合法，②—分析法 B．①—分析法，②—综合法C．①—综合法，②—反证法 D．①—分析法，②—反证法参考答案：A10. 下面四个条件中，使成立的充分不必要条件为（）A． B． C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量在基底{}下的坐标为(2,1，－1)，则在基底{}下的坐标为参考答案：12. 若点（2a ，a+1）在圆x2+（y﹣1）2=5的内部，则a的取值范围是．参考答案：﹣1＜a＜1【考点】J5：点与圆的位置关系．【分析】根据点（2a，a﹣1）在圆x2+（y﹣1）2=5的内部，可得不等式4a2+a2＜5，解之即可求得a的取值范围【解答】解：由题意，4a2+a2＜5解之得：﹣1＜a＜1．故答案为：﹣1＜a＜1．13. 圆柱形容器盛有高度为8厘米的水，若放入三个相同的球（球半径与圆柱底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是__________.参考答案：414. 若函数,则的值为__________．参考答案：3【分析】先求，把代入可得.【详解】，，，，故填3.【点睛】本题主要考查导数的运算，明确是一个常数是求解本题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.15. 设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以线段F1，F2为直径的圆O与双曲线的一个交点为P，与y轴交于B，D两点，且与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，则下列命题正确的是．（写出所有正确的命题编号）①线段BD是双曲线的虚轴；②△PF1F2的面积为b2；③若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为；④△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．参考答案：②③④【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的性质分别进行求解判断即可．【解答】解：①以线段F1，F2为直径的圆O的半径R=c，则B（0，c），D（0，c），则线段BD不是双曲线的虚轴；故①错误，②∵三角形PF1F2是直角三角形，∴PF12+PF22=4c2，又PF1﹣PF2=2a，则平方得PF12+PF22﹣2PF1PF2=4c2，即4a2﹣2PF1PF2=4c2，则PF1PF2=2c2﹣2a2=2b2，则△PF1F2的面积为S=PF1PF2=2b2=b2，故②正确，③由得或，即M（a，b），N（﹣a，﹣b），则AN⊥x轴，若∠MAN=120°，则∠MAx=30°，则tan30°==，平方得=，即=，则双曲线C的离心率e=====；故③正确，④设内切圆与x轴的切点是点H，PF1、PF2分与内切圆的切点分别为M1、N1，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由圆的切线长定理知，|PM1|=|PN1|，故|M1F1|﹣|N1F2 |=2a，即|HF1|﹣|HF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，故（x+c）﹣（c﹣x）=2a，∴x=a．即△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．故④正确，故答案为：②③④16. 双曲线的焦距为___________.参考答案：【分析】由双曲线的标准方程可得a=1,b=,所以可求出c,进而可得焦距2c.【详解】因为，所以a=1,b=，所以=,所以c=,所以焦距为2c=. 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，属于基础题型.17. 抛物线y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为．参考答案：9【考点】定积分．【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线yy2=4x与直线y=2x﹣4所围成的封闭图形的面积，即可求得结论【解答】解：联立方程组，解得或，∴曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S=（y+2﹣y2）dy=（y2+2y﹣）|=9，故答案为：9三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019年上海新加坡国际学校高三数学文下学期期末试题含解析
2019年上海新加坡国际学校高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在等差数列中，则（）A. B. C.D.参考答案：B略2. 右图是函数图像的一部分．为了得到这个函数的图像，只要将的图像上所有的点( ).向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变..向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变..向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变..向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变.参考答案：A略3. 设集合M={x|（x+3）（x﹣2）＜0，x∈R}，N={0，1，2}，则M∩N=( )A．{0，1，2} B．{0，1} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣3＜x＜2}参考答案：B考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．解答：解：由M中不等式解得：﹣3＜x＜2，即M=（﹣3，2），∵N={0，1，2}，∴M∩N={0，1}，故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．4. 定义在R上的函数满足，且为偶函数，当时，有A． B．C． D．【解析】①若，则，此时和为偶函数都成立，此时当时，恒有。
②若不是常数，因为函数为偶函数，所以，即函数关于对称，所以。
当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增。
若，则由，得，即，所以同理若，由，得，即，所以，若中一个大于1，一个小于1，不妨设，则，得，所以，即，综上有，即，选A.参考答案：①若，则，此时和为偶函数都成立，此时当时，恒有。
②若不是常数，因为函数为偶函数，所以，即函数关于对称，所以。
当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增。
若，则由，得，即，所以同理若，由，得，即，所以，若中一个大于1，一个小于1，不妨设，则，得，所以，即，综上有，即，选A.【答案】A5. 已知向量=(2,1),=(x,1)，若+与－共线,则实数x的值是（）A. -2B. 2C.-4D. 4参考答案：B6. （）A．1 B．C．D．参考答案：D7. 已知函数的定义域是值域是[0，1]，则满足条件的整数数对共有（）A．2个 B．5个 C．6个 D．无数个参考答案：B8. 先把函数y=sin（x+φ）的图象上个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函数关于y轴对称，则φ的值可以是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的值．【解答】解：把函数y=sin（x+φ）的图象上个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得y=sin（2x+φ）的图象；再向右平移个单位，可得y=sin（2x﹣+φ）的图象；再根据所得函数关于y轴对称，可得﹣+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈Z，令k=﹣1，φ=，故选：A．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．9. 函数的定义域为（A）（B）（C）（D）参考答案：C略10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 64B. 72C. 80D.112参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f(x)=x的图象过点(4,2)，令，记数列的前n项和为，则=参考答案：12. 函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．参考答案：（，）【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象，由数形结合求解．【解答】解：方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根可化为函数f（x）=与函数y=mx﹣有四个不同的交点，作函数f（x）=与函数y=mx﹣的图象如下，由题意，C（0，﹣），B（1，0）；故k BC =，当x＞1时，f（x）=lnx，f′（x）=；设切点A的坐标为（x1，lnx1），则=；解得，x1=；故k AC =；结合图象可得，实数m的取值范围是（，）．故答案为：（，）．13. 已知向量与的夹角是，，.若，则实数.参考答案：略14. 已知三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=1，AD=2，BD=，AC=，BC⊥AD，则三棱锥的外接球的表面积为．参考答案：6π考点：球的体积和表面积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：根据勾股定理可判断AD⊥AB，AB⊥BC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积．解答：解：解：如图：∵AD=2，AB=1，BD=，满足AD2+AB2=SD2∴AD⊥AB，又AD⊥BC，BC∩AB=B，∴AD⊥平面ABC，∵AB=BC=1，AC=，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB，∴CD是三棱锥的外接球的直径，∵AD=2，AC=，∴CD=，∴三棱锥的外接球的表面积为4π（）2=6π．故答案为：6π，点评：本题考查了三棱锥的外接球的表面积，关键是根据线段的数量关系判断CD是三棱锥的外接球的直径．15. 已知函数是R上的偶函数，对都有成立.当，且时，都有＜0，给出下列命题：（1）；（2）直线是函数图象的一条对称轴；（3）函数在上有四个零点；（4）其中所有正确命题的序号为＿＿＿＿参考答案：（1）（2）（4）令x＝－2，得ff（－2＋4）＝f（－2）＋f（2），解得：f（－2）＝0，因为函数f （x）为偶函数，所以，f（2）＝0，（1）正确；因为f（－4＋x）＝f（－4＋x＋4）＝f（x），f（－4－x）＝f（－4－x＋4）＝f（－x）＝f（x），所以，f（－4＋x）＝f（－4－x），即x＝－4是函数f（x）的一条对称轴，（ 2）正确；当，且时，都有＜0，说明函数f（x0在［0,2］上单调递减函数，又f（2）＝0，因此函数f（x）在［0,2］上只有一个零点，由偶函数，知函数f （x）在［－2，0］上也只有一个零点，由f（x＋4）＝f（x），知函数的周期为4，所以，f（6）＝f（－6）＝0，因此，函数在［－4,4］上只有2个零点，（3）错；对于（4），因为函数的周期为4，2012是4的倍数，即有f（0）＝f（4）＝f（8）＝…＝f（2012），（4）正确；选（1）（2）（4）。
新加坡中考数学试卷
一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列各数中，是负数的是（）A. -3B. 0C. 1D. 52. 如果a > b，那么下列哪个不等式一定成立？（）A. a + 2 > b + 2B. a - 2 > b - 2C. a 2 > b 2D. a / 2 > b / 23. 下列哪个函数是奇函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = 1/x4. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于y轴的对称点是（）A. (-2,3)B. (2,-3)C. (-2,-3)D. (2,3)5. 下列哪个图形是轴对称图形？（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 矩形D. 等边三角形6. 下列哪个数是质数？（）A. 21B. 29C. 40D. 507. 一个长方形的长是8cm，宽是5cm，它的对角线长度是（）A. 5cmB. 8cmC. 10cmD. 13cm8. 如果sin A = 1/2，那么角A的大小是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9. 下列哪个数是正整数？（）A. -1B. 0C. 1/2D. 310. 下列哪个图形是中心对称图形？（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 矩形D. 等边三角形二、填空题（每题3分，共30分）11. 计算：5 - 3 2 + 4 / 212. 简化表达式：2a + 3b - a - 2b13. 已知直角三角形的一条直角边长为3cm，斜边长为5cm，求另一条直角边长。
14. 已知等腰三角形的底边长为6cm，腰长为8cm，求该三角形的面积。
15. 已知圆的半径为4cm，求圆的周长和面积。
16. 已知二次方程2x^2 - 5x + 2 = 0，求该方程的两个根。
17. 已知sin A = 3/5，cos A = 4/5，求sin 2A的值。
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高2011级新加坡项目选拔考试数学试题本试题共100分，考试时间100分钟一、选择题：本大题共l0小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.定义集合运算:{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．62.若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的A.充分不必要条件.B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件. 3.函数y=－x ·cosx 的部分图像是4.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是 A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]35.已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是A.（0，11a ） B. （0，12a ） C. （0，31a ） D. （0，32a ） 6.若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则 A ．a <b <c B ．c <a <b C ． b <a <c D ． b <c <a7.如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是8.已知正四面体A —BCD ，动点P 在△ABC 内，且点P 到平面BCD 的距离与点P 到点A的距离相等，则动点P 的轨迹为ABC DMNP A 1B 1C 1D 1A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．一条线段9.P 是双曲线22x y 1916－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为A. 6B.7C.8D.910.设O 是正三棱锥P-ABC 底面是三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与PA 、PB 的延长线分别交于Q 、R ，则和式PSPR PQ 111++ A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值C ．既有最大值又有最小值，两者不等D ．是一个与面QPS 无关的常数二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上. 11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在AB 上，且1AM AB 3=，点P 在平面ABCD 内，且动点P 到直线11A D 的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差是1，在平面直角坐标系xAy 中，动点P 的轨迹方程是______。
12．一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体， 则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)菱形；(3)矩形；(4)正方形；(5)正六边形。
其中正确的结论是___________________。
（把你认为正确的序号都填上）13．在平面直角坐标系xOy 中，点()P x y ，是椭圆2213x y +=上的一个动点，则S x y =+的最大值为_____________.１4.某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，．()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ______ ；第2008棵树种植点的坐标应为 _________ ．15.若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为 .三、解答题：本大题共4小题，每题10分，共40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。
17.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC（１）证明PA//（２）证明PB （３）求二面角18.如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=︒，曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .（１）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （２）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F .若△OEF 的面积不小于．．．l 斜率的取值范围.19．设12,,,n a a a 是各项均不为零的等差数列（4n ≥），且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： （1）当n =4时，求1a d的数值；（2）求n的所有可能值；高2011级新加坡项目选拔考试数学答题纸本试题共100分，考试时间100分钟一、选择题：本大题共l0小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上.11.；12.；13.；14.；15.三、解答题：本大题共4小题，每题10分，共40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.已知函数()f x是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22∈恒成立，求实数a的取值范围。
-≤++对x Rf a x f a x(sin)(1cos)17.E是PC18.如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中，OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=︒，曲线C 是满足||||||MA MB -为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P .（１）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（２）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F .若△OEF 的面积不小于．．．l 斜率的取值范围.19．设12,,,n a a a 是各项均不为零的等差数列（4n ≥），且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： （１）当n =4时，求1a d的数值； （２）求n 的所有可能值；高2011级新加坡项目选拔考试数学试题答案一、选择题：本大题共l0小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只11.221y x 39=- 1２．（2）（3）（4）（5）； 13．2 １4.(12)， ；(3402)，15.74三、解答题：本大题共4小题，每题10分，共40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.解：22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++等价于2222222222sin 33sin 311cos 32cos 205sin 1cos 1cos sin 14a x a x a a x a x a a x a x a a x x a a ⎧⎧⎧-≤-≤⎪-≤-⎪⎪⎪++≤⇒-≤-⇒-≤⎨⎨⎨⎪⎪⎪-≥++--≥+⎩⎩⎪--≥⎩⇒ 1221122a a a a a ⎧⎪≤≤⎪⎪≤⇒≤⎨⎪+⎪≤≥⎪⎩ 17. 方法一：（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO 。
∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点 在PAC ∆中，EO 是中位线，∴PA // EO 而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ，所以，PA // 平面EDB（2）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ，∴DC PD ⊥∵PD=DC ，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线， ∴PC DE ⊥. ①同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC.∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC 。
而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥. ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC. 而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB ⊥平面EFD.（3）解：由（2）知，DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角.由（2）知，DB PD EF DE ⊥⊥,.设正方形ABCD 的边长为a ，则a BD a DC PD 2,===,a BD PD PB 322=+=， a DC PD PC 222=+=a PC DE 2221==. 在PDB Rt ∆中，a aa a PB BD PD DF 3632=⋅=⋅=。
在EFD Rt ∆中，233622sin ===a aDF DE EFD ，∴3π=∠EFD .所以，二面角C —PB —D 的大小为3π. 方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设a DC =. （1）证明：连结AC ，AC 交BD 于G ，连结EG.依题意得)2,2,0(),,0,0(),0,0,(a a E a P a A . ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为)0,2,2(aa 且 )2,0,2(),,0,(aa a a -=-=.∴EG PA 2=，这表明PA//EG.而⊂EG（2）证明；022022=-+=⋅a a .∴DE PB ⊥.由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，所以⊥PB 平面EFD. （3）解：设点F 的坐标为),,(000z y x ，PB PF λ=，则),,(),,(000a a a a z y x -=-λ.从而a z a y a x )1(,,000λλλ-===.所以))21(,)21(,()2,2,(000a a a z a y a x FE ---=---=λλλ. 由条件PB EF ⊥知，0=⋅，即0)21()21(222=---+-a a a λλλ，解得31=λ∴点F 的坐标为)32,3,3(a a a，且 )6,6,3(a a a FE --=，)32,3,3(aa a FD ---=∴03233222=+--=⋅a a a 即FD PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角.∵691892222a a a a FD FE =+-=⋅，且 a a a a 6636369||222=++=，a a a a 369499||222=++=，∴2136666cos 2=⋅==a a a EFD . ∴3π=∠EFD .所以，二面角C —PB —D 的大小为3π. 18.（１）解法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＝221321)32(2222＝）（+--++＜｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.∴曲线C 的方程为12222=-y x . 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜ ｜AB ｜＝4.∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线.设双曲线的方程为a by a x (12222=-＞0，b ＞0）.则由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-4113222222b a b a ）（解得a 2=b 2=2,∴曲线C 的方程为.12222=-y x(２)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0.∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠-0)1(64)4(01222 k k k ⇔⎩⎨⎧-±≠331 k k ∴k ∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）.设E （x ，y ），F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=k x x k k --=-16,14212,于是 ｜EF ｜＝2212221221))(1()()(x x k x y x x -+=++- ＝.132214)(1222212212k k k x x x x k --⋅+=-+⋅+而原点O 到直线l 的距离d ＝212k +，∴S △DEF =.132213221122121222222kk k k k k EF d --=--⋅+⋅+⋅=⋅ 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有 解得.22,022*********≤≤-≤--⇔≥--k k k k k ③综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪(1-,1) ∪(1, 2). 解法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2）x 2-4kx -6=0.∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠-0)1(64)4(01222 k k k ⇔⎩⎨⎧-±≠331 k k ∴k ∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）.设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得｜x 1-x 2｜=.132214)(22221221k k k x x x x --=-∆=-+ ③当E 、F 在同一去上时（如图1所示），S △OEF ＝;21212121x x OD x x OD S S ODE ODF -⋅=-⋅=-∆∆ 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）.+=∆∆ODF OEF S S S △ODE =.21)(212121x x OD x x OD -⋅=+⋅ 综上得S △OEF ＝,2121x x OD -⋅于是 由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =.132222k k --若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥∆OEF S.22,022********≤≤-≤-⇔≥--k k k k k 解得 ④综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1]∪（-1，1）∪（1，2）.19．【解析】（１）当n ＝4 时，1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d ＝0．若删去2a ，则有2314,a a a =即()()211123a d a a d +=+ 化简得214a d d +＝0，因为d ≠0，所以1a d=4 ； 若删去3a ，则有214a a a =，即()()21113a d a a d +=+，故得1a d=1． 综上1a d=1或－4． （２）当n ＝5 时，12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去首项或末项．若删去2a ，则有15a a ＝34a a ，即()()()1111423a a d a d a d +=++．故得1a d =6 ； 若删去3a ，则15a a ＝24a a ，即()()()111143a a d a d a d +=++． 化简得32d ＝0，因为d ≠0，所以也不能删去3a ；若删去4a ，则有15a a ＝23a a g ，即()()()111142a a d a d a d +=++g g ．故得1a d = 2 ． 当n ≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列1a ，2a ，3a ，…，2n a -，1n a -，n a 中，由于不能删去首项或末项，若删去2a ，则必有1n a a ＝32n a a -，这与d ≠0 矛盾；同样若删 去2n a -也有1n a a ＝32n a a -，这与d ≠0 矛盾；若删去3a ，…，2n a - 中任意一个，则必有 1n a a ＝21n a a -，这与d ≠0 矛盾．综上所述，n ∈{4，5}．。