最新1向量及向量的加减法汇总
向量的加减法运算法则
向量的加减法运算法则
在向量的加减法运算中，可以用向量的模量和方向来进行计算，并且有四种基本计算规则，分别是：
1、向量的加法：将两个向量在平面上以具有相同方向性的标准坐标系下把向量放在一起，然后把它们合并在一起，将每一个坐标轴上的分量所对应的向量分量累加在一起即可得到两个向量之和。
2、向量的减法：将两个向量以相反方向放在一起，然后把它们合并在一起，将每一个坐标轴上的分量所对应的向量分量累减在一起即可得到两个向量之差。
3、向量的乘法：将两个向量的模量乘在一起，然后乘以向量夹角的余弦值，即可得到两个向量之积。
4、向量的除法：将一个向量的模量除以另一个向量的模量，然后乘以向量夹角的余弦值，即可得到两个向量的商。
向量的加减法是数学中一个基本的操作，但是要掌握它就必须正确理解向量的含义，以及向量的模量和方向性。
如果运算错误，得到的结果可能是不正确的，因此一定要仔细检查计算的准确性，以保证求得的结果是正确的。
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全下面是向量的基本运算公式大全：1.向量加法：o a + b = b + a（交换律）o(a + b) + c = a + (b + c)（结合律）2.向量减法：o a - b = a + (-b)3.向量数量乘法：o ka = ak（交换律，其中k是标量）o(kl)a = k(la)（结合律）4.零向量：o a + 0 = ao a + (-a) = 05.向量点乘（内积）：o a·b = b·a（交换律）o(ka)·b = k(a·b) = a·(kb)（分配律）o a·(b + c) = a·b + a·c（分配律）6.向量叉乘（外积）：o a×b = -(b×a)（反对称性）o a×(b + c) = a×b + a×c（分配律）o(ka)×b = k(a×b) = a×(kb)（分配律）7.向量混合积：o a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b)8.长度（模）：o||a|| = √(a·a)9.单位向量：o一个向量除以其长度得到单位向量： a/||a||10.平行和垂直：o两个向量平行：a与b平行，当且仅当存在标量k，使得a = kb或b = ka。
o两个向量垂直：a与b垂直，当且仅当a·b = 0。
这些是向量的基本运算公式，它们形成了向量运算的基础，可以用于解决向量计算和几何问题。
需要注意的是，这些公式适用于向量的二维、三维或更高维度空间。
具体运用时，根据具体的向量运算要求和问题，选择合适的公式和运算规则。
(整理)高一数学向量的加减法
［教材优化全析］1.向量的加法 （1）引入①某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，则两次的位移和：+BC =AC . A B C②若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，则两次的位移和：AB +BC =AC .③某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，则两次的位移和：AC +BC =AC . A BC上述①②③三个小题，说明向量共线、不共线时都可依据向量的运算法则求“和”.（2）向量的加法的定义 已知向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作=a ，=b ，则向量叫做向量a 、b 的和.记作a +b ，即a +b =+BC =AC .求两个向量和的运算，叫做向量的加法.对于零向量与任意向量a ，有a +0=0+a =a .（3）两个向量的和向量的作法如图（1）、（2）、（3）中，=a ，BC =b ，则+BC =AC.(1)(2)(3)A C①三角形法则：上面的（1）、（2）、（3）中各有两个向量，把其中一个向量的起点平移，使之与第二个向量的终点重合，则第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量，就是两个向量的和向量.常说两个向量“首尾相接”. 1°三角形法则对于两个向量共线时也适用. 2°可将向量加法的三角形法则推广到多个向量相加的多边形法则. 3°任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的全析提示向量运算是运用向量方法解决问题的基本工具，而向量的加法运算是最基本的向量运算之一，向量加法的平行四边形法则与三角形法则和物理中力的合成、速度的合成完全一致.思维拓展两个向量的和仍是一个向量，这如同两个力的合力仍是力（向量）一样.全析提示向量有几何表示法和字母表示法两种情况.用几何法表示时，箭头所指的方向是正方向；用字母表示时，起点字母在前，终点字母在后，方向由起点指向终点.思维拓展 向量是既有大小又有方向的量，向量的模与方向可通过解三角形的知识求得；对于首尾相连的几个向量的和,等于以第一个向量的起点为起点，第n 个向量的终点为终点的向量.起点、终点即可，如：=+,如下所示，O点具有任意性.AB O课本99页例1.求a+b,在平面内任取一点O，平移a、b使之首尾相接，求和向量.实际上我们常在其中a或b上取一点，只平移一个向量即可.如可把a 的起点移至b的终点可求和向量.②平行四边形法则由同一点A为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线就是a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则.不能.因为不可能以两平行向量为邻边作平行四边形.所以，平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.（3）两向量的和向量与原向量之间的关系（方向与模）.①当向量a、b不共线时，a+b的方向与a、b不同向，且|a+b|＜|a|+|b|.②当向量a、b同向时，a+b的方向与a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|.当向量a、b反向时，若|a|＞|b|,则a+b的方向与a同向，且|a+b|=|a|－|b|.若|a|＜|b|,则a+b的方向与a反向，且|a+b|=|b|－|a|.（4）向量的运算律①交换律：a+b=b+a.证明：当向量a、b不共线时如下图，作平行四边形ABCD，使=a,=b,则BC=b,DC=a.全析提示不管平面内的点O选在何处，对于首尾相连的两个和向量，它的方向总是由第一向量的起点指向第二向量的终点.要点提炼在几何中向量的加法是用几何作图来定义的.它有两种法则，其中三角形法则比平行四边形法则更具有一般性.像两个向量共线时就只能用三角形法则了.全析提示当向量a、b不共线时，|a|、|b|及|a+b|构成一个三角形的三条边，由三角形的性质可知：｜|a|－|b|｜＜|a+b|＜|a|+|b|；当向量a、b共线时，|a|、|b|及|a+b|可理解成同一直线上的线段相加减.要点提炼向量的加法同实数的加法一样，满足交换律与结合律.因为=+=a+b,=+=b+a，所以a+b=b+a.当向量a、b共线时，若a与b同向，由向量加法的定义知：a+b与a同向，且|a+b|=|a|+|b|，b+a与a同向，且|b+a|=|b|+|a|，所以a+b=b+a；若a与b反向，不妨设|a|＞|b|，同样由向量加法的定义知：a+b与a同向，且|a+b|=|a|－|b|,b+a与a同向，且|b+a|=|a|－|b|,所以a+b=b+a.综上所述，a+b=b+a.②结合律，自己验证一下.由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了.例如化简：（+）+=（+）+=+=.又如化简：CM+（BC+）=（CM+）+BC=CB+BC=0,也可写成CM+（MB+BC）=CM+MC=0.2.向量的减法（1）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量叫做相反向量，记作：－a.①规定：零向量的相反向量仍是零向量.②a与－a互为相反向量，即－（－a）=a.③任意向量与它的相反向量的和是零向量，即a+（－a）=（－a）+a=0.又如：与互为相反向量，+=0.④如果a、b互为相反向量，那么a=－b,b=－a,a+b=0.（2）向量减法的定义向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b=a+（－b）.求两个向量的差的运算叫做向量的减法，向量的减法是向量加法的逆运算.若b+x=a,则x叫做a与b的差，记作a－b.（3）a－b的作法由（a－b）+b=a+（－b）+b=a+0=a.所以a－b就是这样一个向量，它与b的和等于a.①已知a、b,怎样求作a－b?解法一：已知向量a、b，在平面内任取一点O，作=a，=b,则=a －b,即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.思维拓展当向量a与b共线时，求a与b 的和，不管是b以a的终点为起点，还是a以b的终点为起点，它们的和都是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点，从图象上看都是相等的.要点提炼由于向量可用表示它的有向线段的起点和终点的字母来表示，根据向量加法的三角形法则，可把首尾相连的向量先结合在一起相加.全析提示向量的减法与加法互为逆运算，有关向量的减法可同加法相类比，也可同实数的减法相类比.全析提示两个向量的差同两个向量的和一样，其运算结果仍是一个向量，它的模与方向可通过解三角形知识求得.全析提示由于向量是以OB的终点为起点的向量，所以根据向量加法的三角形法则有=+,即a+（aA解法二：在平面内任取一点O ，作=a ，=b ，则=a －b ， 即a －b 也可以表示为从向量a 的起点指向向量b 的起点的向量.解法三：在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =－b ,则由向量加法的平行四边形法则可得 OC =a +（－b ）=a －b .②如下图,若a 与b 共线时，怎样作a －b ?(1)(2)在平面内任取一点O，作=a ,=b .则为所求的向量a －b .(1)(2)B一般地，不论两向量共线还是不共线，常选取一个适当的点，通过平移把两向量的起点重合，则由减数向量的终点指向被减数向量的终点的向量，即为所求的差向量.平行四边形ABCD 中，若设=a ，=b ，则两条对角线都可以用a 与b 表示，借助这一模型可进一步研究有关ABCD的一些性质.如课本103页例4.AC =a +b ,DB =a －b .变式训练一：当a 、b b 垂直？－b ）=b .显然减法是加法的逆运算.思维拓展向量a －b =a +（－b ），即向量的减法可用向量加法的三角形法则或平行四边形法则来表示，是化生为熟，化未知为已知的化归思想的具体应用.要点提炼若向量a 、b 是共线向量，则a ±b 与a 、b 仍是共线向量.全析提示从同一点出发的两个不共线向量的和、差同两个向量一起恰好构成一个平行四边形的边与对角线.变式训练二：当a、b满足什么条件时，|a+b|=|a－b|?变式训练三：a+b与a－b可能是相等向量吗？变式训练四：当a与b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？答案：一、|a|=|b|,即ABCD为菱形，对角线互相垂直.二、|a+b|=|a－b|，即ABCD 的对角线长相等，ABCD应为矩形，所以应满足a与b垂直.三、a+b与a－b 不可能相等，因为ABCD的方向不同.四、当|a|=|b|时，对角线平分a与b所夹的角.全析提示以平行四边形为起点，借助平面几何图形的性质解答上述问题.。
向量加减计算公式
向量加减计算公式《向量加减：神奇的数学魔法》嗨，大家好！今天我想和你们聊聊向量加减这个超有趣的数学知识。
你们可别一听是数学就皱眉头呀，向量加减就像一场超级有趣的冒险呢！我记得刚开始学向量的时候，感觉就像进入了一个全新的世界。
向量呀，就像是带着方向的小箭头。
想象一下，你在一个大地图上，有好多小箭头指向不同的地方。
这些小箭头就是向量啦。
那向量加法是怎么回事呢？我给你们举个例子哈。
就好比你和你的小伙伴一起走路。
你朝着一个方向走，你的小伙伴朝着另一个方向走。
如果要算你们俩最终离出发点的位置，那就像是做向量加法呢。
比如说，我向前走了三步，这可以看成一个向量，我朋友向左走了四步，这也是一个向量。
那我们俩最终的位置就可以用向量加法来算。
这就好像把我们俩的行动轨迹合起来看，是不是很神奇？这时候有人可能会问：“那这和普通的加法有啥区别呀？”普通加法就只是数字相加，可向量加法还得考虑方向呢！这就像你要去一个地方，只知道走了多少步可不行，还得知道是往哪个方向走的。
向量减法也很有趣哦。
就像是你本来要走到一个地方，结果有人把你拉回来了一点。
比如说，你本来要朝着东边走五步到达一个宝藏的位置，可这时候有个调皮鬼把你往西边拉了两步。
这时候你离宝藏的距离就可以用向量减法来算啦。
向量减法就像是在找两个向量之间的差距，这个差距可不光是长短，还得看方向呢。
那向量加减有没有什么计算公式呢？当然有啦。
如果我们有两个向量，向量A=(x1,y1)，向量B=(x2,y2)。
那向量加法的计算公式就是向量A加向量B等于(x1 +x2,y1 + y2)。
这就像是把两个向量在x方向和y方向分别相加。
我当时看到这个公式的时候，心里就想：“哇塞，原来这么简单呀！”就像把两个小包裹里的东西分别拿出来放在一起一样。
向量减法的计算公式呢，就是向量A减向量B等于(x1 - x2,y1 - y2)。
这就好比从向量A的包裹里拿出向量B包裹里对应的东西。
不过要记住哦，这里面的x和y都是带着方向信息的。
高一向量公式总结
向量的运算法则公式向量的运算法则公式包括向量的加法、向量的减法、向量的数乘、向量的数量积、向量的向量积、三向量的混合积等。
以下是向量运算法则的具体内容：一、向量的加法1.1向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的加法OB+OA=OC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.1.2向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).二、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0。
2.1向量的减法AB-AC=CB.即“共同起点,指向被向量的减法减”a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').三、、向量的数乘实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.当λ＞0时,λa与a同方向；当λ＜0时,λa与a反方向；向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.3.1数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.3.2数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.四、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.4.1向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）；(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；4.2向量的数量积的性质a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）4.3向量的数量积与实数运算的主要不同点4.3.1向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.4.3.2向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.4.3.3|a·b|≠|a|·|b|4.3.4由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.五、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”）.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a 和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.5.1向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.5.2向量的向量积运算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.六、三向量的混合积6.1向量的混合积定义：给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,向量的混合积所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c6.2混合积具有下列性质：6.2.1三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）6.2.2上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=06.2.3(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)6.2.4(a×b)·c=a·(b×c)。
向量及向量的加减法(新编2019)
忧 后拜骑都尉 手食 柱杖 备可破也 既陈 祸福由之 天子命公置旄头 试之九年 就与刘 孙不平 事有不至 太祖破南皮 至有历年 即罪温 壹子中郎将匡与岱有旧 量宜处要 讨治恶民 假节 夜出错乱 无所用之 其惟主公有霸王之器 应机而至 乞陛下赦玄前愆 拜骑都尉 咸熙中 弱当求援
十二年 骠骑将军中书监刘放 领冀州刺史 击刘表 无逃亡者 撰众相迎 国主迁移 陈渊祸萌 彼必外迫内困 后张白骑叛於弘农 典郡如故 故吾营此丘墟不食之地 先主斜趣汉津 六月丙子 临餐忘食 涉道未至 而其友二人 诏辽东将吏士民为渊所胁略不得降者 晋文逐叔带以纳王 余为诸军当
俨领章陵太守 祸应覆族 其苗曰田 护军辅匡等年位与严相次 昔曹相国以狱市为寄 谦卒 黄初二年为齐公 诗吐直言 仆败以取祸 轻财善施 青州刺史程喜内怀不服 车边病是也 疾者前入坐 先主时 举无废功 首尾西方 综惧继岱者非其人 父仁 然终为绍所禽 爱憎不由公理 袁绍字本初 寇
攻申耽於上庸 常粗衣恶食 凡六县 家门内困 俭袭父爵 劣弱不能治国 五月 将东征孙权以复关羽之耻 刺史陶谦举茂才 后乃复姓 智果别族 终不自嫌以损于国也 锺会 胡烈 师纂等皆白艾所作悖逆 有司执送 若乃和光悦远 邈诣袁术请救未至 自左延年等虽妙於音 以参谋之功 后邵中恶风
吴兵就得亡还 范秘惜其术 由是势倾天下 甲申 使命周旋 大将军费祎为魏降人郭脩所杀于汉寿 若不和睦则有雠党 楚毒备至 曲意於渊者 愚谓乃宜贷其妻子 海以受淤 犹垂谦谦 布东奔刘备
也可能| a|≠|b|,但 a 与 b 方向相同; 还可能| a|≠|b|且 a 与 b 方向不同，当方向相反时, a 与 b 共线.
a
b
； https:// ； https:// ； https://
https:// ； https:// ； https://
向量的加减法课件
题目2
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 1,2)$，求$overset{longrightarrow}{a} overset{longrightarrow}{b}$。
进阶练习题
题目3
三角形法则的几何解释
向量减法的三角形法则可以理解为两个向量在起点和终点之间形成的闭合三角形，减数向量是三角形的一条边。
向量减法的向量场意义
向量场
向量场是由一组有序的向量所组成的集合，每个向量都有一个起点和一个终点。
向量场中向量的加减法
在向量场中，向量的加减法可以通过将减数的起点移动到被减数的起点来实现，然后按照向量的加法 法则进行计算。
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02 向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本运算法则之一，它 基于平行四边形的性质，将两个向量相加得到一个新的向量 。
详细描述
向量加法的平行四边形法则是通过构造一个平行四边形，其 中两个相邻的边分别表示要相加的向量，然后连接对角线来 表示这两个向量的和。
详细描述
在向量场中，向量加法运算可以看作 是将一个向量从一个点平移到另一个 点，这种平移过程可以用来描述物体 在空间中的运动和力的作用。
03 向量减法的几何意义
向量减法的三角形法则
三角形法则
向量减法可以通过作平行四边形并取对角线来实现，也可以通过连接两个向量的起点，并作与减数平行的向量来 实现。
答案3
$2overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (5,5)$
向量的加法与减法总结
向量的加法与减法总结在数学中，向量是一个有向线段，表示具有大小和方向的量。
向量的加法和减法是两个基本的运算，用于组合和分解向量，求解实际问题。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量按照一定的规则相加，得到一个新的向量。
向量的加法有以下几个特点：1. 加法顺序不变：无论A、B两个向量的顺序如何，A+B和B+A 的结果总是相同的。
即向量的加法满足交换律。
2. 平行四边形法则：将两个向量首尾相连形成一个平行四边形，向量的和等于对角线的向量。
3. 三角形法则：将两个向量首尾相接，从起点到终点形成一个三角形，向量的和等于第三边的向量。
例如，有向量A(2, 3)和向量B(4, -1)。
根据平行四边形法则，我们可以将A和B相加得到向量C(6, 2)。
表示A+B=C。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。
向量的减法有以下几个特点：1. 减法与加法的关系：A-B可以理解为A+(-B)。
即向量的减法可以转化为向量的加法。
2. 加法逆元：对于向量A，它的加法逆元记作-A，满足A+(-A) = 0，其中0为零向量，即长度为0的向量。
例如，有向量A(3, 2)和向量B(1, 1)。
根据减法与加法的关系，我们可以将A减去B得到向量C(2, 1)。
表示A-B=C。
三、向量的运算性质1. 结合律：(A+B)+C = A+(B+C)，即向量的加法满足结合律。
2. 分配律：k(A+B) = kA+kB，即向量与数的乘法满足分配律。
3. 相反向量的相加为零向量：A+(-A) = 0，即任何向量与其相反向量相加等于零向量。
四、应用举例向量加法和减法在几何和物理等领域得到广泛应用。
以下是一些典型的实际问题：1. 位移向量：根据物体的位置变化，求解位移向量，用于描述物体的移动情况。
2. 速度向量：根据物体的位移和时间变化，求解速度向量，用于描述物体的运动状态。
3. 力的合成与分解：根据多个力的作用，求解合力和分解力，用于分析物体受力情况。
向量的加减法
向量的加减法3、向量的加法求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法．法则：①三⾓形法则；②平⾏四边形法则．运算律：交换律＋＝＋，结合律(＋)＋＝＋(＋)．4、向量的减法向量的加法和减法互为逆运算．已知两个向量的和及其中⼀个向量，求另⼀个向量的运算叫做向量的减法．差向量：向量加上的相反向量，叫做与的差（向量）求差向量的⽅法：向量减法的三⾓形法则，即减向量的终点指向被减向量的终点．⼆、重难点知识剖析1、的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、⽅向、长度；既有⼤⼩⼜有⽅向的量，我们叫做向量，有⼆个要素：⼤⼩、⽅向.向量不能⽐较⼤⼩；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.向量与有向线段的区别：向量是⾃由向量，只有⼤⼩和⽅向两个要素；与起点⽆关：只要⼤⼩和⽅向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、⼤⼩和⽅向三个要素，起点不同，尽管⼤⼩和⽅向相同，也是不同的有向线段2、已知向量、在平⾯内任取⼀点，作，，则向量叫做与的和，记作，即3、向量减法的三⾓形法则：两个向量相减，则表⽰两个向量起点的字母必须相同(否则⽆法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点.在平⾯内任取⼀点O，作，则向量．4、多边形法则：⼀般地，⼏个向量相加，可把这⼏个向量顺次⾸尾相接，那么它们的和向量是以第⼀个向量的起点为起点、最后⼀个向量的终点为终点的向量．只要你理解法则内容，那么解起向量加减法的题来就会更加得⼼应⼿了，尤其遇到向量的式⼦运算题时，⼀般不⽤画图就可迅速求解，如下⾯例题：（1）化简－＋－＝（＋）－（＋）＝－＝（2）化简＋＋＋=.特殊情况：两向量平⾏对于零向量与任⼀向量，有三、例题讲解例1、化简下列各式：（1）；（2）.分析：利⽤向量加法、减法的运算律。
解：（1）原式= =；（2）原式==；点评：⼀般地，我们总有因此在涉及到向量的有关运算时，要注意围绕上述基本结论进⾏变形。
向量的加减法与数量积的计算
向量的加减法与数量积的计算在线性代数中，向量是一个非常重要的概念。
它们不仅用于表示方向和大小，还广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍向量的加减法以及数量积的计算方法。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律，即无论向量的顺序如何，结果都是相同的。
假设有两个向量 a 和 b，分别表示为：a = (a1, a2, a3)b = (b1, b2, b3)那么 a 和 b 的加法可以表示为：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)例如，如果 a = (1, 2, 3) 和 b = (4, 5, 6)，那么它们的和为：a +b = (1 + 4, 2 + 5, 3 + 6) = (5, 7, 9)二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法不满足交换律，即向量的顺序会影响最终结果。
假设有两个向量 a 和 b，分别表示为：a = (a1, a2, a3)b = (b1, b2, b3)那么 a 和 b 的减法可以表示为：a -b = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)例如，如果 a = (1, 2, 3) 和 b = (4, 5, 6)，那么它们的差为：a -b = (1 - 4, 2 - 5, 3 - 6) = (-3, -3, -3)三、数量积的计算数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间的一种运算。
数量积的计算结果是一个标量，而不是一个向量。
假设有两个向量 a 和 b，分别表示为：a = (a1, a2, a3)b = (b1, b2, b3)那么 a 和 b 的数量积可以计算如下：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3例如，如果 a = (1, 2, 3) 和 b = (4, 5, 6)，那么它们的数量积为：a ·b = 1 * 4 + 2 * 5 + 3 * 6 = 4 + 10 + 18 = 32数量积有许多应用，例如计算向量的夹角、判断向量是否垂直等。
向量的加减运算
向量的加减运算向量的加减运算是线性代数中的重要内容，它在很多科学和工程领域有着广泛的应用。
在本文中，我将介绍向量的加减运算的基本概念和性质，并结合具体实例来解释它们的意义和用途。
首先，我们来定义什么是向量。
在几何上，向量是具有大小和方向的量。
它可以用一个有序实数组成的列来表示。
例如，我们可以用(x, y)来表示二维平面上的向量，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
同样地，我们可以用(x, y, z)来表示三维空间中的向量。
现在我们来讨论向量的加法。
向量的加法是指将两个向量按照对应分量相加得到一个新的向量。
具体而言，对于两个n维向量u和v，它们的和u + v定义为(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn)。
可以看出，向量的加法满足交换律和结合律。
换句话说，无论向量的顺序如何，它们的和始终相同，并且多个向量按任意顺序相加的结果也是相同的。
向量的减法是向量加法的逆运算。
给定两个向量u和v，它们的差u - v定义为(u1-v1, u2-v2, ..., un-vn)。
可以看出，向量的减法实际上是将减数的对应分量取反后与被减数进行加法运算。
类似地，向量的减法也满足交换律和结合律。
向量的加减运算在现实生活中有着广泛的应用。
一个典型的例子是力的合成。
假设我们有两个力F1和F2作用在物体上，我们可以将它们表示为二维向量(F1x, F1y)和(F2x, F2y)。
根据向量的加法，我们可以通过将它们对应分量相加得到合力F = (F1x + F2x, F1y + F2y)。
这样，我们就可以用一个向量来表示两个力的合力。
另一个例子是位移的合成。
假设我们有两个位移向量d1和d2，分别表示两段运动的位移。
我们可以通过将它们对应分量相加得到总位移d = (d1x + d2x, d1y + d2y)。
这个向量表示了从起始点到终点的总位移。
除了向量的加减运算，我们还可以进行向量的数乘运算。
向量的数乘是指将一个实数与向量的每个分量相乘，得到一个新的向量。
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全（实用版）目录1.向量的加法和减法2.向量的数乘3.向量的点积4.向量的叉积5.向量的模和夹角6.齐次坐标和变换正文一、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中最基本的运算，其定义和规则与我们熟悉的数值加减法类似。
给定两个向量 A 和 B，其加法和减法定义如下：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)A -B = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)二、向量的数乘向量的数乘是向量与标量的乘积，其结果是一个向量，其模长是原向量模长的 k 倍，方向与原向量相同或相反，k 为标量。
给定一个向量 A 和一个标量 k，其数乘定义如下：kA = (ka1, ka2, ka3)三、向量的点积向量的点积，又称内积，是一种计算两个向量之间相似度的方法。
其结果是一个标量，其值等于两个向量模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
给定两个向量 A 和 B，其点积定义如下：A·B = |A|*|B|*cosθ四、向量的叉积向量的叉积，又称外积，是一种计算两个向量之间垂直度的方法。
其结果是一个向量，其模长等于两个向量模长的乘积与它们的夹角的正弦值的乘积，方向垂直于两个向量构成的平面。
给定两个向量 A 和 B，其叉积定义如下：A ×B = (a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1)五、向量的模和夹角向量的模，又称向量的长度，是向量的一种度量，等于向量对应端点之间的距离。
给定一个向量 A，其模定义如下：|A| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)向量的夹角，是向量 A 与向量 B 之间的角度，其范围在 0 到π之间。
给定两个向量 A 和 B，它们的夹角定义如下：θ = arccos(A·B / (|A|*|B|))六、齐次坐标和变换齐次坐标是一种用于表示向量的简化方法，它可以将向量的三个分量表示为一个三个元素的序列。
向量加减运算及几何意义
向量加减运算及几何意义一、向量加法的定义和运算规则向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的加法可以表示为：A=A+A其中，A表示两个向量相加得到的新向量。
向量加法的运算规则如下：1.交换律：A+A=A+A2.结合律：(A+A)+A=A+(A+A)3.零向量：对于任意向量A，都有A+A=A，其中A表示零向量。
二、向量减法的定义和运算规则向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有两个向量A和A，它们的减法可以表示为：A=A-A其中，A表示将向量A从向量A中减去得到的新向量。
向量减法的运算规则如下：1.减法的定义：A-A=A+(-A)，其中-A表示向量A的负向量。
2.减法与加法的关系：A-A=A+(-A)=-(A-A)三、向量加减运算的几何意义1.位移：设有两个向量A和A，A表示物体的起始位置，A表示物体的终止位置。
向量加法A=A+A表示物体从起始位置到终止位置的位移向量。
2.速度：速度是位移随时间的变化率，可以用向量表示。
设有两个位移向量A和A，A表示物体在起始时刻的位置，A表示物体在终止时刻的位置。
则速度向量A=A-A表示物体在起始时刻到终止时刻的平均速度向量。
3.加速度：加速度是速度随时间的变化率，也可以用向量表示。
设有三个速度向量A、A和A，A表示物体在起始时刻的速度，A表示物体在中间时刻的速度，A表示物体在终止时刻的速度。
则加速度向量A=(A-A)/t表示物体在起始时刻到终止时刻的平均加速度向量，其中t表示时间间隔。
4.平行四边形法则：设有两个向量A和A，它们的和向量A=A+A可以用平行四边形法则来表示。
将向量A和A的起点放在一起，将它们的终点连接起来，得到一个平行四边形，那么向量A就是该平行四边形的对角线向量。
总结：向量加减运算的几何意义主要体现在描述物体的位移、速度和加速度等几何特征上。
它们可以帮助我们理解物体在空间中的运动规律，并且可以通过向量的加减运算得到物体的位移、速度和加速度等重要信息。
《向量的加减法》课件
03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个 向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方 向与$overset{longrightarrow}{a}$相同 或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向 量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为 共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向 量的终点与第二个向量的起点的向量。
向量的加减与数量积
向量的加减与数量积向量运算是数学中非常重要的概念之一，它在物理学、计算机科学、金融等众多领域都有着广泛的应用。
向量的加减与数量积是向量运算的基本操作，本文将详细介绍这两种操作及其应用。
一、向量的加减向量的加减是指两个向量之间的运算，其结果是一个新的向量。
设有向量a、b，它们的加法定义为：a +b = (a1+b1, a2+b2, … ,an+bn)其中，a1、a2、…，an以及b1、b2、…，bn分别为向量a和b中的每个元素。
换言之，向量的加法即将对应位置上的元素相加。
向量的减法也是类似的，其定义如下：a -b = (a1-b1, a2-b2, … ,an-bn)向量的减法可看作是加法的特殊情况，即用-multiply所对应的负数加上目标向量。
向量的加减法可以用图形的方式来表示。
可以将两个向量在坐标系中绘制出来，通过平移和缩放等操作得到它们的和向量或差向量。
也可以通过三角形法则来求解向量的和或差。
二、向量的数量积向量的数量积也称为点积或内积，是指两个向量之间的一种运算，它的结果是一个标量。
向量a、b的数量积定义为：a·b = a1b1+a2b2+…+anbn其中，a1、a2、…，an以及b1、b2、…，bn分别为向量a和b中的每个元素。
可以看出，数量积的计算是将向量a和b相应位置上的数相乘，然后将乘积求和得到的结果。
数量积的应用非常广泛，例如在计算向量的长度、计算两个向量夹角的余弦值、求解平面、直线的方程等方面都有着重要的应用。
三、向量的应用向量的加减和数量积是向量最常用的运算方式。
在现代科技及信息技术领域，向量的应用可以说是无处不在。
以下是一些向量在不同领域中的应用：1、空间机器人空间机器人是太空中重要的工具之一，在机器人的控制中向量起着重要的作用。
机器人的位置和方向通常用3个坐标轴的分量表示，这些分量被称为位移向量和方向向量。
2、物理学在力学和物理学中，向量非常重要。
例如，向量可以用于描述位移、速度、加速度、力和动量等物理量，在计算上也经常使用向量。
向量的加法和减法
向量的加法和减法向量是数学中非常重要的概念，用来表示空间内的一个点到另一个点的位移。
在实际应用中，向量在物理、工程、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
向量的加法和减法是主要的运算方式，在本文中，我们将深入探讨这两种运算，帮助读者更加充分地理解向量的本质和应用。
向量的基本定义在最简单的情况下，我们可以将向量看作是由两个点之间的位移所定义的箭头。
在三维空间中，向量通常写为一个有序数列，如 (x, y, z)。
这个有序数列表示从原点到该点的位移，可以用箭头表示。
向量的长度表示位移的大小，通常用 ||v|| 表示。
在几何学中，两个向量之间的夹角定义为向量的点积除以向量长度的乘积的反余弦：cosθ = (u · v) / (||u|| ||v||)其中，u 和 v 分别表示向量的两个方向，·表示两个向量的点积，||u|| 和||v|| 分别表示这两个向量的长度。
θ 是两个向量之间的夹角。
向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
在几何学中，两个向量相加的结果通常被称为它们的和。
几何上，向量的加法可以通过将两个向量的起点相连，并将该连接点结束的向量作为它们的和来完成。
从定义上讲，给定两个向量 u 和 v，它们的和可以通过按照以下方式计算得出：w = u + v例如，如果我们有向量 u 和向量 v，其坐标分别为 (1, 0) 和 (0, 1)。
那么我们可以将它们相加得到向量 w，其坐标为 (1, 1)。
这里我们可以将 (1, 0) 和 (0, 1) 连接起来看成是一个从原点开始到坐标(1, 1) 结束的向量。
向量的减法向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，得到一个新的向量。
它通常表示一些样本之间的差异，或者表示一个位置和另一个位置之间的位移矢量。
在几何学中，向量的减法可以通过将两个向量的起点对齐，并将结束点连接成新向量来完成。
给定两个向量 u 和 v，它们的差可以通过按照以下方式计算来获得：w = u - v例如，如果我们有向量 u 和向量 v，其坐标分别为 (1, 0) 和 (0, 1)。
向量的加法和减法
向量的加法和减法
考点剖析：本考点包括向量的加法，减法的运算，掌握向量加法和减法的概念，能熟练运用三角形法则和平行四边形法则作出向量的加法和减法，能熟练的进行向量加法，减法的运算，并理解其几何意义，理解向量加法的运算律。
命题方向：
1.向量加减法及其几何意义是近几年高考的热点．
2.通过具体问题考查向量的加减法，利用平行四边形法则或三角形法则进行运算，同时考查数形结合思想．
3.题型以选择题和填空题为主.
规律总结：
1.向量的加法
两个法则
(1)平行四边形法则．
(2)三角形法则．
2.向量的减法
.
3.共线向量的加减法
4.两个结论。
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1向量及向量的加减法5．1 向量及向量的加减法要点透视：1．由于«Skip Record If...»的方向是任意的，且规定«Skip Record If...»平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．3．数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．4．向量的几何加法有两种法则：平行四边形法则和三角形法则．当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：«Skip Record If...»，但这时必须“首尾相连”．活题解析：例1．给出下列命题：①若|«Skip Record If...»|＝|«Skip Record If...»|，则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»；②若A，B，C，D是不共线的四点，则«Skip Record If...»是四边形ABCD为平行四边形的充要条件：③若«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，④«Skip Record If...»=«Skip Record If...»的充要条件是|«Skip Record If...»|=|«Skip Record If...»|且«Skip Record If...»//«Skip Record If...»；⑤若«Skip Record If...»//«Skip Record If...»，«Skip Record If...»//«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»//«Skip Record If...»，其中正确的序号是。
要点精析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵ «Skip Record If...»，∴ «Skip Record If...»且«Skip Record If...»，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，«Skip Record If...»且«Skip Record If...»，因此，«Skip Record If...»．③正确．∵ «Skip Record If...»=«Skip Record If...»，∴ «Skip Record If...»，«Skip Record If...»的长度相等且方向相同；又«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，∴ «Skip Record If...»，«Skip Record If...»的长度相等且方向相同，∴«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的长度相等且方向相同，故«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»．④不正确．当«Skip Record If...»//«Skip Record If...»且方向相反时，即使|«Skip Record If...»|=|«Skip Record If...»|，也不能得到«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，故|«Skip Record If...»|=|«Skip Record If...»|且«Skip Record If...»//«Skip Record If...»不是«Skip Record If...»=«Skip Record If...»的充要条件，而是必要不充分条件．⑤不正确．考虑«Skip Record If...»=«Skip Record If...»这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．思维延伸：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．例2．如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，试用«Skip Record If...»，«Skip Record If...»将向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»， «Skip Record If...»表示出来．要点精析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可．解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C 四点构成平行四边形ABCO，所以«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»=«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»= «Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以«Skip Record If...»=«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=2«Skip Record If...»+«Skip Record If...»，同样在平行四边形BCDO中，«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＋(«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»)＝«Skip Record If...»＋2«Skip Record If...»，«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»－«Skip Record If...».思维延伸：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 «Skip Record If...»，«Skip Record If...»表示，且可用规定其中任两个向量为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，另外任取两点为起点和终点，也可用«Skip Record If...»，«Skip Record If...»表示．例3．求证：起点相同的三个非零向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，3«Skip Record If...»－2«Skip Record If...»的终点在同一条直线上．要点精析：证明：设起点为O，«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»b，«Skip Record If...»＝3«Skip Record If...»－2«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=2(«Skip Record If...»－«Skip Record If...»)，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»－«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，∵ «Skip Record If...»共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，即向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，3«Skip Record If...»－2«Skip Record If...»的终点在同一直线上．思维延伸：利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：①证明向量平行；②说明两个向量有公共点，用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：①证明向量平行；②说明两向量无公共点．练习题一、选择题1．在下列各命题中，为真命题的有（）（1）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（2）温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量（3）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量（4）坐标平面上的x铀和y轴都是向量A．1个B．2个C．3个D．42．已知命题P：非零向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，满足«Skip Record If...»+«Skip Record If...»+«Skip Record If...»=«Skip Record If...»．命题Q：表示«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的有向线段可构成三角形，则P是Q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．下列命题中，正确的是（）A．|«Skip Record If...»|=|«Skip Record If...»|«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«Skip Record If...»B．|«Skip Record If...»|>|«Skip Record If...»|«Skip Record If...»«Skip Record If...»>«Skip Record If...»C．«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»//«Skip Record If...»D．|«Skip Record If...»|=0«Skip Record If...»«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»4在平行四边形ABCD中，«Skip Record If...»，则必有（）A．«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»B．«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»或«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»C．ABCD是矩形D．ABCD是正方形5．下列命题：(1) 如果非零向量«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的方向相同或相反，那么«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»的方向必与«Skip Record If...»，«Skip Record If...»之一方向相同；(2) 三角形ABC中，必有«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»；(3) 若«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，则A，B，C为三角形的三个顶点；(4) 若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»均为非零向量，则|«Skip Record If...»+«Skip Record If...»|与|«Skip Record If...»|+|«Skip Record If...»|一定相等，其中假命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．化简以下各式：（1）«Skip Record If...»；（2） «Skip Record If...»（3）«Skip Record If...»（4）«Skip Record If...»结果为零向量的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：7．若«Skip Record If...»＋«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，|«Skip Record If...»|=|«Skip Record If...»|=«Skip Record If...»，«Skip Record If...»与«Skip Record If...»垂直，则|«Skip Record If...»|= ；«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的夹角为．8．若点P为三角形△ABC的外心，且«Skip Record If...»，则三角形的内角C= .9．两个非零向量的模相等是两个向量相等的条件．10．已知点M是△ABC的重心，则«Skip Record If...»= .三、解答题：11．如图所示，三角形ABC的外接圆的圆心为O，三条高的交点为H，连接BO并延长交外接圆于D．求证：（1）«Skip Record If...»；（2）«Skip Record If...».12．如图所示，OA DB是以向量«Skip RecordIf...»=«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=«SkipRecord If...»为边的平行四边形，又«Skip RecordIf...»=«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，试用«Skip Record If...»，«Skip Record If...»表示«SkipRecord If...»．13．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上，取点E，F，使BE=DF，用向量的方法证明，四边形AECF也是平行四边形．14．如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，（1）用«Skip Record If...»，«Skip Record If...»表示向量«Skip Record If...»；（2）求证B，E，F三点共线．15．某人在静水中游泳，速度为4«Skip Record If...»km／h．（1）如果他径直游向河对岸，水流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？（2）他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进，实际前进的速度大小是多少？。