向量的加法与减法
向量的加减乘除运算
向量的加减乘除运算向量是数学中的重要概念，它在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应用。
在进行向量运算时，我们常常需要进行加减乘除的操作。
本文将详细介绍向量的加减乘除运算及其相关概念。
一、向量的表示方式向量可以用不同的表示方式进行表达，最常见的有坐标表示和向量表示方法。
1. 坐标表示：在二维直角坐标系中，向量可以表示为(x,y)，分别代表向量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，向量可以表示为(x,y,z)，分别代表向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
2. 向量表示：向量可以用箭头进行表示，箭头的长度代表向量的模，箭头的方向代表向量的方向。
二、向量的加法运算向量的加法运算是指将两个向量合并为一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量A和向量B，它们的加法运算表示为：A + B = C，C为结果向量。
向量的加法运算可以使用坐标相加的方法或三角形法则进行计算。
三、向量的减法运算向量的减法运算是指从一个向量中减去另一个向量，得到一个新的向量。
向量的减法可以看作是加法的逆运算。
设有向量A和向量B，它们的减法运算表示为：A - B = D，D为结果向量。
向量的减法运算可以使用将被减向量取相反数，然后进行加法运算的方式进行计算。
四、向量的数乘运算向量的数乘运算是指将向量的每个分量与一个数相乘。
数乘可以改变向量的长度和方向。
设有向量A和一个实数k，向量的数乘运算表示为：k * A = E，E为结果向量。
在坐标表示中，向量的数乘可以直接将向量的每个分量与数k相乘。
在向量表示中，向量的数乘可以通过改变箭头的长度来表示。
五、向量的除法运算向量的除法运算并没有一个直接的定义和运算规则。
在向量运算中，我们通常使用乘法的逆运算来代替除法运算。
设有向量A和一个非零实数k，向量的除法运算可以用乘法的逆运算表示为：A / k = (1/k) * A。
六、向量的加减乘除综合运算在实际问题中，我们往往需要对向量进行多种运算的组合。
2 向量的加法与减法
2向量的加法与减法一、基础知识：1．向量加法：求两个向量和的运算，2．向量加法运算律：（1）交换律：a b b a +=+；（2）结合律：（)()c b a c b a ++=++。
3．向量加法运算的几何方法：(1)三角形法则：以O 起点，作a OA =，再以A 为起点作向量b AB =，则以O 为起点的边OA 就是b a 与的和，这种作两个向量和的方法叫做三角形法则；(2)平行四边形法则：以同一A 为起点的两个已知向量a ，b 为相邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的对角线AC 就是b a 与的和，这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则。
4．向量减法：求两个向量差的运算，5．向量减法运算的几何方法：(1)三角形法则：注：方向指向被减向量。
(2)平行四边形法则：二、基本题型：1.在△ABC 中，点M 满足MA MB MC ++=0 ，若 AB AC m AM ++=0，则实数m 的值为 ．2.已知向量p 的模是2，向量q 的模为1，p 与q 的夹角为π4，q p a 23+=，q p b -=， 则以a 、b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是 ．3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则 。
（填上正确的序号） ①0PA PB += ；②0PC PA += ；③0PB PC += ；④0PA PB PC ++= 。
4．已知O ，N ，P 在A B C ∆所在平面内，且||||||OC OB OA ==，0=++NC NB NA ， 且PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则点O ，N ，P 依次是A B C ∆的 心、 心、 心。
5．化简下列各式（1）CA BC AB ++；（2）CD BD AC AB -+-；（3）AD OD OA +-；（4）MP QP MN NQ +++结果是零向量的个数是 。
6．已知8||=AB ，5||=AC ，则||BC 的取值范围是 。
向量的基本运算
向量的基本运算在数学和物理中，向量是一个具有大小和方向的量。
向量可以进行多种基本运算，如相加、相减、数乘等。
本文将详细介绍向量的基本运算及其性质。
1. 向量的表示方法向量通常用带箭头的字母表示，例如$\vec{A}$，箭头表示向量的方向。
向量也可以用坐标表示，如$\vec{A}=(x，y，z)$表示三维向量。
在向量上还有一些常用记号，例如向量的模表示向量的大小，记作$|\vec{A}|$或$||\vec{A}||$。
2. 向量的加法向量的加法是将两个向量的对应分量相加。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，则它们的和为$\vec{A}+\vec{B}=(x_1+x_2，y_1+y_2，z_1+z_2)$。
向量的加法满足交换律和结合律。
3. 向量的减法向量的减法是将两个向量的对应分量相减。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，则它们的差为$\vec{A}-\vec{B}=(x_1-x_2，y_1-y_2，z_1-z_2)$。
求向量的差可以看作是求向量的和再乘以$-1$。
4. 数乘运算数乘是指将向量的每个分量都乘以一个实数。
设有一个向量$\vec{A}=(x，y，z)$和一个实数$k$，则$k\vec{A}=(kx，ky，kz)$。
数乘的运算性质包括交换律和结合律。
5. 内积内积是向量的一种重要的运算，它可以用来计算两个向量之间的夹角。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，它们的内积表示为$\vec{A}\cdot\vec{B}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。
内积满足交换律、结合律和分配律。
6. 外积外积是向量的另一种运算，它用于计算向量之间的垂直分量和面积。
设有两个向量$\vec{A}=(x_1，y_1，z_1)$和$\vec{B}=(x_2，y_2，z_2)$，它们的外积表示为$\vec{A}\times\vec{B}=(y_1z_2-y_2z_1，z_1x_2-z_2x_1，x_1y_2-x_2y_1)$。
向量的加法与减法
数能进行运算，因为有了运算而使数的 威力无穷. 与数的运算类比 ,向量是否也能进 行运算呢？ 人们从向量的物理背景和数的运 算中得到启发，引进了向量的运算. 下面我们就来学习向量的线性运算.
阅读教材回答问题：何为向量的加法运算？
一、向量的加法：
(1)、定义：求两个向量和的运算叫向量的加法。
OA OC OB OD ,
A B
M
OA OB OD OC ,
BA CD , // CD ∴ BA
D C
故四边形ABCD为平行四边形.
O
.
结论: | a b || a | | b |
思考二： | a b | 与 | a |, | b | 有什么关系呢？
（ 1 ）当a ， b 不共线时,
当a， b 不共线时，则| a | | b || a b |
a b a (b)
即：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
图示：
b b b
O .
a
b b b b
b
a a
A
a
a
a
a B
a a
a-b
说明： 连接两个向量的终点， 且箭头指向被减的向量 ，
这样得到的向量就是这 两个向量的差 .
(1) 上图中， 如果从 a 的终点到b 的终点作向量， 想一想：
（2）当 a ， b 共线时,
【课件】向量的加法运算 向量的减法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减 法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式： （1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行， 航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ， 作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线 上的向量 AC a b .如图.
平面向量加减法口诀
向量的加法口诀： 首尾相连，首连尾，方向指向末向量。
以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的和向量。
二、向量的减法两向量做减法运算，图像如下图所示：向量的减法口诀： 首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。
以第一个向量的终点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量是两向量的差向量。
向量的学习是高一数学必修四第二章的内容，要求同学们会向量的基本运算，其中就包括加法、减法、数乘。
要求大家能根据运算法则解决基本的向量运算，学会运用图像解决向量加减法，向量的数乘等问题。
向量的相关题目难度也不是很大，只要大家认真学习，认真做好笔记，认真做做题目，总结做题规律，那么当我们遇到类似题目时就会似曾相识，做起来也很顺手，再细心点的话，得满分也没有问题。
学习方法很多，重要的事找到适合自己的方法，当然适合自己方法就是最好的方法。
附一；三角形定则解决向量加减的方法将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
注:两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同;差向量的终点指向被减向量的终点。
平行四边形定则解决向量加法的方法实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ 3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）；(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；向量的数量积的性质a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.3、|a·b|≠|a|·|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.4、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.。
高中数学中的向量运算与化简运算规则
高中数学中的向量运算与化简运算规则在高中数学中，向量是一个重要的概念，它不仅有着广泛的应用，而且在解决各种数学问题时也起着重要的作用。
向量的运算和化简是我们在解题过程中经常会遇到的问题，下面我们就来详细讨论一下高中数学中的向量运算与化简运算规则。
一、向量的加法与减法运算向量的加法运算是指将两个向量相加得到一个新的向量。
具体来说，对于两个向量A和B，它们的加法运算可以表示为A+B=C，其中C是一个新的向量。
向量的加法运算满足以下几个规则：1. 交换律：A+B=B+A，即向量的加法运算满足交换律，无论是先加A再加B，还是先加B再加A，最终的结果都是一样的。
2. 结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，即向量的加法运算满足结合律，无论是先加A和B再加C，还是先加B和C再加A，最终的结果都是一样的。
3. 零向量：对于任意向量A，都有A+0=A，其中0表示零向量。
向量的减法运算是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
具体来说，对于两个向量A和B，它们的减法运算可以表示为A-B=C，其中C是一个新的向量。
向量的减法运算可以转化为向量的加法运算，即A-B=A+(-B)，其中-B表示向量B的反向量。
二、向量的数量乘法运算向量的数量乘法运算是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量。
具体来说，对于一个向量A和一个实数k，它们的数量乘法运算可以表示为kA=B，其中B是一个新的向量。
向量的数量乘法运算满足以下几个规则：1. 分配律：k(A+B)=kA+kB，即向量的数量乘法运算满足分配律，实数k乘以向量A和B的和等于实数k分别乘以向量A和B再求和。
2. 结合律：(kl)A=k(lA)，即向量的数量乘法运算满足结合律，两个实数的乘积先乘以向量A，再乘以向量A的结果是一样的。
3. 单位向量：对于任意非零向量A，都有1A=A，其中1表示单位向量。
三、向量的化简运算规则在解决向量运算问题时，我们经常需要对向量进行化简运算，即将一个向量表示为另一个更简单的向量。
向量的加减法课件
题目2
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 1,2)$，求$overset{longrightarrow}{a} overset{longrightarrow}{b}$。
进阶练习题
题目3
三角形法则的几何解释
向量减法的三角形法则可以理解为两个向量在起点和终点之间形成的闭合三角形，减数向量是三角形的一条边。
向量减法的向量场意义
向量场
向量场是由一组有序的向量所组成的集合，每个向量都有一个起点和一个终点。
向量场中向量的加减法
在向量场中，向量的加减法可以通过将减数的起点移动到被减数的起点来实现，然后按照向量的加法 法则进行计算。
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02 向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本运算法则之一，它 基于平行四边形的性质，将两个向量相加得到一个新的向量 。
详细描述
向量加法的平行四边形法则是通过构造一个平行四边形，其 中两个相邻的边分别表示要相加的向量，然后连接对角线来 表示这两个向量的和。
详细描述
在向量场中，向量加法运算可以看作 是将一个向量从一个点平移到另一个 点，这种平移过程可以用来描述物体 在空间中的运动和力的作用。
03 向量减法的几何意义
向量减法的三角形法则
三角形法则
向量减法可以通过作平行四边形并取对角线来实现，也可以通过连接两个向量的起点，并作与减数平行的向量来 实现。
答案3
$2overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (5,5)$
向量的加减法
例题讲解：
例题 1 、如图：已知向量 a， b， c， d, 求作： ac、 bd.
解：在平面内 任取一点
b
A B C
O，
b
c
d
作 OA a , OB b , OC c , OD d
a
O
c
d
D
a
则 a c CA , b d DB
再由“形”到“数”，填写下列答案 ： 练习 （1）： OA OB ______ BA . （2）： A B B C A C _ _ _ _ _ _ _ .
共
C
起 点
A
b
b
b
b
B
起点相同，两边平行 同一起点，对角为和
q
向量加法的运算律
① 交换律： a+b=b+a
D
② 结合律：（ a + b ) + c = a + ( b + c )
a bc
A
c
C
a
B
b
例 1 ： 已 知 O 为 正 六 边 形 A B C D E F 的 中 心 ， 作 出 下 列 向 量 （ 1 ） O A O C( 2 ) B C F E( 3 ) O A F E
考
a
a + b 的相反向量是 – ( a + b )
a加上b的相反向量叫做a与b的差， 即：a+(-b)=a-b。
求两个向量差的运算，叫向量的减法。
复习：1、向量加法运算法则： C C
D
A B AB BC AC 三角形法则
A B AB AC AD 平行四边形法则
abba 2、向量加法的交换律： 结合律： ( a b ) c a ( b c )
初中数学知识归纳向量的加法与减法
初中数学知识归纳向量的加法与减法初中数学知识归纳：向量的加法与减法在初中数学中，向量是一个非常重要的概念。
向量不仅可以表示方向和大小，还可以进行加法和减法运算。
本文将对初中数学中关于向量的加法和减法进行归纳总结。
一、向量的概念向量是有大小和方向的量。
通常用一个带箭头的线段来表示，箭头表示方向，线段的长度表示大小。
向量通常写作字母加上一个有方向的箭头，例如AB→表示从点A指向点B的向量。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
向量的加法满足交换律和结合律，即无论先加哪个向量，结果都是相同的。
1. 平行四边形法则向量的加法可以使用平行四边形法则进行计算。
将两个向量的起点放在一起，然后按照顺序画出它们的箭头，连接尾部得到一个新的向量。
2. 矩形法则向量的加法也可以使用矩形法则进行计算。
将两个向量的起点放在一起，然后按照顺序画出它们的箭头，在最后一个向量的箭头上标记一个平行于第一个向量的箭头，连接起点与新箭头的尾部得到一个新的向量。
三、向量的减法向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量。
向量的减法可以通过将减法转化为加法来进行计算。
将减法转化为加法的方法是，将要减去的向量取反，然后将两个向量进行加法运算。
四、向量的具体计算向量的具体计算可以通过坐标表示进行。
例如，在二维平面内，向量AB→可以表示为(1, 2)，向量CD→可以表示为(3, 4)。
则向量AB→ + CD→的计算结果为(1, 2) + (3, 4) = (4, 6)。
在三维空间中，向量的计算同样适用。
例如，向量PQ→可以表示为(1, 2, 3)，向量RS→可以表示为(4, 5, 6)。
则向量PQ→ + RS→的计算结果为(1, 2, 3) + (4, 5, 6) = (5, 7, 9)。
五、向量的性质1. 零向量：大小为0的向量，记作0→。
零向量加上任意向量，结果仍为该向量本身。
2. 负向量：与一个向量大小相等，但方向相反的向量，记作-(AB→)。
向量的加法与减法
●课题§5.2.2 向量的加法与减法(二)●教学目标(一)知识目标1.向量减法的定义；2.向量减法的平行四边形法则和三角形法则.(二)能力目标1.掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量；2.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量；3.了解向量方程，并会用几何法解向量方程.●教学重点向量减法的三角形法则.●教学难点对向量减法定义的理解.●教学方法启发引导式启发学生在理解向量减法定义时要结合图形语言，并通过相反向量来揭示向量减法与向量减法的内在联系，并由此通过对向量加法三角形法则的理解来认识向量减法的三角形法则.●教具准备投影仪、幻灯片第二张：本节例题(记作§5.2.2 B)●教学过程Ⅰ.复习回顾师：上一节，我们一起学习了向量的加法，并熟悉了求解向量和的向量加法的平行四边形法则与三角形法则，并进行了简单应用.这一节，我们来继续学习向量的减法.Ⅱ.讲授新课师：我们先给出向量减法的定义.1.向量减法的定义向量ａ加上ｂ的相反向量，叫做ａ与ｂ的差，即ａ－ｂ＝ａ＋（－ｂ）.求两个向量差的运算，叫向量的减法.说明：(1)与ａ长度相等、方向相反的向量，叫做ａ的相反向量；(2)零向量的相反向量仍是零向量；(3)任一向量和它相反向量的和是零向量.师：从向量减法的定义中，我们可以体会到向量减法与向量加法的内在联系.2.向量减法的三角形法则以平面内的一点作为起点作ａ，ｂ，则两向量终点的连线段，并指向ａ终点的向量表示ａ－ｂ.说明：向量减法可以转化为向量加法，如图ｂ与ａ－ｂ首尾相接，根据向量加法的三角形法则有ｂ＋（ａ－ｂ）＝ａ即ａ－ｂ＝CB.师：下面我们通过例题来熟悉向量减法的三角形法则的应用.(给出投影片§5.2.2 B)［例1］如图，已知向量ａ，ｂ，с，d，求作向量ａ－ｂ，с－ｄ.分析：根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量.作法：如图，在平面内任取一点O，作＝ａ，＝ｂ，＝с，＝d.作BA，DC，则BA＝ａ－ｂ，DC＝с－d.［例2］判断题(1)若非零向量ａ与ｂ的方向相同或相反，则ａ＋ｂ的方向必与ａ、ｂ之一的方向相同.(2)三角形ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0.(3)若AB＋BC＋CA＝0，则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.(4)｜ａ＋ｂ｜≥｜ａ－ｂ｜.分析：(1)ａ与ｂ方向相同，则ａ＋ｂ的方向与ａ和ｂ方向都相同；若ａ与ｂ方向相反，则有可能ａ与ｂ互为相反向量，此时ａ＋ｂ＝0的方向不确定，说与ａ、ｂ之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则＋＝，与是互为相反向量，所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB＋BC＋AC＝0，而此时构不成三角形.(4)当ａ与ｂ不共线时，｜ａ＋ｂ｜与｜ａ－ｂ｜分别表示以ａ和ｂ为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定.当ａ、ｂ为非零向量共线时，同向则有｜ａ＋ｂ｜＞｜ａ－ｂ｜，异向则有｜ａ＋ｂ｜＜｜ａ－ｂ｜；当ａ、ｂ中有零向量时，｜ａ＋ｂ｜＝｜ａ－ｂ｜.综上所述，只有(2)正确.Ⅲ.课堂练习课本Ｐ102练习1，2，3.Ⅳ.课时小结师：通过本节学习，要求大家在理解向量减法定义的基础上，掌握向量减法的三角形法则，并能加以适当的应用.Ⅴ.课后作业(一)课本Ｐ103习题5.2 6，7，8(二)1.预习Ｐ103～Ｐ1052.预习提纲：(1)实数与向量积的概念；(2)实数与向量积的运算律.●板书设计●备课资料向量减法的三角形法则的式子内容是：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点.只要你理解法则内容，那么解起向量加减法的题来就会更加得心应手了，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题：［例1］化简－＋－.解：原式＝＋－＝－＝0［例2］化简OA＋OC＋BO＋CO.解：原式＝（OA＋BO）＋（OC＋CO）＝（OA－OB）＋0＝BA.。
向量的加法与减法
向量的加法与减法向量是数学中的一个重要概念，它不仅在代数学中有广泛应用，还在物理学、力学等领域有着重要的地位。
而向量的加法和减法则是在向量运算中最基础、最常见的操作之一。
本文将介绍向量的加法与减法的概念、性质以及计算方法，并通过实际例子进行说明和应用。
一、向量的概念及表示方法向量是指具有大小和方向的量，常用有向线段来表示。
在平面上，向量通常用有序数对(a，b)来表示，其中a称为向量在x轴上的分量，b称为向量在y轴上的分量。
向量常用小写字母加上一个箭头（→）来表示，例如向量a可表示为→a，向量b可表示为→b。
二、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的操作。
具体来说，对于平面上的两个向量→a和→b，它们的加法结果→c的求解方法如下：1. 将向量→a的起点和终点分别与向量→b的起点和终点连接；2. 以连接线段的终点为起点，连接线段的起点与向量→c的起点，得到线段→c。
图示如下：```/|\/ | \/ | \a/ | \c/ | \/______|______\a b```根据上述方法，向量→a加向量→b的结果为向量→c，即→c = →a + →b。
根据向量加法的性质，向量的加法满足交换律和结合律。
三、向量的减法向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去得到一个新向量的操作。
具体来说，对于平面上的两个向量→a和→b，它们的减法结果→c的求解方法如下：1. 将向量→b取负，即反向后得到向量-→b；2. 将向量→a与-→b（即向量→b取负后的向量）进行加法运算，得到向量→c。
图示如下：```/|\/ | \/ | \c/ | \a/ | \/______|______\b```根据上述方法，向量→a减去向量→b的结果为向量→c，即→c =→a - →b。
需要注意的是，向量的减法并不满足交换律。
四、实际应用举例向量的加法和减法在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些实际问题的例子：1. 平面位移问题：设有一个物体在平面上的起点为A，终点为B，现在在A点上施加一个向量→v使物体发生位移，问物体的最终位置是什么？解答：根据向量的加法，物体的最终位置可以表示为向量→AB = →v + →OA。
空间向量坐标运算
空间向量坐标运算空间向量是指具有大小和方向的直线段，在三维空间中通常用坐标表示。
空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。
下面将详细介绍这些运算。
1. 向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 加法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的和的坐标为(u1+v1, u2+v2, u3+v3)；- 减法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的差的坐标为(u1-v1, u2-v2, u3-v3)。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 数量乘法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，实数k，则向量u 乘以k的坐标为(k*u1, k*u2, k*u3)。
3. 向量的点乘向量的点乘又称为内积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个标量（实数），其计算公式如下：- 点乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的点乘的结果为u1*v1 + u2*v2 + u3*v3。
4. 向量的叉乘向量的叉乘又称为外积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个新的向量，其计算公式如下：- 叉乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的叉乘的坐标为((u2*v3 - u3*v2), (u3*v1 -u1*v3), (u1*v2 - u2*v1))。
通过以上的描述可以看出，向量的加法、减法、数量乘法都是按照对应位置进行运算，只要对应坐标进行相加、相减或乘以相同的实数即可。
点乘和叉乘则需要对应坐标进行特定的运算。
需要注意的是，向量的坐标运算不关心向量的起点和终点，只关心向量的大小和方向。
向量加减法首尾规律
向量加减法首尾规律
向量的加法口诀：首尾相连，首连尾，方向指向末向量。
向量的减法口诀：首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。
三角形定则解决向量加减的方法
将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
注：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同；差向量的终点指向被减向量的终点。
平行四边形定则解决向量加法的方法
将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果为公共起点的对角线。
平行四边形定则解决向量减法的方法
将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点。
(平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。
)
注：当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时常选用平行四边形法则。
坐标系解向量加减法
在直角坐标系里面,定义原点为向量的起点.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为(x,y)形式,
A(X1,Y1)B(X2,Y2)，则A+B=(X1+X2，Y1+Y2)，A-B=(X1-X2，Y1-Y2)
简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减。
类似于物理的正交分解。
向量的加法与减法
一、知识概述主要学习了向量和向量的加法与减法．通过学习，理解向量与数量的区别，熟悉并掌握向量运算的三角形法则和平行四边形．二、重点知识归纳及讲解1、向量2、几个重要的概念3、向量的加法4、向量的减法三、难点知识剖析1、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量却不能，但向量的模可以比较大小；2、向量加法的三角形法则：在平面内任取一点A，作，则向量．3、向量加法的平行四边形法则：在平面内任取一点A，作，以a，b为邻边作平行四边形ABCD，则向量．4、向量减法的三角形法则：在平面内任取一点O，作，则向量．一、知识概述主要学习了向量和向量的加法与减法．通过学习，理解向量与数量的区别，熟悉并掌握向量运算的三角形法则和平行四边形．二、重点知识归纳及讲解1、向量2、几个重要的概念3、向量的加法4、向量的减法三、难点知识剖析1、向量与数量不同，数量可以比较大小，向量却不能，但向量的模可以比较大小；2、向量加法的三角形法则：在平面内任取一点A，作，则向量．3、向量加法的平行四边形法则：在平面内任取一点A，作，以a，b为邻边作平行四边形ABCD，则向量．4、向量减法的三角形法则：在平面内任取一点O，作，则向量．四、例题讲解例1、判断下列命题是否正确．若不正确，请简述理由．1、直角坐标系中非负x轴是向量；2、向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；3、四边形ABCD是平行四边形的充要条件是；4、若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；5、三角形ABC中，必有；6、若，则A、B、C三点是一个三角形的三顶点；7、|a＋b|≥|a－b|．解析：1、不正确．∵非负x轴只有方向，没有大小．∴不是向量．2、不正确．∵共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可．并不要求两向量，在同一直线上．3、正确．∵则AB与DC平行且相等．∴ABCD是平行四边形．4、不正确．∵a＋b可以为零向量，此时a＋b方向不确定，说与a、b之一的方向相同不妥．5、正确．∵．∴．6、不正确．∵当A、B、C三点共线时，也满足．7、不正确．∵当a、b不共线时，a＋b与a－b分别为以a、b为邻边的平行四边形两对角线，其长度大小不定．当a、b共线异向时反而有|a＋b|<|a－b|．∴|a＋b|≥|a－b|不正确．C1D1的顶点为起点、终点的向量中，例2 、如图，在以正方体ABCD－A1B1（1）写出所有与相等的向量；（2）写出所有与相反的向量；（3）写出与相等及相反的向量；（4）写出与共线的向量．解析：（1）与相等的向量有：．（2）与相反的向量有：．（3）与相等及相反的向量有：．（4）与共线的向量有：．例3、已知||＝6，||＝9，求取值范围．解析：由向量加、减法的三角形法则知，∴．故．例4、 如图， A 1、A 2、…A 8是 ⊙O 上的八个等分点，则在以A 1、A 2、…A 8及圆心O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径倍的向量有多少个？解析：（1）由于A 1、A 2、…A 8是⊙O 上的八个等分点，所以八边形A 1A 2…A 8是正八边形，正八边形的边及对角线长均与⊙O 的半径不相等．所以模等于半径的向量只可能是与（i ＝1、2、…8）两类．（2）⊙O 内接正方形的边长是半径的倍，所以我们应考虑与圆心O 形成90°圆心角的两点为端点的向量个数． 解：（1）模等于半径的向量只有两类，一类是（i ＝1、2、…8）共8个；另一类是（i ＝1、2、…8）也有8个．两类合计16个．（2）以A 1、A 2、…A 8为项点的⊙O 内接正方形有两个，一个是正方形A 1A 3A 5A 7，另一个是正方形A 2A 4A 6A 8．在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边（每一边对应两个向量）的长度为半径的倍．∴模为半径倍的向量共有4×2×2＝16个．。
向量加减法的原理
向量加减法的原理
向量加减法是在向量空间中对向量进行操作的一种方法。
向量是有方向和大小的量，可以表示为一组有序数。
在加减法中，我们对向量的对应分量进行相加或相减。
假设有两个向量A和B，可以表示为：
A = (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ)
B = (b₁, b₂, b₃, ..., bₙ)
其中a₁, a₂, ..., aₙ和b₁, b₂, ..., bₙ是向量的对应分量。
向量加法的原理是将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量C：
C = A + B = (a₁+ b₁, a₂+ b₂, a₃+ b₃, ..., aₙ+ bₙ)
向量减法的原理是将第二个向量的对应分量取相反数，然后与第一个向量相加，得到一个新的向量C：
C = A - B = (a₁- b₁, a₂- b₂, a₃- b₃, ..., aₙ- bₙ)
向量加减法遵循向量的代数运算性质，例如，满足交换律和结合律。
这些性质使
得向量加减法在物理学、几何学、计算机图形学等领域中得到广泛应用。
需要注意的是，两个向量进行加减法的前提是它们的维度相同，即两个向量拥有相同的分量个数。
否则，加减法操作是没有定义的。
《向量的加减法》课件
03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个 向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方 向与$overset{longrightarrow}{a}$相同 或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向 量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为 共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向 量的终点与第二个向量的起点的向量。
向量的加法与减法
1.向量的加法：
2 5 3
0
1
2
3
4
5
6
7
A
a+b=? a b
A
C
a+b a
=
AC
b
B
a+b=
AB + BC
例1：已知向量a、 b,求作向量a+b。 b a
O A
三 角 形 法 则
B
作法：在平面内任取一点O，作OA=AB=b, 则
OB=a+b.
a+b=b+a
D
a
C
a+b
A
b
B
b+a
a
（a+b)+c=a+(b+c)
0 1 2 3 4 5 6
5-3=?
7 8
例3.已知：向量a、b如图所示，则ab=? O a A a b b a-b B
BA= a-b
注意方向呦！
例4.已知：如图，a//b,怎样做出
a-b?
a -b b
O
A
b -b b
B OB=
a
O
OA=
a-b
a-b
例5.已知：向量a,b,c,d,求作向量ab,c-d。
b d c
B A
BA =a-b
DC =c-d
a
a
b
O
d c
D C
例：如图：平行四边形ABCD中， AB=a,AD=b,用a,b表示向量 AC,DB。
解：由作向量和的平 行四边形法则，得 AC=a+b; 由作向量差的方法， 知DB=AB-AD=a-b.
A
D b a
向量加减法的运算法则
向量加减法的运算法则
1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意向量a、b和c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量的减法：向量的减法等价于加上一个负向量，即a-b=a+(-b)。
其中，-b 是向量b的负向量，它方向与b相反，大小相等。
3. 向量的数乘：向量的数乘指将一个实数k与向量a相乘，将a的大小缩放为原来的k倍，即ka。
如果k是负数，它会将向量a逆向，即大小不变，方向发生改变。
4. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它所有的分量都为零。
零向量与任何向量进行加法，得到的结果是该向量本身，即a+0=a。
5. 反向量：每个向量都有一个对应的反向量，它的大小相等，方向相反。
向量a 的反向量记作-a，它满足a+(-a)=0。
6. 同向量和异向量：如果两个向量的正负方向相同，则它们是同向量；反之，如果它们正负方向相反，则称它们为异向量。
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2．用加法的逆运算定义向量的减法： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3．求作差向量： 已知向量a、b，求作向量a-b ∵ (a b ) + b = a + ( b ) + b = a + 0 = a
减法的三角形法则作法：在平面内取一点O， 作 OA = a, OB = b, 则 BA = a b 即a b可以表示为 从向量b的终点指 向向量a的终点的 向量
向量的减法 1“相反向量”的定义： 与a长度相同、方向相反的向量。记作 a
2规定：零向量的相反向量仍是零向量。 (a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向
量。a + (a) = 0 如果a、b互为相反向量， 则 a = b, b = a, a + b = 0 3 向量减法的定义：向量 a 加上 b 的相反向量， 叫做a与b的差。 即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫 做向量的减法
B
(1)
A
特殊情况
a
b
a b
a
b
a b
A
B
(2 )
C
C
A
(3 )
B
a b a
对于零向量与任一向量a，有 a+0=0+a=a （1）两向量的和仍是一个向量； （2）当向量a与b不共线时，a+b、a、b的方 向不同向，且|a+b|<|a|+|b|;
（3）当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且 |a+b|=|a|+|b|,当a与b反向时，若|a|>|b|,则a+b的方向与 a相同，且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b的方向与?相同,， |a+b|?
2．向量加法的交换律：a+b=b+a 3．向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c)
b a
b c a
从而，多个向量的加法运算 可以按照任意的次序、任意的组合来进行。 例1如图，一艘船从A点出发以2km / h 的速度向 垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速 为2 3km / h ，求船的实际航行的速度的大小 与方向(用与流速间的夹角表示).
。
注意：1 AB 指向被减数
表示a b。强调：差向量“箭头”
二、运算法则：
C
三角形法则
平行四边形法则
例2平行四边形 ABCD中AB a ， AD b 用 a, b 表示向量 AC 、 DB 。
变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与ab垂 直？ 变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |ab| ？
向量的加法与减法
1. 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向 量的加法。三角形法则 “首尾相接，首尾连”
如图，已知向量a、b .在平面内任取一点A， 作 AB a， BC b ，则向量 AC 叫做a与b的 和，记作a+b，即 a b AB BC AC
C a a+b b B D b a b 三角形法则 A a 平行四边形法则 a+b C