向量及向量加减法
2.2.向量加减法、数乘运算及其几何意义
2.2.向量加法、减法运算 及其几何意义
1、位移
AB + BC = AC
C A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B C
b
A
AC = a + b
规定： a + 0 = 0 + a = a
AC = a + b
当向量a ,b不是共线向量时,a + b又如何 作出来?
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b| 一般地，有 | a + b |? | a | |b|
E
3AB BC
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
作业：
课本P 4, P 5, P 4 84 90 91
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a
任意向量
a、 b
(a+b)+c=a+(b+a)
的加法是否也满足交换律与结合律？
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
向量的加减法课件
题目2
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 1,2)$，求$overset{longrightarrow}{a} overset{longrightarrow}{b}$。
进阶练习题
题目3
三角形法则的几何解释
向量减法的三角形法则可以理解为两个向量在起点和终点之间形成的闭合三角形，减数向量是三角形的一条边。
向量减法的向量场意义
向量场
向量场是由一组有序的向量所组成的集合，每个向量都有一个起点和一个终点。
向量场中向量的加减法
在向量场中，向量的加减法可以通过将减数的起点移动到被减数的起点来实现，然后按照向量的加法 法则进行计算。
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02 向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本运算法则之一，它 基于平行四边形的性质，将两个向量相加得到一个新的向量 。
详细描述
向量加法的平行四边形法则是通过构造一个平行四边形，其 中两个相邻的边分别表示要相加的向量，然后连接对角线来 表示这两个向量的和。
详细描述
在向量场中，向量加法运算可以看作 是将一个向量从一个点平移到另一个 点，这种平移过程可以用来描述物体 在空间中的运动和力的作用。
03 向量减法的几何意义
向量减法的三角形法则
三角形法则
向量减法可以通过作平行四边形并取对角线来实现，也可以通过连接两个向量的起点，并作与减数平行的向量来 实现。
答案3
$2overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (5,5)$
向量及其加减法,向量与数的乘法
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向量的模： 向量的大小.| a| 或 | M1M2 |
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
C
M
B
AD AM MD MC BM BC
AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
思考题
已知平行四边形ABCD的对角线
AC a,
BD b
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、始 要使点，a则b终点a构 b成成__立__，__向__量_a__,_b_应__满__足_____；_____
12、_要__使__a___b___a____b_成_；立，向量a,
b 应满足_______
___________ .
二、用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平 行四边形 .
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量. a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
二、向量的加减法
[1]
加法：a
b
c
（平行四边形法则）
b
c
a
（平行四边形法则有时也称为三角形法则）
特殊地：若 a‖
a b
向量加减运算及几何意义
AE a (b) a b 又 b BC a 所以 BC a b
a b
b
A
a
D
C
b
a b
E
不借助向量的加法法则你能直接作出 a b 吗？
一般地
a
三、几何意义： 的终点的向量
O
a
a b
b
B
b
A
a b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a
（ 三 角 形 法 则 ）
向量既有大小又有方向,如位移,速度,力等
2. 怎样来表示向量?
1)用有向线段来表示 2）用字母来表示 如
A B
a , AB
长度相等,方向相同的向量相等.
3. 什么叫相等向量?
正因为如此,任何向量可以在不改变它的大小和方向 的前提下,移到任何位置.即向量可以平移
4.平行向量：
方向相同或相反的向量叫做平行向量
| a + b |< =| a b |+ |a b|
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小 A 2、不共线 a o· b
a
a+ b
b
B
三角形的两边之和大于第三边
| a+ b|< | a|+ |b|
综合以上探究我们可得结论：
| a b || a | | b |
规定： 0a a0 a
解：（1 ） OA OC OB ;
E
D
（2） BC FE AD;
（3） OA FE 0.
F A
O
B
C
请选用合适符号连接：
a b ____ a b (<,>, ,, )
向量的加减法及数乘运算
o·
A 的三角形法则
B
AB BC AC
ab ba (a b) c a (b c)
1． 相反向量：
与 做 记作
a长aa度的相相等反，向方量向相反的向量，叫
规定:零向量的相反向量仍是零向量。
注：（1） a a
（（32））如任即 那果意： 么，向：量aaa与, b它互a相为b,反相b向反a量向a的量a, a和，0是b零向0量. 。
a
b
D
b
由作向量差的方法，
知
DB
AB
AD
a
A b
a
C B
练习u.A如uBur图，ar ,平uAuDu行r 四br边，形你A能B用CD的、ar 两br来条表对示角线Mu相uuAr交、uM于uuBr点、uMMuuCur，和且uMuuD。ur
D
C
M
b
A
r a
B
另：（1） a b a b a b
(2)若b // a(a 0),则b a是否成立?
成立
向量共线定理：
rr r r
向量a(a 0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,
rr
使b a.
rr
r rr r
即a与b共线
b a (a 0)
思考:1)
r a
为什么要是非零向量?
r 2) b 可以是零向量吗?
总结:
证明三点共线的方法:
AB=λBC
uuur r r uuur r r
OB a 2b,OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
r
r
a
b
r 3b
B
r
2b
A
向量加法、减法运算及其几何意义
(2)作 OA = a , AB = b
(3)作OB = a + b
B
位移的合成可以看 这种作法叫做向量 作向量加法三角形 加法的三角形法则 法则的物理模型
还有没有其他的做法？
尝试练习一：
（1）根据图示填空：
E
D
AC AB BC _____
BC CD _____ BD
C
A
AD AB BC CD _____ AE AB BC CD DE _____
(2)化简OA OC BO CO
解 : 原式 (OA BO) (OC CO) (OA OB) 0 BA
若a ， b不共线，则 | a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | | b |
a b。
b
a
A
b a
O
B
ab
三角形法则
例题讲解：
例1.如图，已知向量 a, b ，求作向量
作法2：在平面内任取一点O， OB b ， 作 OA a ， 以 OA、OB为邻边作 OACB
a b。
b
a，
连结OC，则 OC OA OB a b.
A
a
O
ab
C
平行四边形法则
起点相同连对角
向量加法的平行四边形法则：
B C
b
O
ab
A
起 点 相 同
最新1向量及向量的加减法
1向量及向量的加减法5．1 向量及向量的加减法要点透视：1．由于«Skip Record If...»的方向是任意的，且规定«Skip Record If...»平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．3．数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．4．向量的几何加法有两种法则：平行四边形法则和三角形法则．当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：«Skip Record If...»，但这时必须“首尾相连”．活题解析：例1．给出下列命题：①若|«Skip Record If...»|＝|«Skip Record If...»|，则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»；②若A，B，C，D是不共线的四点，则«Skip Record If...»是四边形ABCD为平行四边形的充要条件：③若«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，④«Skip Record If...»=«Skip Record If...»的充要条件是|«Skip Record If...»|=|«Skip Record If...»|且«Skip Record If...»//«Skip Record If...»；⑤若«Skip Record If...»//«Skip Record If...»，«Skip Record If...»//«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»//«Skip Record If...»，其中正确的序号是。
向量加减法首尾规律
向量加减法首尾规律
向量的加法口诀：首尾相连，首连尾，方向指向末向量。
向量的减法口诀：首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。
三角形定则解决向量加减的方法
将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。
注：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同；差向量的终点指向被减向量的终点。
平行四边形定则解决向量加法的方法
将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果为公共起点的对角线。
平行四边形定则解决向量减法的方法
将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点。
(平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。
)
注：当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时常选用平行四边形法则。
坐标系解向量加减法
在直角坐标系里面,定义原点为向量的起点.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为(x,y)形式,
A(X1,Y1)B(X2,Y2)，则A+B=(X1+X2，Y1+Y2)，A-B=(X1-X2，Y1-Y2)
简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减。
类似于物理的正交分解。
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全（实用版）目录1.向量的加法和减法2.向量的数乘3.向量的点积4.向量的叉积5.向量的模和夹角6.齐次坐标和变换正文一、向量的加法和减法向量的加法和减法是向量运算中最基本的运算，其定义和规则与我们熟悉的数值加减法类似。
给定两个向量 A 和 B，其加法和减法定义如下：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)A -B = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3)二、向量的数乘向量的数乘是向量与标量的乘积，其结果是一个向量，其模长是原向量模长的 k 倍，方向与原向量相同或相反，k 为标量。
给定一个向量 A 和一个标量 k，其数乘定义如下：kA = (ka1, ka2, ka3)三、向量的点积向量的点积，又称内积，是一种计算两个向量之间相似度的方法。
其结果是一个标量，其值等于两个向量模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
给定两个向量 A 和 B，其点积定义如下：A·B = |A|*|B|*cosθ四、向量的叉积向量的叉积，又称外积，是一种计算两个向量之间垂直度的方法。
其结果是一个向量，其模长等于两个向量模长的乘积与它们的夹角的正弦值的乘积，方向垂直于两个向量构成的平面。
给定两个向量 A 和 B，其叉积定义如下：A ×B = (a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1)五、向量的模和夹角向量的模，又称向量的长度，是向量的一种度量，等于向量对应端点之间的距离。
给定一个向量 A，其模定义如下：|A| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)向量的夹角，是向量 A 与向量 B 之间的角度，其范围在 0 到π之间。
给定两个向量 A 和 B，它们的夹角定义如下：θ = arccos(A·B / (|A|*|B|))六、齐次坐标和变换齐次坐标是一种用于表示向量的简化方法，它可以将向量的三个分量表示为一个三个元素的序列。
高考数学中的向量运算及其应用技巧
高考数学中的向量运算及其应用技巧向量是高中数学中非常重要的一部分，它不仅有着广泛的应用，而且在高考中也是不可或缺的一部分。
在高考数学中，向量作为基础知识，被广泛应用于解析几何、平面几何、三角函数等领域。
本文将为大家介绍高考数学中的向量运算及其应用技巧，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
一、向量运算1. 向量的加减法向量的加减法是向量运算中的基本操作。
向量的减法要用到相反向量。
向量的相反向量是指与其大小相等，方向相反的向量。
设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$，则它们的加法与减法运算如下：$$\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$$$$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})=\vec{d}$$其中 $\vec{c}$ 为向量的和， $\vec{d}$ 为向量的差。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指向量与一个实数的积，用来改变向量的大小和方向。
设向量$\vec{a}$，实数$k$，则它们的数量乘法如下：$$k\vec{a}=\vec{b}$$其中 $\vec{b}$ 的大小是 $\vec{a}$ 的大小的 $|k|$ 倍，如果$k$ 是正数，方向与 $\vec{a}$ 方向相同；如果 $k$ 是负数，方向与 $\vec{a}$ 方向相反。
3. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量相乘，得到的是一个实数。
设向量$\vec{a}$，$\vec{b}$，则它们的数量积如下：$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta $$其中 $\theta$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角。
由于 $\cos\theta$ 的范围是 $[-1,1]$，如果 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角小于$90^{\circ}$，那么它们的数量积是正数；如果夹角是$90^{\circ}$，那么数量积是 $0$；如果 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角大于$90^{\circ}$，那么数量积是负数。
向量加减法的原理
向量加减法的原理
向量加减法是在向量空间中对向量进行操作的一种方法。
向量是有方向和大小的量，可以表示为一组有序数。
在加减法中，我们对向量的对应分量进行相加或相减。
假设有两个向量A和B，可以表示为：
A = (a₁, a₂, a₃, ..., aₙ)
B = (b₁, b₂, b₃, ..., bₙ)
其中a₁, a₂, ..., aₙ和b₁, b₂, ..., bₙ是向量的对应分量。
向量加法的原理是将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量C：
C = A + B = (a₁+ b₁, a₂+ b₂, a₃+ b₃, ..., aₙ+ bₙ)
向量减法的原理是将第二个向量的对应分量取相反数，然后与第一个向量相加，得到一个新的向量C：
C = A - B = (a₁- b₁, a₂- b₂, a₃- b₃, ..., aₙ- bₙ)
向量加减法遵循向量的代数运算性质，例如，满足交换律和结合律。
这些性质使
得向量加减法在物理学、几何学、计算机图形学等领域中得到广泛应用。
需要注意的是，两个向量进行加减法的前提是它们的维度相同，即两个向量拥有相同的分量个数。
否则，加减法操作是没有定义的。
向量的加减法教案
向量的加减法教案第一章：向量简介1.1 向量的定义向量的概念：具有大小和方向的量向量的表示方法：用箭头表示，例如→a 或<a, b>1.2 向量的性质向量的大小：向量的长度或模向量的方向：向量的起点到终点的线段单位向量：大小为1的向量1.3 向量的坐标表示二维空间中的向量：用(x, y) 表示三维空间中的向量：用(x, y, z) 表示第二章：向量的加法2.1 向量加法的定义向量加法：将两个向量的对应分量相加得到新的向量2.2 向量加法的几何意义向量加法：起点相同的两个向量，终点相加得到一个新的向量2.3 向量加法的坐标表示二维空间中的向量加法：(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)三维空间中的向量加法：(a, b, c) + (d, e, f) = (a+d, b+e, c+f) 第三章：向量的减法3.1 向量减法的定义向量减法：将两个向量的对应分量相减得到新的向量3.2 向量减法的几何意义向量减法：起点相同的两个向量，终点相减得到一个新的向量3.3 向量减法的坐标表示二维空间中的向量减法：(a, b) (c, d) = (a-c, b-d)三维空间中的向量减法：(a, b, c) (d, e, f) = (a-d, b-e, c-f)第四章：向量的数乘4.1 向量数乘的定义向量数乘：将一个向量与一个实数相乘得到新的向量4.2 向量数乘的几何意义向量数乘：将向量的大小乘以实数，方向不变4.3 向量数乘的坐标表示二维空间中的向量数乘：(a, b) c = (ac, bc)三维空间中的向量数乘：(a, b, c) c = (ac, bc, cc)第五章：向量加减法的应用5.1 向量加减法的几何应用向量加减法在几何图形中的应用，例如计算向量位移、速度等5.2 向量加减法的物理应用向量加减法在物理学中的应用，例如计算力的合成和分解5.3 向量加减法的实际应用向量加减法在计算机图形学中的应用，例如计算图像的位移和旋转第六章：向量加减法的运算律6.1 向量加法的运算律交换律：向量a + 向量b = 向量b + 向量a结合律：(向量a + 向量b) + 向量c = 向量a + (向量b + 向量c)6.2 向量减法的运算律减法与加法的关联：向量a 向量b = 向量a + (-向量b)结合律：(向量a 向量b) 向量c = 向量a (向量b + 向量c)第七章：向量的数乘运算7.1 向量数乘的运算律分配律：向量a (向量b + 向量c) = (向量a 向量b) + (向量a 向量c) 结合律：向量a (向量b 向量c) = (向量a 向量b) 向量c7.2 标量与向量的运算标量与向量相乘：标量向量= 向量标量第八章：向量加减法的应用举例8.1 二维空间中的向量加减法应用例题：计算物体在两个力的作用下的位移8.2 三维空间中的向量加减法应用例题：计算飞机在两个推力的作用下的位移第九章：向量的数乘应用举例9.1 二维空间中的向量数乘应用例题：计算物体在力的大小变化后的加速度9.2 三维空间中的向量数乘应用例题：计算飞机在推力大小变化后的加速度向量加减法的基本概念、运算律及应用10.2 向量加减法的拓展向量加减法在其他领域的应用，例如生物学、经济学等10.3 向量加减法的练习题及解答提供一些向量加减法的练习题，帮助学生巩固所学知识重点和难点解析一、向量简介1.1 向量的定义与表示方法：理解向量的基本概念，以及向量的大小和方向。
《向量的加减法》课件
03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个 向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方 向与$overset{longrightarrow}{a}$相同 或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向 量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为 共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向 量的终点与第二个向量的起点的向量。
第课 向量及向量的加法和减法
第37课 向量及向量的加法和减法●考试目标 主词填空1.向量的有关概念①既有大小又有方向的量叫做向量.②向量的长度(模)是指向量的大小.③平行向量(共线向量)的概念是方向相同或相反的非零向量.④两向量相等的充要条件是同向等长.2.向量的加、减法运算①几何法:有三角形法则，平行四边形法则.②坐标法，设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a +b = (21x x +,21y y +),a -b =(2121,y y x x --).●题型示例 点津归纳【例1】 下列情形中向量的终点各构成什么图形?(1)把平面中一切单位向量归结到共同的始点；(2)把空间中一切单位向量归结到共同的始点；(3)把平行于某一平面的一切单位向量归结到共同的始点；(4)把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点(在同一平面内).【解前点津】 在(1),(2)中,始点到终点的距离是常量1,(3)是平面图形.【规范解答】 (1)以始点为圆心的单位圆；(2)以始点为球心，半径为1的球面；(3)以始点为圆心且与已知平面平行的单位圆.(4)是以始点为间断点的一条直线.【解后归纳】 向量经平移后，不改变方向与大小，仅仅是“变更位置”而已.【例2】 (1)设ABCD -EFGH 是一个平行六面体(如图(1))，在下列各对向量中，找出相等的向量和互为反向量的向量.①,;②,;③,;④,;⑤,.(2)设△ABC 和△A ′B ′C ′分别是三棱台ABC —A ′B ′C ′的上、下底面(如图（２）)，试在向量AB 、、、B A ',C B '',A C '',A A ,B B ,C C '中找出共线向量和共面向量.【解前点津】 对两个向量而言，不论处于何种位置，等长同向则相等；等长反向则互反. 【规范解答】 (1)相等向量有(2),(3),(5),互为反向量的有(1),(4).(2)共线向量有: 与B A '',与C B '',与A C '';下面一组向量是共面向量:例2题图,,,B A '',C B '',A C ''【解后归纳】 正确理解有关概念是关键，如共面向量，就是在空间中，对向量施行平移动作，使它们最后都落在同一平面内，那么这些向量就是共面向量.【例3】 平面内给定三个向量:a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1),解答下列问题. (1)求3a +b -2c ;(2)求满足a =m b +n c 的实数m ,n ; (3)若(a +k c )∥(2b -a ),求实数k ;(4)设d =(x ,y )满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1,求d . 【解前点津】 直接运用坐标运算.【规范解答】 (1)3a +b -2c =3(3,2)+(-1,2)-2·(4,1)=(9,6)+(-1,2)+(-8,-2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6). (2)由条件得:(3,2)=m ·(-1,2)+n (4,1)=(-m +4n ,2m +n ),∴⎩⎨⎧=+=+-2234n m n m 解之 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==9895n m . (3)∵(a +k c )∥(2b -a )又a +k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2), ∴2×(3+4k )-(5)×(2+k )=0解之:k =-1316. (4)∵d -c =(x -4,y -1),a +b =(2,4),又(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1, 故得方程组⎩⎨⎧=-+-=---1)1()4(0)1(2)4(422y x y x 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=5521554y x 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5521554y x ∴d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++5525,5520或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--5525,5520 【解后归纳】 本题使用了两向量平行的充要条件:在向量式中:a ∥b ⇔a =λb .在坐标式中:设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.【例4】 已知四边形ABCD 中, AB =a -2c , =5a +6b -8c , 对角线、的中点分别为E ,F ,求.【解前点津】 ∵E 、F 是中点, ∴+=0,+=0.利用向量加法的多边形法则可列出若干个等式，综合利用这些例4题图“讯息”,就能用a ,b ,c 表示.【规范解答】 由条件可得:EF +FD +DC +CE =0 ① +++=0 ②①+②得:2+(+)+++(+)=0. ∵F ,E 是中点,∴+=+=0, ∴2=-(+)=+, ∴=21(+)=21［(a -2c )+(5a +6b -8c )］=3a +3b -5c . 【解后归纳】 对任何图形而言，都有:B B B B B B B AB n n n =+++++-132211 .●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.△ABC 中,已知BC =3BD ,则AD 等于 ( ) A.31(AC +2AB ) B. 31(AB +2AC ) C.41(+3) D. 41(+2) 2.如果点M 是△ABC 的重心,D 、E 、F 分别为、BC 、CA 中点，那么++等于 ( ) A.6 B.-6 C.0 D.63.λ、μ、γ∈R ,则λAB +μBC +γCA =0成立的充要条件是 ( ) A.|λ|=|μ|=|γ| B.λ=μ=γ C.λ+μ+γ=0 D.λ=μ=γ=04.如果=a ,=b ,那么a =b 是四点A 、B 、C 、D 构成平行四边形的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 5.使等式|a +b |=|a |+|b |成立的充要条件是 ( )A.a ∥b 且同向B.a =bC.a ⊥bD.a 、b 中有06.已知a =(1,2),b =(x ,1),且a +2b 与2a -b 平行，则x 等于 ( ) A.1 B.2 C.31D.217.若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-1,2),则c 等于 ( ) A.21-a +23b B.21a -23b C.23a-21b D.23-a+21b 8.若a ,b 是不共线的两个向量，且AB =λ1a +b ,AC =a +λ2b ,(λ1、λ2∈R ),则A 、B 、C 三点共线的充要条件是 ( )A.λ1=λ2=-1B.λ1=λ2=1C.λ1λ2+1=0D.λ1λ2-1=09.已知平行四边形ABCD 的两角对角线交于点E ,设=e 1, =e 2,用e 1,e 2表示的表达式 为 ( )A.-21e 1-21e 2B.-21e 1+21e 2C.21e 1-21e 2D.21e 1+21e 2 10.设P (1,2),Q (0,3),R (7,-2),a =PQ ,b =PR ,则与2a -b 同向的单位向量是 ( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54C.(2,1)D.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛55,552 二、思维激活11.两个非零向量的模相等是两个向量相等的 条件.12.已知=4i +3j ,=-i +j ,与反向且||=32||,则点C 的坐标是 .13.已知a =(6,2),b =(-4,-21),直线l 过点A (3,-1)且与向量a +2b 垂直，则直线l . 14.若向量p =(2,-3),q =(1,2),a =(9,4),且a =m p +n q ,则m = ,n = . 三、能力提高15.已知a =(10,-4),b =(3,1),c =(-2,3),试用b ,c 表示a .16.设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明:OA +OB +OC +OM OD 4=.17.用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半.第1课 向量及向量的加法和减法习题解答1.A 由AD =AB +BD 及AD =AC +CB 得:2AD =AC +AB +BD +CD =AC +AB +31CB=++31(+)=32+34，故=31(+2) 2.C MA +MB +MC =(MB +BA )+MB +(MB +BC ) =3MB +BA +BC =3·32FB +BA +BC=2(21+)+BA +=++BA =0.3.D 由条件:λ(+)+μ·+γ=(λ-γ) +(μ-λ)·=0⇔λ-γ=μ-λ=0.4.B a ,b 共线时充分性不成立.5.A6.D ∵a +2b =(1+2x ,4),2a -b =(2-x ,3)⇒3·(1+2x )=4(2-x )解之:x =21. 7.B 令c =x ·a +y ·b ⇒c =(x +y ,x -y )=(-1,2)⇒⎩⎨⎧=--=+21y x y x 解之⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2321y x B.8.D 令=x ·则λ1a +b =x ·a +x λ2b ⇒x =λ1且x λ2=1⇒λ1λ2=1. 9.B 如图所示=+=21(CB +)+ =21(-e 2-e 1)+e 2=-21e 1+21e 2. 10.A ∵PQ =(-1,1),PR =(6,-4),∴2a -b =(-8,6)=10·(-54,53).11.必要不充分.第2题图解第9题图解12.由已知OC =-32AC ,∴OC =-32(AB +BC )=-32［4i +3j +(-i )+j ］=-2i -38j故C 坐标为(-2,38).13.由条件得:a +2b =(-2,1),故k =2,l 的方程为y +1=2(x -3)即:2x -y -7=0. 14.由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=+5242392n m n m n m .15.令a =λb +μc ⇒(10,-4)=(3λ-2μ,λ+3μ)⇒⎩⎨⎧-=μ+λ=μ-λ431023解之,⎩⎨⎧-=μ=λ22故:a =2b -2c .16.证:∵M 是平行四边形ABCD 的中心, ∴MA +MC =0,MB +MD =0. ∵OA =OM +MA ,OB =OM +MB , =+,=+将以上四个等式相加得:OA +OB +OC +OD =4OM +(MA +MC )+(MB +MD )=4OM .17.证:如图所示,设E ,F 是梯形ABCD 两腰的中点，则⎪⎩⎪⎨⎧++=++=BFAB EA EF CF DC ED EF 两式相加得:2EF =(DC +AB )+(ED +EA )+(CF +BF )=DC +AB ∴EF =21(DC +AB ) ① ∵DC ∥AB ,∴惟一存在非零实数t ,使得:=t · 代入①得:=21(+t ·)=21(1+t )· 故∥∥.而||=||21)1(21DC t t ⋅+=+,|DC |+|AB |=|DC |+|t|·|DC |=|1+t|·|DC |, ,∴|EF |=21(|DC |+|AB |)所以原命题成立.第16题图解第17题图解。
向量加减法的运算法则
向量加减法的运算法则
1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即对于任意向量a、b和c，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量的减法：向量的减法等价于加上一个负向量，即a-b=a+(-b)。
其中，-b 是向量b的负向量，它方向与b相反，大小相等。
3. 向量的数乘：向量的数乘指将一个实数k与向量a相乘，将a的大小缩放为原来的k倍，即ka。
如果k是负数，它会将向量a逆向，即大小不变，方向发生改变。
4. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它所有的分量都为零。
零向量与任何向量进行加法，得到的结果是该向量本身，即a+0=a。
5. 反向量：每个向量都有一个对应的反向量，它的大小相等，方向相反。
向量a 的反向量记作-a，它满足a+(-a)=0。
6. 同向量和异向量：如果两个向量的正负方向相同，则它们是同向量；反之，如果它们正负方向相反，则称它们为异向量。
2.向量及其运算
设 a 为一向量, 与 a 的模相同而方向相反 的向量叫做 a 的负向量 , 记作 a.
两个向量 b 与 a 的差
a ba b a
b a b (a ).
B
O
b a
ba
A
三角不等式 a b a b, a b a b.
10
其中等号在 a 与 b 同向或反向时成立.
如图知a M 1 M 2 M 1 P M 1Q M 1 R ( x 2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z 2 z1 )k a x i a y j az k 其中向量a x i，a y j，a z k 分别称为向量a在x轴, y轴, z轴上的分向量，
z
R
P
M1
M2
Q
o
x
y
27
z
R
M1
由图分析可知
o
x
P
M2
Q
y
a y | M 1 M 2 | cos | a | cos
a x | M1 M 2 | cos | a | cos
az | M1 M 2 | cos | a | cos
2
向量也可用粗体字母表示, 如 a , i , v , F 等等, 向量还可用在上面 加箭头的书写体字母 表示, 如a , i , v , F 等等.
向量的大小叫做向 量的模.向量 M1 M 2、a、a 的模依次记作 M1 M 2 、 a、 a.
向量的模
单位向量
模等于1 的向量叫做单位向量 , 用ea 表示与 非零向量a同方向的单位向量.
§2 向量及其运算
向量及其线性运算
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1.理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义；2.理解向量的几何表示，会用字母表示向量；3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系；4.通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力.5．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量；6．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算；7．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量；8．在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明；9．通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．学习内容:向量这部分知识是新内容，但我们已经接触过了.同学们在物理的课程学习过矢量的概念，它与我们要学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实际上向量就是用有向线段表示的.向量的加法运算一、向量的概念向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点，显然表示不同的向量；有向线段的长度表示向量的大小，用| |表示，显然，既有向线段的起、终点决定向量的方向，有向线段的长度决定向量的大小.注意:向量的长度| |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关.二、向量的加法1．向量加法的平行四边形法则平行四边形ABCD中，向量的和为.记作: .2．向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有: ，既在ΔADC中，，首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.规定:零向量与向量的和等于.三、向量的减法向量与向量叫做相反向量.记作: .则，既用加法法则来解决减法问题.例题选讲第一阶梯[例1]判断下列命题的真假：①直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量；②两个向量平行是两个向量相等的必要条件；③向量与是共线向量，则、、、必在同一直线上；④向量与向量平行，则与的方向相同或相反；⑤四边形是平行四边形的充要条件是．分析：判断上述五个命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目．解：①直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的．②由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确；③不正确．∵与共线，可以有与平行；④不正确．如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定；⑤正确．此命题相当于平面几何中的命题：四边形是平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等．[例2]下列各量中是向量的有_______________.A、动能B、重量C、质量D、长度E、作用力与反作用力F、温度分析：用向量的两个基本要素作为判断的依据注意对物理量实际意义的认识.解:A，C，D，F只有大小，没有方向，而B和F既有大小又有方向，故为向量.[例3]命题“若，，则．”（）A．总成立B．当时成立C．当时成立D．当时成立分析：这里要作出正确选择，就是要探求题中命题成立的条件．∵零向量与其他任何非零向量都平行，∴当两非零向量、不平行而时，有，，但这时命题不成立，故不能选择A，也不能选择B与D，故只能选择C．答案：C第二阶梯[例1]如图1所示，已知向量，试求作和向量．分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个向量与另一个向量的和．即先作，再作．解：如图2所示，首先在平面内任取一点，作向量，再作向量，则得向量，然后作向量，则向量即为所求．[例2]化简下列各式(1)；(2)．分析：化简含有向量的关系式一般有两种方法①是利用几何方法通过作图实现化简；②是利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量．解：(1)原式=(2)原式=．[例3]用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等．由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量．(需首先将命题改造为数学符号语言)已知：如图3，ABCD是四边形，对角线AC与BD交于O，且AO=OC，DO=OB．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：由已知得，，且A，D，B，C不在同一直线上，故四边形ABCD是平行四边形．第三阶梯例1．下列命题:（1）单位向量都相等；（2）若，则；（3）若ABCD为平行四边形，则；（4）若，则.其中真命题的个数是（）A、0B、1C、2D、3解:（1）不正确.单位向量的长度相等，但方向不一定相同；（2）不正确. 可能在同一条直线上；（3）不正确.平行四边形ABCD中，；（4）正确.满足等量的传递性.选B.例2．若O为正三角形ABC的中心，则向量是（）.A、有相同起点的向量B、平行向量C、模相等的向量D、相等的向量解:的起点不同，不平行也不相等.由正三角形的性质: .选C.例3．某人向东走3km，又向北走3km，求此人所走路程和位移.解:此人所走路程:|AB|+|BC|=6km.此人的位移:例4．求证对角线互相平分的平面四边形是平行四边形.已知: ，求证:ABCD为平行四边形.证明:由加法法则: ，∵，∴，即线段AB与DC平行且相等，∴ABCD为平行四边形.例5．非零向量中，试比较的大小.解:（1）共线时，①时，②时，.（2）不共线时，，，∵即，综上：∴课外练习:1．若两个向量不相等，则这两个向量（）.A、不共线B、长度不相等C、不可能均为单位向量D、不可能均为零向量2．四边形RSPQ为菱形，则下列可用一条有向线段表示的两个向量是（）.A、B、C、D、3．“两个向量共线”是“这两个向量相等”的（）.A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4．O是四边形ABCD对角线的交点，若，则四边形ABCD是（）.A、等腰梯形B、平行四边形C、菱形D、矩形5．若O是ΔABC内一点，，则O是ΔABC的（）.A、内心B、外心C、垂心D、重心6．ΔABC中，=（）.A、B、C、D、7．平行四边形ABCD中，E、F为AB，CD中点，图中7个向量中，与相等的向量是________；与相等的向量是______；与平行的向量是_______；与平行的向量是_____.8．已知:首尾相接的四个向量.求证: .S参考答案:1.D2.B3.B4.B5.D6.B7.8. 证明:∵，，∴.测试选择题1．已知向量a=(3,m)的长度是5，则m的值为（）.A、4B、-4C、±4D、162．下面有四个命题：（1）向量的长度与向量的长度相等.（2）任何一个非零向量都可以平行移动.（3）所有的单位向量都相等.（4）两个有共同起点的相等向量，其终点必相同.其中真命题的个数是（）.A、4B、3C、2D、13．在下列命题中，正确的是（）.A、若| |>| |，则>B、| |=| |，则=C、若= ，则与共线D、若≠，则一定不与共线4．下列说法中错误的是（）.A、零向量是没有方向的B、零向量的长度为0C、零向量与任一向量平行D、零向量的方向是任意的5．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则和相等的向量的个数是（）.A、1个B、2个C、3个D、4个答案与解析答案：1、C2、B3、C4、A5、B解析：1．答案：C.因为|a| 所以2．答案：B. (1)对.因为与是指同一条线段，因此长度相等．(2)对．这是由相等向量推导出的结论．(3)错.因为单位向量只要求模长等于1，方向不作要求，因此不一定相等．(4)对．因为相等向量可以经过平移至完全重合．解决本题的关键是熟练掌握有关基础知识.3．答案：C. A错．因为向量有大小和方向两个要素．无法比较大小．B错．相等向量不仅要模长相等，方向也要相同．C对．相等向量方向一定相同，因此共线．D错．因为向量不相等，可能仅由于模长不等，方向仍可能是相同的，所以与有共线的可能．4．答案：A. 零向量是规定了模长为0的向量．零向量的方向没有规定，是任意的，可以看作和任一向量共线．零向量绝不是没有方向．5．答案：B. 根据向量相等的条件.向量重点难点了解向量可以根据需要自由平移的特点是今后运用向量方法解决问题的前提条件之一，也因此，平行向量也叫共线向量．要根据向量的有关概念从图形中找出相等的向量和共线的向量．因此，要加强训练观察一些常见图形．以下三个问题上常出现错误：一是用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示向量时，一定注意搞清字母顺序，起点在前，终点在后，例如与是大小相同，方向相反的两个向量，二是零向量的方向是任意的，而不是没有方向，因此有关零向量的方向问题一般要注意规定，例如命题：与共线，与共线，与共线，是错误的，因为零向量的方向是任意的，故与的方向没有任何关系，因此也无法判断是否共线，三是注意区别平行向量与平面几何中直线平行的概念，前者相当于两直线位置关系中的平行和重合两种情况，例如错误地认为平行向量不可能是共线向量，其实这两个概念是同一个概念.典型题目例1下列说法中正确的是（）.A．向量与向量共线，向量与向量共线，则向量与向量共线B、任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C、向量与不共线，则与所在直线的夹角为锐角D、始点相同的两个非零向量不平行答案：A点评：向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的．共线向量等同于平行向量，既可平行也可在同一直线上.而相等向量是共线的，故B中四点可能在同一直线上，向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，而选项D中向量是否共线与始点位置无关．例2 “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的()条件A.充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要答案：B点评：向量共线即向量方向相同或相反，故后者推出前者，而反之不成立．例3下面有四个命题：(1)向量的模是一个正实数．(2)两个向量平行是两个向量相等的必要条件．(3)若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等．(4)温度含有零上温度和零下温度，所以温度是向量，其中真命题的个数为()．A．0B．1C．2D．3答案：B点评：只有(2)是正确的，因为两个向量平行只是指这两个向量在方向上是相同或相反的．方向相反则不可能是相等向量．即使方向相同，对于大小也没有要求，依然无法判定两个向量是否相等．而两个相等向量的方向一定相同，必是平行向量．(1)错在向量的模是表示向量的有向线段的长度，零向量的模为零．因此向量的模是一个非负实数．(3)错在两个单位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此这两个向量不一定相等．(4)错在温度的零上零下也只是表示数量．向量既要有大小又要有方向．常见的向量有力、速度、位移、加速度等．正确解答本题的关键是把握住向量的两个要素，并从这两个要素人手区分其它有关概念．例4 一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达D点．(1)作出向量、(2) 求| |.答案：(1)见图.(2)由题意，易知方向相反，故与共线，又，∴在四边形ABCD中，AB CD，四边形ABCD为平行四边形，∴，∴=200公里.点评：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点.例5 一个人从A点出发沿东北方向走了100米到达B点．后改变方向沿南偏东15°又走了100米到达C点，求此人从C点走回A点的位移．解：如图，根据题意知ΔABC为等边三角形，故∠a=15°，| |=100，∴此人从C点走回A点的位移，大小为100米，方向为西偏北15°．检测题1.在下列各命题中，为真命题的有（）（1）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量（2）温度有零上温度和零下温度．因此温度也是向量（3）方向为南偏西60°的向量与方向为北偏东60°的向量是共线向量（4）坐标平面上的x轴和y轴都是向量A．1个B．2个C．3个D．4个2.已知a、b、c是三个非零向量，则|a+b+c|=|a|+|b|+|c|的充要条件是（）A．a、b同方向B．b、c同方向C．a、c同方向D．a、b、c同方向3.下列命题中，正确的是（）A．B．C．D．4．下列各命题中假命题的个数为（）①向量的长度与向量的长度相等．②向量与向量平行，则与的方向相同或相反．③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同．④两个有共同终点的向量，一定是共线向量．⑤向量与向量是共线向量，则点、、、必在同一条直线上．⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段A．2 B．3 C．4 D．55．在下列各结论中，正确的结论为（）①两向量共线且模相等是这两个向量相等的必要不充分条件；②两向量平行且模相等是这两个向量相等的既不充分也不必要条件；③两向量方向相同且模相等是这两个向量相等的充分条件；④两向量方向相反且模不相等是这两个向量不相等的充分不必要条件．A．①、③B．②、④C．③、④D．①、③、④6．判断下列命题真假（1）平行向量一定方向相同．（2）共线向量一定相等．（3）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量．（4）不相等的向量，则一定不平行．（5）非零向量的单位向量是．7.若三个向量a、b、c恰能首尾相接构成一个三角形，则＝。