数学《同角三角比的关系与诱导公式》教案(沪教版高一)

5.3（2）同角三角比的关系与诱导公式

上海市杨浦高级中学 江海涛

一、教学目标设计

1．掌握诱导公式的推导方法和记忆方法；

2．会运用这些公式求解任意角的三角比的值，会由三角比的值，求特殊角，并会化简单的三角比的关系式；

3．通过公式的探求与应用培养思维的严密性. 三、教学重点及难点 重点：诱导公式

难点：诱导公式的灵活应用 四、教学流程设计

五、教学过程

设计

一、 复习引入 1．公式一：

ααπsin )2sin(=+k ααπcos )2cos(=+k

ααπtan )2tan(=+k

复习公式一引入

运用化归思想由公式三导出公式 四

根据三角比的定义 和单位圆公式二、三

例题分析，运用诱导公式求值、化简及给值求角

课堂练习

课堂小结， 布置作业

ααπcot )2cot(=+k （其中α∈k ）

用角度可写成：ααsin )360sin(=+︒⋅k

ααcos )360cos(=+︒⋅k ααtan )360tan(=+︒⋅k

ααcot )360cot(=+⋅

k （其中Z ∈k ） 2 ．讨论

公式一的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角α终边相同的角，再把它写成诱导公式一的形式，然后得出结果.

这组公式可以统一概括为)Z )(()2(∈=+k f f απαk 的形式，上述一组公式叫做任意角三角比的第一组诱导公式，其特征是：等号两边是同名三角比，且符号都为正.

说明]运用公式时，注意“弧度”与“角度”两种度量制不要混用，如写成︒=+︒80sin )280sin(πk ，

3

cos

)3603

cos(

π

π

=︒⋅+k 是不对的．

二、学习新课 1．公式推导

公式二：

αα-sin sin(=-） ααcos cos(=-）

它说明角-α与角α的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等．这是因为，若角α的终边与单位圆交于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为P ´(x ，-y)（如图1）．由正弦、余弦三角比的定义，即可得

sin α=y ， cos α=x, sin(-α)=-y, cos(-α)=x,

所以：sin(-α)= -sin α, cos(-α)= cos α 由三角比的商数关系，得：αα

α

αααtan cos sin )cos()sin()tan(-=-=--=

-

即 ααtan tan(-=-）

类似可得ααcot )cot(-=-

α

α

- x

y

P(x,y)

P ’(x ，-y)

O

M

这组公式叫任意角三角比的第二组诱导公式 练习：求3

π

-

的正弦、余弦、正切和余切的值.

[说明]公式二也可以由特殊到一般，既从特殊三角比的计算，猜测出公式，再证明.

公式三：

用角度可表示如下：

ααπ-sin sin(=+） αα-sin 180sin(=+︒） ααπ-cos cos(=+）

αα-cos 180cos(=+︒） ααπtan tan(=+）

ααtan 180tan(=+︒） ααπcot )cot(=+ ααsin )180cot(=+

它刻画了角180º+α与角α的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角α终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角α的正弦值（或余弦值）是一对相反数．这是因为若设α的终边与单位圆交于点P( x ，y)，则角α终边的反向延长线，即180º+α角的终边与单位圆的交点必为P ´(-x ，-y)（如图2）．由正弦、余弦三角比的定义，即可得sin α=y ， cos α=x,

sin(180º+α)=-y,

cos(180º+α)=-x,

所以 :sin(180º+α)=-sin α，cos(180º+α)=-cos α．

[说明]公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦、余弦比的定义．根据点P 的坐标准确地确定点P ´的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．直观的对称形象为我们准确写出P ´的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性.

练习：求下列三角比的值： （1）

210cos ；

(2)4

5sin

π

分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题．求解时，只须设法将所给角分解成180º+α或（π+α），

α为锐角即可．

解：（1）cos210º=cos(180º+30º)=－cos30º=－

2

3； （2）sin 45π=sin(4ππ+)=－sin 4

π

=－22.

公式四：

把第三组公式中的α换成α-，得第四组诱导公式：

M

P(x,y)

y

M’

α + 180

α

x P’(-x ，-y)

O

ααπsin sin(=-） ααsin 180sin(=-︒）

ααπ-cos cos(=-）

αα-cos 180cos(=-︒） ααπtan tan(-=-）

ααtan 180tan(-=-︒） ααπcot )cot(-=- ααcot )180cot(-=-

[说明]这组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出，体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想.公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的.

四组诱导公式可概括为：

k ·360º+α（k ∈Z ），-α，180º±α，360º-α的三角比值，等于α的同名三角比的值，前面加

上一个把α看成锐角时原三角比的符号.

[说明]这里的“同名三角比值”是指等号两边的三角比名称相同；“把α看成锐角”是指α原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个……符号”是指α的同名三角比值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把任意角α视为锐角情况下的原三角比的符号.应注意讲清这句话中每一词语的含义，特别要讲清为什么要把任意角α看成锐角．建议通过实例分析说明.

练习：求下列各式的值：（1）sin(－

3

4π

)；(2)cos(－60º)－sin(－210º) 分析：本题是诱导公式二、三的巩固性练习题．求解时一般先用诱导公式三把负角的正弦、余弦化为正角的正弦、余弦，然后再用诱导公式二把它们化为锐角的正弦、余弦来求．

解：（1）sin(－

34π)=－sin(3ππ+)=sin 3π

=2

3； （2）原式=cos60º+sin(180º+30º)=cos60º－sin30º=21－2

1

=0 2．例题分析

例1：利用诱导公式，求下列各三角比： （1）326sin

π； （2）)4

13tan(π

-

例2化简：

)

3cot()sin()

tan()cot()2cos(απαππααπαπ----+-

例3根据条件，求角x ：