勾股定理 例题详解

勾股定理经典例题详解

知识点一：勾股定理

如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。

（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。

（3）理解勾股定理的一些变式：

c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab

知识点二：用面积证明勾股定理

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。

图（1）中，所以。

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。

图（2）中，所以。

方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。

在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,

在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,

所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.

方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。

，所以。

知识点三：勾股定理的作用

1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；

3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为

的线段。

2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数

满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。

熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：

①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、

40、41．

如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.

思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=

(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=

(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=

总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。

举一反三

【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是

多少?

【答案】∵∠ACD=90°

AD=13, CD=12

∴AC2 =AD2－CD2

=132－122

=25

∴AC=5

又∵∠ABC=90°且BC=3

∴由勾股定理可得

AB2=AC2－BC2

=52－32

=16

∴AB= 4

∴AB的长是4.

类型二：勾股定理的构造应用

2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.

思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作

于D，则有

，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进

而求出BC的长.

解析：作于D，则因，

∴（的两个锐角互余）

∴（在中，如果一个锐角等于，

那么它所对的直角边等于斜边的一半）.

根据勾股定理，在中，

.

根据勾股定理，在中，

.

∴.

总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.

举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.

思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之

间的关系.

解析：连结BM，根据勾股定理，在中，

.

而在中，则根据勾股定理有

.

∴

又∵（已知），

∴.

在中，根据勾股定理有

，

∴.

【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC 交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

解析：延长AD、BC交于E。

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。

∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。

∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。

∴S

四边形ABCD =S

△ABE

-S

△CDE

=AB·BE-CD·DE=

类型三：勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。

解析：（1）过B点作BE//AD

∴∠DAB=∠ABE=60°

∵30°+∠CBA+∠ABE=180°

∴∠CBA=90°