一元二次方程易错题大全

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一元二次方程易错题大全

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2.设 x1, x2 是一元二次方程 ax2 bx c 0 的两个根,则代数式 a(x13 x23 ) b(x12 x22 ) c(x1 x2 ) 0 的 值为___________.
3. a 是整数,已知关于 x 的一元二次方程 ax2 (2a 1)x a 1 0 只有整数根,则 a =__________. 4.已知方程 3x2 2x 1 4 ,则代数式12x2 8x 3 _____________.
A (x+3)(x﹣ B.(x﹣3) C.(x﹣3)(x﹣D.(x+3)(x+4)
. 4)
(x+4)
4)
16.关于 x 的一元二次方程 (a 1)x2 x a2 1 0 的一个根是 0 ,则 a 的值为( )
A. 1
B. 1
C.1或 1
D. 1
2
二.填空题
1.写出一个既能直接开方法解,又能用因式分解法解的一元二次方程是_______________.
13.若(a2+b2﹣3)2=25,则 a2+b2=( )
A 8 或﹣2
B.﹣2
C.8

D.2 或﹣8
14.设 a,b 是方程 x2+x﹣2011=0 的两个实数根,则 a2+2a+b 的值为( )
A 2009
B.2010
C.2011
D.2012

15.一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 3、4,那么二次三项式 x2+px+q 可分解为( )
4.某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件 T 恤,第一个月以单价 80 元销售,售出
了 200 件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出 200 件,批发商为增加销售量,决

中考数学易错题专题复习-一元二次方程组练习题及答案解析

中考数学易错题专题复习-一元二次方程组练习题及答案解析
∴ .
∴ .
(2)(y+2)2=12,
∴ 或 ,

2.解方程:(x+1)(x﹣3)=﹣1.
【答案】x1=1+ ,x2=1﹣
【解析】
试题分析:根据方程的特点,先化为一般式,然后利用配方法求解即可.
试题解析:整理得:x2﹣2x=2,配方得:x2﹣2x+1=3,即(x﹣1)2=3,
解得:x1=1+ ,x2=1﹣ .
(1)解方程求两条线段的长。
(2)若把较长的线段剪成两段,使其与另一段围成等腰三角形,求等腰三角形的面积。
(3)若把较长的线段剪成两段,使其与另一段围成直角三角形,求直角三角形的面积。
【答案】(1)2和6;(2) ;(3)
【解析】
【分析】
(1)求解该一元二次方程即可;
(2)先确定等腰三角形的边,然后求面积即可;
(3)设分为两段分别是 和 ,然后用勾股定理求出x,最后求面积即可.
【详解】
解:(1)由题意得 ,
即: 或 ,
∴两条线段长为2和6;
(2)由题意,可知分两段为分别为3、3,则等腰三角形三边长为2,3,3,
由勾股定理得:该等腰三角形底边上的高为:
∴此等腰三角形面积为 = .
(3)设分为 及 两段
∴ ,
∴ ,
∴面积为 .
【点睛】
本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识,考查知识点较多,灵活应用所学知识是解答本题的关键.
8.已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根,求a的值.
【答案】1
【解析】试题分析:根据一元二次方程解的定义,把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0,然后解此一元二次方程即可.

方程与不等式之一元二次方程易错题汇编含答案

方程与不等式之一元二次方程易错题汇编含答案

方程与不等式之一元二次方程易错题汇编含答案一、选择题1.新年里,一个小组有若干人,若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡,则全组送贺卡共72张,此小组人数为( )A .7B .8C .9D .10【答案】C【解析】试题分析:设这个小组的人数为x 个,则每个人要送其他(x ﹣1)个人贺卡,则共有(x ﹣1)x 张贺卡,等于72张,由此可列方程.解:设这个小组有x 人,则根据题意可列方程为:(x ﹣1)x =72,解得:x 1=9,x 2=﹣8(舍去).故选C .2.某水果园2017年水果产量为50吨,2019年水果产量为70吨,求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x ,则根据题意可列方程为( ) A .()250170x -=B .()250170x += C .()270150x -=D .()270150x += 【答案】B【解析】【分析】根据2019年的产量=2017年的产量×(1+年平均增长率)2,即可列出方程.【详解】解:根据题意可得,2018年的产量为50(1+x ),2019年的产量为50(1+x )(1+x )=50(1+x )2,即所列的方程为:50(1+x )2=70.故选:B .【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题意,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程.3.若代数式226(3)1x x m x ++=+-,则m =( )A .-8B .9C .8D .-9【答案】C【解析】【分析】已知等式右边利用完全平方公式化简,利用多项式相等的条件求出m 的值即可.226(3)1x x m x ++=+-=x 2+6x+8,可得m=8,故选:C.【点睛】此题考查配方法的应用,解题关键在于掌握计算公式.4.某商品原价为100元,第一次涨价40%,第二次在第一次的基础上又涨价10%,设平均每次增长的百分数为x ,那么x 应满足的方程是( )A .40%10%2x +=B .100(140%)(110%)(1)x ++=+C .2(140%)(110%)(1)x ++=+D .2(10040%)(10010%)100(1)x ++=+ 【答案】C【解析】【分析】设平均每次增长的百分数为x ,根据“某商品原价为100元,第一次涨价40%,第二次在第一次的基础上又涨价10%”,得到商品现在的价格,根据“某商品原价为100元,经过两次涨价,平均每次增长的百分数为x ”,得到商品现在关于x 的价格,整理后即可得到答案.【详解】解:设平均每次增长的百分数为x ,∵某商品原价为100元,第一次涨价40%,第二次在第一次的基础上又涨价10%, ∴商品现在的价格为:100(140%)(110%)++,∵某商品原价为100元,经过两次涨价,平均每次增长的百分数为x ,∴商品现在的价格为:2(1)x +,∴2100(140%)(110%)100(1)++=+x ,整理得:2(140%)(110%)(1)x ++=+,故选:C .【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用,正确找出等量关系,列出一元二次方程是解题的关键.5.若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是( )A .k ≠0B .k >4C .k <4D .k <4且k ≠0【答案】C【解析】【分析】根据判别式的意义得到△=(-4)2-4k >0,然后解不等式即可.∵关于x 的一元二次方程2x 4x k 0-+=有两个不相等的实数根,∴2=(-4)40k ∆->解得:k <4.故答案为:C .【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系,解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0方程有两个不相等的实数根;(2)△=0方程有两个相等的实数根;(3)△<0方程没有实数根.6.为执行“均衡教育"政策,某县2017年投入教育经费2500万元,预计到2019年底三年累计投入1.2亿元.若每年投人教育经费的年平均增长百分率为x ,则下列方程正确的是( )A .()225001 1.2x +=B .()22500112000x += C .()()225002********* 1.2x x++++= D .()()22500250012500112000x x ++++=【答案】D【解析】【分析】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x ,根据题意可得,2017年投入教育经费+2017年投入教育经费×(1+增长率)+2017年投入教育经费×(1+增长率)2=1.2亿元,据此列方程.【详解】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x ,由题意得,2500+2500×(1+x )+2500(1+x )2=12000.故选:D .【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列出方程.7.下列方程中,属于一元二次方程的是( )A .21130x x +-=B .ax 2+bx +c =0C .x 2+5x =x 2﹣3D .x 2﹣3x +2=0【解析】【分析】根据一元二次方程必须满足两个条件:未知数的最高次数是2;二次项系数不为0,可得答案.【详解】解:A 、是分式方程,故A 错误;B 、a =0时是一元一次方程,故B 错误;C 、是一元一次方程,故C 错误;D 、是一元二次方程,故D 正确.故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程,一般形式是ax 2+bx +c =0(且a ≠0).特别要注意a ≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.8.已知,,m n 是一元二次方程2320x x -+=的两个实数根,则2246m mn m --的值为( )A .8B .10C .8-D .12-【答案】D【解析】【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m 2-3m=-2,则2m 2-4mn-6m=2(m 2-3m )-4mn=-4-4mn ,再根据根与系数的关系得到mn=2,然后利用整体代入的方法计算.【详解】∵m 是一元二次方程x 2-3x+2=0的实数根,∴m 2-3m+2=0,∴m 2-3m=-2,∴2m 2-4mn-6m=2(m 2-3m )-4mn=-4-4mn ,∵m ,n 是一元二次方程x 2-3x+2=0的两个实数根,∴mn=2,∴2m 2-4mn-6m=-4-4×2=-12.故选:D .【点睛】此题考查根与系数的关系,解题关键在于掌握若x 1,x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x 1+x 2=-12b c x x a a =,.9.若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m =0没有实数根,则实数m 的取值是( )A .m <1B .m >﹣1C .m >1D .m <﹣1【答案】C【解析】 试题解析:关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根,()224241440b ac m m ∆=-=--⨯⨯=-<,解得: 1.m >故选C .10.我市郊区大力发展全域旅游产业,打造了大来岗风景区、敖其湾赫哲族风景区等精品旅游 项目,郊区全年旅游人数逐年增加,据统计,2016年为30万人次,2018年为43.2万人次.设旅游人次的年平均增长率为x ,则可列方程为( )A .()30143.2x +=B .()30110.8x -=C .()230143.2x +=D .()()2301143.2x x ⎡⎤+++=⎣⎦【答案】C【解析】【分析】关于增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率),旅游人次的年平均增长率为x ,然后根据已知可以得出方程.【详解】设旅游人次的年平均增长率为x ,那么根据题意得:()230143.2x +=.故选:C .【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,平均增长率问题,一般形式为a (1+x )2=b ,a 为起始时间的有关数量,b 为终止时间的有关数量.11.若关于x 的一元二次方程2304kx x --=有实数根,则实数k 的取值范围是( ) A .0k =B .13k ≥-C .13k ≥-且0k ≠D .13k >- 【答案】C【解析】【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围,进而可以得到关于k 的不等式,解得即可,同时还应注意二次项系数不能为0.【详解】∵关于x的一元二次方程230 4kx x--=有实数根,∴△=b2-4ac≥0,即:1+3k≥0,解得:13 k≥-,∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中k≠0,故选:C.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式,解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况.12.某果园2011年水果产量为100吨,2013年水果产量为144吨,求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x,则根据题意可列方程为()A.144(1﹣x)2=100 B.100(1﹣x)2=144 C.144(1+x)2=100 D.100(1+x)2=144【答案】D【解析】试题分析:2013年的产量=2011年的产量×(1+年平均增长率)2,把相关数值代入即可.解:2012年的产量为100(1+x),2013年的产量为100(1+x)(1+x)=100(1+x)2,即所列的方程为100(1+x)2=144,故选D.点评:考查列一元二次方程;得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键.13.关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,那么a的取值范围是( ) A.a>1 B.a=1 C.a<1 D.a<1且a≠0【答案】D【解析】【分析】由于原方程是一元二次方程,首先应该确定的是a≠0;然后再根据原方程根的情况,利用根的判别式建立关于a的不等式,求出a的取值范围.【详解】解:由于原方程是二次方程,所以a≠0;∵原方程有两个不相等的实数根,∴△=b2-4ac=4-4a>0,解得a<1;综上,可得a≠0,且a<1;故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.14.已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,下列结论一定正确的是()A.x1≠x2B.x1+x2>0 C.x1•x2>0 D.x1<0,x2<0【答案】A【解析】分析:A、根据方程的系数结合根的判别式,可得出△>0,由此即可得出x1≠x2,结论A正确;B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a,结合a的值不确定,可得出B结论不一定正确;C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2,结论C错误;D、由x1•x2=﹣2,可得出x1<0,x2>0,结论D错误.综上即可得出结论.详解:A∵△=(﹣a)2﹣4×1×(﹣2)=a2+8>0,∴x1≠x2,结论A正确;B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,∴x1+x2=a,∵a的值不确定,∴B结论不一定正确;C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根,∴x1•x2=﹣2,结论C错误;D、∵x1•x2=﹣2,∴x1<0,x2>0,结论D错误.故选A.点睛:本题考查了根的判别式以及根与系数的关系,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.15.已知关于x的一元二次方程230 4x x a--+=有两个不相等的实数根,则满足条件的最小整数a的值为( )A.-1 B.0 C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】根据根的判别式即可求出a的范围.【详解】由题意可知:△>0,∴1﹣4(﹣a +34)>0, 解得:a >12故满足条件的最小整数a 的值是1,故选D .【点睛】本题考查根的判别式,解题的关键是熟练运用根的判别式.16.如图,幼儿园计划用30m 的围栏靠墙围成一个面积为100m 2的矩形小花园(墙长为15m ),则与墙垂直的边x 为( )A .10m 或5mB .5m 或8mC .10mD .5m 【答案】C【解析】【分析】设与墙垂直的边长x 米,则与墙平行的边长为(30﹣2x )米,根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m 2,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其较大值即可得出结论.【详解】设与墙垂直的边长x 米,则与墙平行的边长为(30﹣2x )米,根据题意得:(30﹣2x )x =100,整理得:x 2﹣15x +50=0,解得:x 1=5,x 2=10.当x =5时,30﹣2x =20>15,∴x =5舍去.故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.17.两个不相等的实数m ,n 满足2265,65m m n n +=+=,则mn 的值为( ) A .6B .-6C .5D .-5【答案】D【解析】【分析】根据题意得到m ,n 可看作方程x 2-6x-5=0的两根,然后根据根与系数的关系求解即可.【详解】∵两个不相等的实数m ,n 满足22650, 650m m n n +-=+-=,∴m ,n 可看作方程x 2-6x-5=0的两根,∴mn=-5故选:D.【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系:x 1,x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根时,12b x x a +=-,12c x x a=.18.某商品经过连续两次降价,销售单价由原来100元降到81元.设平均每次降价的百分率为x ,根据题意可列方程为( )A .()2100181x +=B .()2811100x +=C .()2811100x -=D .()2100181x -=【答案】D【解析】【分析】此题利用基本数量关系:商品原价×(1-平均每次降价的百分率)=现在的价格,列方程即可.【详解】由题意可列方程是:()2100181x -=.故选:D.【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程,解题关键在于列出方程19.若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根,则一次函数 y kx b =+的图象可能是:A .B .C .D .【答案】B【解析】【分析】【详解】由方程2210x x kb ++=-有两个不相等的实数根,可得()4410kb =-+V>, 解得0kb <,即k b 、异号,当00k b >,<时,一次函数y kx b =+的图象过一三四象限,当00k b <,>时,一次函数y kx b =+的图象过一二四象限,故答案选B.20.关于x 的方程x 2+2kx+k ﹣1=0的根的情况描述正确的是( )A .k 为任何实数,方程都没有实数根B .k 为任何实数,方程都有两个不相等的实数拫C .k 为任何实数,方程都有两个相等的实数根D .根据k 的取值不同,方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【答案】B【解析】∵关于x 的方程x 2+2kx+k ﹣1=0中△=(2k )2﹣4×(k ﹣1)=4k 2﹣4k+4=(2k ﹣1)2+3>0∴k 为任何实数,方程都有两个不相等的实数根故选B .。

一元二次方程难题、易错题

一元二次方程难题、易错题

一元二次方程难题、易错题1.一元二次方程已知关于x的方程mx^2-3(m-1)x+2m-3=0,求证:m取任何实数时,方程总有实数根。

解析:根据一元二次方程的判别式,当判别式大于等于0时,方程有实数根。

将方程化简得到 mx^2-(3m-3)x+2m-3=0,判别式为 (3m-3)^2-8m(m-1) = m^2-2m+1 = (m-1)^2 ≥ 0,因此对于任何实数m,方程都有实数根。

已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+1=0有两个相等的实数根,求ab^2-22(a-2)+b-4的值。

解析:由于方程有两个相等的实数根,根据一元二次方程的求根公式,可得到 b^2-4ac=0,即 b^2-4a=0.将b^2-4a代入ab^2-22(a-2)+b-4中,得到 ab^2-22(a-2)+b-4 = ab^2-22b+44+b-4 = ab^2-21b+40 = (ab-16)(b-5)。

因此,要求的值为(ab-16)(b-5)。

2.方程的实数根1)已知关于x的方程2x^2+kx-1=0,求证:方程有两个不相等的实数根。

解析:对于一元二次方程ax^2+bx+c=0,当判别式b^2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根。

将2x^2+kx-1=0的判别式代入得到k^2+8 ≥ 0,即对于任何实数k,方程都有两个不相等的实数根。

2)若方程2x^2+3x+1=0的一个根是-1,求另一个根及k 值。

解析:由于方程的一个根是-1,则另一个根为 -1/2.将-1和-1/2代入方程得到两个方程:2-3+k=0和4+3/2+k=0,解得k=-11/2.3.三角形形状已知a、b、c分别是△ABC的三边,其中a=1,c=4,且关于x的方程x^2-4x+b=0有两个相等的实数根,试判断△XXX的形状。

解析:根据三角形两边之和大于第三边的性质,可知bc,b+c>a,a+c>b,因此△ABC是一个等腰三角形。

方程与不等式之一元二次方程易错题汇编及答案解析

方程与不等式之一元二次方程易错题汇编及答案解析

方程与不等式之一元二次方程易错题汇编及答案解析一、选择题1.已知关于X 的方程x 2 +bx+a=0有一个根是-a (a ≠0),则a-b 的值为( ) A .1B .2C .-1D .0 【答案】C【解析】【分析】由一元二次方程的根与系数的关系x 1•x 2=c a、以及已知条件求出方程的另一根是-1,然后将-1代入原方程,求a-b 的值即可.【详解】∵关于x 的方程x 2+bx+a=0的一个根是-a (a≠0),∴x 1•(-a )=a ,即x 1=-1,把x 1=-1代入原方程,得:1-b+a=0,∴a-b=-1.故选C .【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解.解题关键是根据一元二次方程的根与系数的关系确定方程的一个根.2.若代数式226(3)1x x m x ++=+-,则m =( )A .-8B .9C .8D .-9【答案】C【解析】【分析】已知等式右边利用完全平方公式化简,利用多项式相等的条件求出m 的值即可.【详解】 226(3)1x x m x ++=+-=x 2+6x+8,可得m=8,故选:C.【点睛】此题考查配方法的应用,解题关键在于掌握计算公式.3.对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0),下列说法:①若b =ax 2+bx +c =0一定有两个相等的实数根;②若方程ax 2+bx +c =0有两个不等的实数根,则方程x 2﹣bx +ac =0也一定有两个不等的实数根;③若c 是方程ax 2+bx +c =0的一个根,则一定有ac +b +1=0成立;④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根,则b 2﹣4ac =(2ax 0+b )2,其中正确的( )A .只有①②③B .只有①②④C .①②③④D .只有③④【答案】B【解析】【分析】判断上述方程的根的情况,只要看根的判别式△=-24b ac 的值的符号就可以了.④难度较大,用到了求根公式表示0x .【详解】解:①若2b ac =,方程两边平方得b 2=4ac ,即b 2﹣4ac =0,所以方程ax 2+bx +c =0一定有两个相等的实数根;②若方程ax 2+bx +c =0有两个不等的实数根,则b 2﹣4ac >0方程x 2﹣bx +ac =0中根的判别式也是b 2﹣4ac >0,所以也一定有两个不等的实数根; ③若c 是方程ax 2+bx +c =0的一个根,则一定有ac 2+bc +c =0成立,当c ≠0时ac +b +1=0成立;当c =0时ac +b +1=0不成立; ④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根,可得204b b ac x -±-=, 把x 0的值代入(2ax 0+b )2,可得b 2﹣4ac =(2ax 0+b )2,综上所述其中正确的①②④.故选:B .【点睛】此题主要考查了根的判别式及其应用.尤其是④难度较大,用到了求根公式表示0x ,整体代入求2204(2)b ac ax b -=+.总结:一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△0>⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△0=⇔方程有两个相等的实数根;(3)△0<⇔方程没有实数根.4.若2245a a x -+-=,则不论取何值,一定有( )A .5x >B .5x <-C .3x ≥-D .3x ≤-【答案】D【解析】【分析】由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2(a ﹣1)2﹣3可得:x ≤﹣3.【详解】∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2(a ﹣1)2﹣3≤﹣3,∴不论a 取何值,x ≤﹣3.故选D .【点睛】本题考查了配方法的应用,熟练运用配方法解答本题的关键.5.用配方法解方程2640x x ++=时,原方程变形为( )A .2(3)9x +=B .2(3)13x +=C .2(3)5x +=D .2(3)4x +=【答案】C【解析】【分析】方程整理后,配方得到结果,即可做出判断.【详解】解:方程配方得:x 2+6x+5+4-5=0,即(x+3)2=5.故选:C .【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法,熟练掌握完全平方公式是解题的关键.6.一列自然数0,1,2,3,…,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是( )A .原数与对应新数的差不可能等于零B .原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大C .当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30D .当原数取50时,原数与对应新数的差最大【答案】D【解析】【分析】设出原数,表示出新数,利用解方程和函数性质即可求解.【详解】解:设原数为m ,则新数为21100m , 设新数与原数的差为y 则2211100100y m m m m =-=-+, 易得,当m =0时,y =0,则A 错误 ∵10100-< 当1m 50122100b a ﹣﹣﹣===⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭时,y 有最大值.则B 错误,D 正确. 当y =21时,21100m m -+=21解得1m =30,2m =70,则C 错误.故答案选:D .【点睛】本题以规律探究为背景,综合考查二次函数性质和解一元二次方程,解题时要注意将数字规律转化为数学符号.7.某厂四月份生产零件100万个,第二季度共生产零件282万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ,那么x 满足的方程是( )A .100(1+x )2=282B .100+100(1+x )+100(1+x )2=282C .100(1+2x )=282D .100+100(1+x )+100(1+2x )=282【答案】B【解析】【分析】主要考查增长率问题,一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x ,那么可以用x 分别表示五、六月份的产量,然后根据题意可得出方程.【详解】五月份的产量=100(1+x ),六月份的产量=1002(1)x +, 根据题意可得:100+100(1+x )+1002(1)x +=282.故选:B .【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,增长率问题,一般形式为2(1)a x b +=,a 为起始时间的有关数量,b 为终止时间的有关数量.8.李师傅去年开了一家商店,将每个月的盈亏情况都作了记录.今年1月份开始盈利,2月份盈利2000元,4月份盈利恰好2880元,若每月盈利的平均增长率都相同,这个平均增长率是( )A .20%B .22%C .25%D .44%【答案】A【解析】【分析】设这个平均增长率为x ,根据等量关系:2月份盈利额×(1+增长率)2=4月份的盈利额列出方程求解即可.【详解】设这个平均增长率为x ,根据题意得:2000(1+x )2=2880,解得:x 1=20%,x 2=-2.2(舍去).答:这个平均增长率为20%.故选A .【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用,属于增长率的问题,一般公式为原来的量×(1±x )2=后来的量,其中增长用+,减少用-,难度一般.9.某型号手机原来销售单价是4000元,经过两次降价促销,现在的销售单价是2560元,若两次降价的百分率相同,则平均每次降价( )A .10%B .15%C .20%D .25%【答案】C【解析】【分析】根据原来售价是4000元,经过两次降价且降价百分率相同后销售单价为2560元,设两次降价的百分率为x ,一次降价为()40001x -,两次降价为()240001x -得出 ()240001x -=2560,算出x .【详解】解:设两次降价的百分率为x ,由题意得:4000(1﹣x )2=2560∴(1﹣x )2=256400∴1﹣x =±0.8∴x 1=1.8(舍),x 2=0.2=20%故选:C .【点睛】熟悉一元二次方程的增长率和下降率的相关题型,注意分析是一次增长(下降),还是二次增长(下降)问题.10.设α,β是方程2x 9x 10++=的两根,则()()22α2009α1β2009β1++++的值是( )A .0B .1C .2000D .4000000 【答案】D【解析】【分析】由已知方程的系数可得两根的关系(根据韦达定理或者叫根与系数的关系),再将所求代数式变形可求得代数式结果.【详解】解:∵α,β是方程2x 9x 10++=的两个实数根∴2211,910,9101αβααββ==++=++=g ∴()()()()2222α2009α1β2009β1α9α12000β9β120002000200040000004000000αβαβαβ++++=++++++===g 故选D.【点睛】(1)将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.(2)二次函数为2ax x 0(0)b c a ++=不等于的两个不同实数根:α,β满足=,b c a aαβαβ+-=g . 11.某商品原售价225元,经过连续两次降价后售价为196元,设平均每次降价的百分率为x ,则下面所列方程中正确的是( )A .22251196x (﹣)=B .21961225x (﹣)=C .22251196x (﹣)= D .21961225x (﹣)=【答案】A【解析】【分析】 可先表示出第一次降价后的价格,那么第一次降价后的价格×(1﹣降低的百分率)=225,把相应数值代入即可求解.【详解】第一次降价后的价格为225×(1﹣x ),第二次降价后的价格为225×(1﹣x )×(1﹣x ),则225(1﹣x )2=196.故选A .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题.若设变化前的量为a ,变化后的量为b ,平均变化率为x ,则经过两次变化后的数量关系为a (1±x )2=b .12.某果园2011年水果产量为100吨,2013年水果产量为144吨,求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为x ,则根据题意可列方程为( ) A .144(1﹣x )2=100 B .100(1﹣x )2=144 C .144(1+x )2=100 D .100(1+x )2=144【答案】D【解析】试题分析:2013年的产量=2011年的产量×(1+年平均增长率)2,把相关数值代入即可. 解:2012年的产量为100(1+x ),2013年的产量为100(1+x )(1+x )=100(1+x )2,即所列的方程为100(1+x )2=144,故选D .点评:考查列一元二次方程;得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键.13.关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根,那么a的取值范围是( ) A.a>1 B.a=1 C.a<1 D.a<1且a≠0【答案】D【解析】【分析】由于原方程是一元二次方程,首先应该确定的是a≠0;然后再根据原方程根的情况,利用根的判别式建立关于a的不等式,求出a的取值范围.【详解】解:由于原方程是二次方程,所以a≠0;∵原方程有两个不相等的实数根,∴△=b2-4ac=4-4a>0,解得a<1;综上,可得a≠0,且a<1;故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.14.某种植基地2016年蔬菜产量为100吨,2017年比2016年产量增长8.1%,2018年比2017年产量的增长率为x,2018年底产量达到144吨,则x满足()A.100(1+x)2=144 B.100(1+8.1%)(1﹣x)=144C.100(1+8.1%)+x=144 D.100(1+8.1%)(1+x)=144【答案】D【解析】【分析】由题意知,2017年蔬菜产量为:100(1+8.1%),2018年蔬菜产量为:100(1+8.1%)(1+x),然后根据2018年底产量达到144吨列方程即可.【详解】解:∵某种植基地2016年蔬菜产量为100吨,2017年比2016年产量增长8.1%,∴2017年蔬菜产量为:100(1+8.1%),∵2018年比2017年产量的增长率为x,2018年底产量达到144吨,∴2018年蔬菜产量为:100(1+8.1%)(1+x)=144,故选D.【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的应用,熟练掌握这些知识是解题的关键.15.已知关于x 的一元二次方程3x 2+4x ﹣5=0,下列说法正确的是( )A .方程有两个相等的实数根B .方程有两个不相等的实数根C .没有实数根D .无法确定【答案】B【解析】试题分析:先求出△=42﹣4×3×(﹣5)=76>0,即可判定方程有两个不相等的实数根.故答案选B.考点:一元二次方程根的判别式.16.已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣(m+2)x+4m =0有两个不相等的实数根x 1,x 2.若11x +21x =4m ,则m 的值是( ) A .2B .﹣1C .2或﹣1D .不存在 【答案】A【解析】【分析】先由二次项系数非零及根的判别式△>0,得出关于m 的不等式组,解之得出m 的取值范围,再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=2m m +,x 1x 2=14,结合1211+x x =4m ,即可求出m 的值.【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣(m+2)x+4m =0有两个不相等的实数根x 1、x 2, ∴()202404m m m m ≠⎧⎪⎨∆=+-⋅>⎪⎩, 解得:m >﹣1且m≠0,∵x 1、x 2是方程mx 2﹣(m+2)x+4m =0的两个实数根, ∴x 1+x 2=2m m +,x 1x 2=14, ∵1211+x x =4m ,∴214m m +=4m , ∴m=2或﹣1,∵m >﹣1,∴m=2,故选A .【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式,解题的关键是:根据二次项系数非零及根的判别式△>0,找出关于m 的不等式组;牢记两根之和等于﹣b a 、两根之积等于c a.17.已知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根为2和3,则关于x 的一元二次方程20ax bx c --=的根为( ).A .2,3--B .6,1-C .2,3-D .1,6-【答案】B【解析】【分析】由2,3是一元二次方程ax 2+bx+c=0的两个实数根,可以得到如下四个等式: 2+3=-b a=-5,2×3=c a =6;再根据问题的需要,灵活变形. 【详解】 因为2和3是方程ax 2+bx+c=0的根,所以2+3=-b a ,2×3=c a ; 故一元二次方程ax 2-bx-c=0的根满足x 1x 2=-c a =-6①,x 1+x 2=-b =ab a -=5②; 将A 、B 、C 、D 的值代入①②式中,只有B 项满足.故答案选B.18.我校图书馆三月份借出图书70本,计划四、五月份共借出图书220本,设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x ,则根据题意列出的方程是( )A .70(1+x )2=220B .70(1+x )+70(1+x )2=220C .70(1﹣x )2=220D .70+70(1+x )+70(1+x )2=220【答案】B【解析】【分析】根据题意,找出等量关系,列出方程即可.【详解】三月份借出图书70本四月份共借出图书量为70×(1+x )五月份共借出图书量为70×(1+x )2则70(1+x )+70(1+x )2=220.故选:B .【点睛】本题考查一元二次方程的应用,分析题干,列出方程是解题关键.19.关于x 的一元二次方程220x ax --=的根的情况( )A .有两个实数根B .有两个不相等的实数根C .没有实数根D .由a 的取值确定 【答案】B【解析】【分析】计算出方程的判别式为△=a 2+8,可知其大于0,可判断出方程根的情况.【详解】方程220x ax --=的判别式为280a ∆=+>,所以该方程有两个不相等的实数根, 故选:B .【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式,掌握根的判别式与方程根的情况是解题的关键.20.以3和4为根的一元二次方程是( )A .27120x x -+=B .27120x x ++=C .27120x x +-=D .27120x x --=【答案】A【解析】【分析】分别求出各个选项中一元二次方程的两根之和与两根之积,进行判断即可.【详解】A 、在x 2﹣7x+12=0中,x 1+x 2=7,x 1x 2=12,此选项正确;B 、在x 2+7x+12=0中,x 1+x 2=﹣7,x 1x 2=12,此选项不正确;C 、在x 2+7x ﹣12=0中,x 1+x 2=7,x 1x 2=﹣12,此选项不正确;D、在x2﹣7x﹣12=0中,x1+x2=﹣7,x1x2=﹣12,此选项不正确;故选:A.【点睛】本题主要考查了根与系数的关系的知识,解答本题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程两个为x1,x2,则x1+x2=ba,x1•x2=ca.。

九年级数学上册 一元二次方程易错题(Word版 含答案)

九年级数学上册 一元二次方程易错题(Word版 含答案)

九年级数学上册 一元二次方程易错题(Word 版 含答案)一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题(难)1.如图,在矩形ABCD 中,6AB cm =,8AD cm =,点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动,速度是1/cm s ,过点P 作PE AC ∥交DC 于点E ,同时,点Q 从点C 出发沿CB 方向,在射线CB 上匀速运动,速度是2/cm s ,连接PQ 、QE ,PQ 与AC 交与点F ,设运动时间为()(08)<<t s t .(1)当t 为何值时,四边形PFCE 是平行四边形;(2)设PQE 的面积为2()s cm ,求s 与t 的函数关系式;(3)是否存在某一时刻t ,使得PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932; (4)是否存在某一时刻t ,使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上.【答案】(1)83t =;(2)S =299(08)8t t t -+<<;(3)当2t s =或6s 时,PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932;(4)当573256=t 时,点E 在线段PQ 的垂直平分线上 【解析】 【分析】(1)由四边形PFCE 是平行四边形,可得,PF CE ∥由PD QC 得四边形CDPQ 为平行四边形,即PD CQ =,列式82t t -=,计算可解. (2)由PE AC ∥,得=DP DE DA DC ,代入时间t ,得886-=t DE 解得364=-DE t ,34CE t =再通过S S =梯形CDPQ PDE CEQ S S --△△构建联系,可列函数式299(08)8S t t t =-+<<.(3)由PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932得299986832S t t =-+=⨯⨯,可解当2t s =或6s 时,PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932. (4)当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时,=EQ PE ,得22=EQ PE ,由Rt CEQ 与△Rt PDE 可得,222+=CE CQ EQ ,222PD DE PE +=,即2222+=+CE CQ PD DE ,代入364=-DE t ,34CE t =,2CQ t =,8PD t =-可得222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t ,计算验证可解.【详解】(1)当四边形PFCE 是平行四边形时,∥PF CE , 又∵PD QC ,∴四边形CDPQ 为平行四边形, ∴PD CQ =, 即82t t -=, ∴83t =(2)∵PE AC ∥,∴=DP DEDA DC , 即886-=t DE, ∴364=-DE t , ∴336644=-+=CE t t ,∴21133(8)66242248⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪⎝⎭△PDE S PD DE t t t t , 2113322244=⋅=⨯⨯=△CEQ S CE CQ t t t ,S 梯形11()(28)632422=+⋅=+-⋅=+CDPQ QC PD CD t t t ,∴S S =梯形299(08)8--=-+<<△△CDPQ PDE CEQ S S t t t(3)由题意,299986832-+=⨯⨯t t 解得12t =,26t =所以当2t s =或6s 时,PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932.(4)当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时,=EQ PE , ∴22=EQ PE ,在Rt CEQ 中,222+=CE CQ EQ , 在△Rt PDE 中,222PD DE PE +=, ∴2222+=+CE CQ PD DE ,即222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t 解得1573256-=t ,2573256+=-t (舍)所以当57325-=t 时,点E 在线段PQ 的垂直平分线上. 【点睛】本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用,勾股定理,平行线的性质,解一元二次方程,需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证,不可忽略.2.如图,在长方形ABCD 中,边AB 、BC 的长(AB <BC )是方程x 2-7x +12=0的两个根.点P 从点A 出发,以每秒1个单位的速度沿△ABC 边 A →B →C →A 的方向运动,运动时间为t (秒).(1)求AB 与BC 的长;(2)当点P 运动到边BC 上时,试求出使AP 长为10时运动时间t 的值;(3)当点P 运动到边AC 上时,是否存在点P ,使△CDP 是等腰三角形?若存在,请求出运动时间t 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1) AB =3,BC =4;(2) t =4;(3) t 为10秒或9.5秒或535秒时,△CDP 是等腰三角形. 【解析】试题分析:(1)解一元二次方程即可求得边长; (2)结合图形,利用勾股定理求解即可;(3)根据题意,分为:PC =PD ,PD =PC ,PD =CD ,三种情况分别可求解. 试题解析:(1)∵x 2-7x +12=(x -3)(x -4)=0 ∴1x =3或2x =4 . 则AB =3,BC =4(2)由题意得()223t-310?+=() ∴14t =,22t =(舍去) 则t =4时,AP =10.(3)存在点P ,使△CDP 是等腰三角形. ①当PC =PD =3时, t =3431++ =10(秒). ②当PD =PC(即P 为对角线AC 中点)时,AB =3,BC =4. ∴AC=2234+ =5,CP 1= 12AC =2.5 ∴t=34 2.51++ =9.5(秒) ③当PD =CD =3时,作DQ⊥AC 于Q. 1341221552DQ ⨯⨯==⨯,22129355PQ ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ∴PC=2PQ =185∴183453515t ++==(秒) 可知当t 为10秒或9.5秒或535秒时,△CDP 是等腰三角形.3.已知:在平面直角坐标系xoy 中,直线k y x b =+分别交x 、y 轴于点A 、B 两点,OA=5,∠OAB=60°.(1)如图1,求直线AB 的解析式;(2)如图2,点P 为直线AB 上一点,连接OP ,点D 在OA 延长线上,分别过点P 、D 作OA 、OP 的平行线,两平行线交于点C ,连接AC,设AD=m,△ABC 的面积为S,求S 与m 的函数关系式; (3)如图3,在(2)的条件下,在PA 上取点E ,使PE=AD, 连接EC,DE,若∠ECD=60°,四边形ADCE 的周长等于22,求S 的值.【答案】(1)直线解析式为353y x =-+53253+;(3)203S =.【解析】 【分析】(1)先求出点B 坐标,设AB 解析式为y kx b =+,把点A(5,0),B(0,分别代入,利用待定系数法进行求解即可;(2)由题意可得四边形ODCP 是平行四边形,∠OAB=∠APC=60°,则有PC=OD=5+m ,∠PCH=30°,过点C 作CH ⊥AB ,在Rt △PCH 中 利用勾股定理可求得)5m +,再由S=12AB •CH 代入相关数据进行整理即可得; (3) 先求得∠PEC=∠ADC ,设∠OPA=α,则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α,在BA 延长线上截取AK=AD ,连接OK ,DK ,DE ,证明△ADK 是等边三角形,继而证明△PEC ≌△DKO ,通过推导可得到OP=OK=CE=CD ,再证明△CDE 是等边三角形,可得CE=CD=DE ,连接OE ,证明△OPE ≌△EDA ,继而可得△OAE 是等边三角形,得到OA=AE=5 ,根据四边形ADCE 的周长等于22,可得ED=172m -,过点E 作EN ⊥OD 于点N ,则DN=52m +,由勾股定理得222EN DN DE +=, 可得关于m 的方程,解方程求得m 的值后即可求得答案.【详解】(1)在Rt △ABO 中OA=5,∠OAB=60°, ∴∠OBA=30°,AB=10 , 由勾股定理可得OB=, ∴B(0,,设AB 解析式为y kx b =+,把点A(5,0),B(0,)分别代入,得05k bb=+⎧⎪⎨=⎪⎩,∴k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,∴直线解析式为y =+ (2)∵CP//OD ,OP//CD ,∴四边形ODCP 是平行四边形,∠OAB=∠APC=60°, ∴PC=OD=5+m ,∠PCH=30°, 过点C 作CH ⊥AB ,在Rt △PCH 中 PH=52m +,由勾股定理得)5m +, ∴S=12AB •CH=110(5)2222m m ⨯⨯+=+;(3) ∵∠ECD=∠OAB=60°,∴∠EAD+∠ECD=180°,∠CEA+∠ADC=180°, ∴∠PEC=∠ADC ,设∠OPA=α,则∠OPC= ∠ADC= ∠PEC=60°+α, 在BA 延长线上截取AK=AD ,连接OK ,DK ,DE , ∵∠DAK=60°, ∴△ADK 是等边三角形, ∴AD=DK=PE ,∠ODK=∠APC , ∵PC=OD , ∴△PEC ≌△DKO ,∴OK=CE ,∠OKD=∠PEC=∠OPC=60°+α, ∠AKD= ∠APC=60° , ∴∠OPK= ∠OKB , ∴OP=OK=CE=CD , 又∵∠ECD=60°, ∴△CDE 是等边三角形, ∴CE=CD=DE ,连接OE ,∵ ∠ADE=∠APO ,DE=CD=OP , ∴△OPE ≌△EDA , ∴AE=OE , ∠OAE=60°, ∴△OAE 是等边三角形, ∴OA=AE=5 ,∵四边形ADCE 的周长等于22, ∴AD+2DE=17, ∴ED=172m-, 过点E 作EN ⊥OD 于点N ,则DN=52m +, 由勾股定理得222EN DN DE +=,即22253517()()()222m m -++=, 解得13m =,221m =-(舍去), ∴S=15325322+=203.【点睛】本题考查的四边形综合题,涉及了待定系数法,平行四边形的判定与性质,勾股定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,解一元二次方程等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.4.如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,点A (0,8),点B (m ,0),且m >0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°,得△ACD ,点O ,B 旋转后的对应点为C ,D , (1)点C 的坐标为 ;(2)①设△BCD 的面积为S ,用含m 的式子表示S ,并写出m 的取值范围; ②当S=6时,求点B 的坐标(直接写出结果即可).【答案】(1)C (8,8);(2)①S=0.5m 2﹣4m (m >8),或S=﹣0.5m 2+4m (0<m <8);②点B 的坐标为(7,0)或(2,0)或(6,0). 【解析】 【分析】(1)由旋转的性质得出AC =AO =8,∠OAC =90°,得出C (8,8)即可;(2)①由旋转的性质得出DC =OB =m ,∠ACD =∠AOB =90°,∠OAC =90°,得出∠ACE =90°,证出四边形OACE 是矩形,得出DE ⊥x 轴,OE =AC =8,分三种情况:a、当点B在线段OE的延长线上时,得出BE=OB−OE=m−8,由三角形的面积公式得出S =0.5m2−4m(m>8)即可;b、当点B在线段OE上(点B不与O,E重合)时,BE=OE−OB=8−m,由三角形的面积公式得出S=−0.5m2+4m(0<m<8)即可;c、当点B与E重合时,即m=8,△BCD不存在;②当S=6,m>8时,得出0.5m2−4m=6,解方程求出m即可;当S=6,0<m<8时,得出−0.5m2+4m=6,解方程求出m即可.【详解】(1)∵点A(0,8),∴AO=8,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴AC=AO=8,∠OAC=90°,∴C(8,8),故答案为(8,8);(2)①延长DC交x轴于点E,∵点B(m,0),∴OB=m,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴DC=OB=m,∠ACD=∠AOB=90°,∠OAC=90°,∴∠ACE=90°,∴四边形OACE是矩形,∴DE⊥x轴,OE=AC=8,分三种情况:a、当点B在线段OE的延长线上时,如图1所示:则BE=OB﹣OE=m﹣8,∴S=0.5DC•BE=0.5m(m﹣8),即S=0.5m2﹣4m(m>8);b、当点B在线段OE上(点B不与O,E重合)时,如图2所示:则BE=OE﹣OB=8﹣m,∴S=0.5DC•BE=0.5m(8﹣m),即S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);c、当点B与E重合时,即m=8,△BCD不存在;综上所述,S=0.5m2﹣4m(m>8),或S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);②当S=6,m>8时,0.5m2﹣4m=6,解得:m=4±27(负值舍去),∴m=4+27;当S=6,0<m<8时,﹣0.5m2+4m=6,解得:m=2或m=6,∴点B的坐标为(4+27,0)或(2,0)或(6,0).【点睛】本题是三角形综合题目,考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识;本题综合性强,有一定难度.5.已知二次函数y=9x2﹣6ax+a2﹣b,当b=﹣3时,二次函数的图象经过点(﹣1,4)①求a的值;②求当a ≤x ≤b 时,一次函数y =ax +b 的最大值及最小值; 【答案】①a 的值是﹣2或﹣4;②最大值=13,最小值=9 【解析】 【分析】①根据题意解一元二次方程即可得到a 的值;②根据a ≤x ≤b ,b =﹣3求得a=-4,由此得到一次函数为y =﹣4x ﹣3,根据函数的性质当x =﹣4时,函数取得最大值,x =﹣3时,函数取得最小值,分别计算即可.【详解】解:①∵y =9x 2﹣6ax +a 2﹣b ,当b =﹣3时,二次函数的图象经过点(﹣1,4) ∴4=9×(﹣1)2﹣6a ×(﹣1)+a 2+3, 解得,a 1=﹣2,a 2=﹣4, ∴a 的值是﹣2或﹣4; ②∵a ≤x ≤b ,b =﹣3 ∴a =﹣2舍去, ∴a =﹣4, ∴﹣4≤x ≤﹣3, ∴一次函数y =﹣4x ﹣3,∵一次函数y =﹣4x ﹣3为单调递减函数,∴当x =﹣4时,函数取得最大值,y =﹣4×(﹣4)﹣3=13 x =﹣3时,函数取得最小值,y =﹣4×(﹣3)﹣3=9. 【点睛】此题考查解一元二次方程,一次函数的性质,(2)是难点,正确理解a 、b 的关系得到函数解析式是解题的关键.6.某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况,下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况.小张:“该商品的进价为 24元/件.”成员甲:“当定价为 40元/件时,每天可售出 480件.”成员乙:“若单价每涨 1元,则每天少售出 20件;若单价每降 1元,则每天多售出 40件.” 根据他们的对话,请你求出要使该商品每天获利 7680元,应该怎样合理定价? 【答案】要使该商品每天获利7680元,应定价为36元/件、40元/件或48元/件 【解析】 【分析】设每件商品定价为x 元,则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件,每件商品的利润是(24)x -元,在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件,每件的利润是(24)x -元,从而可以得到答案.【详解】解:设每件商品定价为x 元.①当40x ≥时,[](24)48020(40)7680x x ---= , 解得:1240,48;x x ==②当40x <时,[](24)48040(40)7680x x -+-=, 解得:1236,40x x ==(舍去),.答:要使该商品每天获利7680元,应定价为36元/件、40元/件或48元/件. 【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用,用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键.7.阅读下列材料 计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)(+),令+=t ,则:原式=(1﹣t )(t +)﹣(1﹣t ﹣)t =t +﹣t 2﹣+t 2=在上面的问题中,用一个字母代表式子中的某一部分,能达到简化计算的目的,这种思想方法叫做“换元法”,请用“换元法”解决下列问题: (1)计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)×(+)(2)因式分解:(a 2﹣5a +3)(a 2﹣5a +7)+4 (3)解方程:(x 2+4x +1)(x 2+4x +3)=3 【答案】(1);(2)(a 2﹣5a +5)2;(3)x 1=0,x 2=﹣4,x 3=x 4=﹣2【解析】 【分析】(1)仿照材料内容,令+=t 代入原式计算.(2)观察式子找相同部分进行换元,令a 2﹣5a =t 代入原式进行因式分解,最后要记得把t 换为a .(3)观察式子找相同部分进行换元,令x 2+4x =t 代入原方程,即得到关于t 的一元二次方程,得到t 的两个解后要代回去求出4个x 的解. 【详解】 (1)令+=t ,则: 原式=(1﹣t )(t +)﹣(1﹣t ﹣)t =t +﹣t 2﹣﹣t +t 2+=(2)令a 2﹣5a =t ,则:原式=(t +3)(t +7)+4=t 2+7t +3t +21+4=t 2+10t +25=(t +5)2=(a 2﹣5a +5)2 (3)令x 2+4x =t ,则原方程转化为:(t +1)(t +3)=3t 2+4t +3=3t (t +4)=0∴t 1=0,t 2=﹣4 当x 2+4x =0时,x (x +4)=0解得:x 1=0,x 2=﹣4当x 2+4x =﹣4时,x 2+4x +4=0(x +2)2=0解得:x 3=x 4=﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算,因式分解,解一元二次方程.利用换元法一般可达到降次效果,从而简便运算.8.如图,已知AB 是⊙O 的弦,半径OA=2,OA 和AB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+a=0的两个实数根.(1)求弦AB 的长度;(2)计算S △AOB ;(3)⊙O 上一动点P 从A 点出发,沿逆时针方向运动一周,当S △POA =S △AOB 时,求P 点所经过的弧长(不考虑点P 与点B 重合的情形).【答案】(1)AB=2;(2)S △AOB 33)当S △POA =S △AOB 时,P 点所经过的弧长分别是43π、83π、103π. 【解析】试题分析:(1)OA 和AB 的长度是一元二次方程的根,所以利用一元二次方程的根与系数的关系即可求出AB 的长度;(2)作出△AOB 的高OC ,然后求出OC 的长度即可求出面积;(3)由题意知:两三角形有公共的底边,要面积相等,即高要相等.试题解析:(1)由题意知:OA 和AB 的长度是x 2﹣4x+a=0的两个实数根,∴OA+AB=﹣41-=4,∵OA=2,∴AB=2;(2)过点C作OC⊥AB于点C,∵OA=AB=OB=2,∴△AOB是等边三角形,∴AC=12AB=1,在Rt△ACO中,由勾股定理可得:OC=3,∴S△AOB=12AB﹒OC=12×2×3=3;(3)延长AO交⊙O于点D,由于△AOB与△POA有公共边OA,当S△POA=S△AOB时,∴△AOB与△POA高相等,由(2)可知:等边△AOB的高为3,∴点P到直线OA的距离为3,这样点共有3个①过点B作BP1∥OA交⊙O于点P1,∴∠BOP1=60°,∴此时点P经过的弧长为:1202180π⨯=43π,②作点P2,使得P1与P2关于直线OA对称,∴∠P2OD=60°,∴此时点P经过的弧长为:2402180π⨯=83π,③作点P3,使得B与P3关于直线OA对称,∴∠P3OP2=60°,∴此时P经过的弧长为:3002180π⨯=103π,综上所述:当S△POA=S△AOB时,P点所经过的弧长分别是43π、83π、103π.【点睛】本题主要考查了一元二次方程与圆的综合知识.涉及等边三角形性质,圆的对称性等知识,能综合运用所学知识,选择恰当的方法进行解题是关键.9.在等腰三角形△ABC中,三边分别为a、b、c,其中ɑ=4,若b、c是关于x的方程x2﹣(2k+1)x+4(k﹣12)=0的两个实数根,求△ABC的周长.【答案】△ABC的周长为10.【解析】【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑:当a=4为腰长时,将x=4代入原方程可求出k值,将k值代入原方程可求出底边长,再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长;当a=4为底边长时,由根的判别式△=0可求出k值,将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值,由b+c=a 可得出此种情况不存在.综上即可得出结论. 【详解】当a =4为腰长时,将x =4代入原方程,得:()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得:52k =当52k =时,原方程为x 2﹣6x +8=0, 解得:x 1=2,x 2=4,∴此时△ABC 的周长为4+4+2=10;当a =4为底长时,△=[﹣(2k +1)]2﹣4×1×4(k ﹣12)=(2k ﹣3)2=0, 解得:k =32, ∴b +c =2k +1=4.∵b +c =4=a ,∴此时,边长为a ,b ,c 的三条线段不能围成三角形.∴△ABC 的周长为10.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系,分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键.10.如图,某农家拟用已有的长为8m 的墙或墙的一部分为一边,其它三边用篱笆围成一个面积为12m 2的矩形园子.设园子中平行于墙面的篱笆长为ym (其中y ≥4),另两边的篱笆长分别为xm .(1)求y 关于x 的函数表达式,并求x 的取值范围.(2)若仅用现有的11m 长的篱笆,且恰好用完,请你帮助设计围制方案.【答案】(1)y =;1.5≤x ≤3;(2)长为8m ,宽为1.5m .【解析】【分析】(1)由矩形的面积公式可得出y 关于x 的函数表达式,结合4≤y ≤8可求出x 的取值范围; (2)由篱笆的长可得出y =(11﹣2x )m ,利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.【详解】(1)∵矩形的面积为12m2,∴y=.∵4≤y≤8,∴1.5≤x≤3.(2)∵篱笆长11m,∴y=(11﹣2x)m.依题意,得:xy=12,即x(11﹣2x)=12,解得:x1=1.5,x2=4(舍去),∴y=11﹣2x=8.答:矩形园子的长为8m,宽为1.5m.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用,解题的关键是:(1)利用矩形的面积公式,找出y关于x的函数表达式;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.。

一元二次方程易错题(Word版 含答案)

一元二次方程易错题(Word版 含答案)

一元二次方程易错题(Word 版 含答案)一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题(难)1.如图1,平面直角坐标系xOy 中,等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上,8BC =,顶点A在y 的正半轴上,2OA =,一动点E 从(3,0)出发,以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动,到达OB 的中点停止.另一动点F 从点C 出发,以相同的速度沿CB 向左运动,到达点O 停止.已知点E 、F 同时出发,以EF 为边作正方形EFGH ,使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧.设运动的时间为t 秒(0t ≥).(1)当点H 落在AC 边上时,求t 的值;(2)设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ,请问是存在t 值,使得9136S =?若存在,求出t 值;若不存在,请说明理由;(3)如图2,取AC 的中点D ,连结OD ,当点E 、F 开始运动时,点M 从点O 出发,以每秒25OD DC CD DO ---运动,到达点O 停止运动.请问在点E 的整个运动过程中,点M 可能在正方形EFGH 内(含边界)吗?如果可能,求出点M 在正方形EFGH 内(含边界)的时长;若不可能,请说明理由.【答案】(1)t=1;(2)存在,143t =,理由见解析;(3)可能,3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析 【解析】 【分析】(1)用待定系数法求出直线AC 的解析式,根据题意用t 表示出点H 的坐标,代入求解即可;(2)根据已知,当点F 运动到点O 停止运动前,重叠最大面积是边长为1的正方形的面积,即不存在t ,使重叠面积为9136S =,故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式,求出点H 落在BC 边上时的t 值,求出此时重叠面积为169﹤9136,进一步求出重叠面积关于t 的表达式,代入解t 的方程即可解得t 值;(3)由已知求得点D (2,1),AC=结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长. 【详解】(1)由题意,A(0,2),B(-4,0),C(4,0), 设直线AC 的函数解析式为y=kx+b , 将点A 、C 坐标代入,得:402k b b +=⎧⎨=⎩,解得:122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, ∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+, 当点H 落在AC 边上时,点E(3-t ,0),点H (3-t ,1), 将点H 代入122y x =-+,得: 11(3)22t =--+,解得:t=1;(2)存在,143t =,使得9136S =. 根据已知,当点F 运动到点O 停止运动前,重叠最大面积是边长为1的正方形的面积,即不存在t ,使重叠面积为9136S =,故t ﹥4, 设直线AB 的函数解析式为y=mx+n , 将点A 、B 坐标代入,得:402m n n -+=⎧⎨=⎩,解得:122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩, ∴直线AC 的函数解析式为122y x =+, 当t ﹥4时,点E (3-t ,0)点H (3-t ,t-3),G(0,t-3), 当点H 落在AB 边上时,将点H 代入122y x =+,得: 13(3)22t t -=-+,解得:133t =;此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=, ∵169﹤9136,∴133﹤t ﹤5, 如图1,设GH 交AB 于S ,EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得:1322t x -=+, 解得:x=2t-10, ∴点S(2t-10,t-3),将x=3-t 代入122y x =+得:11(3)2(7)22y t t =-+=-, ∴点T 1(3,(7))2t t --, ∴AG=5-t ,SG=10-2t ,BE=7-t ,ET=1(7)2t -, 211(7)24BET S BE ET t ∆==-, 21(5)2ASGS AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-, 由2527133424t t -+-=9136得:1143t =,29215t =﹥5(舍去), ∴143t =;(3)可能,35≤t≤1或t=4. ∵点D 为AC 的中点,且OA=2,OC=4, ∴点D (2,1),AC=255 易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动; 当0﹤t ﹤12时,M 在线段OD 上,H 未到达D 点,所以M 与正方形不相遇; 当12﹤t ﹤1时, 12+12÷(1+4)=35秒, ∴t =35时M 与正方形相遇,经过1÷(1+4)=15秒后,M 点不在正方行内部,则3455t ≤≤; 当t=1时,由(1)知,点F 运动到原E 点处,M 点到达C 处; 当1≤t≤2时,当t=1+1÷(4-1)=43秒时,点M 追上G 点,经过1÷(4-1)=13秒,点M 都在正方形EFGH 内(含边界),4533t ≤≤ 当t=2时,点M 运动返回到点O 处停止运动,当 t=3时,点E 运动返回到点O 处, 当 t=4时,点F 运动返回到点O 处, 当35t ≤≤时,点M 都在正方形EFGH 内(含边界), 综上,当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时,点M 可能在正方形EFGH 内(含边界).【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合,涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识,解答的关键是认真审题,提取相关信息,利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路,进而推理、探究、发现和计算.2.Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC =6,动点P 从点A 出发,在线段AC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 作匀速运动,到达点C 停止运动.设运动时间为t 秒(1)如图1,过点P 作PD ⊥AC ,交AB 于D ,若△PBC 与△PAD 的面积和是△ABC 的面积的79,求t 的值;(2)点Q 在射线PC 上,且PQ =2AP ,以线段PQ 为边向上作正方形PQNM .在运动过程中,若设正方形PQNM 与△ABC 重叠部分的面积为8,求t 的值.【答案】(1)t 1=2,t 2=4;(2)t 8. 【解析】 【分析】(1)先求出△ABC 的面积,然后根据题意可得AP =t ,CP =6﹣t ,然后再△PBC 与△PAD的面积和是△ABC 的面积的79,列出方程、解方程即可解答; (2)根据不同时间段分三种情况进行解答即可. 【详解】(1)∵Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC =6,∴S △ABC =12×6×6=18, ∵AP =t ,CP =6﹣t ,∴△PBC 与△PAD 的面积和=12t 2+12×6×(6﹣t ), ∵△PBC 与△PAD 的面积和是△ABC 的面积的79, ∴12t 2+12×6×(6﹣t )=18×79, 解之,得t 1=2,t 2=4; (2)∵AP =t ,PQ =2AP , ∴PQ =2t ,①如图1,当0≤t ≤2时,S =(2t )2﹣12t 2=72t 2=8,解得:t 1t 2 ②如图2,当2≤t ≤3时,S =12×6×6﹣12t 2﹣12(6﹣2t )2=12t ﹣25t 2=8, 解得:t 1=4(不合题意,舍去),t 2=45(不合题意,舍去), ③如图3,当3≤t ≤6时,S =12 6×6﹣12t 2=8,解得:t 1=t 2=﹣综上,t 的值为47或8.【点睛】本题考查了三角形和矩形上的动点问题,根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.3.阅读下面材料:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,它通常用字母d表示,我们可以用公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和.(公式中的n表示数的个数,a表示第一个数的值,)例如:3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=10×3+10(101)2-×2=120.用上面的知识解决下列问题.(1)计算:2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116(2)某县决定对坡荒地进行退耕还林.从2009年起在坡荒地上植树造林,以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少,下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据.问到哪一年,可以将全县所有坡荒地全部种上树木.2009年2010年2011年2012年植树后坡荒地的实际面积(公顷)25 20024 00022 40020400【答案】(1)1180;(2)到2017年,可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.【解析】【分析】(1)根据题意,由公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和,即可得到答案;(2)根据题意,设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.列出方程,解方程即可得到答案.【详解】解:(1)由题意,得6d=,20n=,2a=,∵(1)2n nS na d-=+⨯,∴20(201)22062S-=⨯+⨯401140=1180=+;(2)解:设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.根据题意,得1200x+(1)2x x-×400=25200,整理得:(x﹣9)(x+14)=0,∴x=9或x=﹣14(负值舍去).∴2009+9-1=2017;答:到2017年,可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解一元二次方程,以及计算等差数列的和公式,解题的关键是熟练掌握题意,正确找出等量关系,列出方程进行解题.4.阅读下列材料计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)(+),令+=t,则:原式=(1﹣t)(t+)﹣(1﹣t﹣)t=t+﹣t2﹣+t2=在上面的问题中,用一个字母代表式子中的某一部分,能达到简化计算的目的,这种思想方法叫做“换元法”,请用“换元法”解决下列问题:(1)计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)×(+)(2)因式分解:(a2﹣5a+3)(a2﹣5a+7)+4(3)解方程:(x2+4x+1)(x2+4x+3)=3【答案】(1);(2)(a2﹣5a+5)2;(3)x1=0,x2=﹣4,x3=x4=﹣2【解析】【分析】(1)仿照材料内容,令+=t代入原式计算.(2)观察式子找相同部分进行换元,令a2﹣5a=t代入原式进行因式分解,最后要记得把t换为a.(3)观察式子找相同部分进行换元,令x2+4x=t代入原方程,即得到关于t的一元二次方程,得到t的两个解后要代回去求出4个x的解.【详解】 (1)令+=t ,则: 原式=(1﹣t )(t +)﹣(1﹣t ﹣)t =t +﹣t 2﹣﹣t +t 2+=(2)令a 2﹣5a =t ,则:原式=(t +3)(t +7)+4=t 2+7t +3t +21+4=t 2+10t +25=(t +5)2=(a 2﹣5a +5)2 (3)令x 2+4x =t ,则原方程转化为: (t +1)(t +3)=3 t 2+4t +3=3 t (t +4)=0 ∴t 1=0,t 2=﹣4 当x 2+4x =0时, x (x +4)=0 解得:x 1=0,x 2=﹣4 当x 2+4x =﹣4时, x 2+4x +4=0 (x +2)2=0 解得:x 3=x 4=﹣2 【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算,因式分解,解一元二次方程.利用换元法一般可达到降次效果,从而简便运算.5.已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根.()1求k 的取值范围;()2设方程两实数根分别为1x ,2x ,且满足221223x x +=,求k 的值.【答案】(1)134k ≤;(2)2k =-. 【解析】 【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥,解之可得.()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值,根据条件可得到关于k 的方程,可求得k 的值,注意利用根的判别式进行取舍. 【详解】 解:()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根,0∴≥,即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥,解得134k ≤. ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-,2123x x k =-,()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+, 221223x x +=,224723k k ∴-+=,解得4k =,或2k =-,134k ≤, 4k ∴=舍去, 2k ∴=-. 【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ,b ,c 为常数)根的判别式.当0>,方程有两个不相等的实数根;当0=,方程有两个相等的实数根;当0<,方程没有实数根.以及根与系数的关系.6.(本题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ,AB 与CD 相交于点E ,线段OA 、OC 的长是一元二次方程-18x+72=0的两根(OA >OC ),BE=5,tan ∠ABO=.(1)求点A ,C 的坐标;(2)若反比例函数y=的图象经过点E ,求k 的值;(3)若点P 在坐标轴上,在平面内是否存在一点Q ,使以点C ,E ,P ,Q 为顶点的四边形是矩形?若存在,请写出满足条件的点Q 的个数,并直接写出位于x 轴下方的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)、A (12,0),C (﹣6,0);(2)、k=36;(3)、6个;Q 1(10,﹣12),Q 2(﹣3,6﹣3).【解析】试题分析:(1)、首先求出方程的解,根据OA >OC 求出两点的坐标;(2)、根据∠ABO 的正切值求出OB 的长度,根据Rt △AOB 得出AB 的长度,作EM ⊥x 轴,根据三角形相似得出点E的坐标,然后求出k的值;(3)、分别以CE为矩形的边,在点C、E处设计直角,垂线与两坐标轴相交,得到点P,进而得到点Q;以CE为矩形对角线,则以CE的中点为圆心做圆,与两坐标轴相交,得到点P,再得点Q.试题解析:(1)由题意,解方程得:x1=6,x2=12.∵OA>OC,∴OA=12,OC=6.∴A(12,0),C(﹣6,0);(2)∵tan∠ABO=,∠AOB=90°∴∴OB=16.在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB=20∵BE=5,∴AE=15.如图1,作EM⊥x轴于点M,∴EM∥OB.∴△AEM∽△ABO,∴,即:∴EM=12,AM=9,∴OM=12﹣9=3.∴E(3,12).∴k=36;(3)满足条件的点Q的个数是6,x轴的下方的Q1(10,﹣12),Q2(﹣3,6﹣3);方法:如下图①分别以CE为矩形的边,在点C、E处设计直角,垂线与两坐标轴相交,得到点P,进而得到点Q;(有三种)②以CE为矩形对角线,则以CE的中点为圆心做圆,与两坐标轴相交,得到点P,再得点Q;(有三种)如图①∵E (3,12),C (﹣6,0),∴CG=9,EG=12, ∴EG 2=CG•GP , ∴GP=16,∵△CPE 与△PCQ 是中心对称,∴CH=GP=16,QH=FG=12, ∵OC=6, ∴OH=10,∴Q (10,﹣12),如图②作MN ∥x 轴,交EG 于点N ,EH ⊥y 轴于点H ∵E (3,12),C (﹣6,0),∴CG=9,EG=12, ∴CE=15, ∵MN=CG=, 可以求得PH=3﹣6,同时可得PH=QR ,HE=CR ∴Q (﹣3,6﹣3), 考点:三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.7.某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件,A 种品牌的建材售价为每件6000元,B 种品牌的建材售价为每件9000元.(1)若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元,求至多销售A 种品牌的建材多少件?(2)该销售公司决定在2019年第二季度调整价格,将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ,B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ;同时,与(1)问中最低销售额的销售量相比,A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ,B 种品牌的建材的销售量减少了2%5a ,结果2019年第二季度的销售额比(1)问中最低销售额增加2%23a ,求a 的值.【答案】(1)至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30.【解析】【分析】(1)设销售A 品牌的建材x 件,根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元,列不等式求解;(2)根据题意列出方程求解即可.【详解】(1)设销售A 品牌的建材x 件.根据题意,得()60009000126966000x x +-≥,解这个不等式,得56x ≤,答:至多销售A 品牌的建材56件.(2)在(1)中销售额最低时,B 品牌的建材70件,根据题意,得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2523a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令%a y =,整理这个方程,得21030y y -=,解这个方程,得1230,10y y ==,∴10a =(舍去),230a =,即a 的值是30.【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系和不等关系,列方程组和不等式求解.8.如图,某农家拟用已有的长为8m 的墙或墙的一部分为一边,其它三边用篱笆围成一个面积为12m 2的矩形园子.设园子中平行于墙面的篱笆长为ym (其中y ≥4),另两边的篱笆长分别为xm .(1)求y 关于x 的函数表达式,并求x 的取值范围.(2)若仅用现有的11m 长的篱笆,且恰好用完,请你帮助设计围制方案.【答案】(1)y =;1.5≤x ≤3;(2)长为8m ,宽为1.5m .【解析】【分析】(1)由矩形的面积公式可得出y 关于x 的函数表达式,结合4≤y ≤8可求出x 的取值范围; (2)由篱笆的长可得出y =(11﹣2x )m ,利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论.【详解】(1)∵矩形的面积为12m 2,∴y =.∵4≤y ≤8,∴1.5≤x ≤3.(2)∵篱笆长11m ,∴y =(11﹣2x )m .依题意,得:xy =12,即x (11﹣2x )=12,解得:x 1=1.5,x 2=4(舍去),∴y =11﹣2x =8.答:矩形园子的长为8m ,宽为1.5m .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用,解题的关键是:(1)利用矩形的面积公式,找出y 关于x 的函数表达式;(2)找准等量关系,正确列出一元二次方程.9.已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3,且关于x 的方程2(1)320k x x a -+-=②有实数根,又k 为正整数,求代数式2216k k k -+-的值. 【答案】0.【解析】【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3,利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ,又由于关于x 的方程(k -1)x 2+3x -2a =0有实数根,分两种情况讨论,该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,又k 为正整数,利用判别式可以求出k ,最后代入所求代数式计算即可求解.【详解】解:设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩=== , 由条件,知12121211x x x x x x ++==3, 即33a -=,且94a ≤, 故a =-1,则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0,Ⅰ.当k -1=0时,k =1,x =23-,则22106k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时,∆=9-8(k -1)=17-6-8k ≥0,则178k ≤, 又k 是正整数,且k ≠1,则k =2,但使2216k k k -+-无意义.综上,代数式2216k k k -+-的值为0 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系,在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系.要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,10.如图1,已知△ABC 中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6 cm ,如果点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动,它们的速度均为2cm /s ,连接PQ ,设运动的时间为t (单位:s )(0≤t≤4).解答下列问题:(1)当t 为何值时,PQ∥BC.(2)是否存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分?若存在求出此时t 的值;若不存在,请说明理由. (3)如图2,把△APQ 沿AP 翻折,得到四边形AQPQ′.那么是否存在某时刻t 使四边形AQPQ′为菱形?若存在,求出此时菱形的面积;若不存在,请说明理由.【答案】(1)当BF PC ⊥s 时,PQ∥BC.(2)不存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分.(3)存在时刻t ,使四边形A QPQ′为菱形,此时菱形的面积为1372-cm 2. 【解析】(1)证△APQ∽△ABC,推出AP AB =AQ AC ,代入得出10210t -=28t ,求出方程的解即可;(2)假设存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分,得出方程-56t 2+6t=12×12×8×6,求出此方程无解,即可得出答案. (3)首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系,求得PQ 、OD 、和PD 的长度;然后在Rt△PQD 中,根据勾股定理列出方程(8-185t )2-(6-65t )2=(2t )2,求得时间t 的值;最后根据菱形的面积等于△AQP 的面积的2倍,进行计算即可.解:(1)BP=2t ,则AP=10﹣2t .∵PQ∥BC,∴△APQ∽△ABC,∴AP AB =AQ AC , 即10210t -=28t , 解得:t=209, ∴当t=209时,PQ∥BC. (2)如答图1所示,过P 点作PD⊥AC 于点D .∴PD∥BC,∴F ,即B ,解得6PD 6-5t =. 216625S PD AQ t t =⨯=-, 假设存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分,则有S △AQP = C S △ABC ,而S △ABC =12AC•BC=24,∴此时S △AQP =12. 而S △AQP 2665t t =-, ∴266125t t -=,化简得:t 2﹣5t+10=0, ∵△=(﹣5)2﹣4×1×10=﹣15<0,此方程无解,∴不存在某时刻t ,使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分.(3)假设存在时刻t ,使四边形AQPQ′为菱形,则有AQ=PQ=BP=2t .如答图2所示,过P 点作PD⊥AC 于点D ,则有PD∥BC,∴D ,即COD ∆,解得:OC ,h ,∴QD=AD﹣AQ=t.在Rt△PQD中,由勾股定理得:QD2+PD2=PQ2,即h,化简得:13t2﹣90t+125=0,解得:t1=5,t2=t,∵t=5s时,AQ=10cm>AC,不符合题意,舍去,∴t=52.由(2)可知,S△AQP=5 4∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×258=32+cm2.所以存在时刻t,使四边形AQPQ′为菱形,此时菱形的面积为12-cm2.“点睛”本题考查了三角形的面积,勾股定理的逆定理,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力.解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及直角三角形,根据相似三角形的对应边成比例以及勾股定理进行列式求解.。

一元二次方程易错题

一元二次方程易错题

一元二次方程易错题
1、三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程x2-10x+21=0的解,则第三边的长为()A.7 B.3 C.7或3 D.无法确定
2、已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.
(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.
3、一学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买力一批树苗,园林公司规定:如果购买树苗不超过60棵,每棵售价120元;如果购买树苗超过60棵,每增加1棵,所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元,但每棵树苗最低售价不得少于100元,该校最终向园林公司支付树苗款8800元,请问该校共购买了多少棵树苗?
4、某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的进价与销售量有如下关系:若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10部以内(含10部),每部返利0.5万元;销售量在10部以上,每部返利1万元.
(1)若该公司当月售出3部汽车,则每部汽车的进价为万元;
(2)如果汽车的售价为28万元/部,该公司计划当月赢利12万元,那么需要售出多少部汽车?(盈利=销售利润+返利)。

【数学】数学一元二次方程的专项培优易错试卷练习题及答案解析

【数学】数学一元二次方程的专项培优易错试卷练习题及答案解析

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.解下列方程:(1)x 2﹣3x=1.(2)12(y+2)2﹣6=0. 【答案】(1)12313313,22x x +-== ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析:(1)利用公式法求解即可;(2)利用直接开方法解即可;试题解析:解:(1)将原方程化为一般式,得x 2﹣3x ﹣1=0,∵b 2﹣4ac=13>0∴. ∴12313313,22x x +-==. (2)(y+2)2=12, ∴或,∴12223,223y y =-+=--2.已知关于x 的一元二次方程(x ﹣3)(x ﹣4)﹣m 2=0.(1)求证:对任意实数m ,方程总有2个不相等的实数根;(2)若方程的一个根是2,求m 的值及方程的另一个根.【答案】(1)证明见解析;(2)m 的值为±2,方程的另一个根是5.【解析】【分析】(1)先把方程化为一般式,利用根的判别式△=b 2-4ac 证明判断即可;(2)根据方程的根,利用代入法即可求解m 的值,然后还原方程求出另一个解即可.【详解】(1)证明:∵(x ﹣3)(x ﹣4)﹣m 2=0,∴x 2﹣7x+12﹣m 2=0,∴△=(﹣7)2﹣4(12﹣m 2)=1+4m 2,∵m 2≥0,∴△>0,∴对任意实数m ,方程总有2个不相等的实数根;(2)解:∵方程的一个根是2,∴4﹣14+12﹣m 2=0,解得m=±, ∴原方程为x 2﹣7x+10=0,解得x=2或x=5, 即m 的值为±,方程的另一个根是5.【点睛】 此题主要考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b 2-4ac >0时,方程有两个不相等的实数根;当△=b 2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当△=b 2-4ac <0时,方程没有实数根.3.关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有两个不等实根1x ,2x . (1)求实数k 的取值范围;(2)若方程两实根1x ,2x 满足121210x x x x ++-=,求k 的值.【答案】(1) k <14;(2) k=0. 【解析】【分析】(1)根据一元二次方程的根的判别式得出△>0,求出不等式的解集即可;(2)根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-(2k-1)=1-2k ,x 1•x 2=k 2,代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0,即可求出k 值.【详解】解:(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(2k-1)x+k 2=0有两个不等实根x 1,x 2, ∴△=(2k-1)2-4×1×k 2=-4k+1>0,解得:k <14, 即实数k 的取值范围是k <14; (2)由根与系数的关系得:x 1+x 2=-(2k-1)=1-2k ,x 1•x 2=k 2,∵x 1+x 2+x 1x 2-1=0,∴1-2k+k 2-1=0,∴k 2-2k=0∴k=0或2,∵由(1)知当k=2方程没有实数根,∴k=2不合题意,舍去,∴k=0.【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点,能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键,注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式,以防错解.4.阅读下面的例题,范例:解方程x2﹣|x|﹣2=0,解:(1)当x≥0时,原方程化为x2﹣x﹣2=0,解得:x1=2,x2=﹣1(不合题意,舍去).(2)当x<0时,原方程化为x2+x﹣2=0,解得:x1=﹣2,x2=1(不合题意,舍去).∴原方程的根是x1=2,x2=﹣2请参照例题解方程x2﹣|x﹣10|﹣10=0.【答案】x1=4,x2=﹣5.【解析】【分析】分为两种情况:当x≥10时,原方程化为x2﹣x=0,当x<10时,原方程化为x2+x﹣20=0,分别求出方程的解即可.【详解】当x≥10时,原方程化为x2﹣x+10﹣10=0,解得x1=0(不合题意,舍去),x2=1(不合题意,舍去);当x<10时,原方程化为x2+x﹣20=0,解得x3=4,x4=﹣5,故原方程的根是x1=4,x2=﹣5.【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法,解此题的关键是能正确去掉绝对值符号.5.某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2,施工队在绿化了22000米2后,将每天的工作量增加为原来的1.5倍,结果提前4天完成了该项绿化工程.(1)该项绿化工程原计划每天完成多少米2?(2)该项绿化工程中有一块长为20米,宽为8米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示),问人行通道的宽度是多少米?【答案】(1)2000;(2)2米【解析】【分析】(1)设未知数,根据题目中的的量关系列出方程;(2)可以通过平移,也可以通过面积法,列出方程【详解】解:(1)设该项绿化工程原计划每天完成x米2,根据题意得:4600022000x -﹣46000220001.5x-= 4 解得:x=2000,经检验,x=2000是原方程的解;答:该绿化项目原计划每天完成2000平方米;(2)设人行道的宽度为x 米,根据题意得,(20﹣3x )(8﹣2x )=56 解得:x=2或x=263(不合题意,舍去). 答:人行道的宽为2米.6.已知关于x 的方程x 2-(m +2)x +(2m -1)=0。

中考数学复习一元二次方程专项易错题附答案

中考数学复习一元二次方程专项易错题附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.阅读下列材料
计算:(1﹣ ﹣ )×( +
)﹣(1﹣ ﹣
)( + ),令 + =t,
则:
原式=(1﹣t)(t+ )﹣(1﹣t﹣ )t=t+ ﹣t2﹣
+t2=
在上面的问题中,用一个字母代表式子中的某一部分,能达到简化计算的目的,这种思想 方法叫做“换元法”,请用“换元法”解决下列问题:
6.关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+1=0. (1)当 b=a+2 时,利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的 a,b 的值,并求此时方程的根. 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根;(2)b=-2,a=1 时,x1=x2=﹣1. 【解析】 【详解】
x 1
x 1
4 5≥2 x 1
x 1 4 5=4+5=9,∴ y 的最小值为 9.
x 1
(3)设 S△ BOC=x,已知 S△ AOB=4,S△ COD=9
则由等高三角形可知:S△ BOC:S△ COD=S△ AOB:S△ AOD,∴ x:9=4:S△ AOD,∴ S△ AOD 36 ,∴ x
=t,则:
原式=(1﹣t)(t+ )﹣(1﹣t﹣ )t=t+﹣t2﹣ ﹣t+t2+ =
(2)令 a2﹣5a=t,则: 原式=(t+3)(t+7)+4=t2+7t+3t+21+4=t2+10t+25=(t+5)2=(a2﹣5a+5)2 (3)令 x2+4x=t,则原方程转化为: (t+1)(t+3)=3 t2+4t+3=3 t(t+4)=0 ∴ t1=0,t2=﹣4 当 x2+4x=0 时, x(x+4)=0

一元二次方程易错题

一元二次方程易错题

一元二次方程易错题一、概念理解类1. 方程(m - 1)x^2+3x - 1=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是()- 题目解析:- 对于一元二次方程的一般形式ax^2+bx + c = 0(a≠0)。

在方程(m - 1)x^2+3x - 1 = 0中,要使其为一元二次方程,二次项系数不能为0,即m - 1≠0,解得m≠1。

2. 下列方程中,是一元二次方程的是()- ①x^2+(1)/(x^2)=0;②ax^2+bx + c = 0;③(x - 1)(x + 2)=x^2-1;④3x^2-2xy - 5y^2=0;⑤x^2=0- 题目解析:- ①x^2+(1)/(x^2) = 0是分式方程,因为方程中含有分式(1)/(x^2),不符合一元二次方程整式方程的要求。

- ②ax^2+bx + c = 0,当a = 0时,它就不是一元二次方程,所以该方程不一定是一元二次方程。

- ③将(x - 1)(x + 2)=x^2-1展开得x^2+x - 2=x^2-1,化简后为x - 1 = 0,是一元一次方程,不是一元二次方程。

- ④3x^2-2xy - 5y^2=0含有两个未知数x和y,是二元二次方程,不是一元二次方程。

- ⑤x^2=0符合一元二次方程的定义ax^2+bx + c = 0(a≠0),这里a = 1,b = 0,c = 0,所以它是一元二次方程。

二、解方程类1. 解方程x^2-2x - 3 = 0- 题目解析:- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0,这里a = 1,b=-2,c = - 3。

- 可以使用求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

- 先计算判别式Δ=b^2-4ac=<=ft(-2)^2-4×1×<=ft(-3)=4 + 12 = 16。

- 然后将其代入求根公式,x=(2±√(16))/(2)=(2±4)/(2),得到x_1=(2 +4)/(2)=3,x_2=(2-4)/(2)=-1。

九年级数学易错题

九年级数学易错题

九年级数学易错题一、一元二次方程部分1. 若关于公式的一元二次方程公式的常数项为公式,求公式的值。

解析:对于一元二次方程公式,在方程公式中,常数项公式。

因为常数项为公式,所以公式。

对公式进行因式分解得公式。

解得公式或公式。

又因为方程是一元二次方程,二次项系数公式,即公式。

所以公式。

2. 解方程公式。

解析:对于一元二次方程公式(这里公式,公式,公式),我们可以使用求根公式公式。

首先计算判别式公式。

然后将公式,公式,公式代入求根公式得:公式。

二、二次函数部分1. 已知二次函数公式的图象经过公式、公式,公式三点,求这个二次函数的表达式。

解析:因为二次函数公式的图象经过公式、公式,公式三点。

把公式代入公式得公式。

把公式代入公式得公式。

把公式代入公式得公式。

将公式代入公式和公式,得到方程组公式。

由公式可得公式。

将公式代入公式得:公式,公式,公式,解得公式。

把公式代入公式得公式。

所以二次函数的表达式为公式。

2. 二次函数公式的图象向左平移公式个单位,再向上平移公式个单位,得到二次函数公式的图象,求公式、公式的值。

解析:先将公式进行逆变换。

把公式向下平移公式个单位得到公式。

再将公式向右平移公式个单位,根据“左加右减”原则,得到公式。

展开公式。

所以公式,公式。

三、旋转部分1. 在平面直角坐标系中,将点公式绕原点公式逆时针旋转公式后得到点公式,求公式的坐标。

解析:设公式绕原点公式逆时针旋转公式后的点公式。

根据旋转的性质,旋转前后的点到原点的距离不变,且旋转公式后坐标的变换规律为公式变为公式。

所以公式。

2. 如图,在公式中,公式,公式,公式,将公式绕点公式逆时针旋转公式得到公式,求公式的长。

解析:因为公式,公式,公式,根据勾股定理可得公式。

由于公式绕点公式逆时针旋转公式得到公式,则公式,公式,公式。

过公式作公式交公式延长线于公式。

因为公式,公式,所以公式。

在公式和公式中,公式,公式,公式,所以公式。

则公式,公式。

公式。

中考一元二次方程组易错题50题含答案

中考一元二次方程组易错题50题含答案

中考一元二次方程组易错题50题含答案解析一、单选题1.将一元二次方程2314x x -=-化成一般形式后,常数项为1,则二次项系数和一次项系数分别是( ) A .3、-4B .3-、-4C .3、4D .3-、42.用配方法解一元二次方程3x 2+8x ﹣3=0时,原方程可变形为( )A .242539x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B .24733x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C .289139x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭D .2433x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 3.根据关于x 的一元二次方程20x px q ++=,可列表如下:则方程20x px q ++=的一个根的范围是( )A .1.2 1.3x << B .1.1 1.2x <<C .0.51x <<D .00.5x <<4.若1x ,2x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根,则12x x +,12x x 的值分别是( ) A .1和6B .5和6-C .5-和6D .5和65.下列方程是一元二次方程的是( ) A .21x = B .212x xy +=C .213x x+=D .21xy =6.若m 是方程的根,则式子的值为( )A .2007B .2008C .2009D .20107.已知ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,且关于x 的一元二次方程2()20c b x ax c b +-+-=有两个相等的实数根,若2|5|(5)0a b -+-=,则ABC 的形状为( ) A .等腰三角形 B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形8.某小区原有一块长为50米,宽为40米的矩形健身场地,现计划在场内沿四周铺一圈宽度相等的小路,使小路所占的面积是原面积的110,设这条小路的宽度为x 米,则所列方程正确的是( )A .12(5040)504010x x +=⨯⨯B .1(50)(40)5040110x x ⎛⎫--=⨯⨯- ⎪⎝⎭C .1(502)(402)5040110x x ⎛⎫++=⨯⨯+ ⎪⎝⎭D .1(502)(402)5040110x x ⎛⎫--=⨯⨯- ⎪⎝⎭9.已知关于x 的一元二次方程:220x x m -+=有两个不相等的实数根1x ,2x ,则( ) A .120x x +<B .120x x <C .121x x >-D .121x x <10.有1人患了流感,经过两轮传染后共有81人患了流感,设每轮传染中每人传染x 人,其中20%的人因自身抵抗力强而未患流感,则根据题意可列方程为( ) A .0.2(1+x )2=81 B .(1+0.2x )2=81 C .0.8(1+x )2=81D .(1+0.8x )2=8111.若方程290x mx -+=的左边是一个完全平方式,则m 等于( ) A .3B .6C .3±D .6±12.若一元二次方程x (kx +1)﹣x 2+3=0无实数根,则k 的最小整数值是( ) A .2B .1C .0D .﹣113.随着国内新冠疫情逐步得到控制,人们的口罩储备逐渐充足,市场的口罩需求量在逐渐减少,某口罩厂六月份的口罩产量为100万只,由于市场需求量减少,八月份的产量减少到64万只,则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为( ) A .18%B .20%C .36%D .40%14.下列命题正确的是( ) A .方程210x +=没有实数根 B .方程2410mx x -+=是一元二次方程 C .方程2212x x+=是一元二次方程 D .方程()10x x -=的根为115.如果2||-2-x-6x x =0,则x 等于( ) A .±2 B .-2 C .2D .316.若关于x 的一元二次方程2500=()ax bx a ++≠的一个解是=1x -,则2013a b -+的值是( )A .2012B .2014C .2016D .201817.如果一元二次方程x 2+(m+1)x+m=0的两个根是互为相反数,那么有( ) A .m=0 B .m=﹣1C .m=1D .以上结论都不对18.若方程x 2﹣3x ﹣1=0的两根也是方程x 4+ax 2+bx +c =0的根,则a +b ﹣2c 的值为( ) A .﹣13B .﹣9C .6D .019.某工厂一月份利润1万元,二月份、三月份平均每月增长10%,那么第一季度的总利润是______万元. A .()2110%+ B .()3110%+C .()()2110%110%⎡⎤+++⎣⎦D .()()21110%110%⎡⎤++++⎣⎦20.下列方程一定有实数根的是( ) A .2x 10+=B .(2x+1)2+3=0C .(x-1)2=0D .21(x a)a 2-=二、填空题21.一元二次方程230x x +=的二次项系数是______. 22.方程2832x x -=-的一般形式为________.23.若m 是方程22310x x -+=的根,则2692019m m ++-的值为__________. 24.关于x 的方程220x mx n ++=的两个根是﹣2和1,则nm 的值为_____. 25.一元二次方程220x x +-=的解是1x =________,2x =________.26.若关于x 的一元二次方程()211x k +=有实数根,则实数k 的取值范围是______. 27.2019年12月6日,某市举行了2020年商品订货交流会,参加会议的每两家公司之间都签订了一份合同,所有参会公司共签订了28份合同,则共有_____家公司参加了这次会议.28.一个三角形的两边长分别为4cm 和7cm ,第三边长是一元二次方程x 2﹣10x+21=0的实数根,则三角形的周长是____cm .29.方程(5)(21)3x x --=的根的判别式24b ac -= ____30.已知3是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣n =0的一个根,则n 的值为_____.31.某种植物主干长出若干数目的分支,每个分支长出相同数目的小分支,若主干、分支、小分支的总数为31,则每个分支长出小分支的数目为 _____.32.在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为a *b =a 2-b 2,根据这个规则,方程(x +2)*3=0的解为__________33.已知关于x 的方程230x x m --=的一个根是1,则m =___________.34.若关于x 的一元二次方程()22141102a x a x ⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭的一次项系数为0,则a 的值为_____.35.如图是一张长8cm ,宽7cm 的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形(阴影部分),剩余部分可制成底面积是15cm 2的有盖的长方体铁盒.设剪去的正方形的边长为x cm . 则列出的方程是____________36.新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一”儿童节,商场决定采取适当的降价措施.经调查,如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元,则每件童装应降价多少元?设每件童装应降价x 元,可列方程为__________.37.已知1x ,2x 是一元二次方程240x x m -+=的两根,若11x =,则1212x x x x +-=______.38.已知关于x 的方程210ax bx ++=的两根为1和2,则方程()2(1)110a xb x -+-+=的两根分别______.39.在实数范围内分解因式:2345x x --=_____________________40.已知在长方形纸片ABCD 中,6AB =,5AD =,现将两个边长分别为a 和b 的正方形纸片按图1、图2两种方式放置(图1、图2中两张正方形纸片中均有部分重叠),长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示,设图1中阴影部分的面积为1S ,图2中阴影部分的面积为2S ;若213-=S S 时,则b =_________;若再在边长为a 大正方形的左上角摆放一个边长为b 的小正方形(如图3),当18S =时,则图3中阴影部分的面积3S =_________.三、解答题 41.按要求作答(1)解方程2320x x --+=;(2)计算)(111. 42.解方程: (1)260x x +-= (2)()32142x x x +=+ 43.解方程: (1)232x x -=- (2)2610x x +-=44.某农户要利用一面25m 长的墙建一个长方形的养鸡场,一边靠墙,另三边用木栅栏围成,木栅栏长40m .(1)鸡场的面积能达到2200m 吗?如果能,求出与墙平行的边的长; (2)鸡场的面积能达到2210m 吗?为什么? 45.解方程:()213123x -=. 46.2(1)69x x +=-;(2) 3x2+6x-4=047.江苏是全国首个自然村“村村通宽带”省份.我市某村为了将当地农产品外销,建立了淘宝网店.该网店于今年7月底以每袋25元的成本价收购一批农产品.当商品售价为每袋40元时,8月份销售256袋.9、10月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上,10月份的销售量达到400袋.设9、10这两个月月平均增长率不变.(1)求9、10这两个月的月平均增长率;(2)为迎接双“十一”,11月份起,该网店采用降价促销的方式回馈顾客,经调查发现,该农产品每降价1元/每袋,销售量就增加5袋,当农产品每袋降价多少元时,该淘宝网店11月份获利4250元? 48.用适当的方法解下列方程: (1)(2x+1)2=(x ﹣1)2 (2).49.已知函数24)1(2m m y m x +-++=是关于x 的二次函数. (1)满足条件的m 的值;(2)m 为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x 为何值时,y 随x 的增大而增大?(3)m 为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时当x 为何值时,y 随x 的增大而减小?50.如图,矩形ABCD 的边BC 在x 轴上,AD 与y 轴交于点E ,线段OB 、OC 的长是方程28150x x -+=的两根()OC OB <且tan 2EBO ∠=.(1)求点A 的坐标;(2)直线BE 从点B 出发,以每秒一个单位长度的速度沿x 轴正方向平移,设移动时间为()08t t ≤≤秒,直线BE 扫过四边形EBCD 的面积为S ,求S 关于t 的函数解析式; (3)平面内是否存在点P ,使得以B 、E 、C 、P 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出P 点坐标,若不存在,请说明理由.参考答案:1.B【分析】先化为一般形式,再解答.【详解】解:∵一元二次方程2314x x -=-化成一般形式后,常数项为1,则:23410x x --+=,∵二次项系数和一次项系数分别为3-、-4, 故选B .【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式为ax 2+bx +c =0(a ≠0).其中a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项,解题关键是掌握一元二次方程的一般形式. 2.A【分析】根据完全平方公式,配方即可. 【详解】解:3x 2+8x ﹣3=0, x 2+83x ﹣1=0,x 2+83x +(43)2=1+(43)2242539x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选:A .【点睛】此题考查的是解一元二次方程:配方法,掌握完全平方公式的特征是解决此题的关键. 3.B【分析】根据二次函数的增减性可得答案.【详解】由x=1.1时,x 2+px+q−1=−0.59;x=1.2时,x 2+px+q−1=0.84, 由函数的增减性,得x 2+px+q=1的正数解满足1.1 1.2x <<, 故选B.【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解,解题的关键是掌握估算一元二次方程的近似解的方法. 4.D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可.【详解】解:∵1x ,2x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根, ∵x 1+x 2=5,x 1x 2=6, 故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根与系数的关系:若方程两个为x 1,x 2,则x 1+x 2=-b a ,x 1•x 2=ca.5.A【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可.【详解】解:A .21x =是一元二次方程,故此选项符合题意;B .212x xy +=是二元二次方程,不是一元二次方程,故此选项不符合题意;C .213x x+=是分式方程,不是整式方程,不是一元二次方程,故此选项不符合题意; D .21xy =是二元二次方程,不是一元二次方程,故此选项不符合题意. 故选:A .【点睛】本题考查一元二次方程的定义.只含有一个未知数,并且所含末知数的项的最高次数是2的整式方程,叫一元二次方程.理解和掌握一元二次方程的定义是解题的关键. 6.C【详解】试题分析:把m 代入x 2+x ﹣1=0得到m 2+m ﹣1=0,即m 2+m=1,把m 2+m=1代入式子,再将式子变形为23()2006m m ++的形式,即可求出式子的值为2009.故选C .考点:一元二次方程的解. 7.D【分析】先根据根的判别式以及勾股定理的逆定理求得ABC 为直角三角形;由2|5|(5)0a b -+-=得55a b ==,,从而可得ABC 为等腰直角三角形.【详解】解:∵一元二次方程2()20c b x ax c b +-+-=有两个相等的实数根,∵2(2)4()()0a c b c b ∆=--+-=,即222+=a b c , ∵ABC 为直角三角形, 又2|5|(5)0a b -+-=, ∵55a b ==,,∵ABC 为等腰直角三角形, 故选:D .【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系:当0∆>时,方程有两个不相等的两个实数根;当Δ0=时,方程有两个相等的两个实数根;当Δ0<时,方程无实数根.也考查了勾股定理的逆定理及等腰三角形的判定、非负数的应用. 8.D【分析】由小路的宽度可得出小路围起来的部分是长为(50-2x )米、宽为(40-2x )米的矩形,再利用矩形的面积计算公式,即可得出关于x 的一元二次方程,此题得解. 【详解】解:∵这条小路的宽度为x 米,∵小路围起来的部分是长为(50-2x )米、宽为(40-2x )米的矩形. 依题意得:(50-2x )(40-2x )=50×40×(1110-). 故选:D .【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 9.D【分析】根据题意及一元二次方程根的判别式可得440m ->,然后再根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程:220x x m -+=有两个不相等的实数根1x ,2x , ∵440m ->,解得:1m <, ∵由韦达定理可得:121220,1b cx x x x m a a+=-=>==<, ∵只有D 选项正确; 故选D .【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键. 10.D【分析】由于每轮传染中平均一个人传染的人数是x 人,其中20%的人因自身抵抗力强而未患流感,那么经过第一轮后有(1+0.8x )人患了流感,经过第二轮后有(1+0.8x )2人患了流感,再根据经过两轮传染后共有81人患了流感即可列出方程.【详解】解:依题意得(1+0.8x )2=81, 故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的运用,解此类题关键是根据题意分别列出不同阶段患了流感的人数. 11.D【分析】根据配方法计算即可;【详解】∵方程290x mx -+=的左边是一个完全平方式, ∵()22293x mx x mx -+=-+±,∵()236m =⨯±=±, 故答案选D .【点睛】本题主要考查了配方法的应用,准确计算是解题的关键. 12.A【分析】由根的判别式与方程根的情况,可得△<0,从而求出k 的取值范围,再确定k 的最小整数,同时要保证二次项系数不为0.【详解】∵一元二次方程x (kx +1)﹣x 2+3=0,即(k ﹣1)x 2+x +3=0无实数根, ∵∵=b 2﹣4ac =1﹣4×(k ﹣1)×3<0且k ﹣1≠0, 解得k >1312. ∵k 的最小整数值是2. 故选:A .【点睛】本题主要考查了一元二次方程的概念和根的判别式,熟练掌握根据一元二次方程根的情况列出不等式是解题的关键. 13.B【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x ,利用等量关系:八月份的产量=六月份的产量×(1-产量的月平均减少率2),即可得出关于x 的一元二次方程,解方程取其合适的值即可得出结论.【详解】解:设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x , 依题意得:2100(1)64x -=,解得:10.220%==x ,2 1.8x =(不符合题意,舍去),∵该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为20%.故选:B .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,理解题意,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.14.A【分析】根据一元二次方程的判别式、一元二次方程的定义和一元二次方程的解,对选项一一进行分析,即可得出答案.【详解】解:A 、对方程210x +=,∵40∆=-<,∵方程没有实数根,故原说法正确; B 、对方程2410mx x -+=,当0m =时,是一元一次方程,故原说法错误;C 、方程2212x x+=是分式方程,故原说法错误; D 、方程()10x x -=的根为0或1,故原说法错误.故选:A【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式、一元二次方程的定义和一元二次方程的解,解本题的关键在熟练掌握相关一元二次方程的知识点.15.C【分析】根据“当分式的分子为0,且分母不为0时,分式的值为0”得到|x|-2=0,且x 2-x-6≠0,解之即可得到答案.【详解】解:由题意可得22060x x x ⎧-=⎨--≠⎩解得x=2故选C .【点睛】本题考查了分式的值为0的条件.当分式的分子为0,且分母不为0时,分式的值为0.16.D【分析】将=1x -代入2500=()ax bx a ++≠可得5a b -=-,然后将所求式子变形,再将a b -的值代入,即可解答本题.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程2500=()ax bx a ++≠的一个解是=1x -,∵50a b -+=,∵5a b -=-,∵()()20132013201352018a b a b -+=--=--=.故选D .【点睛】本题考查一元二次方程的解和代数式求值,解题的关键是明确一元二次方程的解的含义.17.B【详解】试题解析:设该一元二次方程的两个根分别是12x x 、,则根据题意知()1210x x m +=-+=, 即10m +=,解得, 1.m =-故选B .点睛:一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别是12,.x x 则1212,.b c x x x x a a+=-⋅= 18.A【分析】设m 是方程x 2﹣3x ﹣1=0的一个根.根据方程解的意义知,m 既满足方程x 2﹣3x ﹣1=0,也满足方程x 4+ax 2+bx +c =0,将m 代入这两个方程,并整理,得(9+a )m 2+(6+b )m +c +1=0.从而可知:方程x 2﹣3x ﹣1=0的两根也是方程(9+a )x 2+(6+b )x +c +1=0的根,这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程,然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可.【详解】解:设m 是方程x 2﹣3x ﹣1=0的一个根,则m 2﹣3m ﹣1=0,所以m 2=3m +1.由题意,m 也是方程x 4+ax 2+bx +c =0的根,∵m 4+am 2+bm +c =0,把m 2=3m +1代入此式,得:(3m +1)2+am 2+bm +c =0,整理得:(9+a )m 2+(6+b )m +c +1=0.∵方程x 2﹣3x ﹣1=0的两根也是方程(9+a )x 2+(6+b )x +c +1=0的根,这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程,从而有(9+a )x 2+(6+b )x +c +1=k (x 2﹣3x ﹣1)(其中k 为常数),∵b =﹣3a ﹣33,c =﹣a ﹣10.∵a +b ﹣2c =a +(﹣3a ﹣33)﹣2(﹣a ﹣10)=﹣13.故选A .【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解.该题难度比较大,在解题时,采用了“转化法”,即将所求转化为求(9+a )x 2+(6+b )x +c +1=k (x 2﹣3x ﹣1)(其中k 为常数)的相应的系数间的关系.19.D【分析】首先表示出二月份的利润:一月份的利润()110%⨯+,再表示三月份的利润:二月份的利润()110%⨯+,即三月份的利润=一月份的利润()2110%⨯+,最后第一季度的总利润为前三个月份的利润相加起来即可. 【详解】解:一月份的利润为1万元∴二月份的利润为()1110%⨯+万元,即()110%+万元三月份的利润为()21110%⨯+万元,即()2110%+万元,∴第一季度的总利润为()()21110%110%⎡⎤++++⎣⎦万元 故选择D.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用——增长率问题,若设变化前的量为a ,变化后的量为b ,平均变化率为x ,则经过两次变化后的数量关系为()21a x b +=,得到前三月份的量总和的等量关系是解决本题的关键.20.C【分析】根据非负数的性质可判断A 、B 中的方程没有实数解,方程D 中只有a≥0时,方程有实数解.【详解】A. 2x =−1 ,方程没有实数解,所以 A 选项错误;B. 将方程移项得:2(2x 1)3+=-,该方程没有实数解,故B 选项错误;C. x−1=0, 则 1x =2x =1 ,所以 C 选项正确;D. 当 a<0 时,方程没有实数解,所以 D 选项错误.故选C.【点睛】本题主要考查用配方法解一元二次方程,熟悉掌握是关键.21.1【分析】根据一元二次方程的一般形式直接填空即可.【详解】一元二次方程230x x +=,二次项系数为1.故答案为1.【点睛】一元二次方程的一般形式是:ax 2+bx +c =0(a ,b ,c 是常数且a ≠0)特别要注意a ≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax 2叫二次项,bx 叫一次项,c 是常数项.其中a ,b ,c 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.22.23820x x +-=【分析】一元二次方程的一般形式是:ax 2+bx+c=0(a ,b ,c 是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件,根据一元二次方程的一般形式将2832x x -=-变形为23820x x +-=即可得到答案.【详解】根据一元二次方程的一般形式将2832x x -=-变形为23820x x +-=,则答案为23820x x +-=.【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式,解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式.23.2022【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案.【详解】由题意可知:2m 2−3m+1=0,∵2m 2−3m =-1∵原式=-3(2m 2−3m )+2019=2022.故答案为:2022.【点睛】本题考查一元二次方程的解,解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义,本题属于基础题型.24.﹣8【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m 、n 的值,将其代入nm 中即可求出结论.【详解】解:∵关于x 的方程220x mx n ++=的两个根是﹣2和1, ∵1,222m n -=-=-, ∵m =2,n =﹣4,∵()428nm ⨯=﹣=﹣. 故答案为:﹣8.【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握根与系数的关系是解题的关键.25. 1 -2【分析】根据因式分解法进行求解一元二次方程即可.【详解】解:220x x +-=()()120x x -+=∵10x -=或20x +=解得:121,2x x ==-;故答案为1;-2.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.26.0k ≥##0k ≤【分析】根据平方的非负性可得结果.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程()211x k +=有实数根,而()2110x +≥,∵0k ≥.故答案为:0k ≥.【点睛】本题考查了一元二次方程的解,掌握平方的非负性是解决此题的关键. 27.8【分析】每家公司都与其他公司鉴定了一份合同,设有x 家公司参加,则每个公司要签()1x -份合同,签订合同共有()112x x -份. 【详解】设共有x 家公司参加了这次会议, 根据题意,得:12x (x ﹣1)=28, 整理,得: x 2﹣x ﹣56=0,解得:x 1=8,x 2=﹣7(不合题意,舍去) ,答:共有8家公司参加了这次会议.故答案是:8.【点睛】考查了一元二次方程的应用,甲乙之间互签合同,只能算一份,本题属于不重复记数问题,类似于若干个人,每两个人之间都握手,握手总次数.解答中注意舍去不符合题意的解.28.18.【详解】试题分析:由方程x2﹣10x+21=0,利用分解因式得:(x﹣3)(x﹣7)=0,解得:x=3或x=7,当x=3时,三角形三边分别为3cm,4cm,7cm,3+4=7,不合题意,舍去;当x=7时,三角形三边为4cm,7cm,7cm,此时周长为4+7+7=18cm,考点:1、解一元二次方程-因式分解法;2、三角形三边关系29.105【详解】解:方程(x-5)(2x-1)=3化为一元二次方程的一般形式为:2x2-11x+2=0,∵∵=b2-4ac=(-11)2-4×2×2=105.故答案为:105.30.3【分析】根据一元二次方程的定义,把x=3代入x2﹣2x﹣n=0中得到关于n的方程,然后关于n的方程即可.【详解】解:把x=3代入x2﹣2x﹣n=0得9﹣6﹣n=0,解得n=3.故答案为3【点睛】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.31.5【分析】先设每个分支长出小分支的数目为x,再根据题意列出一元二次方程进行求解即可.【详解】解:设每个分支长出小分支的数目为x,依题意得:2++=,x x131整理得:2300+-=,x x解得:1x =5,2x =﹣6(不合题意,舍去).故答案为:5.【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,解决本题的关键是列出正确的方程进行求解.32.1或-5【详解】直接根据定义的这种运算的规则求解.解:∵a ﹡b=a 2-b 2,∵(x+2)﹡3=(x+2)2-32,解方程(x+2)2-32=0,(x+2+3)(x+2-3)=0,∵x 1=1,x 2=-5.33.2-【分析】已知1x =是方程的根,把1x =代入原方程即可得到关于m 的方程,即可求得m 的值.【详解】解:∵关于x 的方程230x x m --=的一个根是1,∵21310m -⨯-=,解得 2m =-.故答案为:2-.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义,把方程的解代回原方程是解决本题的关键.34.12【分析】利用一元二次方程定义进行计算即可.【详解】解:由题意得:-(4a 2-1)=0,且a+12≠0,解得:a=12, 故答案为:12.【点睛】此题主要考查了一元二次方程,关键是掌握只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.35.(4-x )(7-2x )=15【分析】根据矩形铁皮的长与宽,以及底面面积列出三组等式解方程组,整理即可得出结果.【详解】设长方体铁盒底面长为acm ,宽为bcm正方形边长为xcm由题意得:2()82715x b a x ab +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩①②③ 由②得72a x =-,由①得4b x =-,代入③中得:()()47215x x --=故答案为:()()47215x x --=【点睛】本题考查一元二次方程的应用,三元方程组解法,关键在于设多个未知数,利用代数表示列出方程.36.(40﹣x )(20+2x )=1200.【详解】试题分析:设每件童装应降价x 元,可列方程为:(40﹣x )(20+2x )=1200.故答案为(40﹣x )(20+2x )=1200.考点:1.由实际问题抽象出一元二次方程;2.销售问题.37.1【分析】将11x =代入240x x m -+=求得一元二次方程的一般式,再利用根与系数的关系求解即可.【详解】解:将11x =代入240x x m -+=中21410m -⋅+=解得:3m =∵2430x x -+=∵12x x ,是一元二次方程2430x x -+=的两根,∵124x x +=,123x x =,∵1212431x x x x +-=-=.故答案为:1.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系,若12x x 、是方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根,则12b x x a+=-,12c x x a =,掌握相关知识是解题的关键.38.2、3【分析】观察给出的两个方程,得到1、2也是关于()x 1-的方程()2a(x 1)b x 110-+-+=的两个根,求出x 即可.【详解】两个方程的系数、结构相同,所以1、2也是关于()x 1-的方程()2a(x 1)b x 110-+-+=的两个根,x 11∴-=或x 12-=,x 2∴=或x 3=.故答案为2、3.【点睛】本题考查了一元二次方程的根的意义.解决本题的关键是:根据给出的方程特点,得到给出的两个方程的解相同.39.3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【分析】令23450x x --=,求出方程的两个解,再写成因式分解性质即可.【详解】令23450x x --=解方程得:12x x ==∵2345x x --=3(x x故答案为3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查实属范围内的因式分解,利用一元二次方程求解可以很容易解决此类问题,熟练掌握一元二次方程求解是解题关键.40. 3 6.5##132【分析】先将1S ,2S ,3S 用用a ,b 表示,再分别根据213-=S S 与18S =,211S =计算即可.【详解】解:在图1中,根据题意得:1ABCD S S S S S =--+长方形小正方形大正方形大小正方形重叠部分,∵()2122656630a b a b b a ab S b =⨯--++-=-+-+,同理在图2中,2ABCD S S S S S =--+长方形小正方形大正方形大小正方形重叠部分,∵()2222655530a b a b b a ab S b =⨯--++-=-+-+∵()()2221530630S a ab b a ab b S b -=-+-+--+-+=, 又∵213-=S S ,∵3b =.又∵18S =,即26308a ab b -+-+=,将3b =代入方程26308a ab b -+-+=中得:2363308a a -+-⨯+=解得:124,1a a ==-(舍去),∵4a =.在图3中,3S S S S S =+--小正方形大正方形左上空白大直角三角形右下空白小直角三角形 ∵()2222232211111111134343222222222a b a b b a a b ab S =+-+-=+-=⨯+⨯-⨯⨯= 故答案为:3;132. 【点睛】本题考查列代数式,整式的混合运算,解一元二次方程,掌握相关知识和技巧是解题的关键.本题难度较大,所列式子较复杂,需要较强的阅读理解能力和对数学思想的运用能力.41.(1) 12x x ==(2) 3 【分析】(1)本题是一元二次方程,解答该方程可选择直接用公式法解答.(2)本题为实数的运算,首先把两个乘法先运算出来,第一个乘法式可以由平方差公式计算,第二个乘法可先把根式化为最简根式再进行约分,最后加减时,注意合并同类根式.【详解】(1)解:原方程中a=-1,b=-3,c=2首先用根的判别式24b ac =-△判断该二元一次方程是否有解得:224(3)4(1)2170b ac =-=--⨯-⨯=>,所以该方程有解由公式x =可得:x =即解得12x x ==(2)原式=211-511=-3=故答案为(1) 12x x == (2) 3 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和实数的混合运算,需要注意的是一元二次方程解答直接首先用根的判别式判断是否有解,在实数运算过程中,先算乘除与乘方后算加减,有括号的先算括号里面的.涉及到根式运算时,务必要化简根式与合并同类根式 42.(1)13x =-,22x =; (2)123x =,212x =-.【分析】(1)利用因式分解法求解即可;(2)移项,利用因式分解法求解即可.【详解】(1)解:260x x +-=则()()320x x +-=解得13x =-,22x =(2)解:()32142x x x +=+()()3212210x x x +-+=,即()()32210x x -+=, 解得123x =,212x =-. 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解,解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法. 43.(1)11x =,22x =(2)13x =-23x =-【分析】(1)根据因式分解法解一元二次方程;(2)根据配方法解一元二次方程即可求解.【详解】(1)解:232x x -=-,移项得,2320x x -+=,即(1)(2)0x x --=,∵10x -=或20x -=,解得:11x =,22x =;(2)解:2610x x +-=,移项得,261x x +=,配方得,26910x x ++=,即2(3)10x +=,∵3x +=,解得:13x =-23x =-【点睛】本题考查了解一元二次方程,掌握解一元二次方程的方法是解题的关键. 44.(1)面积能达到2200m ,此时与墙平行的边的长是20米(2)不能,理由见解析【分析】(1) 设鸡场的一边为x m ,另外两边均为402x -m ,根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可;(2)根据题意得出方程, 求出其解的情况就可以得出结论;(1)设与墙平行的边的长是x 米,则()402200x x -÷=,整理得x 2-40x +400=0,解得:x 1=x 2=20,解得2025x =<,即面积能达到2200m ,此时与墙平行的边的长是20米.(2)由()402210x x -÷=得2404200x x -+=,此时Δ0<,所以面积不能达到2210m .【点睛】本题考查了运用矩形的面积公式建立一元二次方程求解的运用,一元二次方程根的判别式的运用,解答时根据矩形的面积公式建立一元二次方程是关键.45.129,3x x ==-【分析】先去分母,然后利用直接开平方法进行求解即可. 【详解】解:()213123x -= ()2336x -=,36x -=±,解得:129,3x x ==-.【点睛】本题主要考查直接开平方法,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.46.(1)123x x ==-;(2)12x x ==【详解】试题分析:(1)移项后把方程的左边分解因式得到即(x +3)2=0,求出方程的解即可;(2)首先求出b2-4ac 的值,代入公式 试题解析:(1)2 69x x +=-,移项得:2x 690x ++=,即(x +3)2=0,解得:x 1=x 2=-3,∵原方程的解是123x x ==-.(2)2=b 43648840ac ∆-=+=>,所以方程有两个不相等的实数根,x =所以12x x == 47.(1)、25%;(2)、5元.【分析】(1)设9、10这两个月的月平均增长率为x,根据题意列出方程,从而求出x的值得出答案;(2)设当每袋降价m元时,根据题意列出方程,求出m的值得出答案.【详解】(1)设9、10这两个月的月平均增长率为x,根据题意可得:256(1+x)2=400,解得:x1=14,x2=-94(不合题意舍去).答:9、10这两个月的月平均增长率为25%;(2)设当每袋降价m元时,根据题意可得:(40-25-m)(400+5m)=4250,解得:m1=5,m2=-70(不合题意舍去).答:当每袋降价5元时,获利4250元考点:一元二次方程的应用48.(1)x1=0,x2=2;(2)x1=﹣10,x2=8【详解】试题分析:(1)先移项得到(2x+1)2﹣(x﹣1)2=0,然后利用因式分解法解方程;(2)先把方程化为整式方程x2+2x﹣80=0,再解整式方程,然后进行检验确定原方程的解.解:(1)(2x+1)2﹣(x﹣1)2=0,(2x+1+x﹣1)(2x+1﹣x+1)=0,2x+1+x﹣1=0或2x+1﹣x+1=0,所以x1=0,x2=2;(2)去分母得120(x+2)﹣120x=3x(x+2),整理得x2+2x﹣80=0,(x+10)(x﹣8)=0,解得x1=﹣10,x2=8,检验:当x=﹣10,x(x+2)≠0;当x=8,x(x+2)≠0,则x1=﹣10,x2=8是原方程的解,所以原方程的解为x1=﹣10,x2=8.考点:解一元二次方程-因式分解法;解分式方程.49.(1)m1=2,m2=﹣3;(2)当m=2时,抛物线有最低点,最低点为:(0,1),当x>0时,y随x的增大而增大;(3)当m=﹣3时,函数有最大值,最大值为1,当x>0时,y 随x的增大而减小【分析】(1)利用二次函数的定义得出关于m的等式,解方程即可得出答案;。

一元二次方程易错题(有答案)教师用

一元二次方程易错题(有答案)教师用

一元二次方程易错题一、填空题:1、关于x 的方程02)1()1(22=--+-x m x m ,当m 1≠± 时,它是一元二次方程,当m= 1- 时,它是一元一次方程,2、方程x x =2的解是 方程x x -=2的根是 3 、若412+-mx x 是一个完全平方式,则m 为 1±4、关于x 的一元二次方程05.12=+-x kx 有两个不相等的实数根,则k 的取值范围 k <16且k≠05、配方:=++c bx ax 26、 已知:方程0122=+x ,那么判别式的值为 -87、关于x 的一元二次方程mx 2+m 2=x 2_2x+1的一个根为0,那么m 的值为 ﹣1 .8、已知a 是方程x 2﹣x ﹣1=0的一个根,则a 4﹣3a ﹣2的值为 0 .9、当m = -6 时,方程250x x m ++=的两根之差是710、若二次三项式432++x ax 在实数范围内不能因数分解,那么a 的取值范围是二、选择题11、若方程(m ﹣2)x |m|+x ﹣1=0是关于x 的一元二次方程,则m 的值为( C )A 、±2B 、2C 、﹣2D 、不能确定12、把一元二次方程2x (x ﹣1)=(x ﹣3)+4化成一般式之后,其二次项系数与一次项分别是( C )A 、2,﹣3B 、﹣2,﹣3C 、2,﹣3xD 、﹣2,﹣3x13、已知(x 2+y 2)2﹣(x 2+y 2)﹣12=0,则(x 2+y 2)的值是( B )A 、﹣3B 、4C 、﹣3或4D 、3或﹣414、关于x 的方程(m ﹣2)x 2﹣2x+1=0有实数解,那么m 的取值范围是( B )A 、m≠2B 、m≤3C 、m≥3D 、m≤3且m≠215、下列命题正确的是( B )A 方程2x =c -一定无实数解B 方程),0(02≠=+a c ax 若a,c 同号,此方程没有实数根C 方程1162-=xx 是一元二次方程 D 方程02222=+-x x 没有数学根16、若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( B )A、k>﹣1B、k>﹣1且k≠0C、k<1D、k<1且k≠017、下列一元二次方程中,两根之和为2的是( D )A、x2﹣x+2=0B、x2﹣2x+2=0C、x2﹣x﹣2=0D、2x2﹣4x+1=018、关于x的一元二次方程(m+1)x2+x+m2﹣2m﹣3=0有一根是0,则m的值是( D )A、m=3或m=﹣1B、m=﹣3或m=1C、m=﹣1D、m=319、关于未知数x的方程ax2+4x﹣1=0只有正实数根,则a的取值范围为( A )A、﹣4≤a≤0B、﹣4≤a<0C、﹣4<a≤0D、﹣4<a<020、已知a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根,则a3+8β+6的值为( D )A、﹣1B、2C、22D、3021、某厂一月份生产某机器100台,计划二、三月份共生产280台.设二、三月份每月的平均增长率为x,根据题意列出的方程是(B )A、100(1+x)2=280B、100(1+x)+100(1+x)2=280C 、100(1﹣x )2=280D 、100+100(1+x )+100(1+x )2=280三、解方程1、09)23(42=-+x2、 22)13()12(-=+x3、22350x x --=4、06322=--x x5、x x 9)23(2=-6、 2)1()3(22=-++x x四、解答题1、证明:无论买m 取何值,方程08)5(2=-+-+m x m x 一定有两个不同的实数根。

一元二次方程易错题

一元二次方程易错题

一元二次方程1、解下列一元二次方程(1)-3X2-2x+4=0 (2)(3x-4)2=3-2(4-3x)(3)4(x-3)2=9(x-2)22 、已知关于x的方程X2-(k+2)x+2k=0.(1)求证:无论k取任何实数,方程总有实数根;(2)若等腰三角形ABC的一边a=3,另两边b,c恰好是这个方程的两根,求 ABC3、已知关于x的方程X2-(k-1)x+k+1=0的两实数根的平方和等于11.(1)求k的值;(2)利用根与系数的关系作一个一元二次方程,使它的一个根是原方程的两个根的和,另一个根底原方程两根差的平方。

4、已知关于x的方程kX2+3x-1=0有实数根,则k的取值范围是多少?5、若ɑ、ß是方程X2+2x-2015=0的两个实数根,则ɑ2+3ɑ+ß的值是多少?6、已知方程X2+ax+b=0,有一个根是b(b≠0)求a+b的值。

7、已知一元二次方程X2-6x+6=0的两个根分别是两个正方形的边长,则这两个正方形面积和是多少?8、已知x2-5xy+6y2=0,则y:x=_________。

9、已知关于x的一元二次方程(m-1)X2+x+1=0有实数根,则m的取值范围是多少?10、设a、b是一个直角三角形两直角边的长,且(a2+b2)(a2+b2+1)=30,则这个直角三角形的斜边长是多少?11、水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,经调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售,张阿姨若想每天盈利300元,需将每斤的售价降低多少元?12、某商场以每件300元的价格购进一批衣服,当每件售价为350元时,每天可销售30件,为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施,每件降价1元,平均每天可多售出2件,问:(1)降价前,该商场每天的利润是多少元?(2)每件商品降价多少元时,商场的日盈利可达到2100元?。

中考一元二次方程组易错题50题含答案解析

中考一元二次方程组易错题50题含答案解析

中考一元二次方程组易错题50题含答案解析一、单选题1.方程2560x x --=的两根之和为( ) A .6-B .5C .5-D .12.已知2是关于x 的方程230x mx m +-=的一个根,则这个方程的另一个根为( ) A .6-B .6C .3-D .33.以﹣2和3为两根的一元二次方程是( ) A .x 2+x ﹣6=0 B .x 2﹣x ﹣6=0 C .x 2+6x ﹣1=0D .x 2﹣6x+1=04.关于x 的一元二次方程2(2)10a x x -+-=,则a 的条件是( ) A .4a ≠B .3a ≠C .2a ≠D .1a ≠5.下列一元二次方程中,没有实数根的是( ) A .2210x x -+= B .2210x x -+= C .2210x x --=D .220x x -=6.下列方程中,属于一元二次方程是 ( ) A .2x 2﹣y ﹣1=0B .x 2=1C .x 2﹣x (x+7)=0D .211x = 7.一元二次方程220x px +-=的一个根为2,则p 的值以及另一个根为( ) A .1,-1B .1,1C .-1,-1D .-1,18.从正方形的铁皮上,截去2cm 宽的一条长方形,余下的面积是248cm ,则原来的正方形铁皮的面积是( ) A .28cmB .29cmC .264cmD .268cm9.观察下列两个多项式相乘的运算过程:根据你发现的规律,若(x +m )(x +n ) =x 2-5x +4,则m +n 的值为( )A .-5B .5C .-4D .410.关于x 的一元二次方程x 2+mx+m 2﹣7=0的一个根是﹣2,则m 的值可以是( )A .﹣1B .3C .﹣1或3D .﹣3或111.下列各式中是一元二次方程的是( ) A .x 2+1=1xB .x (x+1)=x 2﹣3C .2x 2+3x ﹣1D .﹣x 2+3x ﹣1=12.若方程()23630m x x --+=有解,则m 的取值范围是( )A .6m <B .6m ≤C .6m ≤且3m ≠D .6m <且3m ≠13.某商品原价300元,连续两次降价a%后售价为260元,下面所列方程正确的是( )A .300(1+a%)2=260B .300(1﹣a 2%)=260C .300(1﹣2a%)=260D .300(1﹣a%)2=26014.方程x 2+x ﹣6=0的两个根为( ) A .x 1=﹣3,x 2=﹣2 B .x 1=﹣3,x 2=2 C .x 1=﹣2,x 2=3D .x 1=2,x 2=3 15.下列方程中是一元二次方程的是( )①ax 2+bx +c =0;①231223x x --=;①(x ﹣2)(2x ﹣1)=0;①2120x x --=;①21y =;①x 2=8.A .①①①①B .①C .①①①①①①D .①①①16.若关于x 的一元二次方程2(2)40x a x --+=有两个相等的实数根,则实数a 的值为( ) A .2B .-2C .-2或6D .-6或217.下列方程中是一元二次方程的有( )①2320ax x -+= ①(1)(1)y y x x -=+ ① 2244x x = ①22226x y y x -+=+A .①①B .①①C .①D .①①①18.若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+c=0有两个相等的实数根,则常数c 的值为( ) A .±4B .4C .±16D .1619.已知方程22610x x +-=的两个实数根为12,x x ,则1211+x x 的值为( ) A .-3B .3C .6D .-6二、填空题20.已知x =1是一元二次方程x 2﹣mx+1=0的一个解,则m 的值是_____. 21.方程22021x x =的解是 _____.22.已知m 是一元二次方程2250x x --=的一个根,则223-+=m m _________; 23.一元二次方程210x 的解__________.24.2017年生产1吨某种商品的成本是3000元,由于原料价格上涨,两年后,2019年生产1吨该商品的成本是5000元,求该种商品成本的年平均增长率.设年平均增长率为x ,则所列的方程应为_______(不增加其它未知数). 25.请写出一个以1、2为根的一元二次方程________26-3为根,且二次项系数为1的一元二次方程为_______. 27.一元二次方程223x +=中,=a _______,b =________,c =________. 28.若m 是方程2310x x -+=的一个根,则2262021m m -+的值为_____.29.今年“国庆节”和“中秋节”双节期间,某微信群规定,群内的每个人都要发一个红包,并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包,若此次抢红包活动,群内所有人共收到90个红包,则该群一共有_____人.30.方程22430x x +-=和2230x x -+=的所有的根的和等于____.31.若1x ,2x 是方程2x x 20160--=的两个实数根,则312x 2017x 2016+-=______. 32.在等腰ABC 中,顶角36A =︒,点D 在一腰AC 上,连接BD ,线段BD 与底边BC 的长相等.若6BC =.则AD =________;若6AB =,则AD =________.33.如果关于x 的方程x 2-5x + a = 0有两个相等的实数根,那么a=_____. 34.如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为x 1,x 2,那么2017120182x x 的值为________________. 35.已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程27100x x -+=的根,则这个三角形的周长为_______________;36.下面这首诗生动的刻画出了周瑜的一生: 大江东去浪淘尽,千古风流数人物; 而立之年督东吴,早逝英年两位数;十位恰小个位三,个位平方与寿符.(注:而立之年表示人到了30岁) 聪明的同学,你一定能算得出周瑜去世时的年龄是__________岁. 37.已知一元二次方程22510x x --=的两根为1x ,2x ,则12x x +=___38.已知关于x 的方程mx 2+2x +5m =0有两个不相等的实数根12,x x ,且122x x <<,则实数m 的取值范围为________.39.如果a 、b 、c 为互不相等的实数,且满足关系式b 2+c 2=2a 2+16a+14与bc =a 2﹣4a ﹣5,那么a 的取值范围是_____.三、解答题40.随着国内新能源汽车的普及,为了适应社会的需求,全国各地都在加快公共充电桩的建设,某省2018年公共充电桩的数量为2万个,2020年公共充电桩的数量为2.88万个.(1)求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率;(2)按照这样的增长速度,预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩?41.解下列方程:2104x --=. 42.据统计,某市2018年某种品牌汽车的年产量为64万辆,到2020年,该品牌汽车的年产量达到100万辆.若该品牌汽车年产量的年平均增长率从2018年开始五年内保持不变.(1)求年平均增长率;(2)求该品牌汽车2021年的年产量为多少万辆?43.如图,利用一面墙(墙长20米),用总长度43米的篱笆(图中实线部分)围成一个矩形鸡舍ABCD ,且中间共留两个1米的小门,设篱笆BC 长为x 米.(1)AB=________米(用含x 的代数式表示);(2)若矩形鸡舍ABCD 面积为150平方米,求篱笆BC 的长;(3)矩形鸡舍ABCD 面积是否有可能达到210平方米?若有可能,求出相应x 的值;若不可能,则说明理由. 44.解分式方程21211x x x -=++ 45.关于x 的一元二次方程2220x x m ++=有两个不相等的实数根. (1)求m 的取值范围;(2)若1x ,2x 是一元二次方程2220x x m ++=的两个根,且22128x x +=,求m 的值.46.材料阅读:材料1:符号“1212a ab b ”称为二阶行列式,规定它的运算法则为12122112a a a b a b b b =-.如525(4)2(3)1434=⨯--⨯-=---.材料2:我们已经学习过求解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等方程的解法,虽然各类方程的解法不尽相同,但是蕴含了相同的基本数学思想——转化,把未知转化为已知.用“转化”的数学思想,还可以解一些新的方程.例如,求解部分一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠时,我们可以利用因式分解把它转化为一元一次方程来求解.如解方程:2320x x ++=.①232(1)(2)x x x x ++=++①(1)(2)0x x ++=.故10x +=或20x +=.因此原方程的解是11x =-,22x =-.根据材料回答以下问题: (1)二阶行列式3642=___________;二阶行列式3321x x =中x 的值为__________. (2)求解241214x x x -=+中x 的值.(3)结合材料,若31x x m x-=,618x n -=,且0m n -<,求x 的取值范围.47.某地特产槟榔芋深受欢迎,某商场以7元/千克收购了3 000千克优质槟榔芋,若现在马上出售,每千克可获得利润3元.根据市场调查发现,近段时间内槟榔芋的售价每天上涨0.2元/千克,为了获得更大利润,商家决定先贮藏一段时间后再出售.根据以往经验,这批槟榔芋的贮藏时间不宜超过100天,在贮藏过程中平均每天损耗约10千克.(1)若商家将这批槟榔芋贮藏x 天后一次性出售,请完成下列表格:(2)将这批槟榔芋贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润29 000元? 48.综合与探究如图,抛物线2y ax x c =++与x 轴交于A ,()4,0B 两点(点A 在点B 的左侧).与y 轴交于点()0,4C ,直线BC 经过B ,C 两点,点Р是第一象限内抛物线上的一个动点,连接PB ,PC .(1)求抛物线的函数表达式;(2)设点P 的横坐标为n ,四边形OBPC 的面积为S ,求S 的最大值并求出此时点P 的坐标;(3)在(2)的条件下,当S 取最大值时,在PC 的垂直平分线上是否存在一点M ,使BPM △是等腰三角形?若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.49.已知:如图,△ABC 是边长为4cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发,分别沿AB 、BC 方向匀速移动,它们的速度都是1cm /s ,当点P 到达点B 时,P 、Q 两点停止运动,设点P 的运动时间t (s ),解答下列各问题: (1)求ABC ∆的面积;(2)当t 为何值是,△PBQ 是直角三角形?(3)探究:是否存在某一时刻t ,使四边形APQC 的面积是ABC ∆面积的八分之五?如果存在,求出t 的值;不存在请说明理由.参考答案:1.B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解. 【详解】解:由一元二次方程根与系数的关系可得: 一元二次方程的两根之和为:551--=, 故选B .【点睛】本题考查一元二次方程的应用,熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键. 2.A【分析】把2x =代入方程230x mx m +-=中,得出22230m m +-=,解得4m =,再解一元二次方程即可.【详解】解:把2x =代入方程230x mx m +-=中, 得出:22230m m +-=, 解得:4m =,①关于x 的方程为:24120x x +-=, ①12x =,26x =-,①这个方程的另一个根为6-, 故选:A .【点睛】此题考查了一元二次方程的解,因式分解法解一元二次方程,得出该方程是解题的关键. 3.B【分析】由一元二次方程根与系数关系,设该方程一般形式中a=1,1x +2x =1=-b;1x 2x = -6 = c,即可得出答案.【详解】解:将1x =2, 2x =-3代入公式,可得到x 2-(2-3)x+2⨯(-3)=0,即x 2﹣x ﹣6=0, 所以B 选项是正确的.【点睛】本题考查了根与系数的关系.解题时熟记一元二次方程的根与系数的关系: 1x +2x =ba-,1x 2x =c a.4.C【分析】根据一元二次方程的定义求解即可.【详解】解:①2(2)10a x x -+-=是关于x 的一元二次方程, ①20a -≠, 即2a ≠, 故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,方程的两边都是整式,只含有一个未知数,并且整理后未知数的最高次数都是2,象这样的方程叫做一元二次方程. 5.A【分析】根据一元二次方程根的判别式24b ac ∆=- 逐个求解即可.【详解】A 、224(1)42170b ac ∆=-=--⨯⨯=-<,没有实数根,故A 正确; B 、224(2)4110b ac ∆=-=--⨯⨯=,有两个相等的实数根,故B 不正确;C 、224(1)42(1)90b ac ∆=-=--⨯⨯-=>,有两个不相等的实数根,故C 不正确;D 、224(2)41040b ac ∆=-=--⨯⨯=>,有两个不相等的实数根,故D 不正确. 故选:A .【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式24b ac ∆=-,解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程根的情况. 6.B【分析】本题根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0;(3)是整式方程;(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.【详解】解:A 、含有2个未知数,故选项错误;B 、含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2,是一元二次方程,故选项正确;C 、化简后未知数的最高次数是1,故选项错误;D 、是分式方程,故选项错误. 故选B .【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.7.C【分析】先设方程的另一个根为t ,再由根与系数的关系得出关于t 、p 的方程组,求解即可得到答案.【详解】设方程的另一个根为t ,由题意得 222t p t +=-⎧⎨=-⎩ 解得11t p =-⎧⎨=-⎩ ∴ p 的值以及另一个根分别为-1,1.故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,即设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 的两个实数根为12,x x ,则1212·b x x ac x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,熟练掌握知识点是解题的关键. 8.C【分析】设原来的正方形铁皮的边长为cm x ,则截去2cm 宽的一条长方形的长为()2cm x -,根据长方形面积公式列方程求出正方形的边长,再用正方形面积公式求解.【详解】解:原来的正方形铁皮的边长为cm x ,则截去2cm 宽的一条长方形的长为()2cm x -,根据题意,得()2=48x x -,解得:18x =,26x =-(不符合题意,舍去),①原来的正方形铁皮的面积()222864cm x ===,故选:C .【点睛】本题考查一元二次方程的应用,理解题意,设恰当未知数,找等量关系,列出方程是解是的关键. 9.A【分析】从题例两个多项式相乘的运算过程中发现规律,利用规律求出m 、n 的值再求和.【详解】解:根据题意得,m+n=-5,mn =4故选:A.【点睛】本题考查多项式乘以多项式,理解例题中的运算过程并发现规律是解题关键.10.C【分析】先把x=﹣2代入方程x2+mx+m2﹣7=0得4﹣2m+m2﹣7=0,然后解关于m的方程即可.【详解】解:把x=﹣2代入方程x2+mx+m2﹣7=0得4﹣2m+m2﹣7=0,解得m=﹣1或3.故选:C.【点睛】本题主要考查一元一次方程的解及根与系数的关系,解题关键是熟练掌握计算法则.11.D【详解】只含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程为一元二次方程,根据这一定义可以对各选项作出相应的判断.A选项:该方程中含有1x,不是整式方程,故A选项不符合题意.B选项:该方程整理后为x=-3. 整理后的方程为一元一次方程,故B选项不符合题意.C选项:因为本选项的式子不是等式,所以该式子不是方程. 故C选项不符合题意.D选项:在该方程中,等号两侧均为整式,只有x一个未知数且x的最高次数为2,符合一元二次方程的定义,故D选项符合题意.故本题应选D.点睛:本题考查了一元二次方程的相关概念. 在判断一个方程是否是一元二次方程的时候,首先应该判断该方程是否是整式方程,如果不是整式方程,则一定不是一元二次方程. 如果原方程是整式方程,则应对原方程进行必要的整理,利用整理后的方程进行判断. 另外,方程是含有未知数的等式. 不是等式的式子一定不是方程,也不可能是一元二次方程.12.B【分析】直接分方程为一次方程和二次方程时分别讨论即可.【详解】当方程为一次方程时,30m-=,解得3m=,当方程为二次方程时,此时30m -≠,即3m =,①方程()23630m x x --+=有解,①()264330m ∆=--⨯≥,解得6m ≤,①6m ≤且3m =,综上所述,m 的取值范围是6m ≤,故选B .【点睛】本题考查了根的判别式,解题时注意不要忘记方程为一次方程的情况. 13.D【分析】根据降价后的价格=原价(1﹣降低的百分率),本题可先表示第一次降价后商品的售价,再根据题意表示第二次降价后的售价,即可列出方程.【详解】解:当商品第一次降价a%时,其售价为300(1﹣a%),当商品第二次降价a%后,其售价为300(1﹣a%)2.故所列方程为:300(1﹣a%)2=260,故选:D .【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用,找出合适的等量关系是解题的关键. 14.B【分析】利用因式解法即可求解.【详解】原方程因式分解得:()()320x x +-=,①1232x x =-=,.故选:B .【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.15.D【分析】分析:根据一元二次方程的定义(含有一个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)进行判断即可.【详解】解:①当a =0时,ax 2+bx +c =0不是一元二次方程; ①231223x x --=是一元二次方程;①(x ﹣2)(2x ﹣1)=0是一元二次方程; ①2120x x--=是分式方程;①21y =不是一元二次方程;①x 2=8是一元二次方程.①是一元二次方程的是①①①.故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,解题时,要注意两个方面:1、一元二次方程包括三点:①是整式方程,①只含有一个未知数,①所含未知数的项的最高次数是2;2、一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c =0(a ≠0).16.C【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根,得到根的判别式等于0,求出a 的值即可. 【详解】关于x 的一元二次方程2(2)40x a x --+=有两个相等的实数根,∴∆2(2)160a =--=,即2(2)16a -=,开方得:24a -=或24a ,解得:6a =或2-.故选:C .【点睛】此题考查了根的判别式,熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键.17.C【分析】根据一元二次方程满足的条件:一个未知数、未知数的最高次数为2、二次项系数不为0、整式方程对每小题分析判断即可求解.【详解】①、当a≠0时是一元二次方程,当a=0时是一元一次方程,不符合题意; ①、有两个未知数,不是一元二次方程,不符合题意;①、是分式方程,不是整式方程,不符合题意①、整理方程为:2260y y -=+,是一元二次方程,符合题意,只有①是一元二次方程,故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键,对于一般式20(0)ax bx c a ++=≠,特别要注意a≠0这一条件,这是做题过程中容易忽视的知识点.18.B【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于c 的一元一次方程,解方程即可得出结论.【详解】①方程x 2-4x+c=0有两个相等的实数根,①①=(-4)2-4×1×c=16-4c=0,解得:c=4.故选B .【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程,由方程有两个相等的实数根结合根的判别式得出关于c 的一元一次方程是解题的关键.19.C【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出123x x +=-,1212x x =-,将1211+x x 通分,代入数值即可求解.【详解】①方程2610x x +-=的两个实数根为12,x x ,①123x x +=-,1212x x =-,①121212113612x x x x x x +-+===-, 故选:C .【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系、分式的化简求值,熟练掌握根与系数关系是解答的关键.20.2【分析】把x =1代入一元二次方程x 2﹣mx+1=0,可得110,m -+=再解方程可得答案.【详解】解: x =1是一元二次方程x 2﹣mx+1=0的一个解,110,m ∴-+=2.m ∴=故答案为:2.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解,掌握方程的解的含义是解题的关键. 21.1202021x x ==,【分析】根据因式分解法解该一元二次方程即可.【详解】解:22021x x =220210x x -=(20021)x x -=①0x =或20210x -=①1202021x x ==,故答案为:1202021x x ==,.【点睛】本题考查解一元二次方程,掌握因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键. 22.8【分析】把x m =代入原方程可得:225,m m -= 从而可得答案. 【详解】解: m 是一元二次方程2250x x --=的一个根,2250,m m ∴--=225,m m ∴-=2238.m m ∴-+=故答案为:8.【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义,求代数式的值,掌握方程的解使方程的左右两边相等是解题的关键.23.1x =±【分析】利用直接开平方法求解可得.【详解】解:①x 2-1=0,①x 2=1,则x=±1.故答案为x=±1.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.24.()2300015000x +=.【分析】设这种商品的年平均增长率为x ,根据题意列方程即可.【详解】解:设这种商品的年平均增长率为x ,由题意得:()2300015000x +=,故答案为:()2300015000x +=.【点睛】本题考查增长率问题,解题的关键是明确题意,根据等量关系列出方程. 25.2320x x --=【详解】试题分析:以1、2为根的一元二次方程是(1)(2)0x x --=,即2320x x --=. 考点:一元二次方程的解26.(230x x +--3的和与积,然后根据根与系数的关系求出满足条件的一元二次方程.【详解】解:①33,3--①以-31的一元二次方程为(230x x +-.故答案为:(230x x +-.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,熟记两根之和与两根之积是解题的关键.27. 2 -3【分析】先移项把一元二次方程化为一般形式,然后进行求解即可【详解】解:①223x +=,①2230x -=,①2a =,b =3c =-,故答案为:23-.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式,解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的一般形式为()200ax bx c a ++=≠.【分析】由已知可得2310m m -+=,即有231m m -=-,整体代入易求得2262021m m -+的值.【详解】①m 是方程2310x x -+=的一个根,①2310m m -+=,即231m m -=-,①222620212(3)20212(1)20212019m m m m -+=-+=⨯-+=,故答案为:2019.【点睛】本题考查了一元二次方程的解,求代数式的值,用整体思想求值更简便. 29.10【分析】设该群一共有x 人,则每人收到(x ﹣1)个红包,根据群内所有人共收到90个红包,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.【详解】解:设该群一共有x 人,则每人收到(x ﹣1)个红包,依题意,得:x (x ﹣1)=90,解得:x 1=10,x 2=﹣9(舍去).故答案为10.【点睛】此题考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.30.-2.【分析】先利用根的判别式求出根的情况,再利用两根和的公式计算即可得到答案.【详解】在方程22430x x +-=中2442(3)400∆=-⨯⨯-=>,①方程22430x x +-=有两个不相等的实数根;在方程2230x x -+=中2(2)41380∆=--⨯⨯=-<,①方程2230x x -+=没有实数根.设方程22430x x +-=的两个实数根分别为m 、n ,则有422m n +=-=-. 故答案为:-2【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式公式,根与系数的关系公式,正确掌握计算公式是解题的关键.【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x12=x1+2016,再计算x13=x12+2016x1=2017x1+2016,则原式可化简为2017(x1+x2),然后利用根与系数的关系求解.【详解】①x1是方程x2-x-2016=0的两实数根,①x12=x1+2016,①x13=x12+2016x1=x1+2016+2016x1=2017x1+2016,①原式=2017x1+2016+2017x2-2016=2017(x1+x2),①x1,x2是方程x2-x-2016=0的两实数根,①x1+x2=1,①原式=2017.故答案为2017.【点睛】本题主要考查了根与系数的关系,根据已知将原式化简,利用根与系数的关系是解答此题的关键.32.63-+【分析】根据等边对等角和外角的性质证明①ABD=①A,得到AD=BD=BC=6;设AD=x,再证明①ABC①①BDC,得到AB BCBD DC=,解之即可.【详解】解:①①A=36°,AB=AC,①①ABC=①C=(180°-36°)÷2=72°,①BD=BC,①①BDC=①C=72°,①①BDC=①A+①ABD,①①ABD=72°-36°=36°,①①ABD=①A,①AD=BD,①BD=BC=6,①AD=6;若AB=AC=6,设AD=x,则BD=BC=x,①①BDC =①ABC =72°,①C =①C ,①①ABC ①①BDC , ①AB BC BD DC=,即66x x x =-,解得:x =3-+或3--(负值舍去),经检验:x =3-+①AD =3-+,故答案为:6,3-+【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,外角的性质,解分式方程和一元二次方程,解题的关键是灵活运用等边对等角,从而证明三角形相似. 33.254【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根,则方程的根的判别式等于0,由此可列出关于a 的等式,求出a 的值.【详解】①关于x 的方程x 2-5x+a=0有两个相等的实数根,①①=25-4a=0,即a=254. 故答案为:254. 【点睛】一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.34.23- 【分析】由方程有两个实数根,得到根的判别式的值大于等于0,列出关于k 的不等式,利用非负数的性质得到k 的值,确定出方程,求出方程的解,代入所求式子中计算即可求出值.【详解】①方程x 2+kx+239342k k -+=0有两个实数根, ①b 2-4ac=k 2-4(34k 2-3k+92)=-2k 2+12k-18=-2(k-3)2≥0, ①k=3, 代入方程得:x 2+3x+94=(x+32)2=0, 解得:x 1=x 2=-32, 则2017120182x x =-23. 故答案为-23.【点睛】此题考查了根的判别式,非负数的性质,以及配方法的应用,求出k 的值是本题的突破点.35.6或12或15【分析】先利用因式分解的方法解方程得到x 1=2,x 2=5,根据题意讨论:当腰为2,底边为5时;当腰为5,底边为2时,然后分别计算出等腰三角形的周长.【详解】①x 2-7x +10=0,①(x -2)(x -5)=0,①x -2=0或x -5=0,①x 1=2,x 2=5,当腰为2,底边为5时,2+2=4<5,不能构成三角形;当腰为5,底边为2时,等腰三角形的周长为2+5+5=12;当腰为2,底边为2时,等腰三角形的周长为2+2+2=6,当腰为5,底边为5时,等腰三角形的周长为5+5+5=15.故答案为6或12或15.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法:就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了三角形三边的关系.36.36【分析】这是一道数字问题的应用题,等量关系隐于诗词中,及周瑜去世时年龄为两位数,十位数字比个位数字小3,个位数字的平方等于这两个数,于是可以设个位数字为x ,列出一元二次方程求解.【详解】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x ,则十位数字为x -3,由题意,得 x 2=10(x -3)+x ,即x 2-11x +30=0,解得x 1=5,x 2=6,当x =5时,周瑜的年龄25岁,非而立之年,不合题意,舍去;当x =6时,周瑜的年龄36岁,符合题意,故答案为36.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.找到关键描述语,找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.37.52【详解】根据韦达定理,可得,12x x +=5238.−49<m <0 【分析】根据关于x 的方程mx 2+2x +5m =0有两个不相等的实数根x 1,x 2,可以得到m 的取值范围,再根据x 1<2<x 2和一元二次方程和二次函数的关系,可以利用分类讨论的方法求出m 的取值范围,本题得以解决.【详解】解:①关于x 的方程mx 2+2x +5m =0有两个不相等的实数根x 1,x 2,①2024?50m m m ≠⎧⎨-⎩>,解得,m <0或0<m ①x 1<2<x 2,①当m <0时,m ×22+2×2+5m >0, 解得−49<m <0;当0<m m ×22+2×2+5m <0, 解得m 无解;故答案为:−49<m <0. 【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、根的判别式、一元二次方程与二次函数的关系,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和一元二次方程的知识解答.39.a >﹣1且a≠﹣56且a≠﹣78 【详解】试题解析:222221614,45b c a a bc a a +=++=--,22222()216142(45)4844(1)b c a a a a a a a ∴+=+++--=++=+,即有2(1).b c a +=±+又245bc a a =--,所以b ,c 可作为一元二次方程222(1)450x a x a a ±++--=①的两个不相等实数根,故224(1)4(45)24240a a a a =+---=+>,解得a >−1.若当a =b 时,那么a 也是方程①的解,222(1)450a a a a a ∴±++--=,即24250a a --=或650a --=,解得,a =或5.6a =- 当a =b =c 时,16140450a a +=--=,, 解得75,84a a =-=- (舍去),所以a 的取值范围为1a >-且56a ≠-且a ≠7.8a ≠-故答案为1a >-且56a ≠- 且a ≠7.8a ≠- 40.(1)2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%.(2)预计2021年该省将新增0.576万个公共充电桩.【分析】(1)设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x ,根据该省2018年及2020年公共充电桩,即可得出关于x 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论;(2)根据该省2021年公共充电桩数量=该省2020年公共充电桩数量×增长率,即可求出结论.【详解】解:(1)设2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为x , 依题意得:2(1+x )2=2.88,解得:x 1=0.2=20%,x 2=-2.2(不合题意,舍去).答:2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率为20%.(2)2.88×20%=0.576(万个).答:预计2021年该省将新增0.576万个公共充电桩.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.41.11x =,21x =- 【分析】利用公式法解一元二次方程,注意解题规范.【详解】解:1a =,b =14c =-. (221Δ441404b ac ⎛⎫=-=-⨯⨯-=> ⎪⎝⎭, 方程有两个不相等的实数根,(21x -===⨯即11x =+,21x =. 【点睛】本题考查公式法解一元二次方程,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.42.(1)25%;(2)125万辆.【分析】(1)设年平均增长率为x ,根据“该品牌汽车2018年和2020年的产量”列出关于x 的一元二次方程,最后求解即可;(2)根据“该品牌汽车2021年的年产量=2020年的年产量×(1+增长率)”计算即可.【详解】解:(1)设年平均增长率为x ,依题意,得:64(1+x )2=100,解得:x 1=0.25=25%,x 2=﹣2.25(不合题意,舍去).答:年平均增长率为25%;(2)100×(1+25%)=125(万辆).答:该品牌汽车2021年的年产量为125万辆.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用,审清题意、找准等量关系、列出关于x的一元二次方程成为解答本题的关键.43.(1)(45−3x)(2)篱笆BC的长为10米(3)不可能,理由见解析【分析】(1)设篱笆BC长为x米,根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门,即可用含x的代数式表示出AB的长;(2)根据矩形鸡舍ABCD面积为150平方米,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较大值即可得出结论;(3)根据矩形鸡舍ABCD面积为210平方米,即可得出关于x的一元二次方程,由根的判别式Δ=-55<0,可得出该方程没有实数根,进而可得出矩形鸡舍ABCD面积不可能达到210平方米.【详解】(1)解:设篱笆BC长为x米,①篱笆的全长为43米,且中间共留两个1米的小门,①AB=43+2−3x=45−3x(米).故答案为:(45−3x).(2)解:依题意,得:(45−3x)x=150,整理,得:x2−15x+50=0,解得:x1=5,x2=10.当x=5时,AB=45−3x=30>20,不合题意,舍去;当x=10时,AB=45−3x=15,符合题意.答:篱笆BC的长为10米.(3)解:不可能,理由如下:依题意,得:(45−3x)x=210,整理得:x2−15x+70=0,①Δ=(−15)2−4×1×70=−55<0,①方程没有实数根,。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式易错题集锦(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式易错题集锦(带答案)

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式易错题集锦单选题1、已知函数y=x−4+9x+1(x>−1),当x=a时,y取得最小值b,则a+b=()A.−3B.2C.3D.8答案:C分析:通过题意可得x+1>0,然后由基本不等式即可求得答案解:因为x>−1,所以9x+1>0,x+1>0,所以y=x−4+9x+1=x+1+9x+1−5≥2√(x+1)⋅9x+1−5=1,当且仅当x+1=9x+1即x=2时,取等号,所以y的最小值为1,所以a=2,b=1,所以a+b=3,故选:C2、已知正数x,y满足x+y=4,则xy的最大值()A. 2B.4C. 6D.8答案:B分析:直接使用基本不等式进行求解即可.因为正数x,y满足x+y=4,所以有4=x+y≥2√xy⇒√xy≤2⇒xy≤4,当且仅当x=y=2时取等号,故选:B3、不等式|5x−x2|<6的解集为()A.{x|x<2,或x>3}B.{x|−1<x<2,或3<x<6}C.{x|−1<x<6}D.{x|2<x<3}答案:B分析:按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可.解:∵|5x −x 2|<6,∴−6<5x −x 2<6∴{x 2−5x −6<0x 2−5x +6>0⇒{−1<x <6x 〈2或x 〉3⇒−1<x <2或3<x <6则不等式的解集为:{x|−1<x <2或3<x <6} 故选:B.4、若正数a,b 满足a +b =ab ,则a +2b 的最小值为( ) A .6B .4√2C .3+2√2D .2+2√2 答案:C分析:由a +b =ab ,可得1a +1b =1,则a +2b =(a +2b)(1a +1b ),化简后利用基本不等式可求得其最小值 因为正数a,b 满足a +b =ab , 所以1a +1b =1,所以a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+a b +2ba≥3+2√ab ⋅2b a=3+2√2, 当且仅当a b =2b a,即a =√2+1,b =2+√22时取等号,故选:C5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ,都满足不等式3x −1≤0,则实数a 的取值范围为( )A .(−∞,−13)B .(−∞,−13] C .[−13,+∞)D .(−13,+∞) 答案:C分析:使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ,都满足不等式3x −1≤0,则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集,求出两个不等式的解集,利用集合的包含关系列不等式求解. 解:由3x −1≤0得x ≤13,因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ,都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集,又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0, 当a =1,x ∈{−1}⊆(−∞,13],符合;当a <1,x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13],则−a ≤13,∴1>a ≥−13, 当a >1,x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13],符合, 故实数a 的取值范围为[−13,+∞).故选:C.6、设a >b >c >0,则2a 2+1ab +1a (a−b )−10ac +25c 2取得最小值时,a 的值为( ) A .√2B .2C .4D .2√5 答案:A解析:转化条件为原式=1ab +ab +1a(a−b)+a(a −b)+(a −5c)2,结合基本不等式即可得解.2a 2+1ab +1a (a −b )−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)−ab −a(a −b)+2a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+(a −5c)2 ≥2√1ab ⋅ab +2√1a(a−b)⋅a(a −b)+0=4,当且仅当{ab =1a(a −b)=1a =5c ,即a =√2,b =√22,c =√25时,等号成立.故选:A.小提示:易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1) “一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.7、已知a >b >0,下列不等式中正确的是( ) A .ca >cb B .ab <b 2C .a −b +1a−b ≥2D .1a−1<1b−1 答案:C分析:由a >b >0,结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解:对于选项A ,因为a >b >0,0<1a<1b,而c 的正负不确定,故A 错误;对于选项B ,因为a >b >0,所以ab >b 2,故B 错误;对于选项C ,依题意a >b >0,所以a −b >0,1a−b >0,所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2,故C 正确; 对于选项D ,因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定,故大小不确定,故D 错误; 故选:C.8、已知集合M ={x |−4<x <2},N ={x |x 2−x −6<0},则M ∩N = A .{x |−4<x <3}B .{x |−4<x <−2}C .{x |−2<x <2}D .{x |2<x <3} 答案:C分析:本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题.由题意得,M ={x |−4<x <2},N ={x |−2<x <3},则 M ∩N ={x |−2<x <2}.故选C .小提示:不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分. 多选题9、已知实数a >0,b >0,且满足(a −1)(b −1)=4,则下列说法正确的是( )A.ab有最小值B.ab有最大值C.a+b有最小值D.a+b有最大值答案:AC分析:已知等式化简为ab=a+b+3,利用基本不等式转化a+b,得到关于ab的不等式,研究可得ab的最值情况,转化ab,得到关于a+b的不等式,研究可得a+b的最值情况,进而作出判定.ab=a+b+3≥2√ab+3,解不等式得√ab≤−1或√ab≥3,故ab≥9,等号当且仅当a=b=3时取得,故ab有最小值9,则A对,B错;ab=a+b+3≤(a+b2)2,解不等式得a+b≤−2或a+b≥6,又a>0,b>0,故a+b≥6,当且仅当a=b=3时取等号,故a+b有最小值6,则C对,D错,故选:AC.10、(多选题)下列命题为真命题的是()A.若a>b>0,则ac2≥bc2B.若a<b<0,则a2>ab>b2C.若a>b>0且c>0,则ca2>cb2D.若a>b且1a>1b,则ab<0答案:ABD解析:由不等式的性质结合作差法,逐项判断即可得解.对于A,若a>b>0,则ac2−bc2=c2(a−b)≥0,即ac2≥bc2,故A正确;对于B,若a<b<0,则a2−ab=a(a−b)>0,ab−b2=b(a−b)>0,所以a2>ab>b2,故B正确;对于C,若a>b>0且c>0,则ca2−cb2=c(b2−a2)a2b2=c(b−a)(b+a)a2b2<0,所以ca2<cb2,故C错误;对于D,若a>b且1a >1b,则b−a<0,1a−1b=b−aab>0,所以ab<0,故D正确.故选:ABD.11、若正实数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是()A .ab 有最大值14B .√a +√b 有最大值√2C .1a +1b 有最小值4D .a 2+b 2有最小值√22 答案:ABC分析:由已知结合基本不等式及相关结论分别分析各选项即可判断.解:因为正实数a ,b 满足a +b =1,所以1=a +b ≥2√ab ,当且仅当a =b =12时取等号,所以ab ≤14,故ab 有最大值14,故A 正确;(√a +√b)2=a +b +2√ab =1+2√ab ≤1+2√14=2,当且仅当a =b =12时取等号,故√a +√b ≤√2,即√a +√b 有最大值√2,故B 正确; 1a+1b =a+b ab=1ab ≥4,当且仅当a =b =12时取等号,故1a +1b 有最小值4,故C 正确;a 2+b 2=(a +b )2−2ab =1−2ab ≥12,当且仅当a =b =12时取等号,所以a 2+b 2有最小值12,故D 错误. 故选:ABC .12、已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |x ≤3或x ≥4},则下列结论中,正确结论的序号是( ) A .a >0B .不等式bx +c >0的解集为{x |x <−4}C .不等式cx 2−bx +a <0的解集为{x |x <−14或x >13}D .a +b +c >0答案:AD分析:由一元二次不等式的解集可确定a >0,并知ax 2+bx +c =0两根为3和4,利用韦达定理可用a 表示b,c ,由此将不等式中b,c 用a 替换后依次判断各个选项即可得到结果.对于A ,由不等式的解集可知:a >0且{−ba =3+4=7ca =3×4=12,∴b =−7a ,c =12a ,A 正确;对于B ,bx +c =−7ax +12a >0,又a >0,∴x <127,B 错误;对于C ,cx 2−bx +a =12ax 2+7ax +a <0,即12x 2+7x +1<0,解得:−13<x <−14,C 错误; 对于D ,a +b +c =a −7a +12a =6a >0,D 正确. 故选:AD.13、下列说法正确的是( )A .x +1x(x >0)的最小值是2B .2√x 2+2的最小值是√2C .2√x 2+4的最小值是2D .2−3x −4x 的最小值是2−4√3 答案:AB分析:利用基本不等式直接判断A,利用根式判断B,利用等号不成立判断C,利用特值判断D 当x >0时,x +1x≥2√x ⋅1x=2(当且仅当x =1x,即x =1时取等号),A 正确;2√x 2+2=√x 2+2,因为x 2≥0,所以2√x 2+2=√x 2+2≥√2,B 正确;2√x 2+4=2√x 2+4=√x 2+4√x 2+4≥2,当且仅当√x 2+4=√x 2+4,即x 2=−3时,等号成立,显然不成立,故C 错误;当x =1时,2−3x −4x =2−3−4=−5<2−4√3,D 错误. 故选:AB. 填空题14、已知x >54,则函数y =4x +14x−5的最小值为_______. 答案:7分析:由x >54,得4x −5>0,构造导数关系,利用基本不等式即可得到. 法一:∵x >54,∴4x −5>0,y =4x +14x−5=(4x −5)+14x−5+5≥2+5=7, 当且仅当4x −5=14x−5,即x =32时等号成立, 所以答案是:7.法二:∵x >54,令yʹ=4−4(4x−5)2=0得x =1或x =32, 当54<x <32时y′<0函数单调递减,当x >32时y′>0函数单调递增,所以当x =32时函数取得最小值为:4×32+14×32−5=7,所以答案是:7.【点晴】此题考基本不等式,属于简单题.15、已知x,y ∈(0,+∞),a ∈R ,若(x −y +sin 2α+1)(x +3y −2sin 2α)=2,则3x +y 的最小值为______. 答案:2分析:利用基本不等式即可求解.∵(x −y +sin 2α+1)(x +3y −2sin 2α)=2,∴4=(2x −2y +2sin 2α+2)(x +3y −2sin 2α)即4=(2x −2y +2sin 2α+2)(x +3y −2sin 2α) ≤(2x−2y+2sin 2α+2+x+3y−2sin 2α2)2=(3x+y+2)24,所以(3x +y +2)2≥16,解得3x +y ≥2,当且仅当2x −2y +2sin 2α+2=x +3y −2sin 2α时,取等号, 所以3x +y 的最小值为2. 所以答案是:2小提示:易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方. 16、设a >0,b >0,给出下列不等式:①a 2+1>a ; ②(a +1a )(b +1b )≥4; ③(a +b )(1a +1b )≥4; ④a 2+9>6a . 其中恒成立的是________(填序号). 答案:①②③分析:利用做差法判断①,利用基本不等式判断②③,特殊值代入判断④即可得出结论. 由于a 2+1-a =(a −12)2+34>0,故①恒成立;由于(a +1a )(b +1b )=ab +1ab +b a +a b ≥2√ab ⋅1ab +2√b a ⋅ab =4, 当且仅当{ab =1abb a =a b 即a =b =1时等号成立,故②恒成立;由于(a +b )(1a +1b )=2+b a +a b ≥2+2√b a ×a b =4.当且仅当a b =ba ,那么a =b =1时等号成立,故③恒成立; 当a =3时,a 2+9=6a ,故④不恒成立. 综上,恒成立的是①②③. 所以答案是:①②③.小提示:本题主要考查了利用做差法和基本不等式以及特殊值代入的方法,判断不等式是否成立的问题.属于较易题. 解答题17、某旅游公司在相距为100km 的两个景点间开设了一个游船观光项目.已知游船最大时速为50km/ℎ,游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例,当游船速度为20km/ℎ时,燃料费用为每小时60元.其它费用为每小时240元,且单程的收入为6000元.(1)当游船以30km/ℎ航行时,旅游公司单程获得的利润是多少?(利润=收入−成本) (2)游船的航速为何值时,旅游公司单程获得的利润最大,最大利润是多少? 答案:(1)4750元;(2)游轮的航速应为40km/ℎ,最大利润是4800元.分析:(1)设游船的速度为v(km/ℎ),旅游公司单程获得的利润为y (元),根据利润=收入−成本建立函数关系式,所以y =6000−15v −24000v(0<v ⩽50),代入v =30km/ℎ即可求得;(2)利用基本不等式求出最大利润即可.解:(1)设游船的速度为v(km/ℎ),旅游公司单程获得的利润为y (元), 因为游船的燃料费用为每小时k ·v 2元,依题意k ·202=60,则k =320.所以y =6000−(320v 2·100v+240·100v)=6000−15v −24000v(0<v ⩽50).v =30km/ℎ时,y =4750元; (2)y =6000−15v −24000v⩽6000−2√15v ×24000v=4800,当且仅当15v =24000v,即v =40时,取等号.所以,旅游公司获得最大利润,游轮的航速应为40km/ℎ,最大利润是4800元. 18、设y =f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ≥0时,f (x )=2x −x 2. (1)求当x <0时,f (x )的解析式;(2)请问是否存在这样的正数a ,b ,当x ∈[a,b ]时,g (x )=f (x ),且g (x )的值域为[1b ,1a ]?若存在,求出a ,b 的值;若不存在,请说明理由.答案:(1)当x <0时,f (x )=x 2+2x (2)a =1,b =1+√52分析:(1)根据函数的奇偶性f (x )=−f (−x ),求解解析式即可;(2)根据题意,结合函数单调性,将问题转化为a ,b (0<a <b )是方程−x 2+2x =1x 的两个根的问题,进而解方程即可得答案.(1)当x <0时,−x >0,于是f (−x )=2(−x )−(−x )2=−2x −x 2. 因为y =f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (x )=−f (−x )=−(−2x −x 2)=2x +x 2,即f (x )=2x +x 2(x <0). (2)假设存在正实数a 、b ,当x ∈[a,b ]时,g(x)=f(x)且g(x)的值域为[1b ,1a ],根据题意,g (x )=−x 2+2x (x >0), 因为g (x )=−x 2+2x =−(x −1)2+1≤1 , 则0<1a≤1,得a ≥1.又函数g (x )在[1,+∞)上是减函数,所以{g(a)=1ag(b)=1b ,由此得到:a,b (1≤a <b )是方程−x 2+2x =1x 的两个根,解方程求得a =1,b =1+√52所以,存在正实数a =1,b =1+√52,当x ∈[a,b ]时,g(x)=f(x)且g(x)的值域为[1b ,1a ]。

中考数学复习一元二次方程专项易错题含详细答案

中考数学复习一元二次方程专项易错题含详细答案
【答案】(1)当 且 时,方程有两个不相等的实数根;(2) , .
【解析】
【分析】
(1)方程有两个不相等的实数根, ,代入求m取值范围即可,注意二次项系数≠0;
(2)将 代入原方程,求解即可.
【详解】
(1)由题意得: = ,解得 .
因为 ,即当 且 时,方程有两个不相等的实数根.
(2)把 带入得 ,解得 , .
试题解析:(1)∵Δ=4(k-1)2-4k2≥0,∴-8k+4≥0,∴k≤ ;
(2)∵x1+x2=2(k-1),x1x2=k2,∴2(k-1)=1-k2,
∴k1=1,k2=-3.
∵k≤ ,∴k=-3.
2.李明准备进行如下操作实验,把一根长40 cm的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,李明应该怎么剪这根铁丝?
由方程②得,(x+n-1)[x-2(n+1)]=0,
①若4n2+3n+2=-n+1,解得n=- ,但1-n= 不是整数,舍.
②若4n2+3n+2=2(n+2),解得n=0或n=- (舍),综上所述 Nhomakorabean=0.
5.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0有两根α,β.
(1)求m的取值范围;
(2)两正方形面积之和为48时, , ,∵ ,∴该方程无实数解,也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2,李明的说法正确.
考点:1.一元二次方程的应用;2.几何图形问题.
3.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴l为x=﹣1.

第二十一章 一元二次方程 易错必考68题(10个考点)专练(解析版)

第二十一章 一元二次方程 易错必考68题(10个考点)专练(解析版)

第二十一章 一元二次方程 易错必考68题(10个考点)专练易错必考题一、一元二次方程的一般形式1.(2023·全国·九年级专题练习)若关于x 的一元二次方程2(3)430m x x mx m +-+++=的常数项是6,则一次项是()A .x-B .1-C .x D .1【答案】A 【分析】根据一元二次方程定义可得36m +=,30m +¹,可得m 的值,再代入原方程,由此即可得结果.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程2(3)430m x x mx m +-+++=的常数项是6,∴36m +=,30m +¹,解得:3m =,把3m =代入原方程可得2660x x -+=,∴一次项是x -,故选:A .【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式,解题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般形式:一元二次方程的一般形式是20(0)ax bx c a ++=¹,其中,2ax 是二次项,bx 是一次项,c 是常数项.2.(2023春·八年级课时练习)将一元二次方程()11x x -=-化成()200ax bx c a ++=>的形式则a b c ++=.【答案】1【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案.【详解】解:将一元二次方程()11x x -=-化成一般形式20(0)ax bx c a ++=>之后,变为210x x -+=,故1,1,1a b c ==-=,1111a b c \++=-+=,故答案为:1.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式,正确把握定义是解题关键.3.(2023·江苏·九年级假期作业)已知关于y 的一元二次方程()()223811my m my y y +-=-+,求出它各项的系数,并指出参数m 的取值范围.【答案】二次项系数是:28m -,一次项系数是:()31m --,常数项是:31m -;参数m 的取值范围是22m ¹±【分析】先将原方程化为一般式,再回答各项系数,根据“二次项系数不为零”可以求m 的取值范围.【详解】解:将原方程整理为一般形式,得:()()22383110m y m y m ---+-=,由于已知条件已指出它是一个一元二次方程,所以存在一个隐含条件280m -¹,即22m ¹±.可知它的各项系数分别是二次项系数是:28m -,一次项系数是:()31m --,常数项是:31m -.参数m 的取值范围是22m ¹±.【点睛】本题考查一元二次方程的一般式和系数、二次项系数不为零,掌握化一般式的方法是解题的关键.注意:在含参数的方程中,要认定哪个字母表示未知数,哪个字母是参数,才能正确处理有关的问题.易错必考题二、一元二次方程的解4.(2023春·吉林长春·八年级校考期末)如果关于x 的一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =,则代数式2023a b --的值为( )A .2021-B .2021C .2025-D .2025【答案】D【分析】根据一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =,得到20a b ++=即2a b +=-,代入计算即可.【详解】∵一元二次方程220ax bx ++=的一个解是1x =,∴20a b ++=,∴2a b +=-,∴2023202322025a b --=+=,故选D .【点睛】本题考查了一元二次方程的根,熟练掌握定义是解题的关键.5.(2023春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期末)两个关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=和20cx bx a ++=,其中a ,b ,c 是常数,且0a c +=,如果2x =是方程20ax bx c ++=的一个根,那么下列各数中,一定是方程20cx bx a ++=的根的是( )A .2B .2-C .1±D .1【答案】B【分析】利用方程根的定义去验证判断即可.【详解】∵0a ¹,0c ¹,0a c +=,∴a c=-∴1c a =-,∴20b c x x a a++=,210c b x x a a ++=,∴210b x x a +-=,210b x x a--=,∵2x =是方程20ax bx c ++=的一个根,∴2x =是方程210b x x a+-=的一个根,即32b a =-,∴2231102b x x x x a --=+-=,∴2x =-是方程210b x x a --=的一个根,即2x =-时方程20cx bx a ++=的一个根.故选:B .【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程两边相等的未知数的值,正确理解定义是解题的关键.6.(2023春·浙江金华·八年级统考期末)已知m 为方程2320230x x +-=的根,那么32220262023m m m +--的值为 .【答案】4046-【分析】先根据一元二次方程解的定义得到232023m m =-+,再用m 表示3m 得到()2220262023m m m +--,然后利用整体代入的方法计算.【详解】解:∵m 为方程2320230x x +-=的一个根,∴2320230m m +-=,∴232023m m =-+,∴()322220262023220262023m m m m m m +--=+--()()32023220262023m m m =-++--23620232023220262023m m m m =--++´--()33202392023m m =--+-+93202392023m m =-´-+4046=-,故答案为:4046-.【点睛】本题考查了一元二次方程的解,掌握整体代入的方法是解题关键.7.(2023春·浙江温州·八年级校考期中)已知a ,b ,c 是非零实数,关于x 的一元二次方程204c ax bx ++=,204b cx ax ++=,204a bx cx ++=,有公共解,则代数式2c a b ab b a--的值为 .【答案】2或1-【分析】设公共解为t ,根据一元二次方程根的定义得到204c at bt ++=,204b ct at ++=,204a bt ct ++=,三式相加可得:0abc ++=或12t =-,分别代入所求式可解答.【详解】解:设公共解为t ,则204c at bt ++=,204b ct at ++=,204a bt ct ++=,三式相加得()()204abc a b c t a b c t ++++++++=,即()2104a b c t t æö++++=ç÷èø,因为2211()042t t t ++=+³,所以0a b c ++=或12t =-,当0a b c ++=时,c a b =--,\原式222c a b ab--= 22222a ab b a b ab++--= 2=;当12t =-时,110424c a b -+=,110424b c a -+=,22c b a a b \=-=-,a b \=,\原式222244b ab a a b ab-+--=234b ab ab-= 22b b-= 1=-,综上,代数式2c a b ab b a--的值为2或1-.故答案为:2或1-.【点睛】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解,理解方程解的定义是解题的关键.8.(2023秋·江苏·九年级专题练习)已知x 是一元二次方程2810x x --=的实数根,求代数式24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的值.【答案】117【分析】利用一元二次方程的解可得出281x x -=,将其代入24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的化简结果中即可求出答案.【详解】解:∵x 是一元二次方程2810x x --=的实数根,∴281x x -=.24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø()()247137233x x x x x x +=+---+-¸()()2497343x x x x x +--=¸---()()2416343x x x x x +-=¸---()()()()444343x x x x x x +-+=¸---()()()()433444x x x x x x +-=×--+-()()144x x =--21816x x =-+1116=+17∴代数式24737123x x x x x +æö¸+-ç÷-+-èø的值为117.【点睛】本题考查了一元二次方程的解、分式的化简等知识,熟练掌握一元二次方程的解的定义和分式的运算法则是解题的关键.9.(2023春·湖南长沙·八年级统考期末)请阅读下列材料:问题:已知方程210x x +-=,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.解:设所求方程的根为y ,则2y x =,所以2y x =,把2y x =代入已知方程,得21022y y æö+-=ç÷èø;化简,得2240y y +-=;故所求方程为2240y y +-=.这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”;请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式):(1)已知方程2320x x +-=,求一个一元二次方程,使它的根分别为已知方程根的相反数;(2)已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a -+=¹有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.【答案】(1)2320y y --=(2)()200cy by a c -+=¹【分析】(1)设所求方程的根为y ,则y x =-,将x y =-代入已知方程2320x x +-=,化简即可得到答案;(2)设所求方程的根为y ,则1y x=,将其代入已知方程,然后化为一般形式即可得到答案.【详解】(1)解:设所求方程的根为y ,则y x =-,x y \=-,把x y =-代入已知方程2320x x +-=,得()()2320y y -+´--=,化简得,2320y y --=,\这个一元二次方程为:2320y y --=;(2)解:设所求方程的根为y ,则1y x=,y 把1x y=代入已知方程()200ax bx c a -+=¹,得2110a b c y y æö-×+=ç÷èø,去分母得,20a by cy -+=,若0c =,则20ax bx -=,于是方程()200ax bx c a -+=¹有一根为0,不符合题意,0c \¹,\所求方程为:()200cy by a c -+=¹.【点睛】本题考查了一元二次方程的解,解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法.易错必考题三、换元法解一元二次方程10.(2023秋·全国·九年级专题练习)若整数x ,y 使()()22221212x y x y +---=-成立,则满足条件的x ,y 的值有( )A .4对B .6对C .8对D .无数对【答案】C【分析】先化简()()22221212x y x y +---=-可得()()22221212x y x y éùéù+--+=-ëûëû,设22x y a +=,则()()1212a a --=-;然后求得a 的值,最后列举出符合题意的x ,y 的整数值即可解答.【详解】解:由()()22221212x y x y éùéù+--+=-ëûëû,设22x y a +=,则()()1212a a --=-,∴23100a a --=,即()()520a a -+=,解得:5a =或2a =-(舍弃),∴225x y +=.∴满足条件的x ,y 的整数值有:12x y =ìí=î,12x y =-ìí=î,12x y =ìí=-î,12x y =-ìí=-î,21x y =ìí=î,21x y =ìí=-î,21x y =-ìí=î,21x y =-ìí=-î,共8对.故选C .【点睛】本题主要考查了解一元二次方程、二元一次方程的解等知识点,掌握二元一次方程的解是解答本题的关键.11.(2023春·全国·八年级专题练习)用换元法解方程()()22212x x x x +++=时,如果设2x x y +=,那么原方程可变形为( )A .2120y y ++=B .2120y y --=C .2120y y -+=D .2120y y +-=【答案】D【分析】将原方程中的2x x +换成y ,再移项即可.【详解】解:根据题意,得212y y +=,即2120y y +-=;故选:D .【点睛】本题考查换元法解一元二次方程,换元法就是把某个式子看成一个整体,用一个字母去代替它,实行等量代换.12.(2023秋·全国·九年级专题练习)如果关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =,23x =,那么关于y 的方程()21a y by c b -++=的解是 .【答案】12y =,24y =,【分析】根据关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =,23x =,令关于y 的方程()()2110a y b y c -+-+=中1x y =-,即可得到112211y x y x -=ìí-=î,解这个方程组即可得到答案.【详解】解:∵()21a y by c b -++=,∴()()2110a y b y c -+-+=,Q 关于x 的方程20ax bx c ++=的解是11x =,23x =,令1x y =-,∴112211y x y x -=ìí-=î,∴1111y x -==或2213y x -==,解得12y =,24y =,故答案为:12y =,24y =.【点睛】本题考查换元法及一元二次方程解的定义,令关于y 的方程()()2110a y b y c -+-+=中1y x -=是解决问题的关键.13.(2023秋·全国·九年级专题练习)已知方程210210x x -+=的根为13x =,27x =,则方程2(21)10(21)210x x ---+=的根是.【答案】12x =,24x =【分析】设21x t -=,可得210210t t -+=,根据210210x x -+=的根为13x =,27x =,可得213x -=或217x -=,即可得到答案;【详解】解:设21x t -=,可得210210t t -+=,∵210210x x -+=的根为13x =,27x =,∴213x -=或217x -=,解得:12x =,24x =,故答案为12x =,24x =;【点睛】本题考查换元法求方程的解,解题的关键是设21x t -=,得到210210t t -+=,结合方程210210x x -+=的根为13x =,27x =.14.(2022秋·全国·九年级专题练习)阅读下列材料:问题:已知方程210x x +-=,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍.解:设所求方程的根为y ,则2y x =,所以2y x =,把2y x =,代入已知方程,得21022y y æö+-=ç÷èø.化简,得2240y y +-=,故所求方程为2240y y +-=这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式):(1)已知方程2210x x +-=,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为 ;(2)已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=¹有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.【答案】(1)2210y y --=(2)20a by cy ++=()0c ¹【分析】(1)设所求方程的根为y ,则y x =-,所以x y =-,代入原方程即可得;(2)设所求方程的根为y ,则1y x =()0x ¹,于是1x y =()0y ¹,代入方程20ax bx c ++=整理即可得.【详解】(1)解:设所求方程的根为y ,则y x =-,所以x y =-,把x y =-代入方程2210x x +-=,得:2210y y --=,故答案为:2210y y --=;(2)解:设所求方程的根为y ,则1y x =()0x ¹,于是1x y=()0y ¹,把1x y =代入方程()200ax bx c a ++=¹,得2110a b c y y æöæö++=ç÷ç÷èøèø,去分母,得20a by cy ++=,若0c =,有20ax bx +=,于是,方程20ax bx c ++=有一个根为0,不合题意,∴0c ¹,故所求方程为20a by cy ++=()0c ¹.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解,解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法.15.(2023秋·全国·九年级专题练习)阅读材料:为了解方程()22215140x x ---+=(),我们可以将21x -看作一个整体,设21x y -=,那么原方程可化为2540y y -+=①,解得121,4y y ==.当1y =,时,211x -=,∴22x =.∴2x =±;当4y =时,214x -=,∴25x =.∴5x =±.故原方程的解为12x =, 22x =-,35x =,45x =-.解答问题:(1)上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用 法达到了降次的目的,体现了 的数学思想;(2)请利用以上知识解方程:()()222540x x x x +-++=;(3)请利用以上知识解方程:42340x x --=.【答案】(1)换元;转化(2)123411711715152222,,,x x x x -+---+--====(3)122,2x x ==-【分析】(1)利用换元法达到了降次的目的,体现了转化的数学思想;(2)利用换元法解方程即可;(3)利用换元法解方程即可.【详解】(1)解:利用了换元法,体现了转化思想;故答案为:换元,转化;(2)设2x x y +=,原方程可变为2540y y -+=,则()()410y y --=,∴40y -=或10y -=,∴124,1y y ==,当4y =时,24x x +=,解得1172x -±=,当1y =时,21x x +=,解得152x -±=,∴原方程的解为123411711715152222,,,x x x x -+---+--====;(3)设2y x =,原方程可变为2340y y --=,解得124,1y y ==-,∵20x ³,∴24x =,解得122,2x x ==-.【点睛】本题考查解一元二次方程.解题的关键是理解并掌握换元法解方程.易错必考题四、配方法的应用16.(2023春·山东威海·八年级统考期末)用配方法解方程2610x x --=,若配方后结果为2()x m n -=,则n 的值为( )A .10-B .10C .3-D .9【答案】B【分析】利用配方法将方程2610x x --=配成2()x m n -=,然后求出n 的值即可.【详解】∵2610x x --=,∴261x x -=,∴26919x x -+=+,即2(3)10x -=, 10n \=.故选:B .【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程,熟练掌握配方法的步骤是解题的关键.17.(2023秋·全国·九年级专题练习)关于x 的一元二次方程新定义:若关于x 的一元二次方程:21()0a x m n -+=与22()0a x m n -+=,称为“同族二次方程”.如22(3)40x -+=与23(3)40x -+=就是“同族二次方程”.现有关于x 的一元二次方程:22(1)10x -+=与2(2)(4)80a x b x ++-+=是“同族二次方程”.那么代数式22015ax bx -++取的最大值是( )A .2020B .2021C .2022D .2023【答案】A【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式,再利用多项式相等的条件列出关于a 与b 的方程组,求出方程组的解得到a 与b 的值,进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可.【详解】解:∵22(3)40x -+=与23(3)40x -+=就是“同族二次方程”,∴22(2)(4)8(2)(1)1a x b x a x ++-+=+-+,即22(2)(4)8(2)2(2)3a x b x a x a x a ++-+=+-+++,∴2(2)438a b a -+=-ìí+=î解得510a b =ìí=-î∴22015ax bx -++=25105201x x -+-=25(1)2020x -++,则代数式22015ax bx -++能取的最大值是2020.故选:A .【点睛】此题考查了配方法的应用,非负数的性质,以及一元二次方程的定义,弄清题中的新定义是解本题的关键.18.(2023秋·江苏·九年级专题练习)实数x 和y 满足2212521640x xy y y -+++=,则22x y -= .【答案】384【分析】将已知等式左边第三项拆项后,重新结合利用完全平方公式变形后,利用两非负数之和为0,得到两非负数分别为0,求出x 与y 的值,代入所求式子中计算,即可求出值.【详解】解:∵()()()()222222212521641236161646420x xy y y x xy y y y x y y -+++=+++-+++-==,∴60x y +=且420y -=,解得:12y =,3x =-,则22139844x y ==--,故答案为:384.【点睛】此题考查了完全平方公式的应用,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.19.(2023秋·全国·九年级专题练习)设m 为整数,且420m <<,方程222(23)41480x m x m m --+-+=有两个不相等的整数根,则m 的值是 .【答案】12【分析】将方程化为2(23)21x m m -+=+,根据m 为整数,且方程有两个不相等的整数根即可求解.【详解】解:222(23)(23)21x m x m m --+-=+,\[]2(23)21x m m --=+,\2(23)21x m m -+=+,Q 420m <<,92141m \<+<,\2(23)21x m m -+=±+,Q m 为整数,且方程有两个不相等的整数根,\当2125m +=时,符合题意,解得:12m =;故答案:12.【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法,求参数的整数问题,掌握方法是解题的关键.20.(2023春·安徽池州·八年级统考期中)【阅读材料】把代数式通过配凑等手段,得到局部完全平方式,再进行有关运算和解题,这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用.例如:①用配方法因式分解:268a a ++. ②求2611x x ++的最小值.解:原式2691a a =++- 解:原式2692x x =+++2(3)1a =+- 2(3)2x =++.()()3131a a =+-++ 2(3)0x +³Q ,()()24a a =++ 2(3)22x \++³,即2611x ++的最小值为2.请根据上述材料解决下列问题:(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式:24a a ++_______________.(2)因式分解:21232a a -+.(3)求2443x x ++的最小值.【答案】(1)4(2)(4)(8)a a --(3)2【分析】(1)根据常数项等于一次项系数的一半的平方进行配方即可;(2)将32化成364-,前三项配成完全平方式,再利用平方差公式进行因式分解即可;(3)将式子进行配方,再利用平方的非负性即可求解.【详解】(1)解:∵()22442a a a ++=+,故答案为:4;(2)解:21232a a -+【答案】(1)8;(2)见解析;(3)252【分析】(1)利用配方法把22410x x ++变形为22(1)8x ++,然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值;(2)利用配方法得到22172()24x x x ++=++,则可判断220x x ++>,然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x 取何实数,二次根式22x x ++都有意义;(3)利用三角形面积公式得到四边形ABCD 的面积12AC BD =××,由于10BD AC =-,则四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××-,利用配方法得到四边形ABCD 的面积2125(5)22AC =--+,然后根据非负数的性质解决问题.【详解】解:(1)()2224102210x x x x ++=++()2221110x x =++-+ 22(1)8x =++,Q 无论x 取何实数,都有22(1)0x +³,2(1)88x \++³,即223x x ++的最小值为8;故答案为:8;(2)22172()24x x x ++=++,21()02x +³Q ,220x x \++>,\无论x 取何实数,二次根式22x x ++都有意义;(3)AC BD ^Q ,\四边形ABCD 的面积12AC BD =××,10AC BD +=Q ,10BD AC \=-,\四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××- 2152AC AC =-+ 2125(5)22AC =--+21(5)02AC --£Q ,\当5AC =,四边形ABCD 的面积最大,最大值为252.【点睛】本题考查了配方法的应用:利用配方法把二次式变形为一个完全平方式和常数的和,然后利用非负数的性质确定代数式的最值.易错必考题五、一元二次方程中的因式分解22.(2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习)若关于x 的一元二次方程()221340a x x a a -+++-=的一个根是0,则a 的值是( )A .4a =-或1B .4a =-C .1a =D .0a =【答案】B【分析】根据一元二次方程的解的定义,把0x =代入()221340a x x a a -+++-=得2340a a +-=,再解关于a 的方程,然后利用一元二次方程的定义确定a 的值.【详解】解:把0x =代入()221340a x x a a -+++-=,得2340a a +-=,解得1a =或4a =-,而10a -¹,所以a 的值为4-.故选:B .【点睛】本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.23.(2023秋·全国·九年级专题练习)对于两个不相等的实数a ,b ,我们规定符号{}max ,a b 表示a ,b 中的较大值,如:{}max 3,55=,因此,{}max 3,53--=-;按照这个规定,若{}2max ,35x x x x -=--,则x 的值是( )A .5B .5或16-C .1-或16-D .5或16+【答案】B【分析】根据题意进行分类讨论,当0x >时,可得2450x x --=,求出x 的值即可;当0x <时,可得2250x x --=求出x 的值即可.【详解】解:当0x >时,则0x x >>-,∴{}2max ,35x x x x x -==--,即2450x x --=,解得:125,1x x ==-(不符合题意,舍去),当0x <时,则0x x ->>,∴{}2max ,35x x x x x -=-=--,即2250x x --=,解得:116x =+(不符合题意,舍去),216x =-,综上:x 的值是5或16-,故选:B .【点睛】本题主要考查了新定义下的运算和解一元二次方程,解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则,熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤.24.(2022秋·全国·九年级专题练习)阅读下列解方程()2923x x -=-的过程,并解决相关问题.解:将方程左边分解因式,得()()()3323x x x +-=-,…第一步方程两边都除以()3x -,得32x +=,…第二步解得=1x -…第三步①第一步方程左边分解因式的方法是 ,解方程的过程从第 步开始出现错误,错误的原因是 ;②请直接写出方程的根为.【答案】 公式法 二 3x -可能为0 13x =,21x =-【分析】①根据公式法因式分解、等式的基本性质判断即可;②利用因式分解法求解即可.【详解】解:①第一步方程左边分解因式的方法是公式法,解方程的过程从第二步开始出现错误,错误的原因是:3x -可能为0,故答案为:公式法,二,3x -可能为0;②∵()2923x x -=-,∴()()()3323x x x +-=-,∴()()()33230x x x +---=,则()()310x x -+=,∴30x -=或10x +=,解得13x =,21x =-,故答案为:13x =,21x =-.【点睛】本题考查因式分解,解一元二次方程.运用平方差公式进行因式分解是解题的关键.25.(2023秋·江苏·九年级专题练习)已知:0a ¹且0b ¹,221003a b ab +-=,那么a b a b +-的值等于 .【答案】2-或2【分析】先把已知条件化为2231030a ab b -+=,再利用因式分解法得到30a b -=或30a b -=,然后把3b a =或3a b =分别代入a b a b+-中计算即可.【详解】解:∵221003a b ab +-=,即2231030a ab b -+=,∴(3)(3)0a b a b --=,∴30a b -=或30a b -=,当30a b -=时,即33,23a b a a b a a b a a ++===---;当30a b -=时,即33,23a b b b a b b b a b ++=-==-,∴a b a b+-的值等于2-或2.故答案为:2-或2.【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).26.(2022春·湖南长沙·九年级统考期末)已知关于x 的一元二次方程2430x x k -+=有实数根.(1)求k 的取值范围;(2)如果k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程2(2)30m x x m -++-=与方程2430x x k -+=有一个相同的根,求此时m 的值.【答案】(1)43k £(2)95m =【分析】(1)一元二次方程有实数根,则0D ³,由此即可求解;(2)根据(1)中k 的取值范围求出k 的值,由此可求出方程2430x x k -+=的解,把x 的值代入一元二次方程2(2)30m x x m -++-=即可求解.【详解】(1)解:根据题意得:2(4)430k D =--´³,解得43k £,∴k 的取值范围43k £.(2)解:由(1)可知,43k £,∴k 的最大整数是1,∴方程2430x x k -+=可化为2430x x -+=,解得121,3x x ==,∵一元二次方程2(2)30m x x m -++-=与方程2430x x k -+=有一个相同的根,∴当1x =时,2130m m -++-=,解得2m =;当3x =时,(2)9330m m -´++-=,解得95m =,又20m -¹,∴95m =.【点睛】本题主要考查一元二次方程的知识,掌握一元一次方程的定义,有实根的计算方法,解一元二次方程的方法的知识是解题的关键.27.(2023春·江苏扬州·八年级统考期末)已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=.(1)求证:无论m 取何值,方程都有两个不相等的实数根;(2)如果方程的两个实数根为1x ,()212x x x >,且213x x +为整数,求整数m 所有可能的值.【答案】(1)见解析(2)4-或2-或0或2【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式,可得出10D =>,进而可证出方程有两个不相等的实数根;(2)解方程求出方程的两根为m ,1m +,得出11343111x m x m m ++==+++,然后利用有理数的整除性确定m 的整数值.【详解】(1)解:证明:Q 22[(21)]4()10m m m D =-+-´+=>,\无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;(2)22(21)0x m x m m -+++=Q ,即()[(1)]0x m x m --+=,解得:x m =或1x m =+.\一元二次方程22(21)0x m x m m -+++=的两根为m ,1m +,12x x >Q ,11x m \=+,\11343111x m x m m ++==+++,如果311m ++为整数,则4m =-或2-或0或2,\整数m 的所有可能的值为4-或2-或0或2.【点睛】本题考查了根的判别式、解一元二次方程,解题的关键是:(1)牢记“当△0>时,方程有两个不相等的实数根”;(2)利用解方程求出m 的整数值.易错必考题六、根据一元二次方程根的情况求参数28.(2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中)若关于x 的一元二次方程2160x mx ++=有两个不相等的实数根,则实数m 的值可以是( )A .8B .8-C .4D .10【答案】D【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根,运用根的判别式进行解答即可.【详解】解:∵关于x 的一元二次方程2160x bx ++=,有两个不相等的实数根,∴22441160b ac m D =-=-´´>,∴264m >,∴8b >或8b <-,故选:D .【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式,熟知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹,若240b ac D =->,则原方程有两个不相等的实数根;若240b ac D =-=,则原方程有两个相等的实数根;若240b ac D =-<,则原方程没有实数根.29.(2023春·山东泰安·八年级统考期末)若关于x 的一元二次方程()22230k x x -++=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围( )A .73k £B .73k >C .73k <且2k ¹D .73k £且2k ¹【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 20k -¹且224(2)30,k D =--´>然后解两个不等式得到它们的公共部分即可;【详解】解:根据题意得 20k -¹ 且()2Δ24230k =--´>,解得 73k < 且 2k ¹,故选:C .【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义,能根据题意得出关于k 的不等式是解此题 的关键30.(2023·辽宁阜新·校联考一模)若关于x 的方程29304kx x --=有实数根,则实数k 的取值范围是( ).A .0k ¹B .1k ³-且0k ¹C .1k ³-D .1k >-且0k ¹【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求出答案.【详解】解:由题意可知:当0k ¹时,990k D =+³,∴1k ³-,当0k =时,原方程是一元一次方程,有实数根,∴1k ³-故选:B .【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c ++= (0a a b c ¹,,,为常数)的根的判别式24b ac D =-,理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键.当0D >时,方程有两个不相等的实数根;当Δ0=时,方程有两个相等的实数根;当Δ0<时,方程没有实数根.31.(2023春·广东广州·九年级统考开学考试)已知关于x 的一元二次方程()()212204a x a x a --++=没有实数根,且a 满足25113a a -<ìí-£î,则a 的取值范围是( )A .2a £-B .23a<-C .223a<-£-D .233<a<-且2a ¹【答案】C【分析】由所给方程是一元二次方程可知20a -¹,由方程没有实数根可知Δ0<,再解不等组,找出交集即可.【详解】解:Q 关于x 的一元二次方程()()212204a x a x a --++=没有实数根,\()()212426404a a a a D =+--´=+<,20a -¹,\23a <-,2a ¹,Q a 满足25113a a -<ìí-£î,由251a -<得3a <,由13a -£得2a ³-,\23a -£<,\223a<-£-,故选C .【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式、解不等式组,解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式,即Δ0<时,方程没有实数根;Δ0=时,方程有两个相等的实数根;0D >时,方程有两个不等的实数根.32.(2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第四十七中学校考开学考试)已知关于y 的一元二次方程2230ky y -+=有实根,则k 的取值范围是 .【答案】13k £且0k ¹.【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到0k ¹且△22120k =->,然后求出两不等式的公共部分即可.【详解】解:当0k ¹时,方程是一元二次方程,则△2(2)120k =--³有实数根,解得13k £且0k ¹.故答案为13k £且0k ¹.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和根与△=-24b ac 有如下关系:当△0>时,方程有两个不相等的实数根;当△0=时,方程有两个相等的实数根;当△0<时,方程无实数根.33.(2023春·浙江杭州·八年级校联考阶段练习)已知关于x 的一元一次方程360x -=与一元二次方程20x bx c ++=有一个公共解,若关于x 的一元二次方程2(36)0x bx c x ++--=有两个相等的实数解,则b c +的值为.【答案】3-【分析】先解方程360x -=得2x =,再把2x =代入方程20x bx c ++=得420b c ++=,接着根据方程有两个相等的实数解,得到2(3)4(6)0b c D =--+=,然后通过解方程组求出b 、c ,从而得到b c +的值.【详解】解:解方程360x -=得2x =,Q 关于x 的一元一次方程360x -=与一元二次方程20x bx c ++=有一个公共解,2x \=为方程20x bx c ++=的解,420b c \++=,Q 关于x 的一元二次方程2(36)0x bx c x ++--=有两个相等的实数解,\2(3)4(6)0b c D =--+=,把24c b =--代入得2(3)4(246)0b b ----+=,解得121b b ==-,当1b =-时,242c =-=-,123b c \+=--=-.故答案为:3-.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解与根的判别式关系:一元二次方程20(0)ax bx c a ++=¹的根与24b ac D =-有如下关系:当0D >时,方程有两个不相等的实数根;当Δ0=时,方程有两个相等的实数根;当Δ0<时,方程无实数根.34.(2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习)已知关于x 的一元二次方程()21210a x x --+=有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是 .【答案】2a <且1a ¹【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a 的一元一次不等式组,解之即可得出结论.【详解】解:Q 关于x 的一元二次方程2(1)210a x x --+=有两个不相等的实数根,\210Δ(2)4(1)0a a -¹ìí=--->î,解得:2a <且1a ¹.故答案为:2a <且1a ¹.【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组,根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键.35.(2023·辽宁抚顺·统考三模)若关于x 的方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根,则k 的最大整数值是 .【答案】1-【分析】根据方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根,得到()20,240k k ¹-->,确定符合题意的整数解即可.【详解】∵x 的方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根,∴()20,240k k ¹-->,∴0,1k k ¹<,∵k 是整数,∴k 的最大整数值是1-,故答案为:1-.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式,方程满足的条件,解不等式,熟练掌握根的判别式是解题的关键.36.(2022秋·上海普陀·八年级校考阶段练习)已知关于x 的方程24m x mx x m -=-.(1)有两个不相等的实数根,求m 的取值范围;(2)有两个相等的实数根,求m 的值,并求出此时方程的根;(3)有实根,求m 的最小整数值.【答案】(1)12m >-且0m ¹(2)12m =-,122x x ==-(3)0【分析】(1)分两种情况讨论:当0m =时,24m x mx x m -=-变成0x =;当0m ¹时,24m x mx x m -=-是一元二次方程,根据方程根的情况可得2Δ40b ac =->,求解即可;(2)当0m =时,24m x mx x m -=-变成0x =;当0m ¹时,24m x mx x m -=-是一元二次方程,根据方程根的情况可得2Δ40b ac =-=,求解即可;(3)当0m =时,24m x mx x m -=-变成0x =;当0m ¹时,24m x mx x m -=-是一元二次方程,根据方程根的情况可得2Δ40b ac =-³,求解即可.【详解】(1)解:24m x mx x m -=-,移项合并同类项得:2(1)04m x m x m -++=,当0m ¹时,24m x mx x m -=-是一元二次方程,由题意得:()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´>ëû,解得:12m >-;当0m =时,24m x mx x m -=-变成0x =,只有一个实数根,不符合题意;∴m 的取值范围是12m >-且0m ¹;(2)解:当0m =时,24m x mx x m -=-变成0x =,只有一个实数根,不符合题意;当0m ¹时,24m x mx x m -=-是一元二次方程,由题意得:()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´=ëû,解得:12m =-,把12m =-代入24m x mx x m -=-得:21110822x x ---=,整理得:2440x x ++=,解得:122x x ==-;(3)解:当0m =时,24m x mx x m -=-变成0x =,有一个实数根,符合题意,当0m ¹时,24m x mx x m -=-是一元二次方程,由题意得:()22Δ41404m b ac m m éù=-=-+-´´³ëû,解得:12m ³-,∴m 的最小整数值是0;【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式,掌握24Δb ac =-与一元二次方程根的情况是解题的关键.37.(2023春·山东烟台·八年级统考期中)关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围.(2)是否存在k 的值,使k 为非负整数,且方程的两根均为有理数?若存在,请求出满足条件的k 的值;若不存在,请说明理由.。

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,则下列代数式的值恒为常数的是( )
A.
B.
C.
D.
11.如果 a 是一元二次方程 x2 3x m 0的一个根, a 是一元二次方程 x2 3x m 0的一个根,那么 a 的值是
( )A.1 或 2
B.0 或 3
C. 1或 2 D.0 或 3
12. 一元二次方程 x2 2x 1 0 的根的情况为( )
两个不相等的实数根; 三.解答题
1.关于 x 的一元二次方程 (ax 1)(ax 2) x2 2x 6 中,求 a 的取值范围. 2.已知 a, b, c 是三角形的三条边,求证:关于 x 的方程 b2 x2 (b2 c2 a2 )x c2 0 没有 实数根.
3.已知方程 2x2 (k 9)x (k 2 3k 4) 0 有两个相等的实数根,求 k 值,并求出方程 的根.
___________.
3. a 是整数,已知关于 x 的一元二次方程 ax2 (2a 1)x a 1 0 只有整数根,则 a =__________.
4.已知方程 3x2 2x 1 4 ,则代数式12x2 8x 3 _____________.
5.已知关于 x 的一元二次方程 x2 4x m 1 0 .请你为 m 选取一个合适的整数,当 m ____________时,得到的方程有
单价(元) 80
40
销售量(件) 200
(2)如果批发商希望通过销售这批 T 恤获利 9000 元,那么第二个月的单价应是多少元?
A. 1
B. 1
C.1或 1
D. 1
2
二.填空题
1.写出一个既能直接开方法解,又能用因式分解法解的一元二次方程是_______________.
2.设 x1, x2 是一元二次方程 ax2 bx c 0 的两个根,则代数式 a(x13 x23 ) b(x12 x22 ) c(x1 x2 ) 0 的值为
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
8.(2002?包头)某钢铁厂一月份生产钢铁 560 吨,从二月份起,由于改进操作技术,使得第一季度共生产钢铁 1850 吨,
问二、三月份平均每月的增长率是多少?若设二、三月份平均每月的增长率为 x,则可得方程( )
A. 560(1+x)2=1850
B. 560+560(1+x)2=1850
B. 2010
C. 2011
D. 2012
15.一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 3、4,那么二次三项式 x2+px+q 可分解为( )
A. (x+3)(x﹣4) B. (x﹣3)(x+4) C. (x﹣3)(x﹣4) D. (x+3)(x+4)
16.关于 x 的一元二次方程 (a 1)x2 x a2 1 0 的一个根是 0 ,则 a 的值为( )






一.选择题
1.若方程(m﹣1)x2+ x=1 是关于 x 的一元二次方程,则 m 的取值范围是( )
A. m≠1
B. m≥0
C. m≥0 且 m≠1
D. m 为任何实数
2.一元二次方程 x2﹣3x﹣1=0 与 x2﹣x+3=0 的所有实数根的和等于( )
A. 2
B. ﹣4
C. 4
D. 3
计仍可售出 200 件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低 1 元,可多售出 10 件,但最低单价
应高于购进的价格;第二个月结束后,批发商将对剩余的 T 恤一次性清仓销售,清仓时单价为 40 元,设第二个月单价降低 x
元.
(1)填表:(不需化简)
时间
第一个月 第二个月 清仓时
4. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 2mx 3m2 8m 4 0 .
(1)求证:原方程恒有两个实数根;
(2)若方程的两个实数根一个小于 5,另一个大于 2,求 m 的取值范围.
4.某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件 T 恤,第一个月以单价 80 元销售,售出了 200 件;第二个月如果单价不变,预
A.有两个相等的实数根?B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根?D. 没有实数根
13.若(a2+b2﹣3)2=25,则 a2+b2=( )
A. 8 或﹣2
B. ﹣2
C. 8
D. 2 或﹣8
14.设 a,b 是方程 x2+x﹣2011=0 的两个实数根,则 a2+2a+b 的值为( )
A. 2009
A. 2009
B. 2010
C. 2011
D. 2012
6.若△ ABC 的一边 a 为 4,另两边 b、c 分别满足 b2﹣5b+6=0,c2﹣5c+6=0,则△ ABC 的 周长为( )
A. 9
B8 或 9 或 10
7.(2012?浙江校级自主招生)满足(n2﹣n﹣1)n+2=1 的整数 n 有几个( )
3.下列一元二次方程中,两根之和为 1 的是( )
A. x2+x+1=0
B. x2﹣x+3=0
C. 2x2﹣x﹣1=0
D. x2﹣x﹣5=0
4.若(a2+b2﹣3)2=25,则 a2+b2=( )
A. 8 或﹣2
B. ﹣2
C. 8
D. 2 或﹣8
5.设 a,b 是方程 x2+x﹣2011=0 的两个实数根,则 a2+2a+b 的值为( )
C. 560(1+x)+560(1+x)2=1850
D. 560+560(1+x)+560(1+x)2=1850
9.(2000?内江)一元二次方程:x2﹣2(a+1)x+a2+4=0 的两根是 x1,x2,且|x1﹣x2|=2,则 a 的值是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
10.已知方程
有一个根是
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