一元二次方程难题、易错题

一元二次方程

已知：关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=．()032132

=-+--m x m mx 求证：m 取任何实数时，方程总有实数根；

2．(2009年广东中山)已知：关于x 的方程2210x kx +-=

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是1-，求另一个根及k 值．

3.（2009年重庆江津区）已知ａ、ｂ、ｃ分别是△ABC 的三边，其中ａ＝1，ｃ＝4，且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状.

例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(2

2=+-+x a x a 有两个实数根.

例 3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根,求k 的取值范围.

例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49-≤k (B)04

9≠-≥k k 且

(C)49-

≥k (D)049≠->k k 且 例：222()5()60x x x x ---+=，求x 的值

例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）

A ()()12132+=+x x

B 02112=-+x x

C 02=++c bx ax

D 1222+=+x x x

变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x

m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） .m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1

例1、已知322-+y y 的值为2，则1242

++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422

2=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程 有一根为 。

例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582

=+-m y y 的两个根， m 的值为 。

★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程

31

1=-+x x 的解相同。 求k 的值；

方程的另一个解。 ★3、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。 ★★4、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。

★★5、方程()()02

=-+-+-a c x c b x b a 的一个根为（ ） A 1- B 1 C c b - D a -

★★★6、若=•=-+y x 则y x 324,0352 。

例3、若()()2

221619+=-x x ，则x 的值为 。 例2、若()()044342

=-+++y x y x ，则4x+y 的值为 。 式1：()()

=+=-+-+2222222,06b 则a b a b a 。 式2：若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。

式3：若142=++y xy x ，282

=++x xy y ，则x+y 的值为 。 例3、方程062

=-+x x 的解为（ ） .2321=-=，x x B.2321-==，x x C.3321-==，x x D.2221-==，x x

例4、解方程： ()

04321322=++++x x

例5、已知023222=--y xy x ,则y

x y x -+的值为 。

式：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则y

x y x -+的值为 。 例1、 试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

例2、 已知x 、y 为实数，求代数式7422

2+-++y x y x 的最小值。

例3、 已知，x、y y x y x 013642

2=+-++为实数，求y x 的值。

★★1、试用配方法说明47102-+-x x 的值恒小于0。

★★2、已知041122=---+

x x x

x ，则=+x x 1 .

★★★3、若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。

★★★4、如果4122411-++-=--+

+b a c b a ,那么c b a 32-+的值为 。

例1、 已知0232=+-x x

，求代数式()1

1123-+--x x x 的值。

例2、 如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值。

例3、 已知a 是一元二次方程0132

=+-x x 的一根，求1152223++--a a a a 的值。

例1、若关于x 的方程0122

=-+x k x 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。

例2、关于x 的方程()0212

=++-m mx x m 有实数根，则m 的取值范围是( ) .10≠≥且m m B.0≥m C.1≠m D.1>m

例3、已知关于x 的方程()0222

=++-k x k x 1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；

2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。 例4、已知二次三项式2)6(92

-++-m x m x 是一个完全平方式，试求m 的值.

例5、m 为何值时，方程组⎩⎨⎧=+=+.

3,6222y mx y x

有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？

★1、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。

★2、当k 取何值时，多项式k x x 2432+-是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？