高中数学 1.1.1变化率问题教案 新人教A版选修2-2
高中数学选修2-2人教A教案导学案1.1.1变化率问题教案
§1.1.1变化率问题教学目标1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?hto1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB 的斜率三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
高中数学选修2-2教学设计10：1.1.1 变化率问题教案
1．1.1 变化率问题教学目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.教学导入知识点一函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．思考1若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？[答案]自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？[答案]对山路AB来说，用ΔyΔx＝y2－y1x2－x1可近似地刻画其陡峭程度．梳理(1)：ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2) 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率定义式实质：函数值的增量与自变量的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率表示割线P1P2的斜率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1． 知识点二 瞬时速度思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．[答案] Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝Δs Δt＝10＋5Δt . 思考2 当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？[答案] 当Δt 趋近于0时，Δs Δt趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度． 梳理 瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0时，Δs Δt的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝ lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt . 题型探究类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？解 在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .当Δx ＝13时，k 1＝2＋13＝73， k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193. 由于k 1<k 2<k 3，所以在x ＝3附近的平均变化率最大．反思与感悟 求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋2x －5的图象上的一点A (－1，－6)及邻近一点B (－1＋Δx ，－6＋Δy )，则Δy Δx＝________. (2)如图所示是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．[答案](1)Δx (2)12 34[解析](1)Δy Δx ＝f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝(－1＋Δx )2＋2(－1＋Δx )－5－(－6)Δx＝Δx .(2)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12. 由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34. 命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f (x )＝x 2－x 上的两点P (1,0)和Q (1＋Δx ，Δy )作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值．解 割线PQ 的斜率即为函数f (x )从1到1＋Δx 的平均变化率Δy Δx. ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－(1＋Δx )－(12－1)＝Δx ＋(Δx )2，∴割线PQ 的斜率k ＝Δy Δx＝1＋Δx . 又∵割线PQ 的斜率为2，∴1＋Δx ＝2，∴Δx ＝1.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即12p p k ＝Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，则在[0，t 0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是( )A ．v 甲>v 乙B ．v 甲<v 乙C ．v 甲＝v 乙D ．大小关系不确定[答案]B[解析]设直线AC ，BC 的斜率分别为k AC ，k BC ，由平均变化率的几何意义知，s 1(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 甲＝k AC ，s 2(t )在[0，t 0]上的平均变化率v 乙＝k BC .因为k AC <k BC ，所以v 甲<v 乙． 类型二 求瞬时速度例3 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．解 ∵Δs Δt ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt＝(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝3＋Δt ，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3.即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s.引申探究1．若例3中的条件不变，试求物体的初速度．解 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵Δs Δt ＝s (0＋Δt )－s (0)Δt＝(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt＝1＋Δt ，∴lim Δt →0(1＋Δt )＝1. ∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2．若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.解 设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s.又Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(2t 0＋1)＋Δt . lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1. 则2t 0＋1＝9，∴t 0＝4.则物体在4 s 时的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误．(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)；②求平均速度v ＝Δs Δt； ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt . 跟踪训练3 一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 质点M 在t ＝2时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率．∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率为Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt＝4a ＋a Δt ， ∴lim Δt →0 Δs Δt＝4a ＝8，即a ＝2. 当堂检测1．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )A ．2.1B ．1.1C ．2D ．0[答案]A[解析]Δy Δx ＝f (1.1)－f (1)1.1－1＝0.210.1＝2.1. 2．如图，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________．[答案][x 3，x 4][解析]由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上平均变化率分别为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．3．一物体的运动方程为s (t )＝7t 2－13t ＋8，则t 0＝________时该物体的瞬时速度为1.[答案]1[解析]lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝lim Δt →0 7(t 0＋Δt )2－13(t 0＋Δt )＋8－(7t 20－13t 0＋8)Δt＝lim Δt →0(14t 0－13＋7Δt ) ＝14t 0－13＝1，得t 0＝1.。
人教A版选修2-2 第一章 第一节 1.1.1变化率问题 教案
§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程设计（一）、情景引入，激发兴趣。
【教师引入】：“生活中存在大量变化快慢的量，如我国国内生产总值在不同年内的增长、某一股票在某一时间内的价格、去年上海商品房在不同月内的价格（幻灯片展示）。
如何从数学的角度解释量的变化快慢问题呢？这节课我们一起学习与变化率有关的问题。
板书课题《变化率问题》【教师过渡】：“为解决这一问题，我们先研究一些生活中的具体实例”(二)、探究新知，揭示概念实例一：气温的变化问题现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图：（注：3月18日为第一天）1、你从图中获得了哪些信息？2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这样的感觉，这是什么原因呢?3、怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？师生讨论，教师板书总结：分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”，当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。
【教师过渡】:“18.6 3.50.5321-≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。
提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。
实例二：气球的平均膨胀率问题。
【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。
假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？思考：1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。
人教版高中选修2-2数学1.1变化率与导数教案(4)
§1.1.2 导数的概念教学目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.教学难点：导数的概念.教学过程：一、创设情景(一)平均变化率(二)探究探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 如图是函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像,结合图形可知,)0(4965(h h =, 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--= 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s , 但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.二、新课讲授1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？结论: 当t ∆趋近于0时,即无论t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-.从物理的角度看,时间t ∆间隔无限变小时,平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便,我们用0(2)(2)lim13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =,t ∆趋近于0时,平均速度v 趋近于定值13.1-” 小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.2.导数的概念从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或0'|x x y = 即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;(2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-. 三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数. (2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求x y ∆∆,最后求xy x ∆∆→∆0lim . 解: (1)法一 定义法(略)法二 222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- (2)x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解: 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '= 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为3-和5,说明在第2h 附近,原油温度大约以3/C h 的速率下降在第6h 附近,原油温度大约以5/C h 的速率上升.注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、回顾总结1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.2.导数的概念.六、布置作业 p10。
人教版数学高二-(人教版)高二数学选修2-2学案 1-1 变化率问题
探究任务一：
问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率
吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?
“随着气球内空气容量的增加，气球半径增加的越来越慢”的意思是：随着气球体积的增大，当气球体积_____________时，相应半径的_______越来越小.
________________________________________________________
探究任务二：
例1已知f(x)=2x2+1
(1)求:其从x1到x2的平均变化率；
(2)求:其从x0到x0+Δx的平均变化率，并求x0=1,Δx= 时的平均变化率。
探究任务三：函数y=f(x)，从x1到x2的平均变化率 的几何意义是什么？
结论：连接函数图象上对应两点的割线的_________
【达标训练巩固提升】
1. 在 内的平均变化率为（）
A．3 B．2 C．1 D．0
2.设函数 ，当自变量 由 改变到 时，函数的改变量 为（）
A． B．
C． D．
3.质点运动动规律 ，则在时间 中，相应的平均速度为（）
A． B．
C． D．
4.已知 ，从 到 的1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义；
2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景.
学习过程：
【学情调查情境导入】
球的体积公式：V球=____________
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？
5、过曲线f(x)=x2上两点P(1,1)和Q(2,4)做曲线的割线，求割线PQ的斜率k。
高中数学 1.11变化率问题导学案 新人教A版选修2-2
1．1.1变化率问题【学习目标】理解平均变化率的概念, 会用平均变化率公式来求某一区间上的平均变化率 【重点难点】在实际背景下，借助函数图像直观的理解平均变化率 一、自主学习要点1 平均变化率函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为ΔyΔx＝ .要点2 求函数y ＝f (x )在点x 0附近的平均变化率的步骤(1)求函数自变量的改变量Δx ＝x －x 0； (2)求函数的增量Δy ＝ ；(3)求平均变化率ΔyΔx＝ .要点3 平均变化率的几何意义表示函数y ＝f (x )图像上割线P 1P 2的斜率(其中P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，即 .要点4 平均变化率的物理意义看成时间t 的函数s ＝s (t )在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即 .二、合作，探究，展示，点评 题型一 平均变化率例1 求函数y ＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近平均变化率最大？思考题1 求函数f (x )＝x 3在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．题型二 平均速度例2 已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．思考题2 一质点作直线运动其位移s 与时间t 的关系s (t )＝t 2＋1，该质点在[2,2＋Δt ](Δt >0)上的平均速度不大于5，求Δt 的取值范围．题型三 曲线的割线的斜率例3 过曲线y ＝f (x )＝x 3上两点P (1,1)和Q (1＋Δx,1＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．思考题3 已知曲线y ＝1x －1上两点A (2，－12)、B (2＋Δx ，－12＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________． 三、知识小结关于平均变化率应注意以下几点：(1)Δx 、Δy 可以是正值也可以是负值，Δy 可以为零，但是Δx 不可以为零．(2)在求函数的平均变化率时，当x 1取定值后，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．(3)平均变化率的几何意义：观察函数f (x )的图像(如左图)，我们可以发现x 2－x 1＝AC ，f (x 2)－f (x 1)＝BC ，所以平均变化率f x 2－f x 1x 2－x 1表示的是直线AB 的斜率．《变化率问题》课时作业 一、选择题1．函数y ＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( )A ．Δx ＋2B ．2Δx ＋(Δx )2C ．Δx ＋3D ．3Δx ＋(Δx )22．物体做直线运动所经过的路程s 可表示为时间t 的函数s ＝s (t )＝2t 2＋2，则在一小段时间[2,2＋Δt ]上的平均速度为( ) A ．8＋2ΔtB ．4＋2ΔtC ．7＋2ΔtD ．－8＋2Δt 3．设函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)4．已知函数f (x )＝2x 2－4的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx等于 ( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )25．某质点沿直线运动的方程为y ＝－2t 2＋1，则该质点从t ＝1到t ＝2时的平均速度为( )A ．－4B ．－8C ．6D ．－6 6．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( )A ．3B ．0.29C ．2.09D ．2.97．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( ) A ．④B ．③C ．②D ．①8．已知y ＝14x 2和其上一点P (1，14)，Q 是曲线上点P 附近的一点，则Q 的坐标为( )A ．(1＋Δx ，14(Δx )2)B ．(Δx ，14(Δx )2)C ．(1＋Δx ，14(Δx ＋1)2)D ．(Δx ，14(1＋Δx )2)二、填空题9．将半径为R 的球加热，若球的半径增加ΔR ，则球的表面积增加量ΔS 等于________．10．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]上相应的平均速度v 与Δt 满足的关系式为________．11．某物体按照s (t )＝3t 2＋2t ＋4的规律作直线运动，则自运动始到4 s 时，物体的平均速度为________． 12．已知函数f (x )＝1x，则此函数在[1,1＋Δx ]上的平均变化率为________．13．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为_______． 三、解答题14.甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？15.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．16．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率．(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．17．动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋Δt时间段内动点的平均速度，其中(1)Δt＝1，(2)Δt＝0.1；(3)Δt＝0.01.。
高中数学人教(A版)选修2-2导数及其应用1.1 变化率与导数
f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
称它为函数y f ( x )在x x0处的导数. ' ' 记作f ( x ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
2 1
0.62>0.16
所以气球半径增加得越来越慢
P3 思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀
率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
气球的平均膨胀率即气球半径的平均变化率 气球半径的平均变化率可以刻画气球半径 变化快慢
• 问题2 高台跳水 • 运动员相对于水面的高度h(单位：米)
瞬时速度
当t 2，t 0时，平均速度v就趋近 于t 2时刻的瞬时速度.表示为：
为方便表示，我们用：
h(2 t ) h(2) lim 13.1, t t 0 表示t 2时刻的瞬时速度.
在t0时刻的瞬时速度呢？
当t t 0时，t趋近于0时，平均速度 v就趋近 于t 0时刻的瞬时速度 .表示为：
函数
微积分（牛顿，莱布尼兹）
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函
数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
•
导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大（小）值等 问题最一般、最有效的工具。
h(t0 t ) h(t0 ) lim t t 0
气球体积为V0时的瞬时膨胀率如何表示？
r (V0 V ) r (V0 ) r lim lim V 0 V V 0 V
高中数学选修2-2第一章第一节《变化率与导数》全套教案
变化率与导数课时分配:第一课变化率1个课时第二课导数的概念1个课时第三课导数的几何意义1个课时1. 1.1 变化率【教学目标】1. 理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义；2.通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率和瞬时变化率的定义；3.体会数形结合的思想方法；4.让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．【教学重点】理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义【教学难点】通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率和瞬时变化率的定义【学前准备】：多媒体，预习例题【教材分析】：平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。
从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。
在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。
4. 说一说求函数“平均变化率”的步骤是什么？5. 这个式子还表示什么?由此你认为平均变化率的几何意义是什么? 讨论得出：210k k <<陡 峭 程 度 （越大） （越小）yAB O1k 2k 12||||k k <（1）、我们研究的是随着体积V 的变化，半径R 变化的快慢，引入函数解析式（2）、观察图象，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示）3、当空气容量从V 1增到加V 2时，气球的平均膨胀率是多少？讨论得出： 观察图象，计算运动员在 0≤t≤这段时间内的平均速度，思考：(1). 运动员在这段时间内是静止的吗？(2). 你认为用平速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ (3). 如果教练想知道运动员在1秒时的瞬时速度, 你有何建议334()Vr V π=1212)()(r v v v r v --导数的概念【教学目标】（一）知识与技能理解导数的形成过程，掌握函数在某点处的导数的概念.（二）过程与方法通过观看国家运功员跳水视频，引出瞬时速度，进而结合瞬时变化率及极限的思想得出导数的概念.（三）情感、态度与价值观学生通过观看运动员跳水视频，理解瞬时速度及瞬时变化率，从而过渡到导数，培养了学生自主观察、发现新知的能力【教学重点难点】重点：导数的概念难点：导数的概念形成过程【学前准备】：多媒体，预习例题导数的几何意义【教学目标】1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题【教学重点】曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义【教学难点】导数的几何意义图3.1-2我们发现，当点沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线。
人教新课标版数学高二-(人教A)选修2-2学案 1.1.1变化率
变化率问题班级： 姓名：【学习目标】：通过具体案例理解函数平均变化率的概念。
【学习重点】：理解函数平均变化率的概念及几何意义。
【学习难点】：求函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率。
【问题导学】1.阅读教材p72,在【气球膨胀率】问题中：（1）空气容量从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率约为：0.62（dm/L);空气容量从1L 增加到2L 时，气球的平均膨胀率约为：0.16（dm/L);请计算出空气容量从2L 增加到2.5L 时，气球的平均膨胀率约为多少？空气容量从2.5L 增加到4L 时，气球的平均膨胀率约为多少？（2）从以上数据可以看出：随着气球体积的增大，比值体积的增加量半径的增加量发生怎样的变化？说明了什么(快慢）？（3）概括出：当空气容量从1V 增加到2V 时，气球的平均膨胀率的表达式？2.阅读教材p73,在【高台跳水】问题中：（1）在5.00≤≤t 时间段内，平均速度)/(05.4s m v =，那么运动员相对于水面的高度h 是在平均增大还是减小？在21≤≤t 时间段内呢？能概括出：运动员在1t 到2t 时间段内的平均速度吗？（2）计算运动员在49650≤≤t 时间段里的平均速度，思考下面的问题： ①运动员在这段时间内是静止的吗？②你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？3.阅读教材p73,回答什么是函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率？并阅读p74的思考栏目回答相应问题？【实践演练】例1：一物体做直线运动，其位移s 与时间的关系为23)(t t t s s -==，求物体在[]t t t ∆+00,这段时间内的平均速度。
例2：求函数21x y =在)0(00≠x x 到x x ∆+0之间的平均变化率。
【基础练习】：1.在平均变化率的定义中，自变量x 在0x 处的增量x ∆是否一定大于0？2.函数)(x f y =，当自变量x 由0x 变到x x ∆+0时，函数值的改变量为：3.已知函数132+=x y 的图像上一点)4,1(及邻近一点)4,1(y x ∆+∆+，则xy∆∆等于多少？4.已知函数132+=x y 的图像上一点)4,1(P 及附近一点),(00y x Q ，且21=∆∆x y ，则点Q 的坐标为多少？若P 为)1,0(呢？为)4,1(-呢？5.求函数122-=x y 在1-=x 和2-=x 处的平均变化率，并比较当21=∆x 时变化率的的大小。
2019-2020年高中数学《1.1.1变化率与导数》教案 新人教A版选修2-2
2019-2020年高中数学《1.1.1变化率与导数》教案 新人教A 版选修2-2教学目标：1． 理解平均变化率的概念； 2．2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是 ⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么 分析: ，⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 思考计算：和的平均速度 在这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 2．若设, (这里看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+代替x 2,同样) 3． 则平均变化率为xx f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考：观察函数f (x )的图象平均变化率表示什么?直线AB三．典例分析例1．已知函数f (x )=的图象上的一点及临近一点,则 ．解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求在附近的平均变化率。
高中数学《变化率问题》公开课优秀教学设计
《变化率问题》教学设计教材版本：普通高中数学教材人教A版《选修2-2》“1.1.1变化率问题”，一、教学内容分析导数是微积分的核心概念之一，是研究函数增减、变化快慢、最值问题的最一般、最有效的工具。
教材按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序安排，采用“逼近”的方法，从数形结合的角度定义导数，使导数概念的建立形象、直观而又容易理解，突出了导数概念的本质。
平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。
从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。
在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。
基于上述分析，我将本节课的教学重点确定为：理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。
二、学生情况分析（一）、学生已有的认知基础1、学生具备了一定的函数知识，可以通过表格、图像、关系式三种不同的函数表现形式，求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值。
并能从图像中看出函数变化的快与慢。
2、学生已在物理中学习了平均速度、瞬时速度、加速度等概念，比较容易理解可以用“平均速度”刻画物体在一段时间内的速度。
（二）可能存在的认知困难1、“吹气球”与“高台跳水”是学生非常熟悉的生活实例，如何从具体实例中抽象出共同的数学本质，能够用“平均变化率”对生活中的变化快慢现象进行合理的数学解释是本节课教学的关键，也是难点所在。
2、利用变化率的有关知识解释生活的中一些现象，需要学生具有一定抽象概括能力和应用数学数学语言表达问题的能力。
对高中生而言，抽象概括能力和应用数学语言的能力还有待进一步的提高。
高中数学选修2-21.1.1 变化率与导数学案
§1.1 变化率与导数学案§1.1.1 变化率问题学习目标：1.理解平均变化率的概念;2.了解平均变化率的几何意义;3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.教学难点：平均变化率的概念.教学过程：一、学习背景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课学习(一)问题提出问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?分析： (1)当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为可以看出：思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数)(x f 从1x 到2x 的平均变化率.2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用x x ∆+1代替2x ,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)则平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考: 观察函数)(x f 的图象平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?三、典例分析例1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆xy. [解析]:例2 求2x y =在0x x =附近的平均变化率.[解析]:四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 . 2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率. 3.过曲线3)(x x f y ==上两点)1,1(P 和)1,1(y x Q ∆+∆+作曲线的割线, 求出当1.0=∆x 时割线的斜率. 五、课堂反馈1． 设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ） A ()x x f ∆+0 B ()x x f ∆+0 C ()x x f ∆⋅0 D ()()00x f x x f -∆+2． 一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（ ）A －4B －8C 6D －63． 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的表面积增加S ∆等于（ ） A R R ∆π8 B ()248R R R ∆+∆ππ C ()244R R R ∆+∆ππ D ()24R ∆π4． 在曲线12+=x y 的图象上取一点（1,2）及附近一点()y x ∆+∆+2,1，则xy∆∆为（ ） A 21+∆+∆x x B 21-∆-∆x x C 2+∆x D xx ∆-∆+12 5． 在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h （单位：m ）与起跳后时间t （单位：s ）的函数关系是()105.69.42++-=t t t h ，则下列说法不正确的是（ ）A 在10≤≤t 这段时间里，平均速度是s m /6.1B 在49650≤≤t 这段时间里，平均速度是s m /0 C 运动员在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4965,0时间段内，上升的速度越来越慢 D 运动员在[]2,1内的平均速度比在[]3,2的平均速度小6．函数()x f y =的平均变化率的物理意义是指把()x f y =看成物体运动方程时，在区间[]21,t t 内的7．函数()x f y =的平均变化率的几何意义是指函数()x f y =图象上两点()()111,x f x P 、()()222,x f x P 连线的8．函数8232--=x x y 在31=x 处有增量5.0=∆x ，则()x f 在1x 到x x ∆+1上的平均变化率是 9．正弦函数x y sin =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π和⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ的平均变化率哪一个较大？ 10．甲、乙两人跑步路程与时间关系以及百米赛跑路程与时间关系分别如图（1）（2）所示，试问：（1）甲、乙两人哪一个跑得较快？（2）甲、乙两人百米赛跑，问接近终点时，谁跑得较快？11．一水库的蓄水量与时间关系如图所示，试指出哪一段时间（以两个月计）蓄水效果最好？哪一段时间蓄水效果最差？12．在受到制动后的t 秒内一个飞轮上一点P 旋转过的角度（单位：孤度）由函数()23.04t t t -=ϕ（单位：秒）给出（1）求t ＝2秒时，P 点转过的角度（2）求在t t ∆+≤≤22时间段内P 点转过的平均角速度，其中①1=∆t ，②1.0=∆t ③01.0=∆t§1.1.2 导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数. 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念. 教学难点：导数的概念. 学习过程： 一、创设情景 (一)平均变化率： (二)探究探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:二、学习新知 1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？ 结论: 小结:2.导数的概念 从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或'|x x y =即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;(2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-.三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求xy ∆∆,最后求x yx ∆∆→∆0lim .[解析]: (1)(2)例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C o )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.[解析]:注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为. 2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数. 3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、课堂反馈1．自变量由0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ）A 在区间],[10x x 上的平均变化率B 在0x 处的变化率C 在1x 处的变化率D 在区间],[10x x 上的导数2．下列各式中正确的是（ ）Ax x f x x f y x x x ∆-∆-=→∆=)()(|000'lim 0 B x x f x x f x f x ∆∆-∆-=→∆)()()(000'lim Cx x f x x f y x x x ∆+∆+=→∆=)()(|000'lim 0 D x x x f x f x f x ∆∆--=→∆)()()(0000'lim3．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（ ） A 2 B . －2C 3D －34．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（ ）A 0B 3C －2D t 23-5．函数xx y 1+=， 在1=x 处的导数是6．13-=x y ，当2=x 时 ，=∆∆→∆xyx lim 07．设圆的面积为A ，半径为r ，求面积A 关于半径r 的变化率。
人教A版高中数学选修2-2课件变化率问题.pptx
观察：某城市3月18日——4月20日的温度T（ ℃）相对于
时间t（天）的变化情况，用曲线图表示为：
T (℃)
C (34, 33.4)
30
思考
2（0 注： 3月18日
为第一天）
10 A (1, 3.5)
2
02
10
B (32, 18.6)
20
30 34t(天)
你能从图中观察出各时间段的温度变化情况吗？ 温度快慢的变化情况怎么刻画？
h
65 计算运动员在0 t 这段时间
49
里的平均速度, 并思考下面的问题o :
t
1 运动员在这段时间里是静止的吗? 2你认为用平均速 度描述 运动员运动
状态有什么问题吗?
四．课堂小结
三个实际变 化率问题
函数的平均变化率
代数表示
意义（实际、
几何）
思想方法
从特殊到一般
平均速度
瞬时速度
如何求瞬时速度， 课下你怎么去做？
空白演示
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引言
我们这一章研究的内容是导数及其应用， 导数研究的问题就是变化率问题， 即研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢情况．
在我们的日常生活中丰富多彩的变化 率问题是随处可见的，我们就从现实中的 三个问题出发, 开始变化率与导数学习!
1.1.1 变化率问题
问题一 温度变化率问题
相对于水面的高度h与起跳后的时间t
存在的函数关系：
h(t) 4.9t2 6.5t 10
实践操作
h(t) 4.9t2 6.5t 10
计算
在0 t 0.5这段时间里, v h 0.5 h 0 4.05m / s
0.5 0
在1 t 2这段时间里,
2018-2019学年人教A版选修2-2 1.1.1变化率问题 教案
教学设计1．1变化率与导数1．1.1变化率问题整体设计教材分析本节的主要知识内容是平均变化率，在众多变化率问题中，教材选择了气球膨胀率问题和高台跳水运动的速度问题，把生活中直观感受的变化率转化为数学中可以度量的变化率，并在此基础上推广到更大范围的函数变化率．这两个实例的共同特点是背景简单，对学生来说，一个是生活经验，一个是非常熟悉的物理知识．这样设计既可以引起学生的学习兴趣，又可以减少因背景内容的复杂而形成对数学知识的干扰．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标了解导数概念的实际背景，了解变化率和平均变化率的概念．2．过程与方法目标通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，为导数概念的产生奠定基础．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生的动手能力、合作学习能力，在对实际问题分析的过程中，体会数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．重点难点重点：函数的变化率、平均变化率．难点：通过大量的实例，使学生学会用数学的度量来描述平均变化率．教具准备10只气球多媒体视频文件教学过程引入新课引例1.姚明身高变化曲线图(横轴为年龄，纵轴为身高)．从图中，你能看出姚明在哪个年龄段身高变化最快吗？引例2.将班内学生平均分成10组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：(1)气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？(2)你认为膨胀速度与哪些量有关系？(3)球的体积公式是什么？有哪些基本量？(4)结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流． 学情预测：对第一个问题学生会很感兴趣，部分姚明的球迷更是热情高涨，很快就说出在13岁至16岁期间身高增长最快；对第二个问题学生可能会说出很多不同的答案．教师提问：哪一组同学能按顺序回答引例2的四个问题？学情预测：学生能够感知气球膨胀速度的问题，但未必能从体积和半径两个量的关系上说清楚．教师提示：由球的体积公式V(r)＝43πr 3可得，r(V)＝33V 4π.随着球内气体体积的增加，球半径也在增加．学情预测：经过提示和讨论后，学生能比较准确地叙述气球膨胀率了．设计意图自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，让学生能通过感知表象后，学会进一步探讨问题的本质，学会使用数学语言和用数学的观点分析问题，避免浅尝辄止和过分依赖老师．提出问题：问题1：当气球内空气的体积从0增加到1 L 时，气球的半径增加__________ dm ，此时气球的平均膨胀率为__________ dm/L.问题2：当气球内空气的体积从1 L 增加到2 L 时，气球的半径增加__________ dm ，此时气球的平均膨胀率为__________ dm/L.问题3：当气球内空气的体积从V 1 L 增加到V 2 L 时，气球的半径增加__________ dm ，此时气球的平均膨胀率为__________ dm/L.活动设计：学生先独立思考，独立运算，再小组讨论决定答案(对于膨胀率的理解可以从单位上看出)．活动成果：问题1：r(1)－r(0)≈0.62(dm)；r (1)－r (0)1－0≈0.62(dm/L)． 问题2：r(2)－r(1)≈0.16(dm)；r (2)－r (1)2－1≈0.16(dm/L)． 问题3：r(V 2)－r(V 1)；r (V 2)－r (V 1)V 2－V 1. 提出问题：(观看多媒体视频：高台跳水)人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，如果我们用运动员在某段时间内的平均速度v 描述其运动状态，那么，问题1：运动员在0≤t ≤0.5这段时间里的平均速度是多少？问题2：运动员在0≤t ≤1这段时间里的平均速度是多少？在1≤t ≤2这段时间里的平均速度是多少？在2≤t ≤3这段时间里的平均速度是多少？问题3：运动员在0≤t ≤6549这段时间里的平均速度是多少？运动员在这段时间里是静止的吗？问题4：你认为用平均速度描述运动员的运动状态准确合理吗？活动设计：观看视频，展示问题，对比前面的问题，先独立思考，再交流探索．活动成果：问题1：v ＝h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05(m/s)． 问题2：v ＝h (1)－h (0)1－0＝1.6(m/s)；v ＝h (2)－h (1)2－1＝－8.2(m/s)；v ＝h (3)－h (2)3－2＝－18(m/s)．问题3：∵h(6549)＝10＝h(0)，∴v ＝0.但是，这段时间运动员不是静止的．问题4：通过以上计算可以发现，平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，不能更精确地刻画运动员在某一时刻的运动状态．说明：像平均膨胀率、平均速度一样，平均变化率是一个比值，是一个平均值． 理解新知提出问题：根据你对前面两个问题的理解，试回答以下问题：问题1：已知函数f(x)＝x ＋1，求x 取从1到2时的平均变化率．问题2：已知函数f(x)＝1x，求x 取从1到2时的平均变化率． 问题3：已知函数f(x)＝lnx ，求x 取从1到2时的平均变化率．问题4：已知函数f(x)＝sinx ，求x 取从1到2时的平均变化率．通过这四个问题，分析它们的平均变化率不同的原因．活动设计：找四名同学在黑板上解答，其他同学独立解答，教师巡视，了解学情，待黑板上学生做完后，再由学生点评、更正，最后教师总结．活动成果：问题1：f (2)－f (1)2－1＝1；问题2：f (2)－f (1)2－1＝－12； 问题3：f (2)－f (1)2－1＝ln2；问题4：f (2)－f (1)2－1＝sin2－sin1. 不同的函数反映曲线的变化规律不同，它们的平均变化率也不同．对于任意函数f(x)，从x 1到x 2的平均变化率可以表示为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1；用Δy 表示y 2－y 1，即Δy ＝y 2－y 1.于是，平均变化率可以表示为Δy Δx. 如下图所示：思考：观察函数f (x )的图象，平均变化率Δf Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示什么？ 结论：结合图象，联系到解析几何中斜率的概念，可以看出，平均变化率实际上就是一个斜率表达式．设计意图通过对一些熟悉的实例中变化率的理解，逐步推广到一般情况，即从函数的角度去分析、应用变化率，并结合图形直观理解变化率的几何意义，为进一步加深理解变化率与导数做好铺垫．运用新知例1已知某质点运动规律满足s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt)中相应的平均速度为…( )A ．6＋ΔtB ．3＋ΔtC ．9＋ΔtD ．6＋Δt ＋1Δt思路分析：平均速度是指Δs Δt ，即(3＋Δt )2＋3－32－3Δt. 解：因为(3＋Δt )2＋3－32－3Δt ＝32＋6Δt ＋Δt 2＋3－32－3Δt＝6＋Δt ， 所以答案选A.点评：平均速度是变化率的一种情况，要恰当地进行解析式的恒等变形．例2过曲线f(x)＝x 3上两点P(1,1)、Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求当Δx ＝0.1时割线的斜率．思路分析：两点连线的斜率公式为y 2－y 1x 2－x 1，即(1＋Δy )－1(1＋Δx )－1＝Δy Δx. 解：因为Δy ＝(1＋Δx)3－1＝1＋3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3－1＝3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3，所以Δy Δx ＝3＋3Δx ＋Δx 2.当Δx ＝0.1时，Δy Δx＝3＋3×0.1＋0.12＝3.31. 巩固练习1．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则Δy Δx为( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2 B ．Δx －1Δx－2 C ．Δx ＋2 D ．2＋Δx －1Δx2．将半径为R 的球加热，若球的半径增量为ΔR ，则球的表面积增量ΔS 等于…( )A ．8πRΔRB ．8πRΔR ＋4π(ΔR)2C ．4πRΔR ＋4π(ΔR)2D ．4π(ΔR)23．函数y ＝3x 2－2x －8在x 1＝3处有增量Δx ＝0.5，则f(x)在x 1到x 1＋Δx 上的平均变化率是________．答案：1.C 2.B 3.17.5变练演编变式1：求函数f(x)＝x 2在x ＝x 0附近的平均变化率．变式2：物体按照s(t)＝3t 2＋t ＋4的规律作直线运动，求物体在t ＝4附近的平均速度． 变式3：物体按照s(t)＝3t 2＋t ＋4的规律作直线运动，在时间段(t ，t ＋3)内的平均速度为20，试确定t 的值．变式4：已知函数f(x)＝－x 2＋x 的图象上的一点A(－1，－2)，以及临近一点B(－1＋Δx ，－2＋Δy)，则AB 两点连线的斜率是多少？当Δx ＝0.1时，求AB 的斜率；当Δx ＝0.01时，求AB 的斜率；当Δx ＝0.001时，求AB 的斜率；试结合图形，分析这些结论．答案：变式1.2x 0＋Δx ；变式2.25＋3Δt ；变式3.53；变式4.3－Δx ；2.9；2.99；2.999；随着Δx 取值的变小，直线AB 的斜率逐渐稳定在3.0附近．达标检测1．在平均变化率的定义中，自变量的增量是( )A ．Δx>0B ．Δx<0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠02．已知函数f(x)＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则Δy Δx等于 ( ) A ．4 B ．4＋2ΔxC ．4＋ΔxD ．4Δx ＋(Δx)23．某日中午12时整，甲车自A 处以40 km/h 的速度向正东方向行驶，乙车自A 处以60 km/h 的速度向正西方向行驶，求当日12时30分时两车之间的距离对时间的变化率．答案：1.D 2.B 3.100 km/h. 课堂小结阅读教材，通过对所讲内容的梳理，总结知识和方法如下：1．平均变化率的概念．2．函数在某点附近的平均变化率．3．通过对现实生活中的实例分析，了解变化率的实质．布置作业课本习题1.1A1；补充练习1～3.补充练习1．设函数y ＝f(x)，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )A ．f(x 0＋Δx)B ．f(x 0)＋ΔxC ．f(x 0)·ΔxD ．f(x 0＋Δx)－f(x 0)2．一质点运动的方程为s ＝1－2t 2，则在一段时间[1,2]内的平均速度为( )A ．－4B ．－8C ．6D ．－63．正弦函数y ＝sinx 在区间[0，π6]和[π3，π2]的平均变化率哪一个较大？ 答案：1.D 2.D3．正弦函数y ＝sinx 在区间[0，π6]的平均变化率比在区间[π3，π2]的平均变化率大． 设计说明本节课是导数概念的起始课，主要介绍变化率、平均变化率的概念，内容比较简单．但是要想从源头上说明导数的意义，必须重视本节课的教学．高中阶段的导数知识来源于生活，所以我们从生活中比较常见的变化率实例入手，采取观察、演示、相互交流等手段，培养学生接受新知识、认识新事物的能力．所选择的实例经过分析、变式以后，逐步推广到一般情况，于是，问题进入到研究函数平均变化率问题上来．随后我们从数、式、图三个方面分别做了练习，这时对变化率的理解基本达到了教材引出导数概念的要求．对于知识的形成过程，我们希望不急于引出概念，而是用形象直观的“逼近”方法定义变化率、平均变化率以及导数的概念．同时，对于学生的自主学习培养，也要提供丰富的素材和广阔的空间．备课资料微积分成为一门学科是在17世纪，但是微分和积分的思想在古代就已经产生了．公元前3世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想．作为微分学基础的极限理论来说，早在古代已有比较清楚的论述．比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣．”这些都是朴素的、也很典型的极限概念．到了17世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素．归结起来，大约主要有四种类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求瞬时速度的问题；第二类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力．17世纪许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献．17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，这只是十分初步的工作，他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求和问题(积分学的中心问题)．牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源．牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的．牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合．他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数．牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度(微分法)；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)．德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》．就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义.1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献，他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响．现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的．微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力．。
高中数学选修2-2教学设计9：1.1.1 变化率问题教案
1．1.1 变化率问题教学目标 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法. 知识梳理知识点一 函数的平均变化率1．平均变化率的概念设函数y ＝f (x )，x 1，x 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为Δy Δx． 2．求平均变化率求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]上平均变化率的步骤如下：(1)求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1；(2)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx . 思考 (1)如何正确理解Δx ，Δy?(2)平均变化率的几何意义是什么？(1)Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零．(2)如图所示：y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，⎪⎪⎪⎪Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然．平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y ＝f (x )图象上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝k AB . 知识点二 瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt. 物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t 0的速度，即t 0时刻的瞬时速度，用v 表示，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 在Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率．思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？(2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？(1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢．(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率Δy Δx趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值．题型探究题型一 求平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝12时该函数的平均变化率．解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[2(x 0＋Δx )2＋3]－(2x 20＋3)Δx＝4x 0Δx ＋2(Δx )2Δx＝4x 0＋2Δx . 当x 0＝2，Δx ＝12时，平均变化率的值为4×2＋2×12＝9. 反思与感悟 平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率问题，即求Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的值． 跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx＝______________.(2)求函数y ＝f (x )＝1x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率(x 0≠0)． (1)[答案]2Δx ＋4[解析]因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(Δx )2＋4Δx ，所以平均变化率Δy Δx＝2Δx ＋4. (2)解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝1(x 0＋Δx )2－1x 20 ＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20， ∴Δy Δx＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20Δx ＝－2x 0＋Δx (x 0＋Δx )2x 20. 题型二 实际问题中的瞬时速度例2 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．解 (1)初速度v 0＝lim Δt →0s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →03Δt －(Δt )2Δt＝lim Δt →0(3－Δt )＝3. 即物体的初速度为3 m/s.(2)v 瞬＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →03(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0－(Δt )2－Δt Δt＝lim Δt →0(－Δt －1)＝－1. 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度方向相反．(3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1. 即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.反思与感悟 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt 趋近于0，指时间间隔Δt 越来越小，但不能为0，Δt ，Δs 在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数．跟踪训练2 已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为s ＝12gt 2，其中g 为重力加速度，g ≈9.8米/平方秒(s 的单位：米)．(1)求t 从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度；(2)求t ＝3秒时的瞬时速度．跟踪训练2 解 (1)当t 在区间[3,3.1]上时，Δt ＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs ＝s (3.1)－s (3) ＝12g ·3.12－12g ·32≈2.989(米)． v 1＝Δs Δt ≈2.9890.1＝29.89(米/秒)． 同理，当t 在区间[3,3.01]上时，v 2≈29.449(米/秒)，当t 在区间[3,3.001]上时，v 3≈29.404 9(米/秒)，当t 在区间[3,3.000 1]上时，v 4≈29.400 49(米/秒)．(2)Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32Δt＝12g (6＋Δt )， lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0 12g (6＋Δt )＝3g ≈29.4(米/秒)． 所以t ＝3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒．当堂检测1．在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx 应满足( )A ．Δx ＞0B ．Δx ＜0C ．Δx ≠0D ．Δx 可为任意实数[答案]C[解析]因平均变化率为Δy Δx，故Δx ≠0.] 2．沿直线运动的物体从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0Δs Δt 为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度B ．t 时刻物体的瞬时速度C ．当时间为Δt 时物体的速度D ．从时间t 到t ＋Δt 时位移的平均变化率[答案]B[解析]v ＝Δs Δt ，而li m Δt →0 Δs Δt 则为t 时刻物体的瞬时速度． 3．以初速度为v 0(v 0＞0)作竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在t 0时刻的瞬时加速度．解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2， ∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt →0时，Δs Δt→v 0－gt 0. ∴物体在t 0时刻的瞬时速度为v 0－gt 0.由此，类似地可得到物体运动的速度函数为v (t )＝v 0－gt ， ∴Δv Δt ＝v 0－g (t 0＋Δt )－(v 0－gt 0)Δt＝－g . ∴当Δt →0时，Δv Δt→－g . 故物体在t 0时刻的瞬时加速度为－g .。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《变化率问题》示范教案
模块纵览课标要求1．知识与技能通过大量生活实例和数学实例，了解导数、定积分的概念，了解合情推理的含义、直接证明和间接证明的基本方法，以及数系的扩充过程和复数的概念．能利用有关公式和法则解决函数单调性、函数极值和最值问题，能解决简单的数学推理和证明问题，能进行简单的复数运算．2．过程与方法通过大量的实例，让学生去体会导数、定积分等概念的形成过程，体会类比推理和归纳推理的思维方法．经历、体验和实践探索过程，让学生明白过程的重要性，培养学生在过程中学习知识、领会知识的习惯．3．情感、态度与价值观兴趣是最好的老师，带着发现问题、解决问题的积极性去学习本模块知识，在大量的实际问题和数学实例中去研究探索、归纳总结，可以培养学生锲而不舍、勇于挑战自我的学习习惯和敢于质疑、敢于批判的学习精神．内容概述在本模块中，我们将学习导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入三章内容．微积分的创立、发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．本模块中，学生将通过大量实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了解导数在研究函数单调性、极值等性质中的作用，初步了解定积分的概念，为今后学习微积分打下基础．通过对本模块知识的学习，学生将体会导数的思想及其丰富的内涵，感受导数在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值．推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式．推理包括合情推理和演绎推理，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养；演绎推理则是根据已有的事实和结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成．证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，本模块将学习直接证明和间接证明的几种常用方法．复数的引入是数系扩充和数学发展的必然需要．在本模块的学习中，学生将通过问题背景了解数系的扩充过程，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用．教学建议本模块的教学是在学生已有学习知识和基础上对数学知识和方法的扩充和完善，所以教学中一定要注意以下几个问题：首先，无论是导数、定积分、复数的概念，还是推理与证明的几种思想方法，都是通过对大量生产生活实际和数学问题的分析探索、研究、归纳得出的．因此，不能通过简单的记忆和大量的训练来要求学生掌握，要防止仅仅作为一些规则和步骤来学习，防止片面追求对概念的抽象表述．应当引导学生去直观理解，去探索、猜测一些数学结论，应当重视过程教学，培养学生带着兴趣学习、带着问题探究的学习态度．其次，鉴于本模块知识是对必修内容的发展和完善，综合性强，应用性强，教学中要帮助学生建立科学合理的知识体系，让学生在感受知识的发展过程中体会它们的作用．对于导数知识和推理与证明方法，要体现它们的工具作用，要实事求是、循序渐进，切不可盲目追求技巧，盲目拔高要求．第一章导数及其应用本章概览教材分析微积分的创立是数学史上的里程碑，它的发展及应用开创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段．导数和定积分是微积分的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛应用．为了描述现实世界中运动、变化的现象，在数学中引入了函数，刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念，随着对函数研究的不断深入，产生了微积分，它是数学发展史上继欧式几何后的又一个具有划时代意义的伟大创举．微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度．反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等．几百年来，科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰．终于，在17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹在前人探索和研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分．导数是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题的最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具．定积分也是微积分的核心概念之一，自然科学和生产实践中的许多问题，如一般平面图形的面积、变速直线运动的路程、变力所作的功等都可以归结为定积分问题．本章在教材处理时，将利用丰富的背景与大量实例来学习导数和定积分的基本概念与思想方法；通过应用导数研究函数性质、解决生活中的最优化问题等实践活动，通过应用定积分解决一些简单的几何问题和物理问题，初步感受导数和定积分在解决数学问题和实际问题中的作用；通过微积分基本定理的学习，初步体会导数与定积分之间的联系．本章内容是研究函数的有力工具，是对学生进行思维训练的良好素材．导数在处理单调性、最值等问题时，能降低思维难度、简化思维过程，其地位由解决问题的辅助工具上升为解决问题的有力工具，是中学数学中联系多个章节内容的重要知识交汇点．课标要求(1)导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景．②理解导数的几何意义．(2)导数的运算①能根据导数定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．②能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．(3)导数在研究函数中的应用①了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)，会求在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．(4)生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题．(5)定积分与微积分基本定理①了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．②了解微积分基本定理的含义．教学建议导数有着丰富的实际背景和广泛应用，教学时可以从生活现象的数学解释作为切入点，注重思想方法的渗透，同时还要注重从实际意义、数值意义、几何意义等方面理解导数的思想与内涵．对于公式和法则的记忆和应用，要准确规范，适量的练习对于熟悉公式和法则是必要的．导数在研究函数问题中的应用，可以采用数形结合的教学思想，结合必修课程中的有关内容，采取循序渐进的方式完成．导数与定积分来源于生活，最终还要服务于生活，它的优越性、简洁性要有所体现．教学中要充分调动学生的学习自主性和积极性，使学生在学习知识的过程中体会数学知识的和谐美和获取知识的喜悦感．课时分配本章教学时间大约需要23课时，具体分配如下(仅供参考)：1．1变化率与导数1．1.1变化率问题整体设计教材分析本节的主要知识内容是平均变化率，在众多变化率问题中，教材选择了气球膨胀率问题和高台跳水运动的速度问题，把生活中直观感受的变化率转化为数学中可以度量的变化率，并在此基础上推广到更大范围的函数变化率．这两个实例的共同特点是背景简单，对学生来说，一个是生活经验，一个是非常熟悉的物理知识．这样设计既可以引起学生的学习兴趣，又可以减少因背景内容的复杂而形成对数学知识的干扰．课时分配1课时．教学目标1．知识与技能目标了解导数概念的实际背景，了解变化率和平均变化率的概念．2．过程与方法目标通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，为导数概念的产生奠定基础．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生的动手能力、合作学习能力，在对实际问题分析的过程中，体会数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神．重点难点重点：函数的变化率、平均变化率．难点：通过大量的实例，使学生学会用数学的度量来描述平均变化率．教具准备10只气球 多媒体视频文件教学过程引入新课引例1.姚明身高变化曲线图(横轴为年龄，纵轴为身高)．从图中，你能看出姚明在哪个年龄段身高变化最快吗？引例2.将班内学生平均分成10组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：(1)气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？(2)你认为膨胀速度与哪些量有关系？(3)球的体积公式是什么？有哪些基本量？(4)结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题．活动设计：先让学生独立思考，然后小组交流，教师巡视指导，并注意与学生交流． 学情预测：对第一个问题学生会很感兴趣，部分姚明的球迷更是热情高涨，很快就说出在13岁至16岁期间身高增长最快；对第二个问题学生可能会说出很多不同的答案．教师提问：哪一组同学能按顺序回答引例2的四个问题？学情预测：学生能够感知气球膨胀速度的问题，但未必能从体积和半径两个量的关系上说清楚．教师提示：由球的体积公式V(r)＝43πr 3可得，r(V)＝33V 4π.随着球内气体体积的增加，球半径也在增加．学情预测：经过提示和讨论后，学生能比较准确地叙述气球膨胀率了．设计意图自然合理地提出问题，让学生体会“数学来源于生活”，创造和谐积极的学习气氛，让学生能通过感知表象后，学会进一步探讨问题的本质，学会使用数学语言和用数学的观点分析问题，避免浅尝辄止和过分依赖老师．提出问题：问题1：当气球内空气的体积从0增加到1 L 时，气球的半径增加__________ dm ，此时气球的平均膨胀率为__________ dm/L.问题2：当气球内空气的体积从1 L 增加到2 L 时，气球的半径增加__________ dm ，此时气球的平均膨胀率为__________ dm/L.问题3：当气球内空气的体积从V 1 L 增加到V 2 L 时，气球的半径增加__________ dm ，此时气球的平均膨胀率为__________ dm/L.活动设计：学生先独立思考，独立运算，再小组讨论决定答案(对于膨胀率的理解可以从单位上看出)．活动成果：问题1：r(1)－r(0)≈0.62(dm)；r (1)－r (0)1－0≈0.62(dm/L)． 问题2：r(2)－r(1)≈0.16(dm)；r (2)－r (1)2－1≈0.16(dm/L)． 问题3：r(V 2)－r(V 1)；r (V 2)－r (V 1)V 2－V 1. 提出问题：(观看多媒体视频：高台跳水)人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，如果我们用运动员在某段时间内的平均速度v 描述其运动状态，那么，问题1：运动员在0≤t ≤0.5这段时间里的平均速度是多少？问题2：运动员在0≤t ≤1这段时间里的平均速度是多少？在1≤t ≤2这段时间里的平均速度是多少？在2≤t ≤3这段时间里的平均速度是多少？问题3：运动员在0≤t ≤6549这段时间里的平均速度是多少？运动员在这段时间里是静止的吗？问题4：你认为用平均速度描述运动员的运动状态准确合理吗？活动设计：观看视频，展示问题，对比前面的问题，先独立思考，再交流探索．活动成果：问题1：v ＝h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05(m/s)． 问题2：v ＝h (1)－h (0)1－0＝1.6(m/s)；v ＝h (2)－h (1)2－1＝－8.2(m/s)；v ＝h (3)－h (2)3－2＝－18(m/s)．问题3：∵h(6549)＝10＝h(0)，∴v ＝0.但是，这段时间运动员不是静止的． 问题4：通过以上计算可以发现，平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，不能更精确地刻画运动员在某一时刻的运动状态．说明：像平均膨胀率、平均速度一样，平均变化率是一个比值，是一个平均值． 理解新知提出问题：根据你对前面两个问题的理解，试回答以下问题：问题1：已知函数f(x)＝x ＋1，求x 取从1到2时的平均变化率．问题2：已知函数f(x)＝1x，求x 取从1到2时的平均变化率． 问题3：已知函数f(x)＝lnx ，求x 取从1到2时的平均变化率．问题4：已知函数f(x)＝sinx ，求x 取从1到2时的平均变化率．通过这四个问题，分析它们的平均变化率不同的原因．活动设计：找四名同学在黑板上解答，其他同学独立解答，教师巡视，了解学情，待黑板上学生做完后，再由学生点评、更正，最后教师总结．活动成果：问题1：f (2)－f (1)2－1＝1；问题2：f (2)－f (1)2－1＝－12； 问题3：f (2)－f (1)2－1＝ln2；问题4：f (2)－f (1)2－1＝sin2－sin1. 不同的函数反映曲线的变化规律不同，它们的平均变化率也不同．对于任意函数f(x)，从x 1到x 2的平均变化率可以表示为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1. 习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1；用Δy 表示y 2－y 1，即Δy ＝y 2－y 1.于是，平均变化率可以表示为Δy Δx. 如下图所示：思考：观察函数f (x )的图象，平均变化率Δf Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示什么？ 结论：结合图象，联系到解析几何中斜率的概念，可以看出，平均变化率实际上就是一个斜率表达式．设计意图通过对一些熟悉的实例中变化率的理解，逐步推广到一般情况，即从函数的角度去分析、应用变化率，并结合图形直观理解变化率的几何意义，为进一步加深理解变化率与导数做好铺垫．运用新知例1已知某质点运动规律满足s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt )中相应的平均速度为…( )A ．6＋ΔtB ．3＋ΔtC ．9＋ΔtD ．6＋Δt ＋1Δt思路分析：平均速度是指Δs Δt ，即(3＋Δt )2＋3－32－3Δt.解：因为(3＋Δt )2＋3－32－3Δt ＝32＋6Δt ＋Δt 2＋3－32－3Δt＝6＋Δt ， 所以答案选A.点评：平均速度是变化率的一种情况，要恰当地进行解析式的恒等变形．例2过曲线f(x)＝x 3上两点P(1,1)、Q(1＋Δx ,1＋Δy )作曲线的割线，求当Δx ＝0.1时割线的斜率．思路分析：两点连线的斜率公式为y 2－y 1x 2－x 1，即(1＋Δy )－1(1＋Δx )－1＝Δy Δx. 解：因为Δy ＝(1＋Δx )3－1＝1＋3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3－1＝3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3，所以Δy Δx ＝3＋3Δx ＋Δx 2.当Δx ＝0.1时，Δy Δx＝3＋3×0.1＋0.12＝3.31. 巩固练习1．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx ,2＋Δy )，则Δy Δx为( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2 B ．Δx －1Δx－2 C ．Δx ＋2 D ．2＋Δx －1Δx2．将半径为R 的球加热，若球的半径增量为ΔR ，则球的表面积增量ΔS 等于…( )A ．8πRΔRB ．8πRΔR ＋4π(ΔR )2C ．4πRΔR ＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )23．函数y ＝3x 2－2x －8在x 1＝3处有增量Δx ＝0.5，则f(x)在x 1到x 1＋Δx 上的平均变化率是________．答案：1.C 2.B 3.17.5变练演编变式1：求函数f(x)＝x 2在x ＝x 0附近的平均变化率．变式2：物体按照s(t)＝3t 2＋t ＋4的规律作直线运动，求物体在t ＝4附近的平均速度． 变式3：物体按照s(t)＝3t 2＋t ＋4的规律作直线运动，在时间段(t ，t ＋3)内的平均速度为20，试确定t 的值．变式4：已知函数f(x)＝－x 2＋x 的图象上的一点A(－1，－2)，以及临近一点B(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则AB 两点连线的斜率是多少？当Δx ＝0.1时，求AB 的斜率；当Δx ＝0.01时，求AB 的斜率；当Δx ＝0.001时，求AB 的斜率；试结合图形，分析这些结论．答案：变式1.2x 0＋Δx ；变式2.25＋3Δt ；变式3.53；变式4.3－Δx ；2.9；2.99；2.999；随着Δx 取值的变小，直线AB 的斜率逐渐稳定在3.0附近．达标检测1．在平均变化率的定义中，自变量的增量是( )A ．Δx>0B ．Δx<0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠02．已知函数f(x)＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ,1＋Δy )，则Δy Δx 等于 ( ) A ．4 B ．4＋2ΔxC ．4＋ΔxD ．4Δx ＋(Δx )23．某日中午12时整，甲车自A 处以40 km/h 的速度向正东方向行驶，乙车自A 处以60 km/h 的速度向正西方向行驶，求当日12时30分时两车之间的距离对时间的变化率．答案：1.D 2.B 3.100 km/h.课堂小结阅读教材，通过对所讲内容的梳理，总结知识和方法如下：1．平均变化率的概念．2．函数在某点附近的平均变化率．3．通过对现实生活中的实例分析，了解变化率的实质．布置作业课本习题1.1A1；补充练习1～3.补充练习1．设函数y ＝f(x)，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )A ．f(x 0＋Δx )B ．f(x 0)＋ΔxC ．f(x 0)·ΔxD ．f(x 0＋Δx )－f(x 0)2．一质点运动的方程为s ＝1－2t 2，则在一段时间[1,2]内的平均速度为( )A ．－4B ．－8C ．6D ．－63．正弦函数y ＝sinx 在区间[0，π6]和[π3，π2]的平均变化率哪一个较大？ 答案：1.D 2.D3．正弦函数y ＝sinx 在区间[0，π6]的平均变化率比在区间[π3，π2]的平均变化率大． 设计说明本节课是导数概念的起始课，主要介绍变化率、平均变化率的概念，内容比较简单．但是要想从源头上说明导数的意义，必须重视本节课的教学．高中阶段的导数知识来源于生活，所以我们从生活中比较常见的变化率实例入手，采取观察、演示、相互交流等手段，培养学生接受新知识、认识新事物的能力．所选择的实例经过分析、变式以后，逐步推广到一般情况，于是，问题进入到研究函数平均变化率问题上来．随后我们从数、式、图三个方面分别做了练习，这时对变化率的理解基本达到了教材引出导数概念的要求．对于知识的形成过程，我们希望不急于引出概念，而是用形象直观的“逼近”方法定义变化率、平均变化率以及导数的概念．同时，对于学生的自主学习培养，也要提供丰富的素材和广阔的空间．备课资料微积分成为一门学科是在17世纪，但是微分和积分的思想在古代就已经产生了．公元前3世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想．作为微分学基础的极限理论来说，早在古代已有比较清楚的论述．比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣．”这些都是朴素的、也很典型的极限概念．到了17世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素．归结起来，大约主要有四种类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求瞬时速度的问题；第二类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力．17世纪许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论，为微积分的创立做出了贡献．17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，这只是十分初步的工作，他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求和问题(积分学的中心问题)．牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源．牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的．牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合．他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数．牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度(微分法)；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)．德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》．就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义.1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献，他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响．现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的．微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力．(设计者：张春生)。
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1.1.1变化率问题
教学目标：
1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；
3．会求函数在某点处附近的平均变化率
教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33
4)(r r V π=
⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3
43)(π
V V r = 分析: 3
43)(π
V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为
)/(62.00
1)
0()1(L dm r r ≈--
⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为
)/(16.01
2)
1()2(L dm r r ≈--
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．
思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?
1
212)
()(V V V r V r --
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后
的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2
+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度
在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)
0()5.0(s m h h v =--=
； 在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)
1()2(s m h h v -=--=
探究：计算运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2
+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49
65
(
h h =， 所以)/(0049
65)
0()49
65
(
m s h h v =--=， 虽然运动员在49
65
0≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，
并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:
1．上述问题中的变化率可用式子 1
212)
()(x x x f x f --表示,
称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变
化率
2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用
x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)
3． 则平均变化率为
=
∆∆=∆∆x
f
x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=
∆∆x
f
1212)()(x x x f x f --表示什么?
直线AB
三．典例分析
例1．已知函数f (x )=x x +-2
的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点
)2,1(y x B ∆+-∆+-,则
=∆∆x
y
． 解：)1()1(22
x x y ∆+-+∆+--=∆+-，
∴x x
x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2
x y =在0x x =附近的平均变化率。
解：2
02
0)(x x x y -∆+=∆，所以x
x x x x y ∆-∆+=∆∆2
020)( x x x
x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=02
0202022
所以2
x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02
四．课堂练习
1．质点运动规律为32
+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 ．
2.物体按照s (t )=3t 2
+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率. 3.过曲线y =f (x )=x 3
上两点P （1，1）和Q (1+Δx ,1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率. 五．回顾总结
1．平均变化率的概念
2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业
253t
∆+。