将军饮马模型(终稿)

将军饮马模型
将军饮马模型
一、背景知识：
【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营 A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营 B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“ 将军饮马”的问题便流传至今．
【问题原型】将军饮马造桥选址费马点
【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；
三角形两边三边关系；轴对称；平移；
【解题思路】找对称点，实现折转直
二、将军饮马问题常见模型
1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小
例1：在定直线l上找一个动点 P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小，即 PA+PB 最小 .
作法：连接 AB ，与直线l 的交点Q，
Q 即为所要寻找的点，即当动点P 跑到了点 Q 处，
PA+PB 最小，且最小值等于AB.
原理：两点之间线段最短。

证明：连接 AB ，与直线l 的交点Q，P为直线 l 上任意一点，
在⊿ PAB 中，由三角形三边关系可知：AP+PB ≧ AB( 当且仅当 PQ 重合时取﹦ )
例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 的和最小 .
关键：找对称点
作法：作定点 B 关于定直线l的对称点 C，连接 AC ，与直线 l 的交点 Q 即为所要寻找的点，即
当动点 P 跑到了点 Q 处， PA+PB 和最小，且最小值等于 AC. 原理：两点之间，线段最短
证明：连接 AC ，与直线l 的交点Q，P为直线 l 上任意一点，
在⊿ PAC 中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧ AC( 当且仅当 PQ 重合时取﹦ )
2.两动一定型
例3：在∠ MON 的内部有一点 A ，在 OM 上找一点 B ，在 ON 上找一点 C，使得△ BAC 周长最短．
作法：作点 A 关于 OM 的对称点 A’，作点 A 关于 ON 的对称点 A’’，连接 A’ A ’’，与 OM 交于点 B，与 ON 交于点 C，连接 AB ， AC ，△ ABC 即为所求．
原理：两点之间，线段最短
例 4：在∠ MON 的内部有点 A 和点 B ，在 OM 上找一点 C ，在 ON 上找一点 D ，使得四边形 ABCD 周长最短．
作法： 作点 A 关于 OM 的对称点 A ’，作点 B 关于 ON 的对称点 B ’，连接 A ’ B ，’与 OM 交于点 C ，与 ON 交于点 D ，连接 AC ， BD ， AB ，四边形 ABCD 即为所求．原理： 两点之间，线段最短
3. 两定两动型最值
例 5：已知 A 、B 是两个定点， 在定直线 l 上找两个动点 M 与 N ，且 MN 长度等于定长 d （动
点 M 位于动点 N 左侧），使 AM+MN+NB 的值最小 .
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移
作法一： 将点 A 向右平移长度 d 得到点 A ’， 作 A ’关于直线
l 的对称点 A ’’，连接 A ’’B ，
交直线 l
于点 N ，将点 N 向左平移长度
d
M。

，得到点 作法二 ：作点 A 关于直线 l 的对称点 A 1，将点
A1 向右平移长度
d 得到点 A 2，连接 A 2 B ，
交直线 l
于点 Q ，将点 Q 向左平移长度
d
Q
，得到点 。

原理： 两点之间，线段最短，最小值为
A ’’B+MN
例6：（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为 30 米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？
例6：直线l1∥l2，在直线l1上找一个点 C，直线l2上找一个点 D ，使得 CD⊥l2,且 AC ＋ BD ＋CD 最短．
作法：将点 A 沿 CD 方向向下平移CD 长度d至点 A’，连接 A’B，交l2于点 D，过点 D 作
DC⊥l2于点 C，连接 AC ．则桥 CD 即为所求．此时最小值为 A’B+CD 原理：两点之间，线段最短，
4. 垂线段最短型
例 7：在∠MON的内部有一点 A ，在 OM 上找一点B，在 ON 上找一点C，使得 AB ＋ BC
最短．
原理：垂线段最短
点A 是定点， OM ， ON 是定线，
点B 、点 C 是 OM 、 ON 上要找的点，是动点．
作法：作点 A 关于 OM 的对称点A’，过点 A’作 A’C⊥ ON，
交 OM 于点 B，B、C 即为所求。

例 8：在定直线l 上找一个动点P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之差最小，即PA-PB
最小 .
作法：连接 AB ，作 AB 的中垂线与l 的交点，即为所求点P
此时 |PA-PB |=0
原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
例9：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大
作法：延长 BA 交l于点 C，点 C 即为所求，
即点 B 、A 、 C 三点共线时，最大值为AB 的长度。

原理：三角形任意两边之差小于第三边
例10：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作点 B 关于l的对称点B，连接 AB ，
交交 l 于点P即为所求，最大值为AB 的长度。

原理：三角形任意两边之差小于第三边
典型例题三角形
1．如图，在等边△ABC 中， AB = 6 ， AD ⊥ BC， E 是 AC 上的一点， M 是 AD 上的一点，且 AE = 2 ，求 EM+EC 的最小值
A
A
E
E M H
M
B D
C B
D
C
解：点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B ，连接 BE，交 AD 于点 M ，则 ME+MD最小，过点 B 作 BH⊥AC 于点 H，
则 EH=AH –AE=3 –2=1，BH= BC 2222 -CH = 6-3 =3 3
在直角△ BHE 中， BE =BH2 + HE2=(3 3)2 + 12= 27。