将军饮马讲解
八年级将军饮马问题例题讲解
八年级将军饮马问题例题讲解哎呀，今天咱们聊聊八年级的将军饮马问题，听名字就觉得特别有意思，对吧？咱们先来个开门见山，将军带着他的军队，经过一条河，得给马喝水。
这问题看似简单，但其实里面藏着不少小玄机，真的是个大考验，脑袋瓜得动一动。
想象一下，这将军带着一帮士兵，行军走到河边，嗨，口渴得不行，马儿们更是想喝水。
可是，问题来了，河边的水不深，能让马儿们喝到，但不让它们掉进水里。
将军一边心急如焚，一边得想办法。
怎么让这些马儿在喝水的时候不掉进河里呢？这时候就得用到一些小技巧了。
咱们可以想象一下，马儿们得排队，得一个一个地喝水。
将军心里想着，得控制好马儿的喝水速度，别让它们都挤在一起，这样容易出事。
也许能用一些方法，比如说把马儿们牵得远一些，慢慢地让它们喝，像是在参加比赛一样，嘿嘿，真是有意思的场景。
想想马儿们排成一队，乖乖的，一个个慢慢走过来喝水，真是可爱。
这时候就得算一算了，马儿们得喝多少水，每匹马喝水的速度又有多快。
嘿，可能是三两口就满足了，也可能是急着想喝个痛快，一口气喝个干净。
将军得根据情况来调整策略，真是够麻烦的。
不过，思来想去，最好的办法还是得让马儿们分批来，排着队，井然有序。
然后，咱们再来想象一下，如果马儿们不听话，乱跑，那可就麻烦了。
想象一下将军那个急得直挠头的样子，心里想着：这马儿也太不听话了！要不就得用点小办法，比如说放一块香饽饽在河边，吸引它们过来，嘿嘿，果然，马儿们就乖乖走过来喝水了。
就像小朋友看到喜欢的玩具一样，立马就冲过去了，真是太可爱了。
接着咱们来讨论一下，假设这条河不宽，马儿们很快就能喝到水，那将军得加快速度，不能让马儿们等太久。
想想那画面，马儿们都急得不行，口水都快流下来了，哈哈，真是个搞笑的场景。
将军这时候就得使出浑身解数，调整路线，确保马儿们能尽快喝水。
但是，事情总是没那么简单。
马儿喝水喝得急，可能还会打架，踩到脚，这可就不好了。
所以，将军得一边指挥，一边安抚，真是一场心力交瘁的战斗。
将军饮马原理讲解
将军饮马原理讲解什么是将军饮马原理？将军饮马原理是一种决策原理，源自中国古代的军事策略。
它以将军饮马的情节为比喻，用于形容面对困境时需要果断行动并承担风险。
这个原理强调在面临困难、迅速做出决策的重要性，并且意味着决策的过程中可能需要放弃一些被认为是安全的选项。
原理背景及故事将军饮马原理的背后，是一则历史故事。
相传战国时期，齐国的将军孙膑面对强大的秦军进攻，陷入了一种重重围困的局面。
这时，孙膑决定采用一个非常大胆的计划来解救自己的部队。
他利用秦军对自己有所轻视的心理，故意让自己的马队落在秦军陷阱中。
而后，他带领着身边仅剩的几个人，跳进渊水中饮马，瞬间颠覆了敌人对他们的认知。
孙膑的果断决策和豪气义举，最终获得了胜利。
这个故事成为了将军饮马原理的象征，告诉我们在面对逆境时，需要勇于决策、果断行动，并愿意承担风险。
将军饮马原理的应用将军饮马原理在现实生活中有许多应用场景。
我们可以从以下几个方面来理解和应用这一原理。
1. 掌握主动权将军饮马原理强调在面临困境时，要有勇气果断行动并争取主动权。
这意味着我们需要在逆境中积极寻求突破点，采取积极主动的策略，而不是被动等待。
面对新的挑战、困难，我们应该勇敢尝试，而不是被过去的经验所束缚。
只有勇于决策，不断尝试新的方式，才能获得突破和成功。
2. 放弃安全选项将军饮马原理告诉我们，在特定情况下，我们可能需要放弃一些看似安全的选项。
安全意味着稳定和舒适，但有时为了实现更大的目标，我们需要做出一些看似冒险的选择。
在做决策时，我们要明确自己的目标和追求的价值，权衡利弊，做出适当的决策。
3. 估量风险将军饮马原理的故事虽然强调了决策的果断性，但并不意味着不顾一切地冒险行动。
在做出决策时，我们也要合理估量风险。
这需要我们对局势有准确的判断和对自身能力的评估，适时把握时机，才能在决策中实现有效的风险控制。
总结将军饮马原理通过历史故事向我们展示了面对困境时果断行动和承担风险的重要性。
1最值系列之将军饮马
最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．例题：如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA 和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．【两定两动之点点】在OA 、OB 上分别取点M 、N 使得四边形PMNQ 的周长最小。
BB考虑PQ 是条定线段，故只需考虑PM +MN +NQ 最小值即可，类似，分别作点P 、Q 关于OA 、OB 对称，化折线段PM +MN +NQ 为P ’M +MN +NQ ’，当P ’、M 、N 、Q ’共线时，四边形PMNQ 的周长最小。
【一定两动之点线】在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。
BB此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）三、几何图形中的将军饮马1．正方形中的将军饮马（1）如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值是___________NMDCBA POBAM N（2）.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为（3）.如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB上的动点，则PC +PD 的最小值为2．三角形中的将军饮马(1).如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．(2).如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________．PDCBAABCDM NN M D BA3.角分线系列之点点如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为4.角分线系列之点线（2）如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是5.矩形、菱形中的将军饮马如图，在菱形ABCD 中，AC=BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是EPDCBAM6.折点在边上如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( )E AFCDBNM D C BA7.折点与面积如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为( )8.全等与对称如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为9.60°角的对称如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OPM 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )．10.30°角的对称如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．DCBAPH FGEDCB AABMOP Nx11.20°角的对称如图，已知正比例函数y=kx（k>0）的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx（k>0）的图像上的两个动点，则AM+MP+PN 的最小值为____________．12．将军过桥已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】【将军过两个桥】已知将军在图中点A 处，现要过两条河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？军营B考虑PQ 、MN 均为定值，所以路程最短等价于AP +QM +NB 最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．BAP 平移至A ’Q ，NB 平移至MB ’，化AP +QM +NB 为A ’Q +QM +MB ’．B当A ’、Q 、M 、B ’共线时，A ’Q +QM +MB ’取到最小值，再依次确定P 、N 位置．【将军遛马】如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？【问题简化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？军营河【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A’N，将AM+BN转化为A’N+NB．构造点A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，可依次确定N、M位置，可得路线．(1).如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B在原点，点A、C在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E为CD的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐示应为______________．x(2).如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CDEFM。
将军饮马(最完整讲义)
第1讲将军饮马模型➢知识点睛“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
一、定直线与两定点模型作法结论A、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最小.PB二、角到定点模型作法结论点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得PCD ∆周长最小.点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MN PN +最小.点Q P 、在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得四边形PMNQ 周长最小.点M 在AOB ∠的外部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点M 在AOB ∠的内部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点Q P 、分别在AOB ∠的边OB OA 、是，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MQ MN PN ++最小.二、两定点一定长模型作法结论如图在直线l 上找上两点N M 、（M 在左），使NB MN AM ++最小,且d MN =.如图，21//l l ，21l l 、之间的距离为d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，且NB MN AM ++最小.如图，21//l l ，43//l l ,21l l 、之间的距离为1d ，43//l l 之间的距离为2d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，在43l l 、上分别找Q P 、两点，使3l PQ ⊥且QB PQ NP MN AM ++++最小.如图，在⊙O 上找一点N ，在直线l 找一点M ,使得MN AM +最小.➢ 精讲精练例1：如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值．P OBAMN例2：如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值．例3：如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)第3题图 第4题图 第5题图例4：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7例5：如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________． PDCBAA BCDMNNMDCBA例6：如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值．例7：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ． D ．第7题图 第8题图 第9题图例8：如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( ) A B ．2 C ．D ．4例9：如图，在菱形ABCD 中，AC =BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( ) A ．6B ．C ．D ．4.5NMDBA E AFCDBNM DCBAEPDCBAM例10：如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( ) A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)3第10题图 第11题图 第12题图例11：如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为( ) A ．B ．C ．D 例12：如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )A ．B ．C ．D ．例13：如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )A B C ．6D ．3第13题图 第14题图 CBH FGEDCB AA BMOPN例14：如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．例15：如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为___________．第15题图例16：如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．例17：如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CD EFMx例18：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，求PD+PE 的最小值。
将军饮马(最完整讲义)
第1讲将军饮马模型➢知识点睛一、“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题, 会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合, 在近年的中考和竞赛中经常出现, 而且大多以压轴题的形式出现。
二、定直线与两定点模型作法结论当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.二、角到定点模型作法结论点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得周长最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得四边形周长最小.点在的外部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点在的内部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点分别在的边是, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.三、两定点一定长模型作法结论如图在直线上找上两点（在左）, 使最小,且.如图, , 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 且最小.如图, , ,之间的距离为, 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 在上分别找两点, 使且最小.如图, 在⊙上找一点, 在直线找一点,使得最小.➢精讲精练例1: 如图, 点P是∠AOB内任意一点, ∠AOB=30°, OP=8, 点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值.例2: 如图, 正方形ABCD 的边长是4, M 在DC 上, 且DM=1, N 是AC 边上的一动点, 则△DMN 周长的最小值.A ．例3: 如图, 在Rt △ABO 中, ∠OBA=90°, A （4,4）, 点C 在边AB 上, 且AC:CB=1:3, 点D 为OB 的中点, 点P 为边OA 上的动点, 当点P 在OA 上移动时, 使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为 B. ,C ．,D ．第3题图 第4题图 第5题图例4: 如图, 在△ABC 中, AC=BC, ∠ACB=90°, 点D 在BC 上, BD=3, DC=1, 点P 是AB 上的动点, 则PC+PD 的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7例5：如图, 在等边△ABC 中, AB=6, N 为AB 上一点且BN=2AN, BC 的高线AD 交BC 于点D, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值是___________．A BCDMN例6: 如图, 在Rt △ABD 中, AB=6, ∠BAD=30°, ∠D=90°, N 为AB 上一点且BN=2AN, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值.例7: 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AC=6. AB=12, AD 平分∠CAB, 点F 是AC 的中点, 点E 是AD 上的动点, 则CE+EF 的最小值为 A. 3 B. 4 C.D.第7题图 第8题图 第9题图A ．例8: 如图, 在锐角三角形ABC 中, BC=4, ∠ABC=60°, BD 平分∠ABC, 交AC 于点D, M 、N 分别是BD, BC 上的动点, 则CM+MN 的最小值是B. 2C.D. 4例9: 如图, 在菱形ABCD 中, AC=, BD=6, E 是BC 的中点, P 、M 分别是AC.AB 上的动点, 连接PE 、PM, 则PE+PM 的最小值是A. 6B.C.D. 4.5E AFCDBNM DCBAEPDCBAMA ．例10: 如图, 矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5）, D 是OB 的中点, E 是OC 上的一点, 当△ADE 的周长最小时, 点E 的坐标是B. C. D.第10题图 第11题图 第12题图例11: 如图, 在矩形ABCD 中, AB=6, AD=3, 动点P 满足, 则点P 到A.B 两点距离之和PA+PB 的最小值为A. B. C. D.例12: 如图, 矩形ABCD 中, AB=10, BC=5, 点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上, 且AE=CG, BF=DH, 则四边形EFGH 周长的最小值为A. B. C. D.例13: 如图, ∠AOB=60°, 点P 是∠AOB 内的定点且OP=, 若点M 、N 分别是射线OA.OB 上异于点O 的动点, 则△PMN 周长的最小值是A. B. C. 6 D. 3第13题图 第14题图CBH FGEDCB AABMOPN例14: 如图, ∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合, 点P 是OA 上的一动点, 点N （3,0）是OB 上的一定点, 点M 是ON 的中点, ∠AOB=30°, 要使PM+PN 最小, 则点P 的坐标为 .例15：如图, 已知正比例函数y=kx （k>0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°, 定点A 的坐标为（0, 4）, P 为y 轴上的一个动点, M 、N 为函数y=kx （k>0）的图像上的两个动点, 则AM+MP+PN 的最小值为___________．第15题图例16: 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形ABCD 的顶点B 在原点, 点A.C 在坐标轴上, 点D 的坐标为（6, 4）, E 为CD 的中点, 点P 、Q 为BC 边上两个动点, 且PQ=2, 要使四边形APQE 的周长最小, 则点P 的坐示应为______________.例17：如图, 矩形ABCD 中, AD=2, AB=4, AC 为对角线, E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点, 且EF ⊥AC 于点M,连接AF 、CE, 求AF+CE 的最小值．x例18: 如图, 正方形ABCD的面积是12, △ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P, 求PD+PE的最小值。
华东师大版八年级数学下册“将军饮马模型”专题讲义及解析
华东师大版八年级数学下册“将军饮马模型”专题讲义及解析华东师大版八年级数学下册“将军饮马模型”专题讲义及解析一、背景知识：据传说，古罗马时代有一位名叫XXX的学者，他精通数学和物理。
有一天，一位罗马将军前来请教他一个难题：每天他从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题被称为“将军饮马”问题，据说XXX很快解决了它，从此这个问题流传至今。
二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两个定点到一个动点的距离和最小例1：在一条定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB最小。
作法：连接AB，与直线l的交点Q即为所求点，当动点P跑到点Q处时，PA+PB最小，且最小值等于AB。
原理：两点之间线段最短。
证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在三角形PAB中，由三边关系可知：AP+PB≧AB（当且仅当PQ重合时取等）。
例2：在一条定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB的和最小。
关键：找对称点。
作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所求点，当动点P跑到点Q处时，PA+PB和最小，且最小值等于AC。
原理：两点之间，线段最短。
证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在三角形PAC中，由三边关系可知：AP+PC≧AC（当且仅当PQ重合时取等）。
2.两动一定型例3：在∠XXX的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短。
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△XXX即为所求。
原理：两点之间，线段最短。
例4：在∠XXX的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短。
作法：首先，我们作点A关于OM的对称点A'，作点B关于ON的对称点B'，然后连接A'B'，交OM于点C，交ON于点D，最后连接AC和BD，四边形ABCD即为所求。
将军饮马两定两动的思路和解法
将军饮马两定两动的思路和解法将军饮马两定两动，这是一句非常有意思的成语，它的意思是说，一个将军在战场上要有两个定力和两个动力。
那么，这两个定力和两个动力分别是什么呢？下面就让我来给大家讲解一下吧！
我们来说说第一个定力。
这个定力就是指将军要有坚定的信念和决心。
在战场上，将军要面对各种各样的困难和挑战，如果没有坚定的信念和决心，就很难取得胜利。
所以，将军必须要有一个坚定的信念和决心，才能够在战场上立于不败之地。
接下来，我们来说说第二个定力。
这个定力就是指将军要有冷静的头脑和沉着的心态。
在战场上，局势瞬息万变，如果将军不能保持冷静的头脑和沉着的心态，就很容易做出错误的决策，从而导致整个战局的崩溃。
所以，将军必须要有冷静的头脑和沉着的心态，才能够在战场上应对各种复杂的情况。
那么，接下来我们来说说第一个动力。
这个动力就是指将军要有强大的战斗力和战斗技巧。
在战场上，只有拥有强大的战斗力和战斗技巧，才能够击败敌人，取得胜利。
所以，将军必须要有强大的战斗力和战斗技巧，才能够在战场上发挥出最大的作用。
我们来说说第二个动力。
这个动力就是指将军要有团队合作精神和领导能力。
在战场上，一个人的力量是有限的，只有团结一致，才能够取得最终的胜利。
所以，将军必须要有团队合作精神和领导能力，才能够带领自己的部队取得胜利。
将军饮马两定两动这句成语告诉我们，一个将军要想在战场上取得胜利，就必须具备坚定的信念和决心、冷静的头脑和沉着的心态、强大的战斗力和战斗技巧以及团队合作精神和领导能力这四个方面的素质。
只有这样，才能够成为一名真正的优秀将军！。
将军饮马方法总结
将军饮马方法总结将军饮马是一种古代将领在战前饮酒开宴，观察酒杯中马的动作来预测战争胜负的方法。
这种方法源于古代中国的兵法典籍《孙子兵法》中的一种策略，被誉为战争智慧的体现。
本文将对将军饮马方法以及其背后的原理进行总结和探讨。
一、将军饮马的由来将军饮马这个词汇最早出现在《孙子兵法》中，其中记载了古代将领在战前用饮酒观察马的动作来预测战争胜负的做法。
将军在战前会将马放入大碗中，并倒入一碗酒，观察马在酒中的动作来判断战争的结果。
这种方法被认为是一种通过观察细微变化来预测未来的智慧，对于战争策略有着深远的影响。
二、将军饮马的原理将军饮马的原理在于通过观察马在酒中的动作来预测战争胜负。
马的动作往往可以反映出一些隐藏的信息，将军通过观察这些细微的变化来判断未来战争的结果。
1.马的姿态：将军观察马在酒中的姿态，如是否直立、是否有力地站立，可以了解到战争的开展情况。
如果马能够保持直立且有力地站立，那么说明战争将会顺利进行，并获得胜利的机会更大。
2.马的动作：将军还会观察马在酒中的动作，如是否舒展四肢、是否昂首挺胸。
如果马能够舒展四肢且昂首挺胸，那么说明战争将会迅速展开，并且取得较好的战果。
3.马的平衡：将军还会留意马在酒中的平衡状态，如是否保持稳定、是否有摇摆。
如果马能够保持稳定且不摇摆，那么说明战争将会有序进行，并且战局可能较为稳定。
通过观察这些细节，将军可以据此做出相应的战略决策，以尽可能地获得战争的胜利。
三、将军饮马的局限性虽然将军饮马方法在古代曾被广泛运用，但其并非百分百可靠，存在一定的局限性。
1.主观因素：将军饮马方法的判断结果往往受到将军主观意识的影响，将军可能会根据自己的喜好和想象来做出判断，导致结果不准确。
这是因为马在酒中的动作可以有多种解释，不同的人可能会给出不同的答案。
2.随机因素：马在酒中的动作往往是有一定随机性的，因此将军饮马方法并不能完全准确地预测战争的胜负。
即使马的动作符合理想状态，战争的结果也受到其他因素的影响，如战术、策略等。
将军饮马讲解
对“连”口诀最短路径问题
最短路径知识点三 ③双定双动：对“连”口诀:先对称后平移（先平移后对称），连接出最短 方法一：先对称后平移
技巧：作对称（同侧变异侧）---对称点平移定长线段（“一定两动”化“两定一动”）---连接两定点--动点反向平移定长线段---连接所得点.
对“连”口诀最短路径问题
最短路径知识点三 ③双定双动：对“连”口诀:先对称后平移（先平移后对称），连接出最短 方法二：先平移后对称
∴BC+AC = B’C+AC = B’A．
∴BC ’ +AC ’ = B’C ’ +AC ’
在△AB ’ C’中，AB ’ <C < BC ’ +AC ’ ，即AC+BC最小．
知识点
对“连”口诀 横批：对 勾 模 型
对
如图，在I上找一点P,使PA+PB最小
连
称
接
一
出
定
最
点
短
对“连”口诀最短路径问题
最短路径必考高频三大类型 ①双定单动：对“连”口诀:对称1动点，连接出最短 ②单定双动：对“连”口诀:双对称此定点，连接出最短 ③双定双动：对“连”口诀:先对称后平移（先平移后对称），连接出最短
对“连”口诀最短路径问题
最短路径必考知识点一 ①双定单动：对“连”口诀:对称1动点，连接出最短
定点双 对 称
连 接出最短
关键点：动点所在的直线为对称轴
对“连”口诀最短路径问题
最短路径知识点三 ③双定双动：对“连”口诀:先对称后平移（先平移后对称），连接出最短
问题：本题拓展为在直线l上找两个动点P、Q（PQ两动点间距离为定值），使得AP+PQ+BQ 的距离之和最短，又该如何处理呢？（“两动一定型”）
将军饮马的解题思路和方法
将军饮马的解题思路和方法引言将军饮马，告别英雄般的背景，是一种古代的诗意描写。
它不仅仅是描述了将军饮酒的场景，更是探讨了人生的意义和哲理。
本文将深入探讨这一题材，从不同角度解读，并介绍与其相关的传统文化。
一、将军饮马的意象解读1.1 将军的象征意义将军在中国的古代文化中具有崇高的地位，代表着权力、勇气和智慧。
将军常常需要面临战争与生死，所以他们在战胜敌人后，饮酒是一种庆祝和放松的方式。
将军饮马的场景，传递了将军在胜利后享受骑马、饮酒的宁静与满足。
1.2 马的象征意义马在中国文化中有着特殊的地位，被赋予了忠诚、勇敢和力量的象征意义。
将军饮马的场景中，马与将军相伴，象征着将军的忠诚和勇猛，也体现了将军与马之间默契的合作关系。
二、将军饮马的哲学思考2.1 尊重生命与珍惜时间将军饮马的场景让人们思考人生中的不同阶段。
无论是将军还是马，都在战争中体验到生死的考验。
因此，将军饮马给人们一个警醒，让人们珍惜生命，明智地利用时间。
2.2 人生的多面性将军饮马的过程中，将军可能同时感受到获胜的喜悦和战争的痛苦。
这种对人生的多面性的思考让人们明白，生活中充满了喜悦与悲伤，胜利与失败，而接受这一事实是人生的真正智慧。
2.3 追求内心的平静与豁达将军饮马的场景充满了宁静和满足感。
将军在胜利后放松身心，尽情享受此刻的平静与豁达。
这也给人们一个启示，即在忙碌而繁杂的生活中，我们要学会找到内心的平静与安宁，追求心灵的自由。
三、将军饮马与文化交流3.1 将军饮马在中国艺术中的表现形式将军饮马这一题材在中国古代艺术中广泛出现。
例如，在绘画、雕塑和诗歌中，经常出现了将军骑马、举杯的形象。
这些艺术作品通过形象的表达，向人们传递将军饮马的场景和哲思。
3.2 将军饮马在不同文化中的差异将军饮马这一题材不仅仅在中国文化中有体现，也在其他文化中有类似的描写。
例如，在欧洲文学中，也有类似将军饮马的场景，但衍生出不同的文化内涵。
对于不同文化中的将军饮马的差异，我们应该加以理解和尊重，从中寻找共同点和启示。
将军饮马两定两动的思路和解法
将军饮马两定两动的思路和解法《将军饮马》这道题目，咱们首先得搞清楚其中的两定两动的思路和解法。
别急，我们一步一步来，理清楚这其中的奥妙。
1. 问题的背景1.1 题目介绍“将军饮马”这个名字一听就带着点古色古香的味道。
其实它讲的是一个关于将军、马匹和水源的问题。
题目一般是这样：将军带着一群马到河边饮水，河边有两条水源，一个快一个慢，河水的流速也各不相同。
任务是根据这些条件，找出马在不同的水源处饮水时所需要的时间。
1.2 关键概念在解题之前，我们先理清几个重要的概念。
所谓“两定两动”，就是指这道题目有两个定量（固定的量）和两个变量（可以变化的量）。
这其中包括水源流速、饮水量，以及马匹的饮水速度和时间。
2. 解题思路2.1 确定两个固定量首先，我们要搞明白题目中的两个固定量。
通常来说，一个是水源的流速，比如说水流得有多快；另一个是马匹的饮水速度，也就是每匹马每分钟能喝多少水。
这两个量就像是题目里的“固定资产”，用来帮助我们计算时间。
2.2 处理两个变量接下来，我们要关注两个变量：一个是马匹在不同水源处的饮水时间，另一个是水源的流量变化。
这就像是题目中的“活资产”，会因为不同的情况而有所不同。
我们需要根据水源的流量和饮水的时间来计算。
3. 解题步骤3.1 设定方程好啦，现在我们来动手解决问题。
首先要做的是设定方程。
假设马匹的饮水速度是(v)（每分钟多少水），水源流速是 (r)（每分钟多少水），那我们就能用这些数据来设定我们的方程式。
比如说，如果一个水源的流速是 (r_1)，另一个水源的流速是 (r_2)，马匹在第一个水源的饮水时间是 (t_1)，在第二个水源的饮水时间是 (t_2)，那么我们就可以列出类似这样的方程：[ v times t_1 + r_1 times t_1 = text{总水量} ]。
[ v times t_2 + r_2 times t_2 = text{总水量} ]。
3.2 求解方程接着，我们要解这些方程。
华东师大版八年级数学下册“将军饮马模型”专题讲义及解析
华东师大版八年级数学下册“将军饮马模型”专题讲义及解析一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 最小.作法：连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。
证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)原理：两点之间，线段最短证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦)2.两动一定型例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM 交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．原理：两点之间，线段最短例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．原理：两点之间，线段最短3.两定两动型最值例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。
将军饮马问题(解析版)
将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营。
问如何行走才能使总的路程最短。
模型一(两点在河的异侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
模型二(两点在河的同侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P'P''的长。
模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。
方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P'、Q'，连接P'Q'，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P'Q')的长。
最值系列之将军饮马 - 解析
最值系列之——将军饮马一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。
而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
【问题描述】如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？A B将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点P使得P A+PB最小？P【问题分析】这个问题的难点在于P A+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．【问题解决】作点A关于直线的对称点A’，连接P A’，则P A’=P A，所以P A+PB=P A’+PB当A’、P、B三点共线的时候，P A’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）【思路概述】作端点（点A或点B）关于折点（上图P点）所在直线的对称，化折线段为直线段．二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．B B此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．P O B AMN【分析】△PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA对称点P’、P’’，化PM+PN+MN为P’N+MN+P’’M．AP''当P’、N、M、P’’共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P’P’’长，连接OP’、OP’’，可得△OP’P’’为等边三角形，所以P’P’’=OP’=OP=8．A【两定两动之点点】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
将军饮马问题讲义
将军饮马问题唐朝诗人李的诗开头两句说:"白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河. "诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短这个问题早在古罗马时代就有了,传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题.将军每天从军营A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的B地开会,应该怎样走才能使路程最短从此,这个被称为"将军饮马"的问题广泛流传.将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题轴对称是工具,最短距离是题眼;所谓轴对称是工具,即这类问题最常用的做法就是作轴对称;而最短距离是题眼,也就意味着归类这类的题目的理由;比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题;一旦出现可以快速联想到将军问题,然后利用轴对称解题;一．六大模型1.如图,直线l 和l 的异侧两点A、B,在直线l 上求作一点P,使PA+PB 最小;2.如图,直线l 和l 的同侧两点A、B,在直线l 上求作一点P,使PA+PB 最小;3.如图,点P 是∠MON 内的一点,分别在OM,ON 上作点A,B;使△PAB 的周长最小.4.如图,点P,Q 为∠MON 内的两点,分别在OM,ON 上作点A,B;使四边形PAQB 的周长最小;5.如图,点A 是∠MON 外的一点,在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小6. .如图,点A 是∠MON 内的一点,在射线ON 上作点P,使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小常见问题首先明白几个概念,动点、定点、对称点;动点一般就是题目中的所求点,即那个不定的点;定点即为题目中固定的点;对称的点,作图所得的点,需要连线的点;1. 怎么对称,作谁的对称;简单说所有题目需要作对称的点,都是题目的定点;或者说只有定点才可以去作对称的;不确定的点作对称式没有意义的那么作谁的对称点首先要明确关于对称的对象肯定是一条线,而不是一个点;那么是哪一条线一般而言都是动点所在直线;2. 对称完以后和谁连接一句话：和另外一个定点相连;绝对不能和一个动点相连;明确一个概念：定点的对称点也是一个定点;例如模型二和模型三;3. 所求点怎么确定首先一定要明白,所求点最后反应在图上一定是个交点;实际就是我们所画直线和已知直线的交点;下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题：1.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A1,0、B4,0、C0,3三点．1求抛物线的解析式；2如图,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小若存在,求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在,请说明理由．分析1设交点式为y=ax﹣1x﹣4,然后把C点坐标代入求出a=,于是得到抛物线解析式为y=x2﹣x+3；2先确定抛物线的对称轴为直线x=,连结BC交直线x=于点P,如图,利用对称性得到PA=PB,所以PA+PC=PC+PB=BC,根据两点之间线段最短得到PC+PA最短,于是可判断此时四边形PAOC的周长最小,然后计算出BC=5,再计算OC+OA+BC即可．解答解：1设抛物线解析式为y=ax﹣1x﹣4,把C0,3代入得a﹣1﹣4=3,解得a=,所以抛物线解析式为y=x﹣1x﹣4,即y=x2﹣x+3；2存在．因为A1,0、B4,0,所以抛物线的对称轴为直线x=,连结BC交直线x=于点P,如图,则PA=PB,PA+PC=PC+PB=BC,此时PC+PA最短,所以此时四边形PAOC的周长最小,因为BC==5,所以四边形PAOC周长的最小值为3+1+5=9．点评本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解．一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题．2．2015上城区一模设抛物线y=x+1x﹣2与x轴交于A、C两点点A在点C的左边,与y轴交于点B．1求A、B、C三点的坐标；2已知点D在坐标平面内,△ABD是顶角为120°的等腰三角形,求点D的坐标；3若点P、Q位于抛物线的对称轴上,且PQ=,求四边形ABQP周长的最小值．考点二次函数综合题．分析1令x=0,求出与y轴的坐标；令y=0,求出与x轴的坐标；2分三种情况讨论：①当AB为底时,若点D在AB上方；若点D在AB下方；②当AB为腰时,A 为顶点时,③当AB为腰时,A为顶点时；仔细解答即可．3当AP+BQ最小时,四边形ABQP的周长最小,根据轴对称最短路径问题解答．解答解：1当x=0时,y=﹣；当y=0时,x=﹣1或x=2；则A﹣1,0,B0,﹣,C2,0；2如图,Rt△ABO中,OA=1,OB=,∴AB=2,∠ABO=30°,∠BAO=60°,∴△ABD是顶角为120°的等腰三角形．①当AB为底时,若点D在AB上方,由∠ABO=∠BAD=30°,AB=2,得D10,﹣,若点D在AB下方,由∠BAD=∠DBA=30°,AB=2,得D2﹣1,﹣,②当AB为腰时,A为顶点时,∵∠DAB=120°,∠OAB=60°,AD=AB=2,∴点D在y轴或x轴上,若D在y轴上,得D30,,若D在x轴上,得D4﹣3,0；③当AB为腰时,A为顶点时,若点D在第三象限,∵∠DBO=150°,BD=2,得D5﹣1,﹣2；若点D在第四象限时,∵DB∥x轴,BD=2,得D62,﹣,∴符合要求的点D的坐标为0,﹣,﹣1,﹣,0,,﹣3,0,﹣1,﹣2,2,﹣；3当AP+BQ最小时,四边形ABQP的周长最小,把点B向上平移个单位后得到B10,﹣,∵BB1∥PQ,且BB1=PQ,∴四边形BB1PQ是平行四边形,∴BQ=B1P,∴AP+BQ=AP+B1P,要在直线x=上找一点P,使得AP+B1P最小,作点B1关于直线x=的对称点,得B21,﹣,则AB2就是AP+BQ的最小值,AB2==,AB=2,PQ=,∴四边形ABQP的周长最小值是+2．点评本题考查了二次函数综合题,涉及二次函数与x轴的交点、与y轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理等内容,存在性问题的出现使得难度增大．。
将军饮马原理解释
将军饮马原理解释将军饮马是中国古代名将李广在战争中展现出来的智慧与胆识的故事。
将军饮马的原理不仅仅是一种战略策略，更是一种积极向上的人生态度和勇气的象征。
以下将对将军饮马的原理进行详细解释。
将军饮马的故事发生在李广带领军队进攻敌方城池之前。
当时，敌方有严密的防守，城墙高耸，城内守军强悍。
面对如此困难局面，李广遭遇到许多士兵心生恐惧，失去了前进的勇气。
然而，李广却没有被困境击倒，而是发挥出惊人的智慧，采取了将军饮马的战略。
将军饮马实际上是李广刻意表现出的一种饮酒的场景。
他在将军府中召集了士兵和将领，把酒一盅盅的喝下去。
当众人看到李广如此潇洒的喝下酒来，愣住了。
李广却不停地往下喝，直到酒滴都流到马嘴边上。
然后，他一口气吹熄了蜡烛，然后迅速地骑上马，带领着士兵们冲向敌阵，最终成功攻下了敌方城池。
将军饮马的原理在于给士兵们以鼓舞与激励。
面对强大的敌人，士兵们容易感到恐惧和迷茫，他们需要有一个勇敢的领导者来给予他们冲锋的信心。
李广通过饮酒的方式来表现他的胆识和勇气，这种行为鼓舞了士兵们的士气，让他们相信自己也可以充满勇气地面对敌人。
这种表现方式激发了士兵们内心的斗志和冲劲，使他们能够面对恐惧，勇往直前。
将军饮马的原理也在于利用心理战术。
李广通过将酒灌给马匹的方式，刺激了敌人的想象力。
敌人原本以为李广饮酒后会醉倒在地，以为他不能出战，但李广却一口气将酒喝下，并且恢复了如初的战斗力，这一幕令敌人十分震惊。
这种意想不到的行为打乱了敌人的思维和计划，增加了敌人的恐惧和迷茫。
再加上李广熟练地吹灭蜡烛，表明了他的警觉和冷静，增加了士兵们对李广的信任和对敌人的压力。
将军饮马的原理总结起来就是鼓舞士气和利用心理战术。
作为一位领导者，当面临困难和挑战时，必须要有勇气和智慧去面对，以鼓舞团队的士气。
同时，善于利用心理战术能够打破敌人的思维和计划，增加他们的恐惧和迷茫。
此外，将军饮马的原理也告诉我们，在面对困境时，我们不能退缩和畏惧，而应该勇往直前，毫不犹豫地去行动。
将军饮马的原理
将军饮马的原理
《将军饮马》是唐代诗人王之涣的一首诗，诗中描绘了一位将军饮马河边的情景，引发了不少人对“将军饮马到中流，笑问客从何处来”的疑问。
这篇文章将从以下几个方面阐述“将军饮马”的原理：马的特性、饮水的方法、河流的特点，这些都是决定将军是否能饮马到中流、笑问客从何处来的关键。
## 第一章马的特性
马作为一种草食性哺乳动物，每天需要饮水来维持身体基本代谢。
同时，马的身体构造和生理特性也是影响饮水方式的重要因素。
马的颈长而粗，口腔内有着一定的容量和灵活性，牙齿也适合咀嚼、切割植物。
因此，马喜欢低头饮水，口鼻部浸入水中，使得水流顺畅地通过口腔进入食管和胃内。
## 第二章饮水的方法
马饮水的方法不仅仅是低头喝水，它还会在饮水的时候利用颈部和口腔肌肉的收缩，帮助将水吸收到嘴里，并加快饮水速度。
此外，马会在饮水时频繁摇晃头部，这种动作能够帮助马排除口腔内的污垢和杂质，保持口腔和牙齿的清洁。
## 第三章河流的特点
“将军饮马到中流”这一句诗，其实也反映了河流特点对马饮水的影响。
一般来说，水流的速度越快，水膜的厚度就越薄，越不容易被马的口鼻部覆盖，从而影响马的饮水。
因此，当马饮水时，如果水流过于急流湍急，马很难维持低头饮水的姿态，会出现水流冲刷马口鼻、甚至被水冲倒的情况。
综上所述，“将军饮马到中流”中描绘的情景并不是想象中那么简单，需要考虑马的特性、饮水的方式、以及河流的特点，才能确保将军饮马成功到中流，并且还要注意马的安全，防止马被水冲倒。
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秒杀技巧
对”连”口诀
定点双 对 称
连 接出最短
关键点：动点所在的直线为对称轴
对“连”口诀最短路径问题
最短路径知识点三 ③双定双动：对“连”口诀:先对称后平移（先平移后对称），连接出最短
问题：本题拓展为在直线l上找两个动点P、Q（PQ两动点间距离为定值），使得AP+PQ+BQ 的距离之和最短，又该如何处理呢？（“两动一定型”）
两侧双对称
连接两对称点， 交点为M，N的位置
对称
连接
问题：在∠BOA的内部有一点P，在OB上找一点N，在OA上找一点M，使得△PNM的周长最小.
对“连”口诀最短路径问题
最短路径知识点二 ②单定双动：对“连”口诀:双对称此定点，连接出最短
对“连”口诀最短路径问题
（2019·港南区四模）如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝30°，OP＝8， 点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为（ ）
如图，E为正方形ABCD边BC上一点，CE=3,CD=4,P为对角线AC上的一个动点， 则PB+PE的最小值是：
秒杀技巧
对”连”口诀
对 称一定点
连 接出最短
关键点：动点所在的直线为对称轴
对“连”口诀最短路径问题
如图，正方形OABC的边长为4，点AC分别在X轴，与Y轴的正半轴上，点D（3，0）在 OA上，P是OB上一动点，则PA+PD的最小值为（ ）
秒杀技巧
对”连”口诀
对 称一定点 连 接出最短
对“连”口诀最短路径问题
如图，m⊥BC于点E,且BE=CE,点P是直m上的一动点，AB=6,AC=4,BC=7,则△APC周长 的最小值是（ ）
秒杀技巧
对”连”口诀
对 称一定点 连 接出最短
对“连”口诀最短路径问题
如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是 AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（ ）
秒杀技巧
对”连”口诀
对 称一定点
连 接出最短
关键点：动点所在的直线为对称轴
知识点
对 称 一 定 点
横批：对 勾 模 型
如图，在l上找到一点p,使PA+PB最小。
连 接 出 最 短
AP+BP最小值为A'B
对“连”口诀最短路径问题
最短路径知识点二 ②单定双动：对“连”口诀:双对称此定点，连接出最短
P为定点,M,N为动点
技巧：作对称（同侧变异侧）---对称点平移定长线段（“一定两动”化“两定一动”）---连接两定点--动点反向平移定长线段---连接所得点.
对“连”口诀最短路径问题
最短路径知识点三 ③双定双动：对“连”口诀:先对称后平移（先平移后对称），连接出最短 方法二：先平移后对称
技巧：定点平移定长线段（“一定两动”化“两定一动”）----作对称（同侧变异侧）----连接两定点--动点反向平移定长线段---连接所得点.
对“连”口诀最短路径问题
最短路径知识点三 ③双定双动：对“连”口诀:先对称后平移（先平移后对称），连接出最短
对“连”口诀最短路径问题
如图，正方形ABCD的边长为6，E,F的对角线BD上的两个动点，且EF=2 2 , 连接CE,CF,
则△CEF周长的最小值为（ ）
秒杀技巧
平移+对称 对称+平移 关键点：动点所在的直线为对称轴
对“连”口诀最短路径问题
如图，正方形ABCD的边长为6，E,F的对角线BD上的两个动点，且EF=2 2 , 连接CE,CF,
则△CEF周长的最小值为（ ）
秒杀技巧
对称+平移 连接再平移 关键点：动点所在的直线为对称轴
对“连”口诀最短路径问题
如图，正方形ABCD的边长为6，E,F的对角线BD上的两个动点，且EF=2 2 , 连接CE,CF,
秒杀技巧
对”连”口诀
对 称一定点 连 接出最短
对“连”口诀最短路径问题
如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点， 当PC+PD最小时，∠PCD=（ ）
秒杀技巧
对”连”口诀
对 称一定点 连 接出最短
对“连”口诀最短路径问题
知识点
第一步：确定题型---对勾模型
第二步：确定方法---对“连”口诀
第一讲 几何模型将军饮马
CONTENTS
1 秒杀技巧 2 例题讲解 3 对应习题 4 课程总结
Part 1
几何必考知识点将军饮马
知识点
对“连”口诀 横批：对 勾 模 型
对
如图，在I上找一点P,使PA+PB最小
连
称
接
一
出
定
最
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
点
短
对“连”口诀最短路径问题
最短路径必考高频三大类型 ①双定单动：对“连”口诀:对称1动点，连接出最短 ②单定双动：对“连”口诀:双对称此定点，连接出最短 ③双定双动：对“连”口诀:先对称后平移（先平移后对称），连接出最短
对“连”口诀最短路径问题
最短路径知识点三 ③双定双动：对“连”口诀:先对称后平移（先平移后对称），连接出最短
问题：本题拓展为在直线l上找两个动点P、Q（PQ两动点间距离为定值），使得AP+PQ+BQ 的距离之和最短，又该如何处理呢？（“两动一定型”）
对“连”口诀最短路径问题
最短路径知识点三 ③双定双动：对“连”口诀:先对称后平移（先平移后对称），连接出最短 方法一：先对称后平移
对“连”口诀最短路径问题
最短路径必考知识点一 ①双定单动：对“连”口诀:对称1动点，连接出最短
同侧两点
对称
异侧两点 B
连接
异侧两点
求两条线段和最短的“将军饮马”模型的方法:通过对称把同侧两定点转化为异侧两 定点，再利用两点之间线段最短，找到我们要得的动点，进而求出最短距离。
对“连”口诀最短路径问题
对称1定点 连接出最短
关键点：动点所在的直线为对称轴
对“连”口诀最短路径问题
已知正方形ABCD,其边长为，BN为2，以AB为边在正方形内部作等边△ABM, 点P是AC边上动点，求DP=PM的最小值为（ )
秒杀技巧
对”连”口诀
对 称一定点
连 接出最短
关键点：动点所在的直线为对称轴
对“连”口诀最短路径问题
最短路径必考知识点一 ①双定单动：对“连”口诀:对称1动点，连接出最短
求两条线段和最短的“将军饮马”模型的方法:通过对称把同侧两定点转化为异侧两 定点，再利用两点之间线段最短，找到我们要得的动点，进而求出最短距离。
对“连”口诀最短路径问题
对“连”口诀最短路径问题
如图，在△ABC中，AB=AC,AD,BE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则 CP+EP最小值等于下列哪个线段 A.AC B.AD C.BE D.BC