时间复杂度文档

一个算法执行时间，从理论上是不能算出来 和的算，法必执须行通时过间依相据关该的算因法素编：制的程序上机运 行1．测算试法才选能用知的道策。略有两种方法:事后统计的方 法2．和问事题前的分规析模估（算处的理方的法数据量） 3．编写程序的语言 4．编译程序产生机器代码的质量 5．计算机执行指令的速度
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lim
n? ?
4n2
? 2n n2
?
1
2
1
4 ? n ? n2
4n2 ? 2n ? 1
lim
n? ?
n2
＝４
当n->∞时，第二，三项的值趋于０， 当 n->∞时，f(n)与g(n)为同阶无穷大，或说 f(n)与g(n)成正比、所以这两个函数是同一 数量级的
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计算下面交换 i和j内容程序段的时间复杂性。 temp=i; i=j; j=temp;
（4）
sum++； （n2次 ）
解：T(n)=2n2+n+1 =O(n2)
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时间复杂度 T(n) 的数量级表示：
O 是 Order 的首字母， f(n) 是 意T(为n)f的(n同)与数T(量n)级函数。
只差一个常数倍。 把 T(n) 表示成数量级的形式为：T(n)=O(f(n))。
称Ｏ(f(n)) 为算法 的渐近时间复杂度，简称时间
解：以上三条单个语句均执行1次，该程序 段的执行时间是一个与问题n无关的常数， 因此，算法的时间复杂度为常数阶,记作 T(n)=O(1).
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计算下面求累加和程序段的时间复杂性
（1） sum=0；
（1次）
（2） for(i=1;i<=n;i++) （n次 ）
（3） for(j=1;j<=n;j++) （n2次 ）
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§1.2.1算法的特性
1) 有穷性: 一个算法必须总是在执行有穷步之后结束， 且 每一步都在有穷时间内完成。
2) 确定性: 算法中每一条指令必须有确切的含义，无二义 性。并且，在任何条件下，算法同时只有唯一的一条执 行路径，即对于相同的输入只能得出相同的输出。
3) 可行性: 算法描述的所有操作都必须足够基本，都是可 以通过 已经实现的基本运算的有限次执行来实现的。
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为便于计算 ，对这一时间复杂度大多采用一种近似的形式来描 述，即采用基本语句执行次数的数量级来表示时间复杂度。 数量级是这样定义的： 如果变量n的函数f(n)和g(n)满足：
lim f (n) ? k(k ? 0) n? ? g(n)
则称f(n)和g(n)是同一数量级的
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设： f (n) ? 4n2 ? 2n ? 1 g (n ) ? n 2
优化后只运行了 2秒，相差 1500倍。 而且辅助空间占有也少 .
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§1.2.2 算法描述
算法的描述方式（常用的）：
自然语言
流程图 特定的表示算法的图形
算法描述
符号
类语言 类似高级语言 ,例如，类
PASCAL 、类C语言。
程序设计语言
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例1-1用类C描述将三个数值排序的算法。
viod Three_Sort( int x,int y,int z)
算法在运行过程中临时占用的存储空间
若所需临时空间不随问题规模的大小而改变，则称此算法为 原地工作。
若所需存储量依赖于特定的输入，则通常按最坏情况考虑。
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DS 算法
第一章小结
逻辑结构 存储结构 DS上的运算
算法定义、特性
线性结构 树型结构 网状结构
查询 插入 删除 更新 时间复杂度T(n)
算法分析
{//将x,y,z三个变量的内容按从小到大的顺序重新 排列
if (y<x&&y<z) x? y;
//如果y是最小， x和y交换
else if (z<x&&z<y) x? z;
//如果z是最小， x和z交换
if (z<y) y? z;
//比较y和z挑选出较小者换到y中
}
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例1-2求两正整数m、n的最大公因子的算法如下百鸡问题 (公鸡3元一只，母鸡 2 元一只，小鸡 0。5元一只)
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for (i=1,i<=100;i++) for (j=1,j<=100;j++) for (k=1,k<=100;k++) if ((i+j+k==100) && (3*i+2*j+0.5*k==100)) printf(“%d,%d,%d”,i,j,k)
1.2 算法描述
通俗地讲，算法就是一种解决的方法。 严格地讲算法是对特定问题求解步骤的一种描 述， 它是指令的有限序列，其中每一条指令表示一个 或多 个操作。 算法和数据结构的关系 为了充分地利用系统资源；既要效率高、速度快， 又要存储空间少。显然，这是矛盾的。 研究算法追求的目标是：时间和空间的适当和谐
n
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§通常将称Ο(1)为常数阶，Ο(n)为线性阶，O(n2) 为平方阶。算法还可能呈现的复杂度有：对数 阶Ο(log2n)，指数阶Ο(n3)等，不同数量级时间 复杂度的关系有：
§Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜ Ο(n3)
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2 空间复杂度
空程间序复代杂码度本：身算所法占所空需间存对储不空同间算的法度通量常，不记会作有：数量级之差 别，因此在比较算S法(n时)=O可(以f(n不) 加) 考虑；算法的输入数据量和问 其题中规n模为有问关题，的若规输模入。数据所占空间只取决于问题本身，和算法 无关，则在比较算法时也算可法以本不身加的考存虑储；空由间此只需要分析除输 入和程序之外的额外空间。 一个算法所需存储空间 输入数据的存储空间
空间复杂度D(n)
顺序存储 链式存储 索引存储 散列存储
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① 输入m和n；
② m/n（整除），余数 →r (0≤r≤n)；
③ 若r=0,则当前 n=结果，输出 n,算法停止；否则， 转 ④；
④ n→m,r->n； 转②。
如初始输入 m=10,n=4, 则m,n,r 在算法中的变化如 下：
m
n
r
10 4
2
4
2
0( 停止)
即10和4 的最大公因子为 2。
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§1.3 算法分析
1.时间复杂度
算法的执行时间如何计算？
n
? 原操作 i 的执行次数 ? 原操作 i 的执行时间
i?1
原操作（简单操作） :如赋值操作、转向操作、比较操 作等等 .既然执行一种原操作所需的时间与算法无关， 那么我们只讨论影响运行时间的另一个因素 ——算法中 进行原操作次数 。显然，在一个算法中，执行简单操作 的次数越少，则运行时间也越少．所以约定把算法中包 含简单操作的次数的多少叫做时间复杂度．
我们希望随着问题规模时间的增长复杂度是趋于稳定地上升,但
上升幅度不能太大
O(2n) O(n3)
T(n)
O(n*log2n)
1024
O(n2)
O(n)
512
256
128
64
32
O(c)
16
8
O(log2n)
4
2
1
0 11 22 44 8 8 1616323264 61428122856255612 n1024 图1-7 常见的T(n)随n变化的增长率
（1） X = X + 1 ； f(n) = 1
（2） for (i = 1; i < n; i + + ) X++;
（3）
for (i = 1; i < n; i + + )
for( j = 1; j <= i; j + + )
X + +;
n2 ? 3n
2
O( 1 )
O( n )
O( n 2)
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用三层循环，内循环 100万次，在 某机器上运行用了 50分钟。
5
而经过分析，钢笔最多买 20支，圆珠笔 最多买33支，对算法进行修改 .
for (i=1,i<=20;i++) for (j=1,j<=33-i;j++) if (3*i+2*j+0.5*(100-i-j)==100) printf(“%d,%d,%d”,i,j,100-i-j)
i=0;
// 1 次
i<n;
//n次
s+=b[i];
//n次
i++;
//n次
return s;
// 1 次
则我们可以找到 f(n)=n，
lim T (n) ? 3n ? 2 ? 3
n? ? g(n)
n
所以 T(n)=O(n)
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时间复杂度举例
若解决一个问题的规模为 n，则算法的时间复杂度 通常是n的一个函数，记为 f(n)
复杂度。
比如 f(n) =n2
那么T(n)=O(n2)
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例：累加求和 int Sum(int b[n], int n) { int i, s=0 ; for(i=0; i<=n; i++) s+=b[i] ; return s ; }
时间复杂度为：T(n)=3n+2
for 循环语句所包含的原操作：
4) 输 入: 一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于 某个特定的对象集合。它们可以使用输入语句由外部提 供, 也可以使用赋值语句在算法内给定。