已知抛物线y

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《一题可破万题——二次函数压轴题常见模型小结》

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——二次函数压轴题常见模型小结DBO AxyC问题1:求抛物线解析式和顶点D 坐标12()()y a x x x x =--2y ax bx c=++2()y a x h k=-+十字相乘配方法(★)12轴交点(,0)、(,0)x x x 轴交点(0,c )y 顶点(h,k )原始三角形:重视四点围成的三角形(边、角关系)函数 点形2223(3)(1)(1)4y x x y x x y x =+-=+-=+-问题2:判断△ACD 的形状,并说明理由DBOAxyCD (-1,-4)BOA (-3,0)xyC (0,-3)问题3:E是y轴上一动点,若BE=CE,求点E的坐标DB OA xyCB(1,0)O xyC(0,-3)B(1,0)O xyC(0,-3)问题4:抛物线上有一动点P,过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AC与点N,在线段PM、MN中,若其中一条线段是另一条线段的2倍,求点P的坐标。

DB OA xyC最大值及此时点P 的坐标DBO Ax yC PH DB O Ax yC PHEFDB O AxyC PHE F于G ,PH 为邻边作矩形PEGH ,求矩形PEGH 周长的最大值。

DBO Ax yCDB O AxyC PHEG问题7:在对称轴上找一点P,使得△BCP的周长最小,求出P点坐标及△BCP的周长DB OA xyCB(1,0)OA(-3,0)xyC(0,-3).x=1P问题8:在对称轴上找一点P,使得∣PA-PC∣最大,求出P点坐标DB OA xyCB(1,0)OA(-3,0)xyC(0,-3).x=1P问题9:线段MN=1,在对称轴上运动(M 点在N 点上方),求四边形BMNC 周长的最小值及此时M 点坐标DBOAxyC已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,OA=OC=3,顶点为D 2y x bx c =++B (1,0)OA (-3,0)xyC (0,-3).x=1NB ’ B ’’M将军饮马:这个将军饮的不是马,是数学!解题依据:两点间线段最短;点到直线的垂直距离最短;翻折,对称。

二次函数(旋转,折叠)

二次函数(旋转,折叠)

二次函数综合训练(折叠,旋转,对称,平移)1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点,顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,将B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式.(3)设(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D1,若点N在平移后的抛物线上,且满足△NBB1的面积是△ND D1面积的2倍,求点N的坐标.2、如图,已知点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线y=m x2+2mx+n上.(1)求m、n;(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形AA′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;(3)试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标.3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中,将它绕点C顺时针旋转a角,旋转后的矩形记为矩形EDCF.在旋转过程中,(1)如图①,当点E在射线CB上时,E点坐标为;(2)当△CBD是等边三角形时,旋转角a的度数是(a为锐角时);(3)如图②,设EF与BC交于点C,当EC=CG时,求点G的坐标;(4)如图③,当旋转角a=90°时,请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点,且经过点A的抛物线上.4、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(3,0),C(0,1).将矩形OABC 绕原点逆时针旋转90°,得到矩形OA′B′C′.设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N,抛物线y=a x2+bx+c的图象经过点C′、M、N.解答下列问题:(1)求出该抛物线所表示的函数解析式;(2)将△MON沿直线BB′翻折,点O落在点P处,请你判断点P是否在该抛物线上,并请说明理由;(3)将该抛物线进行一次平移(沿上下或左右方向),使它恰好经过原点O,求出所有符合要求的新抛物线的解析式.5、在平面直角坐标系中点A(0,2)C(4,0),AB∥x轴,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.(1)求出点B的坐标,并求出过A,B,C三点的抛物线的函数解析式;(2)将△ABC直线AB翻折,得到△ABC1,再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度,得到△AB1C2.请求出点C2的坐标,并判断点C2是否在题(1)所求的抛物线的图象上;(3)将题(1)中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m,并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上,请求出此时m的取值范围.6、如图抛物线y=a x2+ax+c(a≠0)与x轴的交点为A、B(A在B的左边)且AB=3,与y轴交于C,若抛物线过点E(-1,2).(1)求抛物线的解析式;(2)在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3?若存在求出P点的坐标,不存在说明理由;(3)若D为原点关于A点的对称点,F点坐标为(0,1.5),将△CEF绕点C旋转,在旋转过程中,线段DE与BF是否存在某种关系(数量、位置)?请指出并证明你的结论.7、如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A、B的坐标分别为A(0,3)和B(5,0),连接AB.(1)现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°,得到△COD,(点A落到点C处),请画出△COD,并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式;(2)将(1)中抛物线向右平移两个单位,点B的对应点为点E,平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点,连接PE、PF,当|PE-PF|取得最大值时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,当点P在抛物线对称轴上运动时,是否存在点P使△EPF为直角三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.8、在平面直角坐标系xOy中,把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角,得到矩形ADEF,设AD与BC相交于点G,且A(-9,0),C(0,6),如图甲.(1)当α=60°时,请猜测△ABF的形状,并对你的猜测加以证明.(2)当GA=GC时,求直线AD的解析式.(3)当α=90°时,如图乙.请探究:经过点F,且以点B为顶点的抛物线,是否经过矩形ADEF的对称中心H,并说明理由.9、在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且OA=1,OC=2.将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转90°,得到矩形DEFG (如图1).(1)若抛物线y=- x 2+bx+c 经过点B 和F ,求此抛物线的解析式;(2)将矩形DEFG 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴负方向平移,平移t 秒时,所成图形如图2所示.①图2中,在0<t <1的条件下,连接BF ,BF 与(1)中所求抛物线的对称轴交于点Q ,设矩形DEFG 与矩形OABC 重合部分的面积为S1,△AQF 的面积为S2,试判断S1+S2的值是否发生变化?如果不变,求出其值;②在0<t <3的条件下,P 是x 轴上一点,请你探究:是否存在t 值,使以PB 为斜边的Rt △PFB 与Rt △AOC 相似?若存在,直接写出满足条件t 的值及点P 的坐标;若不存在,请说明理由(利用图3分析探索).10、如图所示,在平面直角坐标系中,矩形ABOC 的边BO在x 轴的负半轴上,边OC 在y 轴的正半轴上,且1AB =,OB =,矩形ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD .点A 的对应点为点E ,点B 的对应点为点F ,点C 的对应点为点D ,抛物线2y ax bx c =++过点A E D ,,.(1)判断点E 是否在y 轴上,并说明理由;(2)求抛物线的函数表达式;(3)在x 轴的上方是否存在点P ,点Q ,使以点O B P Q ,,,为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍,且点P 在抛物线上,若存在,请求出点P ,点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.11.已知如图,抛物线n mx x y ++=221与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,四边形OBHC 为矩形,CH 的延长线交抛物线于点D (5,2),连结BC 、AD .(1)求C 点的坐标及抛物线的解析式;(2)将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF(点C与点E对应),判断点E是否落在抛物线上,并说明理由;(3)设过点E的直线交AB边于点P,交CD边于点Q. 问是否存在点P,使直线PQ分梯形ABCD的面积为1∶3两部分?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由.二次函数综合训练(折叠,旋转,对称,平移)答案1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点,顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,将B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式.(3)设(2)中平移后,所得抛物线与y轴的交点为B1,顶点为D1,若点N在平移后的抛物线上,且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍,求点N的坐标.[解析] (1)利用待定系数法,将点A,B的坐标代入解析式即可求得;(2)根据旋转的知识可得:A(1,0),B(0,2),∴OA=1,OB=2,可得旋转后C点的坐标为(3,1),当x=3时,由y=x2-3x+2得y=2,可知抛物线y=x2-3x+2过点(3,2)∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.∴平移后的抛物线解析式为:y=x2-3x+1;(3)首先求得B1,D1的坐标,根据图形分别求得即可,要注意利用方程思想.2、如图,已知点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线y=mx2+2mx+n上.(1)求m、n;(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形AA′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;(3)试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标.【解析】(1)本题需先根据题意把A (-2,4)和点B (1,0)代入抛物线y=mx2+2mx+n中,解出m、n的值即可.(2)本题需先根据四边形AA′B′B为菱形得出y的解析式,再把解析式向右平移5个单位即可得到平移后抛物线的表达式.(3)本题需根据平移与菱形的性质,得到A′、B′的坐标,再过点A′作A′H⊥x轴,得出BH和A′H的值,再设菱形AA′B′B的中心点M,作MG⊥x轴,根据中位线性质得到MG、BG的值,最后求出点M的坐标.3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中,将它绕点C顺时针旋转a角,旋转后的矩形记为矩形EDCF.在旋转过程中,(1)如图①,当点E在射线CB上时,E点坐标为;(2)当△CBD是等边三角形时,旋转角a的度数是(a为锐角时);(3)如图②,设EF与BC交于点C,当EC=CG时,求点G的坐标;(4)如图③,当旋转角a=90°时,请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点,且经过点A的抛物线上.【解析】(1)依题意得点E在射线CB上,横坐标为4,纵坐标根据勾股定理可得点E.(2)已知∠BCD=60°,∠BCF=30°,然后可得∠α=60°.(3)设CG=x,则EG=x,FG=6-x,根据勾股定理求出CG的值.(4)设以C为顶点的抛物线的解析式为y=a(x-4)2,把点A的坐标代入求出a值.当x=7时代入函数解析式可得解.4、如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A(3,0),C(0,1).将矩形OABC 绕原点逆时针旋转90°,得到矩形OA′B′C′.设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N,抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点C′、M、N.解答下列问题:(1)求出该抛物线所表示的函数解析式;(2)将△MON沿直线BB′翻折,点O落在点P处,请你判断点P是否在该抛物线上,并请说明理由;(3)将该抛物线进行一次平移(沿上下或左右方向),使它恰好经过原点O,求出所有符合要求的新抛物线的解析式.【解析】(1)根据四边形OABC是矩形,A(3,0),C(0,1)求出B′的坐标,设直线BB′的解析式为y=mx+n,利用待定系数法即可求出此直线的解析式,进而可得出M、N 两点的坐标,设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,把CMN三点的坐标代入此解析式即可求出二次函数的解析式;(2)设P点坐标为(x,y),连接OP,PM,由对称的性质可得出OP⊥MN,OE=PE,PM=OM=5,再由勾股定理求出MN的长,由三角形的面积公式得出OE的长,利用两点间的距离公式求出x、y的值,把x的值代入二次函数关系式看是否适合即可;(3)由于抛物线移动的方向不能确定,故应分三种情况进行讨论.【解答】(3)①在上下方向上平移时,根据开口大小不变,对称轴不变,所以,二次项系数和一次项系数不变,根据它过原点,把(0,0)这个点代入得常数项为0,新解析式就为:y=-12x2+2x;②在左右方向平移时,开口大小不变,二次项系数不变,为-12,这时根据已经求出的C′(-1,0),M(5,0),可知它与X轴的两个交点的距离还是为6,所以有两种情况,向左移5个单位,此时M与原点重合,另一点经过(-6,0),代入解出解析式为y=-12x2-3x;③当它向右移时要移一个单位C′与原点重合,此时另一点过(6,0),所以解出解析式为y=-12x2+3x.5、在平面直角坐标系中点A(0,2)C(4,0),AB∥x轴,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.(1)求出点B的坐标,并求出过A,B,C三点的抛物线的函数解析式;(2)将△ABC直线AB翻折,得到△ABC1,再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度,得到△AB1C2.请求出点C2的坐标,并判断点C2是否在题(1)所求的抛物线的图象上;(3)将题(1)中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m,并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上,请求出此时m的取值范围.【解析】(1)过C作CD⊥AB于D,根据A、C的坐标,易求得AD、CD的长,在Rt△ACB中,CD⊥AB,利用射影定理可求得BD的长(也可利用相似三角形得到),由此求得点B的坐标,进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式;(2)根据△ABC的两次旋转变化可知AB1落在y轴上,可过C2作C2D1⊥AB1,根据△ACD≌△AC2D1得AD1、CD1的长,从而求出点C2的坐标,然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可;(3)在(1)题中求得了抛物线的二次项系数,即可用m表示出平移后的抛物线顶点坐标,得(m,4m-m22),由于此顶点在△ACB的边上或内部,因此顶点横坐标必在0≤m≤5的范围内,然后分三种情况考虑:①顶点纵坐标应小于或等于A、B的纵坐标.②求出直线AC和直线x=m的交点纵坐标,那么顶点纵坐标应该大于等于此交点纵坐标.③求出直线BC和直线x=m的交点纵坐标,方法同②.结合上面四个不等关系式,即可得到m的取值范围.6、如图抛物线y=ax2+ax+c(a≠0)与x轴的交点为A、B(A在B的左边)且AB=3,与y轴交于C,若抛物线过点E(-1,2).(1)求抛物线的解析式;(2)在x轴的下方是否存在一点P使得△PBC的面积为3?若存在求出P点的坐标,不存在说明理由;(3)若D为原点关于A点的对称点,F点坐标为(0,1.5),将△CEF绕点C旋转,在旋转过程中,线段DE与BF是否存在某种关系(数量、位置)?请指出并证明你的结论.【解析】(1)抛物线y=ax2+ax+c(a≠0)的对称轴是x=-a2a=-12,又因与x轴的交点为A、B(A在B的左边)且AB=3,求出A、B点的坐标,解决第一问;(2)因为S△ABC=3,△PBC的面积是3,说明P点一定在过A点平行于BC的直线上,且一定是与抛物线的交点,因此求出过A点的直线,与抛物线联立进一步求得答案;(3)连接DC、BC,证明三角形相似,利用旋转的性质解决问题.7、如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A、B的坐标分别为A(0,3)和B(5,0),连接AB.(1)现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°,得到△COD,(点A落到点C处),请画出△COD,并求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式;(2)将(1)中抛物线向右平移两个单位,点B的对应点为点E,平移后的抛物线与原抛物线相交于点F、P为平移后的抛物线对称轴上一个动点,连接PE、PF,当|PE-PF|取得最大值时,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,当点P在抛物线对称轴上运动时,是否存在点P使△EPF为直角三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)根据旋转的性质知△COD≌△AOB,则OC=OA、OD=OB,由此可求出C、D 的坐标,进而用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)将(1)题所得的抛物线解析式化为顶点式,然后根据“左加右减,上加下减”的平移规律得出平移后的抛物线解析式;联立两个函数的解析式即可得到F点的坐标;取E点关于平移后抛物线对称轴的对称点E′,那么直线E′F与此对称轴的交点即为所求的P点,可先求出直线E′F的解析式,联立这条对称轴的解析式即可得到P点的坐标;(3)可根据对称轴方程设出P点坐标,分别表示出PE、PF、EF的长;由于△PEF的直角顶点没有确定,因此要分成三种情况考虑:①∠EPF=90°,②∠PEF=90°,③∠PFE=90°;可根据上述三种情况中不同的直角边和斜边,利用勾股定理列出关于P点纵坐标的方程,求出P点的坐标.8、在平面直角坐标系xOy中,把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角,得到矩形ADEF,设AD与BC相交于点G,且A(-9,0),C(0,6),如图甲.(1)当α=60°时,请猜测△ABF的形状,并对你的猜测加以证明.(2)当GA=GC时,求直线AD的解析式.(3)当α=90°时,如图乙.请探究:经过点F,且以点B为顶点的抛物线,是否经过矩形ADEF的对称中心H,并说明理由.【解析】(1)根据旋转的知识可得AB=AF,根据∠BAF=60°可得∴△ABF为等边三角形;(2)利用△AGB为直角三角形,根据勾股定理可得CG的长,也求得了G的坐标,利用点A、G的坐标可得所求的直线解析式;(3)易得F坐标,利用顶点式可得经过点F,且以点B为顶点的抛物线,易得H的坐标,把横坐标代入所得函数解析式,看是否等于纵坐标即可.9、在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上,边OC在y轴的正半轴上,且OA=1,OC=2.将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°,得到矩形DEFG(如图1).(1)若抛物线y=-x2+bx+c经过点B和F,求此抛物线的解析式;(2)将矩形DEFG以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移,平移t秒时,所成图形如图2所示.①图2中,在0<t<1的条件下,连接BF,BF与(1)中所求抛物线的对称轴交于点Q,设矩形DEFG与矩形OABC重合部分的面积为S1,△AQF的面积为S2,试判断S1+S2的值是否发生变化?如果不变,求出其值;②在0<t<3的条件下,P是x轴上一点,请你探究:是否存在t值,使以PB为斜边的Rt △PFB与Rt△AOC相似?若存在,直接写出满足条件t的值及点P的坐标;若不存在,请说明理由(利用图3分析探索).【解析】(1)首先确定点B、F的坐标,将点的坐标代入函数解析式,解方程组即可求得;(2)①首先求得对称轴,根据题意用t表示出S1、S2的值即可求得.②利用相似三角形的性质即可求得:过点F作FP⊥FB,FP交x同于点P,延长FE交AB 于点M,要使Rt△PFB∽Rt△AOC,只要FB:FP=2:1即可,而Rt△BMF∽Rt△PGF,所以根据FBFP=FMFG只须FMFG=21,列出方程解答即可求出此时点P的坐标.第10、11题答案省略。

中考数学抛物线压轴题

中考数学抛物线压轴题

在中考数学中,抛物线是一个常见的考点,经常以压轴题的形式出现。

以下是一个关于抛物线的中考压轴题的示例:题目:已知抛物线y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)经过点(-1,-1),(0,1),当x=-2时,与其对应的函数值y>1。

1. 请你求出abc的值,并判断抛物线的开口方向。

2. 设直线y=kx+d(k≠0)经过点(1,-1),且与抛物线的对称轴平行。

请你求出该直线的解析式。

3. 设E(m,n)是抛物线y=ax^2+bx+c上的一个动点,且满足∠APE=90°,请你求出m的值。

解析:1. 根据题目条件,抛物线经过点(-1,-1),(0,1),可得到方程:$a-b+c=-1$ ①$c=1$ ②将x=-2,y>1代入解析式得:$4a-2b+1>1$化简得:$2a-b>0$ ③由①②③解得:$a>0$$b>0$$c=1$所以,abc=1。

由于a>0,抛物线开口向上。

2. 由题意知:直线y=kx+d经过点(1,-1),则有:k+d=-1 ④又因为直线与对称轴平行,所以其斜率等于对称轴的斜率,即:k=-b/2a=-1/2 ⑤由④⑤解得:d=-3/2所以,直线的解析式为:y=-x/2-3/2。

3. 根据题意知:E(m,n)在抛物线上,则有:$n=am^2+bm+c$ ⑥由于∠APE=90°,所以AE与PE垂直。

根据两直线垂直的条件:斜率之积等于-1。

即:$(m-1)/(n+1)=-1$ ⑦由⑥⑦解得:m=0或m=-2综上所述,m的值为0或-2。

二次函数与线段最值定值问题(八大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(学生版)

二次函数与线段最值定值问题(八大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(学生版)

二次函数与线段最值定值问题(八大类型)考向分析题型一二次函数与单线段最值问题1.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(5,0),B(-1,0)两点,与.y轴交于点C0,52(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上是否存在点P,使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)点G为抛物线上的一动点,过点G作GE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为点F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点G的坐标.题型二二次函数与将军饮马型问题2.如图1,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(-4,0),B(1,0)两点,过点B的直线y=kx+23分别与y轴及抛物线交于点C,D.(1)求直线和抛物线的表达式;(2)动点P从点O出发,在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为t 秒,当t为何值时,△PDC为直角三角形?请直接写出所有满足条件的t的值;(3)如图2,将直线BD沿y轴向下平移4个单位后,与x轴,y轴分别交于E,F两点,在抛物线的对称轴上是否存在点M,在直线EF上是否存在点N,使DM+MN的值最小?若存在,求出其最小值及点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.题型三二次函数与胡不归型线段最值问题3.已知抛物线y=-1x2+bx+c(b,c为常数)的图象与x轴交于A(1,0),B两点(点A在点B左2侧).与y轴相交于点C,顶点为D.(Ⅰ)当b=2时,求抛物线的顶点坐标;(Ⅱ)若点P是y轴上一点,连接BP,当PB=PC,OP=2时,求b的值;(Ⅲ)若抛物线与x轴另一个交点B的坐标为(4,0),对称轴交x轴于点E,点Q是线段DE上一点,点NQ的最小值.N为线段AB上一点,且AN=2BN,连接NQ,求DQ+54二次函数与三线段和最值问题4.如图1,已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=-x2+bx+c 过A、B两点,且与x轴交于另一点C.(1)求b、c的值;(2)如图1,点D为AC的中点,点E在线段BD上,且BE=2ED,连接CE并延长交抛物线于点M,求点M的坐标;(3)将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G,连接CG,如图2,P为△ACG内一点,连接PA、PC、PG,分别以AP、AG为边,在他们的左侧作等边△APR,等边△AGQ,连接QR①求证:PG=RQ;②求PA+PC+PG的最小值,并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标.二次函数与线段倍分关系最值问题5.抛物线y=-x2+4ax+b(a>0)与x轴相交于O、A两点(其中O为坐标原点),过点P(2,2a)作直线PM⊥x轴于点M,交抛物线于点B,点B关于抛物线对称轴的对称点为C(其中B、C不重合),连接AP交y轴于点N,连接BC和PC.(1)a=32时,求抛物线的解析式和BC的长;(2)如图a>1时,若AP⊥PC,求a的值;(3)是否存在实数a,使APPN =12若存在,求出a的值,如不存在,请说明理由.题型六二次函数与线段乘积问题6.已知直线y=12x+2分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=12x2+mx-2经过点A,和x轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点D是抛物线上的动点,且在第三象限,求△ABD面积的最大值;(3)如图2,经过点M(-4,1)的直线交抛物线于点P、Q,连接CP、CQ分别交y轴于点E、F,求OE•OF的值.备注:抛物线顶点坐标公式-b2a,4ac-b24a7.抛物线y=ax2+c与x轴交于A,B两点,顶点为C,点P为抛物线上一点,且位于x轴下方.(1)如图1,若P(1,-3),B(4,0).①求该抛物线的解析式;②若D是抛物线上一点,满足∠DPO=∠POB,求点D的坐标;(2)如图2,已知直线PA,PB与y轴分别交于E、F两点.当点P运动时,OE+OFOC是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.8.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,且OB=OC.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,点D是抛物线顶点,点P(m,n)是在第二象限抛物线上的一点,分别连接BD、BC、BP,若∠CBD=∠ABP,求m的值;(3)如图1,过B、C、O三点的圆上有一点Q,并且点Q在第四象限,连接QO、QB、QC,试猜想线段QO、QB、QC之间的数量关系,并证明你的猜想;(4)如图2,若∠BAC的角平分线交y轴于点G,过点G的直线分别交射线AB、AC于点E、F(不与点A重合),则1AE+1AF的值是否变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出它的值.压轴题速练一、解答题1.如图,已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点,D为顶点,其中点B的坐标为(5,0),点D的坐标为(1,3).(1)求该二次函数的表达式;(2)试问在该二次函数图象上是否存在点G,使得△ADG的面积是△BDG的面积的35若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.2.在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2-4x+c与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且点A的坐标为(-5,0).(1)求点C的坐标;(2)如图1,若点P是第二象限内抛物线上一动点,求点P到直线AC距离的最大值;(3)如图2,若点M是抛物线上一点,点N是抛物线对称轴上一点,是否存在点M使以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.3.如图,已知抛物线y=ax2-32x+c与x轴交于点点A(-4,0),B(1,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q使QB+QC最小?若存在,请求出Q点坐标;若不存在,请说明理由;(3)点P为AC上方抛物线上的动点,过点P作PD⊥AC,垂足为点D,连接PC,当△PCD与△ACO相似时,求点P的坐标.4.如图,抛物线y=-12x2+bx+c过点A3,2,且与直线y=-x+72交于B、C两点,点B的坐标为4,m.(1)求抛物线的解析式;(2)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点,过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E,点P为对称轴上一动点,当线段DE的长度最大时,求PD+PA的最小值.5.抛物线y=ax2+bx-3(a,b为常数,a≠0)交x轴于A-3,0两点.,B4,0(1)求该抛物线的解析式;(2)点C0,4,D是线段AC上的动点(点D不与点A,C重合).①点D关于x轴的对称点为D ,当点D 在该抛物线上时,求点D的坐标;②E是线段AB上的动点(点E不与点A,B重合),且CD=AE,连接CE,BD,当CE+BD取得最小值时,求点D的坐标.6.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y =ax 2+bx +2a ≠0 与x 轴交于A -1,0 ,B 3,0 两点,与y 轴交于点C ,连接BC .(1)求该抛物线的解析式;(2)点P 为直线BC 上方的抛物线上一点,过点P 作y 轴的垂线交线段BC 于M ,过点P 作x 轴的垂线交线段BC 于N ,求△PMN 的周长的最大值.(3)若点N 为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点M ,使得以B ,C ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有满足条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,二次函数y=-14x2+12m-1x+m(m是常数,且m>0)的图象与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,动点P在对称轴l上,连接AC、BC、PA、PC.(1)求点A、B、C的坐标(用数字或含m的式子表示);(2)当PA+PC的最小值等于45时,求m的值及此时点P的坐标;(3)当m取(2)中的值时,若∠APC=2∠ABC,请直接写出点P的坐标.8.已知抛物线y=x+1(m为常数,m>1)的顶点为P.x-m(1)当m=5时,求该抛物线顶点P的坐标;(2)若该抛物线与x轴交于点A,C(点A在点C左侧),与y轴交于点B.①点Q是该抛物线对称轴上一个动点,当AQ+BQ的最小值为22时,求该抛物线的解析式和点Q 的坐标.②连接BC,与抛物线的对称轴交于点H,过点P作PD⊥BC,垂足为D,若BC=8PD,求该抛物线的解析式.9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a>0)的顶点为P,与x轴相交于点A-1,0和点B.(1)若b=-2,c=-3,①求点P的坐标;②直线x=m(m是常数,1<m<3)与抛物线相交于点M,与BP相交于点G,当MG取得最大值时,求点M,G的坐标;(2)若3b=2c,直线x=2与抛物线相交于点N,E是x轴的正半轴上的动点,F是y轴的负半轴上的动点,当PF+FE+EN的最小值为5时,直接写出顶点P的坐标.10.如图,抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)坐标分别为-2,0,4,0,交y轴于点C.(1)求出抛物线解析式:5时,请求(2)如图1,过y轴上点D做BC的垂线,交线段BC于点E,交抛物线于点F,当EF=35出点F的坐标;(3)如图2,点H的坐标是0,2在抛物线上,把△PHQ沿HQ翻折,,点Q为x轴上一动点,点P2,8使点P刚好落在x轴上,请直接写出点Q的坐标.11.抛物线y =ax 2+bx +c 与坐标轴交于A -1,0 、B 4,0 、C 0,2 三点.点P 为抛物线上位于BC 上方的一动点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图,过点P 作PF ⊥x 轴于点F ,交BC 于点E ,连结CP 、CF .当S ΔPCE =2S ΔCEF 时,求点P 的坐标;(3)过点P 作PG ⊥BC 于点G ,是否存在点P ,使线段PG 、CG 的长度是2倍关系?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.12.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A-4,0.、B1,0、C0,4(1)求抛物线解析式和直线AC的解析式;(2)如图(1),若点P是第四象限抛物线上的一点,若S△PAC=20,求点P的坐标;(3)如图(2),点M是直线AC上方抛物线上的一个动点(不与A、C重合),过点M作MH垂直AC于点H,求MH的最大值.13.如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A-1,0两点,与y轴交于点N,其顶,C2,3点为D.(1)求抛物线及直线AC的解析式.(2)设点M3,m,求使MN+MD的值最小时m的值.(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求出点E,F的坐标;若不能,请说明理由.14.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有且只有一个交点A2,0,且与y轴于交于点B.(1)求a与c的关系式;(2)若a=1时,点P2,1c在抛物线的对称轴上;①若过B点的直线l:y=kx+m(k≠0)与抛物线只有一个交点;证明:直线l平分∠OBP;②设过P点的直线与抛物线交于M,N点,则1PM+1PN是否为定值,若为定值请求出定值,若不是定值请说明理由.15.如图1,抛物线y=ax2+2x+c,交x轴于A、B两点,交y轴于点C,F为抛物线顶点,直线EF垂直于x轴于点E,当y≥0时,-1≤x≤3.(1)求抛物线的表达式;(2)点P是线段BE上的动点(除B、E外),过点P作x轴的垂线交抛物线于点D.①当点P的横坐标为2时,求四边形ACFD的面积;②如图2,直线AD,BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点.试问,EM+EN是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.16.已知抛物线y=-x2+2kx-k2+4的顶点为H,与y轴交点为A,点P a,b是抛物线上异于点H的一个动点.(1)若抛物线的对称轴为直线x=1,请用含a的式子表示b;(2)若a=1,作直线HP交y轴于点B,当点A在x轴上方且在线段OB上时,直接写出k的取值范围;(3)在(1)的条件下,记抛物线与x轴的右交点为C,OA的中点为D,作直线CD,过点P作PF⊥CD 于点E并交x轴于点F,若a<3,PE=3EF,求a的值.17.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A2,0.且经过点3,1(1)求抛物线的函数解析式;(2)直线l:y=-x+m与抛物线y=ax2+bx+c相交于B、C两点(C点在B点的左侧),与对称轴相交于点P,且B、C分布在对称轴的两侧.若B点到抛物线对称轴的距离为n,且CP=t·BP(2≤t≤3).①试探求n与t的数量关系;②求线段BC的最大值,以及当BC取得最大值时对应m的值.18.如图1,二次函数y =ax 2+bx +3的图像与x 轴交于点A -1,0 ,B 3,0 ,与y 轴交于点C .(1)求二次函数的解析式;(2)点P 为抛物线上一动点.①如图2,过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于另一点D ,连接BC ,BD .当S △PBC =2S △DBC 时,求点P 的坐标;②如图3,若点P 在直线BC 上方的抛物线上,连接OP 与BC 交于点E ,求PE OE的最大值.19.抛物线y=ax2-4经过A、B两点,且OA=OB,直线EC过点E4,-1,点D是线段,C0,-3OA(不含端点)上的动点,过D作PD⊥x轴交抛物线于点P,连接PC、PE.(1)求抛物线与直线CE的解析式;(2)求证:PC+PD为定值;(3)在第四象限内是否存在一点Q,使得以C、P、E、Q为顶点的平行四边形面积最大,若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.20.如图1.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A-2,0,,点B4,0与y轴交于点C0,2.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是第一象限内的抛物线上一点.过点P作PH⊥x轴于点H,交直线BC于点Q,求PQ+5CQ的最大值,并求出此时点P的坐标;5(3)如图2.将地物线沿射线BC的方向平移5个单位长度.得到新抛物线y1=a1x2+b1x+c1a1≠0,新抛物线与原抛物线交于点G,点M是x轴上一点,点N是新抛物线上一点,若以点C、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点N的坐标.。

2023年数学《二次函数》在中考高频压轴题中的分类特训

2023年数学《二次函数》在中考高频压轴题中的分类特训

二次函数在中考高频压轴题中的分类训练基础知识:如图,已知抛物线y=- 14x2+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知B点的坐标为B(8,0).(1)求抛物线的解析式及其对称轴;(2)连接AC、BC,试判断△AOC与△COB是否相似?并说明理由;(3)证明:△ABC为直角三角形(5)在BC上求一个点D,使得OD将△ABC的面积平分(一)最值问题:(6) 在抛物线的对称轴上求一点P,使PA+PC的值最小值?若P1是∠ABC角平分线上的一点,P2是射线BC上的一点,求CP1+P1P2最小值(7)M为BC上方抛物线上的一点,N为线段BC上的一点,若MN∥y轴,求MN的最大值;(8)M为BC上方抛物线上的一点,求△BCM面积的最大值;变式练习:1若点E 是抛物线顶点,点D (4,m )在抛物线上,在X 轴和Y 轴上找两个点M,N 使四边形DEMN 的周长最小,求M 和N 点的坐标2.若点Q 是线段AB 上的动点,过点Q 作QE\\BC,交AC 于点E ,连接CQ ,当△CQE 面积最大时,求点Q 坐标3.若点Q 是抛物线上的动点,过点Q 作QE\\X 轴,交线段AC 于点E ,交线段BC 于点F,分别过E,F 两点向X 轴作垂线,垂足分别为M,N ,当矩形EMNF 面积最大时,求点Q 坐标4.若M 为BC 上方抛物线上的一点,N 为线段BC 上的一点,且MN 垂直于BC,垂足为N ,求MN 的最大值;5.若M 为BC 上方抛物线上的一点,连接OM 交BC 于点N ,求ONMN的最大值;6.若M为BC上方抛物线上的一点,N为线段BC上的一点,且MN平行于AC,交点为N,求MN的最大值;(二)面积问题:(9)在抛物线上找一个点P,使△ABC与△PBC的面积相等变式练习:1若点F是抛物线上的一个动点,是否存在点F使△BCF的面积为8,若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由(三)等腰三角形问题:(10)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.变式练习:1.若点N在X轴上运动,当△BCN是等腰三角形时,求N点的坐标。

十种二次函数解析式求解方法

十种二次函数解析式求解方法

十种二次函数解析式求解方法〈一〉三点式。

1, 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A (3,0),B (32,0),C (0,-3)三点,求抛物线的解析式。

2, 已知抛物线y=a(x-1)2+4 , 经过点A (2,3),求抛物线的解析式。

〈二〉顶点式。

1, 已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A (2,1),求抛物线的解析式。

2, 已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为(3,1),求抛物线的解析式。

〈三〉交点式。

1, 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。

2, 已知抛物线线与 x 轴两个交点(4,0),(1,0)求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。

〈四〉定点式。

1, 在直角坐标系中,不论a 取何值,抛物线2225212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ,直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。

2, 抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4,求抛物线的解析式。

3, 抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ,求抛物线的解析式。

〈五〉平移式。

1, 把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。

2, 抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.〈六〉距离式。

1, 抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式。

2, 已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点,与 轴交于C 点,且AB=BC,求此抛物线的解析式。

〈七〉对称轴式。

1、 抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点,这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍,求抛物线的解析式。

专题14 二次函数的分类讨论问题(解析版)

专题14 二次函数的分类讨论问题(解析版)

专题14 二次函数的分类讨论问题1、已知抛物线y =﹣16x 2﹣23x +2与x 轴交于点A ,B 两点,交y 轴于C 点,抛物线的对称轴与x 轴交于H 点,分别以OC 、OA 为边作矩形AECO . (1)求直线AC 的解析式;(2)如图2,P 为直线AC 上方抛物线上的任意一点,在对称轴上有一动点M ,当四边形AOCP 面积最大时,求|PM ﹣OM |的最大值.(3)如图3,将△AOC 沿直线AC 翻折得△ACD ,再将△ACD 沿着直线AC 平移得△A 'C ′D '.使得点A ′、C '在直线AC 上,是否存在这样的点D ′,使得△A ′ED ′为直角三角形?若存在,请求出点D ′的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1) y =13x +2;(2) 点M 坐标为(﹣2,53)时,四边形AOCP 的面积最大,此时|PM ﹣OM |有最大值√616; (3)存在,D ′坐标为:(0,4)或(﹣6,2)或(−35,195).【解析】(1)令x =0,则y =2,令y =0,则x =2或﹣6,△A (﹣6,0)、B (2,0)、C (0,2),函数对称轴为:x =﹣2,顶点坐标为(﹣2,83),C 点坐标为(0,2),则过点C 的直线表达式为:y =kx +2,将点A 坐标代入上式,解得:k =13,则:直线AC 的表达式为:y =13x +2; (2)如图,过点P 作x 轴的垂线交AC 于点H .四边形AOCP 面积=△AOC 的面积+△ACP 的面积,四边形AOCP 面积最大时,只需要△ACP 的面积最大即可,设点P 坐标为(m ,−16m 2−23m +2),则点G 坐标为(m ,13m +2),S △ACP =12PG •OA =12•(−16m 2−23m +2−13m ﹣2)•6=−12m 2﹣3m ,当m =﹣3时,上式取得最大值,则点P 坐标为(﹣3,52).连接OP 交对称轴于点M ,此时,|PM ﹣OM |有最大值,直线OP 的表达式为:y =−56x ,当x =﹣2时,y =53,即:点M 坐标为(﹣2,53),|PM ﹣OM |的最大值为:|√(−3+2)2+(52−53)2−√22+(53)2|=√616. (3)存在.△AE =CD ,△AEC =△ADC =90°,△EMA =△DMC ,△△EAM △△DCM (AAS ),△EM =DM ,AM =MC ,设:EM =a ,则:MC =6﹣a .在Rt△DCM 中,由勾股定理得:MC 2=DC 2+MD 2,即:(6﹣a )2=22+a 2,解得:a =83,则:MC =103,过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点N ,交EC 于点H .在Rt△DMC 中,12DH •MC =12MD •DC ,即:DH ×103=83×2,则:DH =85,HC =√DC 2−DH 2=65,即:点D 的坐标为(−65,185);设:△ACD 沿着直线AC 平移了m 个单位,则:点A ′坐标(﹣6√10√10),点D ′坐标为(−65+√10185+√10),而点E 坐标为(﹣6,2),则A′D′2=(−6+65)2+(185)2=36,A′E 2=(√10)2+(√102)2=m 2√104,ED′2=(245+√10)2+(85+√10)2=m 2√101285.若△A ′ED ′为直角三角形,分三种情况讨论:△当A′D′2+A′E 2=ED′2时,36+m 2−√104=m 2+√101285,解得:m =2√105,此时D ′(−65+√10185+√10)为(0,4);△当A′D′2+ED′2=A′E 2时,36+m 2+10+1285=m 210+4,解得:m =−8√105,此时D ′(−6510185+10)为(-6,2);△当A′E 2+ED′2=A′D′2时,m 2√10+4+m 2√101285=36,解得:m =−8√105或m =√105,此时D ′(−65√10185√10)为(-6,2)或(−35,195).综上所述:D 坐标为:(0,4)或(﹣6,2)或(−35,195).2、已知抛物线1l :212y ax =-的项点为P ,交x 轴于A 、B 两点(A 点在B 点左侧),且sin ABP ∠=.(1)求抛物线1l 的函数解析式;(2)过点A 的直线交抛物线于点C ,交y 轴于点D ,若ABC ∆的面积被y 轴分为1: 4两个部分,求直线AC 的解析式;(3)在(2)的情况下,将抛物线1l 绕点P 逆时针旋转180°得到抛物线2l ,点M 为抛物线2l 上一点,当点M 的横坐标为何值时,BDM ∆为直角三角形?【答案】(1)21128y x =-;(2)直线AC 的解析式为114y x =+;(3)点M 横坐标为16-+16--16-+16--BDM ∆为Rt ∆.【解析】(1)当0x =时,2122y ax =-=- △顶点()0,2P -,2OP = △90BOP ∠=︒,△sin OP ABP BP ∠==△BP ==△4OB ===△()4,0B ,代入抛物线1l 得:1620a -=,解得18a =,△抛物线1l 的函数解析式为21128y x =- (2)△知抛物线1l 交x 轴于A 、B 两点 △A 、B 关于y 轴对称,即()4,0-A △8AB =设直线AC 解析式:y kx b =+点A 代入得:40k b -+= △4b k =△直线AC :4y kx k =+,()0,4D k △14|4|8||2AOD BOD S S k k ∆∆==⨯⨯= △21248x kx k -=+,整理得:2832160x kx k ---= △128x x k += △14x =-△284C x x k ==+,()284488C y k k k k k =++=+△2(84,88)C k k k ++ △21||32||2ABC C S AB y k k ∆=⋅=+ △若0k >,则:=1:4AOD OBCD S S ∆四边形 △15AOD ABC S S ∆∆= △()218325k k k =⨯+ 解得:10k =(舍去),214k = △直线AC 的解析式为114y x =+ △若k 0<,则8AOD BOD S S k ∆∆==-,()232ABC S k k ∆=-+△()218|32|5k k k -=⨯-+解得:10k =(舍去),214k =(舍去)综上所述,直线AC 的解析式为114y x =+. (3)由(2)得:()0,1D ,()4,0B△抛物线1l 绕点P 逆时针旋转180︒得到抛物线2l △抛物线2l 解析式为:22128y x =-- 设点M 坐标为21(,2)8m m --△若90BDM ∠=︒,如图1,则0m < 过M 作MN y ⊥轴于点N△90MND BOD BDM ∠=∠=∠=︒,MN m =-,22111(2)388DN m m =---=+ △90MDN BDO MDN DMN ∠+∠=∠+∠=︒ △BDO DMN ∠=∠ △BDO DMN ∆∆△BO ODDN MN=,即BO MN DN OD ⋅=⋅ △21438m m -=+解得:116m =-+,216m =--△若90DBM ∠=︒,如图2,过点M 作MQ x ⊥轴于点Q△90BQM DBM BDM ∠=∠=∠=︒,4BQ m =-,2211(2)288MQ m m =---=+ △90BMQ MBQ MBQ DBO ∠+∠=∠+∠=︒△BMQ DBO ∠=∠ △BMQ DBO ∆∆△BQ MQDO BO=,即BQ BO MQ OD ⋅=⋅△()214428m m -=+解得:116m =-+216m =--△若90BMD ∠=︒,则点M 在以BD 为直径的圆除点B 、D 外的圆周上 显然以AB 为真径的圆与抛物线2l 无交点,故此情况不存在满足的m综上所述,点M 横坐标为16-+16--16-+16--BDM ∆为Rt ∆. 3、已知:如图,一次函数y=12x+1的图象与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ;二次函数y=12x 2+bx+c 的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B 、C 两点,与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为(1,0) (1)求二次函数的解析式; (2)求四边形BDEC 的面积S ;(3)在x 轴上有一动点P ,从O 点出发以每秒1个单位的速度沿x 轴向右运动,是否存在点P 使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出点P 运动的时间t 的值,若不存在,请说明理由. (4)若动点P 在x 轴上,动点Q 在射线AC 上,同时从A 点出发,点P 沿x 轴正方向以每秒2个单位的速度运动,点Q 以每秒a 个单位的速度沿射线AC 运动,是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABD 相似,若存在,求a 的值,若不存在,说明理由.【答案】△y =12x 2−32x +1;(2)92;(3)t =1或3;(4)a =23√5或65√5【解析】(1)将B (0,1),D (1,0)的坐标代入y=12x 2+bx+c , 得:{c =1b +c +12=0,解得:{b =−32c =1故解析式y=12x 2−32x +1;(2)设C (x 0,y 0), 则有 {y 0=12x 0+1y 0=12x 02−32x 0+1 , 解得{x 0=4y 0=3, △C (4,3),由图可知:S=S △ACE -S △ABD ,又由对称轴为x=32可知E (2,0),△S=12AE•y 0-12AD×OB=12×4×3-12×3×1=92; (3)设符合条件的点P 存在,令P (t ,0): 当P 为直角顶点时,如图:过C 作CF△x 轴于F ;△Rt△BOP△Rt△PCF , △BOPF=OP CF ,即 14−t =t3, 整理得t 2-4t+3=0, 解得a=1或a=3; 故可得t=1或3.(4)存在符合条件的a 值,使△APQ 与△ABD 相似, △当△APQ△△ABD 时,AP AB=AQAD , 解得:a=6√55;△当△APQ△△ADB 时,AP AD=AQ AB , 解得:a=2√53,△存在符合条件的a 值,使△APQ 与△ABD 相似,a=6√55或2√53.4、已知,抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过点A (﹣1,0)和C (0,3). (1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上,是否存在点P ,使P A +PC 的值最小?如果存在,请求出点P 的坐标,如果不存在,请说明理由;(3)设点M 在抛物线的对称轴上,当△MAC 是直角三角形时,求点M 的坐标.【答案】(1)223y x x =-++;(2)当PA PC +的值最小时,点P 的坐标为()1,2;(3)点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.【思路引导】()1由点A 、C 的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ,此时PA PC +取最小值,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标,由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式,利用配方法可求出抛物线的对称轴,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标;()3设点M 的坐标为()1,m ,则CM =,AC ==AM =AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况,利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程,解之可得出m 的值,进而即可得出点M 的坐标. 【解析】解:()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中,得:{103b c c --+==,解得:{23b c ==,∴抛物线的解析式为223y x x =-++.()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ,此时PA PC +取最小值,如图1所示.当0y =时,有2230x x -++=, 解得:11x =-,23x =,∴点B 的坐标为()3,0.抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+,∴抛物线的对称轴为直线1x =.设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠, 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中, 得:{303k d d +==,解得:{13k d =-=,∴直线BC 的解析式为3y x =-+.当1x =时,32y x =-+=,∴当PA PC +的值最小时,点P 的坐标为()1,2.()3设点M 的坐标为()1,m ,则CM =,AC ==AM =分三种情况考虑:①当90AMC ∠=时,有222AC AM CM =+,即22101(3)4m m =+-++,解得:11m =,22m =,∴点M 的坐标为()1,1或()1,2;②当90ACM ∠=时,有222AM AC CM =+,即224101(3)m m +=++-,解得:83m =, ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭;③当90CAM ∠=时,有222CM AM AC =+,即221(3)410m m +-=++,解得:23m =-, ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述:当MAC 是直角三角形时,点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【方法总结】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理,解题的关键是:()1由点的坐标,利用待定系数法求出抛物线解析式;()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置;()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况,列出关于m 的方程.5、如图,动直线 y =kx+2(k >0)与 y 轴交于点 F ,与抛物线 y =14x 2+1 相交于A ,B 两点,过点 A ,B 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为点 C ,D ,连接 CF ,DF ,请你判断△CDF 的形状,并说明理由.【答案】△CFD 是直角三角形.见解析。

二次函数与几何图形综合题

二次函数与几何图形综合题
第三章函数及其应用 第八节 二次函数与几何图形综合题
【例1】如图,已知抛物线y=ax2-2ax+a-4与x轴交于A,B两点(A在B的 左侧),交y轴于点C(0,-3),顶点为M,连接CB. (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标; (2)若点P是抛物线上不同于点C的一点,S△ABC=S△ABP,求点P的坐标;
图14-4
练习 如图14-4,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴. (3)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小 时,求点P的坐标.
(3)如图,连接 BC,交直线 l 于点 P,
则点 P 为使△PAC 的周长最小的点, 设直线 BC 的解析式为 y=kx+n,
解:作 OC 的垂直平分线 DP,交 OC 于点 D,交 BC 下方抛物线于点 P, 如图①,∴PO=PC,此时 P 点即为满足条件的点,∵C(0,-4), ∴D(0,-2),∴P 点纵坐标为-2,代入抛物线解析式 可得 x2-3x-4=-2,解得 x=3+2 17(小于 0,舍去)或 x=3+2 17,
图14-4

B(3,0),C(0,3)代入得
3������ + ������ ������ = 3,
=
0,解得
������ ������
= =
-31, ,∴直线
BC
的解析式为
y=-x+3,
∵对称轴为直线 x=1,∴当 x=1 时,y=2,即点 P 的坐标为(1,2).
练习 如图14-4,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,直线l 是抛物线的对称轴. (4)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形? 若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在, 请说明理由.

抛物线经典性质总结30条

抛物线经典性质总结30条

抛物线经典性质总结30条1.已知抛物线y=2px(p>0),AB是抛物线的焦点弦,点C 是AB的中点。

AA’垂直准线于A’,BB’垂直准线于B’,CC’垂直准线于C’,CC’交抛物线于点M,准线交x轴于点K。

证明:CC’是梯形AA’BB’的中位线,即|AB|=2|CC’|。

2.证明:|BF|=x^2/(2p)。

3.证明:CC’=AB=(AA’+BB’)/2.4.证明:以AB为直径的圆与准线L相切。

5.证明:∠A’FB’=90°。

6.证明:AA’FK,∴∠A’FK=∠FA’A;|AF|=|AA’|,∴∠AA’F=∠AFA’;同理可证∠B’FK=∠XXX,得证。

7.证明:C’F= A’B’=C’A’=C’B’。

8.证明:AC’平分∠A’AF,BC’平分∠B’BF,A’F平分∠AFK,B’F平分∠XXX。

9.证明:C’F垂直AB,即C’F⋅AB=0.10.证明:AF=(y+y1)/2p(1-cosα),BF=(y2-y)/(2p(1+cosα))。

11.证明:AF/BF=p/(1-cosα)。

12.证明:点A处的切线为y=y1+p(x+x1)。

1.证明y = 2px的两种方法:方法一:代入y = kx^2求解k,得到k = 2p,证毕。

方法二:对y = 2px两边求导得到2yy' = 2p,解出y' = p/x,证毕。

2.证明切线AC'和BC'交于焦点F:易证点A处的切线为y = px + py1,点B处的切线为y = px + py2,解得两切线的交点为C'(-p(y1-y2)。

(y1+y2)/2),证毕。

3.对于抛物线y^2 = 2px,过准线上任一点P(-2p。

t)作切线,证明过两切点Q1、Q2的弦必过焦点,且PQ1⊥PQ2:设切点为Q(x。

y),则有y' = p/x,代入y^2 = 2px得到x = y^2/(2p),进而得到Q1、Q2的坐标。

《二次函数》经典50题含解析

《二次函数》经典50题含解析

《二次函数》50题一.选择题(共50小题)1.在同一平面直角坐标系中,若抛物线W1:y=x2+(2m﹣1)x+2m﹣4与抛物线W2:y=x2﹣(3m+n)x+n关于直线x=﹣1对称,则抛物线W1上的点A(0,y)在抛物线W2上的对应点A′坐标是()A.(﹣2,8)B.(﹣2,10)C.(﹣2,12)D.(﹣2,14)2.已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a>0)过A(﹣2,y1),B(﹣3,y2),C(1,y2),D(,y3)四点,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2 D.y3>y2>y13.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OB=OC,对称轴为直线x=﹣2,则下列结论:①abc>0;②a﹣c>0;③ac+b =1;④﹣4﹣c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0),且对称轴为直线x=﹣1,其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论:①abc>0;②2a﹣b=0;③9a﹣3b+c=0;④若m>n>0,则x=m﹣1时的函数值小于x=n﹣1时的函数值.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.45.已知二次函数y=x2﹣2x+2(其中x是自变量),当0≤x≤a时,y的最大值为2,y的最小值为1.则a的值为()A.a=1 B.1≤a<2 C.1<a≤2 D.1≤a≤26.已知抛物线y=﹣x2+bx+4经过点(﹣3,m)和(5,m)两点,则b的值为()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.27.已知点(﹣1,y1),(,y2),(4,y3)都在抛物线y=﹣2x2+4x+c上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y2>y3>y1B.y1>y2>y3C.y2>y1>y3D.y1>y3>y28.已知点A(3,y1),B(5,y2),C(﹣4,y3)均在抛物线y=3x2﹣6x+m上,下列说法中正确的是()A.y3>y1>y2B.y1>y2>y3C.y1<y2<y3D.y1>y3>y29.将二次函数y=x2的图象先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到的二次函数的表达式为()A.y=2x2+3 B.y=﹣2x2﹣3 C.y=(x﹣2)2﹣3 D.y=(x+2)2+3 10.在抛物线y=2(x﹣1)2经过(m,n)和(m+3,n)两点,则n的值为()A.B.C.1 D.11.抛物线y=ax2+4x+c(a>0)经过点(x0,y0),且x0满足关于x的方程ax+2=0,则下列选项正确的是()A.对于任意实数x都有y≥y0B.对于任意实数x都有y≤y0C.对于任意实数x都有y>y0D.对于任意实数x都有y<y012.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为(,1),下列结论:①ac<0;②a+b=0;③b<a+c;④4c=4+a,其中正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.413.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)交x轴于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,点P (m,n)(n<0)在该抛物线上.下列四个判断:①b2﹣4ac≥0;②若a+c=b+3,则该抛物线一定经过点(1,3);③方程ax2+bx+c=n的解是x=m;④当m=时,△P AB的面积最大.其中判断一定正确.的序号是()A.①B.②C.③D.④14.定义:在平面直角坐标系中,过一点分别作坐标轴的垂线,若与坐标轴围成的周长值与面积值相等,则这个点叫做和谐点,这个矩形叫做和谐矩形.已知点P(m,n)是抛物线y=x2+k上的和谐点,对应的和谐矩形的面积为16,则k的值为()A.﹣12 B.0 C.4 D.1615.如右图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,函数图象经过点(2,0),x=﹣1是对称轴,有下列结论:①2a﹣b=0;②9a﹣3b+c<0;③若(﹣2,y1),(,)是抛物线上两点,则y1<y2,④a﹣b+c=﹣9a;其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个16.直线y=﹣与抛物线y=﹣x2+3x﹣1的两个交点为A(x1,y)和B(x2,y)(x1<x2),关于这两个交点的说法正确的为()A.点A在第三象限,点B在第四象限B.点A在第四象限,点B在第三象限C.都在第三象限D.都在第四象限17.如图,函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)经过点(﹣1,0)、(m,0),且1<m<2,下列结论:①abc<0;②0<<;③若点A(﹣2,y1),B(2,y2)在抛物线上,则y1<y2;④a(m﹣1)+b=0.其中结论正确的有()个A.1 B.2 C.3 D.418.阅读材料:坐标平面内,对于抛物线y=ax2+bx(a≠0),我们把点(﹣)称为该抛物线的焦点,把y=﹣称为该抛物线的准线方程.例如,抛物线y=x2+2x 的焦点为(﹣1,﹣),准线方程是y=﹣.根据材料,现已知抛物线y=ax2+bx(a ≠0)焦点的纵坐标为3,准线方程为y=5,则关于二次函数y=ax2+bx的最值情况,下列说法中正确的是()A.最大值为4 B.最小值为4C.最大值为3.5 D.最小值为3.519.在平面直角坐标系中,有两条抛物线关于x轴对称,且它们的顶点相距6个单位长度,若其中一条抛物线的函数表达式为y=﹣x2+4x+2m,则m的值是()A.﹣B.﹣C.1 D.﹣或﹣20.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx+2b与y=﹣ax+b的图象可能是()A.B.C.D.21.将抛物线y=﹣2x2﹣3向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得到的抛物线为()A.y=﹣2(x+2)2+2 B.y=﹣2(x﹣2)2﹣2C.y=﹣2(x+2)2﹣2 D.y=﹣2(x﹣2)2﹣522.抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=2.若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t=0(t 为实数)在1<x<5的范围内只有一个实数根,则t的取值范围是()A.0≤t<8或t=﹣1 B.t≥0C.0<t<8 D.0≤t<823.抛物线M:y=﹣x2+4与x轴交于两点A、B(点A在点B的左侧),将抛物线M绕点B 旋转180°,得到新的抛物线M',则M'的表达式为()A.y=x2+8x﹣12 B.y=x2+8x+12 C.y=x2﹣8x﹣12 D.y=x2﹣8x+12 24.如图,抛物线y=x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点D在抛物线上,且CD∥AB,BD与y轴相交于点E,过点E的直线FG平行于x轴,与抛物线交于F,G两点,则线段FG的长为()A.1+B.3 C.2D.2+25.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:(1)4a﹣2b+c<0;(2)方程ax2+bx+c=0两根都大于零;(3)y随x的增大而增大;(4)一次函数y=x+bc的图象一定不过第二象限;其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个26.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,有以下结论:①3a﹣b=0;②b2﹣4ac>0;③5a﹣2b+c>0;④4b+3c>0.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.427.设函数y=kx2+(4k+3)x+1(k<0),若当x<m时,y随着x的增大而增大,则m的值可以是()A.1 B.0 C.﹣1 D.﹣228.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣5,0)、B(5,0)两点,x1、x2是关于x的一元二次方程a(x﹣2)2+c=2b﹣bx的两根,则(x1+x2)的值为()A.0 B.﹣4 C.4 D.229.对于二次函数y=ax2+(1﹣2a)x(a>0),下列说法错误的是()A.该二次函数图象的对称轴可以是y轴B.该二次函数图象的对称轴不可能是x=1C.当x>2时,y的值随x的增大而增大D.该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧30.关于二次函数y=2(x﹣2)2+5,下列说法错误的是()A.图象与y轴的交点坐标为(0,13)B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x>0时,y的值随x值的增大而增大D.当x=2时,函数有最小值为531.已知抛物线y=ax2﹣2ax+a2+1(a≠0).当x≥3时,y随x的增大而增大;当﹣2≤x≤0时,y的最大值为10.那么与抛物线y=ax2﹣2ax+a2+1关于y轴对称的抛物线在﹣2≤x ≤3内的函数最大值为()A.10 B.17 C.5 D.232.已知某二次函数的图象与x轴相交于A,B两点,若该二次函数图象的对称轴是直线x=3,且点A的坐标是(8,0),则AB的长为()A.5 B.8 C.10 D.1133.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,图象与y轴交于(0,﹣1),顶点纵坐标为﹣3,ax2+b|x|+c=k有四个不相等的实数根,则实数k满足()A.0<k<3 B.﹣3<k<0 C.﹣3<k<﹣1 D.1<k<334.如图,Rt△ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y=x2上,并且斜边AB平行于x轴,若斜边上的高为h,则()A.h<1 B.h=1 C.1<h<2 D.h=235.函数y=|ax2+bx|(a<0)的图象如图所示,下列说法错误的是()A.5a+3b<1 B.4a+3b<2 C.2a+b<0 D.a+2b<036.已知二次函数y=mx2+(1﹣m)x,它的图象可能是()A.B.C.D.37.小强从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,观察得出了下面五条结论:你认为其中正确结论的个数有()(1)a<0;(2)b>0;(3)a﹣b+c>0;(4)2a+b<0.A.1个B.2个C.3个D.4个38.函数y=ax2+bx与y=ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是()A.B.C.D.39.向上抛出的小球离地面的高度是其运动时间的二次函数,小甬相隔2秒依次抛出两个小球,假设两个小球出手时离地面高度相同,在各自抛出后1.2秒时达到相同的离地面最大高度.若第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球离地面高度相同,则t=()A.2.2 B.2.5 C.2.6 D.2.740.对于二次函数y=kx2﹣(4k+1)x+3k+3.下列说法正确的是()①对于任何满足条件的k,该二次函数的图象都经过点(1,2)和(3,0)两点;②该函数图象与x轴必有交点;③若k<0,当x≥2时,y随x的增大而减小;④若k为整数,且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点,那么k=﹣1.A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④41.已知二次函数y=ax2+bx﹣c的图象的对称轴为直线x=1,开口向下,且与x轴的其中一个交点是(3,0).下列结论:①4a+2b﹣c>0;②a﹣b﹣c<0;③c=3a;④5a+b﹣2c>0.正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个42.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(,0),与y轴的交点B在(0,0)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=.则下列结论:①x>3时,y<0;②4a+b<0;③﹣<a<0;④4ac+b2<4a.其中正确的是()A.②③④B.①②③C.①③④D.①②④43.已知抛物线y=(x﹣m)(x﹣n),其中m<n,若a,b是方程(x﹣m)(x﹣n)﹣x=0的两根,且a<b,则当(a﹣m)(b﹣n)>0时,mn的值()A.小于零B.等于零C.大于零D.与零的大小关系无法确定44.若二次函数y=﹣x2+px+q的图象经过A(1+m,n)、B(0,y1)、C(3﹣m,n)、D(m2﹣2m+5,y2)、E(2m﹣m2﹣5,y3),则y1、y2、y3的大小关系是()A.y3<y2<y1B.y3<y1<y2C.y1<y2<y3D.y2<y3<y1 45.设抛物线y=ax2+bx+c(ab≠0)的顶点为M,与y轴交于N点,连接直线MN,直线MN与坐标轴所围三角形的面积记为S.下面哪个选项的抛物线满足S=1.()A.y=﹣3(x﹣1)2+1B.y=2(x﹣0.5)(x+1.5)C.y=x+1D.y=(a2+1)x2﹣4x+2(a为任意常数)46.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,且经过点(﹣1,0),下列四个结论:①如果点(﹣,y1)和(2,y2)都在抛物线上,那么y1<y2;②b2﹣4ac>0;③m(am+b)<a+b(m≠1的实数);④=﹣3;其中正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个47.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,1)和(﹣1,0).下列结论:①a+c=1;②b2﹣4ac≥0;③当a<0时,抛物线与x轴必有一个交点在点(1,0)的右侧;④抛物线的对称轴为x=﹣.其中结论正确的个数有()A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个48.若二次函数y=|m|x2+nx+c的图象经过A(a,b)、B(0,y1)、C(5﹣a,b)、D(,y2)、E(3,y3),则y1、y2、y3的大小关系是()A.y2<y3<y1B.y3<y2<y1C.y1<y2<y3D.y1<y3<y2 49.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2﹣4x+6上运动,过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连结BD,则对角线BD的最小值为()A.1 B.2 C.D.50.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交于点A,与x轴的负半轴交于点B,点M是对称轴上的一个动点.连接AM,BM,当|AM﹣BM|最大时,点M的坐标是()A.(1,4)B.(1,2)C.(1,﹣2)D.(1,﹣6)参考答案与试题解析一.选择题(共50小题)1.在同一平面直角坐标系中,若抛物线W1:y=x2+(2m﹣1)x+2m﹣4与抛物线W2:y=x2﹣(3m+n)x+n关于直线x=﹣1对称,则抛物线W1上的点A(0,y)在抛物线W2上的对应点A′坐标是()A.(﹣2,8)B.(﹣2,10)C.(﹣2,12)D.(﹣2,14)【解答】解:∵抛物线W1:y=x2+(2m﹣1)x+2m﹣4与抛物线W2:y=x2﹣(3m+n)x+n关于直线x=﹣1对称,∴(﹣+)=﹣1,∴m+n=﹣5,∴抛物线W1上的点A(0,y)在抛物线W2上的对应点A′坐标是(﹣2,y),∴2m﹣4=4+2(3m+n)+n,∴4m+3n=﹣8,解得m=7,∴y=2m﹣4=10,∴在抛物线W2上的对应点A′坐标是(﹣2,10),故选:B.2.已知抛物线y=ax2+bx﹣2(a>0)过A(﹣2,y1),B(﹣3,y2),C(1,y2),D(,y3)四点,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3C.y1>y3>y2D.y3>y2>y1【解答】解:抛物线y=ax2+bx﹣2(a>0)过A(﹣2,y1),B(﹣3,y2),C(1,y2),D(,y3)四点,∴抛物线开口向上,对称轴为x==﹣1.∵|﹣1﹣(﹣2)|<|1+1|<|+1|∴y3>y2>y1,故选:D.3.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OB=OC,对称轴为直线x=﹣2,则下列结论:①abc>0;②a﹣c>0;③ac+b =1;④﹣4﹣c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2,∴b=4a<0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc>0,所以①正确;∵点B到直线x=﹣2的距离大于2,∴点A到直线x=﹣2的距离大于2,即点A在(﹣4,0)的左侧,∴当x=﹣4时,y>0,即16a﹣4b+c>0,∴a﹣b+c>0,所以②正确;∵C(0,c),OB=OC,∴B(c,0),∴ac2+bc+c=0,即ac+b+1=0,所以③错误;∵点A与点B关于直线x=1对称,∴A(﹣4﹣c,0),∴﹣4﹣c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根,所以④正确.故选:C.4.抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0),且对称轴为直线x=﹣1,其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论:①abc>0;②2a﹣b=0;③9a﹣3b+c=0;④若m>n>0,则x=m﹣1时的函数值小于x=n﹣1时的函数值.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:①观察图象可知:a<0,b<0,c>0,∴abc>0,所以①正确;②∵对称轴为直线x=﹣1,即﹣=﹣1,解得b=2a,即2a﹣b=0,所以②正确;③∵抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,0),且对称轴为直线x=﹣1,∴抛物线与x轴的另一个交点为(﹣3,0),当a=﹣3时,y=0,即9a﹣3b+c=0,所以③正确;∵m>n>0,∴m﹣1>n﹣1>﹣1,由x>﹣1时,y随x的增大而减小知x=m﹣1时的函数值小于x=n﹣1时的函数值,所以④正确;故选:D.5.已知二次函数y=x2﹣2x+2(其中x是自变量),当0≤x≤a时,y的最大值为2,y的最小值为1.则a的值为()A.a=1 B.1≤a<2 C.1<a≤2 D.1≤a≤2【解答】解:∵二次函数y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,∴抛物线的对称轴为x=1,顶点(1,1),∴当y=1时,x=1,当y=2时,x2﹣2x+2=2,x=0或2,∵当0≤x≤a时,y的最大值为2,y的最小值为1,∴1≤a≤2,故选:D.6.已知抛物线y=﹣x2+bx+4经过点(﹣3,m)和(5,m)两点,则b的值为()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2【解答】解:抛物线y=﹣x2+bx+4经过点(﹣3,m)和(5,m)两点,可知函数的对称轴x=1,∴﹣=1,∴b=2;故选:D.7.已知点(﹣1,y1),(,y2),(4,y3)都在抛物线y=﹣2x2+4x+c上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y2>y3>y1B.y1>y2>y3C.y2>y1>y3D.y1>y3>y2【解答】解:∵抛物线y=﹣2x2+4x+c的对称轴为直线x=1,且抛物线的开口向下,∴离抛物线对称轴的水平距离越远,对应函数值越小,∵点(4,y3)离对称轴的距离最远,点(,y2)离对称轴的距离最近,∴y2>y1>y3,故选:C.8.已知点A(3,y1),B(5,y2),C(﹣4,y3)均在抛物线y=3x2﹣6x+m上,下列说法中正确的是()A.y3>y1>y2B.y1>y2>y3C.y1<y2<y3D.y1>y3>y2【解答】解:∵抛物线y=3x2﹣6x+m,∴抛物线的开口向上,对称轴是直线x=﹣=1,∴抛物线上的点离对称轴最远,对应的函数值就越大,∵点(﹣4,y3)离对称轴最远,点A(3,y1)离对称轴最近,∴y1<y2<y3.故选:C.9.将二次函数y=x2的图象先向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到的二次函数的表达式为()A.y=2x2+3 B.y=﹣2x2﹣3 C.y=(x﹣2)2﹣3 D.y=(x+2)2+3 【解答】解:依题意可知,原抛物线顶点坐标为(0,0),平移后抛物线顶点坐标为(﹣2,3),又因为平移不改变二次项系数,所以所得抛物线解析式为:y=(x+2)2+3.故选:D.10.在抛物线y=2(x﹣1)2经过(m,n)和(m+3,n)两点,则n的值为()A.B.C.1 D.【解答】解:抛物线y=2(x﹣1)2经过(m,n)和(m+3,n)两点,可知函数的对称轴x==1,∴m=﹣;将点(﹣,n)代入函数解析式,可得n=2(﹣﹣1)2=;故选:A.11.抛物线y=ax2+4x+c(a>0)经过点(x0,y0),且x0满足关于x的方程ax+2=0,则下列选项正确的是()A.对于任意实数x都有y≥y0B.对于任意实数x都有y≤y0C.对于任意实数x都有y>y0D.对于任意实数x都有y<y0【解答】解:∵x0满足关于x的方程ax+2=0,∴x0=﹣,∴点(x0,y0)是二次函数y=ax2+4x+c的顶点坐标.∵a>0,∴对于任意实数x都有y≥y0.故选:A.12.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为(,1),下列结论:①ac<0;②a+b=0;③b<a+c;④4c=4+a,其中正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴ac<0,所以①正确;∵抛物线的顶点坐标为(,1),∴抛物线得对称轴为直线x=﹣=,∴b=﹣a,即a+b=0,所以②正确;∵抛物线与x轴的负半轴的交点到原点的距离小于1,∴x=﹣1时,y<0,∴a﹣b+c<0,即b>a+c,所以③错误;∵抛物线的顶点的纵坐标为1,∴=1,把b=﹣a代入得4c﹣a=4,所以④正确.故选:C.13.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)交x轴于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,点P (m,n)(n<0)在该抛物线上.下列四个判断:①b2﹣4ac≥0;②若a+c=b+3,则该抛物线一定经过点(1,3);③方程ax2+bx+c=n的解是x=m;④当m=时,△P AB的面积最大.其中判断一定正确.的序号是()A.①B.②C.③D.④【解答】解:∵抛物线与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,∴△=b2﹣4ac>0,所以①错误;若a+c=b+3,即a﹣b+c=3,则该抛物线一定经过点(﹣1,3),所以②错误;当P(m,n)为抛物线的顶点时,方程ax2+bx+c=n的解是x=m;若P(m,n)不为抛物线的顶点,则方程ax2+bx+c=n有两个不相等的实数解,所以③错误;当P点为顶点时,△P AB的面积最大.此时x=﹣=m,∵x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两不相等的实数解,∴x1+x2=﹣,∴m=,所以④正确.故选:D.14.定义:在平面直角坐标系中,过一点分别作坐标轴的垂线,若与坐标轴围成的周长值与面积值相等,则这个点叫做和谐点,这个矩形叫做和谐矩形.已知点P(m,n)是抛物线y=x2+k上的和谐点,对应的和谐矩形的面积为16,则k的值为()A.﹣12 B.0 C.4 D.16【解答】解:∵点P(m,n)是抛物线y=x2+k上的点,∴n=m2+k,∴k=n﹣m2,∴点P(m,n)是和谐点,对应的和谐矩形的面积为16,∴2|m|+2|n|=|mn|=16,∴|m|=4,|n|=4,当n≥0时,k=n﹣m2=4﹣16=﹣12;当n<0时,k=n﹣m2=﹣4﹣16=﹣20.故选:A.15.如右图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,函数图象经过点(2,0),x=﹣1是对称轴,有下列结论:①2a﹣b=0;②9a﹣3b+c<0;③若(﹣2,y1),(,)是抛物线上两点,则y1<y2,④a﹣b+c=﹣9a;其中正确结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【解答】解:∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1,∴﹣=﹣1,∴b=2a,即2a﹣b=0,所以①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1,抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0),∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(﹣4,0),∴当x=﹣3时,y>0,即9a﹣3b+c>0,所以②错误;∵抛物线开口向下,点(﹣2,y1)到直线x=﹣1的距离比点(,)到直线x=﹣1的距离小,∴y1>y2,所以③错误;∵x=2,y=0,∴4a+2b+c=0,把b=2a代入得4a+4a+c=0,解得c=﹣8a,∴a﹣b+c=a﹣2a﹣8a=﹣9a,所以④正确.故选:B.16.直线y=﹣与抛物线y=﹣x2+3x﹣1的两个交点为A(x1,y)和B(x2,y)(x1<x2),关于这两个交点的说法正确的为()A.点A在第三象限,点B在第四象限B.点A在第四象限,点B在第三象限C.都在第三象限D.都在第四象限【解答】解:由抛物线y=﹣x2+3x﹣1可知抛物线开口向下,与y轴的交点为(0,﹣1),对称轴为直线x=﹣>0,∴抛物线对称轴在y轴的右侧,∴直线y=﹣与抛物线y=﹣x2+3x﹣1的两个交点为A(x1,y)和B(x2,y)(x1<x2)都在第四象限,故选:D.17.如图,函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)经过点(﹣1,0)、(m,0),且1<m<2,下列结论:①abc<0;②0<<;③若点A(﹣2,y1),B(2,y2)在抛物线上,则y1<y2;④a(m﹣1)+b=0.其中结论正确的有()个A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:∵抛物线开口向上,∴a>0,∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,∴b<0,∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∴abc>0,∴①的结论错误;∵抛物线过点(﹣1,0)和(m,0),且1<m<2,∴0<<,故②的结论正确;∵点A(﹣2,y1)到对称轴的距离比点B(2,y2)到对称轴的距离远,∴y1>y2,∴③的结论错误;∵抛物线过点(﹣1,0),(m,0),∴a﹣b+c=0,am2+bm+c=0,∴am2﹣a+bm+b=0,a(m+1)(m﹣1)+b(m+1)=0,∴a(m﹣1)+b=0,∴④的结论正确;故选:B.18.阅读材料:坐标平面内,对于抛物线y=ax2+bx(a≠0),我们把点(﹣)称为该抛物线的焦点,把y=﹣称为该抛物线的准线方程.例如,抛物线y=x2+2x 的焦点为(﹣1,﹣),准线方程是y=﹣.根据材料,现已知抛物线y=ax2+bx(a ≠0)焦点的纵坐标为3,准线方程为y=5,则关于二次函数y=ax2+bx的最值情况,下列说法中正确的是()A.最大值为4 B.最小值为4C.最大值为3.5 D.最小值为3.5【解答】解:根据题意得=3,﹣=5,解得a=﹣,b=2或b=﹣2,∴抛物线y=ax2+bx(a≠0)的解析式为y=﹣x2+2x或y=﹣x2﹣2x,∵y=﹣x2+2x=﹣(x﹣4)2+4,y=﹣x2﹣2x=﹣(x+4)2+4,∴二次函数y=ax2+bx有最大值4.故选:A.19.在平面直角坐标系中,有两条抛物线关于x轴对称,且它们的顶点相距6个单位长度,若其中一条抛物线的函数表达式为y=﹣x2+4x+2m,则m的值是()A.﹣B.﹣C.1 D.﹣或﹣【解答】解:∵一条抛物线的函数表达式为y=﹣x2+4x+2m,∴这条抛物线的顶点为(2,2m+4),∴关于x轴对称的抛物线的顶点(2,﹣2m﹣4),∵它们的顶点相距6个单位长度.∴|2m+4﹣(﹣2m﹣4)|=6,∴4m+8=±6,当4m+8=6时,m=﹣,当4m+8=﹣6时,m=﹣,∴m的值是﹣或﹣.故选:D.20.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx+2b与y=﹣ax+b的图象可能是()A.B.C.D.【解答】解:A、一次函数的图象经过一、二、四象限,则﹣a<0,即a>0,b>0,所以函数y=ax2+bx+2b的图象开口向上,对称轴x<0,与y轴的交点位于直线的上方,由ax2+bx+2b=﹣ax+b整理得ax2+(a+b)x+b=0,由于△=(a+b)2﹣4ab=(a﹣b)2≥0,则两图象有交点,故A错误;B、一次函数的图象经过一、二、四象限,则﹣a<0,即a>0,b<0,所以函数y=ax2+bx+2b开口向上,对称轴x>0,故B错误;C、一次函数的图象经过一、二、三象限,则﹣a>0,即a<0,b>0,所以函数y=ax2+bx+2b开口向下,对称轴x>0,故C错误;D、一次函数的图象经过二、三,四象限,则﹣a<0,即a>0,b<0,所以函数y=ax2+bx+2b开口向上,对称轴x>0,故D正确;故选:D.21.将抛物线y=﹣2x2﹣3向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得到的抛物线为()A.y=﹣2(x+2)2+2 B.y=﹣2(x﹣2)2﹣2C.y=﹣2(x+2)2﹣2 D.y=﹣2(x﹣2)2﹣5【解答】解:∵抛物线y=﹣2x2﹣3向右平移2个单位长度,∴平移后解析式为:y=﹣2(x﹣2)2﹣3,∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为:y=﹣2(x﹣2)2﹣3+1.即y=﹣2(x﹣2)2﹣2;故选:B.22.抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=2.若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t=0(t 为实数)在1<x<5的范围内只有一个实数根,则t的取值范围是()A.0≤t<8或t=﹣1 B.t≥0C.0<t<8 D.0≤t<8【解答】解:∵抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=2.∴﹣=2,解得:b=﹣4,∴y=x2﹣4x+3,∴一元二次方程x2+bx+3﹣t=0有实数根可以看做y=x2﹣4x+3与函数y=t只有一个交点,∵方程x2﹣4x+3﹣t=0(t为实数)在1<x<5的范围内只有一个实数根,当x=1时,y=0;当x=5时,y=8;当x=2时,y=﹣1;∴t的取值范围是0≤t<8或t=﹣1.故选:A.23.抛物线M:y=﹣x2+4与x轴交于两点A、B(点A在点B的左侧),将抛物线M绕点B 旋转180°,得到新的抛物线M',则M'的表达式为()A.y=x2+8x﹣12 B.y=x2+8x+12 C.y=x2﹣8x﹣12 D.y=x2﹣8x+12 【解答】解:∵抛物线M:y=﹣x2+4与x轴交于两点A、B(点A在点B的左侧),∴点A(﹣2,0),点B(2,0),该抛物线的顶点坐标为(0,4),∵将抛物线M绕点B旋转180°,得到新的抛物线M',∴新的抛物线M'的顶点坐标为(4,﹣4),点A关于点B的对称点为(6,0),∴新的抛物线M'的解析式为y=(x﹣4)2﹣4=x2﹣8x+12,故选:D.24.如图,抛物线y=x2+2x﹣3与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点D在抛物线上,且CD∥AB,BD与y轴相交于点E,过点E的直线FG平行于x轴,与抛物线交于F,G两点,则线段FG的长为()A.1+B.3 C.2D.2+【解答】解:∵抛物线y=x2+2x﹣3=(x+3)(x﹣1),∴令x=0,则y=﹣3,∴C(0,﹣3),令y=0,则(x+3)(x﹣1)=0,∴x=﹣3或1,∴B(1,0),∵抛物线y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,∴对称轴为x=﹣1,∵CD∥AB,∴C、D两点关于x=﹣1对称,∴D(﹣2,﹣3),设BD的解析式为y=mx+n(m≠0),则,∴,∴BD的解析式为y=x﹣1,∴E(0,﹣1),令y=﹣1,则y=x2+2x﹣3=﹣1,解得,x=﹣1,∴F(﹣1﹣,﹣1),G(﹣1+,﹣1),∴FG=(﹣1+)﹣(﹣1﹣)=2,故选:C.25.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论:(1)4a﹣2b+c<0;(2)方程ax2+bx+c=0两根都大于零;(3)y随x的增大而增大;(4)一次函数y=x+bc的图象一定不过第二象限;其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【解答】解:(1)当x=﹣2时,y>0,∴4a﹣2b+c>0,故本说法错误;(2)方程ax2+bx+c=0两根分别为1,3,都大于0,故本说法正确;(3)当x>2时,y随x的增大而增大,故本说法错误;(4)由图象开口向上,a>0,与y轴交于正半轴,c>0,﹣=1>0,∴b<0,∴bc<0,∴一次函数y=x+bc的图象一定过第一、三、四象限,一定不过第二象限,故本说法正确;故选:B.26.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,有以下结论:①3a﹣b=0;②b2﹣4ac>0;③5a﹣2b+c>0;④4b+3c>0.其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:由图象可知a<0,c>0,对称轴为x=﹣,∴x=﹣=﹣,∴b=3a,①正确;∵函数图象与x轴有两个不同的交点,∴△=b2﹣4ac>0,②正确;当x=﹣1时,a﹣b+c>0,当x=﹣3时,9a﹣3b+c>0,∴10a﹣4b+2c>0,∴5a﹣2b+c>0,③正确;由对称性可知x=1时对应的y值与x=﹣4时对应的y值相等,∴当x=1时,a+b+c<0,∵b=3a,∴4b+3c=3b+b+3c=3b+3a+3c=3(a+b+c)<0,∴4b+3c<0,④错误;故选:C.27.设函数y=kx2+(4k+3)x+1(k<0),若当x<m时,y随着x的增大而增大,则m的值可以是()A.1 B.0 C.﹣1 D.﹣2【解答】解:∵k<0,∴函数y=kx2+(4k+3)x+1的图象在对称轴直线x=﹣的左侧,y随x的增大而增大.∵当x<m时,y随着x的增大而增大∴m≤﹣,而当k<0时,﹣=﹣2﹣>﹣2,所以m≤﹣2,故选:D.28.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣5,0)、B(5,0)两点,x1、x2是关于x的一元二次方程a(x﹣2)2+c=2b﹣bx的两根,则(x1+x2)的值为()A.0 B.﹣4 C.4 D.2【解答】解:∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣5,0)、B(5,0)两点,∴抛物线的对称轴为直线x=0,即﹣=0,∴b=0,∴25a+c=0,∵a(x﹣2)2+c=2b﹣bx,a(x﹣2)2+c=0,∴a(x﹣2)2=25a,∴(x﹣2)2=25,解得x1=7,x2=﹣3,即关于x的一元二次方程a(x﹣2)2+c=2b﹣bx的解为x1=7,x2=﹣3.∴x1+x2=4.故选:C.29.对于二次函数y=ax2+(1﹣2a)x(a>0),下列说法错误的是()A.该二次函数图象的对称轴可以是y轴B.该二次函数图象的对称轴不可能是x=1C.当x>2时,y的值随x的增大而增大D.该二次函数图象的对称轴只能在y轴的右侧【解答】解:∵二次函数y=ax2+(1﹣2a)x(a>0),∴当a=时,该函数的对称轴是y轴,故选项A正确;该函数的对称轴为直线x=﹣=1﹣<1,当x>2时,y随x的增大而增大,故选项B、C正确;∵该函数的对称轴为x=1﹣<1,∴当a=时,x=﹣1,则此时对称轴在y轴左侧,故选项D错误;故选:D.30.关于二次函数y=2(x﹣2)2+5,下列说法错误的是()A.图象与y轴的交点坐标为(0,13)B.图象的对称轴在y轴的右侧C.当x>0时,y的值随x值的增大而增大D.当x=2时,函数有最小值为5【解答】解:A、y=2(x﹣2)2+5=2x2﹣8x+13,则图象与y轴的交点坐标为(0,13),原题说法正确,故此选项不合题意;B、对称轴为x=2,图象的在y轴的右侧,原题说法正确,故此选项不合题意;C、a=2,开口向上,对称轴为x=2,则当x>2时,y的值随x值的增大而增大,原题说法错误,故此选项符合题意;D、顶点坐标为(2,5),开口向上,则当x=2时,函数有最小值为5,原题说法正确,故此选项不合题意;故选:C.31.已知抛物线y=ax2﹣2ax+a2+1(a≠0).当x≥3时,y随x的增大而增大;当﹣2≤x≤0时,y的最大值为10.那么与抛物线y=ax2﹣2ax+a2+1关于y轴对称的抛物线在﹣2≤x ≤3内的函数最大值为()A.10 B.17 C.5 D.2【解答】解:∵抛物线y=ax2﹣2ax+a2+1(a≠0),∴对称轴为直线x=﹣=1,∵当x≥3时,y随x的增大而增大,∴a>0,且x≤1时,y随x的增大而减小,∵当﹣2≤x≤0时,y的最大值为10.,∴当x=﹣2时,y=a2+8a+1=10,∴a=1或a=﹣9(舍去),∴抛物线为y=x2﹣2x+2,∵y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,∴此抛物线关于y轴的对称的抛物线为y=(x+1)2+1,∴函数y=(x+1)2+1,∴抛物线y=(x+1)2+1在﹣2≤x≤3内,当x=3时取最大值,即y=17,故选:B.32.已知某二次函数的图象与x轴相交于A,B两点,若该二次函数图象的对称轴是直线x =3,且点A的坐标是(8,0),则AB的长为()A.5 B.8 C.10 D.11【解答】解:∵某二次函数的图象与x轴相交于A,B两点,该二次函数图象的对称轴是直线x=3,且点A的坐标是(8,0),∴点B的坐标为(﹣2,0),∴AB=8﹣(﹣2)=8+2=10,故选:C.33.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,图象与y轴交于(0,﹣1),顶点纵坐标为﹣3,ax2+b|x|+c=k有四个不相等的实数根,则实数k满足()A.0<k<3 B.﹣3<k<0 C.﹣3<k<﹣1 D.1<k<3【解答】解:设y=ax2+b|x|+c,则函数y=ax2+b|x|+c的图象,如右图所示,∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴交于(0,﹣1),顶点纵坐标为﹣3,∴ax2+b|x|+c=k有四个不相等的实数根时,k满足﹣3<k<﹣1,故选:C.34.如图,Rt△ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y=x2上,并且斜边AB平行于x轴,若斜边上的高为h,则()A.h<1 B.h=1 C.1<h<2 D.h=2【解答】解:由题A,B,C均在抛物线y=x2上,并且斜边AB平行于x轴,知A、B两点关于y轴对称,记斜边AB交y轴于点D,可设A(﹣,b),B(,b),C(a,a2),D(0,b),则斜边上的高为h,故h=b﹣a2,∵△ABC是直角三角形,由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半,∴CD=,∴=,方程两边平方得b﹣a2=(a2﹣b)2,即h=(﹣h)2,因为h>0,所以h=1,是个定值.故选:B.35.函数y=|ax2+bx|(a<0)的图象如图所示,下列说法错误的是()A.5a+3b<1 B.4a+3b<2 C.2a+b<0 D.a+2b<0 【解答】解:由图象可知,函数函数y=ax2+bx图象的对称轴为直线x=﹣<1,∵a<0,∴2a+b<0,故C正确;∵当x=2时,函数y=ax2+bx中y<0,即4a+2b<0,当x=1时,y<1,即a+b<1∴5a+3b<1,故A正确;∵a+b<1,∴2a+2b<2∵2a+b<0,∴4a+3b<2故B正确;∵﹣>,a<0,∴b>﹣a,∴2b>﹣2a,∴a+2b>﹣a,∴a+2b>0,故D错误;故选:D.36.已知二次函数y=mx2+(1﹣m)x,它的图象可能是()A.B.C.D.【解答】解:∵二次函数y=mx2+(1﹣m)x,∴当x=0时,y=0,即该函数的图象过点(0,0),故选项A错误;该函数的顶点的横坐标为﹣=﹣,当m>0时,该函数图象开口向上,顶点的横坐标小于,故选项B正确,选项C错误;当m<0时,该函数图象开口向下,顶点的横坐标大于,故选项D错误;故选:B.37.小强从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中,观察得出了下面五条结论:你认为其中正确结论的个数有()(1)a<0;(2)b>0;(3)a﹣b+c>0;(4)2a+b<0.A.1个B.2个C.3个D.4个【解答】解:(1)如图,抛物线开口方向向下,则a<0,故结论正确;(2)如图,抛物线对称轴位于y轴右侧,则a、b异号,故b>0,故结论正确;(3)如图,当x=﹣1时,y<0,即a﹣b+c<0,故结论错误;(4)由抛物线的对称性质知,对称轴是直线x=﹣>0.结合a<0知,2a+b<0,故结论正确.综上所述,正确的结论有3个.故选:C.38.函数y=ax2+bx与y=ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是()A.B.C.D.【解答】解:当a>0,b>0时,一次函数y=ax+b的图象在第一、二、三象限,二次函数y=ax2+bx的图象经过原点,顶点在y轴的左侧,故选项A、B错误;当a>0,b<0时,一次函数y=ax+b的图象在第一、三、四象限,二次函数y=ax2+bx 的图象经过原点,顶点在y轴的右侧,函数图象开口向上,函数y=ax2+bx与y=ax+b 交点在x轴上,故选项C正确;当a<0,b<0时,一次函数y=ax+b的图象在第二、三、四象限,二次函数y=ax2+bx 的图象经过原点,顶点在y轴的左侧,函数图象开口向下,故选项D错误;故选:C.39.向上抛出的小球离地面的高度是其运动时间的二次函数,小甬相隔2秒依次抛出两个小球,假设两个小球出手时离地面高度相同,在各自抛出后1.2秒时达到相同的离地面最大高度.若第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球离地面高度相同,则t=()A.2.2 B.2.5 C.2.6 D.2.7【解答】解:设各自抛出后1.2秒时到达相同的最大离地高度为h,这个最大高度为h,则小球的高度y=a(t﹣1.2)2+h,由题意a(t﹣1.2)2+h=a(t﹣2﹣1.2)2+h,解得t=2.2.故第一个小球抛出后2.2秒时在空中与第二个小球的离地高度相同.故选:A.40.对于二次函数y=kx2﹣(4k+1)x+3k+3.下列说法正确的是()①对于任何满足条件的k,该二次函数的图象都经过点(1,2)和(3,0)两点;②该函数图象与x轴必有交点;③若k<0,当x≥2时,y随x的增大而减小;④若k为整数,且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点,那么k=﹣1.A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④【解答】解:∵y=kx2﹣(4k+1)x+3k+3=[kx﹣(k+1)](x﹣3)=[k(x﹣1)﹣1](x ﹣3),∴对于任何满足条件的k,该二次函数的图象都经过点(1,2)和(3,0)两点,故①正确;对于任何满足条件的k,该二次函数中当x=3时,y=0,即该函数图象与x轴必有交点,故②正确;∵二次函数y=kx2﹣(4k+1)x+3k+3的对称轴是直线x==2+,∴若k<0,则2+<2,该函数图象开口向下,∴若k<0,当x≥2时,y随x的增大而减小,故③正确;∵y=kx2﹣(4k+1)x+3k+3=[kx﹣(k+1)](x﹣3)=[k(x﹣1)﹣1](x﹣3),∴当y=0时,x1=+1,x2=3,∴若k为整数,且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点,那么k=±1,故④错误;故选:A.41.已知二次函数y=ax2+bx﹣c的图象的对称轴为直线x=1,开口向下,且与x轴的其中一个交点是(3,0).下列结论:①4a+2b﹣c>0;②a﹣b﹣c<0;③c=3a;④5a+b﹣2c>0.正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个【解答】解:∵(3,0)关于直线x=1的对称点坐标为(﹣1,0)∴抛物线与x轴的另一个交点为(﹣1,0),∵抛物线与x轴的另一个交点为(﹣1,0),∴a﹣b﹣c=0,故②错误;∵﹣=1,∴b=﹣2a∴a+2a﹣c=0,∴c=3a,故③正确;∵b=﹣2a,c=3a,a<0,∴4a+2b﹣c=4a﹣4a﹣3a=﹣3a>0,即4a+2b﹣c>0,故①正确;∵4a+2b﹣c>0,a﹣b﹣c=0,两式相加:5a+b﹣2c>0,故④正确,故选:C.42.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(,0),与y轴的交点B在(0,0)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=.则下列结论:①x>3时,y<0;②4a+b<0;③﹣<a<0;④4ac+b2<4a.其中正确的是()A.②③④B.①②③C.①③④D.①②④【解答】解:由图象可知,抛物线开口向下,则a<0,∵对称轴为直线x=,∴x=0与x=3所对应的函数值相同,∵当x=0时y<0,∴x=3时y<0,∴x>3时,y<0,∴①正确;∵x==﹣,∴b=﹣3a,∴4a+b=4a﹣3a=a<0,∴②正确;∵抛物线经过点A(,0),∴a+b+c=0,∴c=a,∵B在(0,0)和(0,﹣1)之间,∴﹣1<c<0,∴﹣1<a<0,∴﹣<a<0,∴③正确;4ac+b2﹣4a=4a×a+(﹣3a)2﹣4a=5a2+9a2﹣4a=14a2﹣4a=2a(7a﹣2),∵a<0,∴2a(7a﹣2)>0,∴4ac+b2﹣4a>0,∴④不正确;故选:B.43.已知抛物线y=(x﹣m)(x﹣n),其中m<n,若a,b是方程(x﹣m)(x﹣n)﹣x=0的两根,且a<b,则当(a﹣m)(b﹣n)>0时,mn的值()A.小于零B.等于零C.大于零D.与零的大小关系无法确定【解答】解:y=(x﹣m)(x﹣n)与x轴的交点为(m,0),(n,0),由(x﹣m)(x﹣n)﹣x=0,则y=(x﹣m)(x﹣n)与y=x的两个交点为(a,a),(b,b),如图1:当函数y=(x﹣m)(x﹣n)与x轴交点在x轴正半轴时,(m,0),(n,0)在(a,a),(b,b)点的下方,∴a<m<n<b,∴(a﹣m)(b﹣n)<0,不符合;如图2:当函数y=(x﹣m)(x﹣n)与x轴交点分别在x轴正半轴和负半轴时,此时m<a<n<b,∴(a﹣m)(b﹣n)>0,∴mn<0;如图3:当函数y=(x﹣m)(x﹣n)与x轴交点在x轴负半轴时,此时m<a<b<n,∴(a﹣m)(b﹣n)<0,不符合题意;综上所述:当(a﹣m)(b﹣n)>0时,mn<0,。

2020年《二次函数》解答题中考题汇编

2020年《二次函数》解答题中考题汇编

2020年《二次函数》解答题中考题汇编2 1.(2020•南通)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0),B(3n﹣4,y1),C(5n+6,y2)三点,对称轴是直线x=1.关于x的方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根.(1)求抛物线的解析式;(2)若n<﹣5,试比较y1与y2的大小;(3)若B,C两点在直线x=1的两侧,且y1>y2,求n的取值范围.2.(2020•阜新)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A(﹣3,0),B(1,0),交y轴于点C.点P(m,0)是x轴上的一动点,PM⊥x轴,交直线AC于点M,交抛物线于点N.(1)求这个二次函数的表达式;(2)①若点P仅在线段AO上运动,如图,求线段MN的最大值;②若点P在x轴上运动,则在y轴上是否存在点Q,使以M,N,C,Q为顶点的四边形为菱形.若存在,请直接写出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.3.(2020•盘锦)如图1,直线y=x﹣4与x轴交于点B,与y轴交于点A,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B和点C(0,4),△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移,平移后的三角形记为△DEF(点A,B,O的对应点分别为点D,E,F),平移时间为t(0<t<4)秒,射线DF交x轴于点G,交抛物线于点M,连接ME.(1)求抛物线的解析式;(2)当tan∠EMF=时,请直接写出t的值;(3)如图2,点N在抛物线上,点N的横坐标是点M的横坐标的,连接OM,NF,OM与NF相交于点P,当NP=FP时,求t的值.4.(2020•西藏)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣2,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,点P是第四象限内抛物线上的一个动点.(1)求二次函数的解析式;=,求点P的坐标;(2)如图甲,连接AC,PA,PC,若S△P AC(3)如图乙,过A,B,P三点作⊙M,过点P作PE⊥x轴,垂足为D,交⊙M于点E.点P在运动过程中线段DE的长是否变化,若有变化,求出DE的取值范围;若不变,求DE的长.5.(2020•德阳)如图1,抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a(a≠0)与x轴交于点A,B.与y轴交于点C.连接AC,BC.已知△ABC的面积为2.(1)求抛物线的解析式;(2)平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P,Q两点.过P,Q向x轴作垂线,垂足分别为G,H.若四边形PGHQ为正方形,求正方形的边长;(3)如图2,平行于y轴的直线交抛物线于点M,交x轴于点N(2,0).点D是抛物线上A,M之间的一动点,且点D不与A,M重合,连接DB交MN于点E.连接AD并延长交MN于点F.在点D运动过程中,3NE+NF是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.6.(2020•锦州)在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A(﹣3,0),B(4,0)两点,交y轴于点C.(1)求抛物线的表达式;(2)如图,直线y=与抛物线交于A,D两点,与直线BC交于点E.若M(m,0)是线段AB上的动点,过点M作x轴的垂线,交抛物线于点F,交直线AD于点G,交直线BC于点H.①当点F在直线AD上方的抛物线上,且S△EFG=S△OEG时,求m的值;②在平面内是否在点P,使四边形EFHP为正方形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.7.(2020•朝阳)如图,抛物线y=﹣+bx+c与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,抛物线的对称轴为直线x=﹣1,点C坐标为(0,4).(1)求抛物线表达式;(2)在抛物线上是否存在点P,使∠ABP=∠BCO,如果存在,求出点P坐标;如果不存在,请说明理由;(3)在(2)的条件下,若点P在x轴上方,点M是直线BP上方抛物线上的一个动点,求点M到直线BP的最大距离;(4)点G是线段AC上的动点,点H是线段BC上的动点,点Q是线段AB上的动点,三个动点都不与点A,B,C重合,连接GH,GQ,HQ,得到△GHQ,直接写出△GHQ周长的最小值.8.(2020•鞍山)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)经过点A(﹣2,﹣4)和点C(2,0),与y轴交于点D,与x轴的另一交点为点B.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,连接BD,在抛物线上是否存在点P,使得∠PBC=2∠BDO?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图2,连接AC,交y轴于点E,点M是线段AD上的动点(不与点A,点D重合),将△CME沿ME所在直线翻折,得到△FME,当△FME与△AME重叠部分的面积是△AMC面积的时,请直接写出线段AM的长.9.(2020•赤峰)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(1,0),B (4,0)两点,与y轴交于点C,直线y=﹣x+2经过B,C两点.(1)直接写出二次函数的解析式;(2)平移直线BC,当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时,求此时点Q的坐标;(3)过(2)中的点Q作QE∥y轴,交x轴于点E.若点M是抛物线上一个动点,点N 是x轴上一个动点,是否存在以E,M,N三点为顶点的直角三角形(其中M为直角顶点)与△BOC相似?如果存在,请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标;如果不存在,请说明理由.10.(2020•大连)在平面直角坐标系xOy中,函数F1和F2的图象关于y轴对称,它们与直线x=t(t>0)分别相交于点P,Q.(1)如图,函数F1为y=x+1,当t=2时,PQ的长为;(2)函数F1为y=,当PQ=6时,t的值为;(3)函数F1为y=ax2+bx+c(a≠0),①当t=时,求△OPQ的面积;②若c>0,函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A(5,0),B(1,0),当c≤x≤c+1时,设函数F1的最大值和函数F2的最小值的差为h,求h关于c的函数解析式,并直接写出自变量c的取值范围.11.(2020•桂林)如图,已知抛物线y=a(x+6)(x﹣2)过点C(0,2),交x轴于点A和点B(点A在点B的左侧),抛物线的顶点为D,对称轴DE交x轴于点E,连接EC.(1)直接写出a的值,点A的坐标和抛物线对称轴的表达式;(2)若点M是抛物线对称轴DE上的点,当△MCE是等腰三角形时,求点M的坐标;(3)点P是抛物线上的动点,连接PC,PE,将△PCE沿CE所在的直线对折,点P落在坐标平面内的点P′处.求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标.12.(2020•葫芦岛)如图,抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴相交于点A(﹣1,0)和点B,与y轴相交于点C(0,3),作直线BC.(1)求抛物线的解析式;(2)在直线BC上方的抛物线上存在点D,使∠DCB=2∠ABC,求点D的坐标;(3)在(2)的条件下,点F的坐标为(0,),点M在抛物线上,点N在直线BC上.当以D,F,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点N的坐标.13.(2020•呼伦贝尔)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(4,0),与y轴交于点C,连接BC,点P是线段BC上的动点(与点B,C不重合),连接AP并延长AP交抛物线于点Q,连接CQ,BQ,设点Q的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;(2)当△BCQ的面积等于2时,求m的值;(3)在点P运动过程中,是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.14.(2020•铁岭)如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,对称轴与抛物线相交于点P、与BC相交于点E,与x轴交于点H,连接PB.(1)求该抛物线的解析式;(2)抛物线上存在一点G,使∠GBA+∠PBE=45°,请求出点G的坐标;(3)抛物线上是否存在一点Q,使△QEB与△PEB的面积相等,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.15.(2020•沈阳)如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线y=x2+bx+c经过点B(6,0)和点C(0,﹣3).(1)求抛物线的表达式;(2)如图2,线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD.过点B作射线BD,点M是射线BD上一点(不与点B重合),点M关于x轴的对称点为点N,连接NM,NB.①直接写出△MBN的形状为;②设△MBN的面积为S1,△ODB的面积为是S2.当S1=S2时,求点M的坐标;(3)如图3,在(2)的结论下,过点B作BE⊥BN,交NM的延长线于点E,线段BE 绕点B逆时针旋转,旋转角为α(0°<α<120°)得到线段BF,过点F作FK∥x轴,交射线BE于点K,∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G,当BG=2时,请直接写出点G的坐标为.16.(2020•大庆)如图,抛物线y=ax2+bx+12与x轴交于A,B两点(B在A的右侧),且经过点C(﹣1,7)和点D(5,7).(1)求抛物线的函数表达式;(2)连接AD,经过点B的直线l与线段AD交于点E,与抛物线交于另一点F.连接CA,CE,CD,△CED的面积与△CAD的面积之比为1:7,点P为直线l上方抛物线上的一个动点,设点P的横坐标为t.当t为何值时,△PFB的面积最大?并求出最大值;(3)在抛物线y=ax2+bx+12上,当m≤x≤n时,y的取值范围是12≤y≤16,求m﹣n 的取值范围.(直接写出结果即可)17.(2020•镇江)如图①,直线l经过点(4,0)且平行于y轴,二次函数y=ax2﹣2ax+c (a、c是常数,a<0)的图象经过点M(﹣1,1),交直线l于点N,图象的顶点为D,它的对称轴与x轴交于点C,直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点.(1)当a=﹣1时,求点N的坐标及的值;(2)随着a的变化,的值是否发生变化?请说明理由;(3)如图②,E是x轴上位于点B右侧的点,BC=2BE,DE交抛物线于点F.若FB=FE,求此时的二次函数表达式.18.(2020•眉山)如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,已知点B坐标为(3,0),点C坐标为(0,3).(1)求抛物线的表达式;(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点,当△PBC的面积最大时,求点P的坐标;(3)如图2,点M为该抛物线的顶点,直线MD⊥x轴于点D,在直线MD上是否存在点N,使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.19.(2020•河池)在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴交于(p,0),(q,0),则该抛物线的解析式可以表示为:y=a(x﹣p)(x﹣q)=ax2﹣a(p+q)x+apq.(1)若a=1,抛物线与x轴交于(1,0),(5,0),直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标;(2)若a=﹣1,如图(1),A(﹣1,0),B(3,0),点M(m,0)在线段AB上,抛物线C1与x轴交于A,M,顶点为C;抛物线C2与x轴交于B,M,顶点为D.当A,C,D三点在同一条直线上时,求m的值;(3)已知抛物线C3与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0),线段EF的端点E(0,3),F(4,3).若抛物线C3与线段EF有公共点,结合图象,在图(2)中探究a的取值范围.20.(2020•雅安)已知二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象与x轴的交于A、B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3),(1)求二次函数的表达式及A点坐标;(2)D是二次函数图象上位于第三象限内的点,求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标;(3)M是二次函数图象对称轴上的点,在二次函数图象上是否存在点N,使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形?若有,请写出点N的坐标(不写求解过程).21.(2020•绵阳)如图,抛物线过点A(0,1)和C,顶点为D,直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B(,0),平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E,与直线AC交于点F,点F的横坐标为,四边形BDEF为平行四边形.(1)求点F的坐标及抛物线的解析式;(2)若点P为抛物线上的动点,且在直线AC上方,当△PAB面积最大时,求点P的坐标及△PAB面积的最大值;(3)在抛物线的对称轴上取一点Q,同时在抛物线上取一点R,使以AC为一边且以A,C,Q,R为顶点的四边形为平行四边形,求点Q和点R的坐标.22.(2020•长春)在平面直角坐标系中,函数y=x2﹣2ax﹣1(a为常数)的图象与y轴交于点A.(1)求点A的坐标.(2)当此函数图象经过点(1,2)时,求此函数的表达式,并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围.(3)当x≤0时,若函数y=x2﹣2ax﹣1(a为常数)的图象的最低点到直线y=2a的距离为2,求a的值.(4)设a<0,Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E(﹣1,﹣1)、F(﹣1,a﹣1)、G(0,a﹣1).当函数y=x2﹣2ax﹣1(a为常数)的图象与△EFG的直角边有交点时,交点记为点P.过点P作y轴的垂线,与此函数图象的另一个交点为P′(P′与P不重合),过点A作y轴的垂线,与此函数图象的另一个交点为A′.若AA′=2PP′,直接写出a的值.23.(2020•海南)抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣3,0)和点B(2,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点P是该抛物线上的动点,且位于y轴的左侧.①如图1,过点P作PD⊥x轴于点D,作PE⊥y轴于点E,当PD=2PE时,求PE的长;②如图2,该抛物线上是否存在点P,使得∠ACP=∠OCB?若存在,请求出所有点P的坐标:若不存在,请说明理由.24.(2020•丹东)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A,B 两点,A点坐标为(﹣2,0),与y轴交于点C(0,4),直线y=﹣x+m与抛物线交于B,D两点.(1)求抛物线的函数表达式.(2)求m的值和D点坐标.(3)点P是直线BD上方抛物线上的动点,过点P作x轴的垂线,垂足为H,交直线BD于点F,过点D作x轴的平行线,交PH于点N,当N是线段PF的三等分点时,求P点坐标.(4)如图2,Q是x轴上一点,其坐标为(﹣,0).动点M从A出发,沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动,设M的运动时间为t(t>0),连接AD,过M作MG⊥AD 于点G,以MG所在直线为对称轴,线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′,点M在运动过程中,线段A′Q′的位置也随之变化,请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围.25.(2020•益阳)如图,在平面直角坐标系中,点F的坐标是(4,2),点P为一个动点,过点P作x轴的垂线PH,垂足为H,点P在运动过程中始终满足PF=PH.【提示:平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则MN2=(x2﹣x1)2+(y2﹣y1)2】(1)判断点P在运动过程中是否经过点C(0,5);(2)设动点P的坐标为(x,y),求y关于x的函数表达式;填写下表,并在给定坐标系中画出该函数的图象;x…02468…y……(3)点C关于x轴的对称点为C',点P在直线C'F的下方时,求线段PF长度的取值范围.26.(2020•吉林)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+与x轴正半轴交于点A,且点A的坐标为(3,0),过点A作垂直于x轴的直线l.P是该抛物线上的任意一点,其横坐标为m,过点P作PQ⊥l于点Q,M是直线l上的一点,其纵坐标为﹣m+.以PQ,QM为边作矩形PQMN.(1)求b的值.(2)当点Q与点M重合时,求m的值.(3)当矩形PQMN是正方形,且抛物线的顶点在该正方形内部时,求m的值.(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时,直接写出m的取值范围.27.在平面直角坐标系xOy中,等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上,另两个顶点A,B 在x轴上,且AB=4,抛物线经过A,B,C三点,如图1所示.(1)求抛物线所表示的二次函数表达式.(2)过原点任作直线l交抛物线于M,N两点,如图2所示.①求△CMN面积的最小值.②已知Q(1,﹣)是抛物线上一定点,问抛物线上是否存在点P,使得点P与点Q关于直线l对称,若存在,求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式;若不存在,请说明理由.28.(2020•宿迁)二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点,与y轴交于点C,顶点为E..(1)求这个二次函数的表达式,并写出点E的坐标;(2)如图①,D是该二次函数图象的对称轴上一个动点,当BD的垂直平分线恰好经过点C时,求点D的坐标;(3)如图②,P是该二次函数图象上的一个动点,连接OP,取OP中点Q,连接QC,QE,CE,当△CEQ的面积为12时,求点P的坐标.29.(2020•黔南州)如图(1),在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与y轴交于点A,与x轴交于点C(﹣2,0),且经过点B(8,4),连接AB,BO,作AM⊥OB 于点M,将Rt△OMA沿y轴翻折,点M的对应点为点N.解答下列问题:(1)抛物线的解析式为,顶点坐标为;(2)判断点N是否在直线AC上,并说明理由;(3)如图(2),将图(1)中Rt△OMA沿着OB平移后,得到Rt△DEF.若DE边在线段OB上,点F在抛物线上,连接AF,求四边形AMEF的面积.30.(2020•鄂尔多斯)如图1,抛物线y=x2+bx+c交x轴于A,B两点,其中点A的坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,﹣3).(1)求抛物线的函数解析式;(2)点D为y轴上一点,如果直线BD与直线BC的夹角为15°,求线段CD的长度;(3)如图2,连接AC,点P在抛物线上,且满足∠PAB=2∠ACO,求点P的坐标.31.(2020•牡丹江)已知抛物线y=a(x﹣2)2+c经过点A(﹣2,0)和点C(0,),与x轴交于另一点B,顶点为D.(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D的坐标;(2)如图,点E,F分别在线段AB,BD上(点E不与点A,B重合),且∠DEF=∠DAB,DE=EF,直接写出线段BE的长.32.(2020•随州)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+1的对称轴为直线x=,其图象与x轴交于点A和点B(4,0),与y轴交于点C.(1)直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数;(2)动点M,N同时从A点出发,点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动,点N 以每秒个单位的速度在线段AC上运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动的时间为t(t>0)秒,连接MN,再将线段MN绕点M顺时针旋转90°,设点N落在点D的位置,若点D恰好落在抛物线上,求t的值及此时点D的坐标;(3)在(2)的条件下,设P为抛物线上一动点,Q为y轴上一动点,当以点C,P,Q 为顶点的三角形与△MDB相似时,请直接写出点P及其对应的点Q的坐标.(每写出一组正确的结果得1分,至多得4分)33.(2020•黄石)在平面直角坐标系中,抛物线y =﹣x 2+kx ﹣2k 的顶点为N .(1)若此抛物线过点A (﹣3,1),求抛物线的解析式;(2)在(1)的条件下,若抛物线与y 轴交于点B ,连接AB ,C 为抛物线上一点,且位于线段AB 的上方,过C 作CD 垂直x 轴于点D ,CD 交AB 于点E ,若CE =ED ,求点C 坐标;(3)已知点M (2﹣,0),且无论k 取何值,抛物线都经过定点H ,当∠MHN =60°时,求抛物线的解析式.34.(2020•荆州)如图1,在平面直角坐标系中,A (﹣2,﹣1),B (3,﹣1),以O 为圆心,OA 的长为半径的半圆O 交AO 延长线于C ,连接AB ,BC ,过O 作ED ∥BC 分别交AB 和半圆O 于E ,D ,连接OB ,CD .(1)求证:BC 是半圆O 的切线;(2)试判断四边形OBCD 的形状,并说明理由;(3)如图2,若抛物线经过点D 且顶点为E .①求此抛物线的解析式;②点P 是此抛物线对称轴上的一个动点,以E ,D ,P 为顶点的三角形与△OAB 相似,问抛物线上是否存在一点Q .使S △EPQ =S △OAB ?若存在,请直接写出Q 点的横坐标;若不存在,说明理由.35.(2020•娄底)如图,抛物线经过点A (﹣3,0)、B (1,0)、C (0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)点P (m ,n )是抛物线上的动点,当﹣3<m <0时,试确定m 的值,使得△PAC 的面积最大;(3)抛物线上是否存在不同于点B 的点D ,满足DA 2﹣DC 2=6,若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.36.(2020•郴州)如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C.已知直线y=kx+n过B,C两点.(1)求抛物线和直线BC的表达式;(2)点P是抛物线上的一个动点.①如图1,若点P在第一象限内,连接PA,交直线BC于点D.设△PDC的面积为S1,△ADC的面积为S2,求的最大值;②如图2,抛物线的对称轴l与x轴交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F.点Q是对称轴l上的一个动点,是否存在以点E,F,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P,Q的坐标;若不存在,请说明理由.37.(2020•鄂州)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B左边),与y轴交于点C.直线y=x﹣2经过B、C两点.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上的一动点,过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M.PN⊥BC,垂足为N.设M(m,0).①点P在抛物线上运动,若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外).请直接写出符合条件的m的值;②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时,是否存在一点P,使△PNC与△AOC相似.若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.38.(2020•包头)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x经过坐标原点,与x轴正半轴交于点A,该抛物线的顶点为M,直线y=﹣x+b经过点A,与y轴交于点B,连接OM.(1)求b的值及点M的坐标;(2)将直线AB向下平移,得到过点M的直线y=mx+n,且与x轴负半轴交于点C,取点D(2,0),连接DM,求证:∠ADM﹣∠ACM=45°;(3)点E是线段AB上一动点,点F是线段OA上一动点,连接EF,线段EF的延长线与线段OM交于点G.当∠BEF=2∠BAO时,是否存在点E,使得3GF=4EF?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.39.(2020•玉林)如图,已知抛物线:y1=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C.(1)直接写出点A,B,C的坐标;(2)将抛物线y1经过向右与向下平移,使得到的抛物线y2与x轴交于B,B'两点(B'在B的右侧),顶点D的对应点为点D',若∠BD'B'=90°,求点B'的坐标及抛物线y2的解析式;(3)在(2)的条件下,若点Q在x轴上,则在抛物线y1或y2上是否存在点P,使以B′,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有符合条件的点P的坐标;如果不存在,请说明理由.40.(2020•恩施州)如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点C(6,0),顶点为B,对称轴x =2与x轴相交于点A,D为线段BC的中点.(1)求抛物线的解析式;(2)P为线段BC上任意一点,M为x轴上一动点,连接MP,以点M为中心,将△MPC 逆时针旋转90°,记点P的对应点为E,点C的对应点为F.当直线EF与抛物线y=﹣x2+bx+c只有一个交点时,求点M的坐标.(3)△MPC在(2)的旋转变换下,若PC=(如图2).①求证:EA=ED.②当点E在(1)所求的抛物线上时,求线段CM的长.。

专题二次函数中的存在性问题-重难点题型(沪科版)

专题二次函数中的存在性问题-重难点题型(沪科版)

专题21.10 二次函数中的存在性问题-重难点题型【沪科版】【题型1 二次函数中直角三角形存在性问题】【例1】(2021•罗湖区校级模拟)如图,已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点P是抛物线上一动点,连接PB,PC.(1)点A的坐标为,点B的坐标为;(2)如图1,当点P在直线BC上方时,过点P作PD上x轴于点D,交直线BC于点E.若PE=2ED,求△PBC的面积;(3)抛物线上存在一点P,使△PBC是以BC为直角边的直角三角形,求点P的坐标.【变式1-1】(2021春•望城区校级月考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x 轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,3),连接AC,点P为第二象限抛物线上的动点.(1)求a、b、c的值;(2)连接P A、PC、AC,求△P AC面积的最大值;(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得△QAC为直角三角形,若存在,请求出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【变式1-2】(2021•长沙模拟)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,且点B与点C的坐标分别为B(3,0).C(0,3),点M是抛物线的顶点.点P为线段MB上一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,若OD=m.(1)求二次函数解析式;(2)设△PCD的面积为S,试判断S有最大值或最小值?若有,求出其最值,若没有,请说明理由;(3)在MB上是否存在点P,使△PCD为直角三角形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【变式1-3】(2021•长沙模拟)如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点,点C、B关于抛物线的对称轴对称,过点B作直线BH⊥x轴,交x轴于点H.(1)求抛物线的表达式;(2)直接写出点C的坐标,并求出△ABC的面积;(3)点P是抛物线上一动点,且位于第四象限,当△ABP的面积为6时,求出点P的坐标;(4)若点M在直线BH上运动,点N在x轴上运动,是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在,请直接写出此时点M的坐标,若不存在,请说明理由.【题型2 二次函数中等腰三角形存在性问题】【例2】(2020秋•曾都区期末)如图,抛物线y=ax2+4x+c经过A(﹣3,﹣4),B(0,﹣1)两点,点P 是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点,设其横坐标为m.(1)直接写出抛物线的解析式;(2)将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD(点D是点A的对应点),求点D的坐标,并判断点D是否在抛物线上;(3)过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M,试探究是否存在点P,使△PBM是等腰三角形?若存在,求出点m的值;若不存在,说明理由.【变式2-1】(2020秋•云南期末)如图,直线y=−12x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,已知二次函数的图象经过点B,C和点A(﹣1,0).(1)求B,C两点的坐标.(2)求该二次函数的解析式.(3)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D,则在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD 为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.【变式2-2】(2021•南充)如图,已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和B,与y轴交于点C,对称轴为直线x=5 2.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,连接OQ,当线段PQ长度最大时,判断四边形OCPQ的形状并说明理由;(3)如图2,在(2)的条件下,D是OC的中点,过点Q的直线与抛物线交于点E,且∠DQE=2∠ODQ.在y轴上是否存在点F,得△BEF为等腰三角形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由.【变式2-3】(2021•建华区二模)综合与探究如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点,且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).(1)求抛物线的解析式及点B坐标;(2)设该抛物线的顶点为点H,则S△BCH=;(3)若点M是线段BC上一动点,过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D,交抛物线于点E,求ME 长的最大值及点M的坐标;(4)在(3)的条件下:当ME取得最大值时,在x轴上是否存在这样的点P,使得以点M、点B、点P 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.【题型3 二次函数中平行四边形存在性问题】【例3】(2020秋•元阳县期末)如图,直线y=−12x+c与x轴交于点A(﹣3,0),与y轴交于点C,抛物线y=12x2+bx+c经过点A,C,与x轴的另一个交点为B(1,0),连接BC.(1)求抛物线的函数解析式.(2)M为x轴的下方的抛物线上一动点,求△ABM的面积的最大值.(3)P为抛物线上一动点,Q为x轴上一动点,当以B,C,Q,P为顶点的四边形为平行四边形时,求点P的坐标.【变式3-1】(2020秋•泰山区期末)如图,抛物线y=12x2+bx+c经过点A(﹣4,0),点M为抛物线的顶点,点B在y轴上,且OA=OB,直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图.(1)求直线AB和抛物线的表达式;(2)在y轴上找一点Q,使得△AMQ的周长最小,在备用图中画出图形并求出点Q的坐标;(3)在坐标平面内是否存在点N,使以点A、O、C、N为顶点且AC为一边的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.【变式3-2】(2021春•雨花区期末)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P从点B出发,沿着射线BC运动,速度每秒√2个单位长度,过点P作直线PM∥y轴,交抛物线于点M.设运动时间为t秒.①在运动过程中,当t为何值时,使(MA+MC)(MA﹣MC)的值最大?并求出此时点P的坐标.②若点N同时从点B出发,向x轴正方向运动,速度每秒v个单位长度,问:是否存在t使点B,C,M,N构成平行四边形?若存在,求出t,v的值;若不存在,说明理由.【变式3-3】(2021•北碚区校级模拟)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣6与x轴交于A,C(﹣6,0)两点(点A在点C右侧),交y轴于点B,连接BC,且AC=4.(1)求抛物线的解析式.(2)若P是BC上方抛物线上不同于点A的一动点,连接P A,PB,PC,求当S△PBC−12S△P AC有最大值时点P的坐标,并求出此时的最大值.(3)如图2,将原抛物线向右平移,使得点A刚好落在原点O,M是平移后的抛物线上一动点,Q是直线BC上一动点.当A,M,B,Q组成的四边形是平行四边形时,请直接写出此时点Q的坐标.【题型4 二次函数中菱形存在性问题】【例4】(2020秋•巴南区期末)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B(﹣3,0),与y轴交于点C.(1)求b,c的值;(2)如图1,点P为直线BC上方抛物线上的一个动点,设点P的横坐标m.当m为何值时,△PBC的面积最大?并求出这个面积的最大值.(3)如图2,将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点D,点M为直线BC上的一点,点N是平面坐标系内一点,是否存在点M,N,使以点B,D,M,N为顶点的四边形为菱形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【变式4-1】(2021•湘潭)如图,一次函数y=√33x−√3图象与坐标轴交于点A、B,二次函数y=√33x2+bx+c图象过A、B两点.(1)求二次函数解析式;(2)点B关于抛物线对称轴的对称点为点C,点P是对称轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q,使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.A、B两点,B点的坐标为(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3),点P是直线BC下方抛物线上的一个动点.(1)求二次函数解析式;(2)连接PO,PC,并将△POC沿y轴对折,得到四边形POP'C.是否存在点P,使四边形POP'C为菱形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.交于点A(4,0)和B(﹣1,0),交y轴于点C.(1)求二次函数y=x2+bx+c的表达式;(2)将点C向右平移n个单位得到点D,点D在该二次函数图象上.点P是直线BD下方该二次函数图象上一点,求△PBD面积的最大值以及此时点P的坐标;(3)在(2)中,当△PBD面积取得最大值时,点E是过点P且垂直于x轴直线上的一点.在该直角坐标平面内,是否存在点Q,使得以点P,D,E,Q四点为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【题型5 二次函数中矩形存在性问题】【例5】(2021春•九龙坡区校级期末)如图1,若二次函数y=﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A、B,与y 轴交于点C,连接AC、BC.(1)求三角形ABC的面积;(2)若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点,连接PB、PC,是否存在点P,使四边形ABPC的面积为18,若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;(3)如图2,若点Q是抛物线上一动点,在平面内是否存在点K,使以点B、C、Q、K为顶点,BC为边的四边形是矩形?若存在,请直接写出点K的坐标;若不存在,请说明理由.【变式5-1】(2021•齐齐哈尔)综合与探究如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,连接BC,OA=1,对称轴为直线x=2,点D为此抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线上C、D两点之间的距离是2√2;(3)点E是第一象限内抛物线上的动点,连接BE和CE,求△BCE面积的最大值;(4)点P在抛物线对称轴上,平面内存在点Q,使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形,请直接写出点Q的坐标.【变式5-2】(2021春•杏花岭区校级月考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求直线BC的解析式;(2)若点P为直线BC下方抛物线上一动点,当点P运动到某一位置时,△BCP的面积最大,求△BCP 的最大面积及此时点P的坐标;(3)点M为抛物线对称轴上一动点,点N为坐标平面内一点,若以点B,C,M,N为顶点的四边形是矩形,直接写出点M的坐标.【变式5-3】(2021•北碚区校级模拟)如图,已知抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且点A的坐标为(﹣2,0),直线BC的解析式为y=12x﹣4.(1)求抛物线的解析式.(2)如图1,过点A作AD∥BC交抛物线于点D(异于点A),P是直线BC下方抛物线上一点,过点P作PQ∥y轴,交AD于点Q,过点Q作QR⊥BC于点R,连接PR.求△PQR面积的最大值及此时点P 的坐标.(3)如图2,点C关于x轴的对称点为点C′,将抛物线沿射线C′A的方向平移2√5个单位长度得到新的抛物线y′,新抛物线y′与原抛物线交于点M,原抛物线的对称轴上有一动点N,平面直角坐标系内是否存在一点K,使得以D,M,N,K为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点K的坐标;若不存在,请说明理由.【题型6 二次函数中正方形存在性问题】【例6】(2021•渝中区校级二模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点C,与x 轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),其中A(﹣2,0),并且抛物线过点D(4,3).(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点P为直线CD上方抛物线上一点,过P作PE∥y轴交BC于点E,连接CP,PD,DE,求四边形CPDE面积的最值及点P的坐标;(3)如图2,将抛物线沿射线CB方向平移得新抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0),是否在新抛物线上存在点M,在平面内存在点N,使得以A,C,M,N为顶点的四边形为正方形?若在,直接写出此时新抛物线的顶点坐标,若不存在,请说明理由.【变式6-1】(2020秋•高明区期末)如图,抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,且与y 轴交于点C,点D是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点Q在该抛物线的对称轴上,若△ACQ是以AC为腰的等腰三角形,求点Q的坐标;(3)若P为BD的中点,过点P作PF⊥x轴于点F,G为抛物线上一动点,GM⊥x轴于点M,N为直线PF上一动点,当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时,直接写出点M的坐标.【变式6-2】(2021•合川区校级模拟)如图,在平面直角坐标系.xOy中,直线y=x﹣4与x轴交于点A,与y轴交于点B,过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C(﹣2,0).(1)求抛物线解析式;(2)如图1,点F是直线AB下方抛物线上一动点,连接F A,FB,求出四边形F AOB面积最大值及此时点F的坐标.(3)如图2,在(2)问的条件下,点Q为平面内y轴右侧的一点,是否存在点Q及平面内任意一点M 使得以A,F,Q,M为顶点的四边形是正方形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.【变式6-3】(2021•海南模拟)如图,平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(﹣3,0),B (4,0),交y轴于点C(0,4).(1)求抛物线的函数表达式;(2)直线y=34x+94与抛物线交于A、D两点,与直线BC交于点E.若点M(m,0)是线段AB上的动点,过点M作x轴的垂线,交抛物线于点F,交直线AD于点G,交直线BC于点H.①当S EOG=12S△AOE时,求m的值;②在平面内是否存在点P,使四边形EFHP为正方形?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.。

压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国

压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国

2023年中考数学压轴题专项训练压轴题12关于二次函数性质与最值的推理计算综合问题例1.(2023•海曙区一模)对于抛物线y=ax2﹣4x+3(a>0).(1)若抛物线过点(4,3).①求顶点坐标;②当0≤x≤6时,直接写出y的取值范围为;(2)已知当0≤x≤m时,1≤y≤9,求a和m的值.例2.(2023春•上城区校级月考)设二次函数y=ax2+4ax+4a+1,a为常数,且a<0.(1)写出该函数的对称轴和顶点坐标.(2)若该函数图象经过点P(n,y1),Q(n+1,y2),当n≥1时,试比较y1和y2的大小关系.(3)若该函数图象经过点P(x1,y1),Q(x2,y2),设n≤x1≤n+1,当x2≥3时均有y1≥y2,请求出实数n的取值范围.例3.(2023春•顺义区校级月考)在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1)、点B(x2,y2)为抛物线y=ax2﹣2ax+a(a≠0)上的两点.(1)求抛物线的对称轴;(2)当﹣2<x1<﹣1且1<x2<2时,试判断y1与y2的大小关系并说明理由;(3)若当t﹣1<x1<t且t+1<x2<t+2时,存在y1=y2,求t的取值范围.例4.(2023春•柯桥区月考)如图,已知二次函数y=x2+ax+a+1的图象经过点P(﹣2,3).(1)求a的值和图象的顶点坐标.(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上.①当m=2时,求n的值.②当m≤x≤m+3时,该二次函数有最小值11,请根据图象直接写出m的值.1.(2023•深圳模拟)对于“已知x+y=1,求xy的最大值”这个问题,小明是这样求解的:∵x+y=1,∴y=1﹣x,∴xy=x(1−x)=x−x2=−(x−12)2+14;∴xy≤14,所以xy的最大值为14.请你按照这种方法计算:当2n+m=4(m>0,n>0)时,2m +1n的最小值.2.(2022秋•诸暨市期末)已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,3),(6,3).(1)求b,c的值;(2)当0≤x≤4时,求y的最大值与最小值之差;(3)当k﹣4≤x≤k时,若y的最大值与最小值之差为8,求k的值.3.(2022秋•漳州期末)已知二次函数y=x2+bx+c(b、c为常数)的图象经过点(0,3)、(1,﹣2).(1)求b、c的值;(2)当3≤x≤m时,若y的最大值与最小值之和为1,求m的值.4.(2023•来安县一模)已知关于x的二次函数y1=(x+2a)(x﹣2b)(其中a,b为常数).(1)若a=1,该二次函数的图象经过点(﹣1,3),求b;(2)若a=b﹣2.①若(﹣1,m)和(3,n)是该二次函数图象上的点,比较m和n的大小;②设一次函数y2=﹣x+2b,当函数y=y1+y2的图象经过点(c,0)时,探索b与c之间的数量关系,并加以推理.5.(2023•北仑区一模)抛物线y=(x+1)(x﹣t)(t为常数)经过点A(4,5),B(m,n).(1)求t的值;(2)若n<5,求m的取值范围.6.(2023•秦皇岛一模)已知y =ax 2+bx +c 过点A (2,0),B (3n ﹣4,y 1),C (5n +6,y 2)三点,对称轴是直线x =1,关于x 的方程ax 2+bx +c =x 有两个相等的实数根.(1)求抛物线的解析式;(2)若B 点在直线x =1的左侧,C 点在直线x =1的右侧,且y 1>y 2,求n 的取值范围;(3)若n <﹣5,试比较y 1与y 2的大小.7.(2022•无为市三模)已知抛物线y =a (x ﹣h )2+k 经过点A (1,y 1),B (2,y 2),C (3,y 3),连接AB 、BC ,令AB BC =λ.(1)若a >0,h =2,求λ的值;(2)若h =1,λ=√55,求a 的值.8.(2022•平谷区二模)在平面直角坐标系xOy 中,点(﹣1,y 1)、(1,y 2)、(3,y 3)是抛物线y =x 2+bx +1上三个点.(1)直接写出抛物线与y 轴的交点坐标;(2)当y 1=y 3时,求b 的值;(3)当y 3>y 1>1>y 2时,求b 的取值范围.9.(2023•西城区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2﹣2ax﹣3.(1)求该抛物线的对称轴(用含a的式子表示);(2)A(x1,y1),B(x2,y2)为该抛物线上的两点,若x1=1﹣2a,x2=a+1,且y1>y2,求a的取值范围.10.(2022•海淀区校级模拟)二次函数y=ax2﹣2atx+c(a≠0)的图象经过A(﹣4,y1),B(﹣2,y2),C (1,y3),D(3,y4)四点.(1)求二次函数的对称轴(用含的代数式表示);(2)已知t=﹣1,若y2y3<0,请直接判断y1y4的正负性,即y1y40(填“>”或“<”);(3)若y3>y2>y4,求t的取值范围并判断y1,y2的大小关系.11.(2021•西湖区校级二模)已知:二次函数y=x2+bx﹣3的图象经过点P(﹣2,5).(1)求b的值;(2)设P1(m,y1)、P2(m+1,y2)、P3(m+2,y3)均在该函数图象上,①当m=4时,y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长?请说明理由;②当m取不小于5的任意实数时,y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长,请说明理由.12.(2021•安徽二模)二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,交y轴于点C.(1)求a,b的值;(2)点P为二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象上一动点,且位于第一象限,设△ABP的面积为S1,△CBP的面积为S2,记w=S1﹣2S2+1,求w的最小值.13.(2023•龙湾区一模)如图,已知点C为二次函数y=x2﹣4x+1的顶点,点P(0,n)为y轴正半轴上一点,过点P作y轴的垂线交函数图象于点A,B(点A在点B的左侧).点M在射线PB上,且满足PM =1+n.过点M作MN⊥AB交抛物线于点N,记点N的纵坐标为y N.(1)求顶点C的坐标.(2)①若n=3,求MB的值.②当0<n≤4时,求y N的取值范围.14.(2022•香洲区校级三模)直线y=−12x+1与x,y轴分别交于点A,B,抛物线的解析式为y=2x2﹣4ax+2a2+a.(1)求出点A,B的坐标,用a表示抛物线的对称轴;(2)若函数y=2x2﹣4ax+2a2+a在3≤x≤4时有最大值为a+2,求a的值;(3)取a=﹣1,将线段AB平移得到线段A'B',若抛物线y=2x2﹣4ax+2a2+a与线段A'B'有两个交点,求直线A'B'与y轴交点的纵坐标的取值范围.<0)上.(1)若m=4,n=﹣12,求抛物线的对称轴和顶点坐标;(2)已知点A(1,y1),B(4,y2)在该抛物线上,且mn=0.①比较y1,y2,0的大小,并说明理由;②将线段AB沿水平方向平移得到线段A'B',若线段A'B'与抛物线有交点,直接写出点A'的横坐标x的取值范围.16.(2022•博望区校级一模)已知二次函数y=ax2﹣2ax﹣3的图象经过点A(﹣1,0).(1)求a的值;(2)若点B(m,n)与点C(m+1,n+1)都在抛物线y=x2﹣2ax﹣3上,求m+n的值;(3)若一次函数y=(k+1)x+k+1的图象与二次函数y=ax2﹣2ax﹣3的图象的交点坐标是(x1,y1),(x2,y2)且x1<0<x2时,求函数w=y1+y2的最小值.17.(2022•海淀区校级模拟)在平面直角坐标系中,设二次函数y=(x+a)(x﹣a﹣1)(a>0),(1)求二次函数对称轴;(2)若当﹣1≤x≤3时,函数的最大值为4,求此二次函数的顶点坐标.(3)抛物线上两点M(x1,y1),N(x2,y2)若对于t<x1<t+1,t+2<x2<t+3都有y1≠y2,求t的取值范围.﹣2ax+a(a≠0)上的两点.(1)求抛物线的对称轴;(2)当﹣2<x1<﹣1且1<x2<2时,试判断y1与y2的大小关系并说明理由;(3)若当t<x1<t+1且t+2<x2<t+3时,存在y1=y2,求t的取值范围.19.(2022•萧山区二模)在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+(a﹣1)x﹣1.(1)若该函数的图象经过点(1,2),求该二次函数图象的顶点坐标.(2)若(x1,y1),(x2,y2)为此函数图象上两个不同点,当x1+x2=﹣2时,恒有y1=y2,试求此函数的最值.(3)当a<0且a≠﹣1时,判断该二次函数图象的顶点所在象限,并说明理由.20.(2022•盈江县模拟)抛物线C1:y=x2+bx+c的对称轴为x=1,且与y轴交点的纵坐标为﹣3.(1)求b,c的值;(2)抛物线C2:y=﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P.①求证:抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上;②若m=8,点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点,过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F,求EF长度的最大值.。

2024年福建中考数学专题复习:二次函数综合题(含答案)

2024年福建中考数学专题复习:二次函数综合题(含答案)

2024年福建中考数学专题复习:二次函数综合题一.定点问题(共3小题)1.已知抛物线y=x2﹣2mx﹣3(m为常数).(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的代数式表示);(2)当m≥1时,求抛物线顶点到x轴的最小距离;(3)当m=0时,点A,B为该抛物线上的两点,顶点为D,直线AD的解析式为y1=k1x+b1,直线BD的解析式为y2=k2x+b2,若k1k2=﹣,求证:直线AB过定点.2.已知抛物线y=x2+bx+c关于直线x=1对称,且过点(2,1).(1)求抛物线的解析式;(2)过D(m,﹣1)的直线DE:y=k1x+b1(k>0)和直线DF:y=k2x+b2(k2<0)均与抛物线有且只有一个交点.①求k1k2的值;②平移直线DE,DF,使平移后的两条直线都经过点R(1,0),且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点,若M、N分别为GH,PQ的中点,求证:直线MN必过某一定点.3.在平面直角坐标系中,抛物线l:y=x2﹣2mx﹣2﹣m(m>0)与x轴分别相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N,且OC=3ON(1)求m的值;(2)设点G是抛物线在第三象限内的动点,若∠GBC=∠ACO,求点G的坐标;(3)将抛物线y=x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位,得到抛物线l′,设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点,射线PO、QO分别交直线y=﹣2于点P′、Q′,设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′,且x P′⋅x Q′=4,求证:直线PQ经过定点.二.定值问题(共2小题)4.过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A,且抛物线的对称轴为直线x=2,顶点为B.(1)求抛物线的解析式;(2)如图(1),点E是直线AB上方抛物线上一点,连接AB,BE,AE,若△ABE的面积为4,求点E的坐标;(3)如图(2),设直线y=kx﹣2k(k≠0)与抛物线交于C,D两点,点D关于直线x=2的对称点为D',直线CD'与直线x=2交于点P,求证:BP的长为定值.5.已知抛物线C1:y=mx2+n与x轴于A,B两点,与y轴交于点C,△ABC为等腰直角三角形,且n=﹣1.(1)求抛物线C1的解析式;(2)将C1向上平移一个单位得到C2,点M、N为抛物线C2上的两个动点,O为坐标原点,且∠MON=90°,连接点M、N,过点O作OE⊥MN于点E.求点E到y轴距离的最大值;(3)如图,若点F的坐标为(0,﹣2),直线l分别交线段AF,BF(不含端点)于G,H两点.若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点,设点G的横坐标为b,点H的横坐标为a,则a﹣b是定值吗?若是,请求出其定值,若不是,请说明理由.三.线段之积(共2小题)6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c,交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧,其中A点坐标(﹣1,0);交y轴负半轴于点C,C点坐标(0,﹣3).(1)求出抛物线的解析式;(2)如图1,若抛物线上有一点D,∠ACD=45°,求点D的坐标.(3)如图2,点P是第一象限抛物线上一点,过点P的直线y=mx+n(n<0)与抛物线交于另外一点Q,连接AP、AQ,分别交y轴于M、N两点.若OM•ON=2,试探究m、n之间的数量关系,并说明理由.7.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣1,0),B(2,0),C(0,﹣1).(1)求抛物线的解析式;(2)D为抛物线y=ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A,B重合的动点.①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F,与直线BD交于点G,点F关于x轴的对称点为F′,求证:GF′的长度为定值;②当∠BAD=45°时,过线段AD上的点H(不含端点A,D)作AD的垂线,交抛物线于P,Q两点,求PH•QH的最大值.四.线段数量关系(共5小题)8.抛物线C:y=x2﹣2x﹣3交x轴于A,B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C.(1)直接写出点A,B的坐标;(2)如图1,直线y=x+1经过点A,交抛物线于另一点N,点D在抛物线上,满足△DAN的面积与△CAN的面积相等,求点D的横坐标;(3)如图2,将抛物线C向上平移,使其顶点M在x轴上,得到抛物线C1,P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线C1上两点(P点在Q点左侧),直线PQ交抛物线C1对称轴于点E,过点Q作y轴的平行线分别交x轴,直线PM于F,H两点,EH交x轴于点G,求证:EG=GH.9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0).(1)若抛物线经过点(﹣1,1)且对称轴为直线x=1,求a,c所满足的数量关系;(2)抛物线与y轴交于点,顶点为Q(2,0),过点的直线与抛物线交于E,F两点(点E在点F的左侧).①求△EQF面积的最小值;②过点E作x轴的垂线,垂足为M,直线EM与直线FQ交于点N,连接PM,求证:PM∥QN.10.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(4,0),C(﹣1,0)两点,与y轴交于点B,点P为抛物线上的一个动点,连接AB,BC,PA,PC,PC与AB相交于点Q.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为第一象限内抛物线上的一个动点.设△APQ的面积为S1,△BCQ的面积为S2.求S1﹣S2的最大值,并求此时点P的坐标;(3)过点P作PD垂直于x轴于点D,与线段AB交于点N.设点D的横坐标为m,且2<m<4,PD中点为点M,AB中点为点E,若,求m的值.11.抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(4,0),与y轴交于点B,对称轴为,点P是x轴上一点,过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F.(1)求二次函数的表达式;(2)若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)时,求点P的坐标;(3)分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线,交对称轴于点M、N,矩形EMNF与此抛物线相交,抛物线被截得的部分图象记作G,G的最高点的纵坐标为m,最低点纵坐标为n,当m﹣n=2OP时,求点P的坐标.12.已知抛物线y=﹣﹣2x+3n(n>0)与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧);与y轴交于点C,顶点为D.(1)如图1,若n=1.①则D的坐标为;②当m≤x≤0时,抛物线的最小值为3,最大值为4,则m的取值范围为.(2)如图2,P是抛物线上一点,Q为射线CA上一点,且P、Q两点均在第三象限内,Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点,若点P到x轴的距离为d,△QPB的面积为2nd.①求证:AC∥PB.②连接AP、OD、OQ、DQ,若AP=QB,PQ=4n,试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化?并说明理由.五.面积问题(共5小题)13.已知抛物线C1:y=﹣x2﹣2x﹣1,抛物线C2经过点A(﹣1,0),B(m+1,0)(m>0),E为抛物线C2的顶点,M(x M,0)是x轴正半轴上的点.(1)若E在抛物线C1上,求点E的坐标;(用含m的式子表示)(2)若抛物线C2:y=x2﹣mx+n,与y轴交于点C.①点D(m,y D)在抛物线C2上,当AM=AD,x M=5时,求m的值;②若m=2,F是线段OB上的动点,过F作GF⊥CF交线段BC于点G,连接CE,GE,求△CGE面积的最小值.14.如图,在直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A的坐标为(﹣2,0)和原点O,将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求抛物线解析式,判断点B是否在抛物线上;(2)连接AB,作点O关于AB的对称点O′,求四边形AOBO′的面积;(3)点P(n,0)是x轴上一个动点,过P点作x轴的垂线交直线AB于点M,交抛物线于点N,将△ANB的面积记为S,若≤S≤,求n的取值范围.15.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求该抛物线的函数解析式;(2)连接AC,BC,点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点(不与B,C重合),①求△BCD面积的最大值;②若∠ACO+∠BCD=∠ABC,求点D的坐标.16.在平面直角坐标系中,抛物线经过点和点B(4,0),与y轴交于点C,点P 抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点P为第一象限内抛物线上的点,过点P作PH⊥AB,垂足为H,作PE⊥x轴,垂足为E,交AB于点F,设△PHF的面积为S1,△BEF的面积为S2,当时,求点P的坐标;(3)点N为抛物线对称轴上的动点,是否存在点N,使得直线BC垂直平分线段PN?若存在,请直接写出点N 坐标,若不存在,请说明理由.17.抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(﹣1,0),B(3,0)两点,C是第一象限抛物线上一点,直线AC交y轴于点P.(1)求抛物线解析式;(2)如图1,当OP=OA时,D是点C关于抛物线对称轴的对称点,M是抛物线上的动点,它的横坐标为m(﹣1<m<4),连接DM,CM,DM与直线AC交于点N.设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2,求的最大值.(3)如图2,直线BP交抛物线于另一点E,连接CE交y轴于点F,点C的横坐标为n.求的值.2024年福建中考数学专题复习:二次函数综合题(答案)一.定点问题(共3小题)1.已知抛物线y=x2﹣2mx﹣3(m为常数).(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的代数式表示);(2)当m≥1时,求抛物线顶点到x轴的最小距离;(3)当m=0时,点A,B为该抛物线上的两点,顶点为D,直线AD的解析式为y1=k1x+b1,直线BD的解析式为y2=k2x+b2,若k1k2=﹣,求证:直线AB过定点.【答案】(1)(m,﹣m2﹣3);(2)抛物线顶点到x轴的最小距离为4;(3)直线AB过定点(0,﹣).2.已知抛物线y=x2+bx+c关于直线x=1对称,且过点(2,1).(1)求抛物线的解析式;(2)过D(m,﹣1)的直线DE:y=k1x+b1(k>0)和直线DF:y=k2x+b2(k2<0)均与抛物线有且只有一个交点.①求k1k2的值;②平移直线DE,DF,使平移后的两条直线都经过点R(1,0),且分别与抛物线相交于G、H和P、Q两点,若M、N分别为GH,PQ的中点,求证:直线MN必过某一定点.【答案】(1)y=x2﹣2x+1;(2)①k1k2=﹣4;②证明见解答过程.3.在平面直角坐标系中,抛物线l:y=x2﹣2mx﹣2﹣m(m>0)与x轴分别相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,设抛物线l的对称轴与x轴相交于点N,且OC=3ON(1)求m的值;(2)设点G是抛物线在第三象限内的动点,若∠GBC=∠ACO,求点G的坐标;(3)将抛物线y=x2﹣2mx﹣2﹣m向上平移3个单位,得到抛物线l′,设点P、Q是抛物线l′上在第一象限内不同的两点,射线PO、QO分别交直线y=﹣2于点P′、Q′,设P′、Q′的横坐标分别为x P′、x Q′,且x P′⋅x Q′=4,求证:直线PQ经过定点.【答案】(1)m=1;(2)点G的坐标为;(3)见解析.二.定值问题(共2小题)4.过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A,且抛物线的对称轴为直线x=2,顶点为B.(1)求抛物线的解析式;(2)如图(1),点E是直线AB上方抛物线上一点,连接AB,BE,AE,若△ABE的面积为4,求点E的坐标;(3)如图(2),设直线y=kx﹣2k(k≠0)与抛物线交于C,D两点,点D关于直线x=2的对称点为D',直线CD'与直线x=2交于点P,求证:BP的长为定值.【答案】(1)解析式为:y=x2﹣2x;(2)E1(0,0),E2(6,6);(3)证明见解答过程.5.已知抛物线C1:y=mx2+n与x轴于A,B两点,与y轴交于点C,△ABC为等腰直角三角形,且n=﹣1.(1)求抛物线C1的解析式;(2)将C1向上平移一个单位得到C2,点M、N为抛物线C2上的两个动点,O为坐标原点,且∠MON=90°,连接点M、N,过点O作OE⊥MN于点E.求点E到y轴距离的最大值;(3)如图,若点F的坐标为(0,﹣2),直线l分别交线段AF,BF(不含端点)于G,H两点.若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点,设点G的横坐标为b,点H的横坐标为a,则a﹣b是定值吗?若是,请求出其定值,若不是,请说明理由.【答案】(1)y=x2﹣1;(2);(3)定值1.三.线段之积(共2小题)6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c,交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧,其中A点坐标(﹣1,0);交y轴负半轴于点C,C点坐标(0,﹣3).(1)求出抛物线的解析式;(2)如图1,若抛物线上有一点D,∠ACD=45°,求点D的坐标.(3)如图2,点P是第一象限抛物线上一点,过点P的直线y=mx+n(n<0)与抛物线交于另外一点Q,连接AP、AQ,分别交y轴于M、N两点.若OM•ON=2,试探究m、n之间的数量关系,并说明理由.【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)D(4,5);(3)m、n之间的数量关系为n+3m=2.理由间接性.7.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣1,0),B(2,0),C(0,﹣1).(1)求抛物线的解析式;(2)D为抛物线y=ax2+bx+c上不与抛物线的顶点和点A,B重合的动点.①设抛物线的对称轴与直线AD交于点F,与直线BD交于点G,点F关于x轴的对称点为F′,求证:GF′的长度为定值;②当∠BAD=45°时,过线段AD上的点H(不含端点A,D)作AD的垂线,交抛物线于P,Q两点,求PH•QH的最大值.【答案】(1)y=x2﹣x﹣1;(2)①F′G=为定值;②PH•QH的最大值为:.四.线段数量关系(共5小题)8.抛物线C:y=x2﹣2x﹣3交x轴于A,B两点(点A在点B的左边),交y轴于点C.(1)直接写出点A,B的坐标;(2)如图1,直线y=x+1经过点A,交抛物线于另一点N,点D在抛物线上,满足△DAN的面积与△CAN的面积相等,求点D的横坐标;(3)如图2,将抛物线C向上平移,使其顶点M在x轴上,得到抛物线C1,P(x1,y1),Q(x2,y2)是抛物线C1上两点(P点在Q点左侧),直线PQ交抛物线C1对称轴于点E,过点Q作y轴的平行线分别交x轴,直线PM于F,H两点,EH交x轴于点G,求证:EG=GH.【答案】(1)A(﹣1,0),B(3,0);(2)3或;(3)见解析.9.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0).(1)若抛物线经过点(﹣1,1)且对称轴为直线x=1,求a,c所满足的数量关系;(2)抛物线与y轴交于点,顶点为Q(2,0),过点的直线与抛物线交于E,F两点(点E在点F的左侧).①求△EQF面积的最小值;②过点E作x轴的垂线,垂足为M,直线EM与直线FQ交于点N,连接PM,求证:PM∥QN.【答案】(1)3a+c=1;(2)①4;②见解答.10.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(4,0),C(﹣1,0)两点,与y轴交于点B,点P为抛物线上的一个动点,连接AB,BC,PA,PC,PC与AB相交于点Q.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为第一象限内抛物线上的一个动点.设△APQ的面积为S1,△BCQ的面积为S2.求S1﹣S2的最大值,并求此时点P的坐标;(3)过点P作PD垂直于x轴于点D,与线段AB交于点N.设点D的横坐标为m,且2<m<4,PD中点为点M,AB中点为点E,若,求m的值.【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)S1﹣S2的最大值为,点P的坐标为:(,);(3)m=.11.抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(4,0),与y轴交于点B,对称轴为,点P是x轴上一点,过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F.(1)求二次函数的表达式;(2)若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外)时,求点P的坐标;(3)分别过点E、F向抛物线的对称轴作垂线,交对称轴于点M、N,矩形EMNF与此抛物线相交,抛物线被截得的部分图象记作G,G的最高点的纵坐标为m,最低点纵坐标为n,当m﹣n=2OP时,求点P的坐标.【答案】(1);(2)(﹣1,0),,;(3)P(6,0).12.已知抛物线y=﹣﹣2x+3n(n>0)与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧);与y轴交于点C,顶点为D.(1)如图1,若n=1.①则D的坐标为(﹣1,4);②当m≤x≤0时,抛物线的最小值为3,最大值为4,则m的取值范围为﹣2≤m≤﹣1 .(2)如图2,P是抛物线上一点,Q为射线CA上一点,且P、Q两点均在第三象限内,Q、A是位于直线PB 同侧的不同两点,若点P到x轴的距离为d,△QPB的面积为2nd.①求证:AC∥PB.②连接AP、OD、OQ、DQ,若AP=QB,PQ=4n,试判断△DOQ的形状是否随着n的变化而变化?并说明理由.【答案】(1)①(﹣1,4);②﹣2≤m≤﹣1;(2)①证明见解析过程;②△DOQ的形状不会随着n的变化而变化,理由见解析过程.五.面积问题(共5小题)13.已知抛物线C1:y=﹣x2﹣2x﹣1,抛物线C2经过点A(﹣1,0),B(m+1,0)(m>0),E为抛物线C2的顶点,M(x M,0)是x轴正半轴上的点.(1)若E在抛物线C1上,求点E的坐标;(用含m的式子表示)(2)若抛物线C2:y=x2﹣mx+n,与y轴交于点C.①点D(m,y D)在抛物线C2上,当AM=AD,x M=5时,求m的值;②若m=2,F是线段OB上的动点,过F作GF⊥CF交线段BC于点G,连接CE,GE,求△CGE面积的最小值.【答案】(1)E(m,﹣m2﹣m﹣1);(2)①m=3﹣1;②6﹣6.14.如图,在直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c经过点A的坐标为(﹣2,0)和原点O,将线段OA绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB.(1)求抛物线解析式,判断点B是否在抛物线上;(2)连接AB,作点O关于AB的对称点O′,求四边形AOBO′的面积;(3)点P(n,0)是x轴上一个动点,过P点作x轴的垂线交直线AB于点M,交抛物线于点N,将△ANB的面积记为S,若≤S≤,求n的取值范围.【答案】(1)y=x2+x;点B在抛物线上,理由见解答过程;(2)2;(3)≤n≤﹣或≤n≤或≤n≤.15.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求该抛物线的函数解析式;(2)连接AC,BC,点D是直线BC下方抛物线上的一个的动点(不与B,C重合),①求△BCD面积的最大值;②若∠ACO+∠BCD=∠ABC,求点D的坐标.【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2)①△BCD面积的最大值为;②D(,﹣).16.在平面直角坐标系中,抛物线经过点和点B(4,0),与y轴交于点C,点P抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点P为第一象限内抛物线上的点,过点P作PH⊥AB,垂足为H,作PE⊥x轴,垂足为E,交AB于点F,设△PHF的面积为S1,△BEF的面积为S2,当时,求点P的坐标;(3)点N为抛物线对称轴上的动点,是否存在点N,使得直线BC垂直平分线段PN?若存在,请直接写出点N 坐标,若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=﹣x2+x+4;(2);(3)存在点N,使得直线BC垂直平分线段PN;N的坐标是或.17.抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(﹣1,0),B(3,0)两点,C是第一象限抛物线上一点,直线AC交y轴于点P.(1)求抛物线解析式;(2)如图1,当OP=OA时,D是点C关于抛物线对称轴的对称点,M是抛物线上的动点,它的横坐标为m(﹣1<m<4),连接DM,CM,DM与直线AC交于点N.设△CMN和△CDN的面积分别为S1和S2,求的最大值.(3)如图2,直线BP交抛物线于另一点E,连接CE交y轴于点F,点C的横坐标为n.求的值.【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2);(3).。

【组卷】二次函数压轴题1

【组卷】二次函数压轴题1

二次函数压轴题11.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣3,0),B(﹣2,3),C(0,3),其顶点为D.(1)求抛物线的解析式;(2)设点M(1,m),当MB+MD的值最小时,求m的值;(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值;(4)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N,E为直线AC上任意一点,过点E作EF∥ND交抛物线于点F,以N,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由.2.如图1,已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的图象过点O(0,0)和点A(4,0),函数图象最低点M的纵坐标为﹣,直线l的解析式为y=x.(1)求二次函数的解析式;(2)直线l沿x轴向右平移,得直线l′,l′与线段OA相交于点B,与x轴下方的抛物线相交于点C,过点C作CE⊥x轴于点E,把△BCE沿直线l′折叠,当点E恰好落在抛物线上点E′时(图2),求直线l′的解析式;(3)在(2)的条件下,l′与y轴交于点N,把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′,P为l′上的动点,当△PB′N′为等腰三角形时,求符合条件的点P的坐标.3.如图,抛物线y=x2+x+c与x轴的负半轴交于点A,与y轴交于点B,连结AB,点C(6,)在抛物线上,直线AC与y轴交于点D.(1)求c的值及直线AC的函数表达式;(2)点P在x轴正半轴上,点Q在y轴正半轴上,连结PQ与直线AC交于点M,连结MO并延长交AB于点N,若M为PQ的中点.①求证:△APM∽△AON;②设点M的横坐标为m,求AN的长(用含m的代数式表示).4.如图1,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,抛物线y=﹣x2﹣x+8与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,连接AB,点M,N分别是OA,AB的中点,Rt△CDE≌Rt△ABO,且△CDE始终保持边ED经过点M,边CD经过点N,边DE与y轴交于点H,边CD与y轴交于点G.(1)填空:OA的长是,∠ABO的度数是度;(2)如图2,当DE∥AB,连接HN.①求证:四边形AMHN是平行四边形;②判断点D是否在该抛物线的对称轴上,并说明理由;(3)如图3,当边CD经过点O时,(此时点O与点G重合),过点D作DQ∥OB,交AB延长线上于点Q,延长ED到点K,使DK=DN,过点K作KI∥OB,在KI上取一点P,使得∠PDK=45°(点P,Q在直线ED的同侧),连接PQ,请直接写出PQ的长.5.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(﹣1,0)、B(4,0)、C(0,2)三点.(1)求该二次函数的解析式;(2)点D是该二次函数图象上的一点,且满足∠DBA=∠CAO(O是坐标原点),求点D的坐标;(3)点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点,连接PA分别交BC、y轴于点E、F,若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2,求S1﹣S2的最大值.6.如图1,抛物线C1:y=x2+ax与C2:y=﹣x2+bx相交于点O、C,C1与C2分别交x轴于点B、A,且B为线段AO的中点.(1)求的值;(2)若OC⊥AC,求△OAC的面积;(3)抛物线C2的对称轴为l,顶点为M,在(2)的条件下:①点P为抛物线C2对称轴l上一动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;②如图2,点E在抛物线C2上点O与点M之间运动,四边形OBCE的面积是否存在最大值?若存在,求出面积的最大值和点E的坐标;若不存在,请说明理由.7.已知,抛物线y=ax2+bx+3(a<0)与x轴交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1,D为抛物线的顶点,点E在y轴C点的上方,且CE=.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)求证:直线DE是△ACD外接圆的切线;(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P,使S△ACP=S△ACD,求点P的坐标;(4)在坐标轴上找一点M,使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似,直接写出点M的坐标.8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上.(1)求直线AE的解析式;(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当△PCE的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM+MN+NK的最小值;(3)点G是线段CE的中点,将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′,y′经过点D,y′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上,是否存在点Q,使得△FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.9.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2,1),并且经过点(4,2),直线y=x+1与抛物线交于B,D两点,以BD为直径作圆,圆心为点C,圆C与直线m交于对称轴右侧的点M(t,1),直线m上每一点的纵坐标都等于1.(1)求抛物线的解析式;(2)证明:圆C与x轴相切;(3)过点B作BE⊥m,垂足为E,再过点D作DF⊥m,垂足为F,求BE:MF的值.10.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).(1)求抛物线的解析式及点B坐标;(2)若点M是线段BC上一动点,过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值;(3)试探究当ME取最大值时,在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M,F,B,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.11.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A,B两点(点A在点B 的左侧),与y轴交于点C.(1)求直线BC的解析式;(2)点D是线段BC中点,点E是BC上方抛物线上一动点,连接CE,DE.当△CDE的面积最大时,过点E 作y轴垂线,垂足为F,点P为线段EF上一动点,将△CEF绕点C沿顺时针方向旋转90°,点F,P,E的对应点分别是F′,P′,E′,点Q从点P出发,先沿适当的路径运动到点F′处,再沿F′C运动到点C 处,最后沿适当的路径运动到点P′处停止.求△CDE面积的最大值及点Q经过的最短路径的长;(3)如图2,直线BH经过点B与y轴交于点H(0,3)动点M从O出发沿OB方向以每秒1个单位长度向点B运动,同时动点N从B点沿BH方向以每秒2个单位长度的速度向点H运动,当点N运动到H点时,点M,点N同时停止运动,设运动时间为t.运动过程中,过点N作OB的平行线交y轴于点I,连接MI,MN,将△MNI沿NI翻折得△M′NI,连接HM′,当△M′HN为等腰三角形时,求t的值.12.如图,抛物线y=﹣x2+x+6交x轴于A、B两点,点A在点B的右侧,交y轴于点C,点D为顶点.(1)求点A、D的坐标;(2)若点P是抛物线上位于第一象限内对称轴右侧的一个动点,当S△ABP=45时,在线段AC上有一动点Q,当PQ+QA的值最小时,求Q的坐标和PQ+QA的最小值;(3)如图2,点F是y轴上一点,且OF=2OB,连接BF将△BOF沿x轴向右平移,得△B′O′F′,当点F′恰好落在AC上时,连接OF′,将△AOF′绕点F′顺时针旋转α(0°<α<180°),记旋转中的△AOF′为△A′O″F′,在旋转过程中,设直线A′O″分别与x轴、直线AC交于点M、N,当△AMN是等腰三角形时,求AN的值.13.如图1,等腰△ABO的底边OA在x轴上,点O为坐标系原点,A(4,0),△ABO的面积为8点C为边AB中点,抛物线经过A、B、O三点.(1)求抛物线的解析式及直线OC的解析式;(2)若点P为直线OC上方抛物线上的一个动点,连接PO、PC,当△POC的面积最大时,过点P向x轴作垂线交x轴于点G,在直线OB上找一个点K,使∠GKO=∠GCA,求线段OK的长度:(3)如图2,抛物线对称轴与x轴交于点H,在线段BH上有一点E距x轴4个单位长,直线AE交线段OC 于点D,交y轴于点F,△ODE从点E开始沿射线DF平移,同时点T从点F开始沿折线FO一OA运动,且△ODE平移的速度为点T运动速度的倍,当点T到达点A时△ODE停止运动,设△ODE平移过程中对应的图形为△O'D'E',当△TEE′为等腰三角形时,求线段EE'的长度.14.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<m<4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.(1)求a的值和直线AB的函数表达式;(2)设△PMN的周长为C1,△AEN的周长为C2,若=,求m的值;(3)如图2,在(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α(0°<α<90°),连接E′A、E′B,求E′A+E′B的最小值.15.抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)过点A(1,﹣1),B(5,﹣1),与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,连接CB,以CB为边作▱CBPQ,若点P在直线BC上方的抛物线上,Q为坐标平面内的一点,且▱CBPQ的面积为30,求点P的坐标;(3)如图2,⊙O1过点A、B、C三点,AE为直径,点M为上的一动点(不与点A,E重合),∠MBN为直角,边BN与ME的延长线交于N,求线段BN长度的最大值.16.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为B(2,1),且过点A(0,2),直线y=x与抛物线交于点D,E(点E在对称轴的右侧),抛物线的对称轴交直线y=x于点C,交x轴于点G,EF ⊥x轴,垂足为F,点P在抛物线上,且位于对称轴的右侧,PQ⊥x轴,垂足为点Q,△PCQ为等边三角形(1)求该抛物线的解析式;(2)求点P的坐标;(3)求证:CE=EF;(4)连接PE,在x轴上点Q的右侧是否存在一点M,使△CQM与△CPE全等?若存在,试求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.[注:3+2=(+1)2].17.如图,已知点D在双曲线y=(x>0)的图象上,以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C(0,4),与x轴交于A,B两点,抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点,点P是抛物线上的动点,且线段AP与BC所在直线有交点Q.(1)写出点D的坐标并求出抛物线的解析式;(2)证明∠ACO=∠OBC;(3)探究是否存在点P,使点Q为线段AP的四等分点?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.18.如图,二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(1,0),与y轴相交于点C,点G 是二次函数图象的顶点,直线GC交x轴于点H(3,0),AD平行GC交y轴于点D.(1)求该二次函数的表达式;(2)求证:四边形ACHD是正方形;(3)如图2,点M(t,p)是该二次函数图象上的动点,并且点M在第二象限内,过点M的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N.①若四边形ADCM的面积为S,请求出S关于t的函数表达式,并写出t的取值范围;②若△CMN的面积等于,请求出此时①中S的值.19.在平面直角坐标系中,已知A、B是抛物线y=ax2(a>0)上两个不同的点,其中A在第二象限,B在第一象限,(1)如图1所示,当直线AB与x轴平行,∠AOB=90°,且AB=2时,求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积.(2)如图2所示,在(1)所求得的抛物线上,当直线AB与x轴不平行,∠AOB仍为90°时,A、B两点的横坐标的乘积是否为常数?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.(3)在(2)的条件下,若直线y=﹣2x﹣2分别交直线AB,y轴于点P、C,直线AB交y轴于点D,且∠BPC=∠OCP,求点P的坐标.20.已知抛物线y=﹣x2﹣2x+a(a≠0)与y轴相交于A点,顶点为M,直线y=x﹣a分别与x轴、y轴相交于B,C两点,并且与直线MA相交于N点.(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点,求a的取值范围,并用a表示交点M,A的坐标;(2)将△NAC沿着y轴翻转,若点N的对称点P恰好落在抛物线上,AP与抛物线的对称轴相交于点D,连接CD,求a的值及△PCD的面积;(3)在抛物线y=﹣x2﹣2x+a(a>0)上是否存在点P,使得以P,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.。

九年级数学二次函数取值范围20专题训练

九年级数学二次函数取值范围20专题训练

九年级数学二次函数取值范围20专题训练九年级数学二次函数取值范围20专题训练一、单选题二、填空题1.已知抛物线y=2(x-1)+1,当1<x<3时,y的取值范围是______________2.函数y=(2/3)(x+2)的开口向上,那么m的取值范围是.3.如果抛物线y=x^2+mx有最大值,则m的取值范围是________.4.已知二次函数y=(m+1)x^2,则m的取值范围是________.5.如果抛物线y=(2+k)x-k的开口向下,那么k的取值范围是__________.6.已知二次函数y=x^2-4x+2,在-1≤x≤3的取值范围内,y的取值范围为_______.7.函数y=x^2-4x+3,当y<0时,x的取值范围________.8.已知y=-(2/4)x^2-3x+4(-10≤x≤2),则函数y的取值范围是______.9.已知抛物线y=(a+3)x^2开口向下,那么a的取值范围是____________.10.若抛物线y=(a-3)x^2开口向上,则a的取值范围是__________.11.设二次函数y=x^2+ax+b图像与x轴有2个交点,A(x1,0),B(x2,0);且x1<x2<2,那么5a+2b的取值范围是_____________;a^2-2b的取值范围是______________.12.已知y=-(1/2)x^2-3x+4(-10≤x≤0),则函数y的取值范围是_____.13.若抛物线y=ax^2经过点(2,y1),(3,y2),且y1>y2>-8,则a的取值范围为________.14.当-3≤x≤0时,-x^2+2mx-2m+2≤0,则m的取值范围是_______.15.抛物线y=a(x-6)+k经过点(0,2),当x=9时y>2.43,当x=18时y<2,则k的取值范围是__________.试卷第1页,总2页16.在函数y=(x-2)/(x^2+2)中自变量X的取值范围是_____________.17.已知点(m,n)在直线y=x-2上,且k=m^2+n^2,则k的取值范围为________.18.点A(x1,y1)和B(x2,y2)在抛物线y=x^2+2mx+2上。

已知抛物线的标准方程

已知抛物线的标准方程

已知抛物线的标准方程首先,我们来看一下抛物线的标准方程y=ax^2+bx+c中各个参数的含义。

其中,a代表抛物线的开口方向和形状,当a>0时,抛物线开口向上,称为正向抛物线;当a<0时,抛物线开口向下,称为负向抛物线。

b代表抛物线在x轴上的对称轴的位置,c则是抛物线与y轴的交点。

通过这些参数,我们可以直观地了解抛物线的基本特征。

接下来,我们将以已知抛物线的标准方程为例,来说明如何求解抛物线的顶点坐标、焦点坐标和直线方程。

首先,我们需要通过配方法将标准方程转化为顶点形式,即y=a(x-h)^2+k。

其中,顶点坐标为(h,k),通过求解标准方程中的参数a、b、c,我们可以得到顶点坐标的具体数值。

然后,我们可以利用顶点坐标和a的值来求解焦点坐标,焦点坐标为(h,k+1/4a)。

最后,通过顶点坐标和焦点坐标,我们可以得到抛物线的准线方程。

除此之外,已知抛物线的标准方程还可以用来求解抛物线与直线的交点坐标。

当给定一条直线的方程y=mx+n时,我们可以将直线方程代入抛物线的标准方程中,得到一个关于x的二次方程。

通过求解这个二次方程,我们可以得到直线与抛物线的交点坐标。

这样,我们就可以利用抛物线的标准方程来解决与直线相关的问题。

总结一下,已知抛物线的标准方程是解决抛物线相关问题的重要工具,通过求解参数a、b、c,我们可以得到抛物线的顶点坐标、焦点坐标和准线方程,进而解决与抛物线相关的各种问题。

同时,我们还可以利用已知抛物线的标准方程来求解抛物线与直线的交点坐标,为我们解决与直线相关的问题提供了便利。

希望通过本文的讲解,大家能够更加深入地理解已知抛物线的标准方程,掌握相关的求解方法,提高数学解题的能力。

同时,也希望大家能够在学习数学的过程中保持耐心和坚持,相信通过不懈的努力,一定能够取得更好的成绩。

感谢大家的阅读!。

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1、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,7)、B(6,7)、C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8
的另一点坐标为
2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过(0,-6),(8,-6)两点,其顶点的纵坐标是2,求这个抛物线的
解析式.
3、已知抛物线y=ax2+bx+c经过(0,0),(12,0)两点,其顶点的纵坐标是3,求这个抛物线的函
数解析式
4、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,-4),B(-1、0),C(-2,5)三点.
(1)求抛物线的解析式并画出这条抛物线;
(2)直角坐标系中点的横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点.试结合图象,写出在第四象限内抛物线上的所有整点的坐标.
5、
6、
7、
8、已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线对应的关
系式及顶点坐标.
9、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-5,0)、(-1,0)、(1,12),求这个抛物线的表达式及其
顶点坐标.
10、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B(0,1),且b=-4ac.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线上是否存在一点C,使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A?若不存在,说明理由;
若存在,求出点C的坐标,并求出此时圆的圆心点P的坐标;
(3)根据(2)小题的结论,你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系?
11、已知抛物线y=ax2+bx+2经过点(3,2),那么该抛物线的对称轴是直线
12、已知,抛物线y=ax2+bx-3a经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点D与C关于抛物线的对称轴对称,求点D关于直线BC对称的点的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接DB,问在抛物线上是否存在一点M,使∠DBM=45°?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
13、物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3)、B(4,3)、C(1,0)、
(1)填空:抛物线的对称轴为直线x=,抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为
(2)求该抛物线的解析式.
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