如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点a(2,3),b(6,1),c(0,2).教程文件

B′或 B 重合（图 2）。
①当 6＜S＜ 49 时，方程有两个不相等的根，此时，1＜t＜6，1＜ 4
n＜ 33 ，故满足 8
条件的点 E 位于直线 B′B 上方的抛物线上。。故此时满足条件的点 E 有两个
（图 3）。
②当 4＜S＜6 时，方程有两个不相等的根，此时，0＜n＜1，而满
足条件的点 E 只能在
4
8
E 只有一个，位于抛物线顶点处（图 1）。
况如下：
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当△＞0 时，S＜ 49 ，由 S＞4，所以 4＜S＜ 49 。此时点 E 的情
4
4
设 B′是抛物线上点 B 关于对称轴的对称点，即 n =1，S=6。由 t 2
－7 t＋6=0 得
t=1 或 t=6。此时点 E 的坐标为（1，1）或（6，1），即满足条件的点 E 与点
AA PC
AP CC
，即
7
2 m
2 2
3
m 7
，
2
解得 m1= 3 ，m2= 1 。
2
2
∴P（ 7 ， 3 ）或（ 7 ， 1 ）。
22
22
（3）由 B（6，1），C（0，－2），得直线 BC 的解析式为
y= 1 x－2，∴D（4，0）。 2
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∵四边形 OEDC 只能在 x 上方，∴n＞0。
又 S=S△CDO＋S△EDO= 1 2 4 1 4 n=4+2n ，∴ n= S 2 。
2
2
2
∵点 E（t，n）在抛物线上，∴n =－ 1 t 2＋ 7 t－2，代入 22
n= S 2 ，得 2
关于 t 的方程 t 2－7 t＋S=0，方程根的判别式△=49－4S。
当△=0 时，S= 49 ， n= 33 ，此时方程只有一解，满足条件的点
点 H 与点 B′之间的抛物线上。故此时满足条件的点 E 只有一个（图 4）。
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综上所述，当 4＜S＜6 或 S= 49 时，满足条件的点 E 有一个；当 6≤S＜ 4
49 时，满足条件的点 E 有两个。 4
【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称性，
P 的坐标；
（3）设直线 BC 与 x 轴交于点 D，点 H 是抛物线与 x 轴的
一个交点，点 E（t，n）是抛物线上的动点，四边形 OEDC
的面积为 S．当 S 取何值时，满足条件的点 E 只有一个？当 S 取何值时，满足
条件的点 E 有两个？
【答案】解：（1）将 A，B，C 三点坐标代入 y=ax2＋bx＋c 中，得
4a 2b c 3
a
1 2
36a 6b c 2
c
1
，解得
b c
7 2 2
。∴y=－ 1 x2＋ 7 x－2=－ 1 （x－
22
2
7 ）2＋ 33 。
2
8
（2）设点 P（ 7 ，m），分别过 A、C 两 2
点作对称轴的垂线，垂足为 A′，C′。
∵AP⊥CP，∴△AA′P∽△PC′C。
∴
如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(2,3),B(6,1),C(0
,-2).
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如图，已知抛物线 y=ax2＋bx＋c 经过点 A（2，3），B（6，1），C（0，－
2）．
（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点
式；
（2）点 P 是抛物线对称轴上的动点，当 AP⊥CP 时，求点
为抛物线顶点时，即 S= 49 满足条件的点 E 只有一个；当 6＜S＜ 49 时，满足条
4
4
件的点 E 有两个；当 4＜S＜6 时，满足条件的点 E 只有一个。
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相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式。
【分析】（1）将 A、B、C 三点坐标代入 y=ax2+bx+c 中，列方程组求抛物线解
析式，再用配方法求顶点式。 （2）当 AP⊥CP 时，分别过 A、C 两点作对称轴的垂线，垂足为 A′，
C′，利用互余关系得角相等，证明△AA′P∽△PC′C，利用相似比求 P 点坐标。 （3）分别求出点 E 为抛物线顶点，E，B 重合时，图形的面积，当 E 点