平行线分线段成比例定理

A D F L1 F D A L1 L2
E
L2 （ 一般到特殊 ）
(E)
B
图1
C
怎样变化？
B L3 C L3
图3
平行移动直线FC与直线AB相交,交点D在L2上
教学设计（2）
思考：把图2、图3中的部分线擦去，得
到图4、图5，上述比例式还成立吗？
A D
L1 E
L2 部分线擦去,取一部分 D
A
E （ 字母 C
做 不 出 伟 牛 大 顿 的 （ 发 现 ） 。
——
Newton
没 有 大 胆 的 猜 想 ， 就
比 例 定 理
课 题 ： 平 行 线 分 线 段 成
平行线分线段成比例定理
学习目标： 1、会识别平行线分线段成比例的变式图形。 2、能写出图中的成比例线段。 3、理解平行线分线段成比例定理的推论。 4、会用推论去计算和证明有关的问题。 5、建立一种解题模型。 6、会用“运动”的观点去研究解决问题。 7、欣赏数学的美学文化——理性美、结构美。
A E C 图4
F D B
A
图5
C
4.符号语言:
5.模型语言:
若DE∥BC 则：
若AF∥BC 则：
字母
A型
字母
X型
∵DF//AC
AD CF AB CB
2 CF , 即CF 6 3 9
B
F
C
BF 9 - 6 3
例3 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项.
分析: 分别在△ABC及△ADC中利用平行线分 线段成比例定理的推论
证明
A F
D
AB 在ABC 中, DE//BC , AD AD 在ADC中, EF//CD, AF AB AD AD AF
AC AE AC AE
E C
B
∴AD2=ABAF,即AD是AB和AF的比例中项
知识目标小结
1.定理名称: 2.文字语言: 3.图形语言:
D B
平行线分线段成比例定理和三角形一边平 行线的性质定理
1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 2、平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长 线），所得的对应线段成比例。
EБайду номын сангаас
B
F
C
DE=BF
AD AE DE AB AC BC
例 2 如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2, BC=9.求BF和CF的长.
分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分别列出比例式求解.
A
解
∵DE//BC
AD AE 4 2 AB AC 6 3
D E
l1 a1
AB DE 2 则： . BC EF 3
引导材料 观察图1，Ｌ１∥Ｌ２∥Ｌ３，对
照图1说出平行线分线段成比例定理的内 容？且写出比例式？ F Ａ
Ｌ１
Ｄ
Ｂ Ｌ４
图1
E
Ｌ２
Ｃ
Ｌ３
Ｌ５
答案 （1）
三条平行线截两条直线(两条直线被一组平行 线所截)，所得的对应线段成比例。 A F AD/DB=FE/EC L1 （上/下=上/下） D E L2 AD/AB=FE/FC （上/全=上/全） B C DB/AB=EC/FC L3 （下/全=下/全）
A
型）
B
图2
C
一般到特殊 L3
B
图4
， 因为 图形中有关的对应线段均没改变
比例式 成立
教学设计（2）续
续思考 F A
D （E）
F
A
D （E） （字母
B
图3
部分线擦去,取一部分 一般到特殊
C B 图5
X 型）
C
比例式 成立 ，因为 图形中有关的对应线段均没改变
教学设计（3）
猜想：⑴在图4、图5中，原题的条件（三
如图： l1 // l2 // l3 // l4 // l5 // ， l6 且AP=PB=BQ=QR=RC. (1)你能推出怎样的结论？ 为什么？
由平行线等分线段定理可知. (注意其前提条件是:等距)
一、复习导入
A P B Q R C
D S E T G F
L1 L2 L3
L4 L5
L6
（2）三条距离不相等的平行线截 两条直线会有什么结果?
图6
课堂练习（1）及答案
已知：DE∥BC，AB＝14，AC＝18，AE＝10 求：AD的长？ 解：∵DE∥BC ∴AD/AB=AE/AC（平行于三角形一边 的直线截其他两边，所得的对应线段成比 A 例。） 即AD/14=10/18 E D ∴AD=70/9
B 图7 C
课堂练习（2）及答案
已知：ED∥BC，AB＝5，AC＝7，AD＝2 求：AE的长？ 解：∵ED∥BC ∴AD/AB=AE/AC （平行于三角形一边 D E 的直线截其它两边的延长 2 A 线，所得的对应线段成比例） 7 5 即2/5=AE/7 B C 图8 ∴AE=14/5
AQ QC 思考并猜想：根据上述结论，
你还能发现什么新的结论？
3 DT 2 TF
3 2
二、定理的引入及推导
三条距离不相等的平行线 截两条直线会有什么结果? A B
l
l D E F
l1 l2
猜 想 ：
2 AB 2 DE 若 ,那么， ？ BC 3 EF 3C 3 AB 3 DE 若 ， 那么, ？ BC 4 EF 4
例：已知，点E为平行四边形ABCD的边 CD的延长线上的一点,连接BE,交AC于点 O，交AD于点F。求证：
BO EO 证明： AF//BC FO BO A BO CO (平行线分线段成比例 ) FO AO AB // CE EO CO （平行线分线段成比例 ） B BO AO BO EO 图10 FO B O
E D
F
o C
用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角 形,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成 比例. 已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E
A D
AD AE DE 求证： AB AC BC AD AE DE//BC AB AC AE BF EF//AB AC BC
条平行线）发生了什么变化？⑵结论有没 有变？⑶猜一猜，你能发现什么规律？
A D B
部分线擦去, 取一部分 E 一般到特殊 D
A
图2 F A
C
B 图4
（1）三条平行线剩下两条，且变 为三角形的一边和截三角形另两 E 边或两边延长线的线段。其中图4 中DE∥BC，图5中AF∥BC （2）结论没变，所得的对应线段 C 成比例。
基本图形：“x”字形
教学设计（1）
1.观察图2、图3，说出它们分别是由图1怎样变化得 到的？且写出图2、图3中有关的比例式？
A D F L1
A (F) D
E
L1 L2
E
L2 （ 一般到 特殊 ）
怎样变化？
B
图1
C
L3
B
C
L3
图2
平行移动直线FC与直线AB相交，交点A在L1上。
教学设计（1）续 续观察
你能否利用所学过的相关知识进行说明？
l3
AB 2 考察 BC 3
A
P1
l
l D
Q1
B E 设线段AB的中点为P1，线 l2 Q P2 2 段BC的三等分点为P2、P3. a1 P3 Q3 a3 AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C C F l3 分别过点P1,P2, P3作直线 a1,a2,a3平行于l1,与l 的交 这时你想到了什么？ 点分别为Q1,Q2,Q3. DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F 平行线等分线段定理
解： ∵l１∥l２∥l３ ∴AB/BC=DE/EF (平行线分线段成比例) ∵AB=4 DE=3 EF=6 ∴4/BC=3/6 ∴BC=8 B C
l D
E F
l1
l2
l3
a
b
A
D E L2
L1
C
F
L3
AB DE BC EF
基本图形：“A”字形
a A B
b L1 （E） L2
D
C
F
L3
AB DE BC EF
L4 L5 图1
答案（2）
DB/AD=EC/FE （下/上=下/上） AB/AD=FC/FE (全 / 上 = 全 / 上 ) AB/DB=FC/EC (全 / 下 = 全 / 下 )
A D F E L1 L2
B L4 图1
C L3 L5
例：l１∥l２∥l３ AB=4,DE=3, l A EF=6.求BC的长
部分线擦去, 取一部分 F
D（E） 一般到特殊 B C B
（3）推论：平行于三角形一边的 直线截其他两边（或两边的延长 D （E） 线），所得的对应线段成比例。 A C
图3
图5
例题解析
已知：DE∥BC，AB＝15，BD＝4，AC＝9， 求： AE的长？ 证明：∵DE∥BC ∴AB/BD=AC/CE（平行于三角形一边的直线 截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线 段成比例。） A 即15/4=9/CE ∴CE=12/5 ∴AE=AC+CE B C =9+12/5 D =11.4 E