平行线分线段成比例定理
5、平行线分线段成比例定理
年荷钱今钱段战比例定理【教学内容】掌握平行线分线段成比例定理；会用平行线分线段成比例定理及其推理，三角形一边的平行 线的判定定理进行计算和证明。
1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角形的第三边。
如图 LJ/LJ/ 厶=>ACAB DE BC " AB _ DE AC" DF BC _ EF AC" DF AB DE 、 ---- H ----- ) EF BC 如图:AB AC BD CEAB AC _ BC 75 一旋一 Bi BD _ CE AB " AC2.定理：（三角形一边平行的判定）如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例 BC//DE=>AB ACBD CE AB AC AD AE BD . CE AD AE 如图: nBCHDE aBCIIDE nBCIIDE 【教学重难点】重点：平行线分成线段成比例定理与三角形一边平行的性质和判定。
难点：正确理解“对应线段”。
【练习题】一、填空题：1•如图：厶〃厶〃厶 ①若—=-则史= _____________________ ,「 BC 4 EFA R 7 ___,②若—=-DF=28cm 则DE = ___cm BC 4DEDF2•如图 LI 、L2、L3, AE=4cm, BE 二3cm, CD=14cm __________ cm , DF= ________________ cm ： 3 •如图:在△ ABC 中，DE//BC(1) AD=5cm BD 二3cm AE=4cm 则 AC= cm (2) BD 二3cm AB=7cm 则 AE : AC= 4.如图：已知 DE//BC, EF//AB, AD=2, BD 二3, BF=2. 6,则 BC 二 5・如图：已知直线BC 经过菱形AMNF 的顶点'分别交AM 、 L1AP 的延长线于B 、C 若AB=21cm BC=18CM, AC=15CM 则 BN= cm, NC= c m 菱形AMNP 的周长二 ____ cm 6.如图：D 是BC 的中点,M 是AD 的中点,BM 的延长线交AC于 N,则 AN : NC= 二、选择题 1、如图：已知AD//BE//CF,下列比例式成立的是（ AB_ DE " BC BC _ EFAC " DF则竺等于（） AC492、AB AD A ______ »» ___DE _ BE 厂 ACDFEF BC AD 4 5 54DEII BC,3、 己矢芒JDAA AB CBAD~ CE厂 DE BEAC EC如图、 4、 三、 1. BEEC* BE 那么有（ BD AC EC 以上都不是如图0 ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，AE : BE 的延长线交AD 于F,则AF ： FD=（A 2 : 1B 2 : 3C 3 : 2D 5 : 3解答下列各题：已知：如图：AD 平分ZBAC, DE//AC, AB 二 15,)AEO 求:BE 和ED 的长。
平行线分线段成比例定理证明方法
平行线分线段成比例定理证明方法平行线分线段成比例定理是数学中的一条重要定理，它描述了当两条平行线与一条横切线相交时，所形成的线段之间的比例关系。
本文将通过证明该定理，来展示其严谨的数学推导过程。
我们先来描述一下该定理的内容：设有两条平行线l和m，它们被一条横切线n相交于A、B、C三点。
如果在l上任取一点D，并且连接BD和AC，那么我们有以下结论：\(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}\)接下来，我们将通过严格的证明来验证这一结论。
证明过程如下：假设在平行线l上任取一点D，并连接BD和AC。
根据平行线的性质，我们可以得到以下两个对应角相等的等角关系：∠ACB = ∠DBC （对应角相等）∠ADC = ∠BCD （对应角相等）由于三角形ABC和三角形DBC中有两个角相等，根据三角形的基本性质，我们可以得到这两个三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，我们可以得到下面的比例关系：\(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC}\)从上述推导过程可以看出，平行线分线段成比例定理是由两个等角关系推导得到的，而等角关系是由平行线的性质所决定的。
因此，该定理的证明是严谨而准确的。
值得注意的是，平行线分线段成比例定理的证明过程中没有使用到具体的数值，而仅仅是通过等角关系和相似三角形的性质进行了推导。
因此，该定理具有普适性，适用于任意情况下的平行线。
通过平行线分线段成比例定理，我们可以解决很多实际问题。
例如，在建筑工程中，我们可以利用该定理来计算建筑物的高度。
通过测量建筑物的影子长度和测量仪的高度，我们可以利用平行线分线段成比例定理来计算建筑物的实际高度。
在几何学的研究中，平行线分线段成比例定理也是解决一些复杂问题的重要工具。
通过应用该定理，我们可以得到一些关于平行线和三角形的性质，进而推导出更多的几何定理。
总结起来，平行线分线段成比例定理是数学中的一条重要定理，它描述了当两条平行线与一条横切线相交时，所形成的线段之间的比例关系。
2.平行线分线段成比例定理
且l , l ¢ 分别与 l1 , l2 , l3相交于 A, B, C , D, E , F .
L2
F A L3 L1 L2 F
一般
C
特殊
(如图所示)那么 AB DE = ; BC EF
AB DE = ; AC DF BC EF = . AC DF
一般
特殊
L3
若将下图中的直线L2看成是平行于△ABC 的边BC的直线,那么可得: AD = AE .
C
F
L3
D
A
L1 L2
D B (E)
A
L1 L2
B C
E F
L3
C
F
L3
平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
如果l1 // l2 // l3 ,
A B D E L1 L2 F D B C A E F L3 L1 L2 L3 C C D B (E) B A (D) E L1
证明：过点E作EF//AB,交BC于点F, ∵DE//BC, ∴AD:AB=AE:AC. 为了证明AE:AC=DE:BC， ∵EF//AB, ∴BF:BC=AE:AC. 需要构造一组平行线，使 且四边形DEFB为平行四边形. ∴DE=BF.∴ DE:BC=AE:AC. AE、AC、DE、BC成为 AD AE DE . 由这组平行线截得的线段. AB AC BC 故作EF//AB.
B Q R C A P D S E T G L2 L1
∴ AB:BC=DE :EF=2:3
FБайду номын сангаас
L3
AB AB DE 一般地，当l1 // l2 // l3，且 =q(q Î R)时, = =q. BC BC EF l1 , l2 , l3不等距!
平行线分线段成比例定理
AB C E F平行线分线段成比例定理【知识要点】导入：如图分别与321221,////l l l b a l l l 交于A,B,G ,D,E,F 则1. 假设21,l l 分别被同一组平行线截得线段;,;,,2121n n b b b a a a 则n n b b b b a a a a ::::::321321 = 或nn b a b a b a b a ==== 332211这就是平行线分线段成比例定理。
2. 平行线分线段成比例定理可简记为：⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴全上全上全下全下下上下上DF DE AC AB DF EF AC BC EF DE BC AB l l l 321////特别地，当A 与D 重点时： 当B 与E 重点时：AF AEAC AB EFAEBC AB ==DFDB ACABBFDB BC AB== 3.推论： A 型CEBDAE AD AC AB DE ADBC AB === a b A BCFE D 1l 2l3lA B 1l2l CFE D 3l ADBF C1l2l 1b 1a 2a 2b na n bX 型ECADBE DB BC AB ==【典型例题】例1 已知：如图，a//b//c ，时BD=2AB ，EF=3cm,HF=5cm,求FG 和HQ 的长；例2 如图：在ABC ∆中，DE//BC ，EF//C （1）求证：AF:AD=AD:AB （2）若AF=4,FB=5,求FD 的长。
例3 如图：N 为□ABCD 一边AD 的中点，BM 多AC 于点P ，若AC=6cm,求PC 的值？EADBCA E HB FP Q GDA M PB C例4 如图：若DE//AB,FD//BC,,32=AC AD AB=9cm,BC=6cm,求□BEDF 的周长？例5 如图：再ABC ∆中，D 为AC 上一点，E 为CB 延长先上一点，且FDEFBC AC =求证：AD=EB 。
平行线分线段成比例定理证明过程
平行线分线段成比例定理是初中数学中的重要概念之一，也是几何学中的基础知识。
在我们探讨这个定理的证明过程之前，首先让我们了解一下平行线分线段成比例定理的概念。
一、平行线分线段成比例定理的概念平行线分线段成比例定理是指：如果一条直线被两条平行线截断，那么它们所截取的线段成比例。
形式化表示就是：设直线l被两条平行线m和n截断，截线段分别为AB和CD，那么有AD/DB=AC/CB。
二、证明过程接下来，我们来探讨平行线分线段成比例定理的证明过程。
1. 利用证明过程所需的前提条件我们需要利用欧几里得几何学的基本公设和定理来证明这个定理。
其中，我们需要用到的包括平行线的性质、相似三角形的性质等。
2. 构造辅助线在证明过程中，我们通常会构造一些辅助线来帮助我们证明定理。
我们可以根据已知条件，构造出一些三角形或平行四边形来辅助证明。
3. 利用相似三角形性质在证明中，我们需要利用到相似三角形的性质。
我们可以利用相似三角形的对应边成比例的性质来帮助我们证明线段的成比例关系。
4. 利用平行线的性质平行线具有许多特殊的性质，其中之一就是平行线与被它们截取的直线所成的各对应角相等。
我们可以利用这一性质来帮助我们证明定理。
5. 运用数学归纳法在证明过程中，我们可能需要通过数学归纳法来确保定理对于所有情况都成立。
6. 总结通过以上的证明过程，我们可以得出平行线分线段成比例定理的证明结果。
三、个人观点和理解从证明过程中，我们可以看到，数学证明不仅需要逻辑思维，还需要创造性地构造辅助线、利用相似三角形等方法来解决问题。
平行线分线段成比例定理的证明过程，让我深刻体会到数学的美妙之处，也让我更加深入地理解了相关概念和定理。
总结通过本文对平行线分线段成比例定理的证明过程的探讨，我们不仅了解了这一定理的基本概念，还深入探讨了其证明的具体步骤和相关思想。
通过这样的学习和探讨，我们不仅可以掌握知识，还能够培养良好的逻辑思维能力和解决问题的能力。
平行线分线段成比例定理 (2)
平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理是在平行线和交叉线段的关系中发现的一条重要定理。
它揭示了平行线和它们所夹直线上的线段之间的比例关系。
本文将详细介绍平行线分线段成比例定理的定义、证明及应用。
定理定义平行线分线段成比例定理，又称为柯拉斯定理，是指在平行线AB与CD之间，若由交线EF将这两条平行线分别切成m个等分点，则相应的等分点之间连线所形成的线段的比例相等。
更具体地说，若EF将AB切割成了m个等分点，将CD切割成了n个等分点，则有$\\frac{AC}{BD}=\\frac{m}{n}$。
定理证明现将平行线AB与CD之间由交线EF切分为m个等分点和n个等分点，分别记为A1，A2，…，Am和C1，C2，…，Cn。
根据平行线的性质，可以得到以下四组相似三角形：EAB与ECD、EA1B与ECnD、EA2B与EC(n1)D以及EAmB与ECD。
通过这些相似三角形的比例关系，可以进行证明。
证明步骤：1.利用三角形EAB与ECD的相似性，可以得到$\\frac{EA1}{EC1}=\\frac{AB}{CD}$；2.同理，利用相似三角形EA2B与EC(n1)D的关系可以得到$\\frac{EA2}{EC2}=\\frac{AB}{CD}$；3.以此类推，可得到$\\frac{EAm}{EC(nm)}=\\frac{AB}{CD}$；，将上述等式两边乘以CD，得到$EAm \\cdot CD = EC(nm) \\cdot AB$；4.再将等式两边分别加上ECm和EAn，得到$EAm\\cdot CD + ECm \\cdot DE = EC(nm) \\cdot AB + EAn\\cdot AB$；5.将等式左边的各项合并，得到$AC \\cdot CD = BD\\cdot AB$；，将等式两边除以$BD \\cdot CD$，得到$\\frac{AC}{BD}=\\frac{AB}{CD}$。
平行线分线段成比例定理
左 左 = 右 右
L5 L4 A D B E C
L5
L4 D
L1
L2
E A
L1
L2
B C 数学符号语言 L3 数学符号语言 ∵ DE∥BC ∵ DE∥BC
L3
AD AE AB AC
AD AE AB AC
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的 延长线），所得的对应线段的比相等.
例1 如图: l1∥l2∥l3 ,
A1 A 要把表示对应角顶点的 字母写在对应的位置上。 注意 B1 C
B
C1
当 ∠A =∠A1，∠B =∠B1， ∠C =∠C1， AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时， 则△ABC 与△A1B1C1 相似，
记作△ABC ∽ △A1B1C1。
平行线分线段成比例定理：
(1)若AB=3 , DE=2, EF=4,求 BC. 解: l ∥l ∥l A
一般把所求线段 BC EF AB DE 写成比例第一项.
即:
BC EF BCDE 4 AB
1
2
3
B C
D E
F
l1 l2 l3
3
2
BC=6
(2)若AC=8,DE=2,EF=3,求AB.
AB DE DE AB 2 16 AB AC DF DE EF 8 2 3 5
过点E作EF∥AB，EF交BC于点F. ∵DE∥BC，EF∥AB，
AD AE BF AE , . AB AC BC AC DE . BC
E
C
∵四边形DEFB是平行四边形， DE AE AD AE , ∴DE=BF，
BC AC AB AC
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理(一)一、学习目标1．在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理，并会灵活应用。
2．通过学习定理，再一次培养同学们类比的数学思想。
3．渗透理解从特殊到一般的辩证唯物主义观点。
二、重点、难点、疑点及解析1．重点是平行线分线段成比例定理及其应用。
2．难点是平行线分线段成比例定理的正确性的说明。
3．疑点是由定理可得到六个比例，如图5－5而言，与横线段无关，这里要知道。
定理中“能得的对应线段成比例”，是“被截得的”，要分清是谁截谁。
三、学习过程(一)复习自己叙述平行线等分线段定理。
(二)讲解新课在四边形一章里，我们学过平行线等分线段定理，今天，在此基础上，我们来研究平行线平分线段成比例定理。
首先复习一下平行线等分线段定理，如图5-5：∵l1∥l2∥l3，且AB=BC，∴DE=EF。
自己可以画三条平行线，并作出两条直线分别与这些平行线相交，用尺子进行测量并计算。
(该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过测量计算可以得到比例仍成立)由比例性质，还可得到：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
平行线等分线段定理可看作是这个定理的特例。
根据此定理，我们可以写出六个比例，为了便于应用，在以后的论证和计算中，可根据情况选用其中任何一个参见图5-6～图5-7。
∵l1∥l2∥l3，其中图5-8，图5-9两种情况仍然成立，下一节我们会学习这部分更具体的内容。
例1 已知：如图5-6，l1∥l2∥l3，若AB=3，DE=2，EF=4，求：BC。
解：自己来完成。
注：在列比例式求某线段长时，尽可能将要求的线段写成比例的第一项，以减少错误，如例1可列比例式为：自己来完成。
提示：设DE=m，EF=n。
小结：(1)熟练掌握由定理得出的六个比例式。
(2)灵活运用定理解决问题。
平行线分线段成比例定理(二)一、学习目标1．在巩固平行线等分线段定理的基础上掌握其推论及推论的应用。
平行线分线段成比例定理
三.运用: 若:DE//BC则 AD:BD=AE:EC吗?
D B C ABE:EC 吗?
D C
E
A
B
总结:平行于三角形一边的直线截其 他两边(或两边的延长线),所得的对 应线段成比例
5.2.1平行线分三角形两边成比例定理
一.复习:
平行线分线段成比例定理
二.观察与分析
1.
若:AB=BC 则 DE=EF 即 AB:BC=
C B
A
D
L1
E
L2
F
L3
DE:EF
2.若:AB≠BC那么,是否存在AB:BC=DE:EF (1)若:在BA上 顺次截取与BC 等长的线段若 截取2次截尽, 则AB:BC=3.经 过分点作平行 则DE:EF=3.即 AB:BC=DE:EF
A D
B C
E F
(2)若截取2次截不尽
则在GA上顺次截 取等于BC/10的线 段,若截取5次截尽 则 AB:BC=3.5,DE:E F=3.5,这时也有 AB:BC=DE:EF
A
D
G
B C
E F
(3)若AB:BC=3.47则有DE:EF=3.47;
若AB:BC=3.476则有DE:EF=3.476等 等 总之:三条平行线截两条直线,所得 的对应线段成比例(即:平行线分线 段成比例定理)
(完整版)平行线分线段成比例
1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
A
D
C
证明： 过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC ∠CAD＝∠ACE ∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE
∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC
直角三角形中的比例（射影定理）：
C
A
DB
在直角三角形ABC中，CD为斜边AB边上的高， 则：
CD2 ADgDB; AC2 ADgAB; BC2 BDgAB
1gABgADgsin BAD 2
SVDAC
1 gCDgh 2
1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几 节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个 结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中 有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介 绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其 中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度 的题目，而“三角形内外角平分线性质定理”和 “直角三角形中的比例”的题目直接围绕定理展开， 难度不大.
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例
平行线分线段成比例定理3
C
B
C
AD AE DE AC AB BC
如图，已知DE//BC，AD=3.5,AB=10.5,DE=4.求BC。
A
D
E
B
C
已知，如图，DE//BC，EF//AB，判断下列比例式是 否正确？
AD DE 1 DB BC
AE BF 2 EC FC
× √ ×
D
A
E
B
F
C
EF DE 3 AB BC
D
A
E
C
F
l3
B
C
B
C
AD AE DE 已知△ABC中，DE//BC，求证： AB AC BC
证明：过点D作DF//AC，交BC于点F。 ∵DE//BC，DF//AC， A
AD AE FC AD ， AB AC BC AB
∵四边形DFCE是平行四边形 ∴DE=FC
D
E
B
F
C
DE AD BC AB
AD AE DE AB AC BC
已知点D、E是△ABC边BA和CA延长线上两点，且
AD AE DE DE//BC。求证： AC AB BC
分析：分别在边AB、AC上截取AD`=AD，AE=AE` 易证：△ADE≌△AD`E` 则∠D=∠D`（或∠E=∠E`），DE=D`E`；DE//D`E` ∵DE//BC，∴D`E`//BC
D E
AD` AE` D`E ` AC AB BC
AD AE DE AC AB BC
E` B
A
D` C
定理：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线） 相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 A
平行线分线段成比例定理
类型 3 利用定理及推论等分已知线段 [典例 3] 已知线段 AB，求作 AB 的五等分点． 分析：本题是平行线等分线段定理的实际应用．只要 作射线 AM，在 AM 上任意截取 5 条相等线段，设分别为 AA1、A1A2、A2A3、A3A4、A4A5，连接端点 A5 与点 B，再 过其他端点作 BA5 的平行线，分别交 AB 于 C、D、E、F， 则 AB 就被这些平行线分成五等分了．
2．两个推论内容
推论 文字语言 图形语言 符号语言
经过三角形一边 的中点与另一边 推论 1 平行的直线必平 分第三边
AB′＝B′B
B′C′∥BC
⇒AC′＝C′C
经过梯形一腰的 中点，且与底边平 推论 2 行的直线平分另 一腰
AADE＝∥EBBC⇒ EF∥BC
DF＝FC
类型 1 利用定理及推论进行计算(自主研析)
如下图所示．
归纳升华 求作已知线段 AB 的 n 等分点的一般作法：过线段 AB 的一个端点作一条射线，从射线的端点起，依次截取 n 条相等的线段，然后连接第 n 条线段的末端与已知线段 的另一个端点，过射线上各个分点作所连线段的平行线， 这些平行线与已知线段的交点就是线段 AB 的 n 等分点．
解：(1)作射线 AM. (2)在射线 AM 上截取 AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝ A4A5. (3)连接 A5B，分别过 A1、A2、A3、A4 作 A5B 的平行 线 A1C、A2D、A3E、A4F，分别交 AB 于 C、D、E、F， 那么 C、D、E、F 就是所求作的线段 AB 的五等分点．
∠AEC＝∠CEM，CE＝CE. ∠ACD＝∠MCD， 所以△ACE≌△MCE， 所以 AE＝EM，即 E 是 AM 的中点， 又在△ABM 中，EF∥BM，AE＝EM， 所以 F 是 AB 的中点，所以 AF＝BF.
平行线分线段成比例定理推论
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
∵直线l1∥l2∥l3
l4
l5
AB DE BC EF
解： 在△ABC中，
A
DE // BC
AD AE AB AC
AD 10 14 18
AD 70 9
D
E
B
C
如图，已知DE∥BC,且AB=5,AC=7,AD=2.求AE的长
解： 在△ABC中，
DE // BC
AD AE AB AC
AE 14 5
2 AE 57
E
D
A
B
C
A D B
∴ AE AE` ∴
因此直线DE`与直线DE重合
同一法
∴DE∥BC
E E`
C
已知：△ABC中，D,E分别是BA, CA延长线上的
点，且有 AD AE ，则DE∥BC
AB AC
证明：过D点作直线DE`∥BC,交AC于点E`，则有
AD AE` AB AC
∵ AD AE AB AC
∴ AE AE` AC AC
数学语言：
因为在△ABC中，DE∥BC,
AD AE BD CE
AD
AE
AB AC
平行线等分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
逆命题是什么呢？ 是否是真命题呢？
如果三条直线截两条直线所得的对应线段成比例， 那么三条直线平行。
举反例
推论：
3.2 平行线分线段成比例定理
D F = DIFI= 2 AD AIDI 3
D F = DIFI= 2 AF AIFI 5
怎样用文字把以上发现表述出来？
平行线分线段成比例定理：
两条线段被一组平行线所截，所得的 对应 线段成比例.
A B C
D
形象记忆
AB BC l2 E BC AB l3 AB F AC BC AC
l1
综上所述：若l 则： 1//l 2 //l 3,
已知：如图，直线 l1∥l2∥l3， AB=BC
求证： A1B1=B1C1 证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于 点E、F
l1 l2 l3
A B
A1 B1
3 1 2 4
E
C
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ ABB1E和□ BCFB1 ∴EB1 =AB ，B1F=BC ∵AB=BC ∴EB1=B1F 又∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1
B E C
例题2：如图，已知FG∥BC ， AE∥GH ∥ CD
AB ED = 求证： BF DH
A F H D G C B
1、过平行四边形ABCD的一个顶点A作一 直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延 长线于点E、F、G。求证：EA2=EF•EG
A E
B D
F
G
C
2、如图，AC ∥EF ∥ BD
F
C1
平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得 的线段 相等 ，那么在其他直线上截得 的线段也 相等
l1 l2
A B C
A1
？B1 ？C1
符号语言 ∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC ∴ A1B1=B1C1
l3
平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．例1、如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=.l 3l 2l 1FE D CB A例2、如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEED C B A例3、如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
练习1、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA2、如图，已知ΔABC 中，DE ∥BC,AD 2=AB •AF,求证∠1=∠23、如图 已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥.DOECB AABC DEF124、如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，090=∠C ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别在边ＡＢ、ＢＣ、ＡＣ上，且四边形ＥＦＣＧ是矩形，若ＡＣ＝３cm ，ＢＣ＝４cm ，ＣＧ＝１cm ，求ＡＥ、ＢＦ、ＣＦ的值．5、已知：如图，AB AD AE ⋅=2，ＤＦ∥ＥＣ．求证：ＥＦ∥ＢＣ．6、已知：如图，∠１＝∠２，且ＡＭ／ＢＭ＝ＡＮ／ＮＣ，ＡＭ＝４ｃｍ，ＡＮ＝３ｃｍ，ＡＣ＝５ｃｍ，求ＭＮ的长7、已知：如图，点Ｍ是平行四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ的延长线上的任意一点，ＤＭ分别交ＢＣ、ＡＣ于点Ｎ、Ｐ，求证： DC/AM =CN/AD8、已知：如图，点Ｍ为平行四边形ＡＢＣＤ的边ＡＢ的中点，点Ｎ在ＢＣ上，且BN/CN=1/3，ＭＮ交ＢＤ于点Ｅ．求ＢＥ：ＥＤ的值．9、如图，点Ｆ是平行四边形ＡＢＣＤ的边ＤＣ的延长线上一点，ＡＦ交ＢＣ于点Ｅ，ＡＢ＝５ｃｍ，ＡＤ＝７ｃｍ，ＢＥ＝４ｃｍ．求ＣＦ的长．10、如图，ＡＤ∥ＥＦ∥ＢＣ，ＡＥ∶ＥＢ＝１∶２，若ＡＤ＝３ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，求ＥＦ的长11、如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ、ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ在ＡＢ上ＡＥ∶ＥＢ＝１∶３．ＤＥ交ＡＣ于点Ｆ．求ＡＦ∶ＦＯ∶ＯＣ的值12、已知：如图，在△ＡＢＣ中，ＭＮ∥ＢＣ，四边形ＭＮＰＱ是平行四边形，ＢＱ，ＣＰ的延长线相交于点Ｄ．求证：ＡＤ∥ＮＰ．13、设点Ｐ是△ＡＢＣ的中线ＡＤ上一点，过Ｐ作ＡＢ，ＡＣ的平行线ＥＰ，ＦＰ分别交ＢＣ于点Ｅ、Ｆ．求证：ＢＥ＝ＣＦ．。
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AQ QC 思考并猜想：根据上述结论，
你还能发现什么新的结论？
3 DT 2 TF
3 2
二、定理的引入及推导
三条距离不相等的平行线 截两条直线会有什么结果? A B
l
l D E F
l1 l2
猜 想 ：
2 AB 2 DE 若 ,那么， ？ BC 3 EF 3C 3 AB 3 DE 若 ， 那么, ？ BC 4 EF 4
条平行线）发生了什么变化？⑵结论有没 有变？⑶猜一猜，你能发现什么规律？
A D B
部分线擦去, 取一部分 E 一般到特殊 D
A
图2 F A
C
B 图4
（1）三条平行线剩下两条，且变 为三角形的一边和截三角形另两 E 边或两边延长线的线段。其中图4 中DE∥BC，图5中AF∥BC （2）结论没变，所得的对应线段 C 成比例。
A
型）
B
图2
C
一般到特殊 L3
B
图4
， 因为 图形中有关的对应线段均没改变
比例式 成立
教学设计（2）续
续思考 F A
D （E）
F
A
D （E） （字母
B
图3
部分线擦去,取一部分 一般到特殊
C B 图5
X 型）
C
比例式 成立 ，因为 图形中有关的对应线段均没改变
教学设计（3）
猜想：⑴在图4、图5中，原题的条件（三
你能否利用所学过的相关知识进行说明？
ห้องสมุดไป่ตู้
l3
AB 2 考察 BC 3
A
P1
l
l D
Q1
B E 设线段AB的中点为P1，线 l2 Q P2 2 段BC的三等分点为P2、P3. a1 P3 Q3 a3 AP1=P1B=BP2= P2P3= P3C C F l3 分别过点P1,P2, P3作直线 a1,a2,a3平行于l1,与l 的交 这时你想到了什么？ 点分别为Q1,Q2,Q3. DQ1=Q1E=EQ2=Q2Q3=Q3F 平行线等分线段定理
例：已知，点E为平行四边形ABCD的边 CD的延长线上的一点,连接BE,交AC于点 O，交AD于点F。求证：
BO EO 证明： AF//BC FO BO A BO CO (平行线分线段成比例 ) FO AO AB // CE EO CO （平行线分线段成比例 ） B BO AO BO EO 图10 FO B O
l1 a1
AB DE 2 则： . BC EF 3
引导材料 观察图1，Ｌ１∥Ｌ２∥Ｌ３，对
照图1说出平行线分线段成比例定理的内 容？且写出比例式？ F Ａ
Ｌ１
Ｄ
Ｂ Ｌ４
图1
E
Ｌ２
Ｃ
Ｌ３
Ｌ５
答案 （1）
三条平行线截两条直线(两条直线被一组平行 线所截)，所得的对应线段成比例。 A F AD/DB=FE/EC L1 （上/下=上/下） D E L2 AD/AB=FE/FC （上/全=上/全） B C DB/AB=EC/FC L3 （下/全=下/全）
图6
课堂练习（1）及答案
已知：DE∥BC，AB＝14，AC＝18，AE＝10 求：AD的长？ 解：∵DE∥BC ∴AD/AB=AE/AC（平行于三角形一边 的直线截其他两边，所得的对应线段成比 A 例。） 即AD/14=10/18 E D ∴AD=70/9
B 图7 C
课堂练习（2）及答案
已知：ED∥BC，AB＝5，AC＝7，AD＝2 求：AE的长？ 解：∵ED∥BC ∴AD/AB=AE/AC （平行于三角形一边 D E 的直线截其它两边的延长 2 A 线，所得的对应线段成比例） 7 5 即2/5=AE/7 B C 图8 ∴AE=14/5
部分线擦去, 取一部分 F
D（E） 一般到特殊 B C B
（3）推论：平行于三角形一边的 直线截其他两边（或两边的延长 D （E） 线），所得的对应线段成比例。 A C
图3
图5
例题解析
已知：DE∥BC，AB＝15，BD＝4，AC＝9， 求： AE的长？ 证明：∵DE∥BC ∴AB/BD=AC/CE（平行于三角形一边的直线 截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线 段成比例。） A 即15/4=9/CE ∴CE=12/5 ∴AE=AC+CE B C =9+12/5 D =11.4 E
L4 L5 图1
答案（2）
DB/AD=EC/FE （下/上=下/上） AB/AD=FC/FE (全 / 上 = 全 / 上 ) AB/DB=FC/EC (全 / 下 = 全 / 下 )
A D F E L1 L2
B L4 图1
C L3 L5
例：l１∥l２∥l３ AB=4,DE=3, l A EF=6.求BC的长
AC AE AC AE
E C
B
∴AD2=ABAF,即AD是AB和AF的比例中项
知识目标小结
1.定理名称: 2.文字语言: 3.图形语言:
D B
平行线分线段成比例定理和三角形一边平 行线的性质定理
1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 2、平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长 线），所得的对应线段成比例。
做 不 出 伟 牛 大 顿 的 （ 发 现 ） 。
——
Newton
没 有 大 胆 的 猜 想 ， 就
比 例 定 理
课 题 ： 平 行 线 分 线 段 成
平行线分线段成比例定理
学习目标： 1、会识别平行线分线段成比例的变式图形。 2、能写出图中的成比例线段。 3、理解平行线分线段成比例定理的推论。 4、会用推论去计算和证明有关的问题。 5、建立一种解题模型。 6、会用“运动”的观点去研究解决问题。 7、欣赏数学的美学文化——理性美、结构美。
解： ∵l１∥l２∥l３ ∴AB/BC=DE/EF (平行线分线段成比例) ∵AB=4 DE=3 EF=6 ∴4/BC=3/6 ∴BC=8 B C
l D
E F
l1
l2
l3
a
b
A
D E L2
L1
C
F
L3
AB DE BC EF
基本图形：“A”字形
a A B
b L1 （E） L2
D
C
F
L3
AB DE BC EF
如图： l1 // l2 // l3 // l4 // l5 // ， l6 且AP=PB=BQ=QR=RC. (1)你能推出怎样的结论？ 为什么？
由平行线等分线段定理可知. (注意其前提条件是:等距)
一、复习导入
A P B Q R C
D S E T G F
L1 L2 L3
L4 L5
L6
（2）三条距离不相等的平行线截 两条直线会有什么结果?
E D
F
o C
用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角 形,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成 比例. 已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E
A D
AD AE DE 求证： AB AC BC AD AE DE//BC AB AC AE BF EF//AB AC BC
E
B
F
C
DE=BF
AD AE DE AB AC BC
例 2 如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2, BC=9.求BF和CF的长.
分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分别列出比例式求解.
A
解
∵DE//BC
AD AE 4 2 AB AC 6 3
D E
A D F L1 F D A L1 L2
E
L2 （ 一般到特殊 ）
(E)
B
图1
C
怎样变化？
B L3 C L3
图3
平行移动直线FC与直线AB相交,交点D在L2上
教学设计（2）
思考：把图2、图3中的部分线擦去，得
到图4、图5，上述比例式还成立吗？
A D
L1 E
L2 部分线擦去,取一部分 D
A
E （ 字母 C
A E C 图4
F D B
A
图5
C
4.符号语言:
5.模型语言:
若DE∥BC 则：
若AF∥BC 则：
字母
A型
字母
X型
∵DF//AC
AD CF AB CB
2 CF , 即CF 6 3 9
B
F
C
BF 9 - 6 3
例3 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项.
分析: 分别在△ABC及△ADC中利用平行线分 线段成比例定理的推论
证明
A F
D
AB 在ABC 中, DE//BC , AD AD 在ADC中, EF//CD, AF AB AD AD AF
基本图形：“x”字形
教学设计（1）
1.观察图2、图3，说出它们分别是由图1怎样变化得 到的？且写出图2、图3中有关的比例式？
A D F L1
A (F) D
E
L1 L2
E
L2 （ 一般到 特殊 ）
怎样变化？
B
图1
C
L3
B
C
L3
图2
平行移动直线FC与直线AB相交，交点A在L1上。
教学设计（1）续 续观察