线性方程组应用举例
_线性方程组的应用
线性方程组的应用一、网络流模型网络流模型广泛应用于交通、运输、通讯、电力分配、城市规划、任务分派以及计算机辅助设计等众多领域。
当科学家、工程师和经济学家研究某种网络中的流量问题时,线性方程组就自然产生了,例如,城市规划设计人员和交通工程师监控城市道路网格内的交通流量,电气工程师计算电路中流经的电流,经济学家分析产品通过批发商和零售商网络从生产者到消费者的分配等. 大多数网络流模型中的方程组都包含了数百甚至上千未知量和线性方程.一个网络由一个点集以及连接部分或全部点的直线或弧线构成. 网络中的点称作联结点(或节点),网络中的连接线称作分支. 每一分支中的流量方向已经指定,并且流量(或流速)已知或者已标为变量.网络流的基本假设是网络中流入与流出的总量相等,并且每个联结点流入和流出的总量也相等. 例如,下面两图分别说明了的流量从一个或两个分支流入联结点,321,x x x 和分别表示从其它分支流出的流量,54x x 和表示从其它分支流入的流量. 因为流量在每个联结点守恒,所以有1260x x +=和80354+=+x x x . 在类似的网络模式中,每个联结点的流量都可以用一个线性方程来表示. 网络分析要解决的问题就是:在部分信息(如网络的输入量)已知的情况下,确定每一分支中的流量.(a)601x 2x 803x 4x 5x (b)二、人口迁移模型 在生态学、经济学和工程学等许多领域中经常需要对随时间变化的动态系统进行数学建模,此类系统中的某些量常按离散时间间隔来测量,这样就产生了与时间间隔相应的向量序列,,x ,x ,x 210其中k x 表示第k 次测量时系统状态的有关信息,而0x 常被称为初始向量．如果存在矩阵A ,并给定初始向量0x ,使得1021,x Ax x Ax == ，,即 n n Ax x =+1( ,2,1,0=n ) (*) 则称方程(*)为一个线性差分方程或者递归方程．人口迁移模型考虑的问题是人口的迁移或人群的流动．但是这个模型还可以广泛应用于生态学、经济学和工程学的许多领域. 这里我们考察一个简单的模型,即某城市及其周边郊区在若干年内的人口变化的情况．该模型显然可用于研究我国当前农村的城镇化与城市化过程中农村人口与城市人口的变迁问题.设定一个初始的年份,比如说2002年,用00,r s 分别表示这一年城市和农村的人口．设0x为初始人口向量,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000s r x , 对2003年以及后面的年份,我们用向量 312123312,,,r r r x x x s s s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示出每一年城市和农村的人口. 我们的目标是用数学公式表示出这些向量之间的关系．假设每年大约有5％的城市人口迁移到农村(95％仍然留在城市),有12％的郊区人口迁移到城市(88％仍然留在郊区), 如图下图所示,忽略其它因素对人口规模的影响,则一年之后,城市与郊区人口的分布分别为:移居农村留在城市⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛05.095.00r ,留在农村移居城市⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛88.012.00s . 0.050.120.880.95因此,2003年全部人口的分布为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00101188.005.012.095.088.012.005.095.0s r r r s r 即 10x Mx =其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=88.005.012.095.0M 称为迁移矩阵. 如果人口迁移的百分比保持不变,则可以继续得到2004年,2005年,…的人口分布公式: 21x Mx =, ,Mx x 23=一般地,有n n Ax x =+1( ,2,1,0=n )这里,向量序列{}012,,,x x x 描述了城市与郊区人口在若干年内的分布变化.注:如果一个人口迁移模型经验证基本符合实际情况的话,我们就可以利用它进一步预测未来一段时间内人口分布变化的情况,从而为政府决策提供有力的依据．关于这个问题我们放到第四章的第五节来研究.三、电网模型一个简单电网中的电流可以用线性方程组来描述并确定,本段将通过实例展示线性方程组在确定回路电流中的应用. 电压电源(如电池等)迫使电子在电网中流动形成电流．当电流经过电阻(如灯泡或者发动机等)时,一些电压被“消耗”．根据欧姆定律,流经电阻时的“电压降”由下列公式给出:IR U =其中电压U 、电阻R 和电流I 分别以伏特(记作v )、欧姆(记作Ω)和安培为单位．下图中的电网连接了三个闭回路．回路1,2和3中的电流分别用321,I I I 和表示．回路电流的方向是任意的．如果一个电流为负,则表示实际的电流方向与图中闭回路的电流方向相反．如果电流所示的方向由电池正极(长的一端)指向负极(短的一端),则电压为正；否则电压为负.电网模型 40V 10V 60V Ω8Ω2Ω2Ω8Ω2Ω2A BD C Ω2Ω61I 2I 3I根据物理学,回路中的电流服基尔霍夫电压定律,即沿某个方向环绕回路一周的所有电压降IR 的代数和等于沿同一方向环绕该回路一周的电源电压的代数和．注:电网中的回路电流可以用来确定电网中每一分支中的电流．如果只有一个回路电流流经一个分支,如图3-7-3中的AB,则分支电流等于回路电流．如果多于一个回路电流流经一个分支,例如从DA,则分支电流为该分支中回路电流的代数和．如DA 分支中的电流为12312I I -=-=安培,方向与1I 相同,CB 分支中的电流为932=+I I 安培．四、配平化学方程式化学方程式表示化学反应中消耗和产生的物质的量. 下面我们以举例的方式来说明配平化学方程式的基本原理.例题选讲例1(E01) 下图中的网络给出了在下午一两点钟,某市区部分单行道的交通流量(以每刻钟通过的汽车数量来度量).试确定网络的流量模式.303020104050A B C D 3x 4x 5x 1x 2x解 根据网络流模型的基本假设,在节点(交叉口)A,B,C,D 处,我们可以分别得到下列方程:1554432211050:40:30:3020:x x D x x C x x x B x x A +=++=+=++=+此外,该网络的总流入(20+30+50)等于网络的总流出(30+3x +40+10),化简得203=x .把这个方程与整理后的前四个方程联立,得如下方程组:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=--=--=-20404030103515443221x x x x x x x x x x 取5()x c c =为任意常数,则网络的流量模式表示为c x c x x c x c x =+==+=+=54321,40,20,30,40网络分支中的负流量表示与模型中指定的方向相反. 由于街道是单行道,因此变量不能取负值. 这导致变量在取正值时也有一定的局限.例2(E02) 已知某城市2008年的城市人口为500 000 000,农村人口为780 000 000．计算2010年的人口分布．解 因2008年的初始人口为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7800000005000000000x , 故对2009年,有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=71140000056860000035000000085000000088.005.012.095.01x ,对2010年,有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=65446200062553800071140000056860000088.005.012.095.02x . 即2010年中国的人口分布为城市人口为625538000,农村人口为654462000．例3(E03) 确定下图电网中的回路电流． 40V 10V 60V Ω8Ω2Ω2Ω8Ω2Ω2A BD C Ω2Ω61I 2I 3I解 在回路1中,电流1I 流过三个电阻,且电压降IR 为111122688I I I I =++；在回路2中的电流也流经回路1的一部分,即从D 到A 的分支,对应的电压降IR 为26I 伏特．然而,回路1中电流在DA 段的方向与回路2中选定的方向相反,因此,回路1中所有电压降IR 的代数和为21622I I -．由于回路1中的电压为+60伏特,由基尔霍夫电压定律,可得回路1的方程为6062221=-I I ,同理,可得回路2的方程为102126321=-+-I I I ,其中,16I -是回路1中流经DA 分支的电流(因为电流与回路2中的电流方向相反,所以电压为负)；212I 是回路2中所有的电阻乘上回路电流的和；32I -是回路3中流经CB 分支上2欧姆电阻的电流,方向与回路2中该段的电流方向相反．回路3的方程为506232-=+-I I注意,在CB 分支上10伏特的电池被当作是回路2和回路3中的一部分,但是由于回路3中电流方向,电池在回路3中为-10伏特．出于同样的道理,40伏特的电池也应取负值.综合上述讨论,上述电网的回路电流满足下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=-5062102126606223232121I I I I I I I写成矩阵形式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5056062021260622321I I I (*)对增广矩阵进行行变换,得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----8100101030015062052126600622从而解得1I =3安培,2I =1安培,3I =-8安培．3I 取负值说明回路3中的实际电流与图中显示的电流方向相反.在方程组(*)中,如果将其系数矩阵记为R ,右端列向量记为u , =i T )I ,I ,I (321,则可得到以矩阵形式表示的欧姆定律:Ri u =.例4(E04) 燃烧丙烷时丙烷(C 3H 8)和氧气(O 2)结合,生成二氧化碳(CO 2)和水(H 2O),其化学方程式为:138223242()C H ()O ()CO ()H O x x x x +→+ (*)为了配平该方程式,必须找出一列14,,x x ,使得方程式左端的碳原子(C)、氢原子(H)和氧原子(O)的总数与右端对应的原子总数相等(因为化学反应中原有的原子不可能消失,也不可能产生新原子).解 配平化学方程式的一个系统的方法,就是建立能描述反应过程中每种原子数目的向量方程. 方程(*)包含了3种不同的原子(碳、氢、氧),于是在R 3中为(7.1)的每一种反应物和生产物构造如下向量,在其中列出每个分子所包含的不同原子的数目:382223010C H :8,O :0CO 0H O 20221←⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪← ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪←⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭碳，：，：氢氧为了配平方程式(*),系数14,,x x 必须满足1234301080020221x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭经整理得到如下方程组131423430820220x x x x x x x -=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩ 取4x c =(c 为任意常数),得到如下通解.c x ,c x ,c x ,c x ====1121434541 由于化学方程式中的系数必须为整数,取44x =,此时11x =,235 3.x x ==且配平后的方程式为38222C H 5O 3CO 4H O +→+如果将每个系数翻倍,方程式仍然平衡. 不过,在大多数场合下化学家更倾向于使用尽可能小的整数来配平方程式.。
线性方程组若干应用实例举例
200科技资讯 SC I EN C E & TE C HN O LO G Y I NF O R MA T IO N科 技 教 育线性方程组是线性代数中极为重要的一章,也是应用数学中需要研究的一个重要的基本问题。
线性方程组的应用范围十分广泛,涉及许多领域,例如,工程技术中的计算问题,经济管理中的规划问题,交通流量问题等都要用到线性方程组。
但是在线性方程组的实际教学过程中只注重其理论而并不提及其实际应用例子或应用背景,这使学生对所学内容没有具体地,形象地认识,而只停留在抽象的概念,结论的机械记忆上,不能掌握其本质,更说不上将所学的方程组应用到实际问题当中了。
众所周知,当前高等教育的实际及特点是:力图让学生“掌握基本概念,理论,方法和使用技能,强化实际应用”。
因此,在线性代数教学中应加强理论与实际应用的联系,增强学生对所学概念的实际应用的了解,提高他们的知识应用能力。
1 应用实例举例1.1商品利润率问题某商场甲,乙,丙,丁,四种商品四个月的总利润(万元)如表1所示,试求出每种商品的利润率。
要求出每种商品的利润率,不防假设甲,乙,丙,丁,四种商品的利润率分别为1x ,2x ,3x ,4x ,则很容易建立如下关于1x ,2x ,3x ,4x 的一个线性方程组:79.2995589.21086576.2996474.2108644321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x (1)可解得x 1=15%,x 2=12%,x 3=9%,x 4=7%,即甲,乙,丙,丁,四种商品的利润率分别为15%,12%,9%,7%。
1.2插值多项式问题插值法是函数逼近的一种重要方法,是数值计算的基本课题,在实际工程计算中应用广泛。
下面举一个简单的插值多项式问题。
平面上三个点为(1,2)、(2,3)和(3,6),求过这三点的二次多项式函数。
要求出过这三点的二次多项式函数,先假设此二次多项式为:2)(cx bx a x f 则由已知条件易得此二次多项式满足如下线性方程组:6933422c b a c b a c b a (2)解得1,2,3 c b a ,则待求二次插值多项式为:223)(x x x f 。
浅谈线性方程组在生活中的应用
浅谈线性方程组在生活中的应用通过对课本上第二章线性方程组的研究,我认为其在生活中的应用是非常广泛和深入的，经过自己的调查，我决定通过生活中的例子来说明线性方程组的应用及其重要性。
1.配平化学方程式【例】化学方程式表示化学反应中消耗和产生的物质的量.配平化学反应方程式就是必须找出一组数使得方程式左右两端的各类原子的总数对应相等。
一个方法就是建立能够描述反应过程中每种原子数目的向量方程，然后找出该方程组的最简的正整数解。
下面利用此思路来配平如下化学反应方程式其中均取正整数.【解】上述化学反应式中包含5种不同的原子（钾、锰、氧、硫、氢）,于是在中为每一种反应物和生成物构成如下向量:其中，每一个向量的各个分量依次表示反应物和生成物中钾、锰、氧、硫、氢的原子数目.为了配平化学方程式，系数必须满足方程组求解该齐次线性方程组，得到通解由于化学方程式通常取最简的正整数，因此在通解中取即得配平后的化学方程式：。
2.营养食谱问题【例】一个饮食专家计划一份膳食，提供一定量的维生素C、钙和镁。
其中用到3种食物，它们的质量用适当的单位计量。
这些食品提供的营养以及食谱需要的营养如下表给出【解】设分别表示这三种食物的量.对每一种食物考虑一个向量,其分量依次表示每单位食物中营养成分维生素C、钙和镁的含量：食物1：，食物2：，食物3:，需求：；则分别表示三种食物提供的营养成分，所以,需要的向量方程为解此方程组，得到,因此食谱中应该包含个单位的食物1，个单位的食物2，个单位的食物3。
通过生活中的两个小例子，我们可以发现，线性方程组真的很有用,而其在科学研究等很多方面的确有更广泛深入的应用。
希望同学们学好线性方程组，努力将其联系到实际中，真正的做到领会到数学的真谛。
线性方程组的解法与应用
线性方程组的解法与应用在数学中，线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组，它是研究线性代数的基础。
线性方程组的解法和应用非常广泛，可以用于解决实际生活和工作中的各种问题。
本文将介绍线性方程组的解法以及一些应用案例。
一、线性方程组的解法线性方程组的解法主要有三种：图解法、代入法和消元法。
下面将详细介绍这三种方法。
1. 图解法图解法是线性方程组最直观的解法之一。
通过在坐标系中画出方程组表示的直线或者平面，可以确定方程组的解。
举个例子，考虑一个包含两个未知数的线性方程组：方程一：2x + 3y = 7方程二：4x - y = 1我们可以将方程一化简为 y = (7 - 2x) / 3，方程二化简为 y = 4x - 1。
然后在坐标系中画出这两条直线，它们的交点即为方程组的解。
2. 代入法代入法是一种逐步代入的解法。
通过将已知的某个变量表达式代入到另一个方程中，逐步求解未知数的值。
仍以前述的线性方程组为例，我们可以将方程二中的 y 替换为 (7 - 2x) / 3，代入方程一中：2x + 3((7 - 2x) / 3) = 7通过化简方程，我们可以得到 x 的值，然后再将 x 的值代入到方程二中，求出 y 的值。
3. 消元法消元法是一种通过不断消去未知数来求解方程组的解法。
通过变换或者利用消元的规律，将方程组转化为更简单的形式，从而获得解。
考虑一个包含三个未知数的线性方程组为例：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：4x - y + z = 2方程三：x + 2y + z = 3可以使用消元法将这个方程组转化为上三角形式，即方程组的右上方是零。
通过对方程组进行一系列的变换，可以得到转化后的方程组：方程一：2x + 3y - z = 10方程二：-7y + 5z = -18方程三：4y + 5z = -1一旦方程组转化为上三角形式，可以通过回代法依次求解未知数。
二、线性方程组的应用线性方程组的求解方法在现实生活中有着广泛的应用。
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是高中数学中的重要内容，对于解题能力的培养和数学思维的发展有着重要的作用。
本文将介绍线性方程组求解的基本方法，并举例说明其在实际问题中的应用。
线性方程组是由若干个线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数的最高次都是1，即形如ax + by = c的方程。
线性方程组的求解可以通过消元法、代入法和矩阵法等方法来进行。
1. 消元法消元法是求解线性方程组最常用的方法之一。
它的基本思想是通过变换线性方程组的等价方程组，使未知数的系数满足一定的要求，从而简化求解过程。
具体步骤如下：（1）将线性方程组写成增广矩阵形式，即将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵合并成一个增广矩阵。
（2）通过行变换将增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵。
（3）根据行简化阶梯形矩阵求解出未知数的值。
2. 代入法代入法是另一种常用的线性方程组求解方法。
它的基本思想是将一个方程中的一个未知数表示成其他未知数的函数，然后代入到另一个方程中，通过解得的未知数值逐步代入，最终求解出所有未知数的值。
（1）选取一个方程，将其中的一个未知数表示成其他未知数的函数。
（2）将该函数代入到另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。
（3）解得该未知数的值，并代入回第一步中的函数中，求解出其他未知数的值。
3. 矩阵法矩阵法是一种基于线性代数的求解方法，通过将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵相乘，将方程组转化为矩阵的乘法运算。
然后通过矩阵的性质和运算规则，求解出未知数的值。
1. 物理应用线性方程组可以用来描述物理现象中的平衡条件、运动轨迹和力的分解等问题。
用线性方程组来解决力的平衡问题、物体的运动轨迹问题等。
2. 经济应用线性方程组在经济学中有着广泛的应用，可以用来描述生产、消费、利润等经济现象。
用线性方程组来解决生产成本最小化、利润最大化等最优化问题。
3. 工程应用线性方程组在工程学中的应用非常广泛，可以用来解决电路分析、结构力学和流体力学等问题。
线性方程组应用案例
2 1 4 1 0 1
模型求解：上述线性方程组的增广矩阵为 ( A
b)
3
2
7
r
0
1
2
．
1 1 3 0 0 0
1
2
5
0
0
0
可见
x
y
12，，，又因为第一种规格的佐料每袋净重
7
g，第二种规格的佐料每袋净重
6
g，以第三种规格的佐料
能由前两种规格的佐料 7∶12 的比例配制而成．
1.1 配方问题
应用线性代数
每 100 食物所含营养/g 大豆面粉 51 34 7
乳清 13 74 1.1
减肥所需的每日 营养量
33 45 3
模型建立：以 100 g 为一个单位，为了保证减肥所要求的每日营养量，设每日需使用的脱脂牛奶 x1 个单位，大
豆面粉
x2
个单位，乳清
x3
个单位，则由所给条件得
36 52
x1 x1
51x2 34 x2
则
x1 x2
0.6x1
0.4 x2 0.1x2
0.6x3 0.2x3
， ，即
0.6
x1 0.4x2 x1 0.9x2
0.6x3 0.2x3
0， 0 ，，
x3 0.4x1 0.5x2 0.2x3 ， 0.4x1 0.5x2 0.8x3 0 ．
模型求解：在 MATLAB 编辑器窗前输入以下命令：
1.1 配方问题
模型建立：根据已知数据和上述假设，可以进一步假设将 x 袋第一种规格的佐料与 y 袋第二种规格的佐料混合
在一起，得到的混合物中 A，B，C，D 这 4 种原料分别为 4 g，7 g，3 g，5 g，
线性方程组的应用问题
线性方程组的应用问题线性方程组是数学中常见的一种问题求解形式，它可以用来描述多元线性关系。
在实际生活中，线性方程组的应用非常广泛，涉及到经济学、物理学、工程学等多个领域。
本文将通过几个具体的例子来介绍线性方程组在实际问题中的应用。
例一：商品购买问题假设有三种商品A、B、C，其单价分别为x元、y元、z元，小明购买了a个A商品、b个B商品、c个C商品，总共花费了m元。
我们可以建立如下的线性方程组：a * x +b * y +c * z = m在这个方程组中，未知数是a、b、c，代表小明购买的数量；系数x、y、z分别是A、B、C商品的单价；常数m表示小明花费的总金额。
通过求解这个线性方程组，可以得到小明购买的商品数量。
例二：流水线生产问题假设一个工厂有两条流水线，分别生产甲、乙两种产品。
第一条流水线每小时生产a个甲产品，第二条流水线每小时生产b个乙产品。
经过调整，两条流水线工作8小时，共生产了m个甲产品和n个乙产品。
我们可以建立如下的线性方程组：8 * a = m8 * b = n在这个方程组中，未知数是a、b，代表每小时生产的甲、乙产品数量；常数m、n分别代表实际生产出的甲、乙产品总数量。
通过求解这个线性方程组，可以得到每小时生产的甲、乙产品数量。
例三：混合液体问题假设有两种不同浓度的溶液A和B，分别含有a%和b%的溶质。
我们需要根据这两种溶液制备出m升含有c%溶质的混合溶液。
我们可以建立如下的线性方程组：(a * x + b * y) / (x + y) = cx + y = m在这个方程组中，未知数是x、y，代表混合溶液A、B的体积；常数a、b分别代表溶液A、B的浓度；常数c代表所需混合溶液的浓度；常数m代表所需混合溶液的总体积。
通过求解这个线性方程组，可以得到制备所需混合溶液所需的溶液A、B的体积。
总结线性方程组是实际问题求解中常用的数学工具，它能够准确描述多个变量间的线性关系。
通过将实际问题转化为线性方程组，并通过求解线性方程组，我们可以得到实际问题的具体解答。
线性方程组的应用
线性方程组的应用一、引言线性方程组是高等数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
本文将探讨线性方程组的应用，并介绍其中一些常见的应用案例。
二、经济学中的线性方程组应用1. 定价模型在经济学中，定价模型是一种常见的应用线性方程组的方法。
通过分析市场需求、成本和利润等因素，可以建立一个包含多个变量的线性方程组，以决定最优价格。
2. 生产计划线性方程组在生产计划中也有广泛应用。
通过建立产品产量、原材料使用和生产成本之间的关系，可以使用线性方程组来确定最佳的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
三、物理学中的线性方程组应用1. 物体的运动在物理学中，线性方程组可以用于描述物体的运动。
通过考虑物体所受的力和其运动状态之间的关系，可以建立包含时间、加速度、速度和位移等变量的线性方程组，从而预测其运动轨迹。
2. 电路分析电路分析是另一个物理学中常见的线性方程组应用。
通过考虑电流、电压和电阻之间的关系，可以建立描述电路中各个元件的线性方程组，以分析电路的运行状况和性能。
四、工程学中的线性方程组应用1. 结构力学在工程学中，线性方程组在结构力学中的应用尤为重要。
通过考虑结构物体所受的外力和内力之间的平衡关系，可以建立一个包含应力、应变和变形等变量的线性方程组，以确定结构物体的稳定性和安全性。
2. 电力系统分析电力系统分析是工程学中广泛应用线性方程组的领域之一。
通过建立供电网中各个节点之间的电流平衡关系，可以使用线性方程组来分析电力系统的稳定性、电压调节和功率分配等问题。
五、计算机科学中的线性方程组应用1. 图像处理在计算机科学中，线性方程组在图像处理中的应用非常常见。
通过建立图像的颜色和像素之间的关系，可以使用线性方程组来处理图像的变换、增强和恢复等任务。
2. 数据挖掘线性方程组在数据挖掘中也有着广泛的应用。
通过建立数据集中的变量之间的线性关系，可以使用线性方程组来挖掘数据集中隐藏的模式和规律。
六、总结线性方程组作为一个重要的数学工具，在各个领域都有着广泛的应用。
线性代数应用题总结分类及经典例题
线性代数应用题总结分类及经典例题本文旨在总结线性代数中的应用题，并提供一些经典例题。
以下是对应的分类和例题：1. 线性方程组例题1：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + y - z = 5 \\x - 3y + 2z = -4 \\3x + 4y - z = 6 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。
例题2：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + 3y - z = 4 \\x - 2y + 3z = -1 \\3x + 4y - 2z = 7 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。
2. 矩阵与向量例题1：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。
例题2：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}2 & -1 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1 \\2 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。
3. 线性变换例题1：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix}2 \\3 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}5 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。
例题2：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1 \\-2 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}3 \\4 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。
线性方程组的求解与应用
线性方程组的求解与应用线性方程组是数学中最基本的代数方程组之一，它包含了一组线性方程，并且求解这些方程能使所有方程都成立。
线性方程组求解的重要性不言而喻，它在数学、物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍线性方程组的求解方法以及其在实际应用中的具体案例。
一、线性方程组的求解方法：在解线性方程组之前，首先需要了解什么是线性方程组。
线性方程组是形如以下形式的方程组：```a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2...a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m```其中a_ij为方程组的系数，x_i为未知变量，b_i为常数项，m为方程的数量，n为未知变量的数量。
线性方程组的求解方法有多种，常见的有高斯消元法、克拉默法则和矩阵求逆法。
1. 高斯消元法高斯消元法是一种基本的线性方程组求解方法，它的思想是通过行变换将系数矩阵化为上三角形矩阵，然后再通过回代求解未知变量。
具体步骤如下：- 将方程组写成增广矩阵的形式，即将系数矩阵A与常数项向量b合并为[A|b]；- 选取一个主元，通常选择系数矩阵的第一列第一个非零元素作为主元，并通过行交换将主元移到第一行第一列位置；- 通过消元操作，将主元下方的元素置零，使得系数矩阵变换为上三角形矩阵；- 通过回代，求解未知变量的值。
高斯消元法是一种直观易懂且常用的线性方程组求解方法，但它在处理大规模方程组时计算量较大。
2. 克拉默法则克拉默法则是一种基于线性方程组的行列式表示的求解方法。
根据克拉默法则，只需求解方程组的每个未知变量对应的行列式即可。
具体步骤如下：- 计算系数矩阵的行列式，即Δ；- 依次计算将系数矩阵的第i列替换为常数项向量所得的行列式，即Δi；- 未知变量xi的值等于Δi除以Δ。
克拉默法则适用于小规模的线性方程组，但在大规模方程组中计算量较大。
线性方程组的应用
线性方程组的应用举例【例1】（配平化学方程式）[ y]化学方程式表示化学反应中消耗和产生的物质的量。
配平化学反应方程式就是必须找出一组数使得方程式左右两端的各类原子的总数对应相等。
一个系统的方法就是建立能够描述反应过程中每种原子数目的向量方程，然后找出该方程组的最简的正整数解。
下面我们利用此思路来配平如下化学反应方程式14243242524624KMnO MnSO H O MnO K SO H SO ++→++x x x x x x其中,,,x x x 126 均取正整数。
【解】上述化学反应式中包含5种不同的原子（钾、锰、氧、硫、氢），于是在R 5中为每一种反应物和生成物构成如下向量：:,:,:,:,:,:44222424100020110100KMnO 4MnSO 4H O 1MnO 2K SO 4H SO 4010011002002⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中，每一个向量的各个分量依次表示反应物和生成物中钾、锰、氧、硫、氢的原子数目。
为了配平化学方程式，系数,,,x x x 126 必须满足方程组123456100020110100441244010011002002⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦x x x x x x 求解该齐次线性方程组，得到通解,123456232R 512⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x x c x x x c 由于化学方程式通常取最简的正整数，因此在通解中取1=c 即得配平后的化学方程式：442224242KMnO 3MnSO 2H O 5MnO K SO 2H SO ++→++。
线性方程组的应用
线性方程组的应用线性方程组是线性代数的主要研究对象之一，它的理论严谨、发展完善、处理问题方法独特，可应用于解决各个领域的实际问题。
在代数理论中，借助于方程组可以判断向量组的线性相关，可以求矩阵的特征向量等；在几何、物理、化学、经济、生物、食品等许多方面，方程组也有着广泛的应用。
应用一．线性方程组在空间解析几何中的应用1.1．线性方程组表示平面，判断平面的位置关系在空间解析几何中，任一平面可以用三元一次方程01111=+++D z C y B x A 表示，下面用方程组解的判定来判别两个平面的位置关系。
设两个平面Ⅱ1：01111=+++D z C y B x AⅡ2：02222=+++D z C y B x A则Ⅱ1，Ⅱ2间的相互关系有下面三种情形：(1)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22221111222111D C B A D C B A R C B A C B A R ，即方程组 1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ 的系数矩阵的秩不等于其增广矩阵的秩，方程组无解，故Ⅱ1，Ⅱ2没有公共点，Ⅱ1，Ⅱ2平行且不重合。
(2)当122221*********=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A D C B A R C B A C B A R 时，方程组 1111222200A x B y C z D A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩有无穷解，且Ⅱ1，Ⅱ2重合。
(3)当222221*********=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A D C B A R C B A C B A R 时，方程组 1111222200A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩ 有无穷多解，但Ⅱ1，Ⅱ2不重合，相交于一条直线。
例.1 判断平面Ⅱ1：082=+-+z y xⅡ2: 072=-++z y x的位置关系。
线性方程组的解法及应用案例
线性方程组的解法及应用案例一、引言线性方程组是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域。
解决线性方程组的方法有很多种，本文将介绍常见的解法，并结合实际案例进行应用分析。
二、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常见方法。
它通过将方程组转化为阶梯形式，从而简化计算过程。
下面通过一个例子来说明高斯消元法的具体步骤。
假设有如下线性方程组：```2x + 3y - z = 13x - 2y + 2z = 3x + y - z = 0```首先，我们将方程组写成增广矩阵的形式：```[2 3 -1 | 1][3 -2 2 | 3][1 1 -1 | 0]```接下来，我们通过行变换的方式将矩阵转化为阶梯形式。
具体步骤如下：1. 将第二行乘以2，然后与第一行相减，消去x的系数：```[2 3 -1 | 1][0 -8 4 | 1][1 1 -1 | 0]```2. 将第三行乘以0.5，然后与第一行相减，消去x的系数：```[2 3 -1 | 1][0 -8 4 | 1][0 -1 0 | -0.5]```3. 将第三行乘以-8，然后与第二行相加，消去y的系数：```[2 3 -1 | 1][0 0 8 | -3][0 -1 0 | -0.5]```4. 将第三行乘以3，然后与第二行相加，消去y的系数：```[2 3 -1 | 1][0 0 8 | -3][0 0 0 | -2]```现在，我们得到了一个阶梯形的矩阵。
接下来，我们可以通过回代的方式求解方程组的解。
从最后一行开始，我们可以得到z的值为1。
然后，将z的值代入第二行的方程中，可以得到y的值为-0.5。
最后，将z和y的值代入第一行的方程中，可以得到x的值为0.5。
综上所述，线性方程组的解为x=0.5，y=-0.5，z=1。
三、矩阵求逆法除了高斯消元法，矩阵求逆法也是求解线性方程组的一种常见方法。
它通过求解方程组的逆矩阵，从而得到方程组的解。
下面通过一个例子来说明矩阵求逆法的具体步骤。
线性方程组解决多个未知数的问题
线性方程组解决多个未知数的问题在数学中，线性方程组是由若干个线性方程组成的一组方程。
线性方程组的解决可以帮助我们求解多个未知数的问题，例如在多元线性回归分析中，线性方程组的解决可以用来拟合数据并进行预测。
一、线性方程组的定义和一般形式线性方程组是由形如：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ这样的方程组组成。
其中，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ称为系数，b₁, b₂, ..., bₙ称为常数项，x₁, x₂, ..., xₙ称为未知数。
这种方程组的一般形式可以用矩阵表示为AX = B，其中 A 是一个 m×n 的矩阵，X 和 B 分别是 n×1 的未知数向量和 m×1 的常数向量。
二、线性方程组的求解方法求解线性方程组可以通过多种方法，其中常用的方法有以下几种：1. 列主元高斯消元法列主元高斯消元法是一种常用的线性方程组求解方法。
该方法的基本思想是通过利用矩阵中每一列的主元素将线性方程组转化为上三角矩阵，然后通过回代求解得到线性方程组的解。
2. Cramer法则Cramer法则是一种基于行列式的线性方程组求解方法。
该方法的思想是通过求解系数矩阵的行列式和未知数的代数余子式，得到线性方程组的解。
3. 矩阵求逆法矩阵求逆法是一种利用矩阵求逆的方式求解线性方程组的方法。
该方法的关键是将线性方程组转化为 AX = I 的形式，其中 I 是单位矩阵，然后通过求解矩阵 A 的逆矩阵得到线性方程组的解。
三、线性方程组的应用举例线性方程组广泛应用于各个领域，特别是在科学和工程中。
下面以两个实际问题为例，说明线性方程组的应用。
1. 生产计划问题假设一个工厂有三个工人，他们分别以不同的速度制造产品 A 和产品 B。
已知制造一个 A 需要工人 1 花费 2 个小时，工人 2 花费 3 个小时，工人 3 花费 4 个小时；制造一个 B 需要工人 1 花费 3 个小时，工人 2 花费 2 个小时，工人 3 花费 5 个小时。
10线性方程组应用举例.doc
高等代数知识拓展内容之十线性方程组应用举例线性方程组理论有非常广泛的应用. 下面列举几个简单的例子.例1(计算机层析X 射线照相术) 计算机层析扫描仪根据仅从病人头的外部测得的X 射线，来计算病人大脑的图像. 考虑如图所示的简单情形：这里三个小圆圈表示三个小器官，它们的质量是未知的，分别表示为x 1, x 2, x 3,而直线则表示X 射线，这些小器官的位置尚属未知，这就使得每条射线不能仅对准一个器官. 如图所示，沿L 12通过的X 射线经过1,2两个器官，它们的质量分别为x 1和x 2. 这两个器官要吸收一定强度的X 射线. 通过测量吸收的强度，我们能求出射线通过的总量，从而能计算出被吸收的X 射线总量. 这些吸收量是由1, 2两个器官的质量x 1, x 2产生的. 所以x 1+x 2是一个已知量，设其为b 12. 因此就有x 1+x 2=b 12. 上述道理同样适用于其它直线. 于是我们可得到下列3个未知量3个方程的线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.313123321221b x x b x x b x x 该方程组的增广矩阵为A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛312312*********b b b .因为0101110011≠ 所以系数矩阵A 和增广矩阵A 的秩都是3，由定理6.1.2即知上述方程组有解，x 3x 2x 1L 23 L 12 L 31且有唯一解. 通过求解线性方程组，可以求出三个器官的质量x 1, x 2, x 3.上述讨论只是为了说明思路而将问题大大地简化了. 在实际中为了医学诊断的需要，计算机层析不仅要在三个位置，而且要在每一个器官上的几千个点处计算组织的密度，而每条X 射线要穿过许多这样的点. 因此我们可以得到含几千个未知数几千个方程的线性方程组，其未知量x 1, x 2, x 3，…表示第一，第二，第三，…个点具有的密度，计算机通过求解这种线性方程组而求出每一个器官上各个点处的组织密度，再通过图形显示或照相技术，而得到可供医学诊断使用的图像.例2（电视机品牌问题） 一项投资分析试图找出一家无商标电视机厂商的经营额. 已知这家公司制造三品种牌的电视机：品牌A ,B ,C . 分析学家还知道该公司向供应商订了450000块1型电路板，300000块2型电路板及350000块3型电路板. 品牌A 用2块1型电路板，1块2型电路板及2块3型电路板；品牌B 用3块1型电路板，2块2型电路板及1块3型电路板；品牌C 用每种类型电路板各一块，分析学家只要计算出该公司制造的各种品牌的电视机的台数，就可知道该公司的营业额. 假设该公司制造的三种品牌的电视机分别为x 1台，x 2台，x 3台.则可列出如下的线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧++++++3500002300000245000032321321321＝＝＝x x x x x x x x x . 其增广矩阵为A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛350000112300000121450000132. 容易计算出系数矩阵A 和增广矩阵A 有相等的秩了，所以方程组有唯一的解. 按上节的方法求解此方程组，即能得出该公司制造的三种品牌的电视机的台数.例3 （游船问题） 某公园在湖的周围设有甲、乙、丙三个游船出租点，游客可以在任何一处租船，也可以在任何一处还船.工作人员估计租船和还船的情况如下表示：即从甲处租的船只中有80%的在甲处还船，有20%的在乙处还船，等等. 为了游客的安全，公园同时要建立一个游船检修站. 现在的问题是游船检修站建立在哪个点为最好？显然游船检修站应建在拥有船只最多的那个出租点. 但是，由于租船和还船的随机性，今天拥有船只最多的出租点不一定以后经常拥有最多的船只. 因此我们希望知道经过长时间的经营以后拥有船只最多的那个出租点. 我们假定公园的船只基本上每天都被人租用. 设经过长时间的经营后，甲、乙、丙处分别拥有x 1, x 2, x 3只船，则x 1, x 2, x 3应该满足以下的要求：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++33223113216.08.02.02.02.02.08.0x x x x x x x x x x 整理可得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=++-04.08.002.02.002.02.02.032321321x x x x x x x x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=++-0205032321321x x x x x x x x A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=012001510111.显然增广矩阵与系数矩阵有相同的秩2，所以上述方程组有无穷多个解.求解即得x 1 =k 23 x 2 = k 21x 3 = k .其中k 为任意常数. 若令k 为该公园所拥有游船总数s 的31，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===.316121321s x s x s x 这表明经过长时期的经营以后，甲、乙、丙三个出租点分别拥有游船总数的21,61,31. 由此不难看出，游船检修站应设在拥有船只最多的甲处为最佳方案. 对于上述问题，有一套成熟的方法可对其进行处理，这套方法叫做马尔可夫方法.例4（汽车位置问题） 一个货运卡车公司假如能迅速地改变汽车的行车路线，来适应新的搭载、货运及其它计划的变化，就能扩大业务，增加收入. 位于美国印第安纳州的Day and Night 运输公司找到了一种为卡车配备接收全球定位系统GPS 信息的解决办法. 这个系统由24颗高轨道卫星组成. 卡车从其中的3颗卫星接收信号，接收器里的软件利用线性代数方法来确定卡车的位置，确定的位置误差，只在几英尺范围之内，并能自动传递到调度办公室.当卡车和一颗卫星联系时，接收器从信号往返的时间能确定从卡车到卫星的距离，例如为14000英里，从卫星来看，可以知道卡车位于以卫星为球心，以14000英里为半径的球的表面上某个地方.如果这辆卡车距离第二颗卫星17000英里则它处于以第二颗卫星为球心，以17000英里为半径的球的表面上. 如果这辆卡车距离第三颗卫星16000英里，则它处在以第三颗卫星为球心，16000英里为半径的球的表面上.建立适当的空间直角坐标系. 设卡车位于(x , y , z )，三颗卫星分别位于(a 1,b 1,c 1)，(a 2,b 2,c 2)，(a 3,b 3,c 3)，则从卡车到这三个卫星的距离r 1, r 2, r 3分别满足(x －a 1)2 + (y －b 1)2 + (z －c 1)2＝r 12， (x －a 2)2 + (y －b 2)2 + (z －c 2)2＝r 22， (x －a 3)2 + (y －b 3)2 + (z －c 3)2＝r 32.从第一式减去第二式，可得(2a 2－2a 1) x + (2b 2－2b 1) y + (2c 2－2c 1) z ＝d ,其中d ＝r 12－r 22+a 22－a 12+b 22－b 12+c 22－c 12是可以知道的. 同样从第一式减去第三式，可得(2a 3－2a 1) x + (2b 3－2b 1) y + (2c 3－2c 1) z ＝e ,其中e ＝r 12－r 32+a 32－a 12+b 32－b 12+c 32－c 12. 考虑线性方程组()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+-=-+-+-22131313121212e z c c y b b x a a d z c c y b b x a a它的系数矩阵为A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------131313121212c c b b a a c c b b a a .可以使得三个卫星不在同一条直线上，所以A 的两个行向量不能对应成比例. 因此A 的秩为2. 显然增广矩阵A 的秩也应该是2，所以方程组有无穷多解. 不妨设z 是自由未知量. 则可把x , y 用z 表示出来，把这些表达式代入原来的任意一个距离方程中，就可得到关于z 的二次方程，求出z 的值并代入x , y 的表达式. z 的每个值给出一个点，其中一个点是卡车的位置，另一个点则是远离地球的点.。
线性方程组应用实例
1.1 交通流量
图 4-1 是某城市的公路交通网络图，交叉路口由两条单向车道组成．图中给出了交通高 峰时段每小时进入和离开路口的车辆数，试计算两个交叉路口间车辆的数量．
1.1 交通流量
解：在每一路口，进入车辆与离开车辆肯定相等，所以得到非齐次线性方程组：
x1 450 x2 610 ， x1 x2
0 0
1 0
0 1
1 1
170
210
1 0 0 1 330 0 0 0 0 0
得同解方程组
x1 x2
x4 x4
330 170
， ，
x3 x4 210 ．
若知道某一路口的车辆数量，则其他路口的车辆数量即可求得．
1.2 化学方程式
在光合作用下，植物利用太阳提供的辐射能，将二氧化碳和水转化为葡萄糖和氧气，该 化学反应的方程式为
160 ，
x2 x3
520 390
x3 x4
480 600
， ，即
x2 x3 40 ， x3 x4 210 ，
x4 640 x1 310 ， x1
x4 330 ，
则有
1 1 0 0 160 1 0 0 1 330
A
0 0
1 1 0 0 1 1
40 210
0， 0，
2x2
12x4 ， 2x2
12x4 0 ，
得到 x1 x2 x3 6x4 ．若令 x4 1 ，则 x1 x2 x3 6 ，化学方程式的形式为 6CO2 6H2O 6O2 C6H12O6 ．
注：在实际问题中，要考虑各变量的实际意义．例如，化学方程式中的各变量应为非负
整数．
线性代数
x1CO2 x2H2O x3O2 x4C6H12O6 ． 为了平衡该方程式，需适当选择 x1 ，x2 ，x3 ，x4 ，使得方程式两边的碳、氢、氧原子数量 分别相等．
线性方程组的应用
线性方程组的应用例1 已知三次曲线230123y a a x a x a x =+++过4个点1234(,),(1,2,3,4,,,,)i i i P x y i x x x x =其中互异,试求方程的系数0123,,,.a a a a解 将四个点的坐标分别代入三次曲线的方程，得到非齐次线性方程组3,01,2,3,4.jj ii j a xy i ===∑这个关于0123,,,.a a a a 的方程组的系数行列式D 是Vandermonde 行列式，即231112322223143332344411()0.11j i i j x x x x x x D x x x x x x x x ≤<≤==-≠∏ 根据Cramer 法则，它有唯一解1,(0,1,2,3)j j D a j D+==，其中1j D +是以1234,,,y y y y 替代D 中第j 列元素所得的行列式.例2 （Fibonacci 数列）数列F 1, F 2 , …, F n ,… 满足条件F 1= F 2=1; F n =F n-1+F n-2 （对所有的正整数n ≥3）求这个数列的通项公式.（这个数列称为Fibonacci 数列.） 解 对任一固定正整数n ≥3，将任一n 项数列α= (a 1,a 2, …,a n )看作复数域C 上n 维数组空间C n 上的向量. 记V 为C n 中满足递推关系 a i= a i-1+ a i-2 (∀3≤i ≤n ) 的向量(a 1,a 2, …,a n )的全体所组成的子集，则Fibonacci 数列的前n 项组成的向量φ=(F 1, F 2 , …, F n )含于V.易验证V 对向量的加法以及向量与复数的乘法两种运算封闭，是C n 的子空间. 并且, V 中每个α= (a 1,a 2, …,a n )由前两项a 1, a 2决定,可以记为α=f (a 1,a 2). 特别Fibonacci 数列φ=f (1,1).映射f ：C 2→V ，(a 1,a 2) f (a 1,a 2)是复线性空间之间的同构映射. 由dim C 2=2知道dim V =2.只要找到C 2的任意一组基{X 1,X 2},则{f(X 1),f(X 2)}是V 的一组基.考虑V 中包含哪些首项为1的n 项等比数列β=（1,q,q 2,…,q n-1）. β∈V 的充分必要条件是a i= a i-1+ a i-2 即q i-1= q i-2 +q i-3, ∀3≤i ≤n也就是q 2= q +1，即q 2-q-1=0，解之得q=251±.记q 1=251-, q 2=251+,则f (1, q 1)，f (1, q 2)是V 中所有的两个等比数列.由于q 1≠q 2，(1, q 1)， (1, q 2)组成C 2的一组基，f (1, q 1)，f (1, q 2) 组成V 的一组基. 我们来求Fibonacci 数列φ= f (1, 1)在这组基下的坐标（x , y ），即求x , y 使 f (1, 1)= xf (1, q 1)+yf (1, q 2)=f ( x+y , q 1x +q 2y ),即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1121y x y x q q ，解之得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=--=q q q q q q y x 12112211从而qq q qqq qqFn n n n ny x 121122111211)1()1(--+-=+=----由于121=+q q ，q q 121-=-，q q 211=-，又512=-q q . 因此5)251()251(1212-+-=--=nn n n nq q q q F . 一般地，对任意复数b ，c ，满足条件a n =ba n-1 + ca n-2 (n ≥3)的数列{a n }组成复数域C 上的线性空间V . V 中每个{a n }由前两项a 1 ，a 2决定，可以记为f (a 1 , a 2). f ：C 2→V 是复数域C 上线性空间的同构映射，因此dim V =dim C 2=2.公比为q 的等比数列含于02=--⇔c bq V q .如果方程02=--c bq q 有两个不相等的复数根q 1，q 2，则f (1, q 1)，f (1, q 2)组成V 的一组基.可以采用此例题的方法，通过解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+a q q a y x y x 2211求出f(a 1 , a 2)在基{ f (1, q 1)，f (1, q 2)}下的坐标(x , y)，从而求得{a n }= f(a 1 , a 2)的通项公式qqa n n n y x 1211--+=例3 设实数a ，b ，c 不全为0，α，β，γ为任意实数，且⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=αβγαβγcos cos cos cos cos cos b a c a c b c b a 求证：1cos cos cos 2cos cos cos 222=+++γβαγβα 证明 已知⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++-0cos cos 0cos cos 0cos cos c b a c b a c b a αβαγβγ 将上式看成以（a ，b ，c ）为未知数的齐次线性方程组. 此方程组有非零解. 因此系数行列式为0，即01cos cos cos 1cos cos cos 1=---αβαγβγ 将上边的行列式展开并整理，即得1cos cos cos 2cos cos cos 222=+++γβαγβα例4 （物资调运问题） 有三个生产同一产品的工厂，2A 和3A ，其年产量分别为40（吨），20（吨），10（吨），该产品每年有两个用户1B 和2B ，其用量分别为45（吨），25（吨），由各产地i A 到各用户j B 的距离ij C （公里）如下表所示（2,1,3,2,1==j i ）.各厂的产品如何那么，容易看出，三个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等，所以对产地来说产品应全部调出，因之有,4041=+x x )1( ,2052=+x x )2( .1063=+x x )3(同时对用户来说调来的产品刚好是所需要的，因之又有,45321=++x x x )4( .25654=++x x x )5(从)1(到)5(就是,1x …，6x 应满足的一些条件.我们再来看如何刻画运费,我们知道,在道路情况相同的情况下运费与距离成正比,因此把1x (吨)的货物由1A 运到1B 的运费为451x 的倍数,而把1x (吨)的货物由1A 运到1B 的运费为584x 的同一倍数,因此,它们的和s=451x +582x +923x +584x +725x +366x (6)就可以用来刻画运费.。
线性方程组课堂教学的应用案例
线性方程组课堂教学的应用案例
高中线性方程组在教学上有着重要的地位，线性方程组可以用来解
决许多实际问题，也是深入探索数学的理论基础。
下面将介绍利用线
性方程组来教学的一些案例。
1. 拓扑图中的线性方程组应用: 拓扑图是描述网络的图形建模，经常用
于描述物理系统。
比如将在一个特定的拓扑图中，利用线性方程组，
可以解决电路内每条线路的电压、电流等信息。
教师可以以此为例让
学生具体计算，加深学生对线性方程组的理解。
2.木桶问题的求解: 木桶问题是非常常见的数学问题，它可以用线性方
程组来求解。
通常，木桶问题要求每个木桶排出的水量加起来等于原
来的体积，同时两个木桶的排出水量也不能相等。
教师可以制作木桶图，让学生用线性方程组分析，求出解决这个问题的方法。
3. 投资收益问题的求解: 投资收益是一个经常使用线性方程组来求解的
问题。
假设有一家公司有三台机器，要求在一定的期限内获得指定的
收入目标。
它可以用用线性方程组求解如何平均分配投资，同时留下
足够的缓冲，以达到指定的收益。
教师可以利用此例给学生具体介绍，让学生理解线性方程组的应用。
线性方程组及其解法
线性方程组及其解法线性方程组是数学中重要的概念之一，它描述了一组线性方程的集合。
解决线性方程组可以帮助我们理解和解决实际问题，例如工程、经济和科学等领域的应用。
本文将介绍线性方程组的概念、解法以及实际应用。
一、线性方程组的概念线性方程组由多个线性方程组成，每个方程都是变量的线性组合。
一般形式为：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b其中，a₁, a₂, ..., aₙ为系数，x₁, x₂, ..., xₙ为变量，b为常数。
变量的个数称为方程组的未知数个数。
二、线性方程组的解法解决一个线性方程组的关键是找到所有使得方程组中的每个方程都成立的变量值。
以下介绍几种常见的线性方程组解法。
1. 直接代入法直接代入法是最基本的线性方程组解法。
它的步骤是：先从一个方程中选择一个变量，解出该变量的值，然后将这个值代入其他方程，减少未知数的个数。
重复这一过程，直到得到所有变量的值。
2. 消元法消元法是线性方程组解法中常用的一种方法。
它利用方程之间的关系，通过加减乘除等运算，将线性方程组化简为更简单的形式，从而求解变量的值。
消元法的关键是使用行变换和列变换来改变方程组的形式，使其更易于求解。
3. 矩阵法矩阵法是一种基于矩阵运算的线性方程组解法。
将线性方程组的系数和常数用矩阵表示，通过矩阵的运算来求解变量的值。
常用的矩阵运算包括矩阵的加法、减法、乘法、转置、逆矩阵等，在求解过程中可以利用这些运算来简化计算。
三、线性方程组的实际应用线性方程组在实际生活中有广泛的应用。
以下是几个具体的例子：1. 物理学中的应用线性方程组在物理学中的应用非常广泛。
例如，力学中的牛顿第二定律、电路分析中的欧姆定律、热传导方程等都可以表示为线性方程组。
通过解决这些方程组，我们可以研究物体的运动、电流的分布以及温度的变化等现象。
2. 经济学中的应用经济学中的供求模型、成本模型和收入模型等经常涉及到线性方程组。
通过解决这些方程组，我们可以研究市场的均衡价格和数量、企业的利润最大化策略以及收入分配等经济问题。
线性代数应用案例
行列式的应用案例1 大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需要注意日常饮食中的营养。
大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，下表给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需营养（它们的质量以适当的单位计量）。
试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。
解：设123,,x x x 分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可以列出下列方程组12323123365113337 1.1352347445x x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩ 利用matlab 可以求得 x =0.27722318361443 0.39192086163701 0.23323088049177案例2 一个土建师、一个电气师、一个机械师组成一个技术服务社。
假设在一段时间，每个人收入1元人民币需要支付给其他两人的服务费用以及每个人的实际收入如下表所示，问这段时间，每人的总收入是多少？（总收入=实际收入+支付服务费）解：设土建师、电气师、机械师的总收入分别是123,,x x x 元，根据题意，建立方程组1232133120.20.35000.10.47000.30.4600x x x x x x x x x --=⎧⎪--=⎨⎪--=⎩ 利用matlab 可以求得 x =1.0e+003 *1.25648414985591 1.44812680115274 1.55619596541787案例3医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜、鱼和肉松组成，这份菜肴需含1200cal 热量，30g 蛋白质和300mg 维生素c ，已知三种食物每100g 中的有关营养的含量如下表，试求所配菜肴中每种食物的数量。
解：设所配菜肴中蔬菜、鱼和肉松的数量分别为123,,x x x 百克，根据题意，建立方程组12312312360300600120039630906030300x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩利用matlab 可以求得 x =1.521739130434782.39130434782609 0.65217391304348矩阵的应用案例1 矩阵概念的引入 （1）线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数(,1,2,,),(1,2,,)i j j a i j n b j n ==按原来的位置构成一数表11121121222212n n n n nnn a a a b aa ab a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦该数表决定着上述方程组是否有解，以及如果有解，解是什么等问题，因而研究这个数表就很重要。