10.连续函数的多项式一致逼近
一次一致逼近多项式
一次一致逼近多项式一次一致逼近多项式是数学中的一个重要概念，它是一种通过多项式来逼近一个给定函数的方法。
在数学分析中，多项式通常被用来近似表示复杂的函数，而一次一致逼近多项式是多项式中次数最低的一种，它的优点在于计算简单，并且在某些情况下能够提供较好的逼近效果。
一次一致逼近多项式的定义是：对于给定的函数f(x)，如果存在一个一次多项式P(x) = a0 + a1x，使得对于任意的x，都有|f(x) - P(x)| ≤ M，其中M是一个常数，则我们称P(x)是f(x)的一次一致逼近多项式。
要找到一个一次一致逼近多项式，首先我们需要确定多项式的系数a0和a1。
一种常用的方法是最小二乘法，它的基本思想是使得残差平方和最小化。
具体地，给定一组离散的数据点(xi, yi)，我们可以定义残差函数R(a0, a1) = ∑[f(xi) - P(xi)]^2，然后通过求导来求解最小化残差的系数。
那么，如何确定系数a0和a1呢？我们可以先根据最小二乘法来建立残差函数R(a0, a1)。
假设我们有n个数据点(xi, yi)，则残差函数可以表示为：R(a0, a1) = ∑[f(xi) - (a0 + a1xi)]^2为了最小化残差函数，我们对a0和a1分别求偏导数，并令偏导数等于零，得到以下两个方程：∂R/∂a0 = ∑[f(xi) - (a0 + a1xi)] = 0∂R/∂a1 = ∑[f(xi) - (a0 + a1xi)]xi = 0通过解这两个方程组，我们可以得到a0和a1的值。
具体的求解方法可以是通过代数运算或者数值优化算法，例如最速下降法或牛顿法。
一旦我们确定了一次一致逼近多项式的系数，我们就可以使用这个多项式来逼近给定的函数f(x)。
由于一次多项式具有较简单的形式，计算也较为简单，因此在一些实际应用中具有一定的优势。
但需要注意的是，一次一致逼近多项式的逼近效果可能有限，在一些复杂的函数上可能无法达到较高的精确度。
《数值分析》连续函数的最佳一致逼近
max
1 x1
(
x
x0
)(
x
x1
)(
x
xn
)
数值分析
数值分析
在[1,1]如何选取节点xk k 0,1,2, n使得
max ( x
1 x1
x0 )( x
x1 )( x
xn
)
尽可能的小
由Chebyshev 多项式的性质：首1的Chebyshev
多项式T n ( x)是所有首1的n次多项式中对零的偏差 最小。
数值分析
数值分析
P1(x)=a0+a1x
f(x)
a x1
b
综合以上，可解出
f (a) (a0 a1a) f (b) (a0 a1b)
f '( x1 ) a1
f (a) (a0 a1a) ( f ( x1 ) (a0 a1 x1 ))
a1
a0
f (b) f (a) , ba
数值分析
习题
1.用插值极小化方法，求f ( x) sin x在[0,1]上的 二次插值多项式P2( x)，并估计误差。
数值分析
Rn ( x)
f
( x)
Ln ( x)
M n1 (n 1)!
2n
数值分析
数值分析
当插值区间是任意有限区间[a, b]时，需要作 变量代换
x b a b a t,t 1 (2x a b)
22
ba
将区间[1,1]上T n1(t )的零点换成[a, b]上
的插值节点
xk
ba 2
ba 2
又由于在[a，b]上f ''( x)不变号，故f '( x)在[a，b]上单调。
多元连续函数的多项式逼近
多元连续函数的多项式逼近
多项式逼近是一种基于最小二乘拟合的数值分析算法，可用来进行多元连续函
数的拟合和估计。
它能够有效地分析大量样本数据，从而获得函数模型，并得到函数形式表示中的各项系数。
因此，多项式逼近可用于统计分析、曲线拟合，以及机器学习的多元函数建模等场景中。
传统上，多项式逼近主要分为一阶和二阶多项式逼近。
一阶多项式逼近是指将
多元函数逼近为一次函数的过程，其中多元函数只有一阶项，而不包括二阶及以上的项。
而二阶多项式逼近则是将多元函数逼近为二次函数的过程，其中多元函数除一阶项外，还包括二阶以及以上项。
在数据挖掘领域，多项式逼近在多元函数建模中被普遍应用，尤其是用于拟合
具有非线性特性的数据。
这种算法能够从数据中捕捉局部变化，并有效地拟合复杂的数据关系，以获得更加准确的数学模型。
同时，多项式逼近也有利于提升模型的准确性和可靠性，有助于进一步提高模型的预测效率。
此外，多项式逼近还可以用于解决多元非线性函数优化问题，即通过多项式逼
近来求函数的最优解。
通过该方法，可以将极端复杂的函数拆分为相对简单的模型，从而减少优化过程当中的计算复杂性。
总的来说，多项式逼近是一种非常重要的数值分析算法，可用于多元连续函数
的拟合和估计，在数据挖掘领域有着广泛的应用。
未来，随着数据挖掘技术的不断发展，多项式逼近在优化问题中的应用也将受到更多关注，并有望带来更多的发现。
数值分析(22)连续函数的最佳一致逼近.ppt
故
e1 e0
b
e 1 1.7183
10
由 f '( x1 ) e x1 e 1
求出 x1 ln(e 1) 0.5413
e0 e0.5413
0.5413
a
1.7183
0.[0，1]上的最佳一致逼近多项式为
P( x) 0.8940 1.7183 x
22
定理2（Chebyshev定理） 设f ( x) C[a, b], Pn ( x) H，则Pn( x)是f ( x)的
最佳一致逼近的充分必要条件是f ( x) Pn ( x)在[a, b] 上至少有n 2交错点组成的交错点组。
对n 1, f ( x) P1( x)有n 2 3个交错点。
a0
f (a) f ( x1 ) 2
f
(b)
f (a)
a
x1
ba
2
这样就得到f ( x)的线性最佳一致逼近多项式为
P1( x) a0 a1 x
数值分析
数值分析
例：选取常数a, b，使max | ex (a bx) | 达到最小。 0 x1
解：设P( x) a bx为f ( x) e x在[0，1]上的最佳一致 逼近多项式。
数值分析
数值分析
定义 设函数f ( x) C[a, b], 称点集
{ xk }kn0 { x0, x1, xn } 是f ( x)在[a, b]的交错点组，当且仅当满足
f ( xk ) (1)k
f (x)
(k 0,1, 2
, n)
其中 取1或 1。
例 f ( x) sin x 在[0, 2]的交错点组{1 , 3}。
x[ 1,1]
T n( x)
用多项式逼近连续函数
教案用多项式逼近连续函数教学内容介绍前苏联数学家Korovkin关于用多项式逼近连续函数的定理（Weierstrass第一逼近定理）的一种证明。
指导思想用多项式逼近连续函数，是经典分析学中重要的结果，以往教材中介绍的证明都比较艰深，学生难以理解。
我们发现了前苏联数学家Korovkin的一种证明，思想新颖，方法简单，且通过对多项式逼近连续函数的学习，可以使学生进一步理解一致收敛的概念。
教学安排先给出多项式一致逼近连续函数的定义：定义10.5.1设函数f (x)在闭区间[a, b] 上有定义，如果存在多项式序列｛P n (x)｝在[a, b] 上一致收敛于f (x)，则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致逼近。
应用分析语言，“f (x)在[a, b] 上可以用多项式一致逼近”可等价表述为：对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使得｜P(x) - f (x)｜＜ε对一切x∈[a, b] 成立。
这一定理的证法很多，我们则介绍前苏联数学家Korovkin在1953年给出的证明。
定理10.5.1(Weierstrass第一逼近定理) 设f (x)是闭区间[a, b] 上的连续函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使｜P(x) - f (x)｜＜ε对一切x∈[a, b] 成立。
证不失一般性，我们设[a, b] 为[0, 1] 。
设X是[0, 1] 上连续函数全体构成的集合，Y是多项式全体构成的集合，现定义映射B n : X →Yf (t) B n (f , x) = ∑=--n kknkknxxnkf)1(C)(，这里B n (f , x) 表示f ∈X在映射B n 作用下的像，它是以x为变量的n次多项式，称为Bernstein多项式。
关于映射B n，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式：(1) B n是线性映射，即对于任意f , g ∈X及α,β∈R，成立B n (αf +βg, x) = αB n (f , x) +βB n (g, x)；(2) B n 具有单调性，即对于任意f , g ∈X，若f (t)≥g(t) （t∈[a, b]）成立，则B n (f , x ) ≥ B n (g , x )对一切x ∈[a , b ]成立；(3) B n (1, x ) = ∑=--n k k n k k nx x 0)1(C = [x + (1- x )] n = 1； B n (t , x ) = ∑=--n k k n k k n x x n k 0)1(C = x ∑=-----n k k n k k n x x1111)1(C = x [x + (1- x )] n -1 = x ；B n (t 2, x ) = ∑=--n k k n k k n x x nk 022)1(C = ∑=----n k k n k k n x x n k 111)1(C = ∑=-----n k k n k k n x x n k 211)1(C 1 + ∑=----n k k n k kn x x n 111)1(C 1 = ∑=------n k k n k k n x x x n n 22222)1(C 1 + ∑=-----n k k n k k n x x n x 1111)1(C = 21x n n - +n x = 2x +nx x 2-。
多项式序列一致逼近连续函数的两个结论
ｏｌ ｉｔｅｆｎｔｎｉｕｉｒ ｃｎｉｕｕ ；２ Ｔ ｅｌ ｉｏ ｒｅ ｆ ｏ ｎｍｉ ｑｅｃ ｏｉｖ － ｎ ｃｏ ｎｆｍ ｏｔ ｏｓ（ ） ｍｔ ｆ ｄｒ ｌ ｏ ａ ｓ ｕｎｅｉｐｓ ｅｉ ｙｆ ｈ ｕ ｉ ｓ ｏ ｎ ｈ ｉ ｏ ｏｐ ｙ ｌｅ ｓ ｔ ｎ ｉ
即 ） （ ，］ 在 口 ｂ 内一致连续． 反之， 当 ） （ ，］内一致连续 ， 在 口６ 由柯西准
ｉ ｉ ｆｎ ｔ ｙ．
Ｋｅ ｒ ｓ ｏｙ ｏ ａ ｅ ｕ ｎ ｅ ｎ ｏ ｏ ｔ ｕ ｕ ；ｕ ｉ ｒ ｐ ｒ ｘｍａ ｏ ｙ ｗｏ ｄ ：ｐ ｌｎ ｍｉｌｓ ｑ ｅ ｃ ；ｕ ｉ ｒ ｃ ｎ ｎ ｏ ｓ ｎ ｆｍ ａ ｐ ｉ ｔ ｎ ｆｍ ｉ ｏ ｏ ｉ
了否定性 的结 论 ：
文章编 号 ： ０ －５ ７ （ ００ ０ １ ４ ５０ ２ １ ）２－０７ ０ ０ ０ ３－ ２
多 项 式 序列 一 致 逼 近连 续 函数 的两个 结 论
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ王 白银
（ 西安通信学院 基础部 ， 陕西 西安 ７０ ０ ） １１６
摘要 ： 对用多项式序列一致逼近有界区间的连续 函数进行 了讨 论并得到 两个 结果 ：． １这种逼 近可 以进 行的充分
第２卷 第２ ８ 期
２１ ０ ０年 ５月
贵州师 范大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊｕｎ ｆ ｕｚｏ ｏ ｌ Ｕ ｉｅｓｙ（ ａ ｒ ｃｅｃｓ ｏｒａ ｏ ｉ ｕＮ ｒ ｎｖｒｉ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｅ） ｌ Ｇ ｈ ｍａ ｔ ｕｌ ｎ
Ｖ０ ． ８ Ｎｏ ２ １２ ． ．
ＭＢ ０ ０ ｙ２ １
必要条件为函数是一致 连续 的 ；． ２ 多项式序列的阶数的极限为正无穷
关 键 词： 多项 式序 列； 一致连 续； 一致逼近 文献标识码 ： Ａ 中图分类号 ： １４ ４ ０ ７．１
最佳一致逼近多项式
§3最佳一致逼近多项式2-1 最佳一致逼近多项式的存在性切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题，他不让多项式次数n 趋于无穷，而是固定n ，记次数小于等于n 的多项式集合为n H ，显然],[b a C H n ⊂。
记{1,,,}n n H span x x =L , n x x ,,,1L 是],[b a 上一组线性无关的函数组，是n H 中的一组基。
n H 中的元素)(x P n 可表示为01()n n n P x a a x a x =+++L ，其中n a a a ,,,10L 为任意实数。
要在n H 中求)(*x P n 逼近],[)(b a C x f ∈，使其误差)()(max min )()(max *x P x f x P x f n bx a H P n b x a n n −=−≤≤∈≤≤ 这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题。
为了说明这一概念，先给出以下定义。
定义1 ],[)(,)(b a C x f H x P n n ∈∈，称)()(max ),(x P x f P f P f n bx a nn −=−=∆≤≤∞ 为)(x f 与)(x P n 在],[b a 上的偏差。
显然),(,0),(n n P f P f ∆≥∆的全体组成一个集合，记为)},({n P f ∆，它有下界0。
若记集合的下确界为,)()(max inf )},({inf x P x f P f E n b x a H P n H P n n n n n −=∆=≤≤∈∈ 则称之为)(x f 在],[b a 上最小偏差。
定义2 假定],[)(b a C x f ∈，若存在n n H x P ∈)(*，n n E P f =∆),(*， 则称)(*x P n 是)(x f 在],[b a 上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式，简称最佳逼近多项式。
注意，定义并未说明最佳逼近多项式是否存在，但可证明下面的存在定理。
魏尔施特拉斯逼近定理
魏尔施特拉斯逼近定理
[from wiki]
基本定理
魏尔斯特拉斯逼近定理有两个：
闭区间上的连续函数可⽤多项式级数⼀致逼近。
闭区间上周期为2π的连续函数可⽤三⾓函数级数⼀致逼近。
证明
第⼀逼近定理可以从第⼆逼近定理直接推出。
第⼆逼近定理的证明；
⾸先证明，为⼀个正交函数系： (因为)。
故令，于是可以求出。
将c n代⼊f a(t) 的定义式中，有：
下⾯对积分号中的和式S求和，令w = e in(t - s)，那么就有：，分成正负两部分求和，可知: 代回原积分，有，这就是f(s)泊松核。
故有：我们要检验的的是在时的情况，可以证明：
的泊松积分。
其中称为泊松核
由f(t)的⼀致连续性，可以证明，上式在时，满⾜⼀致收敛的条件，故可以⽤f r(t)来⼀致逼近f(t)。
参阅
傅⾥叶级数。
数值分析(22)连续函数的最佳一致逼近
插值逼近的性质
插值逼近的误差
插值逼近的误差取决于插值多项式的阶数和插值点的选择，一般 来说，阶数越高，误差越小。
插值逼近的稳定性
插值逼近的稳定性取决于插值多项式的选择和计算方法，选择合适 的插值多项式和计算方法可以提高稳定性。
插值逼近的应用
插值逼近在数值分析、数学建模、信号处理等领域近
多项式逼近是一种常用的逼近方法，通 过将函数表示为一系列多项式的和，来 逼近原函数。多项式逼近具有精度高、 适用范围广等优点，但计算量大、稳定 性差。
VS
插值法
插值法是一种常用的多项式逼近方法，通 过构造一个多项式来逼近原函数。插值法 具有数学基础扎实、计算稳定等优点，但 需要解决插值节点过多导致计算量大、数 值不稳定性等问题。
最佳一致逼近的误差通常用范数表示，常用的范数有L∞范数、 L2范数和L1范数等。
逼近的数学模型
01
逼近问题通常可以转化为求解一个 泛函极值问题，即寻找一个多项式 p(x)，使得它在给定区间[a, b]上与 目标函数f(x)的误差最小。
02
逼近问题的数学模型可以表示为 求解一个极值条件下的优化问题 ，常用的方法有梯度法、牛顿法 、拟牛顿法等。
深入研究逼近定理
进一步探索逼近定理的内在机制，为逼近理论的 发展提供理论支持。
逼近误差分析
对逼近误差进行深入分析，建立更加精确的逼近 误差估计，提高逼近精度。
推广逼近理论
将逼近理论应用于更广泛的领域，如微分方程、 积分方程等，推动相关领域的发展。
逼近在实际问题中的应用拓展
数值计算
利用最佳一致逼近方法进行数值计算，提高计算精度和效率。
CHAPTER
最佳一致逼近的方法
线性逼近的方法
连续函数的一致连续性与逼近性
连续函数的一致连续性与逼近性连续函数是数学中非常重要的一类函数，它在各个领域都有广泛的应用。
在研究连续函数的性质时，一致连续性与逼近性是两个重要的概念。
本文将就连续函数的一致连续性与逼近性进行论述，并进行相关的分析。
1. 一致连续性连续函数的一致连续性是指函数在整个定义域上满足一致性条件，并且对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，当|x-y|<δ时，总有|f(x)-f(y)|<ε。
一致连续性的定义表明了函数在整个定义域上对于任意小的ε值都能找到相应的δ值，使得函数值的差距小于ε。
这种性质保证了函数的连续性在整个定义域上都是平滑的，避免了在某些特定点处出现跳跃或不连续的情况。
2. 逼近性逼近性是指连续函数能够用一系列接近它的函数来逼近。
对于给定的连续函数f(x)，存在一列连续函数{f_n(x)}，使得当n趋向于无穷大时，f_n(x)逐渐逼近于f(x)。
逼近性的概念体现了连续函数的近似性质。
通过逼近，我们可以用一系列更加简单或易于计算的函数来近似描述原函数，简化问题的求解过程。
逼近理论在数学分析、数值计算等领域有着广泛的应用。
3. 连续函数的一致连续性与逼近性的关系一致连续性是逼近性的基础。
如果一个函数在定义域上是一致连续的，那么它是可逼近的。
这是因为对于给定的ε>0，由于函数的一致连续性，我们可以找到一个δ>0，使得当|x-y|<δ时，总有|f(x)-f(y)|<ε/2成立。
然后通过选取适当的函数n，我们可以使得当n足够大时，|f_n(x)-f(x)|<ε/2。
因此，当|x-y|<δ时，有：|f_n(x)-f(x)| ≤ |f_n(x)-f(y)| + |f(y)-f(x)| < ε/2 + ε/2 = ε因此，函数f_n(x)在定义域上是一致连续的，并且逐渐逼近于函数f(x)。
综上所述，连续函数的一致连续性与逼近性是密切相关的。
一致连续性为函数提供了逼近的基础，使得我们可以使用一系列逼近函数来近似描述原函数。
【毕业设计】区间上连续函数用多项式逼近的性态
【毕业设计】区间上连续函数用多项式逼近的性态区间上连续函数用多项式逼近的性态摘要在实际的应用中，经常遇到这样的问题：为解析式子比较复杂的函数寻找一个多项式来近似代替它，并要求其误差在某种度量下意义下最小．这就是用多项式来逼近函数问题的研究本文主要讨论了区间上连续函数用多项式逼近的性态．首先给出了在闭区间上连续函数用多项式逼近的相关结论——Weierstrass逼近定理，是Weierstrass于1885年提出的，这条定理保证了闭区间上的任何连续函数都能用多项式以任意给定的精度去逼近．通过引用Bernstein多项式和切比雪夫多项式给出了相应的证明．其次列出了Bernstein多项式以及由Bernstein算子推广得到的Kantorovich算子它们的概念、一些具体的性质以及推广和应用．最后，引进推广到无穷区间上的S．Bernstein 多项式，进一步研究了无穷区间上连续函数用多项式逼近的性态，并得到了相关结论．关键词：Weierstrass逼近定理；Bernstein多项式；Kantorovich算子；S．Bernstein 多项式；无穷区间Polynomial approximation of continuousfunctions on the interval propertyAbstract：In practical applications，often encounter this problem: to find a polynomial to approximate the more complex function of the analytical formula，and requested the minimum of the error is some kind of metric significance．This is the polynomial approximation function problems．This article focuses on the behavior of interval polynomial approximation of continuous functions．Firstly，the conclusions continuous function on a closed interval with a polynomial approximation - Weierstrass approximation theorem，is weierstrass 1885，which Article theorem guarantees of any continuous function on the closed interval can use polynomials to approximate any given accuracy．Through quoted the Bernstein multinomial and the Chebyshev multinomial has given the corresponding proof．Next has listed the Bernstein multinomial as well as the Kantorovich operator which obtains by the Bernstein operator promotion their concept，some concrete nature as well as the promotion and the application．Finally，the introduction promotes to the infinite sector in the S．Bernstein multinomial，further has studied in the infinite sector the continuous function the condition which approaches with the multinomial，and obtained the related conclusion．Key words：Weierstrass approximation theorem，Bernstein polynomials; Kantorovich operator; S．Bernstein polynomial; infinite interval目录第1章绪论 (1)1．1区间上连续函数用多项式逼近的性态研究的背景 (1)1．2区间上连续函数用多项式逼近的性态研究的意义 (2)第2章WEIERSTRASS逼近定理的证明及应用 (3)2．1W EIERSTRASS逼近定理的第一种证明 (3)2．1．1 Weierstrass逼近定理的Bernstein证明 (3)2．1．2 闭区间[]b a,上的weierstrass逼近定理 (6)2．2W EIERSTRASS逼近定理的第二种证明 (7)2．3W EIERSTRASS逼近定理的推广 (9)2．3．1 Weierstrass第二定理 (9)2．3．2 Weierstrass-Stone定理 (10)2．3．3 Weierstrass逼近定理的逆定理 (11)第3章BERNSTEIN多项式和KANTOROVICH算子 (13)3．1B ERNSTEIN多项式 (13)3．1．1 Bernstein多项式的定义 (13)3．1．2 Bernstein算子的一些性质 (15)3．2K ANTOROVICH算子 (20)3．2．1 Kantorovich算子的定义 (20)3．2．2 Kantorovich算子的性质 (21)3．2．3 Lebesgue可积函数的Kantorovich算子逼近 (22)3．2．4 加权的Kantorovich算子 (23)第4章S．BERNSTEIN多项式在无穷区间上的推广 (25)4．1无穷区间上S．B ERNSTEIN多项式的定义 (25)4．2无穷区间上S．B ERNSTEIN多项式逼近定理 (26)第5章结论 (34)参考文献 (36)致谢............................................................................................... 错误!未定义书签。
函数的逼近
定理 2：（Weierstrass 第二逼近定理） 设： f ( x ) ∈ C2π （以 2π 为周期的连续函数） 则 ∀ε > 0 ，存在三角多项式 T ( x ) ，使得： f ( x ) − T ( x ) < ε 。
n−k
k k = ∑ k 2 Cn x (1 − x ) k =0 n
n
n−k
k k −2nx ∑ kCn x (1 − x ) k =0
n−k
k k + n 2 x 2 ∑ Cn x (1 − x ) k =0
n
n−k
= nx (1 − x + nx ) − 2nxin + n 2 x 2 = nx (1 − x ) ≤
,m ，
11.4
高等微积分讲义
若令： α k ( x ) =
xk +1 − x x − xk ， βk ( x ) = ，则有： α k ( x ) + β k ( x ) = 1 ， xk +1 − xk xk +1 − xk ,m ，
从而 Λ ( x ) = f ( xk ) α k ( x ) + f ( xk +1 ) β k ( x ) ， x ∈ [ xk , xk +1 ] ， k = 0,1,
对于 σ 1 ，有： σ 1 <
k − x <δ n
∑
ε
2
k k Cn x (1 − x )
n−k
≤
ε
2
；
对于 σ 2 ，由于： f ( x ) ≤ M （连续函数有界）， 因而：σ 2 ≤ 2 M
最佳一致逼近多项式
( f , p n ) E n，
*
( 3 .3 ) 或
则称 p n ( x ) 是 f ( x ) 在 [ a , b ]上的 n 次 最佳一致逼近多项式 最小偏差逼近多项式 ，简称 最佳逼近多项式
*
*
.
定理 2 若 f ( x ) C [ a , b ],
*
则总存在 p n ( x ) H n , 使得 。
证明：令 ( x ) | P ( x ) f ( x ) |, 则 ( x ) 连续，因而可以达到最 即存在 x 0 , 使得 ( x 0 ) max ( x ) || P ( x ) f ( x ) || 。
a xb
大值，
这说明 x 0 是 P ( x ) 的一个偏差点，不妨设 由于 P ( x ) 是最佳逼近多项式，则
三、最佳一致逼近多项式
1.零次最佳一致逼近多项式 对于n=0的P0(x)有： P0(x) =(M+m)/2 其中M、m分别为f (x) 的最大值和最小值。 ∵f(x)C[a,b]，由闭区间上连续函数性质；在[a,b]上存在两点x1,x2 使f (x1)=M, f (x2)=m， 即：x1,x2为偏差点（负,正）使：
axb
f (x)
n
(x)
即在H中 (x)与f(x)之差的绝对值的最大值是最小的，H中 任一ψ (x)与f(x)之差的绝对值都比它大，这样的 (x)为 f(x)在H中的最佳一致逼近函数。
定义1
设 f ( x ) C [ a , b ],
pn ( x ) H n , 称
a xb
逼近多项式
推论2 设f(x)C[a,b]，则f(x)在Hn中的最佳一致逼近多项 式Pn(x)，就是f (x)在[a,b]上的某个n次Lagrange插 值多项式。 证明∵Pn(x)有n+2个偏差点，亦即使f (x) －Pn (x)在[a,b]上至少 有n+2个点交替换正负号，亦就是说f(x) Pn(x)=0在[a,b]上有n+1 个根存在n+1个点：a x0<…< xn b使f (xi) Pn (xi)=0 即：f (xi)=Pn(xi) (i =0,1,2,…,n) , 所以，以此作为插值条件可得 到Pn(x)，因此，Pn(x)就是以x0,x1,…,xn为插值节点的n次值多项 式。 切比雪夫定理不仅给出了最佳一致逼近多项式的特征， 并从理论上给出了寻找最佳一致逼近多项式的方法：
多项式序列一致逼近连续函数的两个结论
多项式序列一致逼近连续函数的两个结论
斯特灵定律（Stone-Weierstrass Theorem）认为在一个特定的范围类中，连
续函数可以用多项式序列逼近。
这一理论推论出了两个重要的结论，即：一是多项式序列收敛到连续函数；二是以有限的步骤，多项式可以精确地逼近连续函数。
斯特灵定理的第一个结论表明，多项式序列可以收敛到连续函数。
当连续函
数在分段多项式中细分时，我们可以将其表示为多项式序列。
因此，多项式序列实际上是连续函数的一种逼近形式，最终我们就可以有效地通过推算得出多项式序列的值。
另一方面，斯特灵定理的第二个结论认为，以有限的步骤，多项式可以精确地
逼近连续函数。
也就是说，如果把连续函数不断细分，那么函数的值也会变得更加精确。
当函数精确化之后，就可以用多项式有效地模拟连续函数的运行结果。
因此，由斯特灵定理推论出的多项式可以增强逼近连续函数精度的能力，为了解决各类实际应用问题提供有效的解决办法。
总而言之，斯特灵定理推论出的多项式逼近连续函数有着非常重要的实际意义。
首先，我们可以有效地将连续函数用多项式表达；其次，以有限的步骤即可达到多项式精确逼近连续函数的效果。
这些推论为解决实际应用中的问题提供了实践性的参考，其作用已被互联网、数值分析、视觉算法等领域大量采用。
连续函数的逼近与一致收敛
连续函数的逼近与一致收敛连续函数的逼近问题是数学分析中的重要研究领域，它涉及到如何用其他更简单的函数逼近给定的连续函数，以及逼近的精度如何保证。
其中一种重要的逼近方法是一致收敛。
一致收敛是指在一个范围内，逼近函数与被逼近函数的差距在该范围内始终保持较小的误差。
而非一致收敛则是指在某些点上，逼近函数与被逼近函数的差距可能会较大。
下面我们将通过一些例子来详细说明连续函数的逼近与一致收敛的概念和方法。
例子一：考虑函数f(x) = x在闭区间[0, 1]上的连续逼近问题。
我们可以使用多项式来逼近这个函数。
根据Weierstrass逼近定理，对于任意给定的ε>0，存在一个多项式P(x)，使得在闭区间[0, 1]上，对于任意的x∈[0, 1]，有|f(x)-P(x)|<ε。
这就是说，我们可以用多项式函数来无限逼近函数f(x) = x，并且逼近的误差可以任意小。
这就是一致收敛的特点。
例子二：考虑函数g(x) = sin(x)在闭区间[0, π]上的连续逼近问题。
我们可以使用三角多项式来逼近这个函数。
根据Fourier级数的理论，我们可以将函数g(x)展开为一个三角级数的形式：g(x) = a₀/2 + Σ(aₙcos(nx) +bₙsin(nx))，这里n = 1, 2, 3, ...，a₀, aₙ, bₙ是待定系数。
通过适当地选取系数a₀, aₙ, bₙ，可以使得逼近函数g(x)与被逼近函数sin(x)的误差任意小，实现一致收敛。
例子三：考虑函数h(x) = e^x在闭区间[0, 1]上的连续逼近问题。
与前两个例子不同，不是所有的函数都可以用多项式无限逼近，因为多项式函数的增长速度是有限的。
针对这种情况，我们可以使用幂级数来逼近函数h(x) = e^x。
根据Taylor级数的理论，我们可以将函数h(x)展开为一个幂级数的形式：h(x) = Σ(aₙxⁿ/n!)，这里n = 0, 1, 2, ...，aₙ是待定系数。
最佳一致逼近
例题：设f (x) xex ,在[0,1.5]上利用插值 极小化求三次最佳一致逼近多项式。
解：取t
4 3
x
1, 则x
[0,1.5]时，
t [1,1]，x 0.75t 0.75
解：取T4 (x)的零点：
tk
cos
(2k
1)
8
,k
1,2,3,4,
计算得到： t =0.9239 0.3827 -0.3827 -0.9239
有限维空间 无限维空间
函数的范数
f (x) C[a,b],则
||
f
||
max |
a xb
f
(x) |,
b
|| f
||1
|
a
f (x) | dx
1
||
f
||2
b a
f
2 (x)dx 2
内积与内积空间
内积的定义。P172 两个元素正交。 Cauchy-Schwarz不等式。
max | f (x) pˆ (x) | min
1 x1
由切比雪夫多项式的极性，有
1 2
f
(x)
pˆ (x)
1 4
T3
(x)
f
(x)
pˆ (x)
2x3
3 2
x
pˆ (x)
f
(x) (2x3
3 2
x)
x2
7 2
x 1
最佳一次逼近多项式
求最佳逼近多项式是相当困难的。这里 我们讨论最佳一次逼近多项式的求法。
||
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附录一 Bernstein 多项式：连续函数的多项式逼近
连续函数可以由多项式一致逼近是分析中的重要定理，直接的证明方法就是用函数的Bernstein 多项式去逼近函数。
通常的教材中的证明比较难于理解，我们选择前苏联数学家Korovkin 在1953年给出证明方法，解决了教学中的这一难点。
Weierstrass 第一逼近定理 设是闭区间[a , b ]上的连续函数，则存在多项式序列{在[a , b ] 上一致收敛于。
也就是对任意给定的)(x f })(x P n )(x f 0>ε，存在多项式，使得
)(x P ε<−)()(x f x P
对一切∈x [a , b ]成立。
Weierstrass 第一逼近定理的证明
证 不失一般性，设[a , b ]为[0, 1]。
设X 是[0, 1]上连续函数全体构成的集合，Y 是多项式全体构成的集合，定义映射
)(t f n B : X Y
→ )(t f 6k n k k n n k n x x C n k f x f B −=−⎟⎠
⎞⎜⎝⎛=∑)1(),(0，
得到{}，表示),(x f B n ),(x f B n X f ∈在映射作用下的像，它是以n B x 为变量的次多项式，称为的n 次Bernstein 多项式。
n f
关于映射，有下述基本性质与基本关系式：
n B (1)线性性：对于任意及X g f ∈,∈βα,R ，成立
),(),(),(x g B x f B x g f B n n n βαβα+=+；
(2)单调性：若（)()(t g t f ≥∈t [a , b ]）
，则 ),(),(x g B x f B n n ≥ （∈x [a , b ]）；
(3)； 1)1(),1(0=−=
−=∑k n k k n n k n x x C x B x x x C n k x t B k n k k n n k n =−=
−=∑)1(),(0； =−=−=∑k n k k n n k n x x C n k x t B )1(),(0222n
x x x 22−+。
函数在2)(s t −n B 映射下的像（视为常数）： s .)(2)
,1(),(2),(),)((22222222s t n x x s sx n x x x x B s x t sB x t B x s t B n n n n −+−=+−−+=+−=−
由于f 在[0, 1]上连续，所以有界，即存在，对于一切[0, 1]，成立
0>M ∈t M t f ≤)(；
根据Cantor 定理，f 在[0, 1]上一致连续，于是对任意给定的0>ε，存在0>δ，
对一切[0, 1]：
∈s t , 当δ<−s t 时，成立
2)()(ε
<−s f t f ； 当δ≥−s t 时，成立
22)(22)()(s t M
M s f t f −≤≤−δ。
于是对一切[0, 1], 成立
∈s t ,)()()(2222s f t f s t M −≤−−−δε22)(22s t M −+≤δ
ε。
对上式的左端，中间，右端三式（视t 为变量，s 为常数）考虑在映射作用下的像，得到对一切n B ∈s x ,[0, 1]，成立
2222()(,)()2n M x x x s B f x f n ε
δ⎡⎤−−−+−≤−⎢⎥⎣⎦s 2
222()2M x x x s n εδ⎡⎤−≤++−⎢⎥⎣⎦， 令x s =，注意4
1)1(≤−x x , 即得 2022)()1(δεn M x f x x C n k f n k k n k k n +≤−−⎟⎠
⎞⎜⎝⎛∑=−。
取⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=εδ2M N ，当时, N n >ε<−−⎟⎠
⎞⎜⎝⎛∑=−n k k n k k n x f x x C n k f 0)()1(
对一切∈x [0, 1]成立。