数学实验“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”实验报告(内含matlab程序)
用谱方法解微分方程
Figure 2: N=4的等距插值
1.0
0.5
0.5
1.0
0.5
Figure 3: N=13的等距插值
定理 1 (误差估计) 设f (x) 在[a, b] 内具有n 阶连续导数，在[a, b] 内具有n + 1 阶导 数，φ(x) 是满足插值条件(8)的次数不超过n 的插值多项式，则对任意x ∈ [a, b]， 存在ξ = ξ(x) 使得
(4)
k=0
N
T2N+1 (x) = (2N + 1) T0 + (4N + 2) T2k
(5)
k=1
2 Lagrange 插值多项式
如果有一个未知函数，仅仅知道这个函数在某些点的函数值。能否用较为简单 的函数来代替未知函数。或者如果有一个较为复杂的函数，仅仅能计算出少数 点的函数值，可不可以用较为简单的函数近似代替原函数，计算出其他点的函数 值。这就是函数插值需要解决的问题。插值方法包括Lagrange 插值，Newton 插 值，Hermite 插值，样条插值等。这几种插值主要是具体应用中要求不同而灵活采 用。在此简要介绍一下Lagrange 插值。
2 ΛN (X) > π ln(N + 1) − C
这个定理表明当N → ∞时ΛN (X) → ∞。这表明，如果插值点取得不好，并不
是插值点取得越多越好，如果插值点取得不合适，Runge 现象会随着插值点的增
加而越来越严重的。这个定理与Faber 1914 年得到的一个结果有关，Faber 的定理
表明对于任何一组格点，至少存在一个连续函数f ，使得它的插值多项式不能一致
2
π
π
k=j k=j=0 k=j=0
数学实验“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”实验报告(内含matlab程序)
f=c(1)+c(2)*t;
fori=3:k+1
T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);
c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
实验内容
Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近
成绩
教师
实验十八实验报告
一、实验名称：Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
二、实验目的：进一步熟悉Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成程序设计。
四、实验原理：
1．Chebyshev多项式最佳一致逼近：
当一个连续函数定义在区间 上时，它可以展开成切比雪夫级数。即：
其中 为 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：
它们之间满足如下正交关系：
在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限项数。切比雪夫级数中的系数由下式决定：
2．最佳平方逼近：
求定义在区间 上的已知函数最佳平方逼近多项式的算法如下。
f2=power(a,n+1);
C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);
end
coff=C\d;
设已知函数 的最佳平方逼近多项式为 ，由最佳平方逼近的定义有：
其中
形成多项式 系数的求解方程组
数值逼近报告
图 2 f ( x ) x 的函数图像和勒让德逼近函数图像(取 n=2)
勒让德逼近 MATLAB 代码 function f = Legendre(y,k,x0) syms t; P(1:k+1) = t; P(1) = 1; P(2) = t; c(1:k+1) = 0.0; c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*P(1),t,-1,1)/2; c(2)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*P(2),t,-1,1)/2; f = c(1)+c(2)*t; for i=3:k+1 P(i) = ((2*i-3)*P(i-1)*t-(i-2)*P(i-2))/(i-1); c(i) = int(subs(y,findsym(sym(y)),t)*P(i),t,-1,1)/2; if(i==k+1) f = f + c(i)*P(i);
1、Euler 方法
function [ x,y ] = Euler( f,a,b,y0,h ) %解初值问题：y'=f(x,y),y(a)=y0 %欧拉方法 n=(b-a)/h; x = (a+h:h:b); y(1) = y0 + h*feval(f,a,y0); for i = 2:n y(i) = y(i-1) + h*feval(f,x(i-1),y(i-1)); end x=[a x]; y=[y0 y];
求解如上线性方程组我们即可得到所需之 Pade 逼近。 例：我们通过如下例子观察 Pade 逼近的效果。考察函数
f x 1 1 3 5 1 x x 2 x3 2 8 16 1 x
计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式
一、函数逼近与函数空间
实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。
函数逼近问题：对于函数类A中给定的函数
f(x), 要求在另一类较简单的便于计算的函
数类
BA
B
A
中找一个函数p(x), 使p(x)与f(x)的误差在某
种度量意义下达到最小.
定理 1(Weierstrass)若 f(x) C[a, b], 则ε 0, 多项式p(x), 使得
TT0n(x1()x)
1, T1(x) 2xTn(x)
x, Tn1(x).
(2.11)
Tn(x)的最高次幂x n的系数为2 n1, (n 1).
证明：记θ arccosx, 则 Tn1 (x) cos[(n 1)θ ] cos[(nθ θ )]
cos(nθ )cosθ sin(nθ )sinθ
切比雪夫多项式的前几项：
T0(x) cos(0) 1 T1(x) cos(arccosx) x T2(x) cos(2arccosx) 2x2 1 T3(x) cos(3arccosx) 4x3 3x
课堂练习：推出T4(x)
切比雪夫多项式的性质
（1）基本递推关系
cos(n 1)θ cos(nθ )cos θ sin(nθ )sin θ
Tn1 (x) 2cos(nθ )co sθ cos(n 1)θ 2xTn (x) - Tn1 (x)
（2）正交性
0, m n,
1
1
1
1
x2
Tm(x)Tn(x)dx
π/2, m n 0,
cos[(2k
1)π] 2
函数逼近试验
函数逼近实验学号：P0725005 姓名：乔海亮1. 问题描述 (2)2. 解决方法 (2)2.1. 最佳平方逼近二次多项式 (2)2.2. Chebyshev截断级数 (3)2.3. 插值余项极小化 (4)3. 数值结果 (4)4. 结果分析对比 (6)5. 代码和程序说明 (6)5.1. 开发环境 (6)5.2. 主要变量和函数说明 (6)5.3. 程序说明 (7)1. 问题描述设()[]ln ,1,3f x x x x =∈，试求出权函数()1x ρ=的最佳平方逼近二次多项式。
另外请用Chebyshev 截断级数的办法和插值余项极小化方法分别给出近似最佳一致逼近二次多项式。
并画出所有曲线图。
2. 解决方法2.1. 最佳平方逼近二次多项式设所求多项式为()()220i i i S x a x ϕ==∑其中()()()20121,,x x x x x ϕϕϕ===则()31131131,11j k j k j kjkx x dx j k j k ϕϕ+++++-===++++⎰()30019,ln ln 322d f x xdx ϕ===-⎰()3211126,ln 9ln 39d f x xdx ϕ===-⎰()3322181,ln ln 354d f x xdx ϕ===-⎰即有法方程01226924ln 323226264209ln 339262428120ln 35354a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解得到0120.9089635102,0.6275842954,0.2597705928a a a =-==所求最佳平方逼近二次多项式为()220.90896351020.62758429540.2597705928S x x x =-++最大误差()213ln 0.02161max x x x S x ≤≤-=2.2. Chebyshev 截断级数利用Chebyshev 多项式进行函数值的计算，主要是利用Chebyshev 的系数k a 趋于零的速度比较快，从而级数收敛速度快。
数学“Chebyshev多项式最佳一致逼近,最佳平方逼近”分析研究方案(内含matlab程序)
西京学院数学软件实验任务书实验十八实验报告一、实验名称：Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近. 二、实验目地：进一步熟悉Chebyshev 多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近.实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica 等其中一种语言完成程序设计.四、实验原理：1．Chebyshev 多项式最佳一致逼近：当一个连续函数定义在区间[1,1]-上时，它可以展开成切比雪夫级数.即：0()()n n n f x f T x ∞==∑其中()n T x 为n 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：0111()1,(),()2()()n n n T x T x x T x xT x T x +-===-它们之间满足如下正交关系：10 n mn=m 02n=m=0ππ-≠⎧⎪⎪=≠⎨⎪⎪⎩⎰ 在实际应用中，可根据所需地精度来截取有限项数.切比雪夫级数中地系数由下式决定：10112n f f ππ--==⎰⎰2．最佳平方逼近：求定义在区间01[,]t t 上地已知函数最佳平方逼近多项式地算法如下.设已知函数()f x 地最佳平方逼近多项式为01()n n p x a a x a x =+++，由最佳平方逼近地定义有：01(,,,)0(0,1,2,,)n iF a a a i n a ∂==∂其中120101(,,,)(())t n n n t F a a a f x a a x a x dx =----⎰形成多项式()p x 系数地求解方程组Ca D =其中121122211212bbb bn na a a a bb b b n n aaa ab b b b n n n n a a a abbb bn n n naaa a dx xdxx dxx dx xdx x dx x dx x dx C x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx x dx -+---+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1()()()()b a b a b n a b n a f x dx f x xdx D f x x dx f x x dx -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰五、实验内容：%Chebyshev 多项式最佳一致逼近function f=Chebyshev(y,k,x0)syms t ;T(1:k+1)=t; T(1)=1; T(2)=t;c(1:k+1)=0.0;c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;f=c(1)+c(2)*t; for i=3:k+1T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi; f=f+c(i)*T(i); f=vpa(f,6); if (i==k+1) if (nargin==3)f=subs(f,'t',x0);elsef=vpa(f,6);endendEnd%最佳平方逼近function coff=ZJPF(func,n,a,b)C=zeros(n+1,n+1);var=findsym(sym(func));func=func/var;for i=1:n+1C(1:i)=(power(b,i)-power(a,i))/i;func=func*var;d(i,1)=int(sym(func),var,a,b);endfor i=2:n+1C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1);f1=power(b,n+1);f2=power(a,n+1);C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);endcoff=C\d;版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.5PCzV。
实验三 最佳平方逼近多项式的收敛性word资料8页
实验三 最佳平方逼近多项式的收敛性一、 实验目的若已知给定区间[a,b]上的连续函数f (x ),寻找一个简单、易于计算的函数P (x )来代替f (x )使用，即用P (x )去近似f (x )，这就是函数逼近所要研究的问题。
而逼近的方法很多，收敛速度也各有差异，本实验主要讨论最佳平方逼近，分别对Legendre 以及Chebychev 方法讨论其n 次截断多项式的问题，观察其收敛性，学习并掌握最佳平方逼近多项式的MATLAB 实验及精度比较。
二、 实验原理由教材定义有：对于给定的函数],[)(b a C x f ∈，如果存在使得则称S *(x )是f (x )在集合01{(),(),,()}n Span x x x ϕϕϕL 中的最佳平方逼近函数。
显然，求最佳平方逼近函数)()(0**x a x S j nj j ϕ⋅=∑=的问题可归结为求它的系数**1*0,,,n a a a Λ，使多元函数取得极小值，也即点(**1*0,,,n a a a Λ)是I (a 0, …，a n )的极点。
由于I (a 0, a 1, …，a n )是关于a 0, a 1, …，a n 的二次函数，利用多元函数取得极值的必要条件，0=∂∂ka I (k = 0, 1, 2, …, n )即得方程组 如采用函数内积记号那么，方程组可以简写为0(,)(,)(0,1,2,,)n k jj k j a f k n ϕϕϕ===∑L (1)这是一个包含n + 1个未知元a 0, a 1, …, a n 的n + 1阶线性代数方程组，写成矩阵形式为0001000101111101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n n n a f a f a f ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L LM M L L L L L ………（2） 此方程组叫做求a j (j = 0, 1, 2, …, n )的法方程组。
多项式逼近方法比较与分析实验报告
Rn (x) f ( x) Pn ( x) f [x, x0,..., xn ]n1( x)
我们将满足 Pn (x) 的多项式称为 Newton 插值多项式。 Newton 插值相比于拉格朗日插值多项式更为简便。在我们利用插值基函数
时很容易得到拉格朗日插值多项式，但是如果当插值节点增减时，计算要全部全
称为
f (x) 的二阶均差.一般地，称
f [x0, x1,..., xk ]
Chebyshev多项式在公钥密码中的应用的开题报告
Chebyshev多项式在公钥密码中的应用的开题报告1. 研究背景公钥密码学是一种基于数学难题的密码学，主要应用于安全通信、数字签名、身份认证等领域。
其中，RSA算法、Diffie-Hellman密钥交换算法、椭圆曲线加密算法等公钥密码算法得到广泛应用。
这些算法使用大量的数学知识，包括线性代数、群论、椭圆曲线等等。
其中，Chebyshev多项式是一种基于特殊函数的工具，可用于优化这些算法的性能。
2. 研究内容Chebyshev多项式是一种基于特殊函数的多项式，在数学和工程学中得到广泛应用。
它有许多独特的性质，比如它们是最小二乘逼近多项式的最佳选择。
Chebyshev多项式在公钥密码中的应用主要包括：① RSA算法中的Montgomery乘法算法：在RSA算法中，Montgomery算法可以用于加速模幂运算，其中Chebyshev多项式可用于计算Montgomery乘法算法的系数。
②椭圆曲线加密算法中的Galois Field操作：在椭圆曲线加密算法中，Galois Field的操作可用于实现加法、减法、乘法和除法。
Chebyshev多项式可用于加速Galois Field的操作，提高算法的性能。
3. 研究方法本次研究将主要通过文献调研和数学推导的方法，深入研究Chebyshev多项式在公钥密码学中的应用。
首先，通过查阅相关文献，了解Chebyshev多项式的基本性质和应用场景；其次，结合实际应用，推导Chebyshev多项式在RSA算法和椭圆曲线加密算法中的具体应用方式；最后，通过实验验证和性能分析，评估Chebyshev多项式在优化公钥密码算法中的实际效果。
4. 研究意义本研究的主要目的是探讨Chebyshev多项式在公钥密码学中的应用，提高公钥密码学中算法的性能和安全性。
以RSA算法和椭圆曲线加密算法为例，可以看出，Chebyshev多项式可以用于优化公钥密码学中的各种算法，从而提高密码算法中的执行速度和安全性。
计算方法 最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式精编版
22
22
22
22
xk
cos (2k 1)π , (k 22
1,2,… ,11)
接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直
线，这些直线与上半单位元的交点形成了一个关于圆
弧的等距的点的集合。
（5）切比雪夫多项式的极值点
Tn(x)在[1,1]上有n 1个不同的极值点
x k
cos kπ , (k n
π,
m n 0.
(2.12)
证：令x cosθ ，则
1
1
1
1
x2
Tm(x)Tn(x)dx
0 cos(mθ )cos(nθ )dcosθ
π
1 cos2θ
π cos(mθ )cos(nθ )dθ 0
根据积化
1 2
3）则对n 1的情况，由递推公式 Tn1(x) 2xTn(x) Tn1(x)
得知：情况a）如果n为奇数，则2xTn(x)只含n的偶次方， Tn1(x)只含x的偶数次方，从而左端Tn1(x)只含x的偶次方； 情况b）如果n为偶数，则2xTn(x)只含x的奇次方，Tn1(x) 只含x的奇次方，从而左端Tn1(x)只含x的奇次方
切比雪夫多项式的前几项：
T0(x) cos(0) 1 T1(x) cos(arccosx) x T2(x) cos(2arccosx) 2x2 1 T3(x) cos(3arccosx) 4x3 3x
课堂练习：推出T4(x)
切比雪夫多项式的性质
（1）基本递推关系
计算方法 (Numerical Analysis)
第4次 最佳一致逼近多项式
计算方法 最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式
C[a, b]
目的：求一个能够按照绝对值逼近f(x)的最佳 n次多项式
偏差的定义
确定的
定义7 设f(x) C[a, b], pn(x) Hn , 称 Pn(x)
Δ(f, pn )
||
f
pn
||
max
a x b
|
f(x) pn(x)
| (3.1)
是f(x)与pn(x)在[a, b]上的偏差。
xn )
|
要使 max 1 x 1
|
(x
x0 )(x
x1)… (x
xn )
|
取极小值, 只需令：
(x x0 )(x x1)… (x xn)
1 2n
Tn1(x),
最佳一致 逼近0的 多项式
而上式成立的充分必要条件是x0, x1,…xn是切比雪夫 多项式的0点。
将Lagrange插值多项式Ln(x)的节点取为Tn1(x) 的0点 :
En
inf
pn Hn
{Δ
(f,
pn
)}
对所有的 Pn(x)ϵHn
inf max
pn Hn a x b
|
f(x) pn(x)
|
(3.2)
称为f(x)在[a, b]上的最小偏差。
定义8 设f(x) C[a, b], 若存在pn* (x) Hn , 使得
Δ(f, pn* ) En (最小偏差)， (3.3) 则称pn* (x)是f(x)在[a, b]上的n次最佳一致逼 近多项式，简称最佳逼近多项式。
n 1个互异节点x0 , x1, … , xn上的拉格朗日插值
多项式的插值余项为
Rn(x)
f(x) Ln(x)
f(n1)(ξ) (n 1)!
最佳一致逼近多项式
( f , p n ) E n，
*
( 3 .3 ) 或
则称 p n ( x ) 是 f ( x ) 在 [ a , b ]上的 n 次 最佳一致逼近多项式 最小偏差逼近多项式 ，简称 最佳逼近多项式
*
*
.
定理 2 若 f ( x ) C [ a , b ],
*
则总存在 p n ( x ) H n , 使得 。
证明：令 ( x ) | P ( x ) f ( x ) |, 则 ( x ) 连续，因而可以达到最 即存在 x 0 , 使得 ( x 0 ) max ( x ) || P ( x ) f ( x ) || 。
a xb
大值，
这说明 x 0 是 P ( x ) 的一个偏差点，不妨设 由于 P ( x ) 是最佳逼近多项式，则
三、最佳一致逼近多项式
1.零次最佳一致逼近多项式 对于n=0的P0(x)有： P0(x) =(M+m)/2 其中M、m分别为f (x) 的最大值和最小值。 ∵f(x)C[a,b]，由闭区间上连续函数性质；在[a,b]上存在两点x1,x2 使f (x1)=M, f (x2)=m， 即：x1,x2为偏差点（负,正）使：
axb
f (x)
n
(x)
即在H中 (x)与f(x)之差的绝对值的最大值是最小的，H中 任一ψ (x)与f(x)之差的绝对值都比它大，这样的 (x)为 f(x)在H中的最佳一致逼近函数。
定义1
设 f ( x ) C [ a , b ],
pn ( x ) H n , 称
a xb
逼近多项式
推论2 设f(x)C[a,b]，则f(x)在Hn中的最佳一致逼近多项 式Pn(x)，就是f (x)在[a,b]上的某个n次Lagrange插 值多项式。 证明∵Pn(x)有n+2个偏差点，亦即使f (x) －Pn (x)在[a,b]上至少 有n+2个点交替换正负号，亦就是说f(x) Pn(x)=0在[a,b]上有n+1 个根存在n+1个点：a x0<…< xn b使f (xi) Pn (xi)=0 即：f (xi)=Pn(xi) (i =0,1,2,…,n) , 所以，以此作为插值条件可得 到Pn(x)，因此，Pn(x)就是以x0,x1,…,xn为插值节点的n次值多项 式。 切比雪夫定理不仅给出了最佳一致逼近多项式的特征， 并从理论上给出了寻找最佳一致逼近多项式的方法：
最佳一致和平方逼近
~ 由于首项系数为1的 n + 1次Chebyshev多项式 Tn+1 ( x) 由于首项系数为1 Chebyshev多项式
无穷范数最小， 故有 无穷范数最小，
f ( x ) − Pn ( x ) ~ = Tn+1 ( x) a0
于是 Pn ( x ) = f ( x ) − a0 Tn+1 ( x)
a ≤ x ≤b
∆ ( f , Pn ) = f − Pn
= max f ( x ) − Pn ( x )
上的偏差 偏差。 为 f ( x ) 与 P ( x) 在 [ a, b ] 上的偏差。 n
注： 显然， ( f , Pn ) ≥ 0 ，{∆ ( f , Pn )} 的全体组成一个 显然， ∆
一、最佳一致逼近的概念
定义 对于任意 设函数 f ( x) 是区间 [ a, b ] 上的连续函数， 上的连续函数， 给定的 ∀ε > 0 ，如果存在多项式 P ( x ) ，使不等式
max f ( x ) − P ( x ) < ε
a ≤ x ≤b
成立， 则称多项式 P ( x ) 在区间 [ a , b ] 上一致逼近 成立， (或均匀逼近)于函数 f ( x ) 。 均匀逼近)
(1)定义 (1)定义 Chebyshev多项式 称 Tn = cos ( n arccos x ) , x ≤ 1 为n次Chebyshev多项式.
[注] 令 θ = arccos x , 则 cos θ = x
n 2 n−2 2 4 n−4 4 而 cos nθ = cos θ − Cn cos θ sin θ + Cn cos θ sin θ − L
y = f ( x)
Chebyshev定理在求最佳一致逼近多项式中的应用
最佳逼近多项式， Ｐ （ ） 满足
ｍ ａｘ
证明 设在 中存在有两个不 同的最佳一致逼 近多
项式ｐ （ ） ， Ｑ （ ） ， 即有
ｍ ａ ｘ ＝ ） － ｐ （ ） ｛ ＝ （ ） ，
把满 足上式 的那些 的值统 称 为偏差 点 ， 且依 △ （ ） 的
符号 的 正 、 负不 同成为 正偏 差点或 负偏 差点 ．
２ 最佳 一 致逼近 多项 式 的充分 必 要条件
设 ） Ｅ ， ｂ 】 ， Ｐ （ ） 为一个次数不超过 凡的最佳
一
ｍ 积 ： ） 一 尺 （ ） ［ ＝ ｍ ａ ｘ ） 一 （ （ ） ＋ Ｑ （ ） ） ｌ
第３ ４卷第 ６期
２ ０ １ ３ 年 １ １ 月
喀 什 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ｆ Ｋａ ｓ ｈ ｇ ａ ｒ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃｏ Ｈ ｅ ｇ ｅ
ｏ ｌ ３４ ＮＯ ６ ＮＯ Ｖ ．２０ｌ ３
Ｃ ｈ ｅ ｂ ｙ ｓ ｈ ｅ ｖ 定理在求最佳一致逼近多项式中的应用
０ 引
言
设 （ ） ∈【 １ ２ ， ６ ］ ， 对于Ｐ （ ） ∈Ｈｎ 称 Ａ（ ｘ ） ｆ（ ｘ ）
在点 １ ２ ， ． ． ． － ２ 上的符号与Ｐ （ ） － ｆ（ ｋ ） （ 七 ＝ １ ，…， ｎ ＋ ２ ） 一致 ， 故 Ｐ（ ） 一 Ｑ（ ） 一致 ， 故 Ｐ（ ） 一 Ｑ（ ） 也在
第３ ４卷
喀什师范学院学报
阿米 娜 ・ 沙 比 尔
（ 喀什师范学院 数摘
要： 讨论了 Ｃ ｈ ｅ ｂ ｙ ｓ ｈ ｅ ｖ定理的性 质及将其推 广到求 任意 次数的最佳一致逼近多项式 的问题 ； 用数值仿真证明
实验三 最佳平方逼近多项式的收敛性
3)由式（3）得到函数的最佳平方逼近。
2.
编写三个函数：外部函数；多项式函数；被逼近函数，作出n取不同值时的逼近函数曲线，与原函数图像进行比较，观察其收敛性。
五、
5
a) 在区间[-1,1]上关于Legendre多项式的四次截断多项式为
逼近图像如下图5-3所示，由图可知，此Legendre多项式逼近是收敛的。
图5-3
5
a) 在区间[-1,1]上关于Chebychev多项式的四次截断多项式为
5734161139222659/45035996273704960+17202483417667977/11258999068426240*x^2-1911387046407553/2814749767106560*x^4
逼近图像如下图5-5所示，由图可知，此Chebychev多项式逼近是收敛的。
图5-5
c) 在区间[-1,1]上关于Chebychev多项式的十六次截断多项式为
5734161139222659/153122387330596864+51607450253003931/9570149208162304*x^2-200695639872793065/4785074604081152*x^4+1324591223160434229/5981343255101440*x^6-2838409763915216205/4186940278571008*x^8+273328347636280079/224300372066304*x^10-47437151242660179/37383395344384*x^12+6616339776026145/9345848836096*x^14-1911387046407553/11682311045120*x^16
基于Chebyshev多项式逼近的分数阶微积分数值算法
基于Chebyshev多项式逼近的分数阶微积分数值算法陈安;李常品【摘要】Numerical algorithms based on Chebyshev polynomial approximation are proposed, including a numerical algorithm for fractional integral and a generalized numerical algorithm for fractional derivative. Error estimates are given. Numerical examples show effectiveness of the methods.%基于Chebyshev多项式逼近,建立关于分数阶积分与Caputo型分数阶微分的数值算法.对分数阶积分提出新的计算格式,对Caputo型分数阶微分则推广了原有的数值方法,并分别给出相应的误差估计.最后,通过数值例子说明了构造算法的有效性.【期刊名称】《上海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(018)001【总页数】6页(P48-53)【关键词】Chebyshev多项式;分数阶;逼近【作者】陈安;李常品【作者单位】上海大学理学院,上海200444;上海大学理学院,上海200444【正文语种】中文【中图分类】O241.82分数阶微积分拥有长达300多年的历史，但直到近几十年才得到快速发展［1］.这主要是因为分数阶能够比整数阶更好地刻画现实中的复杂模型，尤其是对一些具有记忆与遗传性质的物质的刻画［2］.不过也正因为分数阶微分的非局部性，导致了其数值计算的困难.Diethelm等［3］总结了关于分数阶微积分的几种常见的数值算法，本质上是利用函数的线性插值来构造相应的数值公式.Yuan等［4］构造了一种新的数值格式，这种格式能有效地避免因分数阶微分的非局部性而引起的高计算复杂度.之后，Diethelm［5］对该格式进行了改进，改进方法的主要思想是把原问题转化为更易求解的积分问题，然后利用 Gauss公式求解.为了得到更高阶的算法，Miyakoda等［6-8］基于Chebyshev多项式建立了一种新数值格式，然而，他们仅讨论了分数阶微分(t)在0＜α＜1时的情况.Li等［9］基于插值函?数，对分数阶微积分提出了几种新的有效数值算法.关于分数阶偏微分方程的有限元方法可参见文献［10-12］，其中文献［11］是关于分数阶偏微分方程间断有限元方法的早期工作，文献［12］是关于分数阶超扩散问题有限元方法的早期工作.本工作基于Chebyshev多项式逼近建立了高阶的分数阶积分与Caputo型分数阶导数的数值算法，推广了文献［6-8］中α的应用范围.下面，首先给出2个相关的基本定义.定义1 关于函数 f(t)分数阶积分的定义如下：定义2 关于函数f(t)的Caputo型分数阶导数的定义如下：1 分数阶微积分数值算法的建立为了简便起见，对式(1)和(2)仅考虑a=0及0≤t≤1时的情况，其中对式(2)只讨论m=2时的情况(m=1时的情况可参见文献［7-8］).1.1 分数阶积分数值算法利用移位Chebyshev多项式Tk(2t－1)对式(1)中的f(t)进行逼近［7-8］，有式中，其中插值节点为Chebyshev多项式 Tk(x)可用如下递归公式得到：将式(3)代入式(1)，有为了得到式(5)的具体表示，给出下面的引理.引理1 记pn为式(3)的n次多项式，则存在相应的阶数为n的多项式Ln，满足证明对pn(τ)在t处Taylor展开，有式中，取即可得证.首先，在引理1中取x=0并对其化简，得到然后，式(6)两边同时对x求导，整理，有不妨设对该式两边同时在［x，t］上求积，整理，得由式(7)可知从而将式(3)，(9)及(11)代入式(8)，得注意到，只需知道式(9)中bi的值便可以推导出分数阶积分的数值表达式，因此，对比式(12)中左右两边Ti(2x－1)(i=1，2，…，n)前的系数，并整理，得到综上，可得到关于分数阶积分(1)的数值算法如下：式中，α＞0，t∈［0，1］，而ak及bk可分别由式(4)和(13)得到.1.2 Caputo型分数阶导数的数值算法下面主要讨论式(2)中1＜α＜2时的情况，对于0＜α＜1时的情况可参见文献［7］.类似于分数阶积分数值算法的讨论，仍利用移位Chebyshev多项式对f(t)进行逼近式中，pn可由式(3)得到.下面给出一个引理，其证明过程类似引理1，这里不再赘述.引理2 记为式(15)的n－2次多项式，则存在相应阶数为n－2的多项式Ln－2满足令x=0，并化简，得因此，由式(15)可以进一步得到为了得到式(17)右端的具体表示，首先在式(16)两边同时对x求导，整理后，得不妨设则对此式两边同时在［x，t］上求积，有然后，结合式(10)，有另外，记则由文献［7］可知，ak，ck，dk有如下关系：为了确定式(19)中的bi，把式(19)和(20)代入式(18)，并整理，得由于只需知道式(19)中的bi，i=1，2，…，n－2，则对比上式两边Tk(2x－1)前的系数，整理，于是得到综上，得到Caputo型的分数阶导数的数值算法如下：式中，α∈(1，2)，t∈［0，1］，而dk，bk分别由式(21)和(22)决定.我们在建立数值算法(式(23))时发现，对于α可进一步推广至α＞2时的情况，这里不再重述其推导过程.2 误差分析下面依次给出式(5)和(15)的误差分析.由文献［7，13］可以得到式中2π.以下总假设f(t)在复数平面中的椭圆区域Cr中解析，并且［0，1］包含在Cr中.下面给出式(5)的一致有界性，即其与t在区间［0，1］的取值无关.引理3 基于Chebyshev多项式pn(t)逼近的分数阶积分的数值算法是一致有界的，即式中，证明注意到，|Tn+1(2t－1)－Tn－1(2t－1)|≤2，故|f(t)－pn(t)|≤2Mn，从而结合式(5)，有定理1 假设 f(z)在 Cr上解析，则基于Chebyshev多项式pn(t)逼近的分数阶积分的数值算法有如下误差估计：式中为大于1的常数.证明由于，且Tn(x)=，所以结合引理3，有最后，给出式(15)的误差估计.为了讨论的方便，记这样，式(24)可写成下面给出一个引理.引理4 基于Chebyshev多项式pn(t)逼近的Caputo型分数阶导数的数值算法是一致有界的，即式中，证明由于E″n(t)=A″n+1(t)Bn(t)+2A'n+1(t)· B'n(t)+An+1B″n(t)，另外，根据Chebyshev多项式的相关性质，可以得到如下估计：因此，定理2 假设f(z)在Cr上解析，则基于Chebyshev多项式pn(t)逼近的Caputo型分数阶导数的数值算法有如下误差估计：式中为大于1的常数，1＜α＜2.证明由定理1的证明过程易得且从而有对上式进行估计，有因此，把式(27)～(29)代入引理4中的式(26)，整理，即可证明.定理1及定理2中的“O”表示当n趋向无穷大时，数值算法误差的收敛速度的快慢.容易看出，本工作提出的基于Chebyshev多项式逼近建立的分数阶积分数值算法(式(14))及Caputo型分数阶导数数值算法(式(23))具有较快的收敛速度.3 数值算例设f(t)=tβ，则在式(14)中取β=4，在式(23)中取β=5，则可分别得到对应的n的分数阶积分及Caputo型分数阶导数的数值解，同时，将它们与文献［3］中的线性插值方法相比较.从表1和表2中的误差结果可以发现，对本算例而言，在分数阶积分的数值格式中，n=4时的收敛速度要比n=2时好得多;而在分数阶微分的数值格式中，n=8时的收敛速度要比n=4时好得多.对于其他情况，则可根据相应的f(t)来变动n值.此外，通过对比2种不同的计算方法的数值结果可知，本工作建立的分数阶积分及Caputo型分数阶导数的数值算法，即式(14)与(23)，它们的收敛速度均高于文献［3］中所提及的线性插值方法，且推广了文献［7］中的数值方法.表1 的绝对误差Table 1 Absolute error ofα绝对误差线性插值法［3］Chebyshev多项式逼近法(式(14 =4 0.2 6.810 969E－002 2.226 088E－002 2.652 089E－n=2 n=4 )) n=2 n 002 3.330 669E－016 0.6 1.013 351E－001 2.868 810E－002 2.709 820E－002 2.220 446E－016 1.4 5.349 327E－002 1.272 141E－002 5.929 401E－003 1.249 001E－016 1.8 3.183 041E－002 7.270 493E－003 1.188 870E－002 2.081 668E－017表2 的绝对误差Table 2 Absolute error ofα绝对误差线性插值法［3］Chebyshev多项式逼近法(式(23 =8 1.2 3.600 270E－001 9.147 084E－002 7.433 626E－n=4 n=8 )) n=4 n 002 8.881 784E－016 1.4 3.912 311E－001 1.020 049E－001 2.053 614E－001 1.065 814E－014 1.6 3.802 527E－0011.030 250E－001 4.273 832E－001 1.065 814E－014 1.82.787 430E－001 7.964 166E－002 7.920 905E－001 2.486 900E－014参考文献：［1］ PODLUBNYI.Fractional differential equations［M］.San Diego，CA：Academic Press，1999：261-307.［2］徐明瑜，谭文长.中间过程、临界现象——分数阶算子理论、方法、进展及其在现代力学中的应用［J］.中国科学：G辑，2006，36(3)：225-238.［3］ DIETHELMK，FORDN J，FREEDA D，etal.Algorithms for the fractional calculus：a selection of numerical methods［J］.Comput Methods Appl Mech Eng，2005，194：743-773.［4］ YUANL，AGRAWALO P.A numerical scheme for dynamic systems containing fractional derivatives［J］.ASME J Vibr Acoust，2002，124：321-324.［5］ DIETHELM K.An improvementofanonclassical numerical method forthe computation offractional derivatives［J］.Numer Algor，2009，131(1)：014502-4.［6］ MIYAKODAT.Discretized fractional calculus with a series of Chebyshev polynomial［J］.Electronic Notes Theor Comput Sci，2009，225：239-244.［7］ SUGIURAH，HASEGAWAT.Quadrature rule for Abel’s equations：uniformly approximating fractional derivatives［J］.J Comput Appl Math，2009，223：459-468.［8］ HASEGAWAT，SUGIURAH.Uniform approximation to fractional derivatives of functions of algebraic singularity［J］.J Comput Appl Math，2009，228：247-253.［9］ LIC P，CHENA，YEJ J.Numerical approaches to fractional calculus and fractional ordinary differential equation［J］.J Comput Phys，2011，230(9)：3352-3368.［10］ ZHENGY Y，LIC P，ZHAOZ G.A note on the finite elementmethod for the space-fractional advection diffusion equation［J］.Comput Math Appl，2010，59 (5)：1718-1726.［11］ ZHENGY Y，LIC P，ZHAOZ G.A fully discrete discontinuous Galerkin method for nonlinear fractional Fokker-Planck equation［J］.Mathematical Problems in Engineering，2010，doi：10.1155/2010/279038.［12］ LIC P，ZHAOZ G.Numerical approximation of nonlinear fractional differential equations with subdiffusion and superdiffusion［J］.Comput Math Appl，2011，62(3)：855-875.［13］ ELLIOTTD.Truncation errors in two Chebyshev series approximations［J］.Math Comput，1965，19：234-248.。
数值分析最佳一致逼近多项式
1 f xk
max f x f x
k 1, 2,..., n;
2 f xk f xk 1 , k 1, 2,..., n 1;
则称点集 xk , k 1, 2,..., n, 为函数 f x 在区间 点 xk a, b 上的一个交错点组， 称为交错点。
找 Pn * ( x ) H n ,
pn H n
|| f ( x ) Pn * ( x ) || min || f ( x ) Pn ( x ) || max | f ( x ) Pn * ( x ) | min max | f ( x ) Pn ( x ) |
a xb pn H n a x b
P( xk ) f ( xk ) (1)k P( x) f ( x)
1, k 1,2,, n 2,
这样的点组称为 Chebyshev 交错点组。
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9 9
第三章 函数逼近与计算
1313
第三章 函数逼近与计算
几何意义
y
N
yP 1 x
M
D
Q
O
a
x2
b
x
© 2009, Henan Polytechnic University §2 最佳一致逼近多项式
1414
第三章 函数逼近与计算
例3.1
求函数 f ( x ) 1 x 2 在区间[0,1]上的最佳一致逼近多项式。 f (b) f (a ) 解 a1 2 1 0.414 ba x2 由 f ' ( x2 ) 2 1 0.2 x ( 2 1) 2 即 得 2 2 1 x2
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1．Chebyshev多项式最佳一致逼近：
当一个连续函数定义在区间 上时，它可以展开成切比雪夫级数。即：
其中 为 次切比雪夫多项式，具体表达式可通过递推得出：
它们之间满足如下正交关系：
在实际应用中，可根据所需的精度来截取有限项数。切比雪夫级数中的系数由下式决定：
2．最佳平方逼近：
求定义在区间 上的已知函数最佳平方逼近多项式的算法如下。
实验内容
Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近
成绩
教师
实验十八验报告
一、实验名称：Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
二、实验目的：进一步熟悉Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近。
三、实验要求：运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成程序设计。
西京学院数学软件实验任务书
课程名称
数学软件实验
班级
数0901
学号
0912020107
姓名
李亚强
实验课题
Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近
实验目的
熟悉Chebyshev多项式最佳一致逼近，最佳平方逼近
实验要求
运用Matlab/C/C++/Java/Maple/Mathematica等其中一种语言完成
func=func/var;
fori=1:n+1
C(1:i)=(power(b,i)-power(a,i))/i;
func=func*var;
d(i,1)=int(sym(func),var,a,b);
end
fori=2:n+1
C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1);
f1=power(b,n+1);
f=f+c(i)*T(i);
f=vpa(f,6);
if(i==k+1)
if(nargin==3)
f=subs(f,'t',x0);
else
f=vpa(f,6);
end
end
End
%最佳平方逼近
functioncoff=ZJPF(func,n,a,b)
C=zeros(n+1,n+1);
var=findsym(sym(func));
c(2)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(2)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
f=c(1)+c(2)*t;
fori=3:k+1
T(i)=2*t*T(i-1)-T(i-2);
c(i)=2*int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(i)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
设已知函数 的最佳平方逼近多项式为 ，由最佳平方逼近的定义有：
其中
形成多项式 系数的求解方程组
其中
五、实验内容：
%Chebyshev多项式最佳一致逼近
functionf=Chebyshev(y,k,x0)
symst;
T(1:k+1)=t;
T(1)=1;
T(2)=t;
c(1:k+1)=0.0;
c(1)=int(subs(y,findsym(sym(y)),sym('t'))*T(1)/sqrt(1-t^2),t,-1,1)/pi;
f2=power(a,n+1);
C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);
end
coff=C\d;