2020届高三数学一轮复习 3-3定积分与微积分基本定理课件 (理) 北师大版精品

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高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节定积分与微积分基本定理课件理

(6)若 f(x)是连续的奇函数，则∫a－a f(x) dx＝0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√
2.∫10 1－x2dx＝________. 答案：π4 3．计算：
答案：(1)38π2＋1 (2)e2－e－2ln 2
[典题 1] 求下列定积分：
[探究 1] 若将本例(1)中的“－x2＋2x”换为“|2x－1|”，如何求解？
设阴影部分面积为 S.
－bf(x)dx
(1)S＝bf(x)dx； (2)S＝
a
；
acΒιβλιοθήκη f(x)dx－bf(x)dx
(3)S＝
a
c
；
(4)S＝bf(x)dx－bg(x)dx＝b[f(x)－g(x)]dx.
a
a
a
5．微积分基本定理
如果
F′(x) ＝ f(x) ，且
f(x)
在
[a
，
b]
上
可
积
，
则
b
f(x)dx
m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是
() A．1＋25ln 5
B．8＋25ln131
C．4＋25ln 5
D．4＋50ln 2
(2)一物体在力 F(x)＝53，x＋0≤4，x≤x＞2，2 (单位：N)的作用下
沿与力 F 相同的方向，从 x＝0 处运动到 x＝4(单位：m)处，则
得交点 B(3，－1)．
故所求面积 S＝∫10 x＋13xdx＋∫312－x＋13xdx ＝23x32＋16x2|10＋2x－13x2|31 ＝23＋16＋43＝163.
答案：163
[典题 3] (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急

北师大版版高考数学一轮复习第三章导数及其应用定积分与微积分基本定理教学案理

一、知识梳理１．定积分的概念在错误!f（x）d x中，a，b分别叫作积分下限与积分上限，区间[a，b]叫作积分区间，f（x）叫作被积函数，x叫作积分变量，f（x）d x叫作被积式．２．定积分的性质（１）错误!kf（x）d x＝k错误!f（x）d x（k为常数）；（２）错误![f１（x）±f２（x）]d x＝错误!f１（x）d x±错误!f２（x）d x；（３）错误!f（x）d x＝错误!f（x）d x＋错误!f（x）d x（其中a<c<b）．３．微积分基本定理一般地，如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，且F′（x）＝f（x），那么错误!f（x）d x＝F（b）—F（a），这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式．其中F（x）叫作f（x）的一个原函数．为了方便，常把F（b）—F（a）记作F（x）错误!，即错误!f（x）d x＝F（x）错误!＝F（b）—F （a）．常用结论１．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．２．若函数f（x）在闭区间[—a，a]上连续，则有（１）若f（x）为偶函数，则错误!f（x）d x＝２错误!f（x）d x.（２）若f（x）为奇函数，则错误!f（x）d x＝0．二、教材衍化１．设f（x）＝错误!则错误!f（x）d x的值是（）Ａ．错误!x２d xＢ．错误!２x d xＣ．错误!x２d x＋错误!２x d xＤ．错误!２x d x＋错误!x２d x解析：选Ｄ．由分段函数的定义及定积分运算性质，得错误!f（x）d x＝错误!２x d x＋错误!x２d x.故选Ｄ．２．错误!错误!d x＝________．解析：错误!错误!d x＝ln（x—１）|错误!＝ln e—ln １＝１．答案：１３．若错误!（sin x—a cos x）d x＝２，则实数a等于________．解析：由题意知（—cos x—a sin x）错误!＝１—a＝２，a＝—１．答案：—１４．汽车以v＝（３t＋２）m/s作变速直线运动时，在第１s至第２s间的１s内经过的位移是________m.解析：s＝错误!（３t＋２）d t＝错误!错误!１＝错误!×４＋４—错误!＝１0—错误!＝错误!（m）．答案：错误!一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）设函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续，则错误!f（x）d x＝错误!f（t）d t.（）（２）若f（x）是偶函数，则错误!f（x）d x＝２错误!f（x）d x.（）（３）若f（x）是奇函数，则错误!f（x）d x＝0．（）（４）曲线y＝x２与直线y＝x所围成的区域面积是错误!（x２—x）d x.（）答案：（１）√（２）√（３）√（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）误解积分变量致误；（２）不会利用定积分的几何意义求定积分；（３）f（x），g（x）的图象与直线x＝a，x＝b所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错．１．定积分错误!（t２＋１）d x＝________．解析：错误!（t２＋１）d x＝（t２＋１）x|错误!＝２（t２＋１）＋（t２＋１）＝３t２＋３．答案：３t２＋３２．错误!错误!d x＝________解析：错误!错误!d x表示以原点为圆心，错误!为半径的错误!圆的面积，故错误!错误!d x＝错误!π×（错误!）２＝错误!.答案：错误!３．如图，函数y＝—x２＋２x＋１与y＝１相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是________．解析：由错误!得x１＝0，x２＝２．所以S＝错误!（—x２＋２x＋１—１）d x＝错误!（—x２＋２x）d x＝错误!错误!＝—错误!＋４＝错误!.答案：错误![学生用书P５３]定积分的计算（多维探究）角度一利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!cos x d x；（３）错误!错误!d x.【解】（１）因为（ln x）′＝错误!，所以错误!错误!d x＝２错误!错误!d x＝２ln x错误!＝２（ln ２—ln １）＝２ln ２．（２）因为（sin x）′＝cos x，所以错误!cos x d x＝sin x错误!＝sin π—sin 0＝0．（３）因为（x２）′＝２x，错误!′＝—错误!，所以错误!错误!d x＝错误!２x d x＋错误!错误!d x＝x２错误!＋错误!错误!＝错误!.角度二利用定积分的几何意义求定积分计算下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!（３x３＋４sin x）d x.【解】（１）根据定积分的几何意义，可知错误!错误!d x表示的是圆（x—１）２＋y２＝１的面积的错误!（如图中阴影部分）．故错误!错误!d x＝错误!.（２）设y＝f（x）＝３x３＋４sin x，则f（—x）＝３（—x）３＋４sin（—x）＝—（３x３＋４sin x）＝—f（x），所以f（x）＝３x３＋４sin x在[—５，５]上是奇函数．所以错误!（３x３＋４sin x）d x＝—错误!（３x３＋４sin x）d x.所以错误!（３x３＋４sin x）d x＝错误!（３x３＋４sin x）d x＋错误!（３x３＋４sin x）d x＝0．错误!计算定积分的解题步骤（１）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．（２）把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．（３）分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．（４）利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[提醒] 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．１．错误!e|x|d x的值为（）Ａ．２Ｂ．２eＣ．２e—２Ｄ．２e＋２解析：选Ｃ．错误!e|x|d x＝错误!e—x d x＋错误!e x d x＝—e—x错误!＋e x错误!＝[—e0—（—e）]＋（e—e0）＝—１＋e＋e—１＝２e—２，故选Ｃ．２．错误!错误!d x＝________．解析：错误!错误!d x＝错误!错误!d x＋错误!错误!x d x，错误!错误!x d x＝错误!，错误!错误!d x表示四分之一单位圆的面积，为错误!，所以结果是错误!.答案：错误!利用定积分求平面图形的面积（师生共研）（一题多解）求由抛物线y２＝２x与直线y＝x—４围成的平面图形的面积．【解】如图所示，解方程组错误!得两交点的坐标分别为（２，—２），（8，４）．法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积S可看作两部分面积之和，即S＝２错误!错误!d x＋错误!（错误!—x＋４）d x＝１8．法二：选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影部分的面积S＝错误!错误!d y＝１8．错误!设阴影部分的面积为S，则对如图所示的四种情况分别有：（１）S＝错误!f（x）d x.（２）S＝—错误!f（x）d x.（３）S＝错误!f（x）d x—错误!f（x）d x.（４）S＝错误!f（x）d x—错误!g（x）d x＝错误![f（x）—g（x）]d x.１．已知曲线C：y＝x２＋２x在点（0，0）处的切线为l，则由C，l以及直线x＝１围成的区域的面积等于________．解析：因为y′＝２x＋２，所以曲线C：y＝x２＋２x在点（0，0）处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝２，所以切线方程为y＝２x，所以由C，l以及直线x＝１围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S＝错误!（x ２＋２x—２x）d x＝错误!x２d x＝错误!错误!＝错误!.答案：错误!２．已知函数f（x）＝—x３＋ax２＋bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为错误!，则a的值为________．解析：f′（x）＝—３x２＋２ax＋b，因为f′（0）＝0，所以b＝0，所以f（x）＝—x３＋ax２，令f （x）＝0，得x＝0或x＝a（a＜0）．S阴影＝—错误!（—x３＋ax２）d x＝错误!a４＝错误!，所以a＝—１．答案：—１定积分在物理中的应用（师生共研）（１）一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝7—３t＋错误!（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）Ａ．１＋２５ln ５B．8＋２５ln 错误!Ｃ．４＋２５ln ５D．４＋５0ln ２（２）一物体在力F（x）＝错误!（单位：N）的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝４（单位：m）处，则力F（x）做的功为________J.【解析】（１）令v（t）＝0得，３t２—４t—３２＝0，解得t＝４错误!.汽车的刹车距离是错误!错误!d t＝[7t—错误!t２＋２５ln（t＋１）]错误!＝４＋２５ln ５．（２）由题意知，力F（x）所做的功为W＝错误!F（x）d x＝错误!５d x＋错误!（３x＋４）d x＝５×２＋错误!错误!＝１0＋错误!＝３6（J）．【答案】（１）C （２）３6错误!定积分在物理中的两个应用（１）求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v＝v（t），那么从时刻t＝a 到t＝b所经过的路程s＝错误!v（t）d t.（２）变力做功，一物体在变力F（x）的作用下，沿着与F（x）相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F（x）所做的功是W＝错误!F（x）d x.１．物体A以v＝３t２＋１（m/s）的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方５m处，同时以v＝１0t（m/s）的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t （s）为（）Ａ．３B．４Ｃ．５D．6解析：选Ｃ．因为物体A在t秒内行驶的路程为错误!（３t２＋１）d t，物体B在t秒内行驶的路程为错误!１0t d t，因为（t３＋t—５t２）′＝３t２＋１—１0t，所以错误!（３t２＋１—１0t）d t＝（t３＋t—５t２）错误!＝t３＋t—５t２＝５，整理得（t—５）（t２＋１）＝0，解得t＝５．２．设变力F（x）作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝１运动到x＝１0，已知F（x）＝x２＋１且方向和x轴正向相同，则变力F（x）对质点M所做的功为________J（x的单位：m；力的单位：N）．解析：变力F（x）＝x２＋１使质点M沿x轴正向从x＝１运动到x＝１0所做的功为W＝错误!F（x）d x＝错误!（x２＋１）d x，因为错误!′＝x２＋１，所以原式＝３４２（J）．答案：３４２[学生用书P２7４（单独成册）][基础题组练]１．定积分错误!（３x＋e x）d x的值为（）Ａ．e＋１Ｂ．eＣ．e—错误!Ｄ．e＋错误!解析：选Ｄ．错误!（３x＋e x）d x＝错误!错误!＝错误!＋e—１＝错误!＋e.２．若f（x）＝错误!f（f（１））＝１，则a的值为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．—１Ｄ．—２解析：选Ａ．因为f（１）＝lg １＝0，f（0）＝错误!３t２d t＝t３错误!＝a３，所以由f（f（１））＝１得a３＝１，所以a＝１．３．若f（x）＝x２＋２错误!f（x）d x，则错误!f（x）d x＝（）Ａ．—１Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．１解析：选Ｂ．因为f（x）＝x２＋２错误!f（x）d x，所以错误!f（x）d x＝错误!|错误!＝错误!＋２错误!f（x）d x，所以错误!f（x）d x＝—错误!.４．设f（x）＝错误!则错误!f（x）d x的值为（）Ａ．错误!＋错误!Ｂ．错误!＋３Ｃ．错误!＋错误!Ｄ．错误!＋３解析：选Ａ．错误!f（x）d x＝错误!错误!d x＋错误!（x２—１）d x＝错误!π×１２＋错误!错误!＝错误!＋错误!，故选Ａ．５．由曲线y＝x２和曲线y＝错误!围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．由错误!解得错误!或错误!所以阴影部分的面积为错误!（错误!—x２）d x＝错误!.故选Ａ．6．定积分错误!（x２＋sin x）d x＝________．解析：错误!（x２＋sin x）d x＝错误!x２d x＋错误!sin x d x＝２错误!x２d x＝２·错误!错误!＝错误!.答案：错误!7．错误!（x２tan x＋x３＋１）d x＝________．解析：因为x２tan x＋x３是奇函数．所以错误!（x２tan x＋x３＋１）d x＝错误!１d x＝x|错误!＝２．答案：２8．一物体受到与它运动方向相反的力：F（x）＝错误!e x＋x的作用，则它从x＝0运动到x＝１时F （x）所做的功等于________．解析：由题意知W＝—错误!错误!d x＝—错误!错误!＝—错误!—错误!.答案：—错误!—错误!9．求下列定积分：（１）错误!错误!d x；（２）错误!（cos x＋e x）d x.解：（１）错误!错误!d x＝错误!x d x—错误!x２d x＋错误!错误!d x＝错误!错误!—错误!错误!＋ln x错误!＝错误!—错误!＋ln ２＝ln ２—错误!.（２）错误!（cos x＋e x）d x＝错误!cos x d x＋错误!e x d x＝sin x错误!＋e x错误!＝１—错误!.１0．已知函数f（x）＝x３—x２＋x＋１，求其在点（１，２）处的切线与函数g（x）＝x２围成的图形的面积．解：因为（１，２）为曲线f（x）＝x３—x２＋x＋１上的点，设过点（１，２）处的切线的斜率为k，则k＝f′（１）＝（３x２—２x＋１）|x＝１＝２，所以过点（１，２）处的切线方程为y—２＝２（x—１），即y＝２x.y＝２x与函数g（x）＝x２围成的图形如图中阴影部分所示，由错误!可得交点A（２，４），O（0，0），故y＝２x与函数g（x）＝x２围成的图形的面积S＝错误!（２x—x２）d x＝错误!错误!＝４—错误!＝错误!.[综合题组练]１．由曲线xy＝１，直线y＝x，x＝３所围成的封闭平面图形的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．４—ln ３Ｃ．４＋ln ３Ｄ．２—ln ３解析：选Ｂ．画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy＝１，直线y＝x，x＝３所围成的封闭的平面图形如图所示：由错误!得错误!或错误!由错误!得错误!故阴影部分的面积为错误!错误!d x＝错误!错误!＝４—ln ３．２．设函数f（x）＝ax２＋c（a≠0），若错误!f（x）d x＝f（x0），0≤x0≤１，则x0的值为________．解析：错误!f（x）d x＝错误!（ax２＋c）d x＝错误!错误!＝错误!a＋c＝f（x0）＝ax错误!＋c，所以x错误!＝错误!，x0＝±错误!.又因为0≤x0≤１，所以x0＝错误!.答案：错误!３．错误!（错误!＋e x—１）d x＝________．解析：错误!（错误!＋e x—１）d x＝错误!错误!d x＋错误!（e x—１）d x.因为错误!错误!d x表示单位圆的上半部分的面积，所以错误!错误!d x＝错误!.而错误!（e x—１）d x＝（e x—x）错误!＝（e１—１）—（e—１＋１）＝e—错误!—２，所以错误!（错误!＋e x—１）d x＝错误!＋e—错误!—２．答案：错误!＋e—错误!—２４．若函数f（x）在R上可导，f（x）＝x３＋x２f′（１），则错误!f（x）d x＝________．解析：因为f（x）＝x３＋x２f′（１），所以f′（x）＝３x２＋２xf′（１）．所以f′（１）＝３＋２f′（１），解得f′（１）＝—３．所以f（x）＝x３—３x２.故错误!f（x）d x＝错误!（x３—３x２）d x＝错误!错误!＝—４．答案：—４５．如图，在曲线C：y＝x２，x∈[0，１]上取点P（t，t２），过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x＝0，x＝１及直线l围成的图形包括两部分，面积分别记为S１，S２.当S１＝S２时，求t的值．解：根据题意，直线l的方程是y＝t２，且0＜t＜１．结合题图，得交点坐标分别是A（0，0），P（t，t２），B（１，１）．所以S１＝错误!（t２—x２）d x＝错误!错误!＝t３—错误!t３＝错误!t３，0＜t＜１．S２＝错误!（x２—t２）d x＝错误!错误!＝错误!—错误!＝错误!t３—t２＋错误!，0＜t＜１．由S１＝S２，得错误!t３＝错误!t３—t２＋错误!，所以t２＝错误!.又0＜t＜１，所以t＝错误!.所以当S１＝S２时，t＝错误!.。

【走向高考】高三数学一轮复习 3-3定积分与微积分基本定理课件 (理) 北师大版

2
1 6．若 (2x＋k)dx＝2，则k＝________.
0
[答案] 1
[解析] ＝1.
1
(2x＋k)dx＝(x2＋kx)|01＝1＋k∴1＋k＝2∴k
0
7．求定积分
sinx－1 2 x>0 x
1
－1f(x)dx，其中f(x)＝
x≤0
.
1 0
π 2x (2)∫20sin 2dx； x3， x∈[0，1]， (3)求函数f(x)＝ x， x∈[1，2]， 2x， x∈[2，3] 的积分．
在区间[0,3]上
[分析]
对于(1)(2)，可首先找出一个原函数，然后利
用微积分基本定理求解；(3)为分段函数，在[0,3]上的积分
可分成几段积分的和的形式．
区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设S
＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn. 在这个小区间上取一点 ηi ，使 f(ηi) 在区间 [xi － 1 ， xi] 上的值最小，设 s ＝ f(η1)Δx1 ＋ f(η2)Δx2 ＋…＋ f(ηi)Δxi ＋…＋ f(ηn)Δxn.
考纲解读
1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，
了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义．
考向预测
以选择题、填空题为主考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理．
知识梳理 1．定积分的定义一般地，给定一个在区间 [a， b] 的函数 y ＝f(x) ，将 [a， b]区间分成n份，分点为：a＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝b. 第i个小区间为[xi －1 ，xi]，设其长度为 Δxi，在这个小

高考数学一轮复习第3章导数及其应用第7节定积分与微积分基本定理教学案理北师大版-北师大版

第七节定积分与微积分基本定理[最新考纲] 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．1．定积分的有关概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点δi (i ＝1,2，…，n )，作和式s ′＝f (δ1)Δx 1＋f (δ2)Δx 2＋…＋f (δi )Δx i ＋…＋f (δn )Δx n .当每个小区间的长度Δx 趋于0时，s ′的值趋于一个常数A .我们称常数A 叫作函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝A .在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．(2)定积分的几何意义图形阴影部分面积S ＝⎠⎛ab f (x )d xS ＝－⎠⎛ab f (x )d xS ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛c b f (x )d xS ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛ab g (x )d x＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x2．定积分的性质 (1)⎠⎛ab 1d x ＝b －a ；(2)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；(3)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；(4)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式．通常称F (x )是f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|ba ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．[常用结论]函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，那么有 (1)假设f (x )为偶函数，那么⎠⎛-a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)假设f (x )为奇函数，那么⎠⎛-aa f (x )d x ＝0.一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，那么⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( )(2)定积分一定是曲边梯形的面积．( )(3)假设⎠⎛ab f (x )d x ＜0，那么由y ＝f (x )的图像，直线x ＝a ，直线x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× 二、教材改编1．质点的速率v ＝10t ，那么从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( ) A ．10t 20B ．5t 20 C ．103t 20D ．53t 20B [S ＝⎠⎛0t 0v d t ＝⎠⎛0t 010t d t ＝5t 2⎪⎪⎪t 00＝5t 20.]2．⎠⎛2e ＋11x －1d x ＝________. 1 [⎠⎛2e ＋11x －1d x ＝ln(x －1)⎪⎪⎪e ＋12＝ln e －ln 1＝1. ]3.⎠⎛－101－x 2d x ＝________.π4 [⎠⎛－101－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝－1，y ＝0以及曲线y ＝1－x 2所围成的图形的面积，∴⎠⎛－11－x 2d x ＝π4.] 4．曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 16[如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)．故所求面积为S ＝⎠⎛01 (x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝16.]考点1 定积分的计算计算定积分的步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．1.计算⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x 的值为( )A.34B.32＋ln 2 C.52＋ln 2 D.3＋ln 2 B [⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ln x ⎪⎪⎪21＝2＋ln 2－12＝32＋ln 2.应选B.] 2.⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________.2 [⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x )| π0＝1＋1＝2.]3.⎠⎛01|x －1|d x ＝________.12 [⎠⎛01|x －1|d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2⎪⎪⎪0) ＝1－12＝12.]运用微积分基本定理求定积分时的4个关键点(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性〞，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分． (4)注意用“F ′(x )＝f (x )〞检验积分的对错．考点2 定积分的几何意义(1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限． (3)把曲边梯形的面积表示成假设干个定积分的和． (4)计算定积分，写出答案．利用定积分的几何意义计算定积分 (1)计算：⎠⎛133＋2x －x 2d x ＝________.(2)假设⎠⎛-2m－x 2－2x d x ＝π4，那么m ＝________.(1)π (2)－1 [(1)由定积分的几何意义知，⎠⎛133＋2x －x 2d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝4和x ＝1，x ＝3，y ＝0围成的图形的面积，∴⎠⎛133＋2x －x 2d x ＝14×π×4＝π.(2)根据定积分的几何意义⎠⎛-2m－x 2－2x d x 表示圆(x ＋1)2＋y 2＝1和直线x ＝－2，x ＝m和y ＝0围成的图形的面积，又⎠⎛-2m －x 2－2x d x ＝π4为四分之一圆的面积，结合图形知m ＝－1.]正确画出定积分所对应的几何图形是解决此类问题的关键．求平面图形的面积由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成的封闭平面图形的面积为________．4－ln 3 [由xy ＝1，y ＝3，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3. 由xy ＝1，y ＝x ，可得B (1,1)，由y ＝x ，y ＝3，得C (3,3)，由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，y ＝3所围成图形的面积为⎠⎜⎛131⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝(3x －ln x )⎪⎪⎪⎪113＋⎝⎛⎭⎪⎫3 x －12 x 2⎪⎪⎪31＝(3x －1－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9－92－3＋12＝4－ln 3.][逆向问题] 曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，那么k ＝________.2 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，那么曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3|k 0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，所以k ＝2.]利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．1.曲线y ＝－x ＋2，y ＝x 与x 轴所围成的面积为________．76[如下图，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得交点横坐标为x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(－x ＋2)d x ＝23x |10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 22|21＝76.]2.如下图，由抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (0，－3)和点B (3,0)处的切线所围成图形的面积为________．94[由y ＝－x 2＋4x －3，得y ′＝－2x ＋4， ∴y ′|x ＝0＝4，y ′|x ＝3＝－2，∴抛物线在A 点处的切线方程为y ＝4x －3，在B 点处的切线方程为y ＝－2x ＋6，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －3，y ＝－2x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝3，∴两切线交点的横坐标为32，∴S ＝⎠⎜⎛032 [(4x －3)－(－x 2＋4x －3)]d x ＋⎠⎜⎛323⎠⎛332[(－2x ＋6)－(－x 2＋4x －3)]d x ＝⎠⎜⎛032x 2d x ＋⎠⎜⎛323(x 2－6x ＋9)d x＝13x 3⎪⎪⎪⎪32 3＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x ⎪⎪⎪⎪332＝98＋98＝94.] 考点3 定积分在物理中的应用定积分在物理中的2个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 运动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，那么由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433J D.2 3 J (1)C (2)C [(1)由v (t )＝7－3t ＋251＋t＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，在此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln 1＋t |4＝4＋25ln 5.(2)变力F 在位移方向上的分力为F cos 30°，故F (x )做的功为W ＝⎠⎛12(5－x 2)cos 30°d x＝32⎠⎛12(5－x 2)d x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 3|21433如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝－⎠⎛ab v (t )d t .物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的出发地的距离是______m.130 [设A 追上B 时，所用的时间为t 0，那么S A ＝S B ＋5，即⎠⎛0t 0∫ (3t 2＋1)d t ＝⎠⎛0t 0 (10t )d t ＋5，∴(t 3＋t )⎪⎪⎪⎪t00)＝520＋5， ∴t 30＋t 0＝520＋1即t 0＝5，,∴S A ＝520＋5＝5×52＋5＝130m .]。

2020版高考数学定积分与微积分基本定理课件理北师大版

π
D.2+2
π
思考怎样求曲线围成的平面图形的面积?
-17考点1
考点2
考点3
考点4
解析:易知 y=sin x 与 y=π x 均为奇函数,当 x=2 时,sin 2 =1,π × 2 =1,故已知的两曲线在第一象限的交点坐标为
π π 2
2
π
π
2
π
,1 ,根据对称性,已知的两
π 2
曲线在第三象限的交点坐标为 - 2 ,-1 , 故两曲线所围成的封闭图形的面积为 2 =2 -cos��π 4 �� 2 π
1 0
1 1 2 1-�� dx=4π,∴ -π
f(x)dx=4 -2,故选 D.
π
-16考点1
考点2
考点3
考点4
利用定积分求图形面积(多考向) 考向1 求曲线围成的平面图形的面积
例 3 曲线 y=sin x 与 y= x 围成的封闭图形的面积为( B ) π A.1-4
π
2
B.2-2
π
C.2
�� f(x)dx; ��
��
;
f(x)dx
;
��
f(x)dx-
��
g(x)dx=
[f(x)-g(x)]dx.
-6知识梳理
考点自诊
1. 判断下列结论是否正确, 正确的画“√”, 错误的画“×”.
3.(2018河南六市联考一,4)汽车以v=(3t+2)m/s作变速运动时,在第1 s至2 s之间的1 s内经过的路程是 ( D )

2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：3.3 定积分与微积分基本定理 .pdf

考点2
考点3
考点4
-27-
对点训练4(1)一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2,质点
做直线运动,则此质点在时间[1,2]内的位移为( A )
(2)一物体在力
的作用下沿与力F相同的方
向,从x=0处运动到x=4处,则力F(x)做的功为 3 6 J(力的单
位:N,x的单位:m).
考点1
A.1+25ln 5 B.8+25ln
C.4+25ln 5 D.4+50ln 2
(2)已知变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到
x=10,若F(x)=x2+1,且方向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做
的功为 3 42 J(x的单位:m;力的单位:N).
考点1
考点2
考点3
积分号 f(x)
知识梳理考点自诊
-4-
F(b)-F(a)
知识梳理考点自诊
-5-
5.定积分的几何意义如图:
知识梳理考点自诊
√
-6-
√
√
×
√
知识梳理考点自诊
-7-
B
3.(2018河南六市联考一,4)汽车以v=(3t+2)m/s作变速运动时,在第1
s至2 s之间的1 s内经过的路程是 ( D )
考点1
考点2
考点3
考点4
-12-
考点1
考点2
考点3
考点4
利用定积分的几何意义求定积分
-13-
考点1
考点2
考点3
考点4
-14-
思考如何利用定积分几何意义求定积分? 解题心得当被积函数的原函数不易求,而被积函数的图像与直线 x=a,x=b,y=0所围成的曲边图形形状规则,面积易求时,利用定积分的几何意义求定积分.

北师大版高三数学(理)一轮复习《定积分与微积分基本定理》课件

双击自测
核心考点
-22-
考点1
考点2
考点3 知识方法易错易混
对点训练2 (1)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与
C所围成的图形的面积等于( )
��
= =
0, 0
或
�� = 1, �� = 1.
故1 所求面积
6
S=∫01
(x-x2)dx=
1 ��2- 1 ��3
23
1 = 1.
06
关闭
解析答案
考点1
第三章
3.4 定积分与微积分基本定理
考纲要求
知识梳理
双击自测
考点2
考点3 知识方法易错易混
13+2∫01 f(x)dx,
∴B∫01 f(x)dx=-13.故选 B.
关闭
解析答案
第三章
3.4 定积分与微积分基本定理
考纲要求
知识梳理
双击自测
考点1
考点2
考点3 知识方法易错易混
(2)定积分∫03 √9-��2dx 的值为
.
核心考点
-17-
关闭
由定积分的几何意义知,∫03 9-��2dx 是由曲线 y= 9-��2,直线
3.4 定积分与微积分基本定理
第三章
3.4 定积分与微积分基本定理
考纲要求
知识梳理
双击自测
核心考点
-2-
考纲要求:1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义.
第三章
3.4 定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理课件

定积分与微积分基本定理 ppt课件
欢迎来到本次课程，我们将深入探讨定积分与微积分的基本定理。
定积分的概念与性质
1 概念
定积分是用来计算曲线下面的面积或者计算变化率的数学工具。
2 性质
定积分具有加法性、线性性、保号性、保序性等基本性质。
3 重要定理
有界函数定积分存在性定理、定积分的中值定理等。
定积分的定义
1 黎曼和
定积分定义为用无穷小矩形逼近曲线下面的面积，并在极限存在时得出结果。
2 积分上限与下限
定义了定积分的区间，上限与下限决定了曲线下面的范围。
3 求解方法
可以进行直接计算、几何意义、等价改写等方式求解定积分。
计算定积分的方法
1
换元法
通过变量代换，把原有的积分式子转化为更简单的形式，以便求解。
2
分部积分法
通过将积分式子分解成两个函数的乘积，再逐步求解得到结果。
3
级数法
将函数展开成幂级数，再通过对级数求积分计算定积分。
微积分基本定理的内容
第一基本定理
定积分与原函数之间的关系，使得我们可以通过求导得到定积分。
第二基本定理
计算定积分时，我们可以通过寻找原函数的算法来简化计和推导来证明微积分基本定理的正确性，为其在实际使用中奠定基础。
微积分基本定理的应用
物理学
微积分在物理学中常用于描述运动、力学和电磁学等领域。
经济学
工程学
经济学家使用微积分来研究需求和供给、垄断和竞争等经济现象。
工程学中的建模和设计过程依赖于微积分来解决复杂的问题。
展望与总结
通过学习定积分与微积分的基本定理，你将更深入理解数学背后的美妙，并能应用于各个领域。

3-3定积分与微积分基本定理(理)

北师大版
第3章
第三节
高考数学总复习
[解析] (1)2(3x2＋4x3)dx＝23x2dx＋24x3dx
0 0 0
＝x3|2＋x4|2＝24. 0 0 (2)
π 2x π1－cosx sin dx＝ dx 2 2 2 2 0 0
北师大版
第3章
第三节
高考数学总复习
考向预测以选择题、填空题为主考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理．
北师大版
第3章
第三节
高考数学总复习
北师大版
第3章
第三节
高考数学总复习
知识梳理 1．定积分的定义一般地，给定一个在区间[a，b]的函数 y＝f(x)，将[a，b] 区间分成 n 份，分点为：a＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝b.
高考数学总复习
(3)由积分性质知
3
f(x)dx＝1f(x)dx＋2f(x)dx＋3f(x)dx

0
1
0
1 xBiblioteka 2＝ x dx＋
0 3
1
3
2
xdx＋ 2 dx
2
1
3
北师大版
1 ＝ x dx＋ x dx＋32xdx 2

北师大版
a
第3章
第三节
高考数学总复习
5．利用牛顿——莱布尼兹公式求定积分的关键是求被积
函数的原函数，可将基本初等函数的导数公式逆向使用．
6．定积分在几何中的应用 (1)当 x∈[a，b]且 f(x)>0 时，由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y b f(x)dx ＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积为 S＝ a .

2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：3.3 定积分与微积分基本定理

1 0
1 1 2 1-�� dx=4π,∴ -π
f(x)dx=4 -2,故选 D.
π
-16考点1
考点2
考点3
考点4
利用定积分求图形面积(多考向) 考向1 求曲线围成的平面图形的面积
例 3 曲线 y=sin x 与 y= x 围成的封闭图形的面积为( B ) π A.1-4
π
2
B.2-2
π
C.2
3.(2018河南六市联考一,4)汽车以v=(3t+2)m/s作变速运动时,在第1 s至2 s之间的1 s内经过的路程是 ( D )
A.5 m
11 B. 2
m
C.6 m
13 D. 2
m
随堂巩固
知识梳理
考点自诊
-8-
�� 2 ,0 ≤ �� ≤ 1, 4.设函数 f(x)= 则定积分 1,1 < �� ≤ 2, A.3
�� f(x)dx; ��
��
;
f(x)dx
;
��
f(x)dx-
��
g(x)dx=
[f(x)-g(x)]dx.
随堂巩固
知识梳理
考点自诊
-6-
1. 判断下列结论是否正确, 正确的画“√”, 错误的画“×”.
-21考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练 3(1)直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( D ) A.2√2 (2)若 A.-1
A, 我们称 A 是函数 y=f (x)在区间[a, b]上的定积分, 记作 f (x)dx=A. 其中叫作积分号 f(x) 叫作被积函数. 的上限,

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(2)分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．
(3)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．
[分析] 先由定积分的性质将其分解成各简单函数的定积分，再利用牛顿—莱布尼兹公式求解．
[解析]
(1)2(x2＋2x＋1)dx＝2x2dx＋22xdx＋2x2|12＋x|12＝139.
(2)π(sinx－cosx)dx＝πsinxdx－πcosxdx
0
0
0
＝(－cosx)|0π－sinx|0π＝2.
(3)12x－x2＋1xdx＝12xdx－12x2dx＋121xdx ＝x22|12－x33|12＋lnx|12
[点评] (1)求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求出函数f(x)的一个原函数，要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系．
sinx－1 x≤0
x2 x>0
.
[解析] 1－1f(x)dx＝0－1f(x)dx＋1f(x)dx 0
＝0－1(sinx－1)dx＋1x2dx 0
＝(－cosx－x)|－10＋13x3|01
＝cos1－2＋13＝cos1－53.
[例1] 求下列定积分： (1)2(3x2＋4x3)dx；
0
(2)∫π20sin22xdx； x3， x∈[0，1]，
其中∫叫做积分号，a叫作积分下限作积分上限，f(x)叫作被积函数．
，b叫
3．定积分的运算性质
5 ．利用牛顿 —— 莱布尼兹公式求定积分的关键是求被积函数的原函数，可将基本初等函数的导数公式逆向使用．
6．定积分在几何中的应用
7．定积分在物理中的应用 (1)匀变速运动的路程公式作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝
0
＝13a＋c＝f(x0)＝ax02＋c (a≠0)，
∴x02＝13，又∵0≤x0≤1，∴x0＝
3 3.
6．若1(2x＋k)dx＝2，则k＝________. 0
[答案] 1
[解析] ＝1.
1
(2x＋k)dx＝(x2＋kx)|01＝1＋k∴1＋k＝2∴k
0
7．求定积分
1
－1f(x)dx，其中f(x)＝
。 (2)变力作功公式一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)(单位： m)，则力F所作的功为W＝
基础自测
1．(2010·湖南理)41xdx等于( 2
A．－2ln2 C．－ln2 [答案] D
)
B．2ln2 D．ln2
[解析] ln2＝ln2.
3．已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一
路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如右图所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( )
A．在t1时刻，甲车在乙车前面 B．t1时刻后，甲车在乙车后面 C．在t0时刻，两车的位置相同 D．t0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A
(3)求函数f(x)＝ x， x∈[1，2]， 2x， x∈[2，3]
的积分．
在区间[0,3]上
[分析] 对于(1)(2)，可首先找出一个原函数，然后利用微积分基本定理求解；(3)为分段函数，在[0,3]上的积分可分成几段积分的和的形式．
[点评] (1)求函数f(x)的定积分，关键是求出函数f(x) 的一个原函数F(x)，即满足F′(x)＝f(x)．正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系．
考纲解读 1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义．考向预测以选择题、填空题为主考查定积分的几何意义、基本性质和微积分基本定理．
知识梳理
1．定积分的定义
一般地，给定一个在区间[a，b]的函数y＝f(x)，将[a，
b]区间分成n份，分点为：a＝x0<x1<x2<…<xn－1<xn＝b. 第i个小区间为[xi－1，xi]，设其长度为Δxi，在这个小
(2)求复杂函数定积分要依据定积分的性质． ①有限个函数代数和的积分，等于各个函数积分的代数和，
即b[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx a
＝bf1(x)dx±bf2(x)dx±…±bfn(x)dx.
a
a
a
②常数因子可提到积分符号外面，
即bkf(x)dx＝kbf(x)dx.
a
a
③当积分上限与下限交换时，积分值一定要变号，即
因为(lnx)′＝
1 x
，所以
4
1 x
dx＝lnx|24＝ln4－
2
2．(2009·福建理)∫π2－2π(1＋cosx)dx等于( )
A．π
B．2
C．π－2
D．π＋2
[答案] D
[解析] 本小题主要考查定积分等基础知识．
∫π2－2π(1＋cosx)dx＝(x＋sinx)π2－2π＝π＋2，故选D.
∴围成图形面积S＝∫1c0|x2－cx3|dx＝23，解得c＝12.
5．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若
1
f(x)dx＝f(x0)，
0
0≤x0≤1，则x0的值为________．
[答案]
3 3
[解析] 本题考查定积分知识．
由1f(x)dx＝1(ax2＋c)dx＝(13ax3＋cx)|01
0
[解析] 考查读图识图能力和曲线的变化率．由图像可知，曲线v甲比v乙在0～t0和0～t1之间与x轴围成面积都大，故在t0、t1时刻，甲车均在乙车前面．
4．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成图形的面积是
23，则c的值为( )
A．2
1 B.2
C．3
1 D.3
[答案] B
[解析] 由yy＝＝xcx2 3 得x＝0或1c，
bf(x)dx＝－af(x)dx.
区间上取一点ξi，使f(ξi)在区间[xi－1，xi]上的值最大，设S ＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δxi＋…＋f(ξn)Δxn.
在这个小区间上取一点ηi，使f(ηi)在区间[xi－1，xi]上的值最小，设 s ＝ f(η1)Δx1 ＋ f(η2)Δx2 ＋ … ＋ f(ηi)Δxi ＋ … ＋ f(ηn)Δxn.