人教A版高中数学选修4-5同步练习-反证法与放缩法

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人教版数学高二A版选修4-5 2.3反证法与放缩法

课后训练1．设|a |＜1，则P ＝|a ＋b |－|a －b |与2的大小关系是( )．A ．P ＞2B ．P ＜2C ．P ＝2D ．不确定2．设x ＞0，y ＞0，1x y A x y ＋＝＋＋，11x y B x y＝＋＋＋，则A 与B 的大小关系为( )． A ．A ≥B B ．A ≤BC ．A ＞BD ．A ＜B3．lg 9lg 11与1的大小关系是________．4．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|＜|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|＜12.那么它的假设应该是__________．5．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的__________条件．6．1A n＝＋与n ∈N ＋)的大小关系是________． 7．若|a |＜1，|b |＜1，求证：||<11a b ab ＋＋． 8．求证：11111<3112123123n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＋(n ∈N ＋)．已知()1x f x x ＝＋(x ≠－1)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若a ＞b ＞0，c ＝f (a )＋f (c )＞45.参考答案1. 答案：B解析：P ＝|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )－(b －a )|＝2|a |＜2.2. 答案：D解析：<1111x y x y A B x y x y x y＝＋＋＝＋＋＋＋＋＋. 3. 答案：lg 9lg 11＜1lg9lg11lg99lg100<1222＋＝＝，∴lg 9lg 11＜1．4.答案：假设|f(x1)－f(x2)|≥125.答案：充要解析：必要性是显然成立的；当PQR＞0时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P＞0，Q＜0，R＜0，则Q＋R＝2c＜0，这与c＞0矛盾，即充分性也成立．6.答案：A≥解析：An＋nn n n n≥共＋＋＋＝项.7.证明：假设||11a bab≥＋＋，则|a＋b|≥|1＋ab|，∴a2＋b2＋2ab≥1＋2ab＋a2b2，∴a2＋b2－a2b2－1≥0，∴a2－1－b2(a2－1)≥0，∴(a2－1)(1－b2)≥0，∴221010ab⎧≥⎨≥⎩－，－，或221010ab⎧≤⎨≤⎩，－－，∴2211ab⎧≥⎨≤⎩，，或2211ab⎧≤⎨≥⎩，与已知矛盾．∴||<11a bab＋＋．8.证明：由1111<12312222kk⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯－＝(k是大于2的自然数)，得11111112123123n⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯＋＋＋＋＋2311111<1112222n－＋＋＋＋＋＋＝＋111123<31212nn－－＝－－.∴原不等式成立．9. (1)解：1()111xf xx x＝＝－＋＋，所以f(x)在区间(－∞，－1)和(－1，＋∞)上分别为增函数．(2)证明：首先证明对于任意的x＞y＞0，有f(x＋y)＜f(x)＋f(y)．f(x)＋f(y)＝11x yx y＋＋＋>11xy xy x y xy x y xy x y xy x y ＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋＋＝f (xy ＋x ＋y )．而xy ＋x ＋y ＞x ＋y ，由(1)，知f (xy ＋x ＋y )＞f (x ＋y )，所以f (x )＋f (y )＞f (x ＋y )．因为c ≥＝4>0a＝＝，所以44a c a a ≥≥＋＋，当且仅当a ＝2时，等号成立．所以f (a )＋f (c )＞f (a ＋c )≥f (4)＝44415＝＋，即f (a )＋f (c )＞45.。

人教A版选修4-5 第2讲 3 反证法与放缩法作业

第二讲三第8课时反证法与放缩法提能达标过关一、选择题1．已知f (x )在R 上为增函数，且f (x 0)＝f (1)，则( ) A ．x 0>1 B ．x 0＝1 C ．x 0<1D ．x 0≠1解析：①若x 0>1，∵f (x )是增函数， ∴f (x 0)>f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾．②若x 0<1，∵f (x )是增函数，∴f (x 0)<f (1)，这与已知f (x 0)＝f (1)矛盾．综合①②知，x 0＝1. 答案：B2．设a ，b 是不相等的实数，且a ＋b ＝2，则下列不等式成立的是( ) A ．ab ≤1≤a 2＋b 22 B ．ab ≤a 2＋b 22≤1 C ．1<ab <a 2＋b 22D ．ab <1<a 2＋b 22解析：由不等式 a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ，得a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab .又∵a ＋b ＝2，且a ≠b .∴ab <1<a 2＋b 22.答案：D3．(2019·福清东张中学期中)设a ，b ，c 大于0，a ＋b ＋c ＝3，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( )A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2 解析：假设3个数：a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a <6， ∵a ，b ，c 大于0，利用基本不等式⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，这与假设所得结论相矛盾，故假设不成立，所以3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中至少有一个不小于2，故选D. 答案：D4．(2019·辽宁德才期中)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数解析：因为结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”，可得题设为a ，b ，c 中恰有一个偶数，所以反设的内容是假设a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数，故选B.答案：B5．设a ，b ∈R ，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出“a ，b 中至少有一个实数大于1”的条件有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：对于①，a ，b 均可以小于1；对于②，a ，b 均可以等于1；对于③，若a ，b 都不大于1，则a ＋b ≤2，这与③矛盾，则a ，b 中至少有一个实数大于1，对于④⑤，a ，b 可以是负数．答案：A 二、填空题6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝。

人教新课标A版选修4-5数学2.3反证法与放缩法同步检测C卷

人教新课标A版选修4-5数学2.3反证法与放缩法同步检测C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共9题；共18分)1. （2分） (2017高二下·赣州期中) 用反证法证明命题“若自然数a，b，c的积为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）A . a，b，c中至多有一个偶数B . a，b，c都是奇数C . a，b，c至多有一个奇数D . a，b，c都是偶数2. （2分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A . 假设至少有一个钝角B . 假设至少有两个钝角C . 假设没有一个钝角D . 假设没有一个钝角或至少有两个钝角3. （2分） (2015高二下·福州期中) 设a，b，c都是正数，那么三个数a+ ，b+ ，c+ （）A . 都不大于2B . 都不小于2C . 至少有一个不大于2D . 至少有一个不小于24. （2分） (2017高二下·海淀期中) 若a，b，c均为正实数，则三个数a+ ，b+ ，c+ 这三个数中不小于2的数（）A . 可以不存在B . 至少有1个C . 至少有2个D . 至多有2个5. （2分） (2016高二下·邯郸期中) 下列说法中，正确的有（）①用反证法证明命题“a，b∈R，方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要作的假设是“方程至多有两个实根”；②用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3﹣1，在验证n=1时，左边的式子是1+2+22；③用数学归纳法证明 + +…+ ＞（n∈N*）的过程中，由n=k推导到n=k+1时，左边增加的项为 + ，没有减少的项；④演绎推理的结论一定正确；⑤要证明“ ﹣＞﹣”的最合理的方法是分析法．A . ①④B . ④C . ②③⑤D . ⑤6. （2分）设实数a，b，c满足a+b+c=6，则a，b，c中（）A . 至多有一个不大于2B . 至少有一个不小于2C . 至多有两个不小于2D . 至少有两个不小于27. （2分） (2016高二下·丰城期中) 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A . 假设a，b，c不都是偶数B . 假设a，b，c都不是偶数C . 假设a，b，c至多有一个是偶数D . 假设a，b，c至多有两个是偶数8. （2分）设a，b，c大于0，a＋b＋c＝3，则3个数：a＋，b＋，c＋的值（）A . 都大于2B . 至少有一个不大于2C . 都小于2D . 至少有一个不小于29. （2分）用反证法证明命题：“三个连续正整数a，b，c中至少有一个能被2整除”时，要做的假设是（）A . 假设三个连续正整数a，b，c都不能被2整除B . 假设三个连续正整数a，b，c都能被2整除C . 假设三个连续正整数a，b，c至多有一个能被2整除D . 假设三个连续正整数a，b，c至多有两个能被2整除二、填空题 (共3题；共3分)10. （1分）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不小于60度”时，反设正确的是________11. （1分）用反证法证明命题“若正整数a，b，c满足b2﹣2ac=0，则a，b，c中至少有一个是偶数”时，反设应为________12. （1分） (2015高二下·福州期中) 用反证法证明命题：“设实数a，b，c满足a+b+c=3，则a，b，c中至少有一个数不小于1”时，第一步应写：假设________．三、解答题 (共10题；共60分)13. （10分） (2017高二下·邢台期末) 已知a＞0，b＞0．（1）求证： + ≥ ；（2）若c＞0，求证：在a﹣b﹣c，b﹣a﹣c，c﹣a﹣b中至少有两个负数．14. （5分） (2015高二上·仙游期末) 己知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．15. （5分） (2015高二下·盐城期中) 已知x，y∈R+ ，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2．16. （5分） (2016高二下·长春期中) 已知：a，b，c∈（﹣∞，0），求证：a+ ，b+ ，c+ 中至少有一个不大于﹣2．17. （5分）设a是实数，f（x）=x2+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不小于．18. （5分） (2017高二下·双鸭山期末) 已知、、是正实数，且，求证： <．19. （5分） (2017高二下·桂林期末) 用分析法证明：已知a＞b＞0，求证﹣＜．20. （10分）(2019·广西模拟) 已知函数f(x）=ax2-2xln x-1(a∈R）．（1）若x= 时，函数f（x）取得极值，求函数f(x）的单调区间：（2）证明：1+ + +…+ > 1n（2m+1)+ （n∈N*)．21. （5分） (2016高二下·三原期中) 已知a，b，c均为实数，且a=x2﹣2y+ ，b=y2﹣2z+ ，c=z2﹣2x+ ，求证：a，b，c中至少有一个大于0．22. （5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°．参考答案一、选择题 (共9题；共18分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、二、填空题 (共3题；共3分)10-1、11-1、12-1、三、解答题 (共10题；共60分)13-1、13-2、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、。

高中数学选修4-5同步练习题库：反证法与缩放法(全部)

反证法与缩放法（全部）1、用反证法证明命题“已知，，，则中至少有一个不小于0”假设正确是（）A．假设都不大于0 B．假设至多有一个大于0C．假设都大于0 D．假设都小于02、用反证法证明：“方程ax2+bx+c=0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”正确的假设是方程存在实数根x0为（）A．整数 B．奇数或偶数 C．正整数或负整数 D．自然数或负整数3、“用反证法证明命题“如果x＜y，那么x＜y”时，假设的内容应该是（）A．x=yB．x＜yC．x=y且x＜yD．x=y或x＞y4、用反证法证明：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎么染，至少有5个球是同色的．其假设应是（）A．至少有5个球是同色的 B．至少有5个球不是同色的C．至多有4个球是同色的 D．至少有4个球不是同色的5、用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是（）A．= B．＜C．=且＞ D．=或＜6、用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除C．a，b不能被5整除 D．a，b有1个不能被5整除7、用反证法证明“方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有两个解”的假设中，正确的是（）A．至多有一个解 B．有且只有两个解C．至少有三个解 D．至少有两个解8、用反证法证明“如果a＜b，那么”，假设的内容应是（）A． B．C．且 D．或9、用反证法证明命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2”时，假设的内容应是（）A．a2=b2 B．a2＜b2 C．a2≤b2 D．a2＜b2，且a2=b210、用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的假设为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数11、用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0 B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0 D．a、b中只有一个为012、用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数13、用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根14、用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°．正确顺序的序号为（）A.①②③B.③①②C.①③②D.②③①15、用反证法证明命题：“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠o）有有理根，那么 a，b，c中至少有一个是偶数”时，应假设（）A．a，b，c中至多一个是偶数B．a，b，c中至少一个是奇数C．a，b，c中全是奇数D．a，b，c中恰有一个偶数16、设都是正数，则三个数 ( )A．都大于2 B．至少有一个不小于2C．至少有一个大于2 D．至少有一个不大于217、用反证法证明：“a＞b”，应假设为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．a≤b18、用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除 B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除 D．a不能被3整除19、用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°，正确顺序的序号为（）A.①②③B.①③②C.②③①D.③①②20、已知a、b、c是△ABC的三边长，A=，B=，则（）A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B21、反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都小于60°C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个小于60°22、用反证法证明命题“设为实数，则方程没有实数根”时，要做的假设是A．方程至多有一个实根B．方程至少有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根23、用反证法证明命题：“若系数为整数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”．对该命题结论的否定叙述正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数24、用反证法证明命题“设为实数，则方程没有实数根”时，要做的假设是A．方程至多有一个实根B．方程至少有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根25、已知a，b，c∈（0，1），则对于（1﹣a）b，（1﹣b）c，（1﹣c）a说法正确的是（）A．不能都大于 B．都大于 C．都小于 D．至少有一个大于26、用反证法证明命题：“，可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A．都不能被5整除 B．都能被5整除C．不都能被5整除 D．不能被5整除27、用反证法证明命题“三角形的内角至多一个钝角”时，假设正确的是 ( )A．假设至少一个钝角 B．假设没有钝角C．假设至少有两个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角28、已知，，，则下列三个数，，（）A．都大于6 B．至少有一个不大于6C．都小于6 D．至少有一个不小于629、用反证法证明命题“设为实数，则方程没有实数根”时，要做的假设是A．方程至多有一个实根B．方程至少有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根30、选择适当的方法证明（1）（2）已知，，，求证：31、证明：若，，，则，，至少有一个不大于.32、选择适当的方法证明.已知：，求证：.33、（1）求证：当a、b、c为正数时，（2）已知34、求证：．35、现有（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设M k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1＜M2＜…＜M n的概率为p n．（1）求p2的值；（2）证明：p n＞．36、试用分析法证明下列结论：已知，则．37、选修4-5：不等式选讲已知函数的单调递增区间为.(1)求不等式的解集；(2)设，证明：.38、(1)已知，用分析法证明:；(2)已知，且，用反证法证明:都大于零．39、求证：(1) ；(2)．40、已知，求证：（Ⅰ）；（Ⅱ）．41、选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.42、（1）用分析法证明：；（2）用反证法证明：三个数中，至少有一个大于或等于.43、（1）用分析法证明：；（2）用反证法证明：三个数中，至少有一个大于或等于.44、已知.（1）求证：；（2）若，求证：在中至少有两个负数.参考答案1、D2、A3、D4、C5、D6、B7、C8、D9、C10、D11、A12、B13、A14、B15、C16、B17、D18、B19、D20、A21、B22、A23、B24、A25、A26、A27、C28、D29、A30、（1）详见解析；（2）详见解析.31、见解析.32、见解析.33、（1）见解析；（2）见解析.34、见解析35、（1）．（2）见解析.36、见解析.37、（1）；（2）见解析.38、(1) 见解析(2) 见解析39、（1）证明见解析；（2）证明见解析.40、(1)证明见解析；（2）证明见解析.41、(1) ;(2) .42、(1)证明见解析；(2)证明见解析.43、(1)证明见解析；(2)证明见解析.44、(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】1、根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题：“已知，，，则中至少有一个不小于0”的否定为“假设都小于0”，故选D.2、试题分析：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“方程没有整数根”写出否定即可．解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“方程没有整数根”的否定“方程存在实数根x0为整数”．即假设正确的是：方程存在实数根x0为整数．故选A．点评：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．3、试题分析：由于用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“x＜y”的否定为：“x≥y”．解：∵用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立，而“x＜y”的否定为：“x=y或x＞y”，故选D．点评：本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．4、试题分析：先将已知的命题进行否定，即得所求．解：利用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立．命题：“将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎么染，至少有5个球是同色的”的否定为：“将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎么染，任意5个球都不是同色的”，即“至多有4个球是同色的”，故选C．点评：本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．5、试题分析：反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑＞的反面是什么即可．解：∵＞的反面是≤，即=或＜．故选D．点评：本题主要考查了不等式证明中的反证法，属于基础题．6、试题分析：反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故应选B．点评：反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．7、试题分析：把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，即为所求．解：由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，命题：“方程ax2+bx+c=0（a≠0）至多有两个解”的否定是：“至少有三个解”，故选C．点评：本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．8、试题分析：分析：反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑＞的反面是什么即可．解：∵＞的反面是≤，即=或＜．故选D．点评：本题主要考查了不等式证明中的反证法，属于基础题．9、试题分析：由于结论a2＞b2的否定为：a2≤b2 ，由此得出结论．解：由于结论a2＞b2的否定为：a2≤b2 ，用反证法证明命题时，要首先假设结论的否定成立，故应假设a2≤b2 ，由此推出矛盾．故选C．点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，从而得到所求，属于基础题．10、试题分析：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”，由此得出结论．解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为：“a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”，故选D．点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的关键．11、试题分析：把要证的结论否定之后，即得所求的反设．解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选 A．点评：本题考查用反证法证明数学命题，得到“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，是解题的关键．12、试题分析：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．点评：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．13、试题分析：直接利用命题的否定写出假设即可．解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．点评：本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．14、试题分析：根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°，正确．第二步得出矛盾：A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角．从而得出正确选项．解：根据反证法的证法步骤知：假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°正确，A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；所以一个三角形中不能有两个直角．故顺序的序号为③①②．故选：B．点评：反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾．15、试题分析：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，求得命题：“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定，即可得到结论．解：由于用反证法证明数学命题时，应先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．而命题：“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为：“a，b，c中全是奇数”，故选C．点评：本题主要考查用命题的否定，用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题．16、因为都是正数，所以，当且仅当时取等号，故至少有一个不小于2，故选B.17、试题分析：用反证明法证明，要先假设原命题不成立，即先要否定原命题．解：用反证明法证明，要先假设原命题不成立，即先要否定原命题，故用反证法证明：“a＞b”，应假设为“a≤b”，故选D．点评：本题考查反证法的解题过程和证明方法，解题时要认真审题，仔细解答．18、试题分析：“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．点评：本题考查用反证法证明命题，应假设命题的反面成立．19、试题分析：根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°，正确．第二步得出矛盾：A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角．从而得出正确选项．解：根据反证法的证法步骤知：假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设A=B=90°，正确A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A=B=90°不成立；所以一个三角形中不能有两个直角．故顺序的序号为③①②．故选D．点评：反证法是一种简明实用的数学证题方法，也是一种重要的数学思想．相对于直接证明来讲，反证法是一种间接证法．它是数学学习中一种很重要的证题方法．其实质是运用“正难则反”的策略，从否定结论出发，通过逻辑推理，导出矛盾．20、试题分析：由题意得 c＜a+b，故 B==＜，变形后再放大，可证小于 A．解：∵a、b、c是△ABC的三边长，∴c＜a+b，∴B==＜==+＜+=A，∴B＜A，故选 A．点评：本题考查三角形的边长的性质，用放缩法证明不等式．21、试题分析：由于本题所给的命题是一个特称命题，故它的否定即为符合条件的反设，写出其否定，对照四个选项找出答案即可解：用反证法证明命题：“一个三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应由于此命题是特称命题，故应假设：“三角形中三个内角都小于60°”故选：B点评：本题考查反证法的基础概念，解答的关键是理解反证法的规则及特称命题的否定是全称命题，本题是基础概念考查题，要注意记忆与领会．22、至少有一个实根的反面为没有实根 ,所以选A.23、试题分析：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可．解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”．即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B．点评：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．24、至少有一个实根的反面为没有实根 ,所以选A.25、运用反证法的数学思想进行证明时，应将“（1﹣a）b，（1﹣b）c，（1﹣c）a”反设成（1﹣a）b，（1﹣b）c，（1﹣c）a不能都大于A。

人教版数学高二A版选修4-5素材 2.3反证法与放缩法

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1．掌握反证法和放缩法的依据．
2．会利用反证法和放缩法证明有关不等式．
1．反证法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．
【做一做1－1】否定“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”时，正确的假设为( )
A ．a ，b ，c 都是奇数
B ．a ，b ，c 都是偶数
C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数
D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数
答案：D
【做一做1－2】若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法假设应为________________．
答案：a ，b 全为非正数
2．放缩法
证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．我们把这种方法称为放缩法．
归纳总结放缩法的常用技巧：舍去或加进一些代数式，放大或缩小分子或分母，运用重要不等式，利用函数的单调性、值域等．
【做一做2】A ＝1＋
12＋13＋…＋1n 与n (n ∈N ＋)的大小关系是________．解析：A ＝
11＋12＋13＋…＋1n ≥n n n
n
+++共项＝n n ＝n . 答案：A ≥n。

数学选修4-5不等式反证法与放缩法练习题含答案

故选：．
7.
【答案】
D
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“ ，，中至少有两个偶数或都是奇数”，
由此得出结论．
【解答】
解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，
而：“自然数，，中恰有一个偶数”的否定为：“ ，，中至少有两个偶数或都是奇数”，
【解答】
解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，
“至少有一个”的否定：“一个也没有”；
即“ ，，都不是正数”．
故答案为：，，都不是正数．
19.
【答案】
，都不能被整除
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．再由命题：“ ，中至少有一个能被整除”的否定是：，都不能被整除，从而得到答案．
【解答】
解：
即，，，
，
得，
即，
得，所以．
故选．
6.
【答案】
A
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
用反证法法证明数学命题时，假设命题的反面成立，写出要证的命题的否定形式，即为所求．
【解答】
解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，
而命题：“自然数，，都是偶数”的否定为：“ ，，中至少有一个是奇数”，
A. ，，都是奇数
B. ，，都是偶数
C. ，，中至少有两个偶数
D. ，，中至少有两个偶数或都是奇数
3.用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是（）

人教新课标A版高中选修4-5数学2.3反证法与放缩法同步检测A卷

人教新课标A版选修4-5数学2.3反证法与放缩法同步检测A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共9题；共18分)1. （2分）设实数a，b，c满足a+b+c=6，则a，b，c中（）A . 至多有一个不大于2B . 至少有一个不小于2C . 至多有两个不小于2D . 至少有两个不小于22. （2分） (2016高二下·孝感期末) 用反证法证明命题：“在一个平面中，四边形的内角中至少有一个不大于90度”时，反设正确的是（）A . 假设四内角至多有两个大于90度B . 假设四内角都不大于90度C . 假设四内角至多有一个大于90度D . 假设四内角都大于90度3. （2分）用反证法证明命题：“若（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）＞0，则a，b，c中至少有一个大于1”时，下列假设中正确的是（）A . 假设a，b，c都大于1B . 假设a，b，c中至多有一个大于1C . 假设a，b，c都不大于1D . 假设a，b，c中至多有两个大于14. （2分） (2017高二下·合肥期中) 设a，b，c∈（﹣∞，0），则a+ ，b+ ，c+ （）A . 都不大于﹣2B . 都不小于﹣2C . 至少有一个不大于﹣2D . 至少有一个不小于﹣25. （2分） (2016高二下·丰城期中) 用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A . 假设a，b，c不都是偶数B . 假设a，b，c都不是偶数C . 假设a，b，c至多有一个是偶数D . 假设a，b，c至多有两个是偶数6. （2分）用反证法证明命题：“若关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个不相等的实数根，则a＜1”时，应假设（）A . a≥1B . 关于x的方程x2﹣2x+a=0无实数根C . a＞1D . 关于x的方程x2﹣2x+a=0有两个相等的实数根7. （2分） (2019高二下·湘潭月考) 已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，若对一切，恒有，则能取到的最大整数是（）A . 6B . 7C . 8D . 98. （2分）已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an=an+2，bn=bn+1(a，b是常数，且a>b)，那么两个数列中序号与相应项的数值相同的项的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 无穷多个9. （2分） (2017高二下·大名期中) 用反证法证明命题：“已知a、b是自然数，若a+b≥3，则a、b中至少有一个不小于2”提出的假设应该是（）A . a、b都小于2B . a、b至少有一个不小于2C . a、b至少有两个不小于2D . a、b至少有一个小于2二、填空题 (共3题；共3分)10. （1分） (2016高二下·赣榆期中) 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为________．11. （1分）用反证法证明“若x2﹣1=0，则x=﹣1或x=1”时，应假设________12. （1分） (2015高二下·盐城期中) 用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________．三、解答题 (共10题；共85分)13. （10分）(2013·安徽理) 设函数fn（x）=﹣1+x+ + +…+ （x∈R，n∈N+），证明：（1）对每个n∈N+，存在唯一的x∈[ ，1]，满足fn（xn）=0；（2）对于任意p∈N+，由（1）中xn构成数列{xn}满足0＜xn﹣xn+p＜．14. （10分） (2015高二下·屯溪期中) 综合题。

人教新课标A版选修4-5数学2.3反证法与放缩法同步检测A卷

人教新课标A版选修4-5数学2.3反证法与放缩法同步检测A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共9题；共18分)1. （2分） (2016高二下·昌平期中) 用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A . a、b至少有一个不为0B . a、b至少有一个为0C . a、b全不为0D . a、b中只有一个为02. （2分）用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A . 假设a、b、c都是偶数B . 假设a、b、c都不是偶数C . 假设a、b、c至多有一个偶数D . 假设a、b、c至多有两个偶数3. （2分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（）A . 假设至少有一个钝角B . 假设没有一个钝角C . 假设至少有两个钝角D . 假设没有一个钝角或至少有两个钝角4. （2分） (2017高二下·赣州期中) 用反证法证明命题“若自然数a，b，c的积为偶数，则a，b，c中至少有一个偶数”时，对结论正确的反设为（）A . a，b，c中至多有一个偶数B . a，b，c都是奇数C . a，b，c至多有一个奇数D . a，b，c都是偶数5. （2分）设实数a，b，c满足a+b+c=6，则a，b，c中（）A . 至多有一个不大于2B . 至少有一个不小于2C . 至多有两个不小于2D . 至少有两个不小于26. （2分） (2016高二下·泗水期中) 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A . 假设三内角都不大于60度B . 假设三内角都大于60度C . 假设三内角至多有一个大于60度D . 假设三内角至多有两个大于60度7. （2分） (2017高二下·海淀期中) 若a，b，c均为正实数，则三个数a+ ，b+ ，c+ 这三个数中不小于2的数（）A . 可以不存在B . 至少有1个C . 至少有2个D . 至多有2个8. （2分）设a，b，c大于0，则3个数：a+ ，b+ ，c+ 的值（）A . 都大于2B . 至少有一个不大于2C . 都小于2D . 至少有一个不小于29. （2分）用反证法证明“若x＜y，则x3＜y3”时，假设内容是（）A . x3=y3B . x3＞y3C . x3=y3或x3＞y3D . x3=y3或x3＜y3二、填空题 (共3题；共3分)10. （1分） (2015高二下·盐城期中) 用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________．11. （1分） (2015高二下·福州期中) 用反证法证明命题：“设实数a，b，c满足a+b+c=3，则a，b，c中至少有一个数不小于1”时，第一步应写：假设________．12. （1分）用反比例法证明“在一个三角形的3个内角中，至少有2个锐角”时，要做的假设是________三、解答题 (共10题；共85分)13. （15分）(2018·永春模拟) 已知函数（为自然对数的底数）.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若对任意的恒成立，求实数的值；（3）求证： .14. （5分） (2015高二下·盐城期中) 已知x，y∈R+ ，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2．15. （10分）(2019·广西模拟) 已知函数f(x）=ax2-2xln x-1(a∈R）．（1）若x= 时，函数f（x）取得极值，求函数f(x）的单调区间：（2）证明：1+ + +…+ > 1n（2m+1)+ （n∈N*)．16. （5分） (2017高二下·桂林期末) 用分析法证明：已知a＞b＞0，求证﹣＜．17. （10分） (2015高二下·屯溪期中) 综合题。

人教版数学高二A版选修4-5自主训练2.3反证法与放缩法

自主广场1.设M=1212211************-++++++ ,则（） A.M=1 B.M<1C.M>1D.M 与1大小关系不定思路解析:分母全换成210.答案:B2.设a,b,c ∈R +,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R 同时大于零”的 …（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件思路解析:必要性是显然成立的；当PQR>0时,若P,Q,R 不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=2c<0,这与c>0矛盾,即充分性也成立.答案:C3.已知a,b ∈R +,下列各式中成立的是（）A.cos 2θ·lga+sin 2θ·lgb<lg(a+b)B.cos 2θ·lga+sin 2θ·lgb>lg(a+b)C.θθ22sin cos b an =a+b D.θθ22sin cos b a n •>a+b思路解析:cos 2θ·lga+sin 2θ·lgb<cos 2θ·lg(a +b)+sin 2θ.lg(a+b)=lg(a+b).答案:A 4.A=1+n 13121+++ 与n (n ∈N +)的大小关系是____________.思路解析:A=n n n n n n n n ==+++≥++++项1111312111. 答案:A≥n5.lg9·lg11与1的大小关系是___________.思路解析:因为lg9>0,lg11>0. 所以2100lg 299lg 211lg 9lg 11lg 9lg <=+<•=1. 所以lg9·lg11<1.答案:lg9·lg11<16.设x>0,y>0,A=y x y x +++1,B=yy x x +++11,则A,B 的大小关系是_________. 思路解析:A=yy x x y x y y x x +++<+++++1111=B.答案:A<B 7.求证:11+n (1+31+…+121-n )>n 1(21+41+…+n 21)(n≥2). 证明:∵21=21,31>41,6151>,…,nn 21121>-, 又21>nn 214121+++ ,将上述各式的两边分别相加,得 1+31+51+…+121-n >(21+41+…+n 21)·nn 1+. ∴11+n (1+31+…+121-n )>n 1(21+41+…+n 21). 8.已知a,b,c,d ∈R ,且a+b=c+d=1,ac+bd>1.求证:a,b,c,d 中至少有一个是负数.证明:假设a,b,c,d 都是非负数.因为a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1,而(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd≥ac+bd,所以ac+bd≤1,这与ac+bd>1矛盾.所以假设不成立,即a,b,c,d 中至少有一个为负数.9.已知f(x)=x 2+px+q,求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21. 证明:假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于21,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2, 而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|=(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)=2.相互矛盾.∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于21. 我综合我发展10.已知函数f(x)满足下列条件: (1)f(21)=1;(2)f(xy)=f(x)+f(y);(3)值域为［-1,1］.试证:41不在f(x)的定义域内. 思路解析:假设41在f(x)的定义域内,则f(41)有意义,且f(41)∈［-1,1］. 又由题设,得f(41)=f(21·21)=f(21)+f(21)=2［-1,1］,此与f(41)∈［-1,1］矛盾,故假设不成立.所以41不在f(x)的定义域内. 11.已知a,b,c ∈R +,且a+b>c,求证:c c b b a a +>+++111. 证明:构造函数f(x)=xx +1(x ∈R +), 任取x 1,x 2∈R +,且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=)1)(1(1121212211x x x x x x x x ++-=+-+<0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. ∵a+b>c,∴f(a+b)>f(c). 即c c b a b a +>+++11. 又b a ba b a b b a a b b a a +++=+++++>+++11111, ∴c c b b a a +>+++111. 12.设a,b ∈R ,0≤x,y≤1,求证:对于任意实数a,b 必存在满足条件的x,y 使|xy-ax-by|≥31成立. 证明:假设对一切0≤x,y≤1,结论不成立,则有|xy-ax-by|<31. 令x=0,y=1,得|b|<31;令x=1,y=0,得|a|<31;令x=y=1,得|1-a-b|<31; 又|1-a-b|≥1-|a|-|b|>1-31-31=31矛盾. 故假设不成立,原命题结论正确.13.设S n =n n 2sin 23sin 22sin 21sin 32++++ (n ∈N +),求证:对于正整数m,n 且m>n,都有|S m -S n |<n21. 证明:|S m -S n |=|mn n m n n 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++++ | ≤|12)1sin(++n n |+|22)2sin(++n n |+…+|m m 2sin |. ∵|sin(n+1)|≤1,|sin(n+2)|≤1,…,|sinm|≤1,∴上式≤|121+n |+|221+n |+…+|m 21| =121+n +221+n +…+m 21 =n n m n 21211])21(1[211=---+［1-(21)m-n ］<n 21. ∴原不等式成立.14.用反证法证明:钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.证明:已知:在△ABC 中,∠CAB>90°,D 是BC 的中点,求证:AD<21BC(如下图所示).假设AD≥21BC. (1)若AD=21BC,由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半,那么,这条边所对的角为直角，”知∠A=90°,与题设矛盾.所以AD≠21BC. (2)若AD>21BC,因为BD=DC=21BC,所以在△ABD 中,AD>BD,从而∠B>∠BAD,同理∠C>∠CAD.所以∠B+∠C>∠BAD+∠CAD,即∠B+∠C>∠A.因为∠B+∠C=180°-∠A,所以180°-∠A>∠A,则∠A<90°,这与题设矛盾.由(1)(2)知AD>21BC. 15.已知f(x)=1+x x (x≠-1). (1)求f(x)的单调区间;(2)若a>b>0,c=bb a )(12-. 求证:f(a)+f(c)>54. (1)解:f(x)=x x +1=11+x , 所以f(x)在区间(-∞,-1)和(-1,+∞)上分别为增函数.(2)证明:首先证明对于任意的x>y>0,有f(x+y)<f(x)+f(y). f(x)+f(y)=1111+++++>++++++=+++y x xy y x xy y x xy y x xy xy y y x x =f(xy+x+y). 而xy+x+y>x+y,由(1),知f(xy+x+y)>f(x+y).所以f(x)+f(y)>f(x+y).因为c=a a b b a b b a 442)2(12)(1222==+-≥->0, 所以a+c≥a+aa a 424•≥=4. 所以f(a)+f(c)>f(a+c)≥f(4)=54144=+. 即f(a)+f(c)>54.。

数学人教A版选修4-5自主训练：2.3反证法与放缩法含解析

自主广场1。

设M=1212211************-++++++ ，则（） A 。

M=1 B 。

M 〈1C.M 〉1D.M 与1大小关系不定思路解析：分母全换成210。

答案：B2.设a ，b ，c ∈R +,P=a+b-c,Q=b+c —a,R=c+a —b ，则“PQR 〉0"是“P ，Q,R 同时大于零”的 …（ )A.充分而不必要条件B 。

必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件思路解析:必要性是显然成立的;当PQR>0时，若P ，Q,R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P 〉0，Q<0，R 〈0，则Q+R=2c<0,这与c>0矛盾，即充分性也成立。

答案:C3。

已知a ，b ∈R +,下列各式中成立的是（）A 。

cos 2θ·lga+sin 2θ·lgb 〈lg （a+b ）B.cos 2θ·lga+sin 2θ·lgb 〉lg （a+b ）C.θθ22sin cos b an =a+b D.θθ22sin cos b a n •>a+b 思路解析:cos 2θ·lga+sin 2θ·lgb<cos 2θ·lg(a+b)+sin 2θ。

lg （a+b)=lg （a+b ）.答案：A 4.A=1+n 13121+++ 与n （n ∈N +)的大小关系是____________. 思路解析：A=n n n n n n n n ==+++≥++++项1111312111。

答案:A≥n5.lg9·lg11与1的大小关系是___________。

思路解析：因为lg9〉0，lg11>0. 所以2100lg 299lg 211lg 9lg 11lg 9lg <=+<•=1。

所以lg9·lg11<1。

答案：lg9·lg11〈16。

高中数学人教A版选修4-5 2-3 反证法与放缩法同步测试 (2)4

第二节综合法与分析法一、选择题1．若a >0，b >0，下列不等式中不成立的是 ( )．A.b a ＋a b ≥2 B ．a 2＋b 2≥2ab C.b 2a ＋a 2b ≥a ＋b D.1a ＋1b ≥2＋2a ＋b解析由b a ∈(0，＋∞)且a b ∈(0，＋∞)，得b a ＋a b ≥2b a ·ab ，所以A 成立，B显然成立，不等式C 可变形为a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2⇔(a 2－b 2)(a －b )≥0. 答案 D2．已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是 ( )．A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析由已知3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，∴x >0，z <0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x >0y >z 得：xy >xz .答案 C3．下面对命题“函数f (x )＝x ＋1x 是奇函数”的证明不是综合法的是 ( )．A ．∀x ∈R 且x ≠0有f (－x )＝(－x )＋1－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数B ．∀x ∈R 且x ≠0有f (x )＋f (－x )＝x ＋1x ＋(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝0，∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )是奇函数C ．∀x ∈R 且x ≠0，∵f (x )≠0，∴f (－x )f (x )＝－x －1x x ＋1x＝－1，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数D ．取x ＝－1，f (－1)＝－1＋1－1＝－2，又f (1)＝1＋11＝2 解析选项A 、B 、C 都是从奇函数的定义出发，证明f (－x )＝－f (x )成立，从而得到f (x )是奇函数，而选项D 的证明方法是错误的．答案 D4．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则 ( )． A ．R <P <Q B ．P <Q <R C ．Q <P <R D ．P <R <Q解析 ∵lg a >lg b >0，∴12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P . 又∵a >b >1，∴a ＋b 2>ab ， ∴lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )．即R >Q ，∴P <Q <R .答案 B二、填空题5．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为________．解析直线始终平分圆的周长，所以直线过圆心(2,1)，即a ＋b ＝1，所以1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋2 2.答案 3＋2 26．已知a ，b ，c ∈R ＋，则1a ＋1b ＋1c 与1ab ＋1bc ＋1ac的大小关系是________．解析因为1a ＋1b ≥21ab ，1b ＋1c ≥21bc ，1a ＋1c ≥21ab ，三式相加可得1a ＋1b ＋1c ≥1ab ＋1bc ＋1ac . 答案 1a ＋1b ＋1c ≥1ab ＋1bc ＋1ac7．设a 、b 、c ∈R ，且a 、b 、c 不全相等，则不等式a 3＋b 3＋c 3≥3abc 成立的一个充要条件是______________．解析 a 3＋b 3＋c 3－3abc＝(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc )＝12(a ＋b ＋c )[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]，而a 、b 、c 不全相等⇔(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2>0，∴a 3＋b 3＋c 3≥3abc ⇔a ＋b ＋c ≥0.答案 a ＋b ＋c ≥08．已知a >b >c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系为______________．解析 ∵a －b >0，b －c >0， ∴(a －b )(b －c )≤(a －b )＋(b －c )2＝a －c 2. ∴(a －b )(b －c )≤a －c 2. 答案(a －b )(b －c )≤a －c 2三、解答题9．已知|a |<1，|b |<1，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab <1. 证明要证⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab <1，只需证|a ＋b |<|1＋ab |，也只需证a 2＋2ab ＋b 2<1＋2ab ＋a 2b 2，即证(1－a 2)－b 2(1－a 2)>0，也就是(1－a 2)(1－b 2)>0，∵|a |<1，|b |<1，∴最后一个不等式显然成立．因此原不等式成立．10．(1)已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13； (2)a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c >a ＋b ＋c .证明 (1)∵a ＋b ＋c ＝1，∴(a ＋b ＋c )2＝1，由a 2＋b 2≥2ab 得a 2＋b 2＋c 2＝13(a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2＋a 2＋b 2＋c 2)≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ) ＝13(a ＋b ＋c )2＝13. (2)法一由左式推证右式∵abc ＝1，且a ，b ，c 为互不相等的正数，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ac ＋ab ＝bc ＋ac 2＋ac ＋ab 2＋ab ＋bc 2>bc ·ac ＋ac ·ab ＋ab ·bc (基本不等式) ＝c ＋a ＋b .∴1a ＋1b ＋1c >a ＋b ＋c .法二由右式推证左式∵a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1， ∴a ＋b ＋c ＝ 1bc ＋ 1ac ＋ 1ab<1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2(基本不等式)＝1a ＋1b ＋1c . 11．已知{a n }是首项为2，公比为12的等比数列，S n 为它的前n 项和． (1)用S n 表示S n ＋1；(2)是否存在自然数c 和k ，使得S k ＋1－c S k －c＞2成立．解 (1)∵S n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ， ∴S n ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝12S n＋2，(n ∈N ＋)． (2)要使S k ＋1－c S k －c ＞2，只要c －⎝ ⎛⎭⎪⎫32S k －2c －S k＜0，因为S k ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12k ＜4，所以S k －⎝ ⎛⎭⎪⎫32S k －2＝2－12S k ＞0(k ∈N ＋)，故只要32S k －2＜c ＜S k (k ∈N ＋)， ① 因为S k ＋1＞S k (k ∈N ＋)所以32S k －2≥32S 1－2＝1. 又S k ＜4，故要使①成立，c 只能取2或3. 当c ＝2时，因为S 1＝2，所以当k ＝1时，c ＜S k 不成立，从而①不成立．当k ≥2时，因为32S 2－2＝52＞c ，由S k ＜S k ＋1(k ∈N ＋)得 32S k －2＜32S k ＋1－2. 故当k ≥2时，32S k －2＞c ，从而①不成立．当c ＝3时，因为S 1＝2，S 2＝3，所以当k ＝1，k ＝2时，c ＜S k 不成立，从而①不成立．因为32S 3－2＝134＞c ，又32S k －2＜32S k ＋1－2，所以当k ≥3时，32S k －2＞c ，从而①不成立．综上所述，不存在自然数c ，k ，使S k ＋1－c S k －c＞2成立．。

人教版数学高二A版选修4-5练习 2.3反证法与放缩法

2.3 反证法与放缩法1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( ) ①结论相反的判断，即假设； ②原命题的条件； ③公理、定理、定义等； ④原结论．A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③2．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a ＞3b ”时，假设的内容是( ) A.3a ＝3b B.3a ＜3bC.3a ＝3b 且3a ＜3bD.3a ＝3b 或3a ＜3b3．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，设M ＝827－27a，N ＝(a ＋c )·(a ＋b )，则( )A ．M ≥NB ．M ≤NC ．M >ND.M <N5．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x ，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于26．若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________. 7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．8．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M 与1的大小关系为________．9．若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a＋b,2a ＋2b ＋2c ＝2a＋b ＋c，求c 的最大值．10．已知n ∈N ＋，求证：(1)2n n <1×2＋2×3＋…＋n n ＋1<n ＋122.参考答案1．【解析】由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．【答案】 C2.【解析】应假设3a ≤3b ，即3a ＝3b 或3a ＜3b . 【答案】 D3.【解析】对于①，若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与已知矛盾，故①对；对于②，当a ＞b 与a ＜b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．【答案】 C4.【解析】依题意易知1－a,1－b,1－c ∈R ＋≤13[(1－a )＋(1－b )＋(1－c )]＝23，∴(1－a )(1－b )(1－c )≤827，从而有827(1)a -≥(1－b )(1－c )，即M ≥N ，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．故选A.【答案】 A5.【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时等号成立，∴a ，b ，c 三者中至少有一个不小于2. 【答案】 C 6. 【解析】略【答案】 a ，b 中没有任何一个为正数(或a ≤0且b ≤0) 7.【解析】 ∵lg 9＞0，lg 11＞0，∴lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1，∴lg 9·lg 11＜1. 【答案】 lg 9·lg 11＜18.【解析】 ∵210＋1＞210,210＋2＞210，…，211－1＞210， ∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＜＝1.【答案】 M ＜19.【解】 2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ＋b ，当且仅当a ＝b 时，即2a ＋b ≥4时取“＝”，由2a ＋2b ＋2c ＝2a＋b ＋c ，得2a ＋b ＋2c ＝2a ＋b ·2c ，∴2c ＝2a＋b2a ＋b －1＝1＋12a ＋b －1≤1＋14－1＝43，故c ≤log 243＝2－log 23.10.【证明】 k <(1)k k +<(1)2k k ++＝12(2k ＋1)(k ＝1,2，…，n )．若记S n ＝1×2＋2×3＋… S n >1＋2＋…＋n ＝(1)2n n ++，S n <12(3＋5＋…＋2n ＋1)＝12(n 2＋2n )<2(1)2n +.。

人教版高中数学选修4-5习题：第二讲2.3反证法与放缩法

第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法A 级基础稳固一、选择题331．用反证法证明命题“假如a＞ b，那么a＞b”时，假定的内容是()3333A. a＝bB. a＜b33333333C.a＝b，且a＜bD. a ＝ba＜b或333333分析：应假定a≤b，即a＝ba＜ b.或答案： D2．实数a， b， c 不全为0 的等价命题为()A． a， b， c 均不为 0B． a， b， c 中至多有一个为0C． a， b， c 中起码有一个为0D． a， b， c 中起码有一个不为0答案： D3．对“a， b， c 是不全相等的正数”，给出以下判断：①(a－ b)2＋ (b－ c)2＋ (c－ a)2≠ 0；②a＞b 与 a＜ b 及 a≠c 中起码有一个建立；③ a≠c， b≠ c， a≠ b 不可以同时建立．此中判断正确的命题个数是()A． 0B． 1C． 2D． 3分析：关于①，若(a－ b)2＋ (b－c) 2＋ (c－ a)2＝ 0，则 a＝ b＝ c，与已知矛盾，故①对；关于②，当 a＞ b 与 a＜ b 及 a≠c 都不建即刻，有 a＝ b＝ c，不切合题意，故②对；关于③，明显不正确．答案： C1114．设 x， y， z 都是正实数，a＝ x＋y， b＝ y＋z， c＝ z＋x，则 a， b， c 三个数 ()A．起码有一个不大于 2 B．都小于2C．起码有一个不小于 2 D．都大于2分析：因 a＋ b＋ c＝ x＋1＋ y＋1＋ z＋1≥ 2＋ 2＋ 2＝ 6，当且当x＝ y＝ z＝ 1 等号建立，xy z因此 a， b， c 三者中起码有一个不小于 2.答案： C5．若 a， b， c∈ R＋，且 a＋ b＋ c＝ 1， M ＝8， N ＝ (a＋c) ·(a＋ b)， ()27－ 27aA．M≥N B．M≤NC．M＞N D．M＜N分析：依， 1－ a， 1－ b，1－ c 均大于 0，又 a＋b＋ c＝ 1，因此3（ 1－ a）（ 1－ b）（ 1－ c）≤1[(1－ a)＋ (1－ b)＋ (1－ c)]＝2，33因此8 (1－a)(1 － b)(1－ c) ≤，27进而8≥ (1－ b)(1 － c)＝ (a＋ c)( a＋ b)，27－ 27a因此 M ≥N，当且当a＝ b＝ c＝1，等号建立．3答案： A二、填空6．某同学准用反法明以下一个，函数f(x)在 [0， 1]上存心，且f(0)＝ f(1)，1假如于不一样的x1， x2∈ [0， 1]，都有 |f(x1)－ f (x2)|＜|x1－ x2|，求： |f (x1)－ f(x2)|＜2，那么它的假是________．1答案：假 |f(x1)－ f (x2)| ≥27． lg 9· lg 11 与 1 的大小关系是 ________．分析：因lg 9· lg 11＜lg 9＋lg 11＝lg 99＜lg 100＝1，222因此 lg 9· lg 11＜ 1.答案： lg 9· lg 11＜ 111118． M＝210＋210＋ 1＋210＋2＋⋯＋211－1，M与1的大小关系________．分析：因210＋ 1＞ 210， 210＋ 2＞ 210，⋯， 211－ 1＞ 210，因此111111110M ＝210＋210＋1＋210＋2＋⋯＋211－1＜210＋210＋⋯＋210,2个＝1.答案： M ＜1三、解答题1＋ x 1＋ y9．已知 x ， y ＞ 0，且 x ＋ y ＞ 2.求证： y， x 中起码有一个小于 2.证明： (反证法 )设 1＋ x ≥ 2， 1＋ y≥ 2，y x1＋ x ≥2y ， ①则1＋ y ≥2x. ②由①②式可得 2＋ x ＋ y ≥2(x ＋ y)，即 x ＋ y ≤2，与题设矛盾．因此1＋ x，1＋ y中起码有一个小于2.yx10．设 a ＞ 0， b ＞ 0，且 a ＋ b ＝ 1＋ 1.证明：a b (1)a ＋ b ≥2；(2)a 2＋ a ＜ 2 与 b 2＋b ＜ 2 不行能同时建立．11a ＋ b证明：由 a ＋ b ＝＋＝， a ＞ 0， b ＞ 0，得 ab ＝ 1.(1)由基本不等式及 ab ＝ 1，有 a ＋ b ≥2 ab ＝ 2，即 a ＋ b ≥ 2. (2)假定 a 2＋ a ＜ 2 与 b 2＋ b ＜ 2 同时建立，则由 a 2＋ a ＜ 2 及 a ＞ 0 得 0＜ a ＜1；同理， 0＜ b ＜ 1，进而 ab ＜ 1，这与 ab ＝ 1 矛盾．故 a 2＋ a ＜ 2 与 b 2＋ b ＜ 2 不行能同时建立．B 级能力提高1．若 a ＞ 0， b ＞ 0，知足 ab ≥1＋ a ＋ b ，那么 ()A ． a ＋ b 有最小值 2＋ 2 2B ． a ＋ b 有最大值 ( 2＋ 1) 2C ． ab 有最大值2＋ 1D ． ab 有最小值 2＋ 2 2（ a ＋ b ） 2分析： 1＋ a ＋ b ≤ab ≤，4因此 (a ＋b)2－ 4(a ＋ b)－4≥0，解得 a ＋ b ≤2－2 2或 a ＋ b ≥2＋ 2 2，由于 a ＞ 0， b ＞ 0，因此 a ＋ b ≥2＋ 2 2.答案： A2．设 x ， y ， z ， t 知足 1≤x ≤y ≤z ≤t ≤ 100，则 x ＋ z的最小值为 ________．y t分析：由于xy ≥1y ≥1z ，且 z t ≥ 100z ，因此x＋z≥1＋z≥ 21· z ＝1，y t z 100z 1005当且仅当 x＝ 1，y＝ z＝ 10， t＝ 100时，等号建立．答案：153．已知函数 f(x)＝ |x|＋ |x－ 1|.(1)若 f( x) ≥|m－ 1|恒建立，务实数m 的最大值 M ；(2)在 (1)建立的条件下，正实数a， b 知足 a2＋ b2＝ M ，证明： a＋ b≥2ab.解： (1) 由于 f(x)＝ |x|＋ |x－ 1| ≥|x－ (x－ 1)|＝ 1，当且仅当0≤x≤1时取等号，因此 f(x)＝ |x|＋|x－ 1|的最小值为 1.要使 f(x) ≥|m－ 1|恒建立，只要 |m－ 1| ≤1，因此 0≤m≤2，则 m 的最大值M ＝ 2.(2)证明：由 (1)知， a2＋ b2＝ 2，由 a2＋ b2≥ 2ab，知 ab≤1①.又 a＋b≥2ab，则 (a＋ b) ab≥ 2ab.由①知，ab≤ 1.故 a＋b≥2ab.。

高中数学人教A版选修4-5优化练习：第二讲三反证法与放缩法 Word版含解析

[课时作业][A组基础巩固]1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数()A．两个都是偶数B．一个是奇数，一个是偶数C．至少一个是偶数D．恰有一个是偶数解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少一个为偶数．答案：C2．设x>0，y>0，A＝x＋y1＋x＋y，B＝x1＋x＋y1＋y，则A与B的大小关系为()A．A≥B B．A≤B C．A>B D．A<B解析：A＝x1＋x＋y＋y1＋x＋y<x1＋x＋y1＋y＝B.答案：D3．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a、b、c三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2解析：假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，这与a＋b＋c＝x＋1y＋y＋1z＋z＋1x≥6矛盾．故选C.答案：C4．设M＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则()A．M＝1B．M<1C．M >1 D．M与1大小关系不定解析：M 是210项求和，M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋1210＋…＋1210＝1，故选B. 答案：B5．若f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b 都为正数，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )， H ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则( ) A ．A ≤G ≤H B ．A ≤H ≤G C ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A解析：∵a ，b 为正数，∴a ＋b 2≥ab ＝ab ab ≥ab a ＋b 2＝2aba ＋b，又∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为单调减函数，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ， ∴A ≤G ≤H . 答案：A6．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证： |f (x 1)－f (x 2)|<12.那么它的假设应该是________．答案：|f (x 1)－f (x 2)|≥127．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是________．解析：m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a |－|b ||a |－|b |＝1，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b |＝1.答案：m ≤n 8．设a >0，b >0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋bb ＋2，则M 与N 的大小关系是________．解析：∵a >0，b >0，∴N ＝a a ＋2＋b b ＋2>a a ＋b ＋2＋ba ＋b ＋2＝a ＋b a ＋b ＋2＝M . ∴M <N . 答案：M <N9．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数．由a ＋b ＝c ＋d ＝1知：a ，b ，c ，d ∈[0,1]．从而ac ≤ac ≤a ＋c 2，bd ≤bd ≤b ＋d2. ∴ac ＋bd ≤a ＋c ＋b ＋d2＝1.即ac ＋bd ≤1.与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．10．求证：1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <3(n ∈N ＋)．证明：由11×2×3×…×k <11×2×2×…×2＝12k －1(k 是大于2的自然数)，得1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝1＋1－12n1－12＝3－12n －1<3.∴原不等式成立．[B 组能力提升]1．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2，…)．试证：数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n <x n ＋1，或者对任意的正整数n 都满足x n >x n ＋1.当此题用反证法否定结论时，应为( )A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0解析：“x n <x n ＋1或x n >x n ＋1”的对立面是“x n ＝x n ＋1”，“任意一个”的反面是“存在某一个”．答案：B2．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，54π，M ＝|sin α|，N ＝|cos α|，P ＝12|sin α＋cos α|，Q ＝12sin 2α，则它们之间的大小关系为( )A ．M >N >P >QB ．M >P >N >QC ．M >P >Q >ND ．N >P >Q >M解析：∵α∈(π，54π)，∴0>sin α>cos α. ∴|sin α|<|cos α|，∴P ＝12|sin α＋cos α|＝12(|sin α|＋|cos α|) >12(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M . P ＝12|sin α|＋|cos α|<12 (|cos α|＋|cos α|)＝|cos α|＝N . ∴N >P >M . 对于Q ＝12sin 2α＝ sin αcos α<|sin α|＋|cos α|2＝P . 而Q ＝sin αcos α> sin 2α＝|sin α|＝M . ∴N >P >Q >M . 答案：D3．用反证法证明“已知平面上有n (n ≥3)个点，其中任意两点的距离最大为d ，距离为d 的两点间的线段称为这组点的直径，求证直径的数目最多为n 条”时，假设的内容为________．解析：对“至多”的否定应当是“至少”，二者之间应该是完全对应的，所以本题中的假设应为“直径的数目至少为n ＋1条”．答案：直径的数目至少为n ＋1条4．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少有一个值c ，使f (c )>0, 则实数p 的取值范围是________．解析：假设在 [－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎨⎧f (－1)≤0，f (1)≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32，所以p ≤－3或p ≥32，取补集为p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32. 故实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，325．已知0<x <2,0<y <2,0<z <2，求证：x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1. 证明：法一：假设x (2－y )>1且y (2－z )>1且z (2－x )>1均成立，则三式相乘有：xyz (2－x )(2－y )(2－z )>1.①由于0<x <2，∴0<x (2－x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1. 同理：0<y (2－y )≤1，且0<z (2－z )≤1， ∴三式相乘得：0<xyz (2－x )(2－y )(2－z )≤1②②与①矛盾，故假设不成立．∴x (2－y )，y (2－z )，z (2－x )不都大于1. 法二：假设x (2－y )>1且y (2－z )>1且z (2－x )>1. ∴x (2－y )＋y (2－z )＋z (2－x )>3.③又x (2－y )＋y (2－z )＋z (2－x )≤x ＋(2－y )2＋y ＋(2－z )2＋z ＋(2－x )2＝3④④与③矛盾，故假设不成立． ∴原题设结论成立．6．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2·a n(n ∈N ＋)，(1)求a 2，a 3并求数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝n a n，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <710.解析：(1)∵a 1＝2，a n ＋1＝2(1＋1n )2·a n (n ∈N ＋)， ∴a 2＝2(1＋11)2·a 1＝16，a 3＝2(1＋12)2·a 2＝72. 又∵a n ＋1(n ＋1)2＝2·a nn 2，n ∈N ＋， ∴{a nn 2}为等比数列． ∴a n n 2＝a 112·2n －1＝2n ， ∴a n ＝n 2·2n .(2)证明：c n ＝n a n＝1n ·2n ，∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝11·2＋12·22＋13·23＋…＋1n ·2n <12＋18＋124＋14·(124＋125＋…＋12n ) ＝23＋14·124[1－(12)n －3]1－12<23＋14·1241－12＝23＋132 ＝6796＝670960<96×796×10＝710，所以结论成立．。

人教A版选修4-5 2.3 反证法与放缩法作业

三反证法与放缩法课后篇巩固探究1.设实数a ,b ,c 满足a+b+c=13,则a ,b ,c 中( )A.至多有一个不大于19B.至少有一个不小于19C.至多有两个不小于19D.至少有两个不小于19a ,b ,c 都小于19,即a<19,b<19,c<19,则a+b+c<19+19+19=13,这与a+b+c=13矛盾,因此假设错误,即a ,b ,c 中至少有一个不小于19.2.已知三角形的三边长分别为a ,b ,c ,设M=a 1+a +b 1+b ,N=c 1+c ,Q=a+b 1+a+b,则M ,N 与Q 的大小关系是( )A.M<N<QB.M<Q<NC.Q<N<MD.N<Q<Ma+b>c>0,则1a+b <1c . ∴1a+b +1<1c +1,即a+b+1a+b <c+1c . ∴c 1+c <a+b 1+a+b , 故N<Q.M-Q=a 1+a +b 1+b −a+b 1+a+b >a 1+a+b +b 1+a+b −a+b 1+a+b =0,∴M>Q ,故M>Q>N.3.导学号26394038设M=1210+1210+1+1210+2+…+1211-1,则( ) A.M=1B.M<1C.M>1D.M 与1大小关系不确定210,共有210个单项.4.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f (x )在[0,1]上有意义,且f (0)=f (1),如果对于不同的x 1,x 2∈[0,1],都有|f (x 1)-f (x 2)|<|x 1-x 2|,求证|f (x 1)-f (x 2)|<12.那么它的假设应该是 .(x 1)-f (x 2)|≥125.设a ,b ,c 均为正数,P=a+b-c ,Q=b+c-a ,R=c+a-b ,则“PQR>0”是“P ,Q ,R 同时大于零”的条件.;当PQR>0时,若P ,Q ,R 不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P>0,Q<0,R<0,则Q+R=2c<0,这与c>0矛盾,即充分性也成立.6.设a ,b 是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a 2+b 2>2;⑤ab>1.其中能推出“a ,b 中至少有一个大于1”的条件是 .(填序号)可取a=0.5,b=0.6,故不正确;②a+b=2,可取a=1,b=1,故不正确;③a+b>2,则a ,b 中至少有一个大于1,正确;④a 2+b 2>2,可取a=-2,b=-1,故不正确;⑤ab>1,可取a=-2,b=-1,故不正确.7.设f (x )=x 2-x+13,a ,b ∈[0,1],求证|f (a )-f (b )|≤|a-b|.(a )-f (b )|=|a 2-a-b 2+b| =|(a-b )(a+b-1)|=|a-b||a+b-1|,因为0≤a ≤1,0≤b ≤1,所以0≤a+b ≤2.所以-1≤a+b-1≤1,所以|a+b-1|≤1.故|f (a )-f (b )|≤|a-b|.8.已知x>0,y>0,且x+y>2,试证:1+x y ,1+y x中至少有一个小于2. 证明假设1+x y ,1+y x都不小于2,即 1+x y ≥2,且1+y x≥2. 因为x>0,y>0,所以1+x ≥2y ,且1+y ≥2x. 把这两个不等式相加,得2+x+y ≥2(x+y ),从而x+y ≤2,这与已知条件x+y>2矛盾.因此,1+x y ,1+y x都不小于2是不可能的,即原命题成立. 9.导学号26394039已知S n =sin12+sin222+sin323+…+sinn 2n ,求证:对于正整数m ,n ,当m>n 时,|S m -S n |<12n .a k =sink 2k (k ∈N +),则|a k |≤12k . 于是,当m>n 时,|S m -S n |=|a n +1+a n +2+…+a m |≤|a n +1|+|a n +2|+...+|a m | ≤12n+1+12n+2+ (12)=12n+1[1−(12)m -n]1−12=12n [1−(12)m -n ]<12n .10.导学号26394040若数列{x n }的通项公式为x n =n n+1,求证x 1·x 3·x 5·…·x 2n-1<√1−xn 1+x n .√1−x n 1+x n =√1−n n+11+n n+1=√12n+1, 又2n -12n √2n -12n+1=√2n -1·√2n+12n =√4n 2-12n<√4n 22n =1, 所以2n -12n <√2n -12n+1, 所以x 1·x 3·x 5·…·x 2n-1=12×34×…×2n -12n<√13×35×…×2n -12n+1=√12n+1,故x 1·x 3·x 5·…·x 2n-1<√1−x n 1+x n .。

【人教A版】选修4-5数学：2.3《反证法和放缩法》同步测试及答案.doc

2・3反证法与放缩法学习囱1.了解用反证法证明不等式.2.了解用放缩法证明不等式.3・提高综合应用知识解决问题的能力・1 .反证法.⑴先__________________ ,以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）__________ 的结论，以说明________ 不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法.答案：假设要证的命题不成立矛盾假设(2)利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤: 第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论.第二步，做出与所证不等式__________ 的假定.第三步，从_______________ 出发，应用正确的推理方法，推出________ 结果.第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假定 ________ ,于是原证不等式 __________ •答案：相反条件和假定矛盾不正确成立反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”''不可能"等字眼)、唯一性命题、结论中岀现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题.(3)用反证法证明不等式必须把握以下几点：①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证.否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背等.推导出的矛盾必须是明显的;④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件.(4)反证法中的数学语言.反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题，或者说"正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见的涉及反证法的文字语言及与其相对应的否定假设.思考1已知a> b>Q ,求证：yja >第(〃丘N且〃 > 1)・用反证法证明此题时第一步是： ___________答案：假设需W切2.放缩法.(1)___________________________________________ 所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地_____________________ (或________ ),使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法.答案：放大缩小（2）放缩法的主要理论依据.①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子（分母）、异分母（分子）的两个分式大小的比较；④基本不等式与绝对值不等式的基本性质；⑤三角函数的有界性等.（3）使用放缩法的主要方法.放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑.常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等•比如：（1A2 3 （ C2舍去或加上一些项：（。

高中数学人教A版选修4-5 2-3 反证法与放缩法同步测试 (3)

第三节反证法与放缩法一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用 ( )． ①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③解析由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．答案 C2．已知p ＝a ＋1a －2，q ＝2－a 2＋4a －2 (a >2)，则 ( )．A ．p >qB ．p <qC ．p ≥qD ．p ≤q解析 ∵p ＝(a －2)＋1a －2＋2，又a －2>0， ∴p ≥2＋2＝4，而q ＝2－(a －2)2＋2，根据a >2，可得q <22＝4，∴p >q .答案 A3．不等式a >b 与1a >1b 能同时成立的充要条件是( )． A ．a >b >0 B ．a >0>b C.1b <1a <0 D.1a >1b >0解析充分性易证．下面用反证法说明必要性．若a ，b 同号且a >b ，则有1a <1b ，此时不能保证a >b 与1a >1b 同时成立，∴a ，b 只能异号，即a >0>b .答案 B4．若f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ，b 都为正数，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则( )． A ．A ≤G ≤H B ．A ≤H ≤G C ．G ≤H ≤A D ．H ≤G ≤A解析 ∵a ，b 为正数，∴a ＋b 2≥ab ＝ab ab ≥ab a ＋b 2＝2ab a ＋b，又∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为单调减函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，∴A ≤G ≤H . 答案 A二、填空题5．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是____________．解析 m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a |－|b ||a |－|b |＝1， n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b |＝1. 答案 m ≤n6．若|a |<1，|b |<1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是________________．解析当(a ＋b )(a －b )≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |<2；当(a ＋b )(a －b )<0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |<2.综上，|a ＋b |＋|a －b |<2.答案 |a ＋b |＋|a －b |<27．设a ＞0，b ＞0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋b b ＋2，则M 与N 的大小关系是________．解析 ∵a ＞0，b ＞0，∴N ＝a a ＋2＋b b ＋2＞a a ＋b ＋2＋b a ＋b ＋2 ＝a ＋b a ＋b ＋2＝M . ∴M ＜N .答案 M ＜N8．已知a ，b ，c ，d 都是正数，S ＝a a ＋b ＋d ＋b b ＋c ＋a ＋c c ＋d ＋a ＋d d ＋a ＋c，则S 的取值范围是________．答案 (1,2)三、解答题 9．设x >0，y >0，z >0，求证：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2>x ＋y ＋z . 证明 ∵x 2＋xy ＋y 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋3y 24>x ＋y 2，① y 2＋zy ＋z 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋y 22＋34y 2>z ＋y 2，② ∴由①②得：x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋zy ＋z 2>x ＋y ＋z .10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列．解 (1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1.又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1. (2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p ＜q ＜r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p ＋1.① 又因为p ＜q ＜r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝na n －2n (n －1)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：15≤T n ＜14. (1)解由S n ＝na n －2n (n －1)得a n＋1＝S n＋1－S n＝(n＋1)a n＋1－na n－4n，即a n＋1－a n＝4.∴数列{a n}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n＝4n－3.(2)证明T n＝1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1＝11×5＋15×9＋19×13＋…＋1(4n－3)×(4n＋1)＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－15＋15－19＋19－113＋…＋14n－3－14n＋1＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－14n＋1＜14.又易知T n单调递增，故T n≥T1＝1 5，得15≤T n＜14.。

数学·高二选修4-5(人教a版)练习：第二讲2.3反证法与放缩法word版含解析

第二讲证明不等式的基本方法2.3 反证法与放缩法A级基础巩固一、选择题1．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，假设的内容是()A.3a＝3b B.3a＜3bC.3a＝3b，且3a＜3b D.3a＝3b或3a＜3b解析：应假设3a≤3b，即3a＝3b或3a＜3b.答案：D2．实数a，b，c不全为0的等价命题为()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D3．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数解析：至少有一个是的否定为都不是．答案：B4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2 B．都小于2C．至少有一个不小于2 D．都大于2解析：因为a＋b＋c＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于2.答案：C5．若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3＜1的解集为()A．(－3，1) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C．∅D．(0，1)解析：不等式x2－2ax＋＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则Δ＝(－2a)2－4a ＜0，即a2－a＜0，解得0＜a＜1，所以不等式at2＋2t－3＜1转化为t2＋2t－3＞0，解得t＜－3或t＞1.答案：B二、填空题6．某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数f(x)在[0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|＜12，那么它的假设应该是________．答案：假设|f(x1)－f(x2)|≥127．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．解析：因为lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1，所以lg 9·lg 11＜1. 答案：lg 9·lg 11＜18．设a ，b ，c 均为正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的________条件．解析：必要性是显然成立的；当PQR ＞0时，若P ，Q ，R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P ＞0，Q ＜0，R ＜0，则Q ＋R ＝2c ＜0，这与c ＞0矛盾，即充分性也成立．答案：充要三、解答题9．已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2.求证：1＋x y ，1＋yx 中至少有一个小于2.证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋yx≥2，则⎩⎨⎧1＋x ≥2y ，①1＋y ≥2x . ②由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2，与题设矛盾．所以1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2.10．设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2. (2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则由a 2＋a ＜2及a ＞0得0＜a ＜1；同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．B 级能力提升1．若a ＞0，b ＞0，满足ab ≥1＋a ＋b ，那么( ) A ．a ＋b 有最小值2＋2 2 B ．a ＋b 有最大值(2＋1)2 C ．ab 有最大值2＋1 D ．ab 有最小值2＋2 2 解析：1＋a ＋b ≤ab ≤（a ＋b ）24，所以(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0，解得a ＋b ≤2－22或a ＋b ≥2＋22，因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ≥2＋22，故选A. 答案：A2．设x ，y ，z ，t 满足1≤x ≤y ≤z ≤t ≤100，则x y ＋zt 的最小值为________．解析：因为x y ≥1y ≥1z ，且z t ≥z100，所以x y ＋z t ≥1z ＋z100≥21z ·z 100＝15，当且仅当x ＝1，y ＝z ＝10，t ＝100时，等号成立．答案：153．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.证明：①当n ＝1时，1a 1＝1<74，所以原不等式成立．②当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14<74，所以原不等式成立． ③当n ≥3时，因为n 2>(n －1)·(n ＋1)，所以1n 2<1（n －1）·（n ＋1）.1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋…＋1n 2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）n ＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1－1n ＋1＝1＋12⎝ ⎛1－13＋12－14＋13－15＋…＋⎭⎪⎪⎫1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝74＋12(－1n －1n ＋1)<74. 所以当n ≥3时，所以原不等式成立．综上所述，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.。

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第二讲证明不等式的基本方法
2.3 反证法与放缩法
A级基础巩固
一、选择题
1．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3
a＞
3
b”时，假设的
内容是()
A.3
a＝
3
b B.
3
a＜
3
b
C.3
a＝
3
b，且
3
a＜
3
b D.
3
a＝
3
b或
3
a＜
3
b
解析：应假设3
a≤
3
b，即
3
a＝
3
b或
3
a＜
3
b.
答案：D
2．用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为() A．a，b，c，全不为0
B．a，b，c至少有一个为0
C．a，b，c至少有一个不为0
D．a，b，c至多有一个不为0
解析：“a，b，c全为0”的否定是“a，b，c至少有一个不为0”．答案：C
3．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＞b与a＜b及a≠c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的命题个数是()
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：对于①，若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与已知矛盾，故①对；
对于②，当a＞b与a＜b及a≠c都不成立时，有a＝b＝c，不符合题意，故②对；对于③，显然不正确．
答案：C
4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1
y，b＝y＋
1
z，c＝z＋
1
x，则a，
b，c三个数()
A．至少有一个不大于2 B．都小于2
C．至少有一个不小于2 D．都大于2
解析：因为a＋b＋c＝x＋1
x＋y＋1
y＋z＋
1
z≥2＋2＋2＝6，当且仅
当x＝y＝z＝1时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于2.
答案：C
5．若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，设M＝
8
27－27a
，N＝(a＋
c)·(a＋b)，则()
A．M≥N B．M≤N
C．M＞N D．M＜N
解析：依题设，1－a，1－b，1－c均大于0，又a＋b＋c＝1，
所以3
（1－a ）（1－b ）（1－c ）≤1
3[(1－a )＋(1－b )＋(1－c )]
＝23
，所以(1－a )(1－b )(1－c )≤8
27
，
从而8
27－27a ≥(1－b )(1－c )＝(a ＋c )(a ＋b )，
所以M ≥N ，当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3时，等号成立．
答案：A 二、填空题
6．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B ＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A ，∠B ，∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°.
正确顺序的序号排列为________．
解析：由反证法证明的步骤知，先假设即③，再推出矛盾即①，最后做出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.
答案：③①②
7．lg 9·lg 11与1的大小关系是________．
解析：因为lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 1002＝1，
所以lg 9·lg 11＜1. 答案：lg 9·lg 11＜1
8．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1
211－1，则M 与1的大小关
系为________．
解析：因为210＋1＞210，210＋2＞210，…，211－1＞210，所以
M ＝1210＋1210＋1＋1
210＋2＋…＋
答案：M ＜1 三、解答题
9．已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2.求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个
小于2.
证明：(反证法)设
1＋x y ≥2，1＋y
x
≥2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥2y ， ①
1＋y ≥2x . ②
由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2，与题设矛盾．所以1＋x y ，1＋y x
中至少有一个小于2.
10．已知n ∈N *，求证：1×2＋2×3＋…＋n （n ＋1）＜（n ＋1）2
2
. 证明：由基本不等式，得n （n ＋1）＜n ＋n ＋12＝2n ＋1
2，
所以1×2＋2×3＋…＋n （n ＋1）＜32＋5
2＋…＋2n ＋12＝
3＋5＋…＋（2n ＋1）2＝n （n ＋2）2＝n 2＋2n 2＜（n ＋1）2
2
，故原不等
式成立．
B级能力提升
1．(2018·浙江卷)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)，若a1>1，则()
A．a1<a3，a2<a4B．a1>a3，a2<a4
C．a1<a3，a2>a4D．a1>a3，a2>a4
解析：构造不等式ln x≤x－1，
则a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)≤a1＋a2＋a3－1，
所以a4＝a1·q3≤－1.由a1>1，得q<0.
若q≤－1，则ln(a1＋a2＋a3)＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1(1＋q)·(1＋q2)≤0.
又a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)≥a1>1，
所以ln(a1＋a2＋a3)>0，矛盾．
因此－1<q<0.
所以a1－a3＝a1(1－q2)>0，a2－a4＝a1q(1－q2)<0，
所以a1>a3，a2<a4.
答案：B
2．设x，y，z，t满足1≤x≤y≤z≤t≤100，则x
y＋
z
t的最小值为
________．
解析：因为x
y≥
1
y≥
1
z，且
z
t≥
z
100，
所以x
y＋
z
t≥
1
z＋
z
100≥2
1
z·
z
100＝
1
5，
当且仅当x＝1，y＝z＝10，t＝100时，等号成立．
答案：1 5
3．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1n 2
·a n (n ∈N *)，
(1)求a 2，a 3并求数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝n
a n ，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <710
.
(1)解：因为a 1＝2，a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2
·a n (n ∈N *)，
所以a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋112
·a 1＝16，
a 3＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋122
·a 2＝72.
又因为
a n ＋1（n ＋1）
2＝2·a n n 2，n ∈N *
，所以⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 2为等比数列，
所以a n n 2＝a 112·2n －1
＝2n ，所以a n ＝n 2·2n .
(2)证明：c n ＝n
a n ＝1n ·2n ，
所以c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝11·2＋12·22＋13·23＋…＋1
n ·2n <12＋18＋124＋14·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋1
25＋ (12)
＝23＋14·124⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －31－1
2 <23＋14·1
241－
1
2
＝2
3＋1
32＝
67
96
＝670
960<
96×7
96×10
＝
7
10，
所以不等式得证．。