算法分析习题参考答案第五章 (1)

1．最大子段和问题：给定整数序列 n a a a ,,,21 ，求该序列形如∑=j

i k k a 的子段和

的最大值： ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∑=≤≤≤j i k k n j i a 1max ,0max 1) 已知一个简单算法如下：

int Maxsum(int n,int a,int& besti,int& bestj){

int sum = 0;

for (int i=1;i<=n;i++){

int suma = 0;

for (int j=i;j<=n;j++){

suma + = a[j];

if (suma > sum){

sum = suma;

besti = i;

bestj = j;

}

}

}

return sum;

}试分析该算法的时间复杂性。

2) 试用分治算法解最大子段和问题，并分析算法的时间复杂性。

3) 试说明最大子段和问题具有最优子结构性质，并设计一个动态规划算法解最大子段和问题。分析算法的时间复杂度。

（提示：令1()max ,1,2,,j k

i j n k i b j a j n ≤≤≤===∑）

解：1）分析按照第一章，列出步数统计表，计算可得)(2n O

2）分治算法：将所给的序列a[1:n]分为两段a [1:n/2]、a[n/2+1:n]，分别求出这两段的最大子段和，则a[1:n]的最大子段和有三种可能：

①a[1:n]的最大子段和与a[1:n/2]的最大子段和相同；

②a[1:n]的最大子段和与a[n/2+1:n]的最大子段和相同；

③a[1:n]的最大子段和为两部分的字段和组成，即

j n j i l n i j a a a a a

+++++=+⎥⎦

⎥⎢⎣⎢=⎥⎦⎥⎢⎣⎢∑ 122；

intMaxSubSum ( int *a, int left , int right){

int sum =0;

if( left==right)

sum = a[left] > 0? a[ left]:0 ;

else

{int center = ( left + right) /2;

int leftsum =MaxSubSum ( a, left , center) ;

int rightsum =MaxSubSum ( a, center +1, right) ;

int s_1 =0;

int left_sum =0;

for ( int i = center ; i >= left; i--){

left_sum + = a [ i ];

if( left_sum > s1)

s1 = left_sum;

}

int s2 =0;

int right_sum =0;

for ( int i = center +1; i <= right ; i++){

right_sum + = a[ i];

if( right_sum > s2)

s2 = right_sum;

}

sum = s1 + s2;

if ( sum < leftsum)

sum = leftsum;

if ( sum < rightsum)

sum = rightsum;

}

return sum;

}

int MaxSum2 (int n){

int a；

returnMaxSubSum ( a, 1, n) ;

}该算法所需的计算时间T(n)满足典型的分治算法递归分式T(n)=2T(n/2)+O(n)，分治算法的时间复杂度为O(nlogn)

3）设}{max )(1∑=≤≤=j i k k j i a j b ,则最大子段和为).(max max max max max 11111j b a a n j j i k k j i n j j i k k n j n i ≤≤=≤≤≤≤=≤≤≤≤==∑∑ 最大子段和实际就是)}(,),2(),1(max{n b b b .

要说明最大子段和具有最优子结构性质，只要找到其前后步骤的迭代关系即可。 },)1(max {},}{max max {},}{max {}{max )(1

111111j j j j j i k k j i j j i j j i k k j i k k j i a a j b a a a a a a a j b +-=+=+==∑∑∑-=-≤≤-≤≤-==≤≤

若0)1(>-j b , j a j b j b +-=)1()(；

若0)1(≤-j b ，j a j b =)(。

因此，计算)(j b 的动态规划的公式为：.1},,)1(max {)(n j a a j b j b j j ≤≤+-=

intMaxSum (int* a ，int n )

{

int sum = 0, b = 0，j=0;

for( int i=1;i<=n;i++)

{if( b >0)

b = b + a [i];

else b = a [i];

end{if}

if( b > sum) sum = b;

j=i ；

end{if}

}

return sum;

}

自行推导，答案：时间复杂度为O （n ）。

2.动态规划算法的时间复杂度为O （n ）（双机调度问题）用两台处理机A 和B 处理n 个作业。设第i 个作业交给机器A 处理时所需要的时间是i a ，若由机