基本初等函数总结共41页
基本初等函数知识总结
1
0
x
y loga x
y log2 x
y log3 x y log1 x x
3
y log1 x
2
性 质
底数互为倒数的两个指数
一 函数的图象关于y轴对称。
底数互为倒数的两个对数 函数的图象关于x轴对称。
性
质 在 y轴的右边看图象,图象 二 越高底数越大.即底大图高
在 x=1的右边看图象,图象 越高底数越小.即底小图高
幂函数
函数y=xα叫做幂函数, 其中x是自变量, α是常 数.
对于幂函数，我们只
讨论 1, 2, 3, 1 , 1
2
时的情形
y y x3
y x2
1 -1
O1
-1
yx
1
y x2
y1 x
x
幂函数的性质
函数 性质
定义域 值域
奇偶性
单调性
公共点
y=x y=x2
R
R
R [0,+∞) 奇偶
增
[0,+∞)增
n am
同时: 0的正分数指数幂等于0； 0的负分数指数幂
没有意义
2.有理数指数幂的运算性质
a a a r s
r s(a 0,r, s Q) 同底数幂相乘,底数不变指数相加
r
a a r -s (a 0,r, s Q) 同底数幂相除, 底数不变指数相减 as
(a ) a r s
rs (a 0,r, s Q) 幂的乘方底数不变,指数相乘
o
x
①x∈ (0,+∞) ； ② y∈ R;
③过定点(1, 0)
性 ④当x＞ 1时,y＞ 0, 质 0＜ x＜ 1时, y＜ 0
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点基本初等函数是指在数学中常见且重要的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
这些函数在数学中广泛应用于各种数学问题和实际应用中，对于学习和理解高等数学和物理等学科具有重要意义。
本文将对这些基本初等函数进行详细介绍。
首先，常数函数是最简单的一个函数，它的函数值始终保持不变。
常数函数的一般形式为f(x)=c，其中c是常数。
常数函数在数学中常用于表示等级和水平等不变的情况。
例如，常用的数学常数π就是一个常数函数，表示圆周长与直径之比。
其次，幂函数是一类形如f(x)=x^n的函数，其中x是变量，n是常数。
幂函数的特点是通过改变幂指数n的大小可以得到不同形状的函数图像。
比如当n为正偶数时，函数图像是一个开口朝上的平滑曲线；当n为正奇数时，函数图像是一个开口朝下的平滑曲线；当n为负数时，函数图像则是一个经过坐标轴原点的曲线。
指数函数是一类形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数，且a大于0且不等于1、指数函数的特点是函数值随着自变量的增大而指数级增长或指数级衰减。
当a大于1时，函数图像是一个增长的指数曲线；当0小于a小于1时，函数图像是一个衰减的指数曲线。
对数函数是指数函数的反函数，它表示一些数在一个给定的底数下的指数。
对数函数的一般形式为f(x) = log_a(x)，其中a是常数，且a大于0且不等于1、对数函数和指数函数是一对互逆函数，它们的图像是关于y=x对称的。
三角函数是一类周期函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数的一般形式为f(x) = A*sin(Bx+C)，余弦函数的一般形式为f(x) = A*cos(Bx+C)，正切函数的一般形式为f(x) = A*tan(Bx+C)。
其中A、B、C是常数，分别表示振幅、频率和初相位。
三角函数的图像具有周期性和对称性，常用于描述波动和周期性现象。
反三角函数是三角函数的反函数，它表示一些角度在三角函数中的对应值。
基本初等函数知识点归纳
基本初等函数知识点归纳1.常值函数：常值函数是指在定义域上的值始终相同的函数。
常见的常值函数有恒等于0的零函数和恒等于1的单位函数。
常值函数的图像是一条与x轴平行的直线。
2.幂函数：幂函数是指形如y=x^n的函数，其中n是一个实数。
当n 为正偶数时，函数的图像在原点右侧递增；当n为正奇数时，图像在全定义域递增；当n为负数时，图像在全定义域递减。
特殊地，当n为0时，函数为常值函数13.指数函数：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a为正实数且a≠1、指数函数的图像可以是递增或递减的曲线，具体取决于底数a的大小关系。
当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减。
指数函数特点是它们的图像都经过点(0,1)。
4. 对数函数：对数函数是指形如y = log_a(x)的函数，其中a为正实数且a ≠ 1、对数函数是指数函数的反函数，因此它们的图像是关于y = x对称的。
对数函数的图像在定义域上递增，对数函数的唯一一个特殊点是(1,0)。
5. 三角函数：三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)、余切函数cot(x)、正割函数sec(x)和余割函数csc(x)。
这些函数在三角学中起着重要的作用，并且它们的图像都是周期性的。
正弦函数和余弦函数的图像是一条在[-1,1]之间往复的波浪线，而正切函数和余切函数的图像是一条通过原点的无数个波浪线。
6. 反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数。
反三角函数包括反正弦函数asin(x)、反余弦函数acos(x)、反正切函数atan(x)等。
它们的定义域和值域与所对应的三角函数的范围正好相反。
反三角函数的图像和所对应的三角函数的图像关于y = x对称。
以上是基本初等函数的主要内容，它们是数学中最常见的函数，不仅在实际问题中有着广泛的应用，而且还在高中数学的教学中起到了重要的作用。
通过对这些函数的学习与理解，可以更好地掌握数学知识，提高数学解题的能力。
(完整版),基本初等函数公式总结,推荐文档
( f g)dx f dx gdx kfdx k f dx
运算公式：
fg dx f dg fg g df
分部积分法计算法则
对
幂
指
三
ln x
x
ex
sin x 、 cos x
两两组合，位置排在前面的选 f ，排列在后面的选 g
dx c dx
1 dx d ln x x
凑微分公式 1 dx 2d x x
导数公式
(c) 0 (0) 0
(x) 1 (x2 ) 2x
(log a
x)
1 x ln a
(ln x) 1 x
(sin x) cos x (cos x) sin x
1 0
1 x
1 x2
(a x ) a x ln a
( f g) ( f ) (g) ( fg) ( f )g f (g) (kf ) k( f )
0 dx c
1 dx x c
x
dx
1 2
x2
c
1 x2
dx 1 c x
不定积分公式
1 x
dx 2
x c
ax dx ax c
ln a
不定积分运算法则： 加减法，数乘
x
dx
2
3
x2
c
3
xa dx 1 xa1 c
a 1
1 x
dx
ln |
x | c
ex dx ex c sin x dx cos x c cos x dx sin x c
(x a ) ax a1
( x) 1 2x
(e x ) e x
f g
(
f
)g g2
f
(g)
高一数学必修一第二章基本初等函数知识点总结
在 R 上是减函数
函数值的 变化情况
a 变化对
图象的影 响
y＞1(x ＞ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜1(x ＜ 0)
y＞ 1(x ＜ 0), y=1(x=0), 0 ＜ y＜ 1(x ＞ 0)
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 y 轴； 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠近 y 轴； 在第二象限内， a 越大图象越低，越靠近 x 轴． 在第二象限内， a 越小图象越低，越靠近 x 轴．
y
f ( x) 中反解出 x
1
f ( y) ；
③将 x f 1( y ) 改写成 y f 1 ( x) ，并注明反函数的定义域．
（ 8）反函数的性质
①原函数 y
f (x) 与反函数 y
1
f ( x) 的图象关于直线 y
x 对称．
②函数 y f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y f 1 (x ) 的值域、定义域． ③若 P(a,b) 在原函数 y f (x ) 的图象上，则 P' (b, a) 在反函数 y f 1(x ) 的图象上．
③根式的性质： (n a )n a ；当 n 为奇数时， n an
a ；当 n 为偶数时， n an | a |
a (a 0)
．
a (a 0)
（ 2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是： a n n a m (a 0, m, n N , 且 n 1) ． 0 的正分数指数幂等于 0．②正数的负分数
设一元二次方程 ax 2 bx c 0( a 0) 的两实根为 x1, x2 ，且 x1 x2 ．令 f ( x) ax 2 bx c ，从以下四个方
面来分析此类问题：①开口方向： a ②对称轴位置： x
基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
它们在数学和实际问题中具有广泛的应用，因此掌握基本初等函数的性质和特点对于学习和理解数学非常重要。
下面将对基本初等函数的知识点进行总结。
一、多项式函数多项式函数是由常数乘以各个整数幂的变量构成的函数。
它的一般形式为：$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x+a_0$$其中，$a_n, a_{n-1},\dots,a_1,a_0$为常数，$n$为正整数，$a_n \neq 0$。
多项式函数的特点包括：定义域为实数集，值域为实数集，可导且导函数为次数比原来次数低一的多项式函数。
二、指数函数指数函数的一般形式为：$$f(x) = a^x$$其中，$a$为正实数且不等于1。
指数函数的特点包括：定义域为实数集，值域为正实数集，可导且导函数为$a^x\ln a$。
三、对数函数对数函数的一般形式为：$$f(x) = \log_a x$$其中，$a$为正实数且不等于1，$x$为正实数。
对数函数的特点包括：定义域为正实数集，值域为实数集，可导且导函数为$\frac{1}{x\ln a}$。
四、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的一般形式为：$$\sin x, \cos x, \tan x$$其中，$x$为实数。
三角函数的特点包括：定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]，具有周期性，可导且导函数是相关三角函数的倍数。
五、反三角函数反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等。
它们的一般形式为：$$\arcsin x, \arccos x, \arctan x$$其中，$x$在相应的定义域内。
反三角函数的特点包括：定义域为闭区间[-1, 1]，值域为实数集，可导且导函数是相关函数的倒数。
基本初等函数的性质还包括：1. 奇偶性对于函数$f(x)$，如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则称函数为奇函数；如果对于定义域内的任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则称函数为偶函数。
基本初等函数知识总结
基本初等函数知识总结含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数1.常数函数（y=C）（1）定义域: D（f）＝（-∞，+∞）（2）值域: Z(f)=C(3) 性质: 它的图像是一条平行于x轴并通过点(0，C)在y轴上截距为C的直线(4 )图像：(5)周期性：常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T，f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数2.幂函数(1)定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.(2)性质：在(0，+∞)内总有意义①当α＞0时函数图像过点(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)内单调增加且无界②当α＜0时函数图像过点(1，1)，在(0，+∞)内单调减少且无界(3)图像：3.指数函数y=a^x(a>0且a≠1)(1)定义域：x∈R(2)值域：(0，+∞)(3)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(-∞，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(-∞，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(4)图像：①由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
②由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低” 如图：(5)运算法则：①②③④4.对数函数y=logax（a>0 且a≠1）(1)定义：如果a^x=N（a>0，且a ≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数一般地，函数y=logax（a>0，且a ≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数(2)定义域：(0，+∞)，即x>0(3)值域：R(4)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(0，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(0，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(5)图像：【注】①负数和零没有对数②1的对数是零③底数的对数等于1(6)常用法则/公式：5.三角函数⑴正弦函数y=sin x(1)定义：对边与斜边的比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ(K∈Z)时，Y 取最大值1 2.当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ,0)，K ∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2，K ∈Z④单调性：在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2]，K∈Z上单调递减⑤有界性：有界函数(6)图像：(2)余弦函数y=cos x(1)定义：邻边与斜边之比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ +π /2(K∈Z)时，Y取最大值1 2.当X=2Kπ +π (K∈Z)时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：偶函数③对称性：对称中心是(Kπ+π/2,0)，K∈Z；对称轴是直线x=Kπ，K∈Z④单调性：在[2Kπ,2Kπ+π]，K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π]，K∈Z上单调递增⑤有界性：有界函数(6)图像：(3)正切函数y=tan x(1)定义：对边与邻边之比(2)定义域：{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}(3)值域：R(4)最值：无最大值和最小值(5)性质：①周期性：最小正周期都是πT=π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ/2,0)，K∈Z④单调性：在[Kπ-π/2,Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增⑤有界性：无界函数(6)图像：(4)余切函数y=cot x(1)定义：在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点一、函数的定义和性质函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素对应到另一个集合中的唯一元素。
函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是所有可输入的自变量的集合，值域是所有对应的因变量的集合。
2. 奇偶性：一个函数可以是奇函数或偶函数，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
3. 单调性：函数可以是单调递增或单调递减的。
单调递增函数满足当x1小于x2时，f(x1)小于f(x2)；单调递减函数则相反。
二、常见的基本初等函数1. 幂函数：指数函数是形如y=x^n的函数，其中n是一个实数。
根据n的不同取值，幂函数可以分为多种情况，如正幂函数、负幂函数、倒数函数等。
2. 指数函数：指数函数是以指数为自变量的函数，常见的指数函数有以e为底的自然指数函数（y=e^x）和以10为底的常用对数函数（y=log(x)）。
3. 对数函数：对数函数是指以某个正实数为底的函数，常见的对数函数有以e为底的自然对数函数（y=ln(x)）和以10为底的常用对数函数。
4. 三角函数：三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，常见的三角函数有正弦函数（y=sin(x)）、余弦函数（y=cos(x)）、正切函数（y=tan(x)）等。
5. 反三角函数：反三角函数是三角函数的逆函数，常见的反三角函数有反正弦函数（y=arcsin(x)）、反余弦函数（y=arccos(x)）、反正切函数（y=arctan(x)）等。
三、基本初等函数的图像和性质1. 幂函数的图像与性质：平方函数（y=x^2）的图像是一个开口上的抛物线，立方函数（y=x^3）的图像则是一个S形曲线。
幂函数的性质与指数n的奇偶性、正负有关。
2. 指数函数的图像与性质：自然指数函数（y=e^x）具有递增的特点，其图像是一条通过原点且向上增长的曲线。
常用对数函数（y=log(x)）的图像则是一条斜率逐渐减小的曲线。
基本初等函数讲义(全)
基本初等函数讲义(全) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1一、一次函数二、二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质定义域 (),-∞+∞对称轴2b x a=-顶点坐标24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭值域24,4ac b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭24,4ac b a ⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭单调区间,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递减,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递增 ,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭递增,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a -- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=． 三、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．四、指数函数（1）根式的概念如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m n n n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ （4）指数函数函数名称 指数函数定义 函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<xa y =y(0,1)1y =x a y =y(0,1)1y =（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中2.71828e =…）．（4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且 （5）对数函数函数 名称对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性 在(0,)+∞上是增函数 在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高． (6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法x yO(1,0)1x =log a y x =xyO (1,0)1x =log a y x=①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域． ③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．例题一、求二次函数的解析式例1. 抛物线244y x x =--的顶点坐标是（ ）A ．（2，0）B ．（2，-2）C ．（2，-8）D ．（-2，-8）例2．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ）A ．()2312y x =--B ．()2312y x =-+ C. ()2312y x =+- D. ()2312y x =-+-例3.抛物线y=的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（ ）A ．m ＜－1或m ＞2B ．m ＜0或m ＞－1C ．－1＜m ＜0D ．m ＜－1--222x mx m -++例4.已知二次函数()f x 同时满足条件： （1）()()11f x f x +=-； （2）()f x 的最大值为15； （3）()0f x =的两根立方和等于17 求()f x 的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题例5. 当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．例6．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．例7．当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)．三、幂函数例8.下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -=例9.下列幂函数中定义域为{}0x x >的是（ ）Ａ．23y x = Ｂ．32y x = Ｃ．23y x -= Ｄ．32y x -=例10. 讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．例10．已知函数y ＝42215x x －－．（1）求函数的定义域、值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．四、指数函数的运算例11. 计算122(2)-⎡⎤-⎣⎦的结果是（ ）A、12 C、—12例12.等于（ ） A 、 B 、 C 、 D 、例13. 若53,83==ba ，则b a233-＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿五、指数函数的性质例14.{|2},{|xM y y P y y ====，则M∩P（ ） A.{|1}y y > B. {|1}y y ≥ C. {|0}y y > D. {|0}y y ≥ 例15.求下列函数的定义域与值域：（1）442x y -= （2）||2()3x y =例16.函数()2301x y a a a -=+>≠且的图像必经过点 ( )A ．(0，1)B ．(1，1)C ．(2，3)D ．(2，4)4416a 8a 4a 2a例17求函数y=2121x x -+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.五、对数函数的运算例18.已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、 23a a - 例19.2log (2)log log a a a M N M N -=+，则NM 的值为（ ） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 例20.已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A 、13 B 、 C D 例21.2log 13a<，则a 的取值范围是（ ） A 、()20,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B 、2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C 、2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D 、220,,33⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭五、对数函数的性质例22.下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ）A 、12log (1)y x =+ B、2log y =C 、21log y x = D、2log (45)y x x =-+ 例23.函数2lg 11y x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图像关于（ ） A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称例23.函数)()lgf x x =是 （奇、偶）函数。
基本初等函数知识总结
基本初等函数知识总结1. 线性函数：线性函数是最简单的基本初等函数形式之一、它的表达式为f(x) = mx + b，其中m和b是实数常数。
线性函数的图像是一条直线，斜率m代表了线的倾斜程度，而常数b表示了线与y轴的截距。
2.平方函数：平方函数是基本初等函数的另一种形式，其表达式为f(x)=x^2、平方函数的图像是一条开口朝上的抛物线，它的顶点位于坐标原点，并且图像关于y轴对称。
3.立方函数：立方函数是基本初等函数的一种形式，其表达式为f(x)=x^3、立方函数的图像是一条经过坐标原点的S形曲线，它是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。
4.平方根函数：平方根函数是基本初等函数的一种形式，其表达式为f(x)=√x。
平方根函数的图像是一条开口朝右的抛物线，其定义域为x≥0，值域为y≥0。
它的特点是随着自变量的增加，函数值增加速度逐渐变缓。
5.绝对值函数：绝对值函数是一种基本初等函数，其表达式为f(x)=，x。
绝对值函数的图像是一条以y轴为对称轴的V形曲线，其定义域为所有实数，值域为非负实数。
6.指数函数：指数函数是一种基本初等函数，其表达式为f(x)=a^x，其中a是一个正常数且不等于1、指数函数的图像是一条增长非常快的曲线，在x轴的右侧部分与x轴无交点，并且随着x的增大，函数值以指数级别增加。
7. 对数函数：对数函数是一种基本初等函数，其表达式为f(x) = log_a(x)，其中a是一个正常数且不等于1、对数函数的图像是关于y轴对称的曲线，其定义域为x>0，值域为所有实数。
8. 正弦函数：正弦函数是一种基本初等函数，其表达式为f(x) = sin(x)。
正弦函数是周期性的，其周期为2π，图像呈现出波浪形状，振幅为1，且在x=0处达到最小值。
9. 余弦函数：余弦函数是一种基本初等函数，其表达式为f(x) = cos(x)。
余弦函数也是周期性的，其周期为2π，图像也呈现波浪形状，振幅为1，但在x=0处达到最大值。
基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结1.多项式函数多项式函数是由常数和幂函数通过加减乘除运算得到的函数，它的一般形式是f(x)=anx^n+an-1x^(n-1)+...+a1x+a0，其中an,...,a0是常数，n是非负整数。
多项式函数的最高次数决定了函数的增长速度，函数的图像通常是一个平滑的曲线。
2.指数函数指数函数的形式是f(x)=a^x，其中a是一个正实数且不等于1、指数函数的图像呈现出递增或递减的趋势，具有不断增长的特点。
指数函数的特点是：当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减；当a=1时，函数恒为1；当x=0时，函数的值为13.对数函数对数函数的形式是f(x)=log_a(x)，其中a是一个正实数且不等于1，x是一个正实数。
对数函数与指数函数是互逆的关系，即对数函数是指数函数的逆函数。
对数函数的特点是：当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减；当a=1时，函数恒为0；当x=1时，函数的值为0。
4.三角函数三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
它们的图像是周期性的，周期为2π。
三角函数是以圆上的点的坐标来定义的，它们与三角关系密切相关，具有很多重要的应用，如波动、振动、旋转等。
5.反三角函数反三角函数是三角函数的逆函数，如反正弦函数arcsin(x)，反余弦函数arccos(x)，反正切函数arctan(x)等。
它们的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
反三角函数可以用来解三角方程和求解三角函数的值，也在三角函数应用中起到重要作用。
6.指数对数函数指数对数函数是指数函数和对数函数的组合，如指数函数的反函数指数对数函数f(x)=log_a(x)，对数函数的反函数指数对数函数f(x)=a^x。
指数对数函数具有特定的增长速度和性质，广泛应用于科学、金融、工程等领域。
总结起来，基本初等函数是初等函数的基础知识，包括多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点一、引言在数学中，初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）以及复合运算得到的函数。
基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。
本文将详细介绍这些基本初等函数的定义、性质和图像。
二、常数函数定义：常数函数 \( f(x) = c \)，其中 \( c \) 是一个实数常数。
性质：常数函数的图像是一条平行于 \( x \) 轴的直线，其所有点的函数值都等于常数 \( c \)。
图像：见附录图1。
三、幂函数定义：幂函数 \( f(x) = x^n \)，其中 \( n \) 是实数。
性质：幂函数的性质取决于指数 \( n \) 的值。
当 \( n \) 为正整数时，函数图像是 \( n \) 次幂的曲线；当 \( n \) 为负整数时，函数图像是倒数的幂函数曲线。
图像：见附录图2。
四、指数函数定义：指数函数 \( f(x) = a^x \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a\neq 1 \)。
性质：指数函数的底数 \( a \) 决定了函数图像的形状。
当 \( a > 1 \) 时，函数是增长的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是衰减的。
图像：见附录图3。
五、对数函数定义：对数函数 \( f(x) = \log_a(x) \)，其中 \( a > 0 \) 且\( a \neq 1 \)。
性质：对数函数是指数函数的逆函数。
当 \( a > 1 \) 时，函数是单调增加的；当 \( 0 < a < 1 \) 时，函数是单调减少的。
图像：见附录图4。
六、三角函数1. 正弦函数 \( \sin(x) \)2. 余弦函数 \( \cos(x) \)3. 正切函数 \( \tan(x) \)定义：这些函数与单位圆上的点的坐标有关。
性质：三角函数具有周期性，它们的周期为 \( 2\pi \)。
基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结一、指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。
当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎨⎧≥==)0(||a a a a n n2=anm ◆ 03（1 （2 （3 1其中2注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数1底．N a x 底数 a log a log a log a 注意：换底公式a bb c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b mnb a n a mlog log =；（2）a b b a log 1log =．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：x y 2log 2=，5log 5x y =都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2、对数函数的性质：1、2（1（2（3当x 于+。
基本初等函数公式总结
1常数函数：c y =；1y =；y e = 2幂 函 数：y x α=；2x y =；xy =；1y x -=；/n m y x == 3指数函数：x a y =；x e y = 4对数函数：x y a log =；x y ln =；x y 2log =；lg y x = 5三角函数：x y sin =；x y cos =三角函数是有界函数，sin x 奇函数；cos x 偶函数6奇函数：()()f x f x -=- 图形关于坐标原点对称；偶函数：()()f x f x -= 图形关于y 轴对称；含有x x a a -+因子的是偶函数；含有x x a a --因子的是奇函数，1sin lim 0=→xx x e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim 无穷小量×有界量＝无穷小量当x →∞时，1sin n x π是无穷小量1sin lim0=→xxx()e x xx =+→101lim极限运算法则：g f g f lim lim )lim(±=±sin lim0x xx→∞=lim sin 0x x x →=f k kf lim )lim(=；lim lim lim fg f g =⋅kdx dkx =dx ax dx x dx a a a 1)(-='= adx a dx a da x x x ln )(='=dx dx x x d 2)2(2='= 221log (log )ln 2d x x dx dx x '== xdx dx x x d cos )(sin sin ='= dxe dx e de x x x ='=)(dx xdx x x d 1)(lnln ='= xdx dx x x d sin )(cos cos -='=0)(='c 1)(='x a x x a ln 1)(log =' x x cos )(sin =' 0)0(='2()2x x '=x x 1)(ln ='x x sin )(cos -=' ()01='211x x -='⎪⎭⎫⎝⎛a a a x x ln )(=')()()('±'='±g f g f)()()('+'='g f g f fg )()('='f k kf1)(-='a aaxxxx 21)(='xxe e =')(2)()(g g f g f g f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛()()x x x x 2cos 222cos 2sin ='='()()22222x x x xex ee ='='()()22212ln x x x x ''==[](())(())()y f x f x x φφφ''''==0 dx c=⎰ dx c = ln xx a a dx c a =+⎰不定积分运算法则：加减法，数乘1 dx x c =+⎰ 3223dx x c =+x x e dx e c =+⎰ ⎰⎰⎰±=±gdx dx f dx g f )(21 2x dx x c =+⎰ 11 1aa x dx x c a +=++⎰ sin cos x dx x c =-+⎰ dx f k kfdx ⎰⎰= 211 dx c x x=-+⎰ 1ln ||dx x c x =+⎰cos sin x dx x c =+⎰dx c dx =+x d dx xln 1= x d dx x21= 原函数()F x 与被积函数()f x之间的关系kdx c dkx =+x x de dx e = x d xdx cos sin -= ⎰+=c x F dx x f )()(221dx xdx =x d dx x112-= x d xdx sin cos =)()(x f x F ='() ()|()()bb aaf x dx F x F b F a ==-⎰() bbbaaaf g dx f dx g dx ±=±⎰⎰⎰bbaakf dx k f dx =⎰⎰（为常数）| bbbaaafg dx fg f gdx ''=-⎰⎰ ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰-aaa为偶函数时x 即当f x f x f dx x f 为奇函数时x 即当f x f x f dx x f 0)()()(,)(2)()()(,0)(用初等行变换求逆矩阵的方法：()()1||P I I P −−−−→初等行变换－当()r A n =时齐次方程0AX =只有零解。
基本初等函数总结
基本初等函数总结引言基本初等函数是数学中常见的函数类型，也是理解和应用数学的基础。
本文将对常见的基本初等函数进行总结和归纳，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
1. 常数函数常数函数是指函数图像与某一固定常数平行的函数。
其表达式为：f(x) = C其中C为常数。
常数函数的图像为一条水平直线。
2. 幂函数幂函数是指具有形如x^n的函数，其中n为实数。
其一般形式为：f(x) = x^n幂函数的图像形状根据n的值而不同。
当n>1时，图像随着x的增大而增大；当0<n<1时，图像随着x的增大而减小；当n<0时，图像则为一条拐点在(0, 1)处的下降曲线。
3. 指数函数指数函数是以常数e为底的幂函数，其表达式为：f(x) = a^x其中a为大于0且不等于1的常数。
指数函数的图像表现为递增或递减的曲线。
当a>1时，随着x的增大，图像向上递增；当0<a<1时，随着x的增大，图像向下递减。
指数函数的一个重要特点是其斜率与函数值之间的关系，即导数与函数值成比例。
这个性质在许多实际问题中有很多应用。
4. 对数函数对数函数是指反函数与指数函数相对应的函数。
其一般形式为：f(x) = log_a(x)其中a为大于0且不等于1的常数。
对数函数的图像和指数函数的图像是关于y=x对称的。
当x>1时，对数函数的值是正的；当0<x<1时，对数函数的值是负的。
对数函数的导数为其自变量的倒数。
对数函数在解指数方程、数据压缩和恒增模型等领域有广泛的应用。
5. 三角函数三角函数是以单位圆上的点坐标关系所确定的函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数正弦函数的定义域为实数集，其一般形式为：f(x) = sin(x)正弦函数的图像为一条周期为2π的波浪曲线，振幅为1。
余弦函数余弦函数的定义域为实数集，其一般形式为：f(x) = cos(x)余弦函数的图像也是一条周期为2π的波浪曲线，但与正弦函数的相位差为π/2，即余弦函数的图像向左平移π/2。
基本初等函数
基本初等函数1. 引言初等函数是数学中的重要概念，它指代了一类基本的数学函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
这些函数在数学和工程等领域中有广泛的应用，对于解决问题、建模和分析等都起着重要的作用。
本文将介绍一些常见的基本初等函数，并分别对其定义、性质和图像进行讨论。
2. 常数函数常数函数是最简单的一类函数，其定义域内的所有元素都映射到一个常数上。
常数函数的表达式可以写作：f(x) = c其中，c为常数。
常数函数的图像为一条与x轴平行的直线，斜率为0。
常数函数在解决一些简单的数学问题时有一定的应用，但在具体的实践中使用较少。
3. 幂函数幂函数是一类形如 x^a 的函数，其中x是自变量，a是常数。
幂函数可以表示为：f(x) = x^a幂函数的性质与指数函数密切相关，其图像的特点取决于幂指数a的取值情况。
当a为正数时，幂函数呈现增长的趋势；当a为负数时，幂函数则表现出减小的趋势。
幂函数在科学和工程中的应用广泛，例如在电路分析、物理学和经济学等领域中均有涉及。
4. 指数函数指数函数是一类具有形如 a^x 的函数，其中a是正实数且不等于1，x是自变量。
指数函数可以表示为：f(x) = a^x指数函数具有与幂函数类似的性质，其图像也受到底数a的取值影响。
指数函数的图像在x轴的左侧逐渐接近于0，右侧则逐渐增长。
指数函数在金融、生物学、物理学等领域中有广泛的应用，例如在复利计算、物质衰变和人口增长等方面。
5. 对数函数对数函数是指形如 loga(x) 的函数，其中a是正实数且不等于1，x为正实数。
对数函数可以表示为：f(x) = log<sub>a</sub>(x)对数函数的图像与指数函数互为反函数，而且具有很多重要的性质。
对数函数在计算、数据处理和信息传输等领域有广泛的应用，例如在对数变换、数据搜索和数据压缩中都能见到对数函数的身影。
6. 三角函数三角函数主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们分别以sin(x)、cos(x)和tan(x)的形式表示。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
它们在数学和科学领域应用广泛，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍基本初等函数的定义、性质和应用，以帮助读者全面理解和掌握这些知识点。
一、常数函数常数函数是指函数的函数值始终保持不变的函数。
它的定义域是全体实数，通常表示为f(x) = c，其中c为常数。
常数函数的图像是一条水平的直线，平行于x轴。
无论自变量取何值，函数值始终为常数。
常数函数在数学中的应用较少，但在物理、经济学等学科中有时会用到。
二、幂函数幂函数是指自变量的指数和函数值之间的关系为幂关系的函数。
幂函数的表达式可以写作f(x) = x^a，其中a为实数。
幂函数的图像形状与指数a的正负、大小有关。
当a为正数时，函数图像是递增的曲线；当a为负数时，函数图像是递减的曲线；当a为0时，函数图像是一条常数函数的直线。
三、指数函数指数函数是自变量为指数的函数。
指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像是一条递增或递减的曲线。
当a大于1时，函数图像是递增曲线；当a介于0和1之间时，函数图像是递减曲线。
指数函数在经济学、生物学、物理学等领域有广泛的应用。
四、对数函数对数函数是指自变量和函数值之间的关系为指数关系的函数。
对数函数的一般形式为f(x) = logₐ(x)，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像是一条递增或递减的曲线。
当a大于1时，函数图像是递增曲线；当a介于0和1之间时，函数图像是递减曲线。
对数函数在科学计算、数据处理等领域被广泛运用。
五、三角函数三角函数是指以角度或弧度为自变量的函数。
常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
三角函数的图像是周期性曲线。
它们的性质和图像形态与角度或弧度的取值范围有关。
三角函数在物理学、几何学、信号处理等领域具有重要应用价值。
基本初等函数经典总结
第十二讲 基本初等函数一：教学目标1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质；2、理解基本初等函数的性质；3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数二：教学重难点教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用； 教学难点：基本初等函数基本性质的应用三：知识呈现1.指数与指数函数1).指数运算法则：（1）rsr sa a a+=；（2）()sr rs aa =；（3）()rr rab a b =；（4）mna =（5）m na-=（6,||,a n a n ⎧=⎨⎩奇偶2). 指数函数：形如(01)xy a a a =>≠且2.1）对数的运算：1、互化：N b N a a b log =⇔=2、恒等：N aNa =log3、换底： ab bc c a log log log =推论1 ab b a log 1log =推论2 log log log a b a b c c ∙= 推论3 log log m na an b b m=)0(≠m 4、N M MN a a a log log log +=log log log aa a MM N N=- 5、M n M a n a log log ⋅= 2）对数函数：3.幂函数一般地，形如 ay x =（a R ∈）的函数叫做幂函数，其中a 是常数 1)性质：(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1, 1);(2) 如果α＞０，则幂函数图象通过（0，0），并且在区间[0,+∞)上是增函数；(3) 如果α＜０，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴。
四：典型例题考点一：指数函数例1 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值范围是14⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．例2 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______． 分析：令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值范围． 解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-． ∴当1a >时，∵[]11x ∈-，， ∴1x a a a ≤≤，即1t a a≤≤．∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）； 当01a <<时，∵[]11x ∈-，， ∴1x a a a ≤≤，即1a t a ≤≤，∴ 1t a =时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得13a =或15a =-（舍去），∴a 的值是3或13．评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，∞．令26x t -=，则y =又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． ∴函数的值域是[)01，． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 例4 求函数y ＝23231+-⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 的单调区间.分析 这是复合函数求单调区间的问题可设y ＝u⎪⎭⎫ ⎝⎛31,u ＝x 2-3x+2，其中y ＝u⎪⎭⎫ ⎝⎛31为减函数∴u ＝x 2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增) u ＝x 2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)解：设y ＝u⎪⎭⎫ ⎝⎛31,u ＝x 2-3x+2,y 关于u 递减，当x ∈(-∞，23)时，u 为减函数， ∴y 关于x 为增函数；当x ∈［23，+∞)时，u 为增函数，y 关于x 为减函数.考点二：对数函数例5 求下列函数的定义域 （1）y=log 2（x 2-4x-5）; （2）y=log x+1（16-4x ）（3）y= ．解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0， 故定义域为 ｛x ｜x ＜-1，或x ＞5｝．（2）令 得故所求定义域为｛x ｜-1＜x ＜0，或0＜x ＜2｝．（3）令，得故所求定义域为｛x｜x＜-1- ，或-1- ＜x＜-3,或x≥2｝．说明求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零．例6比较大小：（1）log0．71．3和log0．71．8．（2）（lg n）1．7和（lgn）2（n＞1）．（3）log23和log53．（4）log35和log64．解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以log0．71．3＞log0．71．8．（2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论．若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2；若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里x=3，所以log23＞log53．（4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解．因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64．评析要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论．例7已知f（x）=2+log3x，x∈［1，9］，求y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，及y 取最大值时，x的值．分析要求函数y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定义域，然后求值域．解：∵f（x）=2+log3x，∴y=［f（x）］2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2=（2+log 3x ）2+2+2log 3x =log 23x+6log 3x+6 =（log 3x+3）2-3．∵函数f （x ）的定义域为［1，9］，∴要使函数y=［f （x ）］2+f （x 2）有定义，就须⎩⎨⎧≤≤≤≤91912x x ，∴1≤x≤3． ∴0≤log 3x≤1 ∴6≤y=（log 3x+3）2-3≤13∴当x=3时，函数y=［f （x ）］2+f （x 2）取最大值13．说明 本例正确求解的关键是：函数y=［f （x ）］2+f （x 2）定义域的正确确定．如果我们误认为［1，9］是它的定义域．则将求得错误的最大值22．其实我们还能求出函数y=［f （x ）］2+f （x 2）的值域为［6，13］． 例8 求函数y=log 0．5（-x 2+2x+8）的单调区间．分析 由于对函数的底是一个小于1的正数，故原函数与函数u=-x 2+2x+8（-2＜x ＜4）的单调性相反．解．∵-x 2+2x+8＞0， ∴ -2＜x ＜4，∴ 原函数的定义域为（-2，4）．又∵ 函数u=-x 2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2，1］上为增函数，在［1，4）上为减函数， ∴函数y=log 0．5（-x 2+2x+8）在（-2，1］上为减函数，在［1，4）上为增函数． 评析 判断函数的单调性必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子集．考点三：幂函数 例9．比较大小：（1）11221.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5解：（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7<（2）∵3y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->-（3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26xy =是增函数，12->-，∴125.265.26-->；综上，1125.255.26 5.26--->>（4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<<例10．已知幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 解：∵幂函数223mm y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．例11、求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）． 点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．五：课后练习1、若a ＞1在同一坐标系中，函数y=ax-和y=logx a的图像可能是（ ）A B C D 2．求值40625.0+416-（π）0-3833= 3. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）Ａ．13y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2y x -= 答案：Ｂ4.已知x=21,y=31,求y x y x -+-yx y x +-的值 5．若a 21＜a 21－，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ＞0C ．1＞a ＞0D ．1≥a ≥0 解析：运用指数函数的性质，选C ． 答案：C6.下列式子中正确的是（ ）A log a)(y x -=log ax-log ayByax a log log =log x a -log yaC yax a log log =log yx a D log ax-log ay= log yx a。