线性代数B矩阵的秩+习题s ppt课件
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线性代数B-2.5矩阵的秩+习题s
线性代数B-2.5 矩阵的秩+习
• 矩阵的秩的定义与性质 • 矩阵秩的应用 • 习题讲解 • 矩阵秩的扩展知识 • 总结与展望
01
矩阵的秩的定义与性质
定义
矩阵的秩是其行向量组和列向量组中线性无关向 量的最大数量。 矩阵的秩记作r(A)，其中A是给定的矩阵。
零矩阵的秩定义为0。
性质
若矩阵A经过有限次初等行变 换得到矩阵B，则r(A) = r(B)。
子式法
根据定义，求出矩阵所有不为零的子 式的阶数，取其中最大的一个数即为 矩阵的秩。
行空间维数法
利用行空间维数的概念求出矩阵的秩。
02
矩阵秩的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的解空
间
矩阵的秩等于系数矩阵的秩，也 等于增广矩阵的秩，这些秩都等 于线性方程组解空间的维数。
判断方程组是否有
解
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵 的秩，则线性方程组无解；如果 相等，则有唯一解；如果前者大 于后者，则有无穷多解。
首先，将矩阵$A$进行初等行变换，得到行阶梯形矩阵 。通过初等行变换，我们可以将矩阵$A$变为行阶梯形 矩阵，从而得到矩阵$A$的秩。
答案
矩阵$A$的秩为3。
题目2
给定矩阵$B = begin{bmatrix} 1 & 2 0 & 0 end{bmatrix}$，求矩阵$B$的秩。
解析
观察矩阵$B$，可以发现第二行全为0，因此矩阵$B$的 秩为1。
答案
矩阵$C$的秩为3。
题目4
给定矩阵$D = begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -1 2 & 0 & -1 & 2 -1 & 2 & 1 & -1 end{bmatrix}$，求矩阵$D$的 秩。
• 矩阵的秩的定义与性质 • 矩阵秩的应用 • 习题讲解 • 矩阵秩的扩展知识 • 总结与展望
01
矩阵的秩的定义与性质
定义
矩阵的秩是其行向量组和列向量组中线性无关向 量的最大数量。 矩阵的秩记作r(A)，其中A是给定的矩阵。
零矩阵的秩定义为0。
性质
若矩阵A经过有限次初等行变 换得到矩阵B，则r(A) = r(B)。
子式法
根据定义，求出矩阵所有不为零的子 式的阶数，取其中最大的一个数即为 矩阵的秩。
行空间维数法
利用行空间维数的概念求出矩阵的秩。
02
矩阵秩的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的解空
间
矩阵的秩等于系数矩阵的秩，也 等于增广矩阵的秩，这些秩都等 于线性方程组解空间的维数。
判断方程组是否有
解
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵 的秩，则线性方程组无解；如果 相等，则有唯一解；如果前者大 于后者，则有无穷多解。
首先，将矩阵$A$进行初等行变换，得到行阶梯形矩阵 。通过初等行变换，我们可以将矩阵$A$变为行阶梯形 矩阵，从而得到矩阵$A$的秩。
答案
矩阵$A$的秩为3。
题目2
给定矩阵$B = begin{bmatrix} 1 & 2 0 & 0 end{bmatrix}$，求矩阵$B$的秩。
解析
观察矩阵$B$，可以发现第二行全为0，因此矩阵$B$的 秩为1。
答案
矩阵$C$的秩为3。
题目4
给定矩阵$D = begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -1 2 & 0 & -1 & 2 -1 & 2 & 1 & -1 end{bmatrix}$，求矩阵$D$的 秩。
矩阵代数ppt课件
特征向量
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。
对于一个给定的矩阵A，如果存在一 个非零向量x，使得Ax = λx成立，则 称x为矩阵A的对应于特征值λ的特征 向量。
特征值与特征向量的计算
定义法
根据特征值和特征向量的定义，通过解方程组Ax = λx来计算特征值和特征向量。
幂法
通过计算矩阵A的幂来逼近特征值和特征向量，即通过计算A^n x来逼近Ax = λx的解。
04
矩阵分解
矩阵的三角分解
总结词
三角分解是一种将一个矩阵分解为一个 下三角矩阵和一个上三角矩阵之和的方 法。
VS
详细描述
三角分解也称为LU分解，它将一个矩阵A 分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩 阵U的乘积，即A = LU。这种分解对于解 决线性方程组和计算行列式值等数学问题 非常有用。
矩阵的QR分解
谱分解法
将矩阵A进行谱分解，即A = Σλi Pi，其中Σ为对角矩阵，λi为特征值，Pi为特征向量所构 成的特征矩阵。通过谱分解可以方便地计算出矩阵A的特征值和特征向量。
特征值与特征向量的性质
特征值的唯一性
一个矩阵的特征值是唯一的，但对应于同一特征值的特征向量不一定唯一。
特征向量的正交性
对应于不同特征值的特征向量是正交的，即如果λ1≠λ2，那么对应于λ1和λ2的特征向量x1和x2是正交 的。
总结词
矩阵的加法、数乘、乘法运算规则
详细描述
矩阵的加法运算规则是对应行和列的元素相加，数乘运算规则是对应元素乘以一 个常数，乘法运算规则是按照一定的规则对应元素相乘。
矩阵的逆与行列式
总结词
矩阵的逆、行列式的定义与性质
详细描述
矩阵的逆是一个特殊的矩阵，与原矩阵相乘为单位矩阵，行列式反映了矩阵的某些重要性质。
线性代数课件PPT第三章 线性方程组 S1 向量组与矩阵的秩
i
am1 am2 amn m
向量组 1 ,2 , ,m 称为矩阵A的行向量组．
11
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组1, 2 ,, m ,
构成一个n m矩阵
A (1 , 2 ,, m )
m个n维行向量所组成
的向量组1, 2 , m ,构成
li hi 0, (i 1, 2, , s)
即 li hi , (i 1, 2, , s)
所以表示法唯一. 例5和例6的结论可作为定理使用
24
三、几个有关的结论
定理2 n阶行列式|A|=det(aij)=0 它的n个行（列） 向量线性相关.
25
推论 n阶行列式|A|≠0 它的n个行(列)向量线 性无关.
(a1 , a2 , , an ),
注意
b1
b2
bn
行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算.
9
§3.1.1.2向量组的线性相关性
一、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或行向量）所组成 的集合叫做向量组．
例如1 A
矩阵A
a11 a21
(a
2
a12
a22
ij)mn
但是，若A为可逆矩阵，则可以得到B=O.
| An | n | A |
注意: 矩阵与行列式线性运算的不同点，以及
(AB)T=BTAT
|AnBn| = |An| |Bn| = |Bn| |An|
2
3. 掌握逆矩阵及其性质、矩阵可逆的充要条 件，会用伴随矩阵求二阶矩阵逆矩阵． 如： |A|≠0时A可逆，或对于方阵A，若存在 方阵B，使 AB=E (AB=BA=E)则A可逆。 (AT)−1=(A−1)T, (AB)−1=B−1A−1, |A−1|=|A|−1 A−1=A* / |A|，注意A*中元素的排列顺 序 对任意方阵A，有 AA*=A*A=|A|E
线性代数电子课件 第十三讲 矩阵的秩
阶梯形矩阵为 1
6
1
0 4 1
0 0 4 0 0 0
R(B) 3,
故 B 中必有 3 阶非零子式. 且共有 4 个. 计算B的前三行构成的子式
3 2 5 32 5 2 0 52 0 5 3 2 6 6 0 11
25
2
16 0.
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
R( A) 2, R(B) 3.
三、再论矩阵的等价标准形
一个矩阵A总可经过一系列初等变换化为
其中数r就是矩阵A的秩。
等价标准形
Er O
O O mn
r由A唯一确定，它是一个关于初等变换的不变量。
定理2.6 两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩
相等。
推论 两个矩阵等价的充分必要条件是它们有相同 的等价标准形。
2 1 0 3 2
例2
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，
B 的所有 4 阶子式全为零.
2 1 3 而 0 3 2 0,
00 4
R(B) 3.
例3
已知
A
1 0
3 2
2 1
2 3
，求该矩阵的秩．
2 0 1 5
（1）Dr中不含第i行； （2）Dr中同时含第i行和第j行； （3）Dr中含第i行但不含第j行；
对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的 子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，
Dr ri krj ri k rj Dr kDˆ r ,
若Dˆ r 0, 因 Dˆ r 中不含第 i 行知 A 中有不含第i 行的 r 阶 非零子式, R(B) r.
最新线性代数矩阵的秩教学讲义ppt
1
1
r4
r2
0
0 1
0
3
4
0
2 0 0
1
1
0 1
2
3
1 2 0 0
r4
r3
0
2
1
1
故
0 0 2 3
0
0
0
1
R(A) 4
例4
已知
n( 1)
a
阶方阵
A
b
b a
b b
b b
求R (A)
b b b a
a b b
b
rk r1
b
a
ab
0
解: A
ba 0 ab
k2,3, ,n
子宫瘢痕妊娠（cesarean scarpregnancy, CSP）
CSP的发生率为1∶2216~1∶1800，占有剖宫产史 妇女的1.15%，占有前次剖宫产史妇女异位妊娠的 6.1%
发病机制尚不清楚
临床表现
CSP早孕期无特异性的临床表现，或仅有类似先兆 流产的表现，如阴道少量流血、轻微下腹痛等。
Ⅰ型：
（1）妊娠囊部分着床于子宫瘢痕处，部分或大部 分位于宫腔内，少数甚或达宫底部宫腔；
（2）妊娠囊明显变形、拉长、下端成锐角； （3）妊娠囊与膀胱间子宫肌层变薄，厚度>3 mm； （4）CDFI：瘢痕处见滋养层血流信号（低阻血
流）。
Ⅱ型：
（1）妊娠囊部分着床于子宫瘢痕处，部分或大部 分位于宫腔内，少数甚或达宫底部宫腔；
0
矩阵A的所有4阶子式全为0（为什么？）有一个3阶
子式不为0，故 R(A)=3
二：利用初等变换求矩阵的秩
定理2 矩阵经初等变换后其秩不变 即 A ~ B, 则 R(A) = R(B).
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
线代课件-矩阵的秩
6
4 1
4 0
0
0
0
0
行階梯形矩陣有 3 個非零行，故R(A) = 3 ．
第二步求 A 的最高階非零子式．選取行階梯形矩陣中非零行
的第一個非零元，所與在之的對列應的是選取矩陣 A 的第一、
二、四列． 3 2 5 1 6 1
A0
3 2
2 0
6
r
~
0
4
5 0 0
1 4
B0
1
6
1
§2.6 矩陣的秩
一、矩陣的秩的概念
定義：在 m×n 矩陣 A 中，任取 k 行 k 列( k ≤ m，k≤n)， 位於這些行列交叉處的 k2 個元素，不改變它們在 A中所處 的位置次序而得的 k 階行列式，稱為矩陣 A 的 k 階子式．
顯然，m×n 矩陣
A的
k
階子式共有
C
k m
C
k n
個．
概念辨析： k 階子式、矩陣的子塊、餘子式、代數餘子式
1 2 2 1 1
例：設
A
2
4
8
0
,
b
2
，求矩陣
A
及矩陣
2 4 2 3 3
3
6
0
6
4
B = (A, b) 的秩．
分析：對 B 作初等行變換變為行階梯形矩陣，設 B 的行階梯 形矩陣為B ( A, b)，則 A 就是 A 的行階梯形矩陣，因此可從 中同時看出R(A)及 R(B) ．
1 2 2 1 1 1 2 2 1 1
解：B
2
4
பைடு நூலகம்
8
0
2
r
~
0
0
2
第二十一讲 矩阵的秩课件ppt
§3.3 矩 阵 的 秩 §3.3 矩 阵 的 秩
Hale Waihona Puke ()1 / 1本节主要内容
()
1 / 1
本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、
()
1 / 1
本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列初等变换
()
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本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念
()
1 / 1
本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念及 其 基 本 性 质;
()
1 / 1
本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念及 其 基 本 性 质; 通 过讨 论行 初 等 变 换,
()
1 / 1
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3 / 1
矩 阵 的定 义
定 义 3.3.1 由数 域 ������ 中 ������ × ������ 个数组 成 的形 如右 边 的表称 为数 域 ������ 上一 个 ������ 行 ������ 列 矩 阵, ⎛ ⎞ ������11 ������12 · · · ������1������ ⎜ ������21 ������22 · · · ������2������ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝· · · · · · · · · · · · · · · · ·⎠ ������������1 ������������2 · · · ������������������
()
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本节主要内容
介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念及 其 基 本 性 质; 通 过讨 论行 初 等 变 换, 引 入矩 阵的行 秩的概 念, 进 而引 入列 秩 和秩的概 念,
Hale Waihona Puke ()1 / 1本节主要内容
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介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、
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介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列初等变换
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介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念
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介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念及 其 基 本 性 质;
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介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念及 其 基 本 性 质; 通 过讨 论行 初 等 变 换,
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矩 阵 的定 义
定 义 3.3.1 由数 域 ������ 中 ������ × ������ 个数组 成 的形 如右 边 的表称 为数 域 ������ 上一 个 ������ 行 ������ 列 矩 阵, ⎛ ⎞ ������11 ������12 · · · ������1������ ⎜ ������21 ������22 · · · ������2������ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝· · · · · · · · · · · · · · · · ·⎠ ������������1 ������������2 · · · ������������������
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介 绍矩 阵的行 初 等 变 换、 列 初 等 变 换和初 等 变 换等概 念及 其 基 本 性 质; 通 过讨 论行 初 等 变 换, 引 入矩 阵的行 秩的概 念, 进 而引 入列 秩 和秩的概 念,
线性代数-矩阵的秩-PPT-期末复习资料
4
2 3 7
3 5, 1
2
B
0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2 4 0
2
5
3 0
3
A 在 中，容易看出一个2阶
子式
1 2 3 A 2 3 5,
12
D
1 0,
23
4 7 1
2 1 0 3 2
的3阶子式只有一个
A A 0, 因此 R( A) 2.
在 中，由于它是行阶梯形
阶的子式也全为零，因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式；
r 1
r
A A ✓矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶
数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；
A s ✓当矩阵 中有某个 阶子式不为0，则 A t 当矩阵 中所有 阶子式都为0，则
R( A) s; R( A) t;
5
n A ✓对于 阶矩阵 ，当
1 1 1 2
1 1 1 2
A 3
5
3
1
2 6
r2 3r1 r3 5r1
0 0
3
8
4
5
4 4
12
1 1 1 2
0 3 4 4 0 8 5 4
1 1 1 2
r3 r2
0
3
4
4
0 8 1 0
因为 R( A，) 故 2
5 0, 1 0,
子式
A0
A
10
3 2 5 32 5
3
2
6 6
0
11 (1)12 2 6
11 0.
25
2 0 5 20 5
说明
▪最高阶非零子式一般是不唯一的.
▪上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外 观察法也是常用的方法.
2 3 7
3 5, 1
2
B
0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2 4 0
2
5
3 0
3
A 在 中，容易看出一个2阶
子式
1 2 3 A 2 3 5,
12
D
1 0,
23
4 7 1
2 1 0 3 2
的3阶子式只有一个
A A 0, 因此 R( A) 2.
在 中，由于它是行阶梯形
阶的子式也全为零，因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式；
r 1
r
A A ✓矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶
数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；
A s ✓当矩阵 中有某个 阶子式不为0，则 A t 当矩阵 中所有 阶子式都为0，则
R( A) s; R( A) t;
5
n A ✓对于 阶矩阵 ，当
1 1 1 2
1 1 1 2
A 3
5
3
1
2 6
r2 3r1 r3 5r1
0 0
3
8
4
5
4 4
12
1 1 1 2
0 3 4 4 0 8 5 4
1 1 1 2
r3 r2
0
3
4
4
0 8 1 0
因为 R( A，) 故 2
5 0, 1 0,
子式
A0
A
10
3 2 5 32 5
3
2
6 6
0
11 (1)12 2 6
11 0.
25
2 0 5 20 5
说明
▪最高阶非零子式一般是不唯一的.
▪上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外 观察法也是常用的方法.
(2)矩阵的秩与线性方程组幻灯片课件
设A
2 2 3
4 1 3
2 0 3
6 2 3
436， 求r( A).
解
1 2 1 0 2
~A
0
0 0
0 3 9
0 6 2
2 6
2 3
1 2
1 2 1 0 2
~0 3
0 0
9 0
2 2 1
6 0
3 6
22
1 2 1 0 2
~ 0 3
0 0
9 0
2 2 1
是否有非零解?
例 1 解方程组
x1 2 x1
2x2 3x3 x2 x3
0 0
x1
2x2
2x3
0
1
A:
0 0
0 1 0
0
0 1
x1 0
得
x2 0
x3 0
唯一零解
x1 x2 x3 x4 0
例2
解方程组
2 x1 2 x2
x4 0 .
x1 x2 x3 2 x4 0
A
1 2 1
1 2 1
1 0 1
121
1
~
0 0
1 0 0
0 1 0
1 2
3
2
0
即
x1 x3
x2
1 2 1 2
x4 x4
x1 , x3称为基本未知量， x2 , x4称为自由未知量.
基本未知量个数 : r( A ) r
令x2 k1 , x4 k2 自由未知量个数: n r
x1
表明初等变换不改变矩阵的秩. 推论 设A是m n矩阵，P是m阶可逆阵， Q是n阶可逆阵，则 r( PA ) r( AQ ) r( PAQ ) r( A )
线性代数矩阵的秩PPT期末复习资料共23页PPT
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29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
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30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
线性代数矩阵的秩PPT期末复习资料
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26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
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27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
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28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
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练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设 三 阶 矩 阵 A1 x 1， 试 求 矩 阵 A 的 秩 .
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设 三 阶 矩 阵 A1 x 1， 试 求 矩 阵 A 的 秩 .
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设 三 阶 矩 阵 A1 x 1， 试 求 矩 阵 A 的 秩 .
3、矩阵的秩的性质
(1)若矩阵A中有某个 s 阶子式不为0 则r(A) s
若A中所有 t 阶子式全为0 则r(A)t.
(2) 若A为mn矩阵 则 0 r(A) min{m n}.
r(Am×n) min{m n} 可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵。
(3) r(A)r(AT)，
a11 a12 L a1n
规定 零矩阵的秩 等于0. 故r(A) =0 A=O．
矩阵A的秩，记作 r(A) 或 R(A)或 rank(A)或 秩(A) .
例1和例2综合 求矩阵A和B的秩 其中
A 421
2 3 7
531
B
2 0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2
4 0
0253 .
解 在A中 容易看出一个 B是一个有3个非零行的
3 25 3 2 6 0
2 05
所以这个子式是A的最高阶非 零子式.
例5 即AB与B等价
例6
小结
1. 矩阵的秩的概念 2. 求矩阵的秩的方法
(1)定义法 寻找矩阵中非零子式的最高阶数;
(2)初等变换法 把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
P67:31
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
Amn
r ~ 行阶梯形矩阵
(形式不唯一)
r ~ 行最简形矩阵
(形式唯一)
c ~ 标准形
FEr O O Omn
标准形由数r完全确定，r也就是A的行阶梯形中非零行 的行数 这个数便是矩阵A的秩.
一、矩阵的秩的概念
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
Amn
r ~ 行阶梯形矩阵
(形式不唯一)
(4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 r(A)n 当|A|0时 r(A)n.
A
a21 L
a22 L LL
a2n
L
可逆矩阵(非奇异矩阵),又称为满秩矩阵 am1 am2 L amn
不可逆矩阵(奇异矩阵),又称为降的r1阶子式? 有没有等于0的 r 阶子式?
2 1 k 2 32.设 A为 54的 矩 阵 ， A0 1 1 3， 且 A的 秩 为 3， 求 k.
1 1 0 4
2 0 2 5
P21 ,2
解 ： D ( 1 ) ( 1 ) 1 3 5 2 ( 1 ) 2 3 3 0 1 ( 1 ) 4 3 4
1 5
a11 a12 -1 a14
r ~ 行最简形矩阵
(形式唯一)
c ~ 标准形
FEr O O Omn
由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明，也可 以借助行列式来定义矩阵的秩．
1、k 阶子式
定义1 在mn矩阵A中 任取 k 行 k 列 (1 k m ,1 k n )
位于这些行 列 交叉处 的 k2 个元素 不改变它们在A中所
1 1 x
继续讨论x的值的变化对矩阵A的秩的影响，结果同解法一。
P67:32
练习题 P67:31,32
1 2 3 1
2 1 k 2 32.设 A为 54的 矩 阵 ， A0 1 1 3， 且 A的 秩 为 3， 求 k.
1 1 0 4
2 0 2 5
P67:32
练习题 P67:31,32
1 2 3 1
即初等变换不改变矩阵的秩 .
根据这一定理 为求矩阵的秩 只要把矩阵用初等(行)变换变成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩.
例4 求矩阵A的秩 并求A 所以r(A)3.
的一个最高阶非零子式 其中
为求A的最高阶非零子式
A
3 3 2 1
2 2
0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
01 43
.
解 因为
A
3 3
21
2 2
0 6
0 3 1 4
5 6 5 1
01 43
~ 行变换01
6 4
行阶梯形矩00 阵00
4 3 0 0
1 1 4 0
41 08
考虑由A的 1、2、4 列构成的
矩阵
A0
3 3 2 1
2 2
0 6
6551 .~
1
0
0
0
6 4 0 0
1
1
4
0
可见r(A0 )＝3,
又因A0的子式
2阶子式
行阶梯形矩阵 其所有4阶子
1 2
2 3
1 0
式全为零. 以3个非零行的首 非零元为对角元的3阶子式
A的3阶子式只有一个|A| 经计 算可知|A|0 因此r(A)2.
2 1 3 0 3 2
提示 对于行阶梯形矩阵 它的
秩就等于非零行的行数.
00 4 是一个上三角行列式 它显然 =24不等于0 因此r(B)3.
解答：可能有 .
例如
A100
0 1 0
0 0 1
000
r(A)3.
000
0 0
0 0
是等于0的2阶子式
1 0
0 1
0 是等于0的3阶子式. 0
二、矩阵的秩的求法
任何矩阵都可以经过初等行变换变成行阶梯形矩阵。 问题：经过初等变换后，矩阵的秩 变 吗？ ❖定理1 若A与B等价 则 r(A)r(B).
D= a21 a22 2 a24 a31 a32 0 a34
a41 a42 1 a44
（ -1 ）1+1
P21 ,5(3)
P21 ,5(3)
x y ... 0 0
0 y ... 0 0
原式=x(1)11 ... ... ... ... ... y(1)12 ... ... ... ... ...
线性代数B
任课教师:胡凤珠
矩阵的秩
➢ 秩(rank)是矩阵更深层的性质，是
矩阵理论的核心概念． ➢ 秩是德国数学家弗洛贝尼乌斯在
1879年首先提出的． ➢ 矩阵的秩是讨论线性方程组解的存
在性、向量组的线性相关性等问题 的重要工具．
课本§2.6 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念 二、矩阵的秩的求法
一、矩阵的秩的概念
处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式.
例如
A
1 2 2
1 1 3
2 1 1
1 1 1
4 2 2
3 6 9 7 9
11 3 1
是 A的一个二阶子式.
说明
mn矩阵的k阶子式有
C
k m
C
k n
个.
2、矩阵的秩
定义2 设在mn矩阵A中有一个不等于零的r阶子式 D 且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么数 r 称为 矩阵A的秩 D 称为矩阵A的最高阶非零子式.