线性代数—矩阵的秩
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线性代数 矩阵的秩
小结. 求m × n 矩阵A 的秩r(A), 可用以下方法: 1. 对于比较简单的矩阵, 直接用秩的定义 直接用秩的定义. .
∼
1 0 0 0
0 1 0 4
0 1 0 −1 0 0 5 0
2. 用有限次初等变换, 用有限次初等变换, 将矩阵A变为它的等价 标准形 , 则 r = r( A ) . O O 3. 用有限次行初等变换, 用有限次行初等变换,将矩阵A变为梯矩阵, 则 r(A)等于该梯矩阵的非零行的行数 等于该梯矩阵的非零行的行数. （方法2 与方法3 相比, 方法3 较为简单.）
例1 求下列矩阵的秩: 求下列矩阵的秩:
(1) A = 2 2
1 1
2 4 8 (2) B = 1 2 1
(3) C = 2
1 2 4 1 4 8 2 3 6 2 0
.
解 (1)因为
1 1 a = 1 ≠ 0 而 det A = 1 1 = 0 A= 11 , 2 2 2 2 故 r ( A) = 1
又B 并无3阶子式, 阶子式,故 r (B) =2.
8 2 2 0
故, 矩阵C 的秩不小于2.
= −3 ≠ 0
另外, 因为矩阵 C 不存在高于3阶的子式, 可知r (C) ≤ 3. 又因矩阵C 的第1, 2行元是对应成比例的, 行元是对应成比例的, 故C 的任一 3阶 子式皆等于零. 子式皆等于零.因此
0 0 1 0
4 3 −3 4
1 0 B= 0 0
0 1 0 0
−1 −1 2 0
0 0 1 0
4 3 −3 4
1 0 (2) 每个台阶只有一行， 每个台阶只有一行，台阶 A = 0 数即是非零行的行数， ，阶梯 数即是非零行的行数 0 线的竖线后面的第一个元素
线性代数§3.3矩阵的秩
设A为n阶可逆方阵. 因为| A | 0, 所以, A的最高阶非零子式为| A |, 则R(A)=n.
故, 可逆方阵A的标准形为单位阵E, 即A E. 即可逆矩阵的秩等于阶数. 故又称可逆(非奇异)矩 阵为满秩矩阵, 奇异矩阵又称为降秩矩阵. 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , b , 例5:设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求矩阵A和矩阵B=(A | b)的秩. 分析: 设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A| b), 则A就是A的行阶梯形矩阵. 因此可以从B=(A| b)中同时考察出R(A)及R(B).
性质6: R(A + B) R(A) + R(B). 证明: 设A, B为mn矩阵, 对矩阵(A+B ¦ B)作列变 换: ci – cn+i (i =1,2, · · · , n)得, (A+B ¦ B) (A+O ¦ B) B) R(A) + R(B). 于是, R(A+B) R(A+B ¦ B) =R(A+O ¦ 性质7: R(AB) min{R(A), R(B)}. 性质8: 若AmnBnl =O, 则R(A)+R(B) n . 这两条性质将在后面给出证明. 例7: 设A为n阶方阵, 证明R(A+E)+R(A–E) n . 证明: 因为(A+E)+(E–A)=2E, 由性质6知, R(A+E)+R(E–A)R(2E)=n, 而R(E–A)=R(A–E), 所以 R(A+E)+R(A–E) n .
§3.3 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
由上节讨论知: 任何矩阵Amn, 总可以经过有限次 初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵. 行阶梯形矩阵中非零行的行数, 也就是标准形矩阵中 的数字r 是唯一确定的. 它是矩阵理论中非常重要的数 量关系之一——矩阵的秩. 定义: 在mn矩阵A中任取 k 行 k 列( km, kn ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A 的k阶子式. k C k 个. mn矩阵A的k阶子式共有 C m n
线性代数-矩阵的秩
设A
=
2 −2 3
−4 4 −6
8 −2 0
−036 , b
=
2 43
求矩阵A及矩阵B = ( A b)的秩. 解 分析：设 B 的行阶梯形矩阵为 B~ = ( A~,b~),
则 A~ 就是 A 的行阶梯形矩阵， 故从 B~ = ( A~,b~) 中可同时看出 R( A) 及 R(B).
1 − 2 2 − 1 1
故 R(AT A) = R(A).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) ≤ R( A).
因此 R( A) = R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) = R(B).
设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为 BT , R( AT ) = R(BT ),
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
设 n 阶可逆矩阵 A， A ≠ 0, ∴ A 的最高阶非零子式为 A, R( A) = n, 故 A 的标准形为单位阵 E, A ~ E.
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵 .
1 − 2 2 − 1 1
例5
− 2 0 1 5
解
13 02 −2 0
1 0
3 = 2 ≠ 0, 2
计算A的3阶子式，
−2
1 3 2 1 −2 2
− 1 = 0, 0 2 3 = 0, 0 − 1 3 = 0,
1
−2 0 5 −2 1 5
3 −2 2
2 − 1 3 = 0, ∴ R(A) = 2.
015
1 3 − 2 2 另解 对矩阵 A = 0 2 − 1 3 做初等变换，
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
线性代数秩和逆
一、 矩阵的秩定义1 在一个n m ⨯矩阵A 中，任意选定k 行和k 列（{}n m k ,min ≤），位于这些选定的行和列的交点上的2k 个元素按原来的次序所组成的k k ⨯矩阵的行列式，称为A 的一个k 阶子式。
例1 在矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0000500041201311A 中，选第3,1行和第4,3列，它们交点上的元素所成的2阶行列式155013=就是一个2阶子式。
又如选第3,2,1行和第4,2,1列，相应的3阶子式就是.10500420111=定义2 非零矩阵的不为零的子式的最高阶数称为该矩阵的秩，零矩阵的秩规定为0。
矩阵A 的秩记为()A rank 。
例2 证明：矩阵A 与其转置矩阵T A 有相同的秩。
例3 证明：阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数。
证 设A 是一个阶梯形矩阵，不为零的行数是r 。
选取这r 个非零行以及各非零行第一个非零元素所在的列，由这些行和列交点上的元素所成的r 阶子式是一个上三角行列式，并且主对角线上的元素都不为零，因此它不等于零。
而A 的所有阶数大于r 的子式都至少有一行的元素全为零，因而子式为零。
所以()r A r a n k =。
由于矩阵的子式的阶数不超过矩阵的行数及列数，所以n m ⨯矩阵A 的秩()()n m A rank ,min ≤。
而如果()m A rank =，就称A 是行满秩的；如果()n A rank =，就称A 是列满秩的。
此外，如果A 的所有1+r 阶子式全为零，由行列式的定义可知，A 的2+r 阶子式也一定为零，从而A 的所有阶数大于r 的子式全都为零。
因此秩有下面等价的定义：定理1 n m ⨯矩阵A 的秩为r 充分必要条件是：在A 中存在一个r 阶子式不为零，且在()()n m A rank ,min <时，矩阵A 的所有1+r 子阶式都为零。
定理2 初等变换不改变矩阵的秩。
换句话说，等价的矩阵具有相同的秩。
证 设n m A ⨯经初等行变换变为n m B ⨯，且()()21,r B r a n k r A r a n k ==。
矩阵的秩小结
矩阵的秩小结
矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和解决一些实际问题。
本文将对矩阵的秩进行总结，包括定义、计算方法以及应用。
矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，或者说矩阵中不可被其他行线性表示的行的个数。
换句话说，矩阵的秩是指矩阵所包含的最大线性无关行的个数。
矩阵的秩可以通过多种方式进行计算，其中常见的有高斯消元法。
高斯消元法通过进行初等行变换将矩阵转化为行最简形，然后数非零行的个数即为矩阵的秩。
另一种常见的方法是使用特征值和特征向量来计算矩阵的秩。
具体而言，矩阵的秩等于其非零特征值的个数。
矩阵的秩在实际应用中有很多重要的作用。
首先，矩阵的秩可以帮助我们判断一个线性方程组是否有解以及解的唯一性。
如果线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，那么该线性方程组有解；如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，那么线性方程组无解。
其次，矩阵的秩可以用于判断矩阵是否可逆。
如果矩阵的秩等于其阶数，那么矩阵是可逆的；如果矩阵的秩小于其阶数，那么矩阵不可逆。
此外，矩阵的秩还可以用于判断线性相关性。
如果矩阵的秩小于列数，那么矩阵的列向量线性相关；如果矩阵的秩等于列数，那么矩阵的列向量线性无关。
总结起来，矩阵的秩是一个重要的概念，在线性代数中具有广泛的应用。
我们可以通过高斯消元法或者特征值和特征向量来
计算矩阵的秩。
矩阵的秩可以帮助我们判断线性方程组的解的情况、矩阵是否可逆以及向量的线性相关性。
线性代数(第二版)第七节矩阵的秩
显然，r ( A ) min ( m , n ) ; r ( AT ) = r ( A ) .
例 １ 求矩阵 A 的秩，其中
1 2 3 A 2 3 5
4 7 1 解 在 A 中，容易看出２阶子式
12 1 0,
23 而 A 的三阶子式只有一个 ｜Ａ｜
单击这里计算 | A | 0, 因 此 r ( A) 2.
0 0 1 3
0
0
0
5
1 3 1 0 0 1 0 2 4 0 1 0
0 0
0 0
0 0
3 0
3 0
0 0
.
的第竖台方
第 一 个 非 零 元
,
一 个 元 素 为 非 也 零 就 元 是 非
)
(
线 每 段 竖 线 的 长 度 为 后 一
,
阶 数 即 是 非 零 行 的 阶 行 梯 数
;
的 元 素 全 为 每 零 个 台 阶 只
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
B3
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0 0 0 0
行阶梯形矩阵
其特点是：阶梯线以下 的元素全是０，台阶数即为 非零行数, 竖线后面的第一个 元素为非零元 .
行最简形矩阵
其特点是：非零行的第 一个非零元为１，且这些非 零元所在的列的其它元素都 为０.
m n 矩阵
A的
k 阶子式共有
C
k m
C
k n
个．
利用这个概念，可以给出矩阵
的秩的定义.
定义 1.16 如果数域 F 上的 m n 矩阵
a11
A
a21
例 １ 求矩阵 A 的秩，其中
1 2 3 A 2 3 5
4 7 1 解 在 A 中，容易看出２阶子式
12 1 0,
23 而 A 的三阶子式只有一个 ｜Ａ｜
单击这里计算 | A | 0, 因 此 r ( A) 2.
0 0 1 3
0
0
0
5
1 3 1 0 0 1 0 2 4 0 1 0
0 0
0 0
0 0
3 0
3 0
0 0
.
的第竖台方
第 一 个 非 零 元
,
一 个 元 素 为 非 也 零 就 元 是 非
)
(
线 每 段 竖 线 的 长 度 为 后 一
,
阶 数 即 是 非 零 行 的 阶 行 梯 数
;
的 元 素 全 为 每 零 个 台 阶 只
1 0
0 1
3 3
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
B3
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0 0 0 0
行阶梯形矩阵
其特点是：阶梯线以下 的元素全是０，台阶数即为 非零行数, 竖线后面的第一个 元素为非零元 .
行最简形矩阵
其特点是：非零行的第 一个非零元为１，且这些非 零元所在的列的其它元素都 为０.
m n 矩阵
A的
k 阶子式共有
C
k m
C
k n
个．
利用这个概念，可以给出矩阵
的秩的定义.
定义 1.16 如果数域 F 上的 m n 矩阵
a11
A
a21
线性代数 矩阵的秩
~ ~ ~ 解 分析： B 的行阶梯形矩阵为 B ( A, b ), 设 ~ 则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵， ~ ~ ~ 故从 B ( A, b ) 中可同时看出 R( A) 及 R( B ).
1 2 2 1 0 2 4 8 B 2 4 2 3 3 6 0 6 1 2 0 0 0 0 0 0
求矩阵 A的列向量组的一个最大 无关组。
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵
1 0 0 0 1 2 1 4 1 1 1 0 ， 0 0 1 3 0 0 0 0
A
初等行变换
知R( A) 3，
故列向量组的最大无关 组含3个向量.
而三个非零行的非零首元在1、、三列， 24 故 a1 , a2 , a4 , 为列向量组的一个最大无关组.
1 2 3 4
初等行变换
2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
R( A) 2, R( B ) 3.
例5 已知两个2×4矩阵
2 0 1 3 1 A T 3 2 1 1 2
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 例4 设A 2 4 2 3 , b 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b )的秩.
说明
（1）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等变换不改变矩阵的秩
（2）用初等行（列）变换把矩阵化成行（列） 阶梯时，非零行（列）的个数就是矩阵的秩 （3）把矩阵A化成行（列）阶梯矩阵B，则B的 列（行）向量组中任意最大无关组所对应的A的 列（行）向量组构成A的一个最大无关组。
1 2 2 1 0 2 4 8 B 2 4 2 3 3 6 0 6 1 2 0 0 0 0 0 0
求矩阵 A的列向量组的一个最大 无关组。
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵
1 0 0 0 1 2 1 4 1 1 1 0 ， 0 0 1 3 0 0 0 0
A
初等行变换
知R( A) 3，
故列向量组的最大无关 组含3个向量.
而三个非零行的非零首元在1、、三列， 24 故 a1 , a2 , a4 , 为列向量组的一个最大无关组.
1 2 3 4
初等行变换
2 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
R( A) 2, R( B ) 3.
例5 已知两个2×4矩阵
2 0 1 3 1 A T 3 2 1 1 2
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 例4 设A 2 4 2 3 , b 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b )的秩.
说明
（1）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等变换不改变矩阵的秩
（2）用初等行（列）变换把矩阵化成行（列） 阶梯时，非零行（列）的个数就是矩阵的秩 （3）把矩阵A化成行（列）阶梯矩阵B，则B的 列（行）向量组中任意最大无关组所对应的A的 列（行）向量组构成A的一个最大无关组。
线性代数第二章
例3
1 11 2 0 4 1 设 A 11 4 56 2 1 5
例4
1 1 2 参 数 ____ 时, 矩 阵 2 1 5 的 秩 最 小 1 10 6 1
例3
1 11 2 2 0 4 1 1 设 A , 求 rA 11 4 56 5 2 1 5 6
1 1 1 例4 令A 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 2 0 2 1 1 解：A 0 0 0 3 0 2 1 4 1 1 1 2 0 2 1 1 0 0 0 3 0 0 0 0
说 明
(5)n阶矩阵A为满秩矩阵 A可逆 |A 0 | (6)n阶矩阵A为降秩矩阵 rA n |A 0 |
2.矩阵秩的求法 定理 矩阵经初等变换后秩不变 推论1 注： 推论2 若A ≌ B , 则 rA= rB 若rA= rB , A 与B不一定等价
若A 、B是同阶矩阵, 则A ≌ B当且仅当rA= rB
1 A 4 2 2 5 0 3 6 1 4 0 8 1 三阶子式： 4 2 2 5 0 4 0 8
说 明
例
定义
若在m×n矩阵A中 有一个r阶子式不为0, 而所有r +1阶子式全为0, 则称数r为A的秩. 记为rank(A)=r 或 rA = r
rA=m, 则称A为行满秩矩阵;
五. 矩 阵 的 秩
1. 概念
2.矩阵秩的求法
1. 概念
定义 设A=(aij)m×n , 任取k行k列,1≤k ≤min{m, n}, 位于 这些行列交点处的k2 个元素, 按其在A中原相对 位置构成的k阶行列式称为A的k阶行列式 (1) aij即为A的1阶子式 (2)n阶矩阵A, 其行列式|A|是A的唯一的n阶子式
Ch3-2线性代数矩阵的秩
rt,
故有
R ( A, B) R ( A) R ( B).
6 0 R( A+B ) R( A) +R( B) ． c i c n i ( , ) 证 ( A B , B) A B ， , n i 1, R ( A B ) R ( A B , B ) R ( A, B) R ( A) R (B) .
0 3 2 4 A 0 3 1 1 6 2
1 2 1 3
3 1 4 2
1 3 1 4
2 0 2 1
2 0 1 3 4 3 1 2 4
2 1 3 4
一般地： m×n 矩阵A 的 k
2 阶子式 3 阶子式 k C k 个. 阶子式共有 Cm n
k 阶子式、矩阵的子块、余子式、代数余子式的区别!
定义3(P66) 设 A 为 n 阶方阵，若 R(A)= n， 则称 A 为 满秩矩阵；若 R(A)< n，则称 A 为降秩矩阵.
单位阵 E 是满秩矩阵， 1 2 2
A 0 3 1 是降秩矩阵. 0 0 0
① n 阶满秩阵化为行阶梯形时有多少非零行？ — n 行. ② 满秩阵的行列式 ≠ 0
左乘列满秩阵秩不变 Bnl ， 证明： 若 A mn， 且 R ( A) n , R ( AB ) R ( B ) . A的秩等于其列数 A列满秩
,
行满秩阵——矩阵的秩等于其行数. 上面的结论可以相应地推广到右乘行满秩阵. 请自证. 满秩矩阵——方阵,且既列满秩又行满秩. AB = O时,本题结论为：设 AB = O,若 A为列满秩矩阵,则B = O. 原本仅对可逆阵成立的零因子性质,可以推广到列(行)满秩矩阵. 由此可以体会到列(行)满秩矩阵概念的重要性.
线性代数矩阵的秩
一、基本概念 1、 k 阶子式 定义 在 m n 矩阵 A中, 任取 k 行 k 列， 位于这些 行与列交叉处的元素， 保持原来的位置不变而构成的 k 阶行列式，称为 A 的一个 k 阶子式.
a11 a12 a21 a22 ai 1 ai 2 a m 1 am 2
解
把矩阵 A 用初等行变换变成为阶梯形矩阵：
(-1)[1]+[2] [1，4] (-2)[1]+[3] (-3)[1]+[4] (-3)[2]+[3] (-4)[2]+[4] (-1)[3]+[4]
A
1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
1 A 0 2 2 1 4 3 2 6 0 1 0
1 2 3 6
1 3 2 6 0 1 0 0
பைடு நூலகம்3 阶子式： 0
2
2 阶子式：
0
1 0
0 1
1
模式二 一、基本概念 1、 k 阶子式 定义 在 m n 矩阵 A中, 任取 k 行 k 列， 位于这些 行与列交叉处的元素， 保持原来的位置不变而构成的 k 阶行列式，称为 A 的一个 k 阶子式.
1 a 1
1 1 a
1 1 1 1 a 1
求 r( A)
解： A
a 1 1
1 a 1
[( n 1) a ]
1 1 a
[( n 1) a ]
1 a 1 0
1 0 a 1
[(n 1) a](a 1)n1
A [(n 1) a](a 1)n1
求
A O r1 r2 O B
a11 a12 a21 a22 ai 1 ai 2 a m 1 am 2
解
把矩阵 A 用初等行变换变成为阶梯形矩阵：
(-1)[1]+[2] [1，4] (-2)[1]+[3] (-3)[1]+[4] (-3)[2]+[3] (-4)[2]+[4] (-1)[3]+[4]
A
1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
1 A 0 2 2 1 4 3 2 6 0 1 0
1 2 3 6
1 3 2 6 0 1 0 0
பைடு நூலகம்3 阶子式： 0
2
2 阶子式：
0
1 0
0 1
1
模式二 一、基本概念 1、 k 阶子式 定义 在 m n 矩阵 A中, 任取 k 行 k 列， 位于这些 行与列交叉处的元素， 保持原来的位置不变而构成的 k 阶行列式，称为 A 的一个 k 阶子式.
1 a 1
1 1 a
1 1 1 1 a 1
求 r( A)
解： A
a 1 1
1 a 1
[( n 1) a ]
1 1 a
[( n 1) a ]
1 a 1 0
1 0 a 1
[(n 1) a](a 1)n1
A [(n 1) a](a 1)n1
求
A O r1 r2 O B
《线性代数》矩阵的秩
B
1. 初等行变换不改变矩阵的秩
(1) ri rj不改变矩阵的秩 (2) rik 不改变矩阵的秩 (3) ri+krj不改变矩阵的秩
第i行
A 第j行
B
A
第i行
B
第j行
…… …… ……
我们把B中与Dr对应的子式记为Dr .
则Dr = ri+krj =
ri
~ + krj = Dr + Dr .
若D~ r 0, 则说明A中有一个不含有第i行的非零子式. 若D~ r = 0, 则Dr = Dr .
(A+E)(2A2 3A +3E) = 2E
(A+E)
1 2
(2A2
3A
+3E)
=
E
Байду номын сангаас
(A+E)1
=
1 2
(2A2
3A
+3E).
结论：n阶方阵A可逆的充分必要条件是A满秩.
问题: 假若一个56的矩阵中所有3阶子式都等于零的 话, 它的4阶子式中会出现非零的吗?
答: 绝对不会!
因为每个4阶子式都可以按行展开, 通过一些3阶子式 的组合得到.)
例1. 求下列矩阵的秩.
1 2 3 2
C
2
4
6
4
3 0 9 6
解: C的最高阶子式三阶子式全部都等于零，即
A
B
第i行
1. 初等行变换不改变矩阵的秩
(1) ri rj不改变矩阵的秩 (2) rik 不改变矩阵的秩 (3) ri+krj不改变矩阵的秩
第i行
A
B
第j行
1. 初等行变换不改变矩阵的秩
线性代数 矩阵的秩
设R(A)r R(B)s 又设A的行阶梯形为A0 B的列阶梯形 为B0 则存在可逆矩阵P和Q使APA0 BB0Q
因为ABPA0B0Q 所以R(AB)R(A0B0) 因为A0有r个非零行 B0有s个非零列 所以A0B0至多有r个 非零行和s个非零列 因此
R(A0B0)min{r s}min{R(A) R(B)}
1 1 0 0
01 01
>>>
梯形矩阵为
所以R(A)2 R(B)3
B0(A0 b0) 则A0就是A的行阶梯形矩阵 故从B0(A0 b0)中可同时看出 R(A)及R(B)
注 以B为增广矩阵的线性方 程组Axb是无解的 这是因为 行阶梯形矩阵的第3行表示矛 盾方程01
❖k阶子式 在mn矩阵A中 任取k行与k列(km kn) 位于这些行列
交叉处的k2个元素 不改变它们在A中所处的位置次序而得的 k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式
例如
A
1 2 2
1 1 3
2 1 1 1 1 1
4 2 2
3 6 9 7 9
D
❖几个简单结论
(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0 则R(A)s 若A中所 有t阶子式全为0 则R(A)t
(2)若A为mn矩阵 则0R(A)min{m n}
(3)R(AT)R(A)
(4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 R(A)n 当|A|0时
R(A)n 可逆矩阵又称为满秩矩阵 不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为
(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0 则R(A)s 若A中所 有t阶子式全为0 则R(A)t
(2)若A为mn矩阵 则0R(A)min{m n} (3)R(AT)R(A)
线性代数：矩阵的秩
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 例4 设 A = , 求矩阵 A 的 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 秩,并求 A 的一个最高阶非零子式 .
作初等行变换, 阶梯形矩阵: 解 对 A 作初等行变换,变成行 阶梯形矩阵:
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A= 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
定义 2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子 阶子式( 式 D,且所有 r + 1 阶子式(如果存在的话 )全等 的最高阶非零子式, 于 0,那末 D 称为矩阵 A的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 r ( A) .并规定零矩阵的秩 的秩, 等于零 . m × n 矩阵 A 的秩 r ( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数 .
2 4
1 1 8 0 2 4 2 3 3 6 0 6 4 2
r2 2r1 1 2 2 1 r3 + 2r1 0 0 4 2 0 0 2 1 r4 3r1 0 0 6 3
1 0 5 1
r2 ÷ 2 r3 r2
r4 + 3r2
1 2 0 0 0 0 0 0
解 Q B是一个行阶梯形矩阵, 其非零行有 3行, 是一个行阶梯形矩阵,
∴ B 的所有 4 阶子式全为零 .
2 1 3 而 0 3 2 ≠ 0, 0 0 4
∴ r ( B ) = 3.
1 例3 已知 A = 0 2 1 3 = 2 ≠ 0, 解 Q 0 2
3 2 2 2 1 3 ,求该矩阵的秩. 求该矩阵的秩. 0 1 5
因此 D r ≠ 0,从而 r ( B ) ≥ r . 分三种情况讨论: 当A → B时,分三种情况讨论:
(1)Dr中不含第 i行; (2)Dr中同时含第 i行和第 j行; (3)Dr中含第 i行但不含第 j行;
矩阵的秩8个公式及证明
矩阵的秩8个公式及证明
矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，它描述了矩阵中线性无关的列（或行）的最大数量。
下面我将列举并证明矩阵的秩的八个公式。
1. 零矩阵的秩为0，证明很简单，因为零矩阵中没有非零的行或列。
2. 对角矩阵的秩等于非零对角元素的个数，证明也比较简单，因为对角矩阵中只有对角线上的元素可能非零，所以秩等于非零对角元素的个数。
3. 初等变换不改变矩阵的秩，初等变换包括交换矩阵的两行（列），用非零常数乘以矩阵的某一行（列），以及用一个非零常数乘以矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上。
这些操作不改变矩阵的秩。
4. 行（列）等价的矩阵具有相同的秩，行等价指的是通过一系列的初等行变换可以相互转化的矩阵，列等价类似。
由于初等变换不改变矩阵的秩，所以行（列）等价的矩阵具有相同的秩。
5. 矩阵的秩不超过它的行数和列数中的较小值，这是因为矩阵
的秩描述的是矩阵中线性无关的列（或行）的最大数量，而这个数
量不可能超过矩阵的行数或列数。
6. 对于任意的矩阵A和B，秩(A + B) ≤ 秩(A) + 秩(B)，证
明过程比较复杂，可以使用矩阵的行列式性质和秩的定义进行证明。
7. 对于任意的矩阵A和B，秩(AB) ≤ min(秩(A), 秩(B))，
证明过程比较复杂，可以使用矩阵的行列式性质和秩的定义进行证明。
8. 对于任意的矩阵A，秩(A) = 秩(A^T)，这个公式的证明比
较简单，可以通过矩阵的转置操作和秩的定义进行证明。
综上所述，这是矩阵的秩的八个公式及其证明。
这些公式在线
性代数中具有重要的应用和意义。
线性代数矩阵的秩
bn1n )
k p (b1 p1 b2 p2
(k1bn1
k pb1 p )1 (k1b21
k pb2 p )2
span1,2 ,
, n .
因此， Col ( AB) ColA,
有 即
dim Col ( AB) dim ColA,
由（1），B的行秩=B的列秩=r， 则B的行极大无关组构成A的一个非零r阶子式. 因此
rankA r.
另一方面，若 rankA rA , 则A有一个r阶非零子式.
该子式的r列线性无关，且可扩充为A中的r个列向量，
由性质4.2.3，A中的这r个列向量线性无关. 所以有 A的列秩 rA . 因此，必有 A的列秩 = rankA.
rA r n，则齐次 定理4.6.6 设A是m n矩阵， 线性方程组Ax=0存在基础解系，且基础解系 含n-r个解向量.
例：求下列齐次方程组的通解.
x1 (1) 2 x1 3 x 1
2 x2
4 x3 8 x3 2 x3
x4
0 0 0
4 x2 6 x2
例4.6.3
1 7 2 6 求矩阵 A 3 1
的秩、行秩和列秩.
1 7 0, A没有三阶子式， 解：A的二阶子式 D 2 6 rA 2. 故
A的两个列向量线性无关，A的列秩=2. 三个二维行向量线性相关， A的1、2行线性无关，
§4.6 矩阵的秩
定义4.6.1 设A是m×n矩阵，A的行空间 RowA是A的行向量的所有可能的线性组 合构成的集合.
1 A 2 , m
记
线性代数矩阵的秩
的秩.
例3 求矩阵 B
0
0 0
4 3
0 0
0
0
0
解
B的非零行有3行，
B 的所有 4 阶子式全为零 .
2 1 3
而 0R( B ) 3.
大
例4：
1 3 2 2
已知 A 0 2 1 3 ，求该矩阵的秩．
4 7 1
在 A 中，
1 2
2 3
0.
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
例2：求矩阵
的秩
解：因为
所以
1
练习 已知 A 0
2
1 3
2 0,
解
0 2
3 2 2
2 1 3 ，求该矩阵的秩．
0 1 5
为满秩矩阵 .
奇异矩阵为降秩矩阵.
显然，非零行的行数为2， R A 2.
此方法简单！
例5：
的秩。
练习1：
解：经过初等行变换后得到
所以
练习2：
解：
设 n 阶可逆矩阵 A，
A 0,
A 的最高阶非零子式为 A ,
R( A) n, 故 A 的标准形为单位阵 E , A ~ E .
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵
2 0 1 5
1 3 2 2
解： 对矩阵 A 0 2 1 3 做初等变换，
2 0 1 5
1 3 2 2 1 3 2 2
例3 求矩阵 B
0
0 0
4 3
0 0
0
0
0
解
B的非零行有3行，
B 的所有 4 阶子式全为零 .
2 1 3
而 0R( B ) 3.
大
例4：
1 3 2 2
已知 A 0 2 1 3 ，求该矩阵的秩．
4 7 1
在 A 中，
1 2
2 3
0.
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
例2：求矩阵
的秩
解：因为
所以
1
练习 已知 A 0
2
1 3
2 0,
解
0 2
3 2 2
2 1 3 ，求该矩阵的秩．
0 1 5
为满秩矩阵 .
奇异矩阵为降秩矩阵.
显然，非零行的行数为2， R A 2.
此方法简单！
例5：
的秩。
练习1：
解：经过初等行变换后得到
所以
练习2：
解：
设 n 阶可逆矩阵 A，
A 0,
A 的最高阶非零子式为 A ,
R( A) n, 故 A 的标准形为单位阵 E , A ~ E .
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵
2 0 1 5
1 3 2 2
解： 对矩阵 A 0 2 1 3 做初等变换，
2 0 1 5
1 3 2 2 1 3 2 2
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若 A 的 所 有 r 1 阶 子 式 全 为 零 ， 则 r ( A ) r ； ( 4 ) 对 于 n 阶 方 阵 A 而 言 ， 有 r ( A ) n A 0 ；
r(A)nA0; 可逆矩阵也称为满秩矩阵。 ( 5 ) 设 P , Q 为 可 逆 阵 , 则 r ( P ) r ( A ) , A r ( A ) r ( A ) . Q
1 1 1 1 1
例1
A
0 0 0
3 0 0
1 0 0
1 2 0
2 03
,
111 0 3 1 6. 002
m n矩A 阵 的 k阶子C m k 式 •C n k个 共 . 有 定义 设 在 矩A阵中 有 一 个 不0等 的于 k 阶 子 式
D， 且 所r有 1阶 子(式 如 果 存 在)的 全话 等 于 0， 那 末D称 为 矩A阵 的 最 高 阶 非 零 子r式 称， 为数 矩 阵A的 秩 ， 记(作 A)或 秩r(A).
第五节
P105
定义 在mn矩阵A中任取 k行k列（ km, kn），位于这些行处列的交个 k2叉元素 ,不改 变它们A在 中所处的位置次的序 k阶而行得列式， 称为矩A阵 的k阶子.式
1 1 1
1 0 0
1 2 0
2 03
,
1 1 1 ,
1 2
定义 在mn矩阵A中任取 k行k列（ km, kn），位于这些行处列的交个 k2叉元素 ,不改 变它们A在 中所处的位置次的序 k阶而行得列式， 称为矩A阵 的k阶子.式
5
0 1 3 0 0
0 0 0 1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
任意一个矩阵都可以经过一系列的初等行变换 化为阶梯形矩阵。
初等变换不改变矩阵的秩。 阶梯形矩阵的秩等于其中非零行的个数。
矩阵秩的计算方法： 用初等行变换把矩阵化为阶梯形，则该阶梯
形矩阵中的非零行数就是所求矩阵的秩。
3 2 0 5 0
零矩阵的秩规定为0。
mn矩阵 A的秩 r(A)是A中非零子式的.最
矩阵秩的性质：
( 1 ) 若 A 为 m n 矩 阵 ， 则 0 r ( A ) m m , n ) ； i ( 2 ) r ( A T ) r ( A ) ； r ( k ) r A ( A ) ( k 0 ) ； ( 3 ) 若 A 有 一 个 r 阶 子 式 不 为 零 ， 则 r ( A ) r ；
2 1 3
而 0 3 2 0 , r(B)3.
00 4
若矩阵的每行第一个非零元的下方及左下方全为零， 则称之为阶梯形矩阵。
2 3 2 0 4
0 1 2 5 0
0 0
0 0
7 0
1 0
3 0
1 2 3
0 0 4
0 0
0 0
0 0
1 2 0 0 2
0 3 0 0 1
0
0
0
4
例2
求矩阵 A12
2 3
35的秩 .
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又A的3阶子式只有A一 ，且 个A0， r(A)2.
2 1 0 3 2
例3 求矩阵 B00
3 0
1 0
2 4
35的秩 .
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯其 形非 矩零 阵3行 ， 行有 ，
B的所4有 阶子式全 . 为零
1
r3 3r2
0
r4 4r2
0 0
6 4 1 4
4 3 1 1
0 0
0 0
4 4
8 8
r4 r3
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
0 0
0 0
0 0
4
0
08
r(A)3.
练习：
P143 习题三 17. 18.
例4
设A123
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413,求矩A 阵的秩．
解
r1 r4
A
1 3 2
6 2 0
4 3 1
1 6 5
4 1 3
3 2 0 5 0
r2 r4
r3 2r1
r4 3r1
1 6
0 4
4 1
31
41
0129 7 11
01612812
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
r(A)nA0; 可逆矩阵也称为满秩矩阵。 ( 5 ) 设 P , Q 为 可 逆 阵 , 则 r ( P ) r ( A ) , A r ( A ) r ( A ) . Q
1 1 1 1 1
例1
A
0 0 0
3 0 0
1 0 0
1 2 0
2 03
,
111 0 3 1 6. 002
m n矩A 阵 的 k阶子C m k 式 •C n k个 共 . 有 定义 设 在 矩A阵中 有 一 个 不0等 的于 k 阶 子 式
D， 且 所r有 1阶 子(式 如 果 存 在)的 全话 等 于 0， 那 末D称 为 矩A阵 的 最 高 阶 非 零 子r式 称， 为数 矩 阵A的 秩 ， 记(作 A)或 秩r(A).
第五节
P105
定义 在mn矩阵A中任取 k行k列（ km, kn），位于这些行处列的交个 k2叉元素 ,不改 变它们A在 中所处的位置次的序 k阶而行得列式， 称为矩A阵 的k阶子.式
1 1 1
1 0 0
1 2 0
2 03
,
1 1 1 ,
1 2
定义 在mn矩阵A中任取 k行k列（ km, kn），位于这些行处列的交个 k2叉元素 ,不改 变它们A在 中所处的位置次的序 k阶而行得列式， 称为矩A阵 的k阶子.式
5
0 1 3 0 0
0 0 0 1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
任意一个矩阵都可以经过一系列的初等行变换 化为阶梯形矩阵。
初等变换不改变矩阵的秩。 阶梯形矩阵的秩等于其中非零行的个数。
矩阵秩的计算方法： 用初等行变换把矩阵化为阶梯形，则该阶梯
形矩阵中的非零行数就是所求矩阵的秩。
3 2 0 5 0
零矩阵的秩规定为0。
mn矩阵 A的秩 r(A)是A中非零子式的.最
矩阵秩的性质：
( 1 ) 若 A 为 m n 矩 阵 ， 则 0 r ( A ) m m , n ) ； i ( 2 ) r ( A T ) r ( A ) ； r ( k ) r A ( A ) ( k 0 ) ； ( 3 ) 若 A 有 一 个 r 阶 子 式 不 为 零 ， 则 r ( A ) r ；
2 1 3
而 0 3 2 0 , r(B)3.
00 4
若矩阵的每行第一个非零元的下方及左下方全为零， 则称之为阶梯形矩阵。
2 3 2 0 4
0 1 2 5 0
0 0
0 0
7 0
1 0
3 0
1 2 3
0 0 4
0 0
0 0
0 0
1 2 0 0 2
0 3 0 0 1
0
0
0
4
例2
求矩阵 A12
2 3
35的秩 .
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又A的3阶子式只有A一 ，且 个A0， r(A)2.
2 1 0 3 2
例3 求矩阵 B00
3 0
1 0
2 4
35的秩 .
0 0 0 0 0
解 B是一个行阶梯其 形非 矩零 阵3行 ， 行有 ，
B的所4有 阶子式全 . 为零
1
r3 3r2
0
r4 4r2
0 0
6 4 1 4
4 3 1 1
0 0
0 0
4 4
8 8
r4 r3
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
0 0
0 0
0 0
4
0
08
r(A)3.
练习：
P143 习题三 17. 18.
例4
设A123
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413,求矩A 阵的秩．
解
r1 r4
A
1 3 2
6 2 0
4 3 1
1 6 5
4 1 3
3 2 0 5 0
r2 r4
r3 2r1
r4 3r1
1 6
0 4
4 1
31
41
0129 7 11
01612812
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12