回归模型的检验
回归模型的检验
回归模型的检验下表是 被解释变量Y ，解释变量X1,X2,X3,X4的时间序列观测值： 序号 Y X1 X2 X3 X41 6 40.1 5.5 108 632 6 40.3 4.7 94 723 6.5 47.5 5.2 108 864 7.1 49.2 6.8 100 1005 7.2 52.3 7.3 99 1076 7.6 58 8.7 99 1117 8 61.3 10.2 101 1148 9 62.5 14.1 97 1169 9 64.7 17.1 93 11910 9.3 66.8 21.3 102 1211、显著性检验利用表中的数据，用EViews 进行最小二乘估计，得(2.004902) (1.245671) (2.396978) (-0.693309) (0.420498)22R =0.979655,R =0.963379,DW=2.213879,F=60.18950Y =3.914451+0.060263 X 1+0.089090 X 2 -0.012598 X 3+0.007406 X 4其中括号内的数字是t 值。
给定显著水平α=0.05,0.02510t （）=2.23,所以只有X2的回归系数估计值显著。
F> 0.05F 4,5（）=5.19,回归方程显著。
2、多重共线性分析(1)首先利用相关系数分析模型中变量之间的相关关系：键入：COR Y X1 X2 X3 X4输出的相关系数矩阵如下：Y X1 X2 X3 X4Y 1.000000 0.972169 0.937597 -0.388740 0.912166 X1 0.972169 1.000000 0.879363 -0.338876 0.956248 X2 0.937597 0.879363 1.000000 -0.304705 0.760764 X3 -0.388740 -0.338876 -0.304705 1.000000 -0.413541 X4 0.912166 0.956248 0.760764 -0.413541 1.000000 根据相关系数，可以做如下分析：1) X3对Y 的影响不大，可作为次要因素而不引入模型，X1与Y 的相关性最强，先建立一元回归模型ˆY=0.122124X1+0.942307（11.73672）（1.644630）22R=0.945112,R=0.938251,DW=1.683709,F=137.75072)加入X2,对Y关于X1,X2作最小二乘回归，得ˆY==0.081826 X1 +0.079919 X2+2.322897（5.219553）（2.923182）（3.710092）22R=0.975284,R=0.968222,DW=2.264141,F=138.1058可以看出，在加入X2后，拟合优度22R,R均有所增加，并且没有影响X1系数的显著性，所以在模型中保留X2。
回归模型的统计检验
分布。 F 统计量服从自由度为 ( k , n − k − 1) 的 F 分布。选定 分布表（见本书附录） 一个显著性水平 α ，查 F 分布表（见本书附录） ， 可以得到一个临界值 Fα ( k , n − k − 1) 。
F检验与R2的关系
根据二者关系，有需注意的几个问题： ⑴F检验实际上也是判定系数的显著性检验。 ⑵如果模型对样本有较高的拟合优度，F检 验一般都能通过。 ⑶实际应用中不必过分苛求R2值的大小， 重要的是考察模型的经济意义是否合理。
∑ x ∑ x − (∑ x x ) ∑ x σˆ ∑ x ∑ x − (∑ x x )
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
2 x2 σ 2 ∑ ˆ
2
2
然后根据样本观测值和估计值，构造计算统计量： 然后根据样本观测值和估计值，构造计算统计量：
ˆ βi − βi t= ˆ S βi
ˆ ˆ ∑(y − y) = ∑ (y − y) + ∑ (y − y )
2 2 i i i i 2
y
yi
ei
yi − y
ˆ ( yi − y )
SRF
y
xi
x
TSS = Σ ( y i − y ) 2 ˆ ESS = Σ ( y i − y ) 2 ˆ RSS = Σ ( y i − y i ) 2
拟合优度检验统计量：可决系数( 2、拟合优度检验统计量：可决系数(判
定系数) 定系数)R2和校正可决系数 R2
（1）可决系数 ）
R 2 进行拟合优度检验，可决系 用可决系数 进行拟合优度检验，
数的计算公式为： 数的计算公式为：
( yi − y )2 ∑ˆ 2 R = ( yi − y )2 ∑
第三章--回归模型的检验
对于中国居民人均消费支出的例子：
一元模型：F=285.92
二元模型：F=2057.3 给定显著性水平 =0.05，查分布表，得到临界 值：
一元例：F(1,21)=4.32 二元例： F(2,19)=3.52 显然有 F F(k,n-k-1) 即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。
99.4
96.9
2758.9
1637.2
157.0
117.7
1999 4615.9 1932.1
98.7
95.7
2723.0
1566.8
169.5
123.3
2000 4998.0 1958.3
100.8
97.6
2744.8
1529.2
182.1
128.1
2001 5309.0 2014.0
100.7
2、关于拟合优度检验与方程显著性检
验关系的讨论
由
R2 1 RSS
TSS
与
F
ESS / k
RSS / n k
1
可推出： R2
kF
n k 1 kF
或
F
R2 / k
1 R2 / n k 1
三、变量的显著性检验（t检验）
方程的总体线性关系显著每个解释变量对被 解释变量的影响都是显著的
因此，必须对每个解释变量进行显著性检验， 以决定是否作为解释变量被保留在模型中。
问题：
由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合 好坏无关，R2需调整。
调整的可决系数（adjusted coefficient of determination）
6、回归模型的假设检验(附)
第6章 回归模型的假设检验1，区间估计—基本概念假设对消费函数回u Y C ++=21ββ归分析之后，得出边际消费倾向2β的估计值为0.509。
这是对未知的总体MPC 2β的一个单一的点估计。
这个点估计可不可靠？虽然在重复抽样中估计值的均值可能会等于真值))ˆ((22ββ=E ，但由于抽样波动，单一估计值很可能不同于真值。
在统计学中，一个点估计量的可靠性有它的标准误差来衡量。
因此，我们不能完全依赖一个点估计值，而是围绕点估计量构造一个区间。
比方说，在点估计量的两旁各划出宽为2或3个标准误差的一个区间，使得它有95%的概率包含着真实的参数值。
这就是取件估计的粗略概念。
假定我们想知道宽竟，比方说，2ˆβ离2β有多“近”。
为了这个目的，试求两个正数δ和a ,10<<a ，使得随机区间)ˆ,ˆ(22δβδβ+-包含2β的概率为a -1。
a -=+≤≤-1)ˆˆPr(222δββδβ （1） 如果存在这个区间，就称之为置信区间，)1(a -称置信系数或置信度，a 称为显著水平。
置信区间的端点称临界值。
上限和下限。
0.05，0.01。
比方说05.0=a ，（1）式就可读为：试中的区间包含真实的2β的概率为95%。
2，回归系数的置信区间一元回归时，在i u 的正态性假定下，OLS 估计量21ˆ,ˆββ本身就是正态分布的，其均值和方差已随之列出。
以2ˆβ为例 2ˆ22ˆβββS Z -=--（2） 2ˆβ的方差∑-=22)(X X σ这是一个标准化正态变量。
因此，如果知道真实的总体方差2σ已知，就可以利用正态分布对2β作概率性表达。
当2σ已知时，以μ为均值，2σ为方差的正态变量有一个重要性质，就是σμ±之间的面积约占68%，95%，99%。
但是2σ很少能知道，在现实中用无偏估计量2σ来确定。
用σˆ代替σ，（2）可以改写为 )ˆ(ˆ222βββS t -= （3）这样定义的t 变量遵循自由度为n-2的t 分布。
多元线性回归模型的各种检验方法
对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1）的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。
特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。
如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。
具体检验方法如下：（1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2） 计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。
t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。
什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1） 随机抽样性。
我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。
这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。
（2） 条件期望值为0。
给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。
多元线性回归模型检验
多元线性回归模型检验引言多元线性回归是一种常用的统计分析方法，用于研究两个或多个自变量对目标变量的影响。
在应用多元线性回归前，我们需要确保所建立的模型符合一定的假设，并进行模型检验，以保证结果的可靠性和准确性。
本文将介绍多元线性回归模型的几个常见检验方法，并通过实例进行说明。
一、多元线性回归模型多元线性回归模型的一般形式可以表示为：$$Y = \\beta_0 + \\beta_1X_1 + \\beta_2X_2 + \\ldots + \\beta_pX_p +\\varepsilon$$其中，Y为目标变量，$X_1,X_2,\\ldots,X_p$为自变量，$\\beta_0,\\beta_1,\\beta_2,\\ldots,\\beta_p$为模型的回归系数，$\\varepsilon$为误差项。
多元线性回归模型的目标是通过调整回归系数，使得模型预测值和实际观测值之间的误差最小化。
二、多元线性回归模型检验在进行多元线性回归分析时，我们需要对所建立的模型进行检验，以验证假设是否成立。
常用的多元线性回归模型检验方法包括：1. 假设检验多元线性回归模型的假设包括：线性关系假设、误差项独立同分布假设、误差项方差齐性假设和误差项正态分布假设。
我们可以通过假设检验来验证这些假设的成立情况。
•线性关系假设检验：通过F检验或t检验对回归系数的显著性进行检验，以确定自变量与目标变量之间是否存在线性关系。
•误差项独立同分布假设检验：通过Durbin-Watson检验、Ljung-Box 检验等统计检验，判断误差项是否具有自相关性。
•误差项方差齐性假设检验：通过Cochrane-Orcutt检验、White检验等统计检验，判断误差项的方差是否齐性。
•误差项正态分布假设检验：通过残差的正态概率图和Shapiro-Wilk 检验等方法，检验误差项是否满足正态分布假设。
2. 多重共线性检验多重共线性是指在多元线性回归模型中，自变量之间存在高度相关性的情况。
logistic回归模型的假设检验方法
logistic回归模型的假设检验方法"Logistic回归模型的假设检验方法"Logistic回归模型是一种常用的数据挖掘和预测模型，特别适用于二分类问题。
在使用Logistic回归模型进行预测之前，需要对模型的假设进行检验。
本文将一步一步回答关于Logistic回归模型假设检验方法的问题。
问题1：Logistic回归模型的假设是什么？Logistic回归模型的假设通常包括以下几点：1. 线性关系：自变量与因变量之间的关系是线性的。
2. 独立性：观察样本之间是相互独立的，每个观察样本之间的结果不相互影响。
3. 多重共线性：自变量之间应当具有较低的多重共线性，即它们之间不存在高度相关性。
4. 独立的误差项：因变量与自变量之间的关系由一个独立的误差项表示。
5. 高斯分布：误差项应当服从正态分布。
问题2：如何检验Logistic回归模型的线性关系假设？为了检验Logistic回归模型的线性关系假设，可以采用如下方法：1. 偏离线性：观察因变量与自变量之间的散点图，检查是否存在非线性关系。
2. 考察残差：绘制自变量与残差的散点图，检查是否存在任何模式或趋势。
问题3：如何检验Logistic回归模型的独立性假设？为了检验Logistic回归模型的独立性假设，可以采用如下方法：1. 边际分布：首先，观察因变量和自变量的边际分布，确保样本中的分布相对均匀，没有局部聚集。
2. 自相关检验：使用相关性检验方法，如Pearson相关系数，检查是否存在自相关性。
问题4：如何检验Logistic回归模型的多重共线性假设？为了检验Logistic回归模型的多重共线性假设，可以采用如下方法：1. 方差膨胀因子（VIF）：计算自变量的VIF，VIF值高于10可能存在多重共线性的问题。
2. 条件数：计算自变量矩阵的条件数，条件数大于30可能存在多重共线性的问题。
条件数是多重共线性的指标，表示自变量之间相互关联的程度。
多元线性回归模型的各种检验方法
对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββΛΛ22110 （1）的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。
特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。
如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。
具体检验方法如下：（1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2） 计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。
t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。
什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1） 随机抽样性。
我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21ΛΛ=。
这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。
（2） 条件期望值为0。
给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。
多元线性回归模型的各种检验方法
多元线性回归模型的各种检验方法多元线性回归模型是常用于数据分析和预测的方法，它可以用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
然而，仅仅使用多元线性回归模型进行参数估计是不够的，我们还需要对模型进行各种检验以确保模型的可靠性和有效性。
下面将介绍一些常用的多元线性回归模型的检验方法。
首先是模型的整体显著性检验。
在多元线性回归模型中，我们希望知道所构建的模型是否能够显著解释因变量的变异。
常见的整体显著性检验方法有F检验和显著性检查表。
F检验是通过比较回归模型的回归平方和和残差平方和的比值来对模型的整体显著性进行检验。
若F值大于一定的临界值，则可以拒绝原假设，即模型具有整体显著性。
通常，临界值是根据置信水平和自由度来确定的。
显著性检查表是一种常用的汇总表格，它可以提供关于回归模型的显著性水平、标准误差、置信区间和显著性因素的信息。
通过查找显著性检查表，我们可以评估模型的显著性。
其次是模型的参数估计检验。
在多元线性回归模型中，我们希望知道每个自变量对因变量的影响是否显著。
通常使用t检验来对模型的参数估计进行检验。
t检验是通过对模型的回归系数进行检验来评估自变量的影响是否显著。
与F检验类似，t检验也是基于假设检验原理，通过比较t值和临界值来决定是否拒绝原假设。
通常，临界值可以通过t分布表或计算机软件来获取。
另外，我们还可以使用相关系数来评估模型的拟合程度。
相关系数可以用来衡量自变量与因变量之间的线性关系强度，常见的相关系数包括Pearson相关系数和Spearman相关系数。
Pearson相关系数适用于自变量和因变量都是连续变量的情况，它衡量的是两个变量之间的线性关系强度。
取值范围为-1到1，绝对值越接近1表示关系越强。
Spearman相关系数适用于自变量和因变量至少有一个是有序变量或者都是有序变量的情况，它衡量的是两个变量之间的单调关系强度。
取值范围也是-1到1，绝对值越接近1表示关系越强。
最后，我们还可以使用残差分析来评估模型的拟合程度和误差分布。
第五章-回归模型的假设检验
步骤二：计算F值
回归平方和
Yˆ Y
F
解释变量数 残差平方和
=
k
uˆ 2
样本数 解释变量数 1 n k 1
1
决定系数 决定系数
样本数 解释变量数 解释变量数
1
=
R2 1 R2
n
k k
1[计算式]
步骤三：计算出来的F值，服从自由度（分子，分母）=（k，n k 1）
的F分布，将其与F分布表中的到的F值（判定值）相比较,进行显著
自由度调整后的决定系数：
2
R 1
n 1
1 R2 =1 10 1 1 0.98358 0.97889
n k 1
10 2 1
（3）根据公式，
F R2 n k 1 = 0.98358 10 2 1 209.7 1 R2 k 1 0.98358 2
根据F分布表，1%的显著性水平下自由度为（分子，分母）=（k=2，n k 1=7）
单侧检验，根据t分布表，得：
tˆ =4.816 3.499
tˆ1 =16.383 2.998
tˆ2 =19.094 2.998
放弃原假设（H0 : 0, H0 : 1 0, H0 : 2 0），估计出来的回归系数
在1%的显著性水平上显著。
结构变化的F检验
• 结构变化的F检验，也称为Chow test，用于检验经济 分析中的一个重要问题--“是否存在结构变化”。基 本步骤如下：
Yˆ 2.267718 0.247759 X1 1.296761X 2 回归系数的符号条件也得到满足。
解答(2)(3)
（2）根据公式，
决定系数：
R2 = ˆ1SY1 ˆ2SY 2 = 0.247759 46+ 1.296761 17 0.98358
多元线性回归模型的各种检验方法
对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1） 的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。
特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。
如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。
具体检验方法如下：（1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2） 计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。
t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。
什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1） 随机抽样性。
我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。
这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。
（2） 条件期望值为0。
给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。
多元回归模型参数的各种检验及相关关系总结
多元回归模型参数的各种检验及相关关系总结1.F检验：F检验用于判断整个回归模型是否显著，即自变量在一起解释因变量的效果是否显著。
通过计算回归模型的F统计量，然后与F分布进行比较，进行假设检验。
若F统计量显著，则拒绝原假设，即回归模型具有显著的解释效果。
2.t检验：t检验用于判断各个自变量的系数是否显著，即自变量对因变量是否有显著影响。
通过计算各个自变量的t统计量，然后与t分布进行比较，进行假设检验。
若t统计量显著，则拒绝原假设，即该自变量具有显著影响。
3.R方检验：R方是一个衡量回归模型拟合优度的指标，表示因变量的变异能够被自变量解释的比例。
R方的取值范围为0到1，越接近1表示模型对观测数据的拟合程度越好。
可以使用R方来判断模型是否拟合良好，但需要注意过高的R方可能意味着过拟合。
4.回归系数的置信区间：对回归模型的回归系数进行置信区间估计，判断回归系数是否显著。
如果回归系数的置信区间包含零，则不能拒绝原假设，即该回归系数不显著。
相反，如果回归系数的置信区间不包含零，则拒绝原假设，即该回归系数显著。
5. Durbin-Watson检验：Durbin-Watson检验用于检验回归模型自相关性的存在。
自相关性指的是误差项之间存在相关性。
Durbin-Watson检验的统计量为DW值，其取值范围为0到4，DW值接近2表示无自相关性，DW值小于2表示存在正自相关性，DW值大于2表示存在负自相关性。
各种参数检验之间存在一些相关关系1.R方与F检验：R方是回归模型拟合程度的评估指标，而F检验用于判断整个回归模型的显著性。
R方较高时，F统计量一般也较大，说明回归模型的解释效果显著。
2.回归系数与t检验：回归模型的回归系数用于表示自变量对因变量的影响程度，t检验用于判断回归系数是否显著。
当回归系数较大时，其对应的t统计量也较大，说明这个自变量对因变量有显著影响。
3.回归系数与置信区间：回归系数的置信区间反映了回归系数的不确定性。
多元线性回归模型的各种检验方法
对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1） 的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。
特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。
如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。
具体检验方法如下：（1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2） 计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。
t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。
什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1） 随机抽样性。
我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。
这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。
（2） 条件期望值为0。
给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。
线性回归模型的经典假定及检验修正
线性回归模型的经典假定及检验、修正一、线性回归模型的基本假定1、一元线性回归模型一元线性回归模型是最简单的计量经济学模型，在模型中只有一个解释变量，其一般形式是Y =β0+β1X 1+μ其中，Y 为被解释变量，X 为解释变量，β0与β1为待估参数，μ为随机干扰项。
回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）尽可能准确地估计总体回归函数（模型）。
为保证函数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。
假设1：回归模型是正确设定的。
模型的正确设定主要包括两个方面的内容：（1）模型选择了正确的变量，即未遗漏重要变量，也不含无关变量；（2）模型选择了正确的函数形式，即当被解释变量与解释变量间呈现某种函数形式时，我们所设定的总体回归方程恰为该函数形式。
假设2：解释变量X 是确定性变量，而不是随机变量，在重复抽样中取固定值。
这里假定解释变量为非随机的，可以简化对参数估计性质的讨论。
假设3：解释变量X 在所抽取的样本中具有变异性，而且随着样本容量的无限增加，解释变量X 的样本方差趋于一个非零的有限常数，即∑(X i −X ̅)2n i=1n→Q,n →∞ 在以因果关系为基础的回归分析中，往往就是通过解释变量X 的变化来解释被解释变量Y 的变化的，因此，解释变量X 要有足够的变异性。
对其样本方差的极限为非零有限常数的假设，旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量，因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效，而且往往产生伪回归问题。
假设4：随机误差项μ具有给定X 条件下的零均值、同方差以及无序列相关性，即E(μi|X i)=0Var(μi|X i)=σ2Cov(μi,μj|X i,X j)=0, i≠j随机误差项μ的条件零均值假设意味着μ的期望不依赖于X的变化而变化，且总为常数零。
该假设表明μ与X不存在任何形式的相关性，因此该假设成立时也往往称X为外生性解释变量随机误差项μ的条件同方差假设意味着μ的方差不依赖于X的变化而变化，且总为常数σ2。
回归模型的参数估计与假设检验
回归模型的参数估计与假设检验在回归模型中，参数估计是指根据样本数据对模型的参数进行估计的过程。
常用的参数估计方法有最小二乘法（ordinary least squares, OLS）和最大似然估计（maximum likelihood estimation, MLE）等。
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化残差平方和来确定模型的参数。
最大似然估计是一种基于概率理论的方法，通过选择使得观测数据出现概率最大的参数来进行估计。
参数估计的目的是找到最优的参数值，使得模型能够很好地拟合观察到的数据。
假设检验是一种用来确定统计推断的方法，用于判断估计的模型参数是否真实地反映了总体参数的情况。
在回归模型中，假设检验通常是用来检验回归系数是否显著不为零。
常用的假设检验方法有t检验和F检验。
t检验用于检验单个回归系数的显著性。
其原理是通过计算回归系数与其标准错误的比值，得到t值，然后与t分布的临界值进行比较，判断回归系数是否显著不为零。
如果t值大于临界值，则可以拒绝原假设，即回归系数是显著不为零的。
通常，我们使用5%的显著性水平进行判断，即当t值大于1.96时，可以有95%的置信水平拒绝原假设。
F检验用于检验多个回归系数同时显著性。
其原理是通过计算模型的解释方差与未解释方差间的比值，得到F值，然后与F分布的临界值进行比较，判断多个回归系数是否同时显著不为零。
如果F值大于临界值，则可以拒绝原假设，即多个回归系数同时显著不为零。
F检验常用于判断整个模型的显著性。
除了单个回归系数和整个模型的显著性检验，还有其他重要的假设检验，如残差的正态性检验、异方差性的检验等。
这些检验有助于检查模型的合理性和鲁棒性。
总之，回归模型的参数估计与假设检验是回归分析中必不可少的步骤，能够帮助我们确定模型中的参数是否显著与相关。
通过参数估计，我们可以获得最优的参数值，从而得到更好的拟合效果；而通过假设检验，我们可以判断模型中的参数是否真实地反映了总体参数的情况，从而对模型的准确性进行评估。
多元线性回归模型的统计检验
第三节 多元线性回归模型的统计检验
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1、拟合优度检验（ R2检验） 2、方程的显著性检验（F检验） 3、变量的显著性检验（t检验）
一、拟合优度检验
R2越接近于1，模型的拟合效果越好。
问 题
如果在模型中增加一个解释变量，R2往往会增大（Why?）
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容易产生错觉：要使模型拟合得好，只要增加解释变量即可。
单击此处添加小标题
但实际上，通过增加解释变量引起的R2的增大与拟合好坏无关。
单击此处添加小标题
R2度量模型拟合效果失真，R2需调整 。
单击此处添加小标题
调整的思路：将RSS与TSS分别除以各自的自由度。 因为，在样本容量一定的情况下，增加解释变量一方面可以减小残差，另一方面也使其自由度减少。
调整的R2小于R2； 调整的R2可以为负。
02
给定显著性水平，查表得到临界
03
值F(k , n-k-1)。
04
F检验的拒绝域
1-
01
F
02
F
03
f ((k , n-k-1)，拒绝H0，接受H1 ，模型在总体上存在显著的线性关系； 若F F (k , n-k-1)，接受H0 ，模型在总体上的线性关系不显著。
R2与调整的R2
二、方程的显著性检验（F检验）
即检验模型 中的参数j (j =1,……,k)是否显著不为0。
检验模型中被解释变量与解释变量之 间的线性关系在总体上是否显著成立。
提出原假设与备选假设： H0：1= 2 = = k=0 H1：j 不全为0 (j =1,……,k) 构造检验统计量并计算其值 F统计量
F检验的思想来自于TSS的分解： TSS = ESS + RSS 其中，ESS表示X对Y的线性作用结果。
多元回归模型参数的各种检验及相关关系总结
多元回归模型参数的各种检验及相关关系总结常用的参数检验方法包括：回归系数的t检验、回归系数的显著性检验、决定系数（R-square）和方差分析（ANOVA）。
1.回归系数的t检验：回归系数的t检验用于检验回归系数是否显著。
在这里，我们假设零假设为回归系数等于0，备择假设为回归系数不等于0。
如果t值的绝对值大于临界值（通常取2），则拒绝零假设，即认为回归系数显著。
2.回归系数的显著性检验：回归系数的显著性检验用于检验回归系数是否显著不等于0。
一般情况下，我们使用p值来进行显著性检验。
如果p值小于显著性水平（通常取0.05），则拒绝零假设，即认为回归系数显著。
3. 决定系数（R-square）：决定系数用于衡量模型的拟合程度，表示因变量中能被自变量解释的比例。
决定系数的取值范围为0到1，越接近1表示模型的拟合程度越好。
但是，决定系数本身不能代表模型的好坏，因为它不考虑模型中所使用的自变量的数量和质量等因素。
4.方差分析（ANOVA）：方差分析用于检验模型整体的显著性。
方差分析的原假设为自变量对因变量没有影响，备择假设为自变量对因变量有影响。
通过计算方差分析中的F值来进行检验，如果F值大于临界值（通常取4），则拒绝原假设，认为模型整体显著。
在多元回归模型中，参数之间也存在一些相关关系。
1.多重共线性：多重共线性是指自变量之间存在高度相关性。
在多重共线性存在的情况下，模型的参数估计可能不准确，标准误差会增大。
可以通过计算自变量之间的相关系数矩阵来判断是否存在多重共线性，如果相关系数的绝对值大于0.7，则存在多重共线性。
2.自变量之间的相关性：自变量之间的相关性可以影响模型的解释和预测能力。
如果自变量之间存在高度相关性，可能需要对自变量进行筛选或变换，以减少相关性。
3.变量的重要性：通过参数的t检验或显著性检验可以确定回归系数的显著性，从而判断变量的重要性。
如果一些变量的回归系数显著，说明该变量对因变量有显著影响。
回归分析中的模型参数稳定性检验技巧(十)
回归分析是统计学中常用的一种数据分析方法，它用来研究因变量和一个或多个自变量之间的关系。
在进行回归分析时，我们通常会拟合一个数学模型来描述因变量与自变量之间的关系，找出这种关系的一般规律。
而在实际的数据分析中，模型参数的稳定性检验是非常重要的一步，它可以帮助我们判断回归模型的可靠性，准确性和适用性。
参数的稳定性检验可以通过多种方法来进行，下面就来介绍几种常用的技巧。
一、残差分析残差是指预测值与实际观测值之间的差异，残差分析是一种用来检验回归模型参数稳定性的常用方法。
通过对残差进行分析，我们可以检验模型是否存在异方差、自相关和多重共线性等问题，从而判断模型参数的稳定性。
对残差进行正态性检验是残差分析的一个重要步骤。
正态性检验可以通过观察残差的分布图和进行统计检验来进行。
如果残差呈现出正态分布，说明模型参数比较稳定；反之，如果残差不满足正态分布，就需要进一步检验模型参数的稳定性。
二、稳健回归稳健回归是一种对回归分析中参数估计的一种改进方法。
它通过对数据的不同假设进行敏感性分析，以获得更加稳健的参数估计结果。
稳健回归可以有效地减少异常值和离群点的影响，提高模型参数的稳定性。
在进行稳健回归时，我们可以使用不同的稳健估计方法，如最小绝对偏差估计、Huber估计和高斯核估计等。
这些方法可以有效地减少异常值和离群点的影响，提高模型参数的稳定性。
三、多重共线性检验多重共线性是指自变量之间存在高度相关性的情况，它会导致回归模型参数估计的不稳定性。
因此，在进行回归分析时，我们需要对自变量之间的相关性进行检验，以确保模型参数的稳定性。
多重共线性检验可以通过计算自变量之间的相关系数矩阵和方差膨胀因子（VIF）来进行。
如果自变量之间存在高度相关性，就需要对相关变量进行筛选或者采取其他方法来处理多重共线性问题，以提高模型参数的稳定性。
四、异方差检验异方差是指残差的方差不是常数的情况，它会导致模型参数的不稳定性。
因此，在进行回归分析时，我们需要对残差的方差进行检验，以确保模型参数的稳定性。
回归检验法
回归检验法
回归检验法是一种统计方法，用于评估回归模型的拟合程度和模型中的回归系数的显著性。
回归检验法包括以下几个方面：
1. 偏回归系数的显著性检验：通过计算回归系数的标准误差、t值和p值来评估回归系数的显著性。
较小的标准误差和较大的t值意味着回归系数更具显著性。
2. 模型的整体显著性检验：通过计算模型的F统计量和p值来评估回归模型的整体拟合程度。
较大的F值和较小的p值意味着模型的整体拟合程度更好。
3. 残差的正态性检验：通过检验模型的残差是否符合正态分布来评估模型的拟合程度。
正态分布的残差意味着模型的拟合效果更好。
4. 残差的独立性检验：通过检验模型的残差是否存在自相关性来评估模型的拟合效果。
独立的残差意味着模型的拟合效果更好。
通过以上回归检验法可以更全面地评估回归模型的拟合程度和回归系数的显著性，从而判断回归模型的有效性和可靠性。
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验关系的讨论
由
R2 1 RSS
TSS
与
F
ESS / k
RSS / n k
1
可推出： R2
kF
n k 1 kF
或
F
R2 / k
1 R2 / n k 1
三、变量的显著性检验（t检验）
方程的总体线性关系显著每个解释变量对被 解释变量的影响都是显著的
因此，必须对每个解释变量进行显著性检验， 以决定是否作为解释变量被保留在模型中。
二、方程的显著性检验(F检验)
方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变 量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著 成立作出推断。
1、方程显著性的F检验
即检验模型
Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i
i=1,2, ,n
中的参数j是否显著不为0。 可提出如下原假设与备择假设：
H0： 0=1=2= =k=0
注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致
一方面，t检验与F检验都是对相同的原假设 H0：1=0 进行检验;
另一方面，两个统计量之间有如下关系：
F t2
在中国居民人均收入-消费支出二元模型例中， 由应用软件计算出参数的t值：
t0 3.306 t1 3.630 t2 2.651
给定显著性水平=0.05，查得相应临界值： t0.025(19) =2.093。
TSS (Yi Yˆi )2
(Yˆi
Y
2
)
RSS
ESS
可决系数
R 2 ESS 1 RSS
TSS
TSS
该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。
问题：
由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合 好坏无关，R2需调整。
调整的可决系数（adjusted coefficient of determination）
在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定 使得自由度减少，所以调整的思路是:将残差平方 和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔 除变量个数对拟合优度的影响:
R 2 1 RSS /(n k 1) TSS /(n 1)
其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平 方和的自由度。
R2 1 n 1 1 R2 n k 1
*2、赤池信息准则和施瓦茨准则
为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型 的拟合优度，常用的标准还有:
赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC）
AIC ln ee 2(k 1)
n
n
施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）
AC ln ee k ln n nn
§3.1 多元线性回归模型的统计检验 一、拟合优度检验 二、方程的显著性检验(F检验) 三、变量的显著性检验（t检验） 四、参数的置信区间
一、拟合优度检验
1、可决系数与调整的可决系数
总离差平方和的分解
则 TSS (Yi Y )2
((Yi Yˆi ) (Yˆi Y )) 2
(Yi Yˆi )2 2(Yi Yˆi )(Yˆi Y ) (Yˆi Y )2
H1： j不全为0
根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立 的条件下，统计量
F ESS / k RSS /(n k 1)
服从自由度为(k , n-k-1)的F布给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)， 由样本求出统计量F的数值，通过
F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1) 来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的 线性关系是否显著成立。
对于中国居民人均消费支出的例子：
一元模型：F=285.92
二元模型：F=2057.3 给定显著性水平 =0.05，查分布表，得到临界 值：
一元例：F(1,21)=4.32 二元例： F(2,19)=3.52 显然有 F F(k,n-k-1) 即二个模型的线性关系在95%的水平下显著成立。
2、关于拟合优度检验与方程显著性检
可见，计算的所有t值都大于该临界值，所以 拒绝原假设。
四、参数的置信区间
参数的置信区间用来考察：在一次抽样中所估 计的参数值离参数的真实值有多“近”。
在变量的显著性检验中已经知道：
t ˆi i
sˆi
ˆi i : t(n k 1)
cii
ee n k 1
容易推出：在(1-)的置信水平下i的置信区间是
ˆ2 0.4515
sˆ2 0.170
计算得参数的置信区间：
0 ：(44.284, 197.116) 1 ： (0.0937, 0.3489 ) 2 ：(0.0951, 0.8080)
如何才能缩小置信区间？
•增大样本容量n，因为在同样的样本容量下，n越 大，t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容 量，还可使样本参数估计量的标准差减小；
这一检验是由对变量的 t 检验完成的。
1、t分布
t ˆi i
sˆi
ˆi i : t(n k 1)
cii
n
ee k 1
2、t检验
设计原假设与备择假设：
H0：i=0 H1：i0
（i=1,2…k）
给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)， 由样本求出统计量t的数值，通过
|t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1) 来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变 量是否应包括在模型中。
•提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标 准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差 平方和应越小。
•提高样本观测值的分散度,一般情况下，样本观 测值越分散，(X’X)-1的分母的|X’X|的值越大，致 使区间缩小。
§3.2 回归模型的其他函数形式
(i t 2
si
,
i
t
2
si )
其中，t/2为显著性水平为 、自由度为n-k-1的临界值。
在中国居民人均收入-消费支出二元模型例中,
给定=0.05，查表得临界值：t0.025(19)=2.093
从回归计算中已得到：
ˆ0 120 .70
sˆ0 36.51
ˆ1 0.2213
sˆ1 0.061
这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少
AIC值或AC值时才在原模型中增加该解释变量。
Eviews的估计结果显示： 中国居民消费一元例中：
AIC=7.09 AC=7.19 中国居民消费二元例中：
AIC=6.68 AC=6.83 从这点看，可以说前期人均居民消费CONSP(-1)应 包括在模型中。