数值计算方法试题和答案解析

数值计算方法试题一

一、填空题（每空1分，共17分）

1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。

2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。

3、已知是三次样条函数，则

=( )，=（），=（）。

4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则

( )，( )，当时( )。

5、设和节点则

和。

6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。

7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。

8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。

9、解初值问题的改进欧拉法是

阶方法。

10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。

二、二、选择题（每题2分）

1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4)

2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。

（1），（2），（3），（4），

（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次

4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。

(1), (2), (3), (4)

三、1、

2、（15

(1)(1) 试用余项估计其误差。

（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。

四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。

2、（8分）已知方程组，其中

，

（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。

（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。

五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。

2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足

,,,,

六、（下列2题任选一题，4分）

1、1、数值积分公式形如

（1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。

2、2、用二步法

求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。

数值计算方法试题二

一、判断题：（共16分，每小题２分）

１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）

２、当时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。

（）

3、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为。

（）

４、矩阵的２－范数＝９。（）

5、设，则对任意实数，方程组都是病态的。（用）（）

6、设，，且有（单位阵），则有。（）

7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一。（）

8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：

，则的值分别为2，2。（）

二、填空题：（共20分，每小题2分）

1、设，则均差

__________，__________。

2、设函数于区间上有足够阶连续导数，为的一个重零点，Newton

迭代公式的收敛阶至少是 __________阶。

３、区间上的三次样条插值函数在上具有直到__________阶的连续导数。

4、向量,矩阵，则

__________，__________。

5、为使两点的数值求积公式：具有最高的代数精确度，则其求积

基点应为__________，__________。

6、设，，则（谱半径）__________。（此处填小于、大于、等于）

7、设，则__________。

三、简答题：（9分）

1、1、方程在区间内有唯一根，若用迭代公式：，则其产生

的序列是否收敛于？说明理由。

2、2、使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选

主元的技术？

3、3、设，试选择较好的算法计算函数值。

四、（10分）已知数值积分公式为：

，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。

五、（8分）已知求的迭代公式为：

证明：对一切，且序列是单调递减的，

从而迭代过程收敛。

六、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数

精度是多少？

七、（9分）设线性代数方程组中系数矩阵非奇异，为精确解，，若向

量是的一个近似解，残向量，证明估计式：（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。

八、(10分)设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足

下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式，并导出其余

是以为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数，为高斯型求积公式，证明：

（1）（1）当时，

（2）

（3）

十、（选做题8分）

若，

互异，求的值，其中。

数值计算方法试题三

一、（24分）填空题

(1)(1) (2分)改变函数 ()的形式，使计算结果较

精确

。

(2)(2) (2分)若用二分法求方程在区间[1,2]内的

根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。

(3)(3) (2分)设，则

(4)(4) (3分)设是3次样条函数，则