数值计算方法试题和答案解析
《数值计算方法》试题集及答案
《数值计算方法》复习试题四、计算题：1、用高斯-塞德尔方法解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++225218241124321321321x x x x x x x x x ，取T)0,0,0()0(=x ，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。
答案：迭代格式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=--=--=++++++)222(51)218(41)211(41)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x2、求A 、B 使求积公式⎰-+-++-≈11)]21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求⎰=211dxx I (保留四位小数)。
答案：2,,1)(x x x f =是精确成立，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+32212222B A B A 得98,91==B A求积公式为)]21()21([98)]1()1([91)(11f f f f dx x f +-++-=⎰-当3)(x x f =时，公式显然精确成立；当4)(x x f =时，左=52，右=31。
所以代数精度为3。
69286.014097]321132/11[98]311311[91311113221≈=+++-++++-≈+=⎰⎰--=dt t dx x x t3、已知分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。
答案：)53)(43)(13()5)(4)(1(6)51)(41)(31()5)(4)(3(2)(3------+------=x x x x x x x L)45)(35)(15()4)(3)(1(4)54)(34)(14()5)(3)(1(5------+------+x x x x x x差商表为)4)(3)(1(41)3)(1()1(22)()(33---+----+==x x x x x x x N x P5.5)2()2(3=≈P f4、取步长2.0=h ，用预估-校正法解常微分方程初值问题⎩⎨⎧=+='1)0(32y yx y )10(≤≤x答案：解：⎪⎩⎪⎨⎧+++⨯+=+⨯+=++++)]32()32[(1.0)32(2.0)0(111)0(1n n n n n n n n n n y x y x y y y x y y即 04.078.152.01++=+n n n y x y5、已知求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ，并求)0(f '的近似值。
数值计算方法试题一
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑==n k k x l0)(( )，∑==n k k j k x l x 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x x k k n k k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(( )，∑==nk k j kx l x)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(24x l x xk k nk k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001aaa a A ，当∈a （ ）时，必有分解式TLL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题库及答案解析
y 2y, y(0) 1，试问为保证该公式绝对稳定，步长 h 的取值范围为（
）。
(1) 0 h 2 , (2) 0 h 2 , (3) 0 h 2 , (4) 0 h 2
三、1、（8 分）用最小二乘法求形如 y a bx2 的经验公式拟合以下数据：
2
是否为插值型求积公式？为什么？其
代数精度是多少？
七、（9 分）设线性代数方程组 AX b 中系数矩阵 A 非奇异， X 为精确解， b 0 ，若向
~
~
量 X 是 AX b 的 一 个 近 似 解 ， 残 向 量 r b A X ， 证 明 估 计 式 ：
~
X X
r cond ( A)
五、（8 分）已知求 a (a 0) 的迭代公式为：
1
a
xk1 2 (xk xk )
x0 0 k 0,1,2
证明：对一切 k 1,2,, xk a ，且序列xk 是单调递减的，
从而迭代过程收敛。
3 f (x)dx 3 [ f (1) f (2)]
六、（9 分）数值求积公式 0
六、（下列 2 题任选一题，4 分） 1、 1、 数值积分公式形如
1
0 xf (x)dx S(x) Af (0) Bf (1) Cf (0) Df (1)
（1） （1） 试确定参数 A, B,C, D 使公式代数精度尽量高；（2）设
1
f (x) C 4[0,1] ，推导余项公式 R(x) 0 xf (x)dx S(x) ，并估计误差。
i 1
的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次
数为 2n 1。 （
）
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
北理工数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法习题答案
数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1,2,......ka k kx x x k +=+=恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk kx k x x k x k +-=-=≥=证明： （1）(2211222k k k k k k k kx a x ax x x x x +⎫⎛-+=+-==⎪ ⎝⎭（2） 取初值0>x ，显然有0>kx，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若kx 有n 位有效数字，则n kx-⨯≤-110218，而()k k k kk x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥Θ1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为mna a a x 10 (02)1*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a xx x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x，有 003063.071.20083.022≈<-x e x对于718.23=x，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
数值计算方法答案
习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时 444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈=== 2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5 3．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯ （2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯=0.3456210⨯ 易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x -=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =；（3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x -=；（4）（A）9y =（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( 3 )，b =（3 ），c =（ 1 ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(( 1 )，∑==nk k jk x lx 0)(( j x )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( 324++x x )。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （22,22- ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ 0>ii l ）条件时，这种分解是唯一的。
二 选择题（每题2分）三、 2、（8分）已知方程组f AX =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4114334A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243024f（1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。
（2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。
五、1、（15分）取步长1.0=h ，求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)0(1y y dxdy用改进的欧拉法求)1.0(y的值；用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。
数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若A 是n n ⨯阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ，使LU A =唯一成立。
（ ）２、当8≥n 时，Newton －cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。
（ ） 1、（ Ⅹ ） 2、（ ∨ ） 3、（ Ⅹ ） 4、（ ∨ ）3、形如)()(1i ni i ba x f A dx x f ∑⎰=≈的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代数精确度的次数为12+n 。
《数值计算方法》试题与答案
习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？ 解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法与算法习题答案
数值计算方法与算法习题答案【篇一：《数值计算方法》试题与答案】1．设x0相对误差为2%，x4的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式： ?(f(x))??(f(x))f(x)?xf(x)f(x)?(x)得（1）f(x)????(x)?12?(x)?12*2%?1%；（2）f(x)?x4时?(x4)?xx4(x4)?(x)?4?(x)?4*2%?8%2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）x??12.1；（2）x??12.10；（3）x??12.100。
解：由教材p9关于?x??a1a2?am.b1b2?bn?型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352?fl(fl(0.3197?102?0.2456?101)?0.1352)=fl(0.3443?102?0.1352)=0.3457?102（2）31.97+（2.456+0.1352）?fl(0.3197?102?fl(0.2456?101)) = fl(0.3197?102?0.2591?101) =0.3456?102易见31.97+2.456+0.1352=0.345612?102，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？2解：设该正方形的边长为x，面积为f(x)?x2，由?(f(x))??(f(x))f(x)?xf(x)f(x)?(x)解得?(x)??(f(x))f(x)?(f(x))x2(f(x))xf(x)=x?2x??2=0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知x??1，（a）y?11?x2x21?2x?1?x，（b）y?(1?2x)(1?x)；（2）已知x??1，（a）y?，（b）y? （3）已知x??1，（a）y?2sin2x1?cos2xx，（b）y?x；（4）（a）y?9（b）y?解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法期末试题及答案
一、选择题（每小题4分，共20分）1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（ A ）A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差；B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差；C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差；D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。
2. 若132)(356++-=x x x x f ，则其六阶差商=]3,,3,3,3[6210 f （ C ） A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 。
3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 （ D ）A. 0；B. 1；C. 2；D. 3 。
4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 （ B ）A. 都发散；B. 都收敛C. Jacobi 迭代法收敛，Gauss-Seidel 迭代法发散；D. Jacobi 迭代法发散，Gauss-Seidel 迭代法收敛。
5. 对于试验方程y y λ='，Euler 方法的绝对稳定区间为（ C ）A. 02≤≤-h ；B. 0785.2≤≤-h ；C. 02≤≤-h λ；D. 0785.2≤≤-h λ ；二、填空题（每空3分，共18分）1. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛--='-=4321,)2,1(A x ，则 =2x 5，=1Ax 16 ，=2A 22115+2. 已知3)9(,2)4(==f f ，则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。
3. 要使20的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取 4 位有效数字。
三、利用下面数据表，1. 用复化梯形公式计算积分dxx f I )(6.28.1⎰=的近似值；解：1.用复化梯形公式计算 取2.048.16.2,4=-==h n 1分分分分7058337.55))6.2()2.08.1(2)8.1((22.04))()(2)((231114=+++=++=∑∑=-=f k f f b f x f a f hT k n k k2. 用复化Simpson 公式计算积分dxx f I )(6.28.1⎰=的近似值。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法答案
习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时 444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈=== 2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，5 3．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯ （2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯=0.3456210⨯ 易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x -=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =；（3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x -=；（4）（A）9y =（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法答案
数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）++； （2）+（+）哪个较精确 解：（1）++ ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl ⨯+=210⨯（2）+（+）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =210⨯易见++=210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些为什么（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
《数值计算方法》试题集及答案解析
=
9
。
4 8 2 A= 2 5 7 1 3 6 的 A = LU ，则 U = 32、设矩阵
4 8 2 U = 0 1 6 1 0 0 − 2
。
3
33、若 f ( x ) = 3 x + 2 x + 1 ，则差商 f [ 2, 4, 8,16, 32] =
5、舍入误差是( A )产生的误差。 A. 只取有限位数 C． 观察与测量 B．模型准确值与用数值方法求得的准确值 D．数学模型准确值与实际值
6、3.141580 是π的有( B )位有效数字的近似值。 A． 6 B． 5 C． 4 C )误差。 D． 舍入
4
D． 7
7、用 1+x 近似表示 ex 所产生的误差是( A． 模型 B． 观测
1 x +1 + x
27 、若用二分法求方程 f ( x ) = 0 在区间 [1,2] 内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分 10 次。
2 x 3 , 0 ≤ x ≤ 1 S (x ) = 3 2 x + ax + bx + c, 1 ≤ x ≤ 2 是 3 次样条函数，则 28、设
C． 截断
8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。 A．控制舍入误差 C．防止计算时溢出 B． 减小方法误差 D． 简化计算
x 3 9、用 1+ 3 近似表示 1 + x 所产生的误差是(
D )误差。 D． 截断 )位有效数字。 D． 8
A． 舍入
B． 观测
C． 模型
10、-324．7500 是舍入得到的近似值，它有( C A． 5 B． 6 C． 7
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
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数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。
3、已知是三次样条函数，则=( )，=（），=（）。
4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则( )，( )，当时( )。
5、设和节点则和。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。
7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。
8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法。
10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。
二、二、选择题（每题2分）1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。
（1）, (2) , (3) , (4)2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（1），（2），（3），（4），（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。
(1), (2), (3), (4)三、1、2、（15(1)(1) 试用余项估计其误差。
（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。
四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。
判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。
2、（8分）已知方程组，其中，（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。
（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。
五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。
2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足,,,,六、（下列2题任选一题，4分）1、1、数值积分公式形如（1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。
2、2、用二步法求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。
数值计算方法试题二一、判断题：（共16分，每小题２分）１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。
（）２、当时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。
（）3、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为。
（）４、矩阵的２－范数＝９。
（）5、设，则对任意实数，方程组都是病态的。
（用）（）6、设，，且有（单位阵），则有。
（）7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一。
（）8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：，则的值分别为2，2。
（）二、填空题：（共20分，每小题2分）1、设，则均差__________，__________。
2、设函数于区间上有足够阶连续导数，为的一个重零点，Newton迭代公式的收敛阶至少是 __________阶。
３、区间上的三次样条插值函数在上具有直到__________阶的连续导数。
4、向量,矩阵，则__________，__________。
5、为使两点的数值求积公式：具有最高的代数精确度，则其求积基点应为__________，__________。
6、设，，则（谱半径）__________。
（此处填小于、大于、等于）7、设，则__________。
三、简答题：（9分）1、1、方程在区间内有唯一根，若用迭代公式：，则其产生的序列是否收敛于？说明理由。
2、2、使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？3、3、设，试选择较好的算法计算函数值。
四、（10分）已知数值积分公式为：，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。
五、（8分）已知求的迭代公式为：证明：对一切，且序列是单调递减的，从而迭代过程收敛。
六、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？七、（9分）设线性代数方程组中系数矩阵非奇异，为精确解，，若向量是的一个近似解，残向量，证明估计式：（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。
八、(10分)设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式，并导出其余是以为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基函数，为高斯型求积公式，证明：（1）（1）当时，（2）（3）十、（选做题8分）若，互异，求的值，其中。
数值计算方法试题三一、（24分）填空题(1)(1) (2分)改变函数 ()的形式，使计算结果较精确。
(2)(2) (2分)若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。
(3)(3) (2分)设，则(4)(4) (3分)设是3次样条函数，则a= , b= , c= 。
(5)(5) (3分)若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用个求积节点。
(6)(6) (6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛。
(7)(7) (4分)设,则，。
(8)(8) (2分)若用Euler法求解初值问题，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为二. (64分)(1)(1) (6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。
(2)(2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。
(3)(3) (10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。
(4)(4) (10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。
(5)(5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组：(6)(6) (8分)求方程组的最小二乘解。
(7)(7) (8分)已知常微分方程的初值问题：用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。
三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)(1)(1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：，，，，(2)(2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：(3)(3) (6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于，取特征向量的初始近似值为。
(4)(4) (6分)推导求解常微分方程初值问题的形式为,i=1,2,…,N的公式，使其精度尽量高，其中, , i=0,1,…,N,(5)(5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题所得到的三对角线性方程组。
数值计算方法试题三一、（24分）填空题(9)(1) (2分)改变函数 ()的形式，使计算结果较精确。
(10)(2) (2分)若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。
(11)(3) (2分)设，则(12)(4) (3分)设是3次样条函数，则a= , b= , c= 。
(13)(5) (3分)若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用个求积节点。
(14)(6) (6分)写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式，迭代矩阵为，此迭代法是否收敛。
(15)(7) (4分)设,则，。
(16)(8) (2分)若用Euler法求解初值问题，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为二. (64分)(8)(1) (6分)写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。
(9)(2) (12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。
(10)(3) (10分)求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。
(11)(4) (10分)用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。
(12)(5) (10分)用Gauss列主元消去法解方程组：(13)(6) (8分)求方程组的最小二乘解。
(14)(7) (8分)已知常微分方程的初值问题：用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。
三．(12分，在下列5个题中至多选做3个题)(6)(1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足：，，，，(7)(2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：(8)(3) (6分)用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于，取特征向量的初始近似值为。
(9)(4) (6分)推导求解常微分方程初值问题的形式为,i=1,2,…,N的公式，使其精度尽量高，其中, , i=0,1,…,N,(10)(5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题所得到的三对角线性方程组。
数值计算方法试题一答案一、一、填空题（每空1分，共17分）1、（ 10 ）2、（）3、=( 3 )，=（ 3 ），=（ 1 ）4、( 1 )、 ( )、( )5、 6 、6、 97、 0 8、9、 2 10、（）、（）二、二、选择题（每题2分）1、（(2)）2、（（1））3、（（1））4、（（3））三、1、（8分）解：解方程组其中解得：所以，2、（15分）解：四、1、（15分）解：（1），，故收敛；（2），，故收敛；（3），，故发散。
选择（1）：，，，，，，Steffensen迭代：计算结果：，，有加速效果。
2、（8分）解：Jacobi迭代法：Gauss-Seidel迭代法：，SOR迭代法：五、1、（15分）解：改进的欧拉法：所以；经典的四阶龙格—库塔法：，所以。
2、（8分）解：设为满足条件的Hermite插值多项式，则代入条件得：六、（下列2题任选一题，4分）1、解：将分布代入公式得：构造Hermite插值多项式满足其中则有：，2、解：所以主项：该方法是二阶的。
数值计算方法试题二答案一、一、判断题：（共10分，每小题２分）1、（Ⅹ）2、（∨）3、（Ⅹ）4、（∨）5、（Ⅹ）6、（∨）7、（Ⅹ）8、（Ⅹ）二、二、填空题：（共10分，每小题2分）1、、02、__二___3、__二___4、_16 、90__5、6、 =7、0三、三、简答题：（15分）1、1、解：迭代函数为2、2、答：Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素全不为0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即使，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为0，但若主元素的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元素=0或很小的情况发生，从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。