垂直平分线的尺规作图
1.3.2_线段的垂直平分线(2)
D
提示:
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用 这种方法作线段的中点.
回顾
思考 ２
线段的垂直平分线的 性质定理
M
定理 线段垂直平分线上的点到这
条线段两个端点距离相等.
如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点 (已知), A ∴PA=PB (线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点距离相等).
所作出的三角形都全等吗? 若已知等腰三角形的底及底边上的高,
你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?
做一做
初 露 锋 芒
已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形
a
h
已知:线段a,h(如图).
求作: △ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.
你能亲自写出作法吗？
随堂练习
已知:线段a,h(如图).
N
提示:这个结论是经常用来证明点在直线上
(或直线经过某一点)的根据之一.
试一试
小 试 牛 刀
1、已知直线和直线上一点P,利用尺规作直线
的垂线,使它经过点P.
C C
●
P B
A
D
l
想 一 想
学 无 止 境
1、已知直线和直线外一点P,利用尺规作直线 的垂线,使它经过点P.
P
●
l
想一想,做一做
利用尺规作出三角 形三条边的垂直平分线.
P
C
N
B
提示:
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
回顾
思考 ３
线段的垂直平分线的 性质定理的逆定理
P
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上. M 如图,
线段的垂直平分线
线段的垂直平分线知识要点分析1. 线段垂直平分线性质定理及判定定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
(这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
2. 三角形三条边的垂直平分线定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
(这是一个证明三条直线交于一点的证明根据.)3. 尺规作图尺规作图的概念：只用没有刻度的直尺和圆规进行作图，称尺规作图。
能写出尺规作图的步骤作已知线段的垂直平分线已知底边及底边上的高，求作一个等腰三角形。
【典型例题】考点一：线段垂直平分线性质定理和判定定理例1. 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置？例2、已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点. 求证：PA=PB.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请你证明它。
这个定理的逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明：取AB的中点C，过PC作直线.APBC21这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.考点二：尺规作图例3、用尺规作线段的垂直平分线已知：线段AB（如图）. A B求作：线段AB的垂直平分线.现在同学们会作一条已知线段的垂直平分线了，那么你能作出一个三角形的三边的垂直平分线吗？如果能，请试一试观察一下三角形三条边的垂直平分线交于一点吗？如果交于一点，你能证明出来吗？例4、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：P点在AC的垂直平分线上.这就是我们今天学习的又一个定理三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
例5、边及底边上的高，求作等腰三角形.已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h(先分析,作出示意图形,再按要求去作图.)考点三：三角形三条边的垂直平分线的性质例6. 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的一条中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC.严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是证明者谨记和遵循的原则 一、选择题1、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定*2、已知，如图，在△ABC 中，OB 和OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过O 作DE ∥BC ，分别交AB 、AC于点D 、E ，若BD+CE ＝5，则线段DE 的长为 （ ）A. 5 B. 6 C. 7D. 82题图 3题图3、如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A 、AB 、BC 两边高线的交点处B 、AC 、BC 两边中线的交点处C 、AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D 、∠A 、∠B 的平分线交点处 二、填空题4、如图所示，△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB的中垂线，AB=2AC ，BC=18cm ，则BE 的长度为4题图 7题图*5、锐角△ABC 中，∠A=60°，AB ，AC 两边的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数是 __________。
用尺规作图(作线段的垂直平分线)
2.画一个直角三角形，使其斜边和直 角边分别等于已知的两条线段.
(第 4 题)
E F B D C
2，书本上的练习
作业
课堂作业：书本P37 上的7,9,11题 （画在书本上） 家庭作业（方便居民的生 活，计划在三个住宅小区A、B、 C之间修建一个购物中心，试问， 该购物中心应建于何处，才能 使得它到三个小区的距离相等。
A
·
B
C
问题探讨
以C为圆心，任一线段的长为半径 画弧，交l于A、B两点，则C是线段 AB的中点．因此，过C画直线l的垂 线转化为画线段AB的垂直平分线．
图 24.4.9
作法：(1)以点C为圆心，任一线段的 长为半径画弧，交直线l于点A、B； (2)以点A为圆心，以CB长为半径在 直线一侧画弧; (3)以点D为圆心，以同样的长为半径 在直线的同一侧画弧，两弧交于点D； (4)经过点C、D作直线CD． 则直线CD即为所求．
你能做出下面五角星的一条对称轴吗？
A
A’
生活中的数学
A
在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便 于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医 院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选 在何处？你的方案是什么?
B
L
高 速 公 路
1，已知，如图，AD是△ABC的角平分线， DE,DF,分别是△ABD和△ACD的高。 求证：AD垂直平分EF A
思考：
有时我们感觉两个平面图形是轴对称图形，如何验 证呢？不折叠图形，你能准确的作出轴对称图形的对称 轴吗？
如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何 一对对应点所连线段的垂直平分线.因此，我们 只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的 垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。
15.2线段的垂直平分线
∴BE+EC=AC.
∵AC=17，BC=16.
D
E
∴ △BCD的周长=BE+EC+BC=AC+BC=17+16=33.
练习3、如右图，△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂 直平分线ED交AC于D点. (1)当AE=13cm时，BE= cm； (2)当△BEC的周长为26cm时，则BC= cm； (3)当BC=15cm，则△BEC的周长是 cm.
C
A
O
B
线段垂直平分线的判定定理
定理 到线段两端距离相等的点在线段 的垂直平分线上.
P
几何语言 如图，
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （到线段两端距离相等的点在 A 线 段的垂直平分线上.）
线段垂直平分线的判定定理
B
练习1、
已知:如图,AC=AD，BC=BD， 求证：AB垂直平分CD。
E
交流与小结 本节课你学到了什么呢？
• • • • • 线段垂直平分线的折法 线段垂直平分线的画法 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的应用
尺规作图 三角板取中点 画垂线
五、线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线的性质定理 •线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等. • 思考：你能写出上面定理的逆命题吗？ • 它是真命题吗？如何证明呢？ 命题 到线段两端距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上. •
<一>操作：画线段垂直平分线 方法一
尺规画法
1
①分别以点A、B为圆心，大于 ½ AB长为半径画弧交于点E、F 则直线EF就是线段AB的垂直平分 线(如图) 方法二 利用三角板过中点画垂线
16.2尺规作图线段垂直平分线
永年县第四中学 吴睿
课前回顾
M P
1.垂直平分线的定义： ∵MN是AB的垂直平分线 AD＝BD； ∴ MN⊥AB ， A D B 2.垂直平分线的性质： N ∵MN是AB的垂直平分线 ∴ PA＝PB （ 线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距离相等 ） 3.垂直平分线的判定： ∵PA＝PB ∴ P在AB的垂直平分线上 （ 到线段两端距 离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ）
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
驶向胜利 的彼岸
作线段的垂直平分线
如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？
如果两个图形成轴对 称，其对称轴是任何一对 对应点所连线段的垂直平 分线．因此，只要找到任 意一组对应点，作出对应 点所连线段的垂直平分线， 就得到此图形的对称轴．
小结
1．说说线段垂直平分线的作法； 2．画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方 法： (1)将图形对折； (2)用尺规作图； (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然 后画垂线．
（3）由DE是BC的垂直平分线得：BD＝CD；所以AD＋CD＝ AD＋BD＝AB. （4）由（2）中式子－（1）中式子得BC＝10cm.
课堂练习
练习4 如图，过点P 画∠AOB 两边的垂线，并和 同桌交流你的作图过程． A
P O
B
独立作业
1
习题1.5
1.利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线.
老师期望:
课堂练习
练习3：如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？ 画出它们的对称轴.
思考
两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什 么方法画出它的对称轴? 我们已经知道，如果两个图形关于某条直线 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线．因此我们只要找到这两个 图形的一对对应点，然后画出以这两个对应 点为端点的线段的垂直平分线就可以了． 提问：如何画一条线段的垂直平分线呢?
尺规作图之垂直平分线
尺规作图之垂直平分线
1 .怎么用尺规作图画垂直平分线
2 .已知线段AB和动点P,点P总可以使PA=PB,求证：点P的所有可能位置是线段AB的垂直平分线。
3 .如图，已知线段A8及线段48外一点C,过点C作直线CZX使得8_1A8.
小欣的作法如下：
①以点B为圆心，BC长为半径作弧；
②以点A为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点。
；
③作直线CD.
则直线CO即为所求.
（1）根据小欣的作图过程补全图形；
（2）完成下面的证明.
证明：连接AC,AD,BC,BD.
,:BC=BD,
・・・点B在线段CO的垂直平分线上.（）（填推理的依据）
VAC=,
・・・点A在线段CD的垂直平分线上.
・•・直线AB为线段CD的垂直平分线.
,∖CD±AB.
•C。
数学 3线段垂直平分线-课件
A
B
M
Nl
解：(1)如图所示：
(2)在△AMP和△BNP中， ∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN， ∴△AMP≌△PNB(SSS)， ∴∠MAP＝∠NPB.
A
B
M PN l
课堂小结
原理
到一条线段两端距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上．
Байду номын сангаас
用尺规 作线段
1.分别以点A，B为圆心，以大于
1 2
AB
1 B．以点M为圆心，大于 2 AB的长为半径画弧
C．以点M为圆心，适当长为半径画弧 D．过点M作直线AB的垂线
3.下列作图方法中，能确定线段AB的中点的是( B ) A．作线段AB的垂线 B．作线段AB的垂直平分线 C．过点A作线段AB的垂线 D．过线段AB的中点作线段AB的垂线
4.平面内与A，B，C三点等距离的点( D ) A．只有一个 B．有两个 C．有三个或三个以上 D．有一个或没有
作法：（1）找出五角星的一对对应点A和
B，连接AB．
（2）作出线段AB的垂直平分线l．则l就
A
是这个五角星的一条对称轴．
l B
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所 以五角星有五条对称轴．
【名师点睛】对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连 线段的垂直平分线，即可得到此图形的对称轴.
归纳
1.作对称轴常用的画法有两种： (1)找一组对应点→画对应点的连线→作所连线段的垂直平分线； (2)找两组对应点→分别取两组对应点连线的中点→过两中点作直线．
2.轴对称图形的对称轴可能不止一条，因此作对称轴时，选取的对应点 不同，作出的对称轴可能也不同．
知识点 2 作线段垂直平分线的应用
关于线段垂直平分线的尺规作图-冀教版八年级数学上册教案
关于线段垂直平分线的尺规作图1. 前置知识在进行线段垂直平分线的尺规作图之前，需要掌握以下基础知识：1.垂直线：两条直线交成的四个角中，相邻的两个角之间夹了一个90度的角，也就是相互垂直的两条直线。
2.平分线：将一条线段平均分成两部分的线段。
2. 尺规作图步骤线段垂直平分线的尺规作图可以分为以下三个步骤：步骤一：作线段的中垂线以线段AB为例，作出该线段的中垂线CD。
具体步骤如下：1.在线段AB上任取一点O，并以O为圆心，AB的一半为半径作圆。
设圆与AB相交于点E和F。
2.以E和F为圆心，EO（或FO）为半径作圆，两圆的交点为点C。
3.连接AC和BC，得到线段AB的中垂线CD。
步骤二：作垂线以点D为圆心，DC的长度为半径作圆，与线段AB相交于点E和F。
步骤三：作平分线以点E和F为圆心，DE的长度为半径作圆和DF的长度为半径作圆，两圆的交点为点G。
连接AG和BG，就得到了线段AB的垂直平分线GH。
3. 点评尺规作图中的注意事项进行线段垂直平分线的尺规作图，需要注意以下事项：1.在进行尺规作图前，需要使用直尺和圆规等工具进行准确的度量和绘制，保证尺度的准确性。
2.步骤中的一些术语，如中垂线和垂线，需准确理解，并能够正确作图。
3.进行尺规作图时，需掌握较高的手眼协调能力，需保证直尺和圆规的稳定性，才能得到准确的作图结果。
4. 思考题在进行线段垂直平分线的尺规作图时，很多学生会遇到一些困难。
下面我们来思考几个问题，帮助学生更好地掌握尺规作图。
1.为什么在第一步中要求以线段一半的长度为半径作圆？答：这是为了求出线段的中点，以便更好地作出线段的中垂线。
2.如果线段AB的长度过长，超出了纸张范围，应该怎么做？答：可以对线段进行合理缩放，使其适应纸张范围，但需注意保持比例不变。
3.在进行尺规作图时，为什么需要使用圆规？答：因为圆规可以帮助我们绘制具有特定长度的圆弧，因此它是尺规作图的基本工具之一。
5. 教学设计通过本课的教学，学生将能够掌握线段垂直平分线的尺规作图方法，并增强对垂直线和平分线的理解。