磁矢势 带电粒子的动量
量子力学_61电磁场中荷电粒子的运动及两类动量
Pi
q c
Ai
q c
Ai x
q q
x c
Ax
q c
3 i 1
ri
Ai x
q
x
q c
Ax t
3 i 1
ri
Ax ri
q
x
1 c
t
Ax
q c
x
Ax x
y
Ay x
z
Az x
x
x
Ax
y
y
Ax
z
z
Ax
q
1 c
t
A
x
q c
υ (
A) x
所以
mr
q
1 c
t
A
q c
q c
A
理解为粒子的 速度算符
(14)
(15)
2. 规范不变性
电磁场具有规范不变性，当矢势和标势作下列规范变换时
A A' A (r,t)
1 c
t
(r,
t)
(16)
电、磁场强度都不改变.其规范不变性是显然的.
但Schrödinger方程（9）中出现 A和，是否违反规范
不变性？ 否！！
可证明
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
量子力学教程(第二版)
6.3 Landau能级
➢ 一、电子的Hamilton量
考虑电子（质量M，荷电e）在均匀磁场B中运动,则 相应的矢势A可取为
A 1 Br 2
取磁场方向为z轴方向，则
Ax
1 2
By,
1 Ay 2 Bx,
Az 0
(1)
6.1 电磁场中荷电粒子的运动，两类动量
x
磁矢势.
[Az (P) Az (Q)]
0I 2
ln
Q
P
ln
Q
P
0I 2
ln
P
P
0I 2
ln
涡旋电场（感生电动势）
• Maxell相信即使不存在导体回路，变化的磁场在 其周围也会激发一种电场，他称之为感应电场或 涡旋电场
• 考虑一个固定回路L，S为以L为边界的曲面，通过
两种办法
利用对称性由 A dl B dS得出
普通物理 的方法
L
S
由B A和 A 0 A的表达式 电动力学的做法
A dl B dS (a)
L
S
取闭合环路L
电流元的磁矢势
• 设磁矢势a与电流元平行 （因为对矢势变换规范可 以任选，选库仑规范A=0 的结果）——a只有z分量
以电流元为轴,取柱坐 标（、、z )
P
0Il 2
Q d P
0Il ln 2
Q P
一根无限长导线在空间任一两点之间的矢势差
[ Az
(P)
Az
(Q)]
0I 2
ln
Q P
两根无限长载流直导线的磁矢势
矢量叠加（如图）
＋
[ Az (P) [ Az (P)
A (Q)] z
A (Q)] z
0I 2
ln
Q
P
0I 2
ln
Q
P
取Q 零点
E旋
A t
E势
E旋
产生原因
静电荷激发
变化的磁场
电力线 性质
不闭合
E势 dl 0
L
保守场
闭 合
E旋 dl 0
L
通电螺线管的磁矢势
通电螺线管的磁矢势
通电螺线管的磁矢势是指通过通电螺线管所产生的磁场的总量。
磁矢势是一个矢量量，用于描述磁场的分布和强度。
它可以用数学公式表示为：
A = μ₀* N * I * l
其中，A表示磁矢势，μ₀是自由空间的磁导率（约等于4π×10⁻⁷T·m/A），N是螺线管的匝数，I是通电螺线管中的电流，l是螺线管的长度。
通电螺线管的磁矢势的大小与电流强度、匝数和长度成正比。
当通电螺线管中的电流增加时，磁矢势也会增加；当螺线管的匝数增加时，磁矢势也会增加；当螺线管的长度增加时，磁矢势也会增加。
磁矢势的方向与电流流动方向和螺线管的匝数方向有关。
通电螺线管的磁矢势在物理学和工程学中有广泛的应用。
它可以用于计算磁场的分布和强度，以及与磁场相关的力和能量。
磁矢势的概念对于理解电磁感应、电动机、变压器等电磁现象和设备至关重要。
高三物理磁学知识点
高三物理磁学知识点磁学是物理学中的一个重要分支，研究物质间的磁性相互作用及其规律。
在高三物理学习中，磁学知识是不可避免的一部分。
本文将介绍高三物理磁学知识的要点，涵盖了磁场、磁力与运动、电磁感应和电动机等方面。
1. 磁场磁场是磁物体周围存在的一种物理量，用来描述磁物体对其他物质的吸引或排斥作用。
磁场可以是磁铁所产生的，也可以是电流所激发的。
磁场的特点包括磁力线、磁感应强度、磁通量和磁场能等。
2. 磁力与运动磁力是磁场对运动带电粒子的作用力，它符合洛仑兹力定律。
当带电粒子在磁场中做匀速直线运动时，磁力垂直于运动方向，并且大小与带电粒子的电荷量、速度和磁感应强度有关。
当带电粒子以某一速度在磁场中做圆周运动时，磁力提供了向心力，使得带电粒子在磁场中保持圆周轨道。
3. 电磁感应电磁感应是指磁场变化产生感应电动势，从而引起涡流或感应电流的现象。
法拉第电磁感应定律表明，磁场的变化率与感应电动势成正比。
电磁感应可以通过磁场的变化、电路中的磁通量和一次线圈与二次线圈之间的相对运动来实现。
4. 电动机电动机是利用电流在磁场中产生力矩，实现机械能与电能的相互转换的装置。
电动机根据工作原理可以分为直流电动机和交流电动机。
直流电动机利用电流在磁场中受力的特性，实现旋转运动。
交流电动机则利用变化的磁场在线圈中产生感应电动势，并通过交变电流产生旋转力矩。
通过学习以上物理磁学知识点，我们能够深入了解磁学在物质相互作用中的重要作用。
同时，这些知识点也是高三物理考试的重点内容，加深掌握对学习和应试都有很大帮助。
正文到此结束，希望能对你的学习有所帮助。
更多关于高三物理磁学的知识，可进一步查阅相关资料进行学习。
11-2第十一讲：带电粒子在电磁场中运动的若干问题及磁矢势
e 1.758819621011C / kg m
2013/4/1
北京大学物理学院王稼军编
等离子体磁约束
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
等离子体：部分或完全电离的气体。
特点：由大量自由电子和正离子及中性原子、 分子组成，宏观上近似中性，即所含正负电荷 数处处相等。
带电粒子在磁场中沿螺旋线运动
与B成 反比
R mv sin , h v cos T 2m v cos
中国的超导托卡马克研究计划
R = 1.22m (achieved)
a = 0.285m (C Limiter)
Ip = 100~250 kA (250)
ne = 1~6x1013cm-3 (6.5)
BT = 1~2.5T(2.5) Te = 1~2 KeV (4.6) Ti = 0.2~0.6K eV
(1.8) t = 1~ 5s ( 300 s) ICRF: f = 15~45MHz, CW(035MW, 10s) LHCD: f = 2.45GHz,
10s (0.65MW) Pellet injector:
up to 8 pellets /per shot Supersonic beam injection: <1.0 km2/01s3/4/1
的欧洲物理学大奖，以及2003年获法国国家科学研 金奖物理奖(与Fert共同获得)。
究中心金奖。2013/4/1
北京大学物理学院王稼军编
量子Hall效应
二维电子系统
从50年代起，由于晶体管工业的兴盛，半导体表面研 究成了热门课题，半导体物理学中兴起了一个崭新领 域——二维电子系统。
1957年，施里弗(J．R．schrieffer)提出反型层理论， 认为如果与半导体表面垂直的电场足够强，就可以在 表面附近出现与体内导电类型相反的反型层。
高中物理电磁学公式总整理
高中物理电磁学公式总整理电磁学公式作为高中物理知识的一项重要内容，是学习学习的重点。
为了帮助高中生掌握相关公式，下面店铺给大家带来的高中物理电磁学公式，希望对你有帮助。
高中物理电磁学公式磁场1.磁感应强度是用来表示磁场的强弱和方向的物理量,是矢量，单位T),1T=1N/A?m2.安培力F=BIL;(注：L⊥B) {B:磁感应强度(T),F:安培力(F),I:电流强度(A),L:导线长度(m)}3.洛仑兹力f=qVB(注V⊥B); {f:洛仑兹力(N)，q:带电粒子电量(C)，V:带电粒子速度(m/s)｝4.在重力忽略不计(不考虑重力)的情况下,带电粒子进入磁场的运动情况(掌握两种)：(1)带电粒子沿平行磁场方向进入磁场:不受洛仑兹力的作用,做匀速直线运动V=V0(2)带电粒子沿垂直磁场方向进入磁场:做匀速圆周运动,规律如下a)F向=f洛=mV2/r=mω2r=mr(2π/T)2=qVB;r=mV/qB;T=2πm/qB;(b)运动周期与圆周运动的半径和线速度无关,洛仑兹力对带电粒子不做功(任何情况下);(c)解题关键:画轨迹、找圆心、定半径、圆心角(=二倍弦切角)。
注：(1)安培力和洛仑兹力的方向均可由左手定则判定，只是洛仑兹力要注意带电粒子的正负。
电磁感应1.1)E=nΔΦ/Δt(普适公式){法拉第电磁感应定律，E：感应电动势(V)，n：感应线圈匝数，ΔΦ/Δt:磁通量的变化率｝2)E=BLV垂(切割磁感线运动) {L:有效长度(m)｝3)Em=nBSω(交流发电机最大的感应电动势) {Em:感应电动势峰值｝4)E=BL2ω/2(导体一端固定以ω旋转切割) {ω:角速度(rad/s)，V:速度(m/s)｝2.磁通量Φ=BS {Φ:磁通量(Wb),B:匀强磁场的磁感应强度(T),S:正对面积(m2)}3.感应电动势的正负极可利用感应电流方向判定{电源内部的电流方向：由负极流向正极｝高中物理电磁学知识点一、磁现象最早的指南针叫司南。
磁场的“高斯定理”--磁矢势
得出A 一个表达式
以上几个例子（例题11自己看）都属于强对称性 场，实际上是已知B求A，也可以直接根据电流 分布求矢势——更多的问题在电动力学中学习
相关的习题很少，掌握这种方法
p145 2-20(3)、2－21（3）
类似于电势零点可以任取，规范也可任意选取 通常选库仑规范: A=0
找电流产生的磁场中 磁矢势的表达式
两种办法
利用对称性由 A dl B dS得出
普通物理 的方法
L
S
由B A和 A 0 A的表达式 电动力学的做法
电流元的磁矢势
p112式（2.55)
任意载流回路——由许多电流元串联而 成，由叠加原理得
结论：通过磁场中任一闭合曲面S的总 磁通量恒等于零。
磁高斯定理的微分形式
利用数学的高斯定理
B B d S 0
S
B 0
BdV 0
V
说明恒磁场的散度为零——无源场
磁矢势
B d S 0
dB 0 Idl sin 4 r 2
考察任一磁感应管(正截面为)， 取任意闭合曲面S，磁感应管
穿入S一次，穿出一次。
dS1 cos1 dS2 cos2 dS
d B1
d B1 d S1
0 4
Idl sin
r2
dS1 cos1
0 4
Idl sin
S
S1
S2
B dS B dS
S1
磁通量仅由
的共同边界线所决定
S2
可能找到一个矢量A，它沿L 作线积分等于通过S的通量
A dl B dS (a)
电磁场的矢势和标势
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
矢势和标势（续）
∇
×
E
=
−
∂B ∂t
⇒
∇
×
(E
+
∂A ∂t
)
=
0
★由(E
+
∂A ∂t
)的无旋性引入标势ϕ：
∇ × (E + ∂A ) = 0 ⇒ E + ∂A = −∇ϕ
∂t
∂t
一般而言：
【讨论】
E
=
−∇ϕ
−
∂A ∂t
★ 电场E不再是保守力场，势能、电压的概念失去原来意义；
矢势和标势（续）
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
ϕ → ϕ = ϕ − ∂ψ ∂t
存
(1) (2)
§ 1.2 规范变换和规范不变性
★从∇ × A = B可看出：要确定A还需要另加条件； ★用矢势A与标势ϕ描述电磁场不唯一！
A → A = A + ∇ψ
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两 种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0
§ 1.3 库仑规范与洛伦兹规范
规范的选择是多样的：挑选出计算方便简化，且物理意义明显的规范，有两 种：库仑规范与洛伦兹规范。
★库仑规范
∇·A=0 ◆库仑规范纵横分明：库仑场和感应场
A
∇·B =0
⇒
B =∇×A
E ? = −∇ϕ
第一节 电磁场的矢势和标势
§ 1.1 矢势和标势
电动力学Chapter31(矢势及其微分方程)
04 电磁场的能量与动量
电磁场的能量守恒
定义
电磁场能量是指场中所有电荷和电流的能量总 和。
表达式
电磁场能量的变化率等于场中电荷和电流的能 量密度的时间变化率。
意义
能量守恒是电磁场的基本性质之一，它反映了场中能量的传递和转化过程。
电磁场的动量守恒
定义
电磁场动量是指场中所有电荷和电流的动量 总和。
表达式
电磁场动量的变化率等于场中电荷和电流的 动量密度的变化率。
意义
动量守恒是电磁场的基本性质之一，它反映 了场中力的传递和转化过程。
能量与动量守恒的应用
在电磁场理论中，能量与动量守恒是 描述电磁场行为的重要工具，它们可 以用来推导和验证电磁场的各种性质 和规律。
在实际应用中，能量与动量守恒可以 用来分析电磁波的传播、散射、吸收 等过程，以及电磁场对物质的作用力 和力矩等。
电动力学第31章：矢势及其微分 方程
目 录
• 矢势的定义与性质 • 矢势的微分方程 • 矢势的散度与旋度 • 电磁场的能量与动量 • 矢势在物理问题中的应用
01 矢势的定义与性质
矢势的物理意义
描述磁场和电场的相互影响
01
矢势描述了磁场和电场之间的相互作用，是电磁场理论中的一
个重要概念。
揭示场的源和流的关系
揭示场的拓扑结构
矢势可以揭示电磁场的拓扑结构，如奇点、涡旋等特殊结构。
矢势的物理量纲
矢势具有长度量纲
矢势是一个向量，具有长度量纲，表 示了空间中某一点处的场强大小和方 向。
与速度和加速度相关联
矢势与物体的速度和加速度相关联， 描述了物体在电磁场中的运动状态。
02 矢势的微分方程
矢势的微分方程推导
带电粒子在磁场中偏转问题的动量解法
带电粒子在磁场中偏转问题的动量解法带电粒子在电场力作用下的运动和在洛伦兹力作用下的运动，有着不同的运动规律。
带电粒子在电场中运动时，通过电场力做功，使带电粒子在电场中加速和偏转，导致粒子的速度方向和速度大小发生变化；当带电粒子在匀强磁场中运动时，洛伦兹力不做功，因此粒子的速度大小始终不变，只有速度方向发生变化。
在高考压轴题中，经常出现把这二者的运动结合起来，让带电粒子分别通过电场和磁场，把两种或者两种以上的运动组合起来，全面考察我们队各种带电粒子运动规律的掌握情况。
求解这一类问题，一方面我们要按照顺序对题目上给出的运动过程进行分段分析，将复杂的问题分解为一个一个的简单熟悉的物理模型，另一方面我们也要全面准确分析相关过程中功能关系的变化，弄清楚各个状态之间的能量变化，便于我们按照动能定理或者能量守恒定律写方程。
在对带电粒子在每个场中的运动状况分析时，必须特别注意粒子到场与场交接处的运动情况，因为这通常就是一个临界状态，一定必须分析确切此刻粒子的速度大小和方向以及适当的边线关系，这通常对于步入另一个场中的运动存有决定性的影响！还有一些是两场共存或者是三场共存的问题，这些运动会更加复杂，但是他本质上是一个力学问题，只要我们掌握的相应的规律，利用力学问题的研究思路和基本规律，都是可以顺利克服的！对于带电粒子在电场、磁场、无机场中运动时，重力与否考量分后三种情况：（1）对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应当考虑其重力。
（2）在题目中存有明晰表明与否必须考量重力的，这种情况按题目建议处置比较非正规，也比较简单。
（3）不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。
类型一、拆分的电场与磁场带电粒子在电场中的加速运动可以利用牛顿第二定律结合匀变速直线运动规律，或者从电场力做功角度出发求出粒子进入下一个场的速度。
磁矢势PPT课件
P
0I
ln
Q
2
P
取Q 零点
叠加得P 点总矢势
[Az (P) Az (Q)]
0I 2
ln
Q
P
ln
Q
P
0I 2
ln
P
P
0I 2
ln
8
2019/11/7
9
涡旋电场（感生电动势）
• Maxell相信即使不存在导体回路，变化的磁场在 其周围也会激发一种电场，他称之为感应电场或 涡旋电场
• 电子运动方向与涡旋电场方向配合 好，使电子不断加速
• 如图只有第一个1/4周期内被加速
14
• 为使电子在加速过程中，绕固定圆轨道运
动，以便打靶，对磁场径向分布有要求，
即使轨道上的B值恰好等于轨道包围的面
积内B值的平均值之半
电子被涡旋
• 推导：向心运动 电子轨道处磁场
电场加速
洛 仑 兹 力
evBR
• 初始条件：v=0,B=0 对上式求积分得
mv
eR 2
B
与eRBR
mv比较
B R
1 2
B
电子感应加速器原则上不受相对论效 应影响，但因电子被加速时会辐射能量 而限制其能量进一步提高
16
2019/11/7
17
非静电力
—— 涡旋电场
10
(L)
A t
dl
E旋
(L)
dl
• 涡旋电场的性质
E势
磁矢势与电场强度的关系
磁矢势与电场强度的关系引言磁场和电场是物理学中两个基本的概念，它们的相互作用对于我们理解自然界的许多现象至关重要。
在电磁学中，我们经常研究磁场和电场的性质以及它们之间的相互关系。
本文将重点讨论磁矢势与电场强度之间的关系。
磁矢势的定义磁矢势是描述磁场的一种物理量，通常用符号A表示。
在静电学中，我们知道电场可以由电势来描述，而磁场则不能由一个标量场来完全描述，因此我们引入了磁矢势来描述磁场。
磁矢势的定义如下：其中，B是磁感应强度，μ₀是真空中的磁导率，J是电流密度，r’是磁矢势的积分路径。
磁矢势的性质磁矢势具有以下几个重要的性质：1.磁矢势的旋度等于磁场：根据安培环路定理，我们可以得到磁场的旋度等于电流密度。
而磁矢势的旋度等于磁场，因此可以写成以下的方程：这个方程表明磁矢势的旋度等于磁场。
2.磁矢势的散度等于零：根据麦克斯韦方程组的一个方程，我们可以得到磁场的散度等于零。
而磁矢势的散度等于磁场的旋度，因此可以写成以下的方程：这个方程表明磁矢势的散度等于零。
3.磁矢势的选取不唯一：由于磁矢势的定义中包含一个积分路径，因此在选取积分路径时存在不确定性。
不同的积分路径会导致不同的磁矢势，但它们都能描述同一个磁场。
磁矢势与电场强度的关系磁矢势与电场强度之间存在一定的关系。
根据麦克斯韦方程组，我们可以得到以下关系：1.磁矢势的旋度与电场强度的关系：根据麦克斯韦方程组的法拉第电磁感应定律，我们知道磁场的旋度与电场的变化率有关。
而根据磁矢势的定义，磁矢势的旋度等于磁场。
因此可以得到以下关系：这个方程表明磁矢势的旋度与电场强度的负变化率成正比。
2.磁矢势的散度与电场强度的关系：根据麦克斯韦方程组的高斯定律，我们知道电场的散度与电荷密度有关。
而根据磁矢势的定义，磁矢势的散度等于磁场的旋度。
因此可以得到以下关系： [散度关系](。
《电磁学》 矢势
B A
B dS A dl
10
e
B
̂
假设只有
向
B dS A dl A d
0 Idl
B
sin
2
Idl
sin
4π r
d
dz
0
z
̂
z0 r 2
4
r sin
0 Idl
d
z
̂
0
0
0
0 Idl
1
4
2 z2
v r
er
q
dz
0
0 Idl
1
4 02 z 2
dz
0 Idl
1
0 Idl
Az
2
2
4
4r
0 z
0 Id l
A
4r
12
通解
A A ˆ 1
或
A Az zˆ 2
则动量沿该方向的分量守恒。
例：一对平行平面电极之间有电场E，另加一个
与之正交的磁场B，电场和磁场都是均匀的。电子自
阴极K由静止状态出发，到达阳极A。对于给定的电
压U0 ，磁场有个临界值Bc ，当B超过Bc 时，电子将达
不到阳极，求Bc
电子刚好达到阳极时，X方向速度为零，
能量守恒
=
25
在 t 时间间隔内 A 的全部变化为
(1 )
( 2)
A A A
电磁感应问题中动量定理应用归类
电磁感应问题中动量定理应用归类
动量定理是牛顿力学中的基本定理之一，它描述了物体的动量变化量与作用力的关系。
在电磁感应问题中，动量定理可以用来解释一些现象，如下所述。
1. 质点在磁场中受力
当一个带电质点进入磁场区域时，它将受到一个力，称为洛伦兹力。
根据动量定理，物体的动量改变量等于作用力的积分。
因此，可以推导出洛伦兹力的方向和大小，从而解释为什么带电质点会沿着曲线路径运动。
2. 电磁感应中涡旋电场
涡旋电场是电磁感应中的一个重要概念，它可以用来解释为什么在变化的磁场中会产生感应电流。
根据动量定理，一个运动的电场具有动量，因此它可以对运动的电荷施加力。
在电磁感应中，磁场的变化会导致涡旋电场的出现，涡旋电场会对运动的电荷施加力，从而导致感应电流的产生。
3. 理解电磁波的传播
电磁波是由变化的电场和磁场所产生的。
根据动量定理，这些变化的场具有动量，因此它们可以对电荷施加力。
电磁波的传播过程可以看作是一个场的传输过程，每个时间点上，场的变化会对周围的电荷施加力。
这些力的作用导致电磁波以光速传播。
4. 电磁感应炮的设计
电磁感应炮是一种利用磁场能量进行加速的装置。
根据动量定理，物体的动量改变量等于作用力的积分，因此可以通过改变磁场的形态和大小来控制炮弹的加速和速度。
电磁感应炮的设计需要考虑磁场的强度、形状、方向和变化速率等因素，以便实现高速和精确控制。
电磁场的动量_10p
§5-1 电磁场的矢势和标势§5-2 推迟势Chap.5 电磁波的辐射Radiation of ElectromagnticWaves§5-3 电偶极辐射§5-7电磁场的动量电磁场与带电物质之间存在相互作用电磁场与带电物质之间存在相互作用，，带电物质在受到电磁场作用时动量会发生变化带电物质在受到电磁场作用时动量会发生变化。
由于动量守恒由于动量守恒，，电磁场必然也具有动量电磁场必然也具有动量。
带电物体受到的电磁力BJ E f ×+=ρ洛仑兹力密度∫∫×+=dVB J dV E r r r ρm dG fdV dt=∫r r 用代表带电物体的动量代表带电物体的动量，，根据牛顿第二定律m G r §5-7 电磁场的动量∫=dV f F r rF dtP d r r =有m edG d G dt dt=−r r全空间动量守恒要求电磁场动量若对有限区域V ，考虑电磁场通过界面发生动量转移考虑电磁场通过界面发生动量转移，，则单位时间流入界面的动量等于区域内总动量的变化率则单位时间流入界面的动量等于区域内总动量的变化率。
m e dG dG =+r r 即单位时间流入V 内的动量电磁场的动量守恒定律用场量表示洛仑兹力公式B ∇⋅=r B E t∂∇×=−∂r r ()()()()D B D E E D B H H B B Dt t∂∂=∇⋅+∇××+∇⋅+∇××−×+×∂∂r rr r r r r r r r r r 考虑均匀介质])()([2E E E E r r r r ∇⋅+×∇×=ε])()([2E D E D r r r r ∇⋅+×∇×=1()()()2E D D E E D ∇××=⋅∇−∇⋅r r r r r v 1()()()2D E D E E D =∇⋅+⋅∇−∇⋅r r r r r r1()[()]DE I E D =∇⋅−∇⋅⋅r r t r r1[()]DE I E D =∇⋅−⋅r r t r r )(D E rr ⋅∇)(D E r r ⋅∇用场量表示洛仑兹力公式()()()()D B DE E D B H H B B Dt t∂∂=∇⋅+∇××+∇⋅+∇××−×+×∂∂r rr r r r r r r r r r 1[()]2DE I E D =∇⋅−⋅r r t r r同理()D B t ∂=−×∂r r 1()[()()]2f D B DE BH I E D B H t ∂=−×+∇⋅+−⋅+⋅∂r r rr r r r t r r r r 是单位张量I tA I I A A⋅=⋅=t t v v v对任一对任一矢量有矢量有()()2T DE BH I E D B H =+−⋅+⋅r B D g ×=令⋅∇−=+V V V dV T dV g dt d dV f t 对空间体积V 积分T g t f t r r ⋅−∇=∂∂+∫∫∫⋅−=+V S V S d T dV g dt d dV f r t r r 电磁场的应力张量i. V 受到V 面S 对它作用力ii. V =单位时间流出V 的动量流∫∫∫−=+VS VdV g dt d dV f rr V e G g dV ′=∫r r 当时V →∞∫∫=′+′V V V d g dt d V d f 0r r 全空间的动量守恒定律0→⋅∫SS d T r t 证明了电磁场物质性,它满足动量守恒定律，能流密度以及能量密度之间的关系g v S vw∫平面波平均动量密度传播方向单位矢量221w E Bεµ==S cwn=v v因为电磁场具有动量因为电磁场具有动量，，电磁波入射到物体上电磁波入射到物体上，，必然对物体有作用力必然对物体有作用力，，这种力被称为辐射压力这种力被称为辐射压力。
电磁感应问题中动量定理应用归类
电磁感应问题中动量定理应用归类在电磁感应问题中，动量定理是一个非常有用的应用。
它可以用来分析电磁场和运动物体之间的相互作用，并且可以帮助我们更好地理解这些现象。
动量定理的基本原理是，物体的动量在没有外力作用时保持不变。
在电磁感应问题中，我们经常会遇到电磁场对运动物体的影响，这些影响可以通过动量定理来描述。
首先，考虑一个导体在磁场中运动的情况。
根据动量定理，该导体的动量可以用下面的公式表示：p = mv其中，p表示动量，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
当导体在磁场中运动时，它会受到磁场的作用力，这个力可以表示为：F = qvB其中，F表示作用力，q表示导体的电荷量，B表示磁感应强度。
根据牛顿第二定律，作用力等于物体的质量乘以加速度，因此可以得到导体的加速度公式：a = F/m = qvB/m接下来，我们可以将导体的加速度代入动量公式中，得到：dp/dt = m(v+av) - mv = qvBv这个公式描述了导体受到磁场作用时动量的变化情况。
可以看出，如果导体的速度垂直于磁场方向，那么将会产生一个垂直于它们之间的力，这个力将导致导体的动量发生变化。
如果导体的速度和磁场方向不垂直，则磁场对动量的影响将会产生一个沿着运动方向的分量和一个垂直于运动方向的分量。
类似地，我们也可以应用动量定理来分析电场和运动物体之间的相互作用。
在这种情况下，物体的动量可以表示为：p = γmv其中，γ表示相对论因子，m表示物体的质量，v表示物体的速度。
当物体在电场中运动时，它会受到电场力的作用，这个力可以表示为：F = qE其中，F表示作用力，q表示物体的电荷量，E表示电场强度。
由于相对论效应的存在，物体的动量在这种情况下并不是简单地等于mv，而是等于γmv。
因此，在运用动量定理时，我们需要使用修正后的动量公式。
最后，需要指出的是，动量定理在电磁感应问题中的应用非常广泛，不仅可以用来描述导体和电场的相互作用，还可以用来分析电磁波和物质之间的相互作用，以及其他一些相关的问题。
电动力学 电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量ppt课件
电磁场的动量
p3
S1T13
S
2T23
S3T33
写成矢量式：P S T
这就是经过面元ΔS流出旳动量。所以，经过闭合曲
面流出旳总动量为
T ds
S
张量 T 旳分量Tij 旳意义是经过垂直于i 轴旳单位面积
流过旳动量j 分量。
二、Maxwell stress tensor进一步讨论
为了对Maxwell应力张量旳进一步了解，下面讨论电场 中旳几种特殊面上旳力。
2) 若面法线方向旳单位矢量n垂直于电场E，则单位面积上旳
电磁力为
P电磁
nT
n [0 (EE
1 2
E 2I )]
n
0
EE
1 2
0n
E
2I
1 2
0E
2n
其中用到 n E 0 , n I n
成果表白单位面积上旳电磁力P电磁沿单位面积旳法线方向， 与电场方向垂直，负号阐明是压力，故垂直于电场线方向
Maxwell应力张量旳分量物理含义：
z C
△S
O
A
y B
x
设ABC为一面元ΔS，这面元旳三个分量为三角形OBC、
OCA和OAB旳面积，OABC是一种体积元△V，
z
经过界面OBC单位面积流入
C
体内旳动量三个分量为：
T11、 T12 、 T13 ；
△S
经过界面OCA单位面积流入
O
体内旳动量三个分量为： A
(
E
)
E
( EE
)
1
(E
E
)
(
EE
)
1
(E
2
I)
2
2
( EE
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p = mv + qA = 常量
证明用到数学场论，可以不管（ 证明用到数学场论，可以不管（186-191） ）
磁场中带电粒子的势动量
• 从加速器的带电粒子的运动方程
∂A d (mv ) dA = −eE旋 = qE旋 = − q = −q dt ∂t dt
d ( mv) dA d +q = 0 ⇒ ( mv + A) = 0 dt dt dt
B竖直向上 A在ϕ方向上 ϕ 轨道上A相同
⇒ p = mv + qA = 常量 ⇒ p = mv + qA = 常量
正则动量 动力动量 磁势动量
证明用到数学场论，可以不管
动量守恒定律
Hale Waihona Puke • 磁场中,电荷 q 磁场中,
p = mv + qA
qA :磁矢动量(潜在的动量) 磁矢动量(潜在的动量)
1 2 W = mv + qU = 常量 2
mv :动力动量
• 带电粒子在电、磁场中运动动量守恒. 带电粒子在电、磁场中运动动量守恒.