函数定义域的综合问题(一轮复习教案)
高中数学单元复习教案
高中数学单元复习教案
主题：函数
目标：通过本次复习，学生能够掌握函数的基本概念、性质和解题方法。
一、函数的基本概念
1. 函数的定义和表示方法
2. 函数的定义域和值域
3. 函数的图像和性质
二、函数的性质
1. 奇函数和偶函数的性质
2. 函数的单调性和最值
3. 函数的周期性和奇偶性
三、函数的解题方法
1. 求函数的导数和导函数
2. 求函数的极值和拐点
3. 求函数的零点和不等式解法
四、综合练习
1. 完成选择题、填空题和解答题
2. 解答实际问题中的函数应用题
五、作业布置
1. 完成课堂上的习题
2. 预习下节课的内容
六、自主学习
1. 利用课外时间复习函数相关知识
2. 尝试解决一些较难的函数题目
备注：本次复习教案主要围绕函数这一重要概念展开，学生需要掌握函数的基本定义和性质，能够熟练运用函数的解题方法。
希望学生能够认真复习，做到知识点全面掌握，能够灵活运用。
高考数学一轮复习教学案函数及其表示(含解析)
第一节函数及其表示[知识能否忆起]1．函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A 到集合B的一个映射．4．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．[小题能否全取]1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于()A．－2x＋1B．2x－1C．2x－3 D．2x＋7解析：选D f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.2．(·江西高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：选D f (3)＝23，f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 3．已知集合A ＝[0,8]，集合B ＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝18xB ．f ：x →y ＝14xC ．f ：x →y ＝12xD ．f ：x →y ＝x解析：选D 按照对应关系f ：x →y ＝x ，对A 中某些元素(如x ＝8)，B 中不存在元素与之对应．4．已知f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 2＋5x ，则f (x )＝____________. 解析：令t ＝1x ，则x ＝1t .所以f (t )＝1t 2＋5t .故f (x )＝5x ＋1x 2(x ≠0)．答案：5x ＋1x2(x ≠0)5．(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________.解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.即f (x )＝x 2－4x ＋3.所以f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8. 答案：81.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A 与集合B 只能是非空数集，即函数是非空数集A 到非空数集B 的映射．(2)映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y ＝x 与y ＝x ＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y ＝sin x 与y ＝cos x ，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．3．求分段函数应注意的问题在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．函数的基本概念典题导入[例1] 有以下判断：(1)f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一函数；(2)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； (3)f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；(4)若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________．[自主解答] 对于(1)，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于(2)，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于(3)，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于(4)，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是(2)(3)． [答案] (2)(3)由题悟法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示同一函数．以题试法1．试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝x－2·x＋2，y＝x2－4；(3)y＝x，y＝3t3；(4)y＝|x|，y＝(x)2.解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y＝x－2·x＋2的定义域为{x|x≥2}．y＝x2－4的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故它们不是同一函数．(3)y＝x，y＝3t3＝t，它们的定义域和对应关系都相同，故它们是同一函数．(4)y＝|x|的定义域为R，y＝(x)2的定义域为{x|x≥0}，故它们不是同一函数．求函数的解析式典题导入[例2] (1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． [自主解答] (1)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)． (2)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1，代入得f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg 2x －1(x >1)．(3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．由题悟法函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式(如例(1))；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(如例(3))；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(如例(2))；(4)方程思想：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )(如A 级T6)．以题试法2．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式．解：(1)法一：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又∵方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.分 段 函 数典题导入[例3] (·广州调研考试)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈(－∞，1)，x 2，x ∈[1，＋∞)，若f (x )>4，则x 的取值范围是______．[自主解答] 当x <1时，由f (x )>4，得2－x >4，即x <－2；当x ≥1时，由f (x )>4得x 2>4，所以x >2或x <－2， 由于x ≥1，所以x >2. 综上可得x <－2或x >2.[答案] (－∞，－2)∪(2，＋∞)若本例条件不变，试求f (f (－2))的值． 解：∵f (－2)＝22＝4， ∴f (f (－2))＝f (4)＝16.由题悟法求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．以题试法3.(·衡水模拟)已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________． 解析：由图象知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎨⎧32x ，0≤x ≤1，3－32x ，1≤x ≤21．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2 B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100答案：D2．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：选D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}．3．(·安徽高考)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C 对于选项A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于选项B ，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x ＜0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x ＜0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于选项D ，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )；对于选项C ，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos (πx )，x >0，f (x ＋1)＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．3解析：选D f ⎝⎛⎭⎫43＝12，f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝52，f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝3. 5．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )解析：选C 从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．6．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3解析：选B 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1.① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1.② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3， 即f (x )＝x ＋1.7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 解析：由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋p ＋q ＝0，22＋2p ＋q ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3，q ＝2.故f (x )＝x 2－3x ＋2.所以f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案：68．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．解析：由题知，f (1)＝2＋1＝3，f (f (1))＝f (3)＝32＋6a ，若f (f (1))>3a 2，则9＋6a >3a 2，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：(－1,3)9．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．答案：②10．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．解：由f (2)＝1得22a ＋b＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，又因方程有唯一解，故1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2x x ＋2. 11.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y ＝f (x )的函数解析式．解：当x ∈[0,30]时，设y ＝k 1x ＋b 1， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝115，b 1＝0.即y ＝115x .当x ∈(30,40)时，y ＝2； 当x ∈[40,60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2.即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎨⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈(30，40)，110x －2，x ∈[40，60].12．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解：(1)点A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点B 表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB 上的点表示亏损，AB 延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价． (3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．1．(·北京高考)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16解析：选D 因为组装第A 件产品用时15分钟， 所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30.② 联立①②解得c ＝60，A ＝16.2．(·江西红色六校联考)具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.3．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有 a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x . ∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1>2x ＋5，即x 2－3x －4>0， 解得x >4或x <－1.故原不等式解集为{x |x >4，或x <－1}．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.解析：∵f (0)＝3×0＋2＝2，f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a＝2.答案：22．若函数的定义域为{x|－3≤x≤6，且x≠4}，值域为{y|－2≤y≤4，且y≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．解：本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示．3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x.(1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析式．解：(1)因为对任意x∈R有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，所以f(f(2)－22＋2)＝f(2)－22＋2，又f(2)＝3，从而f(1)＝1.若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，即f(a)＝a.(2)因为对任意x∈R，有f(f(x)－x2＋x)＝f(x)－x2＋x，又有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，故对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0.在上式中令x＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0.又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝0，故x0＝0或x0＝1.若x0＝0，则f(x)＝x2－x，但方程x2－x＝x有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故x0≠0.若x0＝1，则有f(x)＝x2－x＋1，易证该函数满足题设条件．综上，所求函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1.。
2025新高考数学一轮复习函数性质的综合应用教案
∴ -1 ≥ 0, 或 -1 ≤ 0, 解得 1≤x≤3 或-1≤x≤0,
-1 ≤ 2
-1 ≥ -2,
∴满足 xf(x-1)≥0 的 x 的取值范围是[-1,0]∪[1,3],故选 D.
规律方法
综合运用奇偶性与单调性解题的方法技巧
(1)比较大小:先利用奇偶性将不在同一单调区间上的自变量的函数值转化
又因为f(2x+1)是奇函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称,
于是函数f(x)的周期为T=4×|2-1|=4.
由于f(2x+1)是奇函数,所以f(2×0+1)=f(1)=0,而f(x+2)是偶函数,
所以f(x+2)=f(-x+2),令x=1代入得f(3)=f(1)=0,因此f(-1)=0,故选B.
(2)当函数图象具有对称中心时,在对称中心两侧的单调性相同;当函数图
象具有对称轴时,在图象的对称轴两侧的单调性相反.
2.关于函数奇偶性与周期性的常用结论
(1)若f(a-x)=f(x)且f(x)为偶函数,则f(x)的周期为a;
(2)若f(a-x)=f(x)且f(x)为奇函数,则f(x)的周期为2a;
(3)若f(x+a)与f(x+b)(a≠b)都是偶函数,则f(x)的周期是2|a-b|;
[对点训练1](2024·江西赣州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+1)
因此|x-1|>1,解得x>2或x<0,即解集为(-∞,0)∪(2,+∞),故选B.
(3)(2020·新高考Ⅰ,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则
满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( D )
高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2 1 第2课时 函数的定义域与值域
大一轮复习讲义
题型一 函数的定义域
1.函数f(x)＝ln(4x－x2)＋x－1 2 的定义域为
A.(0,4)
B.[0,2)∪(2,4]
√C.(0,2)∪(2,4)
D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析 要使函数有意义， 4x－x2>0，
则x－2≠0， 解得0<x<4且x≠2.
师生共研
(2)y＝2xx－＋31；
解 (分离常数法)y＝2xx－＋31＝2x－x－33＋7＝2＋x－7 3， 显然x－7 3≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
(3)y＝2x－ x－1；
解 (换元法)设 t＝ x－1，则 x＝t2＋1，且 t≥0， ∴y＝2(t2＋1)－t＝2t－142＋185， 由 t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数 的值域为185，＋∞.
3.若函数f(x)的定义域为[0,8]，则函数g(x)＝ f2x 的定义域为_[_0_,_3_) _. 8－2x
解析 依题意有08≤－22xx>≤0，8， 解得0≤x<3， ∴g(x)的定义域为[0,3).
思维升华
(1)根据具体的函数解析式求定义域的策略 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合， 求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式 (组)的解集即可. (2)求抽象函数的定义域的策略 ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等 式a≤g(x)≤b求出； ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b] 上的值域.
2
∴xx－ －11>≤02，， 解得1<x≤3.
届数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第7节函数的图象教学案含解析
第7节函数的图象考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.知识梳理1。
利用描点法作函数的图象步骤：(1）确定函数的定义域；(2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线。
2.利用图象变换法作函数的图象（1)平移变换（2)对称变换y＝f（x)的图象错误!y＝－f（x）的图象;y＝f（x）的图象错误!y＝f（－x)的图象；y＝f（x）的图象错误!y＝－f（－x)的图象；y＝a x（a>0，且a≠1）的图象错误!y＝log a x(a〉0,且a≠1)的图象. (3)伸缩变换y＝f（x)错误!y＝f（ax).y＝f（x)错误!y＝Af(x)。
（4）翻折变换y＝f(x)的图象错误!y＝|f（x)｜的图象；y＝f(x)的图象错误!y＝f（|x|)的图象.[常用结论与微点提醒］1.记住几个重要结论(1）函数y＝f(x）与y＝f（2a－x)的图象关于直线x＝a对称。
（2）函数y＝f(x)与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点(a，b）中心对称.（3)若函数y＝f（x）对定义域内任意自变量x满足：f（a＋x）＝f(a－x),则函数y＝f（x)的图象关于直线x＝a对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x．而言,如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3。
图象的上下平移仅仅是相对于．．．y．而言的，利用“上减下加”进行。
诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√"或“×”）(1）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝｜f(x）｜与y＝f（|x｜)的图象相同.（）（2)函数y＝af(x)与y＝f(ax）（a〉0且a≠1）的图象相同.（）(3)函数y＝f(x)与y＝－f（x)的图象关于原点对称.(）（4)若函数y＝f(x）满足f(1＋x)＝f（1－x)，则函数f（x)的图象关于直线x＝1对称。
高中一轮复习教案数学
高中一轮复习教案数学第一课：函数及其性质
1.1 函数的定义和性质
概念：函数的定义和表示方法
性质：单调性、奇偶性、周期性等
1.2 函数的基本变换
平移、翻转、缩放等基本函数的变换方法
例题：给出函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像1.3 复合函数
概念：复合函数的定义和计算方法
例题：计算复合函数的值，并分析其性质
1.4 反函数
概念：反函数的存在条件及求解方法
例题：给定函数，求其反函数，并验证是否合理
第二课：三角函数及其应用
2.1 三角函数的概念与性质
正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质
例题：解三角函数方程，证明恒等式等
2.2 三角函数的图像与变换
三角函数的图像特征及平移、翻转、缩放等变换规律
例题：给定函数图像，要求根据变换规律求新函数的图像2.3 三角函数的应用
三角函数在几何、物理等领域的应用
例题：实际问题中的三角函数应用
第三课：导数与微分
3.1 导数的概念与性质
导数的定义、导数与函数图像的关系等基本性质
例题：求函数的导数，研究导数的性质
3.2 导数的计算
常见函数的导数计算方法
例题：计算给定函数的导数，并分析其变化规律
3.3 微分的应用
微分的定义及在近似计算、最值问题等方面的应用
例题：利用微分求函数的极值点，解几何问题等
以上是高中数学一轮复习的教案范本，希望对你的备考有所帮助。
祝你取得优异的成绩！。
高考数学第一轮复习教案-专题2函数概念与基本初等函数
反函数的定义
设函数 y f (x)(x A) 的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表
高考数学第一轮复习教案汇总【精华】
专题二 函数概念与基本初等函数
一、考试内容： 映射、函数、函数的单调性、奇偶性． 反函数．互为反函数的函数图像间的关系． 指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数． 对数．对数的运算性质．对数函数． 函数的应用． 二、考试要求： （1）了解映射的概念，理解函数的概念． （2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法． （3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像 和 性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 三、命题热点
y f 1(x)
（二）函数的性质 函数的单调性
定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.
奇函 数的定 义：如果 对于函 数f(x)的定 义域内 任意一 个x,都有 f(-x)=-f(x),那么 函数f(x)就叫 做奇函 数.
求函数值域的综合应用(一轮复习教案)
学习过程一、复习预习1.函数的值域1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2．确定函数的值域的原则①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
二、知识讲解常见函数的值域：1 一次函数的)0(≠+=a b ax y 的定义域为R ，值域为R ，对于一个R 中的任意一个数，对R 中都有为唯一的数与它相对应。
2 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，值域为B 。
当0>a 时，}44{2ab ac y y B -≥=，当0<a 时，}44{2ab ac y y B -≤=，对R 中都有为唯一的数与它相对应。
3反比例函数()0k y k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 求函数值域的方法：观察法，配方法，换元法，分离常数法,反解法，判别式法等。
三、例题精析考点一观察法已知常见的初等函数，一次函数，二次函数，反比例函数的值域是特定的。
【例题1】求4+y的值域。
=x【答案】),0[+∞【解析】：函数的定义域为4-≥x，即0≥y。
【例题2】求3)(2+2xf的值域x+-=x【答案】：),2[+∞【解析】：已知函数的定义域为R，22)(23(2)12≥x=xf。
-xx=+--++【例题3】求1)(++=x x x f 的值域。
【答案】：),1[+∞-【解析】：令x t t x t =-≥+=1),0(12，1,0,45)21(122-≥≥-+=+-=y t t t t y考点四 分离常数法【例题4】求112)(+-=x x x f 的值域【答案】：2≠y【解析】：因为1321322112)(+-=+-+=+-=x x x x x x f ，2132,01≠+-≠+x x 。
专题四函数性质的综合问题(2021年高考数学一轮复习专题)
专题四函数性质的综合问题一、题型全归纳题型一 函数的奇偶性与单调性【题型要点】函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f (x 1)>f (x 2)或f (x 1)<f (x 2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．【例1】已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 13，b ＝(ln 3)2，c ＝ln 3，则( ) A ．f (a )>f (b )>f (c ) B ．f (b )>f (a )>f (c ) C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )【解析】 由题意易知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，又因为|a |＝ln 3>1，b ＝(ln 3)2>|a |，0<c ＝ln 32<|a |，所以f (c )>f (|a |)>f (b )．又由题意知f (a )＝f (|a |)，所以f (c )>f (a )>f (b )．故选C.题型二 函数的奇偶性与周期性【题型要点】周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．【例1】(2020·武昌区调研考试)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且函数y ＝f (x －1)为偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则⎪⎭⎫⎝⎛25f ＝ ．【解析】解法一：因为f (x )是R 上的奇函数，y ＝f (x －1)为偶函数，所以f (x －1)＝f (－x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x )，即f (x )的周期T ＝4，因为0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，所以⎪⎭⎫⎝⎛25f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛4-25f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+211-f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ＝－18. 解法二：因为f (x )是R 上的奇函数，y ＝f (x －1)为偶函数，所以f (x －1)＝f (－x －1)＝－f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，由题意知，当－1≤x <0时，f (x )＝x 3，故当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 3，当1<x ≤3时，－1<x －2≤1，f (x )＝－(x －2)3，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛25f ＝32-25-⎪⎭⎫⎝⎛＝－18.题型三 函数的综合性应用【题型要点】求解函数的综合性应用的策略(1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；偶函数一定有f (|x |)＝f (x )”在解题中的应用．(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．【例1】(2020·陕西榆林一中模拟)已知偶函数f (x )满足f (x )＋f (2－x )＝0，现给出下列命题：①函数f (x )是以2为周期的周期函数；②函数f (x )是以4为周期的周期函数；③函数f (x －1)为奇函数；④函数f (x －3)为偶函数，其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 偶函数f (x )满足f (x )＋f (2－x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (2－x )，f (x ＋2)＝－f (x )， f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，可得f (x )的最小正周期为4，故①错误，②正确； 由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋1)＝－f (x －1)．又f (－x －1)＝f (x ＋1)，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，故f (x －1)为奇函数，③正确； 若f (x －3)为偶函数，则f (x －3)＝f (－x －3)，又f (－x －3)＝f (x ＋3)，所以f (x ＋3)＝f (x －3)，即f (x ＋6)＝f (x )，可得6为f (x )的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误，故选B.题型四 函数性质中“三个二级”结论的灵活应用结论一、奇函数的最值性质【题型要点】已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.【例1】设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝ ．【解析】函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，所以M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.结论二、抽象函数的周期性(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .(3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .【例2】已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (1)＝2，则f (17)＝ ．【解析】由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数． 由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )，所以f (x )是最小正周期为8的偶函数，所以f (17)＝f (1＋2×8)＝f (1)＝2.结论三、抽象函数的对称性已知函数f (x )是定义在R 上的函数．(1)若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称，特别地，若f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称．【例2】(2020·黑龙江牡丹江一中期末)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，下面关于f (x )的判定，其中正确命题的个数为( ) ①f (4)＝0；②f (x )是以4为周期的函数；③f (x )的图象关于x ＝1对称；④f (x )的图象关于x ＝2对称． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解析】 因为f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，f (0)＝0，因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是以4为周期的周期函数，f (4)＝f (0)＝0， 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f [(x ＋1)＋1]＝f (－x )，令t ＝x ＋1，则f (t ＋1)＝f (1－t )，所以f (x ＋1)＝f (1－x )， 所以f (x )的图象关于x ＝1对称，而f (2＋x )＝f (2－x )显然不成立．故正确的命题是①②③，故选C.二、高效训练突破 一、选择题1.(2020·洛阳一中月考）已知定义域为(－1，1)的奇函数f (x )是减函数，且f (a －3)＋f (9－a 2)<0，则实数a 的取值范围是( )A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2，3)【解析】：由f (a －3)＋f (9－a 2)<0得f (a －3)<－f (9－a 2)．又由奇函数性质得f (a －3)<f (a 2－9)．因为f (x )是定义域为(－1，1)的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －3<1，－1<a 2－9<1，a －3>a 2－9，解得22<a <3.2．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－98D ．98【解析】：由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的周期函数，f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)． 由f (1)＝2×12＝2得f (－1)＝－f (1)＝－2，所以f (2 019)＝－2.故选A.3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝( ) A ．－6 B ．6 C ．4D ．－4【解析】 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.4.(2020·广东六校第一次联考)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )及f (x )＝－f (－x )，且在[0，1]上有f (x )＝x 2，则⎪⎭⎫⎝⎛212019f ＝( ) A.94 B.14 C ．－94D ．－14【解析】：函数f (x )的定义域是R ，f (x )＝－f (－x )，所以函数f (x )是奇函数．又f (x )＝f (2－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝－f (2＋x )＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的奇函数，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛212019f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21-2020f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f .因为在[0，1]上有f (x )＝x 2，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛＝14， 故⎪⎭⎫ ⎝⎛212019f ＝－14，故选D. 5.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛31f 的x 的取值范围是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛3231， B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡3231， C.⎪⎭⎫⎝⎛3221，D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡3221，【解析】：因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)<⎪⎭⎫⎝⎛31f ，所以|2x －1|<13，所以13<x <23.6.(2020·石家庄市模拟(一))已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝4x －1，则在(1，3)上，f (x )≤1的解集是( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛231，B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2523，C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡323，D ．[2，3)【解析】因为0≤x ≤1时，f (x )＝4x －1，所以f (x )在区间[0，1]上是增函数，又函数f (x )是奇函数，所以函数f (x )在区间[－1，1]上是增函数，因为f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )在区间(1，3)上是减函数，又⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝1，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ＝1，所以在区间(1，3)上不等式f (x )≤1的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡323，，故选C.6.(2020·黑龙江齐齐哈尔二模)已知函数f (x )是偶函数，定义域为R ，单调增区间为[0，＋∞)，且f (1)＝0，则(x －1)f (x －1)≤0的解集为( ) A ．[－2，0] B ．[－1，1]C ．(－∞，0]∪[1，2]D ．(－∞，－1]∪[0，1]【解析】：由题意可知，函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，且f (－1)＝0，令x －1＝t ，则tf (t )≤0，当t ≥0时，f (t )≤0，解得0≤t ≤1；当t <0时，f (t )≥0，解得t ≤－1，所以0≤x －1≤1或x －1≤－1，所以x ≤0或1≤x ≤2.故选C. 7.对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是( ) A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4D ．1和2【解析】：设g (x )＝a sin x ＋bx ，则f (x )＝g (x )＋c ，且函数g (x )为奇函数．注意到c ∈Z ，所以f (1)＋f (－1)＝2c 为偶数．故选D.8.(2020·甘肃甘谷一中第一次质检)已知定义在R 上的函数f (x )满足条件：①对任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对任意的x 1，x 2∈[0，2]且x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)；③函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，则下列结论正确的是( )A ．f (7)<f (6.5)<f (4.5)B ．f (7)<f (4.5)<f (6.5)C ．f (4.5)<f (7)<f (6.5)D ．f (4.5)<f (6.5)<f (7)【解析】：因为对任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，所以函数是以4为周期的周期函数，因为函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )的图象关于x ＝2对称， 因为x 1，x 2∈[0，2]且x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在[0，2]上为增函数， 所以函数f (x )在[2，4]上为减函数．易知f (7)＝f (3)，f (6.5)＝f (2.5)，f (4.5)＝f (0.5)＝f (3.5)，则f (3.5)<f (3)<f (2.5)，即f (4.5)<f (7)<f (6.5)．9．(2020·甘肃静宁一中一模)函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛25f <⎪⎭⎫ ⎝⎛27fB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛27f <⎪⎭⎫ ⎝⎛25f <f (1)C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛27f <f (1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛25fD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛25f <f (1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛27f【解析】：函数f (x ＋2)是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称，则⎪⎭⎫⎝⎛25f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛27f ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ，函数y ＝f (x )在[0，2]上单调递增，则有⎪⎭⎫ ⎝⎛21f <f (1)<⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛27f <f (1)<⎪⎭⎫⎝⎛25f .故选C. 10.(2020·辽宁沈阳东北育才学校联考(二))函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (－1)＝0，若对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有x 1f （x 1）－x 2f （x 2）x 1－x 2<0成立，则不等式f (x )<0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－1，0)∪(0，1)C ．(－∞，－1)∪(0，1)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)【解析】：令F (x )＝xf (x )，因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以F (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝F (x )， 所以F (x )是偶函数，因为f (－1)＝0，所以F (－1)＝0，则F (1)＝0，因为对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2时，都 有x 1f （x 1）－x 2f （x 2）x 1－x 2<0成立，所以F (x )在(－∞，0)上单调递减，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以不等式f (x )<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)，故选C.二、填空题1.若偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则f (x －2)>0的条件为 ．【解析】：由f (x )＝x 3－8(x ≥0)，知f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0.所以，由已知条件可知f (x －2)>0⇒f (|x －2|)>f (2)．所以|x －2|>2，解得x <0或x >4. 2.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是________； 【解析】 易知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )为偶函数．当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，易知此时f (x )单调递增．所以f (x )>f (2x －1)⇒f (|x |)>f (|2x －1|)，所以|x |>|2x －1|，解得13<x <1.3.偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝ ． 【解析】：因为f (x )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)．又f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (1)＝f (3)．所以f (－1)＝3.4.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝1f (x )，当x ∈[0，2)时，f (x )＝x ＋e x ，则f (2020)＝________.【解析】因为定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝1f (x )，所以f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4.当x ∈[0,2)时，f (x )＝x ＋e x ，所以f (2020)＝f (505×4＋0)＝f (0)＝0＋e 0＝1. 5.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝ ．【解析】：根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.6.设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为 ．【解析】：因为f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f (1)＝0，所以f (－1)＝－f (1)＝0，且在(－∞，0)上也是增函数．因为f （x ）－f （－x ）x ＝2·f （x ）x <0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f （x ）<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f （x ）>0，解得x ∈(－1，0)∪(0，1)． 三、解答题1.函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论．【解析】：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， 所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．2.已知函数f (x )对任意x ∈R 满足f (x )＋f (－x )＝0，f (x －1)＝f (x ＋1)，若当x ∈[0，1)时，f (x )＝a x ＋b (a ＞0且a ≠1)，且⎪⎭⎫ ⎝⎛23f ＝12.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )的值域．【解析】：(1)因为f (x )＋f (－x )＝0，所以f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数． 因为f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (0)＝0，即b ＝－1.又⎪⎭⎫⎝⎛23f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ＝⎪⎭⎫⎝⎛21-f ＝1－a ＝12，解得a ＝14. (2)当x ∈[0，1)时，f (x )＝a x ＋b ＝x⎪⎭⎫⎝⎛41－1∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡043-，，由f (x )为奇函数知，当x ∈(－1，0)时，f (x )∈⎪⎭⎫ ⎝⎛430，， 又因为f (x )是周期为2的周期函数，所以当x ∈R 时，f (x )∈⎪⎭⎫⎝⎛4343-，.。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：函数的概念及其表示
§2.1函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)(2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×)(3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×)(4)函数f (x )－1，x ≥0，2，x <0的定义域为R .(√)教材改编题1．(多选)下列所给图象是函数图象的是()答案CD 解析A 中，当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；B 中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；CD 中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．下列各组函数表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x －1与y ＝－1xC ．y ＝2x 2与y ＝2xD ．y ＝2x －1与v ＝2t －1答案D 解析y ＝x －1的定义域为R ，y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A 不正确；y ＝x －1＝1x 与y ＝－1x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B 不正确；y ＝2x 2＝2|x |与y ＝2x 的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C 不正确；y ＝2x －1与v ＝2t －1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D 正确．3．已知函数f (x )x ，x >0，x ，x ≤0，则函数f ()A ．3B ．－3 C.13D ．－13答案C解析由题意可知，f ln 13＝－ln 3，所以f f (－ln 3)＝e －ln 3＝13.题型一函数的定义域例1(1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为()A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]答案C解析＋1>0，x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，故定义域为(－1,1)．(2)已知函数f (x )的定义域为(－4，－2)，则函数g (x )＝f (x －1)＋x ＋2的定义域为________．答案[－2，－1)解析∵f (x )的定义域为(－4，－2)，要使g (x )＝f (x －1)＋x ＋2有意义，4<x －1<－2，＋2≥0，解得－2≤x <－1，∴函数g (x )的定义域为[－2，－1)．思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x 的取值集合；(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(3)若复合函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则函数f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1ln (x －1)＋3－x 的定义域为()A ．(1,3]B ．(1,2)∪(2,3]C ．(1,3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，3)答案B解析－1>0，－1≠1，－x ≥0，所以1<x <2或2<x ≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．(2)(2023·南阳检测)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是()A ．{x |x >2或x <0}|12≤x <2C ．{x |x >2}|x ≥12答案B 解析要使f (x )＝lg 1－x 1＋x 有意义，则1－x 1＋x>0，即(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．要使g (x )＝f (x －1)＋2x －1有意义，1<x －1<1，x －1≥0，解得12≤x <2，所以函数g (x )|12≤x <2题型二函数的解析式例2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式．解(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f x 2＋1x2＝－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17.即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，＝2，a ＋b ＝17，＝2，＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是() A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10答案A解析f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.(2)若f ＝x1－x，则f(x)＝________.答案1x－1(x≠0且x≠1)解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1)．(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f3x，则f(2)等于()A．－3B．3C．－1D．1答案A解析f(x)＋2f3x，①则f2f(x)＝－3x，②联立①②解得f(x)＝－2x－x，则f(2)＝－22－2＝－3.题型三分段函数例3(1)已知函数f(x)x－1)，x>0，ln(x＋e)＋2，x≤0，则f(2024)的值为() A．－1B．0C．1D．2答案C解析因为f (x )x －1)，x >0，ln (x ＋e )＋2，x ≤0，所以f (2024)＝f (2023)＝f (2022)＝…＝f (1)，又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f (2024)＝1.(2)已知函数f (x )x 2－3x ＋2，x <－1，x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f (a )＝4，<－1，a 2－3a ＋2＝4≥－1，a －3＝4，解得a ＝－2或a ＝5.若f (a )≥2，<－1，a 2－3a ＋2≥2≥－1，a －3≥2，解得－3≤a <－1或a ≥4，∴a 的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＋2，x ≤0，＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于()A ．0或1B ．－1或1C ．0或－2D ．－2或－1答案D 解析令f (a )＝t ，则f (t )＝2，可得t ＝0或t ＝1，当t ＝0时，即f (a )＝0，显然a ≤0，因此a ＋2＝0⇒a ＝－2，当t ＝1时，即f (a )＝1，显然a ≤0，因此a ＋2＝1⇒a ＝－1，综上所述，a ＝－2或－1.(2)(2023·重庆质检)已知函数f (x )2x ，x >1，2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案－12，＋∞解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，x ＋1>2，f (x )<f (x ＋1)等价于log 2x <log 2(x ＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f (x )<f (x ＋1)－12，＋课时精练1．函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是()A ．(2，＋∞)B ．(2,3)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)答案D 解析∵f (x )＝lg(x －2)＋1x －3，－2>0，－3≠0，解得x >2，且x ≠3，∴函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．2．(2023·北京模拟)已知集合A ＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤4}，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的函数是()A ．y ＝x ＋1B ．y ＝e xC ．y ＝x 2D ．y ＝|x |答案B 解析对于A ，当x ＝－1时，由y ＝x ＋1得y ＝0，但0∉B ，故A 错误；对于B ，因为从A ＝{x |－2<x ≤1}中任取一个元素，通过y ＝e x 在B ＝{x |0<x ≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B 正确；对于C ，当x ＝0时，由y ＝x 2得y ＝0，但0∉B ，故C 错误；对于D ，当x ＝0时，由y ＝|x |得y ＝0，但0∉B ，故D 错误．3．已知f (x 3)＝lg x ，则f (10)的值为()A ．1 B.310 C.13 D.1310答案C 解析令x 3＝10，则x ＝1310，∴f (10)＝lg 1310＝13.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h ，注水时间为t ，则下面选项中最符合h 关于t 的函数图象的是()答案A 解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A 符合．5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()－∞，32D.32，＋∞答案B解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x ∞，32.6．已知函数f (x )x 2＋2x ＋3，x ≤2，＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，若函数f (x )的值域是(－∞，4]，则实数a 的取值范围是()B.22，C ．(1，2]D ．(1，2)答案B 解析当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3取得最大值4，所以当x ≤2时，函数f (x )的值域是(－∞，4]，所以当x >2时，函数f (x )＝6＋log a x 的值域为(－∞，4]的子集，当a >1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递增，此时f (x )>f (2)＝6＋log a 2>6，不符合题意，当0<a <1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递减，此时f (x )<f (2)＝6＋log a 2≤4，即log a 2≤－2，所以a 2≥12，可得22≤a <1，所以实数a 的取值范围是22，7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是()A ．y ＝－x ＋1B ．133,0,1,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩C ．y ＝ln|x |D ．y ＝2x －1x －2答案ABD 解析对A ，函数的定义域和值域都是R ；对B ，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R ；对C ，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ；对D ，因为函数y ＝2x －1x －2＝2＋3x －2，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．所以ABD 是定义域和值域相同的函数．8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，则下列对应法则f 满足函数定义的有()A ．f (x 2)＝|x |B ．f (x 2)＝xC ．f (cos x )＝xD ．f (e x )＝x 答案AD 解析令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝|±t |＝t ，故A 符合函数定义；令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝±t ，设t ＝4，f (t )＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B 不符合函数定义；设t ＝cos x ，当t ＝12时，x 可以取±π3等无数多个值，故C 不符合函数定义；令t ＝e x (t >0)，f (t )＝ln t ，故D 符合函数定义．9．已知函数f (x )x ，x <0，x －π)，x >0，则f ________.答案12解析由已知得f f f f f ＝12.10．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案x 2－1(x ≥0)解析令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．11．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________．答案[－1,0]解析2≤2x ≤2，－2x ≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．12．已知f (x )x ＋3，x >0，2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________．答案1或－3[－5，－1]解析①当a >0时，2a ＋3＝5，解得a ＝1；当a ≤0时，a 2－4＝5，解得a ＝－3或a ＝3(舍)．综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1.由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1.13．(2022·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，则f (1)等于()A ．－1B ．1C ．－13 D.13答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，∴当x ＝0时，f (1)＋2f (0)＝1，①当x ＝1时，f (0)＋2f (1)＝2，②②×2－①，得3f (1)＝3，解得f (1)＝1.14．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )3，x ≤0，x >0，若f (a －3)＝f (a ＋2)，则f (a )等于()A ．2 B.2C ．1D ．0答案B解析作出函数f (x )的图象，如图所示．因为f (a －3)＝f (a ＋2)，且a －3<a ＋2，－3≤0，＋2>0，即－2<a ≤3，此时f (a －3)＝a －3＋3＝a ，f (a ＋2)＝a ＋2，所以a ＝a ＋2，即a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1(不满足a ＝a ＋2，舍去)，则f (a )＝ 2.15．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n 的取值范围是()A．(－2,2)B．(－2,0)∪(0,2)C．[－2,2]D．(－2，2)答案B解析当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，所以M(x)||－1，x≥1或x≤－1，1－x2，－1<x<1，若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1，当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2，综上，－2<n<0或0<n<2.16．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是() A．F(F(x))＝0B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形答案BD解析∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－33，x2＝0，x3＝33，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A－33，0，B(0,1)，C33，0△ABC为等边三角形，故D正确．。
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章第3课时 函数性质的综合问题
D.6
解析 ∵f(4－x)＝－f(x)，
∴f(x)的图象关于点(2,0)对称，
∴f(－x)＝－f(x＋4)，
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x).
∴T＝4.
(2)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的 图象关于点(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为_4___.
当fxx<0 时，xf(x)<0，即 f(x)的图象在二、四象限， 即－2<x<0或0<x<2.
思维升华
解决不等式问题，一定要充分利用已知条件，一是把已知不等式化成 f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性解不等式；二是利用函数的 性质，画出f(x)的图象，利用图象解不等式.
课时精练
KESHIJINGLIAN
基础保分练 1.函数f(x)＝x＋ 9 (x≠0)是
x A.奇函数，且在(0,3)上是增函数
√B.奇函数，且在(0,3)上是减函数
C.偶函数，且在(0,3)上是增函数 D.偶函数，且在(0,3)上是减函数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 由①知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，由②知f(x)为奇函数.
重点高三数学一轮复习教案函数及其性质
城东蜊市阳光实验学校重点中学2021届高三数学一轮复习教案：函数及其性质2021年考试手册规定的考试内容：1、函数的有关概念。
要求：对所学数学只是有理性的认识，能用自己的语言进展表达，并能据此进展判断；知道它们的由来及其与其他知识点之间的联络；知道它们的用途。
对所学技能会进展独立的尝试性操作。
2、函数的运算。
要求：对所学数学知识有本质性的认识并能与已有的数学只是建立联络，掌握其内容与其形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。
3、函数关系式的建立。
要求：能在新的情境中综合的、灵敏的、创造性地运用所学知识和技能来解决有关问题。
4、函数的根本性质。
要求：对所学数学知识有本质性的认识并能与已有的数学只是建立联络，掌握其内容与其形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。
一、知识点归纳：第一个点：什么是函数？在某个变化过程中有两个变量x、y，假设对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应x ，x叫做法那么f，y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就叫做x的函数，记作y=f〔x〕，D自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域；和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.小提示：1、 函数的三要素：定义域、值域、对应法那么。
2、 理解关键字“任意〞：在定义域中，对于一个确定的x ，这个x 是定义域内的任意一个值。
3、 对应法那么的理解：对应法那么是某一种运算规律。
etc:〔1〕、2x y =的对应法那么为取平方。
〔2〕、12x y +=的对应法那么为乘2加1。
4、理解关键字“唯一〞：通过运算，只能得到一个确定的值。
从对应的观点来看，有两种对应可以成为函数：一对一和多对一。
图示：Xyxy一对一多对一但是有一种情况不是函数：图示：Xy一对多第二个点：反函数的定义。
对于函数y=f 〔x 〕，设它的定义域为D ，值域为A ，假设对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，使y=f 〔x 〕，这样得到的x 关于y 的函数叫做y=f 〔x 〕的反函数，记作)(1y f x-=，习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以把它改写为小提示：对于反函数来讲，我们对反函数和函数的定义加以区分，函数的定义是任取一个x ，都有唯一的一个y 与其对应，表达出的对应形式是一对一和多对一，但是对于反函数只有一对一才有反函数，而多对一不存在反函数，假设唯一的一个x 对应唯一的y ，这样能判断是否存在反函数。
专题2.3 函数的定义域与值域重难点题型精讲-高中数学一轮复习【新高考地区专用】
专题2.3 函数的定义域与值域-重难点题型精讲1．函数的三要素 (1)定义域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域． (2)值域与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域． (3)对应关系f ：A →B .【题型1 求具体函数的定义域】【例1】（2021•浙江模拟）函数y =√−x 2+x +6+1x−1的定义域为（ ） A ．[﹣2，3]B ．[﹣2，1）∪（1，3]C ．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）D ．（﹣2，1）∪（1，3）【解题思路】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答过程】解：由题意得：{−x 2+x +6≥0x −1≠0，解得：﹣2≤x ＜1且1＜x ≤3， 故选：B ．【变式1-1】（2021•天河区校级模拟）函数f （x ）=√32x−1−1的定义域是（ ） A ．[1，+∞）B ．[12，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）【解题思路】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【解答过程】解：由题意得：32x ﹣1﹣1≥0，故32x ﹣1≥1＝30，故2x ﹣1≥0，解得：x ≥12，故函数f （x ）的定义域是[12，+∞），故选：B ．【变式1-2】（2020•新乡三模）函数f （x ）=√−x 2+3x+4lnx的定义域是（ ）A ．（0，1）∪（1，4]B ．（0，4]C ．（0，1）D ．（0，1）∪[4，+∞）【解题思路】根据函数的解析式，列出使函数有意义的不等式组，求出解集即可． 【解答过程】解：函数f （x ）=√−x 2+3x+4lnx中，令{−x 2+3x +4≥0x ＞0lnx ≠0，得{x 2−3x −4≤0x ＞0x ≠1，解得{−1≤x ≤4x ＞0x ≠1，即0＜x ≤4且x ≠1；所以函数f （x ）的定义域是（0，1）∪（1，4]． 故选：A ．【变式1-3】（2020•荔湾区校级模拟）函数f （x ）＝lg 3−x x+1cosx的定义域为（ ）A ．（0，3）B ．{x |x ＜3且x ≠π2} C ．（0，π2）∪（π2，3)D ．{x |x ＜0或x ＞3}【解题思路】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答过程】解：由{3−x x ＞0cosx ≠0，得{0＜x ＜3x ≠π2+kπ，k ∈Z ，∴0＜x ＜3且x ≠π2． ∴函数f （x ）＝lg 3−x x+1cosx的定义域为（0，π2）∪（π2，3)．故选：C ．【题型2 求抽象函数的定义域】【例2】（2021春•开封期末）已知函数f （2x ﹣1）的定义域为（﹣1，2），则函数f （2﹣3x ）的定义域为 ． 【解题思路】由题意先求出2x ﹣1的范围，可得2﹣3x 的范围，从而得出x 的范围，即为函数f （2﹣3x ）的定义域．【解答过程】解：函数f （2x ﹣1）的定义域为（﹣1，2），故﹣3＜2x ﹣1＜3， ∴对于函数f （2﹣3x ），﹣3＜2﹣3x ＜3，求得−13＜x ＜53， 故对于函数f （2﹣3x ），它的定义域为（−13，53），故答案为：（−13，53），【变式2-1】（2020秋•蚌埠期末）已知函数f （x ）的定义域是[0，2]，则函数g （x ）＝f （x +12）+f （x −12）的定义域是（ ） A ．[12，1]B ．[12，2]C ．[12，32]D ．[1，32]【解题思路】由函数f （x ）的定义域是[0，2]可得：要使函数g （x ）＝f （x +12）+f （x −12）的解析式有意义，则{x +12∈[0，2]x −12∈[0，2]，解不等式可得答案． 【解答过程】解：∵函数f （x ）的定义域是[0，2]， 要使函数g （x ）＝f （x +12）+f （x −12）的解析式有意义， 则{x +12∈[0，2]x −12∈[0，2]，解得：x ∈[12，32]，故函数g （x ）＝f （x +12）+f （x −12）的定义域是[12，32]，故选：C ．【变式2-2】（2021•襄城区校级模拟）已知函数y ＝f （x 2+2x−1x 2+x−1）的定义域是[1，+∞），则函数y ＝f （x ）的定义域是 ．【解题思路】利用换元法，设t =x 2+2x−1x 2+x−1，x ∈[1，+∞），求出t 的值域即可．【解答过程】解：设t =x 2+2x−1x 2+x−1，x ∈[1，+∞），则t ＝1+xx 2+x−1=1+1x−1x+1， 再设g （x ）＝x −1x +1，x ∈[1，+∞），则g （x ）是定义域上的单调增函数，且g （x ）min ＝g （1）＝1， 所以1g(x)∈（0，1]，所以t ∈（1，2]；所以函数y ＝f （x 2+2x−1x 2+x−1）的定义域是[1，+∞）时，函数y ＝f （x ）的定义域是（1，2]．故答案为：（1，2]．【变式2-3】（2021•荆州区校级四模）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数Jzzx （x ）定义域为[211，985]，则函数shuangyiliu （x ）＝Jzzx （2018x ）+Jzzx （2021x ）的定义域为（ ） A ．[2112018，9852021] B ．[2112021，9852018] C ．[2112018，9852018] D ．[2112021，9852021] 【解题思路】由2018x ∈[211，985]且2021x ∈[211，985]可求得定义域．【解答过程】解：根据题意得{211≤2018x ≤985211≤2021x ≤985，解得：x ∈[2112018，9852021]．故选：A ．【题型3 已知函数定义域求参数】【例3】（2020春•兴庆区校级期末）若函数y =√的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，12]B ．（0，12）C ．[0，12]D ．[0，12）【解题思路】根据题意即可得出，不等式ax 2﹣4ax +2＞0的解集为R ，然后可讨论a 是否为0：a ＝0时，显然满足题意；a ≠0时，可得出{a ＞0△=16a 2−8a ＜0，然后解出a 的范围即可．【解答过程】解：根据题意，ax 2﹣4ax +2＞0的解集为R ， ①a ＝0时，2＞0恒成立，满足题意； ②a ≠0时，{a ＞0△=16a 2−8a ＜0，解得0＜a ＜12，综上得，实数a 的取值范围是[0，12)． 故选：D ．【变式3-1】（2020秋•解放区校级月考）已知函数f （x ）＝5√a+1−x的定义域为M ，集合N ＝{x |x ≥9}，若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（4，8]B ．（﹣∞，8]C ．（﹣∞，4]D ．[8，+∞）【解题思路】根据条件可得出M ⊆{x |x ＜9}，可求出f （x ）的定义域为M ＝{x |x ＜a +1}，从而得出a +1≤9，然后解出a 的范围即可．【解答过程】解：∵N ＝{x |x ≥9}，M ∩N ＝∅， ∴M ⊆{x |x ＜9}，∵M ＝{x |x ＜a +1}，∴a +1≤9，解得a ≤8， ∴实数a 的取值范围是（﹣∞，8]． 故选：B ．【变式3-2】（2020秋•宝山区校级期末）若函数f （x ）＝lg [（a 2﹣1）x 2+（a +1）x +1]的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ．【解题思路】根据对数函数的定义域为R ，转化为不等式恒成立进行求解即可． 【解答过程】解：∵f （x ）的定义域为R ， ∴（a 2﹣1）x 2+（a +1）x +1＞0恒成立， 当a 2﹣1＝0，即a ＝1或a ＝﹣1，当a ＝1时，不等式等价为2x +1＞0，此时x ＞−12，不恒成立，不满足条件． 当a ＝﹣1时，不等式等价为1＞0，恒成立，满足条件． 当a ≠±1时，要使不等式恒成立，则{a 2−1＞0△=(a +1)2−4(a 2−1)＜0，即{a ＞1或a ＜−1(a +1)(−3a +5)＜0，得{a ＞1或a ＜−1a ＞53或a ＜−1，即a ＞53或a ＜﹣1， 综上a ＞53或a ≤﹣1， 故答案为：a ＞53或a ≤﹣1．【变式3-3】（2020秋•太原期中）若函数f （x ）=√|2x +1|−|x +1|−a 的定义域为R ，则实数a 的取值范围为 ．【解题思路】由题意，|2x +1|﹣|x +1|≥a 恒成立，利用分段函数求得f （x ）＝|2x +1|﹣|x +1|的最小值，可得a 的范围．【解答过程】解：∵函数f （x ）=√|2x +1|−|x +1|−a 的定义域为R ，∴|2x +1|﹣|x +1|≥a 恒成立． 令f （x ）＝|2x +1|﹣|x +1|={x ，x ≥−12−3x −2，−1≤x ＜−12−x ，x ＜−1，则f （x ）取得最小值大于或等于a ．根据f （x ）的单调性，当x =−12时，f （x ）取得最小值为−12， ∴a ≤−12，故答案为：（﹣∞，−12]．【题型4 利用函数单调性求函数的值域】【例4】（2020秋•上高县校级期末）下列各函数中，值域为（0，+∞）的是（ ） A ．y =log 2(x 2+2x −3) B ．y =√1−2x C ．y ＝2﹣2x +1D ．y =31x+1【解题思路】根据函数的性质分别求出函数的值域进行判断即可．【解答过程】解：x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4≥﹣4，∴y =log 2(x 2+2x −3)的值域是R ，不满足条件． ∵0≤1﹣2x ＜1，则函数的值域为[0，1），不满足条件． y ＝2﹣2x +1＞0，即函数的值域为（0，+∞），满足条件．y =31x+1∈（0，1）∪（1，+∞），不满足条件．故选：C ．【变式4-1】（2021•3月份模拟）函数f （x ）=√2−x +√x 2−6x +10的值域为 ． 【解题思路】先求出函数的定义域和单调性，从而得到函数的值域．【解答过程】解：∵函数f （x ）=√2−x +√x 2−6x +10，∴{2−x ≥0x 2−6x +10≥0，求得x ≤2，故函数的定义域为（﹣∞，2]．且y =√2−x 和y =√x 2−6x +10在定义域内都是减函数，故f （x ）在其定义域内是减函数， 故当x ＝2时，函数f （x ）取得最小值为√2，当x 趋于﹣∞时，函数f （x ）趋于无穷大， 故f （x ）的值域为[√2，+∞）， 故答案为：[√2，+∞）．【变式4-2】（2021•松山区校级模拟）已知函数f （x ）＝log 3（x ﹣2）的定义域为A ，则函数g （x ）＝（12）2﹣x（x ∈A ）的值域为（ ）A ．（﹣∞，0）B ．（﹣∞，1）C ．[1，+∞）D ．（1，+∞）【解题思路】根据对数函数的性质先求出f （x ）的定义域，结合指数函数的单调性，求g （x ）的值域即可．【解答过程】解：要使函数有意义，则x ﹣2＞0得x ＞2，即函数f （x ）的定义域为（2，+∞），即A ＝（2，+∞），g （x ）＝（12）2﹣x =14•2x ，为增函数，则g （x ）＞g （2）=14•22＝1，即g （x ）的值域为（1，+∞）， 故选：D ．【变式4-3】（2021•全国模拟）已知函数f （x ）对任意x ∈R ，都有f(x)=−12f(x +2)，当x ∈[0，2]时，f （x ）＝﹣x 2+2x ，则函数f （x ）在[﹣2，6]上的值域为（ ） A ．[0，1]B ．[−12，0]C ．[﹣2，0]D ．[﹣2，4]【解题思路】x ∈[0，2]时，f （x ）＝﹣x 2+2x ，则利用f(x)=−12f(x +2)，将区间[﹣2，0]，[2，4]，[4，6]的自变量x 利用加减转化到区间[0，2]上，从而进行值域的求解．【解答过程】解：当x ∈[0，2]时，f （x ）＝x （2﹣x ）＝1﹣（x ﹣1）2∈[0，1]， 则当x ∈[﹣2，0]时，即x +2∈[0，2]，所以f(x)=−12f(x +2)∈[−12，0]； 当x ∈[2，4]时，即x ﹣2∈[0，2]，由f(x)=−12f(x +2)，得f （x +2）＝﹣2f （x ），从而f （x ）＝﹣2f （x ﹣2）∈[﹣2，0]； 当x ∈[4，6]时，即x ﹣2∈[2，4]，则f （x ）＝﹣2f （x ﹣2）∈[0，4]． 综上得函数f （x ）在[﹣2，6]上的值域为[﹣2，4]． 故选：D ．【题型5 利用换元法求函数的值域】【例5】（2020•重庆模拟）已知函数f （x ）＝2x ，则函数f （f （x ））的值域是（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．[1，+∞）D ．R【解题思路】利用指数函数的性质容易求出值域．【解答过程】解：由指数函数的性质可知，函数f （x ）＝2x 的值域为（0，+∞）， 令t ＝2x ，则t ＞0，∴f （f （x ））＝f （t ）＝2t ＞20＝1，即所求函数的值域为（1，+∞）． 故选：B ．【变式5-1】（2020秋•瑶海区校级期中）函数y ＝2x +√1−3x 的值域是（ ） A ．（﹣∞，23]B ．[2524，+∞） C ．[−∞，2524] D ．[23，+∞）【解题思路】设t =√1−3x ，则x =1−t 23且t ≥0，然后代入后结合二次函数的性质可求． 【解答过程】解：设t =√1−3x ，则x =1−t 23且t ≥0，y ＝2x +√1−3x =2−2t 23+t =−23t 2+t +23开口向下，对称轴t =34，结合二次函数的性质可知，当t =34时函数取得最大值2524．故函数的值域（﹣∞，2524]．故选：C ．【变式5-2】（2020秋•道里区校级月考）函数f （x ）=1x 2−2x+2的值域为（）A ．（0，1]B ．（0，12]C ．（0，1）D ．（0，12）【解题思路】只需求解t ＝x 2﹣2x +2的范围，结合反比例函数的性质可得值域；【解答过程】解：设t ＝x 2﹣2x +2＝（x ﹣1）2+1， 可得t ∈[1，+∞）， 则y =1t ∈（0，1]． 即函数f （x ）=1x 2−2x+2的值域为（0，1]．故选：A ．【变式5-3】（2021春•水富市校级月考）函数f （x ）＝x 2﹣1的定义域为[0，4]，则函数y ＝f （x 2）+[f （x ）]2的值域为（ ） A ．[−12，992]B ．[−12，24]C ．[−12，4]D ．[−12，4−2√2]【解题思路】先根据f （x ）的定义域求出y ＝f （x 2）+[f （x ）]2的定义域，再换元利用二次函数的性质即可求出．【解答过程】解：∵f （x ）＝x 2﹣1的定义域为[0，4]，∴y ＝f （x 2）+[f （x ）]2中，{0≤x 2≤40≤x ≤4，解得0≤x ≤2，即y ＝f （x 2）+[f （x ）]2的定义域为[0，2]，令t ＝x 2，则t ∈[0，4]，则y =f(x 2)+[f(x)]2=x 4−1+(x 2−1)2=2x 4−2x 2=2t 2−2t =2(t −12)2−12， ∴当t =12时，y min =−12；当t ＝4时，y max ＝24， ∴y ＝f （x 2）+[f （x ）]2的值域为[−12，24]． 故选：B ．【题型6 利用分离常数法求函数的值域】【例6】（2021•海淀区校级模拟）若函数f(x)=x−1x+1的定义域是[0，+∞），则f （x ）的值域是 ． 【解题思路】由已知利用分离常数，然后结合反比例函数的性质可求． 【解答过程】解：当x ≥0时，∈[﹣1,1)． f (x )=x−1x+1=x+1−2x+1=1−2x+1∈[﹣1,1)． 故答案为：[﹣1,1)．【变式6-1】（2020秋•泉山区校级期中）函数y =2+x4−3x 的值域是（ ）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，−12）∪（12，+∞）C．（﹣∞，−13）∪（13，+∞）D．（﹣∞，−13）∪（−13，+∞）【解题思路】分离常数即可得出y=−13+103(4−3x)，从而得出y≠−13，进而得出该函数的值域．【解答过程】解：y=2+x4−3x=−13(4−3x)+1034−3x=−13+103(4−3x)，∴y≠−1 3，∴该函数的值域为(−∞，−13)∪(−13，+∞)．故选：D．【变式6-2】（2020•武汉模拟）函数y=2lnx−1lnx+1的值域为（）A．{y|0＜y＜2}B．{y|y＞0且y≠2}C．{y|y≠2}D．{y|y＞2}【解题思路】由已知利用分离法，结合反比例函数的性质即可求解．【解答过程】解：因为y=2lnx−1lnx+1=2(lnx+1)−3lnx+1=2−31+lnx≠2．故选：C．【变式6-3】（2020秋•成都期末）设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，例如：[﹣3.2]＝﹣4，[4.3]＝4，已知函数f（x）=2×3x1+3x−32，则函数y＝[f（x）]的值域是（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1}【解题思路】由已知结合指数函数的性质先求出f（x）的值域，然后结合已知定义即可求解．【解答过程】解：∵f（x）=2×3x1+3x−32=4⋅3x−3−3⋅3x2(1+3x)=3x−32(3x+1)=12−23x+1，∵3x+1＞1，∴0＜21+3x＜2，∴−32＜12−21+3x＜12，故y＝[f（x）]的值域是{﹣2，﹣1，0}．故选：B．【题型7 已知函数的值域求参数】【例7】（2020•柯城区校级模拟）已知函数f(x)=√x 2+tx 2−1的值域为[0，+∞），则实数t 的取值范围是 ．【解题思路】设y ＝x 2+t x 2−1，先分类求y ＝x 2+t x 2−1的值域A ，再根据[0，+∞）为A 的子集来求t 的取值范围．【解答过程】解：令y ＝x 2+tx 2−1， ①当t ＜0时，y ＝x 2+t x2−1，设m ＝x 2＞0，则y ＝m +tm −1在（0，+∞）上单调递增， ∴y 的值域为R ，∵[0，+∞）⊆R ，∴t ＜0符合题意； ②当t ＝0时，y ＝x 2+tx2−1＝x 2﹣1≥﹣1， ∵[0，+∞）⊆[﹣1，+∞），∴t ＝0符合题意； ③当t ＞0时，y ＝x 2+t x 2−1≥2√x 2⋅t x2−1＝2√t −1，当且仅当|x |=√t 4时，等号成立， ∵[0，+∞）⊆[2√t −1，+∞）， ∴2√t −1≤0，解得0＜t ≤14，综上所述，实数t 的取值范围是（﹣∞，14]．故答案为：（﹣∞，14]．【变式7-1】（2020•青秀区校级模拟）已知函数f （x ）＝lg （3x +43x +m ）的值域是全体实数R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣4，+∞）B ．[﹣4，+∞）C ．（﹣∞，﹣4）D ．（﹣∞，﹣4]【解题思路】由题意可知3x +43x +m 能取遍所有正实数，结合基本不等式可求． 【解答过程】解：由题意可知3x +43x +m 能取遍所有正实数， 因为3x +43x +m ≥m +4， 则m +4≤0，即m ≤﹣4． 故选：D ．【变式7-2】（2020•一模拟）已知函数f （x ）＝lnx −12ax 2+（a ﹣1）x +a （a ＞0）的值域与函数f （f （x ））的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，1]B ．（1，+∞）C ．(0，43]D ．[43，+∞）【解题思路】求出f （x ）的单调区间和值域，从而得出f （x ）的最大值与单调区间端点的关系，从而得出a 的范围【解答过程】解：函数f （x ）＝lnx −12ax 2+（a ﹣1）x +a （a ＞0），其定义域满足：x ＞0． 则f ′（x ）=1x −ax +（a ﹣1）（a ＞0） 令f ′（x ）＝0，可得x =−1a（舍去），x ＝1．当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在区间（0，1）递增； 当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在区间（1，+∞）递减； ∴当x ＝1时，f （x ）取得最大值为32a −1；f （x ））的值域为（﹣∞，32a −1]，∴函数f （f （x ））的值域为（﹣∞，32a −1]，则32a −1≥1；解得：a ≥43．则a 的取值范围为[43，+∞）；故选：D ．【变式7-3】（2020•南岗区校级四模）已知函数f(x)={(1−a)x +a ，x ＞0ln(x +2)，−2＜x ≤0的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜ln 2B ．a ≤ln 2C ．a ＞0D ．ln 2＜a ＜1【解题思路】由已知求出﹣2＜x ≤0时函数的值域，把函数f （x ）的值域为R 转化为当x ＞0时，f （x ）＝（1﹣a ）x +a 的值域包含（ln 2，+∞），由此列关于a 的不等式组求解． 【解答过程】解：当﹣2＜x ≤0时，0＜x +2≤2，f （x ）＝ln （x +2）∈（﹣∞，ln 2]； 要使函数f(x)={(1−a)x +a ，x ＞0ln(x +2)，−2＜x ≤0的值域为R ，则当x ＞0时，f （x ）＝（1﹣a ）x +a 的值域包含（ln 2，+∞）．则需{1−a ＞0a ≤ln2，即a ≤ln 2．∴实数a 的取值范围是a ≤ln 2． 故选：B ．【题型8 函数的定义域与值域综合】【例8】[多选题]（2021•锡山区校级三模）一般地，若函数f （x ）的定义域为[a ，b ]，值域为[ka ，kb ]，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[a ，b ]，值域也为[a ，b ]，则称[a ，b ]为f （x ）的“跟随区间”．下列结论正确的是（ ）A ．若[1，b ]为f （x ）＝x 2﹣2x +2的跟随区间，则b ＝2B ．函数f （x ）＝1+1x 存在跟随区间C ．若函数f （x ）＝m −√x +1存在跟随区间，则m ∈（−14，0]D ．二次函数f （x ）=−12x 2+x 存在“3倍跟随区间”【解题思路】（1）易由已知可得函数在区间上单调递增，进而可以求解b 的值，（2）假设存在跟随区间，则根据跟随区间的条件求解a ，b 的值，若有解则存在，反之不存在，（3）先设跟随区间为[a ，b ]，则根据跟随区间满足的条件建立方程组，找出a ，b 的关系，然后统一变量表示出m ，列出关于m 的关系式，利用方程思想求解m 的取值范围，（4）若存在3倍跟随区间，则设定义域为[a ，b ]，值域为[3a ，3b ]，由此建立方程组，再 等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解．【解答过程】解：选项A ：由已知可得函数f （x ）在区间[1，b ]上单调递增，则有f （b ）＝b 2﹣2b +2＝b ，解得b ＝2或1（舍），所以b ＝2，A 正确；选项B ：若存在跟随区间[a ，b ]（a ＜b ），又因为函数在单调区间上递减，则有{f(a)=bf(b)=a ，解得a ＝b ＝1，显然不成立，B 错误；选项C ：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，若存在跟随区间[a ，b ]（﹣1≤a ＜b ）， 则有{f(a)=b f(b)=a ，即{b =m −√a +1a =m −√b +1，两式做差得：a ﹣b =√a +1−√b +1，即（a ﹣b ）（√a +1+√b +1）＝a +1﹣（b +1）＝a ﹣b ，又﹣1≤a ＜b ，所以√a +1+√b +1=1，易得0≤√a +1＜√b +1≤1， 所以m ＝a +√b +1=a +1−√a +1，设√a +1=t ∈（0，12），则m ＝t 2﹣t ，即t 2﹣t ﹣m ＝0在区间（0，12）上有两个不相等的实数根，只需：{△=1+4m ＞0−m ≥0，解得−14＜m ≤0，C 正确；选项D ：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为[a ，b ]，值域为[3a ，3b ]， 当a ＜b ≤1时，易得函数在定义域上单调递增，则a ，b 是方程−12x 2+x =3x 的两个不相等的实数根，解得x ＝0或﹣4， 故存在定义域为[﹣4，0]使得值域为[﹣12，0]，D 正确， 故选：ACD ．【变式8-1】（2021春•越秀区校级期中）一般地，若f （x ）的定义域为[a ，b ]，值域为[λa ，λb ]，则称[a ，b ]为f （x ）的“λ倍跟随区间”；特别地，若f （x ）的定义域为[a ，b ]，值域也为[a ，b ]，则称[a ，b ]为f （x ）的“跟随区间”．（1）若[1，b ]为f （x ）＝x 2﹣2x +2的跟随区间，则b ＝ ．（2）若函数f （x ）＝m −√x +1存在跟随区间，则m 的取值范围是 ． 【解题思路】（1）结合f （x ）＝x 2﹣2x +2图象和跟随区间定义可解此问题；（2）根据跟随区间定义与函数f （x ）＝m −√x +1是在[﹣1，+∞）上是减函数可解此问题．【解答过程】解：（1）∵[1，b ]为f （x ）＝x 2﹣2x +2的跟随区间，∴函数值域为[1，b ]．∵二次函数f （x ）＝x 2﹣2x +2的对称轴方程为：x ＝1，∴函数f （x ）在[1，b ]上单调递增．∴{f(b)=b 2−2b +2=bb ＞1f(1)=12−2×1+2=1，解得：b ＝2，故b 的值为2；（2）设跟随区间为：[a ，b ]．∵函数f （x ）＝m −√x +1的定义域为：[﹣1，+∞），∴﹣1≤a ＜b ． ∵函数f （x ）＝m −√x +1是定义域上的减函数且定义域、值域都是[a ，b ]， ∴{f(b)=m −√b +1=af(a)=m −√a +1=b，∴√b +1−√a +1=b −a ，∴√b +1−√a +1=b −a =＝（b +1）﹣（a +1）＝（√b +1−√a +1）（√b +1+√a +1），又∵√b +1＞√a +1， ∴√b +1+√a +1=1，∴√b +1=1−√a +1，代入m −√b +1=a 得：m ＝a +1−√a +1，同理：m ＝b +1−√b +1，∴可令m ＝t 2﹣t （0≤t ≤1），∴方程m ＝t 2﹣t 在0≤t ≤1范围内有两个不等实根，∴函数y ＝m 与函数y ＝t 2﹣t （0≤t ≤1）有两个交点，又∵函数y ＝t 2﹣t （0≤t ≤1）的值域[−14，0]， ∴由二者图象可知：m ∈（−14，0]．故答案为：（−14，0]，【变式8-2】（2021春•宝山区校级期末）设函数y ＝f （x ）的定义域为D ，对于非空集合Y ⊆R ，称集合{x |f （x ）∈Y ，x ∈D }为集合Y 的原像集，记作f ﹣1（Y ），设f （x ）＝2sin （ωx +2π3），x ∈[0，π]，其中ω为实常数，且ω＞0，若函数y ＝f （x ）在集合f ﹣1（[0，2]）的值域恰为闭区间[0，2]，则ω的取值范围是 ．【解题思路】由所给的信息可得函数f （x ）的值域，由函数f （x ）的定义域，求出ωx +23π的范围，进而求出ω的范围．【解答过程】解：因为x ∈[0，π]，所以ωx +23π∈[23π，ωπ+23π]，令t ＝ωx +23π∈[23π，ωπ+23π]，所以y ＝2sin t ，t ∈[23π，ωπ+23π]，因为f ﹣1（[0，2]）的值域恰为闭区间[0，2]，所以f ﹣1（[0，2]）＝{x |f （x ）∈[0，2]，x ∈R }，所以2sin t ∈[0，2]，因为t ＝ωπ+23π≥2π+π2，所以可得ω≥116， 故答案为：[116，+∞）．【变式8-3】（2021•青羊区校级模拟）函数f （x ）的定义域为D ，若满足： （1）f （x ）在D 内是单调函数；（2）存在[m 2，n 2]⊆D ，使得f （x ）在[m 2，n 2]上的值域为[m ，n ]，那么就称函数f （x ）为“梦想函数”． 若函数f(x)=log a (a x +t)(a ＞0，a ≠1)是“梦想函数”，则t 的取值范围是 ．【解题思路】根据复合函数单调性的关系先判断函数f （x ）是单调递增函数，然后根据值域关系建立方程，然后转化为方程根的个数问题即可．【解答过程】解：（1）设u （x ）＝a x +t ，则y ＝log a u ，当a ＞1时，u （x ）＝a x +t 为增函数，y ＝log a u 也是增函数，则y ＝log a （a x +t ）为增函数， 当0＜a ＜1时，u （x ）＝a x +t 为减函数，y ＝log a u 也是减函数，则y ＝log a （a x +t ）为增函数， 综上可得：y ＝log a （a x +t ）为增函数，即f （x ）在D 内是单调函数． （2）∵f （x ）是单调递增函数，∴若f （x ）＝log a （a x +t ）为“梦想函数”， 则有{f(m2)=log a (a m2+t)=m f(n2)=log a (a n 2+t)=n，即方程a x 2+t ＝a x 有两个不同的正数解，即可得（a x2）2﹣ax2−t＝0有两个不同的正数解，则有{△=1+4t＞0x1+x2=1＞0x1x2=−t＞0，即{t＞−14t＜0，可得−14＜t＜0，即t的取值范围为（−14，0），故答案为：（−14，0）．。
高考数学一轮专题复习 函数的定义域,解析式课件
元a与 素元 b对素 ,那 应么b 把 叫元 做 a的 素 元 ,元 象 素 素
a叫b的 做原 . 象
原象组成 M 称 的为 集原 合象 ,则 M 的 与 A 集 的合 关系
是 MA,所有的象组 C称 成为 的,象 则 集 C与 集 B 合
的关C 系 B 是 .
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1
A f:AB B
2 1
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2
3
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(1)则f[g(1)]_________;
(2)当g[f(x)]2时,x______;
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例1:集合P{x|0 x4},Q{y|0 y2}, 下列从 P到Q的对应法f不 则能构成映射(的)是 .
A. f : xy1x 2
C. f : xy2x 3
B. f : xy1x 3
D. f : xy1x 8
6.已知 f[g函 (x)的 ]数 定D 义 ,求域 函 f(x)为 的 数
定义 ,只x 域 需 {y|yg(x)}即 ,g(x)的值 . 域
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8
例: 求下列函数的定义域
x2 (1)y
x2 4
(2)y x2 3x2 | x|x
1
(3 )y lo x(x g 1 )
(4)y log2(x1)
2 6
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A
B
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3.2函数性质的综合应用课件高三数学一轮复习
(2)(多选题)(2023·青岛质检)已知函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)是偶函数,f(x-1)
是奇函数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)=f(x-16)
B.f(19)=0
C.f(2 024)=f(0)
D.f(2 023)=f(1)
【解析】选ABC.因为f(2x+1)是偶函数,所以f(-2x+1)=f(1+2x), 即f(1-x)=f(1+x),即函数关于x=1对称,则f(x)=f(2-x). 因为f(x-1)是奇函数,所以f(-x-1)=-f(x-1),则f(-x-2)=-f(x)=-f(2-x), 即f(x-2)=-f(2+x),则f(x)=-f(x+4),即f(x+8)=-f(x+4)=f(x),即函数的周期是8, 则f(x)=f(x-16)成立,故A正确; 令x=0,由f(-x-1)=-f(x-1),得f(-1)=-f(-1),得f(-1)=0,f(3)=0, 则f(19)=f(3)=0,故B正确; f(2 024)=f(8×253+0)=f(0)成立,故C正确; f(2 023)=f(8×253-1)=f(-1),故D错误.
谢谢观赏！！
2.函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0) 对称,f(1)=4,则f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)的值为 4 . 【解析】因为y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称, 所以函数y=f(x)的图象关于原点对称,即函数f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0. 因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4, 所以f(2 021)=f(505×4+1)=f(1)=4,f(2 020)=f(0)=0,f(2 022)=f(2)=-f(0)=0, 所以f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)=4.
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求函数的定义域的常用方法适用学科数学适用年级高二年级适用区域全国课时时长（分钟）120 知识点求函数的定义域学习目标1 理解和掌握函数的定义域是研究函数的开始，如果给一个函数不知道它的定义域，这样研究函数没有意义，要函数的定义域方法要掌握熟练。
2 能应用常用的方法来正确求函数的定义域,来培养学生应用数学分析、解决实际函数的能力.3 培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质学习重点函数定义域的综合问题；复合函数的定义域。
学习难点函数定义域是R的情况，定义域在其他知识点上的应用学习过程一、复习预习f是函数的符号，其中x是自变量，它代表着函数图象上每一点的横坐标，自变量(x)的取值范围就是函数的定义域。
不是每一个函数的定义域都是R，因为不同的函数有不同的定义域，下面我们从三个方面一起来研究函数的定义域。
二、知识讲解1求函数定义域的常见形式：（1）分母不为0；（2）二次根式非负；（3）)0(,10≠=a a ；（4）对数函数真数大于0【例题1】314)(+++=x x x f 。
【答案】}34{-≠-≥x x x 或【解析】：根据已知条件⎩⎨⎧≠+≥+0304x x ，解集为}34{-≠-≥x x x 或。
【例题2】261)(xx x f --=【答案】23≤≤-x【解析】：根据求函数定义域的方法23,062≤≤-≥--x x x 解得。
【例题3】函数2ln(1)34x y x x +=--+的定义域为 ( )A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]-【答案】 C【答案】 由21011141340x x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--+>⎩⎩.故选C2.求复合函数定义域的方法（1）已知)(x f 的定义域为],[b a ，求))((x g f 的定义域？ 解：当b x g a ≤≤)(，求x 的解集。
（2）已知))((x g f 的定义域为],[b a ，求)(x f 的定义域？ 解：当],[b a x ∈，求)(x g 的值域。
【例题4】已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f （2x-1）的定义域。
【答案】：13|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】：∵f(x+1)的定义域为[-1,1]；∴012x ≤+≤ ； ∴f(x)的定义域为[0,2]；∴f(2x-1)中，0212x ≤-≤，∴1322x -≤≤，∴f(2x-1)的定义域为13|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【例题5】若函数)(x f 的定义域为]3,2[，求)12(+x f 的定义域【答案】：223≤≤x【解析】：当3122≤+≤x ，解得223≤≤x 。
3定义域为R 的情况 【例题6】若函数224()(21)x f x x m x m -=+++的定义域为R ，求实数m 的取值范围。
【答案】：41-<m 【解析】：224()(21)x f x x m x m -=+++，0)12(22≠+++m x m x ，)(x f 的定义域为R ， 41,04)12(22-<<-+=∆m m m ，四、课堂练习【基础型】1下列函数中，与函数1y x=有相同定义域的是 ( )A .()ln f x x = B.1()f x x= C. ()||f x x = D.()x f x e = 答案：A 解析：由1y x=可得定义域是0.()ln x f x x >=的定义域0x >；1()f x x =的定义域是x ≠0；()||f x x =的定义域是;()x x R f x e ∈=定义域是x R ∈。
故选A.2函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 ．答案 {}34≠<x x x 且 解析：根据题意可知⎩⎨⎧≠->-0304x x ，{}34≠<x x x 且2求0)3(5)(+++=x x x f答案：}35{-≠-≥x x x 或 解析：根据已知条件⎩⎨⎧≠+≥+0305x x ，解集为}35{-≠-≥x x x 或3若函数f(x)的定义域为（-2,6），求1(1)2f x -的定义域。
答案：142≤≤-x 解析：根据题意61212≤-≤-x ，解得不等式142≤≤-x 。
【巩固型】1下列函数中，与函数1y x= 有相同定义域的是 A .0)(x x f = B.1()f x x=C. ()||f x x =D.x x f 2)(= 答案：A 解析： 由1y x=可得定义域是0)(x x f =的定义域0x >；1()f x x =的定义域是x ≠0；()||f x x =的定义域是;()x x R f x e ∈=定义域是x R ∈。
故选A.2 函数12log (32)y x =-的定义域是：（ ）A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞ C ．23[,1] D ．]1,32(答案：D解析：根据题意可知⎪⎩⎪⎨⎧≥->-0)23(log 02321x x ，解得132≤<x3若数)(x f 的定义域]2,0[，求函数(2)()1f xg x x =-的定义域。
答案：00<≤x 解析:根据已知条件⎩⎨⎧≠-≥≥01022x x ，解得00<≤x【提高型】1函数(1)y x x x =-+的定义域为（ C ）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤答案：C解析：根据求函数的定义域可知⎩⎨⎧≥≥-00)1(x x x ，解得{}{}|10x x ≥，故选C2若数)1(-x f 的定义域]2,1[-，求函数1()(2)37g x f x x =+++的定义域答案：]0,37()37,3[--- 解析：根据求函数的定义域可知⎩⎨⎧>+-≥+≥073122x x ，解得解集为]0,37()37,3[---3函数226y kx kx k =-++的定义域为R ，求k 的取值范围。
答案：0≥k解析：根据题意可知0622≥++-k kx kx ，)(x f 的定义域为R ，0=k ，恒成立，,0)6(44,02<+-=∆>k k k k 可知0≥k五、课程小结本节课是高考中必考的知识点，而且在高考中往往以隐含的形式出现，如果你没有把函数的定义域弄明白，那么一定会做错，所以需要学生要准确的理解考点，灵活并熟练地掌握公式，特别是没有表明函数的定义域，求函数定义域的方法：（1）带分母的函数（2）二次根式函数（3）抽象函数（4）对数函数真数大于0（5）复合函数的定义域（6）定义域为R的情况六、课后作业【基础型】1函数xx x f --=4)3(1)(的定义域为_____答案： {}34≠<x x x 且 解析：根据已知题意得， 4030x x ->⎧⎨-≠⎩ {}34≠<x x x 且2函数234x x y x--+=的定义域为A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-答案：D解析：由20340x x x ≠⎧⎨--+≥⎩得40x -≤<或01x <≤,故选D.3函数)1)(43(1)(2++--=x x x x f 的定义域为A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1]- 答案：C解析：由21011141340x x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<--+>⎩⎩.故选C【巩固型】4函数234x x y x--+=的定义域为 答案：]1,0()0,4[ -解析：根据已知题意得⎩⎨⎧≠≥+--00432x x x ，解得]1,0()0,4[ -5函数1()lg 4x f x x -=-的定义域为（ ） Ａ．(14)，Ｂ．[14)， Ｃ．(1)(4)-∞+∞，， Ｄ．(1](4)-∞+∞，， 答案：A 解析：10(1)(4)0,1 4.4x x x x x ->⇒--<∴<<-选A. 6函数221()ln(3234)f x x x x x x =-++--+的定义域为 A. (,4][2,)-∞-+∞ B. (4,0)(0.1)- C. [-4,0)(0,1] D. [4,0)(0,1)-答案：D 解析：根据题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>+--≥+-≠043023022x x x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->+-≠043023022x x x x x ，解得[4,0)(0,1)-【提高型】7已知x x x f +-=22lg )(，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 A. ()()4,00,4 - B. ()()4,11,4 -- C. ()()2,11,2 -- D. ()()4,22,4 --答案：B解析：由202x x +>-得，()f x 的定义域为22x -<<。
故22,2222.x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈--。
故⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()4,11,4 --。
8 设函数2()(0)f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为( ) A ．2- B ．4- C ．8- D ．不能确定 答案 ：B解析：12max ||()x x f x -=，222444b ac ac b a a--=，||2a a =-，4a =-，选B 9函数2()68f x mx mx m =-++的定义域为R ，求m 的取值范围。
答案：01≥>m解析：根据题意0862≥++-m mx mx ，)(x f 的定义域为R ，0=m ，恒成立10,032436,022<<<--=∆>m m m m m ，即01≥>m 。